江苏省2012年中考数学深度复习讲义：一元二次方程

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(中考数学复习)第8讲一元二次方程课件解析

(1)证明：∵一元二次方程为x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，
Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1>0，∴此方程有两个不相等的
实数根．
(2)解：∵△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数
根，由(1)知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且
△ABC是等腰三角形，
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＝2 014.
3．(2013·日照)已知一元二次方程x2－x－3＝0的较小根为x1，
则下面对x1的估计正确的是
( A )
A．－2<x1<－1
B．－3<x1<－2
C．2<x1<3
D．－1<x1<0
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题组三利用根的判别式解决问题
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浙派名师中考 10
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1．(2013·温州)方程x2－2x－1＝0的根是____________． 2．(2013·聊城)若x1＝－1是关于x的方程x2＋mx－5＝0的一个
根，则方程的另一个根x2＝___5__．
6
A．x－6＝－4 C．x＋6＝4
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＝x1·(x1＋2 013)＋2 013x2＋x2－2 013 ＝(x1＋2 013)＋2 013x1＋2 013x2＋x2－2 013 ＝x1＋x2＋2 013(x1＋x2)＋2 013－2 013 ＝1＋2 013

2012年中考数学复习专题——二次函数知识点归纳

中考复习专题——二次函数知识点归纳二次函数知识点总结：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：oo结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：2. 2y ax c =+的性质：结论：上加下减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．总结：3. ()2y a x h =-的性质：结论：左加右减。

总结：4. ()2y a x h k =-+的性质：总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。

九年级数学中考复习课件：专题一元二次方程

一元二次方程复习
知识结构一般情势 ax2+bx+c=0（a≠0）
一元二次方
解法
直接开平方法 (x a)2 bb 0
配方法公式法
x2
bx
b 2
2
x
b 2 2
cc
0
x b b2 4ac 0
2a
因式分解法 (x a)(x b) 0
程
根的判别式： b2 4ac
（2）3x²- y -1=0
（4）x
+
1 x
=0
例2：已知方程 2x m 1 2x 3 是关于x的一
元二次方程，则m=__________
【变式训练】
关于x的方程(a 1) xa2 2a1 x 5 0
是一元二次方程，则a=__________
• 二.一元二次方程的解法 • 1．直接开平方法 2. 配方法
根与系数的关系：x1
x2
b a
,
x1
x2
c a
应用实际应用
思想方法转化思想；整体思想;配方法、换元法
判断是否是一元二次方程的条件：一元、二次、整式方程
ax2+bx+c=0：是一元二次方程的条件： a≠0
例：1、判断下列方程是不是一元二次方程
（1）4x- 1 x²+
2
3 =0
（3）ax²+ｂx+c=0
关键：方程的两边同时加上一次项系数一半的平方注意：如果二次项系数不是1的要先把二次项系数转化为1
• 二.一元二次方程的解法 • 1．直接开平方法
2. 配方法 3. 公式法
基本步骤：
x= -b b2 4ac（b2 4ac 0） 2a

中考数学复习《2.3一元二次方程》课件

7 ∴x1= 3
x2 = -1
4、用分解因式法解方程：把y+2看作一个（y+2)2=3(y+2）未知数，变成解:原方程化为（y+2) 2- 3(y+2)=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
(ax+b)(cx+d)=0 形式。
考点四一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题的步骤
和列一元一次方程(组)解应用题步
骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．
例:解下列方程
１、用直接开平方法： (x+2)2=９
解:两边开平方, 得: x+2= ±3
右边开平方后，根号前取“±”。
∴ x=-2±3
∴ x1=1, x2=-5
个实数根，现给出三个结论：
①x1≠x2; ②x1x2＜ab; ③x12+x22＜a2+b2. ①② 则正确结论的序号是____________. （填
上你认为正确结论的所有序号）
4. (2013•黔西南州)已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数
式a2+b2+2ab的值是_______________ . 1
考点三根与系数的关系 2 关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的根 2 的判别式为 b －4ac. 2 2 1．b －4ac＞0⇔一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0 (a≠0)有两个不相等的实数根，－b± b2－4ac 则 x1,2＝； 2a 2 2 2．b －4ac＝0⇔一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0 b (a≠0)有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝－； 2a 3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)没有实数根；

2012年中考数学复习方案(苏科版)第7课时一元二次方程及其应用

·江苏科技版
│ 归类示例
解：(1)第一条边长为 a，第二条边长为 2a＋2，第三条边长为第一条边长为，＋， 30－a－(2a＋2)＝28－3a. －－＋＝－ (2)不可以是 7. 不可以是理由：理由： ∵ a＝7 时，2a＋2＝16,28－3a＝7，即第一条边长为 7，＝＋＝－＝，，第二条边长为 16，第三条边长为 7.又∵7＋7＜16，不满足三边之间，又＋＜，的关系，不能构成三角形．的关系，∴不能构成三角形．根据三角形的三边关系，根据三角形的三边关系， 2a＋2－a＜28－3a＜2a＋2＋a.解得得＋－＜－＜＋＋解得 13 13 ＜a＜ . ＜ 2 3 (3)能围成直角三角形形状，当 28－3a 是最长边时， a2＋(2a＋能围成直角三角形形状，能围成直角三角形形状－是最长边时，＋ 2)2＝ (28－3a)2，解得 a1＝ 5，a2＝ 39(不合题意，舍去，∴三边边长不合题意，－，不合题意舍去)，分别是 5,12,13.当 2a＋2 是最长边时， a2＋ (28－3a)2＝ (2a＋2)2，由当＋是最长边时，－＋于解不是整数，舍去．能围成直角三角形形状，于解不是整数，舍去． ∴能围成直角三角形形状，三边边长分别为 5,12,13.
[解析] 一元二次方程有两个不相等实数根的条件是 ∆＝(－ 2)2－ 4( a－ 1)× 1>0， ) ( － ) ，＝解得 a<2 且 a≠1，故选择 C. ≠ ， a－1≠0. － ≠
(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式 ∆＝b2－判别一元二次方程有无实数根，判别一元二次方程有无实数根＝ 4ac 的值，看它与 0 的大小关系．因此，在计算前应先将方程化为的值，的大小关系．因此，一般式；一般式； (2)注意：二次项系数不为零．注意：注意二次项系数不为零．

中考数学总复习第7课一元二次方程

5．(2013·浙江衢州)如图 7－1，在长和宽分别是 a，b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 x 的正方形． (1)用含 a，b，x 的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2)当 a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
图 7－1 【解析】 (1)面积＝ab－4x2. (2)根据题意，得 ab－4x2＝4x2(或 4x2＝1ab龙江牡丹江)若关于 x 的一元二次方
程为 ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是 x＝1，则 2013－a－b 的
值是
()
A．2018
B．2008
C ．2014
D．2012
点评：(1)本题主要考查一元二次方程的解的概念，难度较小．
(2)解题的关键是把已知方程的解直接代入方程得到待定系数
3．解一元二次方程时，方程两边不能同时约去一个相同的式子，因为这个式子可能为 0，如果约去，会造成漏解．
【精选考题 2】 (2013·江苏无锡)解方程：x2－3x＋2＝0.
点评：(1)本题考查一元二次方程的解法，难度较小． (2)求解本题的关键是根据题目特征选择最适合的方法(因式分解法)求解．解析：x 2－3x ＋2＝0，(x －1)(x －2)＝0，∴x 1＝1，x 2＝2.
3．配方法：解一元二次方程时，先把方程的常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上某一常数，使得左边刚好能配成一个完全平方式，即将方程化为(x＋a)2＝b 的形式，如果 b≥0，就可以用直接开平方法来求出它的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
4．公式法：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：x＝－b± b2－4ac(b2－4ac≥0)． 2a
拓展提高
1．(2012·山东泰安)方程 2x2＋5x－3＝0 的解是

2012年中考数学一轮复习精品讲义二次函数

第二十六章二次函数本章小结小结1 本章概述本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法．本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型．通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力．二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结．二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【本章难点】会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题．【学习本章应注意的问题】1．在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数y ＝ax 2(a ≠0)开始，总结、归纳其性质，然后逐步扩展，从y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2一直到y ＝ax 2＋bx ＋c ，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度．2．在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x 的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征．3．有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验小结3 中考透视近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.知识网络结构图二次函数的概念二次函数的图象开口方向对称轴顶点坐标增减性专题总结及应用二次函数二次函数的性质二次函数的应用一元二次方程的近似解一元二次不等式的解集二次函数的最大(小)值在实际问题中的应用一、知识性专题专题1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质【专题解读】对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握．例1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图26－84所示，则下列结论：①a ＞0；②c ＞0；③b 2－4ac ＞0．其中正确的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析 ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交于正半铀，∴c ＞0;∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0．故②③正确．故选C ．【解题策略】解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y 轴交点的位置以及与x 轴交点的个数．例2 若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数关系式是 ( )x -1 0 1 ax 2 1 ax 2+bx +c83A ．y ＝x 2－4x ＋3B ．y ＝x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋8分析由表格中的信息可知，当x ＝1时，ax 2＝1，所以a ＝1．当x =－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8，当x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3，所以c ＝3，所以1³(－1)2＋b ³(－1)＋3＝8，所以b ＝－4．故选A ．【解题策略】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x ＝1时，ax 2＝1，x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3和x ＝－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8．例3 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的大致图象如图26－85所示，则函数y ＝ax ＋b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析由图象可知a ＜0，2ba-＜0，则b ＜0，所以y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限．故选A ．【解题策略】抛物线的开口方向决定了a 的符号，b 的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定．例4 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ＞0，b ＞0，c ＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．其中正确的个数为 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析由a ＞0，得抛物线开口向上，由2ba-＜0，得对称轴在y 轴左侧，由c ＜0可知抛物线与y 轴交于负半轴上，可得其大致图象如图26—86所示，因此顶点在第三象限，故①③正确．故选C.【解题策略】此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想．例5 若A 113,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 31,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数y ＝x 2＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ( )A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2分析因为y＝x2＋4x＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以x=134-与x＝－34的函数值相同，因为抛物线开口向上，所以当54-＜34-＜14时，y2＜y1＜y3．故选B．【解题策略】此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将x=134-的函数值转化为x＝－34的函数值．例6 在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32(x－1)2的图象大致是(如图26—87所示) ( )分析直线y＝－x＋1与y轴交于正半轴，抛物线y＝－32(x－1)2的顶点为(1，0)，且开口向下．故选D．专题2 抛物线的平移规律【专题解读】当二次函数的二次项系数a相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x轴左、右平移，此时与k的值无关；顶点上、下变化，即沿y轴上、下平移，此时与h的值无关．其口诀是“左加右减，上加下减”．例7 把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( )A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1分析原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)．故选C．【解题策略】解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解．例8 把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝x2－3x ＋5，则 ( )A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21分析y＝x2－3x＋5变形为y＝232x⎛⎫-⎪⎝⎭＋5－94，即y＝232x⎛⎫-⎪⎝⎭＋114，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y＝2332x⎛⎫-+⎪⎝⎭＋114＋2，即y＝x2＋3x＋7，所以b＝3，c＝7．故选A．【解题策略】此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y＝x2－3x＋5，那么抛物线y＝x2－3x＋5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y ＝x 2＋bx ＋c ．专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用【专题解读】若抛物线经过原点，则c ＝0，若抛物线的顶点坐标已知，则2ba -和244acb a-的值也被确定等等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a ，b ，c 以及与之有关的代数式的值．例9 如图26－88所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋3ax ＋a 2－1的图象，则a 的值是 .分析因为图象经过原点，所以当x ＝0时，y ＝0，所以a 2－1=0，a ＝±1，因为抛物线开口向下，所以a ＝－1.故填－1:专题4 求二次函数的最值【专题解读】在自变量x 的取值范围内，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在顶点24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭处取得最值．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，顶点最低，当x ＝2ba -时，y 有最小值为244acb a-；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，顶点最高，当x ＝2ba -时，y 有最大值为244acb a-．例10 已知实数x ，y 满足x 2＋2x ＋4y ＝5，则x ＋2y 的最大值为 .分析 x 2＋2x ＋4y ＝5，4y ＝5－x 2－2x ，2y ＝12(5－x 2－2x )，x ＋2y ＝12(5－x 2－2x )＋x ，整理得x ＋2y ＝－12x 2＋52.当x ＝0时，x ＋2y 取得最大值，为52．故填52．专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【专题解读】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集．已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式．例11 已知二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点(2，0)，(－1，6)． (1)求二次函数的解析式；(2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y ＞0时x 的取值范围．分析 (1)列出关于a ，b 的方程组，求a ，b 的值即可．(2)观察图象求出y ＞0的解集．解：(1)由题意可知，当x ＝2时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝6，则420,6,a b a b +=⎧⎨-=⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩ ∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－4x ．(2)图象如图26—89所示，由图象可知，当y ＞0时，x ＜0或x ＞2．【解题策略】求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决．二、规律方法专题专题6 二次函数解析式的求法【专题解读】用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法．(1)设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值．(2)设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．(3)设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．(4)设对称点式：y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式．例12 根据下列条件求函数解析式．(1)已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式；(2)已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式；(3)已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(1，0)两点，且经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式；(4)已知抛物线经过(－3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式．分析 (1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式．(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式．(3)由于A(－l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式．(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(－3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便．解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，得6,2,423,a b ca b ca b c-+=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得1,2,5.abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求的二次函数的解析式为y＝x2＋2x－5．(2)∵抛物线的顶点为(－1，－3)，∴设其解析式为y＝a(x＋1)2－3，将点(0，－5)代入，得－5＝a－3，∴a＝－2，∴所求抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2－3．即y＝－2x2－4x－5．(3)∵点A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)，将点M(0，1)代入，得1＝－a，∴a＝－1，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y=－x2＋1(4)∵抛物线经过(－3，4)，(1，4)两点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)＋4，将点(0，7)代入，得7＝a²3²(－1)＋4，∴a＝－1，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＋4，即y＝－x2－2x＋7．【解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的.(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果．(3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式．三、思想方法专题专题7 数形结合思想【专题解读】把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究．例13 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图26－90所示，则点A (a ，b )在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限分析由图象开口方向向下可知a ＜0，由对称轴的位置可知x ＝2ba-＞0，所以b ＞0，故点A 在第二象限．故选B ．【解题策略】解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置．专题8 分类讨论思想【专题解读】分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果．例14 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴交于B (1，0)，C (5，0)两点． (1)求此抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F )，最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E ，F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．分析 (1)用待定系数法求a ，b ，c 的值．(2)用分类讨论法求直线CD 的解析式．(3)根据轴对称解决最短路径问题.解：(1)根据题意，得c =3，所以30,25530,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得3,518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以抛物线的解析式为y ＝35x 2－185x ＋3．(2)依题意可知，OA 的三等分点分别为(0，1)，(0，2)，设直线CD 的解析式为y ＝k x ＋b ，当点D 的坐标为(0，1)时，直线CD 的解析式为y ＝－15x ＋1，当点D 的坐标为(0，2)时，直线CD 的解析式为y ＝－25x ＋2． (3)由题意可知M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭，如甲26－91所示，点M 关于x 轴的对称点为M ′30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于抛物线对称轴x ＝3的对称点为A ′(6，3)，连接A ′M ′，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A ′M ′的长就是点P 运动的最短总路径的长．所以A ′M ′与x 轴的交点为所求的E 点，与直线x ＝3的交点为所求的F 点．可求得直线A ′M ，的解析式为y ＝34x －32．所以E 点坐标为(2，0)，F 点坐标为33,4⎛⎫⎪⎝⎭，由勾股定理可求出A ′M ′＝152．所以点P 运动的最短总路径(ME ＋EF ＋FA )的长为152．【解题策略】 (2)中点D 的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想．(3)中的关键是利用轴对称性找到E ，F 两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题．专题9 方程思想【专题解读】求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y ＝0或x ＝0，通过解方程解决交点的坐标问题．求抛物线与x 轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况．例15 抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴交点的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个分析可设x 2－2x ＋1＝0，Δ＝(－2)2－4³1³1＝0，可得抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴只有一个交点．故选B ．【解题策略】抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的个数可由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝o(a ≠0)的根的个数来确定．专题10 建模思想【专题解读】根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题．例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y (箱)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x －50)元，则平均每天少销售3(x －50)箱，所以提价后每天销售[90－3(x －50)]箱，即y ＝90－3(x －50).(2)每天的销售利润可用(x －40)[90－3(x －50)]来表示．(3)建立W 和x 之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值．解：(1)y ＝90－3(x －50)，即y ＝－3x ＋240．(2)W ＝(x －40)(－3x ＋240)＝－3x 2＋360x －9600，(3)∵a ＝－3＜0，∴当x ＝2ba-＝60时，W 有最大值，又∵当x ＜60时，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝55时，W 取得最大值为1125元，即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．【解题策略】求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解．例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a 元． (1)试求a 的值；(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x(万元)，则产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分．①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多．(注：年利润S＝年销售总额－成本费－广告费) 解：(1)由题意得a(1＋25％)＝250，解得a＝200(元)．(2)①依题意可设y与x之间的函数关系式为y＝ax2＋bx＋1，则421 1.36,1641 1.64,a ba b++=⎧⎨++=⎩，解得0.01,0.2,ab=-⎧⎨=⎩∴y＝－0.01x2＋0.2x＋1．②S＝(－0.01x2＋0.2x＋1)³10³250－10³200－x,即S＝－25x2＋499x＋500，整理得S=－25(x－9.98)2＋2990.01．∴当0≤x≤9．98时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多．例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．(注：宾馆客房是以整间出租的)(1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是元；(2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是；(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元．分析本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题．解：(1)18000(2)y=12-x2＋10x＋18000(3)当y＝17600时，－12x2＋10x＋400=0，即x2－20x－800＝0．解得x＝－20(舍去)或x＝40．180＋40＝220，所以这天每间客房的价格是220元．例19 （09²泰安）如图26－93(1)所示，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝＋m与x轴交于点E．(1)求点E的坐标；(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式．解：(1)如图26－93(2)所示，过A作AF⊥x轴于F，则OF =OA cos 60°=1，AF =OF tan 60°∴点A (1．代入直线解析式，得1＋mm， ∴y=x. 当y =0时，=0，解得x ＝4，∴点E (4，0)．(2)设过A ，O ，E 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， ∵抛物线过原点，∴c ＝0，∴1640,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y＝x 2x . 例20 如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1，2)．(1)求点B 的坐标；(2)求过点A ，O ，B 的抛物线的表达式．解：(1)如图26－95所示，过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，则AF ＝2，OF ＝1． ∵OA ⊥OB ，∴∠AOF ＋∠BOE ＝90°．又∵∠BOE ＋∠OBE ＝90°， ∴∠AOF ＝∠OBE ． ∴Rt △AFO ∽Rt △OEB ． ∴BE OE OBOF AF OA==＝2 ∴BE ＝2，OE ＝4． ∴B (4，2)．(2)设过点A (－1，2)，B (4，2)，O (0，0)的抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．则2,1642,0.a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得1,23,20.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求抛物线的表达式为y ＝12x 2－32x . 例21如图26－96所示，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式．解：(1)已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点， ∴01,200,b c c =++⎧⎨=++⎩解得3,2,b c =-⎧⎨=⎩∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋2．(2)∵A (1，0)，B (0，2)，∴OA ＝1，OB ＝2，可得旋转后C 点的坐标为(3，1)．当x ＝3时，由y =x 2－3x ＋2得y ＝2，可知抛物线y ＝x 2－3x ＋2过点(3，2)．∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C∴平移后的抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋1．例22 如图26－97所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D (m ，m ＋1)在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标．解：(1)∵抛物线y =ax 2＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，∴40,4 4.a b a a --=⎧⎨-=⎩解得1,3.a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4．(2)如图26－98所示，点D (m ，m ＋1)在抛物线上，∴m ＋1＝－m 2＋3m ＋4，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝－1或m ＝3．∵点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(3，4)．由(1)得B 点的坐标为(4，0)， ∴OC =OB ，∴∠CBA ＝45°．设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，∴∠ECB＝∠DCB＝45°，∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3．∴OE＝1，∴E(0，1)．即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．2011中考真题精选点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．2.（2011黑龙江牡丹江，18，3分）抛物线y=ax2+bx﹣3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）A、﹣2B、2C、15D、﹣15考点：二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值。

全国各地2012年中考数学分类解析(159套)专题9：一元二次方程

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题9：一元二次方程一、选择题1. （2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4>-；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C。

【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。

②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4>-。

故结论②正确。

③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。

∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m =x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。

令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。

∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。

综上所述，正确的结论有2个：②③。

故选C。

2. （2012广东佛山3分）用配方法解一元二次方程x2－2x－3=0时，方程变形正确的是【】 A．（x－1）2=2 B．（x－1）2=4 C．（x－1）2=1 D．（x－1）2=7【答案】B。

【考点】用配方法解一元二次方程。

【分析】由x2－2x－3=0移项得：x2－2x=3，两边都加上1得：x2－2x＋1=3＋1，即（x－1）2=4。

则用配方法解一元二次方程x 2－2x －3=0时，方程变形正确的是（x －1）2=4。

2012年中考数学一轮复习精品讲义一元二次方程人教新课标版

第二十二章一元二次方程本章小结小结1 本章概述本章的主要内容有三部分．第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。

一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试题中占有一定的比例.小结2 本章学习重难点【本章重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.【本章难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一元二次方程)来解决．会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二次方程根的判别式的应用.小结3 学法指导1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境——建立模型——应用”的模式.2．在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规范化地表达方程思想和方程知识的过程.3．通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.4．经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据具体问题检验解的合理性.5．学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关系，并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学思想在解决问题中的作用.知识网络结构图一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程解法（降次）直接开平方法因式分解法配方法公式法22240404b acb acb ac⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩步骤实际问题的答案专题总结及应用一、知识性专题专题1 一元二次方程的定义【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.例1 已知（m －1）x |m |+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.分析依题意可知m －1≠0与|m |+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可. 解：依题意得|m |+1＝2，即|m |＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1. 【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.专题2 一元二次方程的解法【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.例2 用配方法解一元二次方程2x 2+1＝3 x . 分析本题考查配方法解方程的步骤.解：移项，得2x 2－3 x ＝－1，二次项系数化为1，得231,22x x -=- 配方，得231().416x -=由此可得12311,1,.442x x x -=±∴==【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方.例3 一元二次方程3x 2－x ＝0的解是（） A.x ＝0 B.x 1＝0，x 2＝3 C. 1210,3x x ==D. 13x = 分析根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x (3x －1)＝0，易求出x ＝0或3x －1＝0，问题得解.故选C.【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程.例4 解方程x 2－2x －2＝0.分析结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解. 解法1：∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝（－2）2－4×1×（－2）＝12，∴x (2)12--±==1211x x ==解法2：移项，得x 2－2x ＝2，配方得x 2－2x +1＝3，即（x －1）2＝3，∴x －1＝1211x x ==【解题策略】一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法. 专题3 与方程的根有关的问题【专题解读】这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题.（1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？（2）一般地，对于关于x 的方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说，是否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.分析这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.（1）由上表可以发现：上述方程的两根之和等于方程的一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.（2）对方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说也具备同样的规律.设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，理由如下：∵p 2－4q ≥0，∴方程x 2+px +q ＝0有两个实数根，∴12x x ==∴x 1+x 22,2pp -==-x 1·x 222(4)444p p q qq --===，即x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .例6 若a 是关于x 的方程x 2+bx +a ＝0的根，且a ≠0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（） A.ab B.baC.a +bD.a －b 分析此题应由根的意义入手，将a 代入方程等得到关于a ，b 的一个方程，再通过因式分解进行求解.把x＝a代入方程x2+bx+a＝0，得a2+ab+a＝0，∴a(a+b+1)＝0，又∵a≠0，∴a+b+1＝0，即a+b＝－1.故选C.【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.专题4 一元二次方程的应用【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.例7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8050.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意列方程得 .分析本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用.因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则2006年投入资金是5786（1+x）万元，2007年的投入资金是5786（1+x）2万元，故所求方程为5786（1+x）2＝8058.9.【解题策略】有关增长率问题的常用公式为a（1+x）n＝b（n为正整数）.二、规律方法专题专题5 一元二次方程的解法技巧【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.1.换元法例8 如果（2m+2n+1）（2m+2n－1）＝63，那么m+n的值是 .分析把m+n看做一个整体求解.设m+n＝x，则原方程化为（2x+1）（2x－1）＝63，整理，得4x2＝64，解得x＝±4，∴m+n＝±4.故填±4.例9 解方程（3x+2）2－8（3x+2）+15＝0.分析此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把3x+2看做一个整体，设为t，则原方程就可化成关于未知数t的一元二次方程.解：设3x+2＝t，原方程化为t2－8t+15＝0，∴t1＝3，t2＝5.当t＝3时，3x+2＝3，∴x＝13；当t＝5时，3x+2＝5，∴x＝1.∴原方程的根为x1＝13，x2＝1.【解题策略】本题也可直接分解为[(3x+2)－3][ (3x+2)－5]＝0，即（3x－1）（3x－3）＝0，用因式分解法解得x1＝13，x2＝1.例10 解方程（x+2）（x+3）（x－4）（x－5）＝44.分析解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程.本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为0）.解：原方程转化为（x+2）（x+3）（x－4）（x－5）－44＝0，[（x+2）（x－4）][ （x+3）（x－5）] －44＝0，（x2－2x－8）（x2－2x－15）－44＝0，令x2－2x＝y，则原方程化为（y－8）（y－15）－44＝0，∴y2－23y+76＝0，∴y1＝4，y2＝19.当y ＝4时，x 2－2x ＝4，∴1211x x ==当y ＝19时，x 2－2x ＝19，∴3411x x =+=-∴原方程的根是1211x x ==3411x x =+=-2.配方法例11 先用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0；再求出当x 取何值时，代数式x 2－6x +10的值最小，最小值是多少.解：x 2－6x +10＝x 2－6x +32+（10－32）＝（x －3）2+1.∵（x －3）2≥0，∴（x －3）2+1＞0，∴无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0.当x －3＝0，即x ＝3时，(x 2－6x +10)最小＝1.例12 若实数m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn +p 2+16＝0，则m +n +p 的值为（） A.－1 B. 0 C.1 D.2分析本题有三个未知数m ，n ，p 给出两个关系式，思路应放在消元转化上.由m －n＝8，得m ＝n +8，将m ＝n +8代入mn +p 2+16＝0中，得n (n －8)+p 2+16＝0，∴n 2+8n +16+p 2＝0，即（n +4）2+p 2＝0，又∵（n +4）2≥0，p 2≥0，且（n +4）2+p 2＝0，∴400,n p +=⎧⎨=⎩，4,4(4)00.0,n m n p p =-⎧∴++=+-+=⎨=⎩解得故选B.3.构造法例13 解方程3x 2+11x +10＝0.解：原方程两边同时乘3，得(3x )2+11×3x +30=0， ∴（3x +5）(3x +6)=0, ∴3x +5=0,或3x +6=0， ∴125, 2.3x x =-=-4.特殊解法例14 解方程（x －1994）（x －1995）=1996×1997.分析观察方程可知1994+1997=1995+1996，1994－1996=1995－1997，并且一元二次方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解.解：方程组19941997,19951996x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x =3991，方程组19941996,19951997x x -=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x =－2，∵原方程最多只有两个实数解，∴原方程的解为x1=3991，x2=－2.【解题策略】解本题也可采用换元法.设x－1995=t，则x－1994=t+1，原方程化为t（t+1）=1996×1997，∴t2+t－1996×1997=0，∴（t+1997）（t－1996）=0，∴t+1997=0,或t－1996=0，∴t1=－1997，t2=1996.当t=－1997时，x－1995=－1997，∴x=－2；当t=1996时，x－1995=1996,∴x=3991.∴原方程的解为x1=－2，x2=3991.三、思想方法专题专题6 建模思想【专题解读】建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.例15 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 .分析根据题意，设所求百分率为x，则有50（1－x）2=40.5，解得x1=1.9，x2=0.1，而1.9＞1，不合题意，舍去，故x=0.1.故平均每年下降的百分率是10%.故填10%.【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义.在建立方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系.2011中考真题精选一、选择题1.（2011新疆乌鲁木齐，8，4）关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（）A、－1B、0C、1D、－1或1考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。

中考数学专题复习：一元二次方程

中考数学专题复习：一元二次方程一、选择题1.下列方程是一元二次方程的是()=4 D.x2-2=0A.x+2y=1B.x+y2C.3x+1x2.若一元二次方程x2-(b-4)x+9=0的一次项系数为2，则b的值为()A.2B.4C.-2D.63.用配方法解方程x2-4x-7=0，可变形为()A.(x+2)2=3B.(x+2)2=11C.(x-2)2=11D.(x-2)2=34.一元二次方程x2+2x-3=0的根是()A.x1=1，x2=-3B.x1=-1，x2=-3C.x1=-1，x2=3D.x1=1，x2=35.若x=2是关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解，则2021+2a-b的值是()A.2016B.2018C.2019D.2022x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是()6.下列用配方法解方程12图1A.①B.①C.①D.①7.关于x的一元二次方程(2-a)x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为()A.2B.0C.2或-2D.-28.生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是()A.x(x+1)=182B.x(x-1)=182C.x(x+1)=182×2D.x(x-1)=182×29.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根，则下列说法正确的是()A.1一定不是方程x2+bx+a=0的根B.0一定不是方程x2+bx+a=0的根C.1和-1不都是方程x2+bx+a=0的根D.1和-1都是方程x2+bx+a=0的根10.已知关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为()A.2B.0C.1D.2或011.已知关于x的方程(k-3)x2-4x+2=0有实数根，则k的取值范围是()A.k ≤ 5B.k<5且k≠3C.k ≤ 5且k≠3D.k ≥512.已知方程x2+3x-4=0的解是x1=1，x2=-4，则方程(2x+3)2+3(2x+3)-4=0的解是()A.x1=-1，x2=-3.5B.x1=1，x2=-3.5C.x1=1，x2=3.5D.x1=-1，x2=3.513.已知1是关于x的一元二次方程x2-kx+4=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则①ABC的周长是()A.6或9B.6C.9D.5或914.若关于x的一元二次方程x2-3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2-ab+b2=18，则ab +ba的值是()A.3B.-3C.5D.-515.某市发出生活垃圾分类的号召后，实现生活垃圾分类的社区由今年第一季度的1250个迅速增加到第三季度的1800个，照此速度增加，今年第四季度实现生活垃圾分类的社区可以达到()A.2140个B.2160个C.2180个D.2200个16.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列说法：①若a+b+c=0，则b2-4ac>0；①若方程的两根为-1和2，则2a+c=0；①若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根；①若b=2a+c，则方程有两个不相等的实数根.其中正确的有()A.①①①B.①①①C.①①①D.①①①①二、填空题17.一元二次方程2x(x+3)=x的解是________.18.若关于x的方程x2-mx+2m=0有两个相等的实数根，则(1)m的值为________；(2)代数式2m2-16m+5的值为________.19.一款衬衫每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定降价销售，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么平均每天可多售出2件.(1)设每件衬衫降价x元，则每天可售出________件；(用含x的代数式表示)(2)每件衬衫降价________元时，平均每天盈利1200元.三、解答题20.用适当的方法解下列方程.(1)x2-6x+2=0；(2)3x(x-1)=2-2x.21.已知关于x的方程x2+2(2-k)x+3-6k=0.(1)若x=1是此方程的一根，求k的值及方程的另一根；(2)试说明无论k取何值，此方程总有实数根.22.已知关于x的一元二次方程(c+a)x2+2bx+(c-a)=0，其中a，b，c分别是①ABC三边的长.(1)如果x=-1是此方程的根，试判断①ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断①ABC的形状，并说明理由；(3)已知a①b①c=3①4①5，求该一元二次方程的根.23.阅读下列内容，并回答问题：n(n-3).如果一个n边形共有20条对角线，那么我们知道，计算n边形的对角线条数公式为12n(n-3)=20.整理得n2-3n-40=0，解得n=8或n=-5.∵n为大于等于3的整数，∵n=-5可以得到方程12不合题意，舍去，∵n=8，即该多边形是八边形.根据以上内容，回答问题：(1)若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；(2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为A同学的说法正确吗?为什么?24.如图2，在直角墙角AOB(OA①OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙(即AC+BC=20 m)，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96 m2.(1)求该地面矩形的长；(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖，单价分别为50元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，则用哪一种规格的地板砖费用较少?图225.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元/件销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销量，决定降价销售，根据市场调查发现，该T恤的单价每降低1元/件，每个月可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元/件，设第二个月单价降低x元/件.(1)填表(不需要化简)：时间第一个月第二个月清仓时单价(元/件)8040销售量(件)200(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应为多少?26.如图3所示，在①ABC中，①B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm.点P从点A开始沿AB边向点B 以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.【思考】如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒，①PBQ的面积等于8 cm2?【探究】如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将①ABC分成面积相等的两部分?若能，求出运动时间；若不能，说明理由.【拓展】若点P沿射线AB方向从点A出发，以1 cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发，以2 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发，则经过几秒，①PBQ的面积为1 cm2?图3参考答案1.D[解析]x+2y=1是二元一次方程，不符合题意；x+y2不是方程，不符合题意；3x+1x=4是分式方程，不符合题意；x2-2=0是一元二次方程，符合题意.2.A[解析]∵一元二次方程x2-(b-4)x+9=0的一次项系数为2，∵-(b-4)=2，解得b=2.3.C[解析]∵x2-4x-7=0，∵x2-4x+4=11，∵(x-2)2=11.4.A[解析]∵b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0，∵x=-2±√162×1=-2±42，∵x1=1，x2=-3.5.C[解析]∵x=2是关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解，∵a×22-2b+4=0，化简，得2a-b=-2，∵2021+2a-b=2021+(2a-b)=2021+(-2)=2019.6.D[解析]解方程12x2-x-2=0，去分母，得x2-2x-4=0，即x2-2x=4.配方，得x2-2x+1=5，即(x-1)2=5.开方，得x-1=±√5，解得x=1±√5，则四个步骤中出现错误的是①.故选D.7.D[解析]∵(2-a)x2+x+a2-4=0是关于x的一元二次方程，∵2-a≠0，即a≠2.把x=0代入(2-a)x2+x+a2-4=0，可得a2-4=0，解得a=±2.综上，a=-2.8.B9.C[解析]∵关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根，∵，∵b=a+1，b=-(a+1).当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x2+bx+a=0的根；当b=-(a+1)时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根.∵a+1≠0，∵a+1≠-(a+1)，∵1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根.故选C.10.B[解析]设方程的两根为x1，x2，根据题意，得x1+x2=0，所以a2-2a=0，解得a=0或a=2，当a=2时，方程化为x2+1=0，b2-4ac=-4<0，故a=2舍去，所以a的值为0.11.A[解析]当k-3=0，即k=3时，方程化为-4x+2=0，解得x=12；当k-3≠0时，b2-4ac=(-4)2-4(k-3)×2≥0，解得k≤5且k≠3.综上所述，k的取值范围为k≤5.12.A[解析]把方程(2x+3)2+3(2x+3)-4=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=-4，所以x1=-1，x2=-3.5.故选A.13.C[解析]将x=1代入方程，得1-k+4=0，解得k=5.则方程为x2-5x+4=0，解得x=1或x=4.当三角形的三边长为1，1，4时，1+1<4，不能构成三角形，舍去；当三角形的三边长为4，4，1时，1+4>4，能构成三角形，则三角形的周长为1+4+4=9.14.D[解析]∵a，b为方程x2-3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根，∵a+b=3，ab=p.∵a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=32-3p=18，∵p=-3.当p=-3时，b2-4ac=(-3)2-4p=9+12=21>0，∵p=-3符合题意.∵a b +ba=(a+b)2-2abab=(a+b)2ab-2=32-3-2=-5.故选D.15.B[解析]设平均每个季度的增长率为x，则1250(1+x)2=1800，∵1+x=±1.2，∵x1=0.2=20%，x2=-2.2(舍去)，∵第四季度实现生活垃圾分类的社区可以达到1800×(1+20%)=2160(个)，故选B.16.C[解析]①当x=1时，有a+b+c=0，即方程有实数根，∵b2-4ac≥0，故错误；①把x=-1代入方程，得a-b+c=0.……A，把x=2代入方程，得4a+2b+c=0.……B，2×A+B，得6a+3c=0，即2a+c=0，故正确；①方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则-4ac>0，∵b2-4ac>0，∵方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，故正确；①若b=2a+c，则b2-4ac=(2a+c)2-4ac=4a2+c2.∵a≠0，∵4a2+c2>0，∵方程有两个不相等的实数根，故正确.①①①都正确.17.x1=0，x2=-2.5[解析]方程2x(x+3)=x移项，得2x(x+3)-x=0，分解因式，得x[2(x+3)-1]=0，即x(2x+5)=0，∵x=0或2x+5=0，∵x1=0，x2=-2.5.18.(1)0或8(2)5[解析](1)∵关于x的方程x2-mx+2m=0有两个相等的实数根，∵b2-4ac=(-m)2-8m=m2-8m=m(m-8)=0，解得m=0或8.(2)∵m2-8m=0，∵2m2-16m+5=2(m2-8m)+5=5.19.(1)(20+2x)(2)20[解析](1)设每件衬衫降价x元时，每天可售出(20+2x)件，每件盈利(40-x)元.(2)根据题意，得(20+2x)·(40-x)=1200，解得x1=20，x2=10.因为为了扩大销售量，增加利润，所以x=20.20.解：(1)移项，得x2-6x=-2.配方，得x2-6x+9=-2+9，即(x-3)2=7.开方，得x-3=±√7.∵x 1=3+√7，x 2=3-√7. (2)移项，得3x (x -1)+2x -2=0. 3x (x -1)+2(x -1)=0，因式分解，得(x -1)(3x +2)=0，即x -1=0或3x +2=0. ∵x 1=1，x 2=-23.21.解：(1)把x =1代入方程，得1+2(2-k )+3-6k =0，解得k =1. 故方程为x 2+2x -3=0.设方程的另一个根是x 2，则1·x 2=-3，解得x 2=-3. 故k 的值为1，方程的另一根为x =-3. (2)∵关于x 的方程x 2+2(2-k )x +3-6k =0中， b 2-4ac =4(2-k )2-4(3-6k )=4(k +1)2≥0， ∵无论k 取何值，此方程总有实数根.22.解：(1)①ABC 是等腰三角形.理由：把x =-1代入方程，得c +a -2b +c -a =0，则c =b ， ∵①ABC 是等腰三角形.(2)①ABC 是直角三角形.理由：根据题意，得(2b )2-4(c +a )(c -a )=0，即a 2+b 2=c 2， ∵①ABC 是直角三角形. (3)∵a ①b ①c =3①4①5， ∵设a =3t ，b =4t ，c =5t (t ≠0)，则原方程可变为4x 2+4x +1=0，解得x 1=x 2=-12.23.解：(1)根据题意，得12n (n -3)=14. 整理，得n 2-3n -28=0，解得n =7或n =-4.∵n 为大于等于3的整数，∵n =-4不合题意，舍去， ∵n =7，即这个多边形的边数是7. (2)A 同学的说法不正确.理由如下：当12n (n -3)=10时，整理，得n 2-3n -20=0，解得n =3±√892.∵符合方程n 2-3n -20=0的正整数n 不存在，∵一个多边形不可能有10条对角线.24.解：(1)设AC=x m，则BC=(20-x)m.由题意，得x(20-x)=96，即x2-20x+96=0，∵(x-12)(x-8)=0，解得x1=12，x2=8.当AC=12m时，BC=8m，AC为矩形的长，此时矩形的长为12m.当AC=8m时，BC=12m，BC为矩形的长，此时矩形的长为12m.答：该地面矩形的长为12m.(2)①若选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖，则12 0.8×80.8=15×10=150(块)，150×50=7500(元)；①若选用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖，则12 1×81=96(块)，96×80=7680(元).∵7500<7680，∵选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖费用较少.25.[解析](1)第二个月的单价=第一个月的单价-降低的价格，销售量=200+10×降低的单价；清仓时的销售量=800-第一个月的销售量-第二个月的销售量.(2)等量关系为总售价-总进价=9000元.把相关数值代入计算即可.解：(1)填表如下.时间第一个月第二个月清仓时单价(元/件)8080-x40销售量(件)200200+10x800-200-(200+10x)(2)80×200+(80-x)(200+10x)+40×[800-200-(200+10x)]-800×50=9000，即x2-20x+100=0，解得x1=x2=10.当x=10时，80-x=80-10=70.答：第二个月的单价应为70元/件.[点评]本题考查一元二次方程的应用.用列表格的方法得到第二个月的单价和销售量以及清仓时的销售量是解决本题的突破点，得到总利润的等量关系是解决本题的关键.26.解：【思考】设经过x s，①PBQ的面积等于8cm2，依题意，得1(6-x)·2x=8，解得x1=2，x2=4.2经检验，x1，x2均符合题意.答：经过2s或4s，①PBQ的面积等于8cm2.【探究】不能.理由：假设经过y s，线段PQ能将①ABC分成面积相等的两部分.×6×8=24(cm2)，∵S①ABC=12∵1(6-y)·2y=12.2整理，得y2-6y+12=0.∵b2-4ac=36-4×12=-12<0，∵此方程无实数根，∵线段PQ不能将①ABC分成面积相等的两部分.【拓展】①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，设运动时间为m s，此时0<m<4.(6-m)(8-2m)=1，依题意，得12即m2-10m+23=0.解得m1=5+√2，m2=5-√2.经检验，m1=5+√2不符合题意，舍去，∵m=5-√2.①当点P在线段AB上，点Q在射线CB上时，设运动时间为n s，此时4<n<6.(6-n)(2n-8)=1，依题意，得12即n2-10n+25=0，解得n1=n2=5.经检验，n=5符合题意.①当点P在射线AB上，点Q在射线CB上时，设运动时间为k s，此时k>6.(k-6)(2k-8)=1，依题意，得12即k2-10k+23=0，解得k1=5+√2，k2=5-√2.经检验，k2=5-√2不符合题意，舍去，∵k=5+√2.综上所述，经过(5-√2)s或5s或(5+√2)s，①PBQ的面积为1cm2.。

中考数学复习：专题2-16 一元二次方程考点新体现

专题16 一元二次方程考点新体现【专题综述】一元二次方程是初中数学重要的内容，对一元二次方程的考查，新课标降低了计算上的难度，但增加了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.下面就其常见的如下考点，【方法解读】一、开放性问题例1 请你写出一个有一根为1的一元二次方程：__________．【举一反三】（2000年全国竞赛题）已知关于x 的方程 (a-1) 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个.二、新定义题定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）.A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c == 【举一反三】在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24x =的解．三、阅读理解题阅读材料：设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：1x +2x ＝－b a ，1x ⋅2x ＝c a.根据该材料填空：已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实，则21x x +12x x 的值为．【举一反三】阅读材料,理解应用:（江苏省镇江市新区）已知方程x 2+x ﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则y =2x ，所以x =y 2．把x =y 2代入已知方程，得（y 2）2+y 2﹣1=0．化简，得：y2+2y﹣4=0．这种利用方程根的代替求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）；（1）已知方程x2+x﹣2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【强化训练】1.（2000年黑龙江中考题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程m-4x+4=0与-4mx+4-4m-5=0的根都是整数。

2012中考数学复习(12)：一元二次方程根的判别式

中考数学复习十二：一元二次方程根的判别式知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。

精典例题：【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。

分析：用判别式△列出方程或不等式解题。

答案：（1）43-=m ；（2）43-<m ；（3）43->m 【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。

分析：列出△的代数式，证其恒大于零。

【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。

略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥25- ∴当m ≥25-且2±≠m 时，方程有实根。

综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。

探索与创新：【问题一】已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

略解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+≥--=∆≠01204)12(022122k k x x k k k 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≠214102k k k∴不存在。

【问题二】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。

(原创,共页)江苏省2012年中考数学深度复习讲义(教案+中考真题+模拟试题+单元测试)：一元二次方程

（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）一元二次方程◆知识讲解1．一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数，a ≠0） 2．一元二次方程的解法（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．一元二次方程的求根公式是x=2b a-（b 2－4ac ≥0）．3．二元三项式ax 2+bx+c=a （x －x 1）（x －x 2）．其中x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0•的两个实数根．4．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2－4ac ．当△>0时，•方程有两个不相等的实数根x 1x 2；当△=0时，方程有两个相等实数根x 1=x 2=－2ba；当△<0时，方程没有实数根． 5．若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2=－b a ，x 1x 2=c a． 6．以x 1，x 2为根的一元二次方程可写成x 2－（x 1+x 2）x+x 1x 2=0．7．使用一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2－4ac •解题的前提是二次项系数a ≠0．8．若x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两根，则ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0．反之，若ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0，且x 1≠x 2，则x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根．9．一元二次方程的应用列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．◆例题解析例1 （2011安徽芜湖，20，8分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（217x +）cm ，正六边形的边长为（22x x +）cm (0)x >其中.求这两段铁丝的总长.【答案】解: 由已知得，正五边形周长为5（217x +）cm ，正六边形周长为6（22x x +）cm.…2分因为正五边形和正六边形的周长相等，所以22517=2x x x ++（）6（）. ………………3分整理得212850x x +-=, 配方得2+6=121x （），解得12=5=x x ，-17(舍去).………6分故正五边形的周长为25517=⨯+（）210(cm). …………………………………………7分又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.答：这两段铁丝的总长为420cm. ……………………………………………8分例2已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程： x 2－1=0 （1） x 2+x －2=0 （2） x 2+2x －3=0 （3） ……x 2+（n －1）x －n=0 （n ）（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n ）；（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【分析】由具体到一般进行探究．【解答】（1）<1>（x+1）（x －1）=0，所以x 1=－1，x 2=1． <2>（x+2）（x －1）=0，所以x 1=－2，x 2=1． <3>（x+3）（x －1）=0，所以x 1=－3，x 2=1． ……<n>（x+n）（x－1）=0，所以x1=－n，x2=1．（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等．【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．例3张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，•他将此矩形铁片的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱．且此长方体运输箱底面的长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？【分析】首先化无形为有形，画出示意图，分清底面、侧面，底面的长与宽和长方体的高各用什么数或式子表示，然后利用体积相等列出方程求解．【解答】设这种运输箱底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意，有x（x+2）×1=15化简，得x2+2x－15=0．∴x1=－5（舍去）x2=2．所求铁皮的面积为：（3+2）（5+2）m2=35m2．所购矩形铁皮所需金额为：35×20元=700元．答：张大频购回这张矩形铁皮花了700元钱．【点评】画出示意图是解题的关键．另外本题所采用的是间接设未知数的方法．若直接设出购买铁皮所需金额就困难了．2011年真题一、选择题1. （2011湖北鄂州，11，3分）下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上正确命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C2. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2 【答案】B3. （2011福建福州，7，4分）一元二次方程(2)0x x -=根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根【答案】A4. （2011山东滨州，3，3分）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( ) A. ()22891256x -= B. ()22561289x -= C. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 【答案】A5. （2011山东威海，9，3分）关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（）A ．0B ．8C ．4D ．0或8【答案】D6. （2011四川南充市，6，3分）方程(x +1)(x －2)=x +1的解是（）（A ）2 （B ）3 （C ）－1，2 （D ）－1，3 【答案】D7. （2011浙江省嘉兴，2，4分）一元二次方程0)1(=-x x 的解是（）（A ）0=x（B ）1=x（C ）0=x 或1=x（D ）0=x 或1-=x【答案】C8. （2011台湾台北，20）若一元二次方程式)2)(1()1(＋＋＋＋x x x ax bx ＋ 2)2(＝＋x 的两根为0、2，则b a 43＋之值为何？A ．2B ．5C ．7D ． 8【答案】B9. （2011台湾台北，31）如图(十三)，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形。

2012年全国中考数学试题汇编---一元二次方程

2012年全国中考数学试题汇编-------一元二次方程一、选择题1. （2012·荆州）用配方法解关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是【】 A ．（x ﹣1）2=4 B ．（x +1）2=4 C ．（x ﹣1）2=16 D ．（x +1）2=162.（2012·南充）方程x （x -2）+x -2=0的解是【】（A ）2 （B ）-2,1 （C ）－1 （D ）2,－13. （2012·常德）若一元二次方程2x 2x m 0++=有实数解，则m 的取值范围是【】A . m 1≤-B . m 1≤C . m 4≤D .m 12≤4. （2012·广安）已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x +l=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是【】A ．a ＞2B ．a ＜2C ．a ＜2且a ≠lD ．a ＜﹣25. （2012·株洲）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为【】A ．b =﹣1，c =2B ．b =1，c =﹣2C ．b =1，c =2D ．b =﹣1，c =﹣26. （2012·天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x +a =0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为【】A ．3B ．﹣3C ．13D ．﹣137. （2012·日照）已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x 2＋(2k ＋1)x ＋1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【】 (A ) k >34且k ≠2 (B )k ≥34且k ≠2 (C ) k >43且k ≠2 (D )k ≥43且k ≠2 8. （2012·襄阳）如果关于x的一元二次方程2kx 10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【】A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．﹣12≤k ＜12D ．﹣12≤k ＜12且k ≠09. （2012·东营）方程()21k 1x =04-有两个实数根，则k 的取值范围是【】．A ． k ≥1B ． k ≤1C ． k >1D ． k <110. （2012·包头）关于x 的一元二次方程()2x mx+5m 5=0--的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是【】A .2B . 6C . 2或6D . 7 二、填空题1. （2012·滨州）方程x （x ﹣2）=x 的根是．2. （2012·资阳）关于x 的一元二次方程2kx x+1=0-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．3. （2012·北京）若关于x 的方程2x 2x m=0--有两个相等的实数根，则m 的值是．4. （2012·岳阳）若关于x 的一元二次方程kx 2+2（k +1）x +k ﹣1=0有两个实数根，则k 的取值范围是．5. （2012·德州）若关于x 的方程ax 2＋2（a ＋2）x ＋a =0有实数解，那么实数a 的取值范围是．6. （2012·张家界）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则11+m n= ． 7. （2012·日照）已知x 1、x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，那么2112x x x x +的值为 . 8. （2012·南通）若m 、n 是一元二次方程x 2+3x -7＝0的两根，则m 2＋4m+n 的值是 9. （2012·鄂州）设x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，且21222x (x 6x 3)a 4+-+=，则a = .10. （2012·随州）设242a 2a 10b 2b 10+-=--=，，且1－ab 2≠0，则522ab +b 3a+1a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭= 。

中考数学复习指导：例析一元二次方程问题解题策略

例析一元二次方程问题解题策略我们知道，对一个问题进行局部改变，老问题将形成新问题.在解决新问题和老问题中，我们考究其因，思索其法，追寻其果，可以明晰新、老问题的区别与联系，识别问题的本质.下面举一例说明.一、交点法——缘于系数明确问题已知关于x 的一元二次方程2680x x -+=的两个实根分别是1x 、2x ，则以11x 、21x 为两根的一元二次方程是 . 分析本题中一元二次方程的系数都是实常数，因此易求两根，则两根倒数可求，这样便能够求出相应的一元二次方程.这种情况下的两根即为该方程对应的二次函数与x 轴交点的横坐标，我们称这种方法为“交点法”.解 2680x x -+=,即(2)(4)0x x --=,故有12x =，24x =, 1112x ∴=，2114x =, 11()()024x x ∴--=, 化简，得28610x x -+=. 所以，以11x 、21x 为两根的一元二次方程是28610x x -+=. 二、韦达定理法—缘于有效通用拓展1 已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=(0)ac ≠的两个实根分别是1x 、2x ，试求出以11x 、21x 为两根的一元二次方程. 分析如果通过“求原方程的两根——两根相应倒数——建构满足题意的方程”的途径来求解，显然比较繁琐.联想到待求方程与原方程的两根分别互为倒数，因此可以尝试用韦达定理来寻找相应的系数之间的关系.我们称这种解法为“韦达定理法”.解由题意，得1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩g , 而12121211x x b x x x x c++==-, 1212111a x x x x c==g , 所以，以11x 、21x 为两根的一元二次方程是20cx bx a -+=. 拓展2 条件同拓展1，求出以15x 、25x 为两根的一元二次方程. 解由题意，得1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩g , 而12125555()b x x x x a+=+=-, 1212255525c x x x x a==g g , 所以，以15x 、25x 为两根的一元二次方程是25250ax bx c ++=.三、换元法—缘于模式一致回顾拓展1与拓展2的解题思路，我们发现它们其实是同一种方法.我们能否从中窥探出什么门道?细细思考，其实待求方程的两根与原方程的两根具有模式一致性，即要么分别为原方程两根的倒数，要么分别为原方程两根的5倍.若设待求方程的根为'x ，则上述两个问题中分别有1'x x =和'5x x =.既然如此，只需要分别设1'x x=和'5x x =，然后用'x 表示x ，再代入原方程即可求出满足题意的方程.我们称这种解法为换元法.现选择拓展2进行示范.设'5x x =，则'5x x =，代入原方程，得2''()()055x x a b c ++=, 化简，得2'5'250ax bx c ++=.由于用x 或'x 表示元并不影响方程的解，上述方程也可表示为:25250ax bx c ++=.所以，以15x 、25x 为两根的一元二次方程是25250ax bx c ++=.拓展3 条件同拓展1，求出以21x 、22x ，为两根的一元二次方程.分析设2'x x =，则x ='，那么问题来了:这里的x 取正号还是负号?我们能否避免符号的取舍?为此，我们可对原方程20ax bx c ++=等价变形为2ax c bx +=-，两边平方我们能够得到一个只含有2x 形式的方程，此时矛盾化解，从而问题获得解决.解由方程20ax bx c ++=,得2ax c bx +=-, 222()()ax c bx ∴+=-,2222222()2a x acx c b x ∴++=.设2'x x =，则2222'2''a x acx c b x ++=,即2222'(2)'0a x ac b x c +-+=,把'x 换为x ，得 2222(2)0a x ac b x c +-+=.所以，以21x 、22x 是为两根的一元二次方程2222(2)0a x ac b x c +-+=.使用换元法是否比上述韦达定理法的问题解决更简洁一些，读者可自己尝试解决下列问题.问题条件同拓展1，请求出12x +，22x +为两根的一元二次方程.(解答过程略)四、多法协同——缘于题构特征上述换元法是否能够顺利解决待求方程与已知方程之间的根具备一定关系(比如和、差、积、商或混合运算关系)的问题?事实上，换元法未必有那么大的功能.拓展4 条件同拓展1，求出以12x x +，12x x 为两根的一元二次方程.分析待求方程的两根与原方程两根难以用换元来解决，我们回到交点法与韦达定理法进行尝试.解由题意，得1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩g , 故待求方程的两根分别为1'b x a =-，2'c x a=, 所以，待求方程为(')(')0b c x x a a+-=, 化简，得22'()'0a x a b c x bc +--=.把'x 换为x ，得22()0a x a b c x bc +--=,所以，以12x x +，12x x 是为两根的一元二次方程22()0a x a b c x bc +--=.五、解法反思在原问题易求方程根的情况下，适宜采取交点法(当然也可以用韦达定理法);拓展1～拓展3可用韦达定理法或换元法轻松解决，而拓展4不便用换元法解决，其根本原因是:拓展1～拓展3都具备模式一致性，而拓展4则不具备模式一致性.这也说明了韦达定理法是通法，而交点法和换元法是特法.因此，在数学学习中，我们要做到对问题的表征模式明察秋毫，仔细甄别，再施以合理有效的策略，进而顺利解决问题.。

2012年中考数学一元二次方程文选

2012年中考数学一轮复习考点9：一元二次方程考点1 一元二次方程的定义相关知识：形如)0(02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程，其中a b c 、、分别为二次项系数、一次项系数、常数项。

相关试题1．（2011甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是A ．2210x x +=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --= 【答案】C考点2 一元二次方程的解法相关知识：一元二次方程一般四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

相关试题1. （2011安徽，8，4分）一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（） A ．－1 B ．2 C ．1和2 D ．－1和2 【答案】D2. （2011浙江省舟山，2，3分）一元二次方程0)1(=-x x 的解是（）（A ）0=x（B ）1=x（C ）0=x 或1=x（D ）0=x 或1-=x【答案】C3. （2011四川南充市，6，3分）方程(x+1)(x －2)=x+1的解是（）（A ）2 （B ）3 （C ）－1，2 （D ）－1，3 【答案】D4. （2011江苏泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x 的根是A ．x=2B ．x=0C ．x1=0, x2=2D ．x1=0, x2=－2 【答案】C5. （2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为A ．2(1)6x += B ．2(2)9x += C ．2(1)6x -= D ．2(2)9x -= 【答案】C6. （2011台湾全区，31）关于方程式95)2(882=-x 的两根，下列判断何者正确？ A ．一根小于1，另一根大于3 B ．一根小于－2，另一根大于2C ．两根都小于0D ．两根都大于2 【答案】A7. （2011江苏淮安，13，3分）一元二次方程x2－4=0的解是 . 【答案】±28．（2011山东泰安，21 ，3分）方程2x2+5x －3=0的解是。

2012版中考数学精品课件(含10-11真题)第8讲一元二次方程(51张)

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3.在复习本讲时,应注意转化思想的运用,还应注意配方法在解题中的作用,它是利用配方法解方程和推导求根公式的基础.
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【例2】(2011·南京中考)解方程：x2-4x+1=0. 【思路点拨】此题可用配方法，也可用公式法，但不能用因式分解法，解题时要注意步骤. 【自主解答】方法一：配方法，移项，得x2-4x=-1. 配方，得x2-4x+4=-1+4, (x-2)2=3. 由此可得
值为_____.
【解析】将x=2代入方程，得4-2-a2+5=0,
解得
a 7.
答案： 7
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3.(2011·株洲中考)孔明同学在解一元二次方程x2-3x+c=0时，正确解得
x1=1,x2=2,则c的值为_____. 【解析】把x=1代入x2-3x+c=0中，得1-3+c=0,所以c＝2.
=1+8+4=13.
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2.(2010·綦江中考)用配方法解方程：x2－2x－1＝0. 【解析】移项，得x2－2x＝1，配方，得x2-2x+1=2，即(x-1)2=2，∴ x 1 2， x1 1 2，x2 1 2.
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一元二次方程的有关概念

初中数学试讲教案《一元二次方程复习》

初中数学试讲教案《一元二次方程复习》只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。

下面，小编为大家分享初中数学试讲教案《一元二次方程复习》，希望对大家有所帮助!试讲人：XXX知识点：二元一次方程的概念及一般形式，二次项系数、一次项系数、常数项、判别式、一元二次方程解法重点、难点：二元一次方程四种解法，直接开平方、配方法、公式法、因式分解法教学形式：例题演示，加深印象!学完即用，巩固记忆!你问我答，有来有往!1、自我介绍：30s大家下午好!我叫XXX，20XX年毕业于暨南大学，学的行政管理，现在教的是初中数学，希望能与大家有一个愉快的下午!2、一元二次方程概念、系数、根的判别式：8min30s我们今天的课堂内容是复习一元二次方程。

首先请同学们看黑板上的这4个等式，请判断等式是否是一元二次方程，如果是请说出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数以及常数项：(1)x -10x+9=0 是 1 -10 9(2)x +2=0 是 1 0 2(3)ax +bx+c=0 不是 a必须不等于0(追问为什么)(4)3x -5x=3x 不是整理式子得-5x=0所以为一元一次方程(追问为什么) 好，同学们都回答得非常好!那么我们所说的`一元二次方程究竟是什么呢?我们从它的名字可以得出它的定义!一元：只含一个未知数二次：含未知数项的最高次数为2方程：一个等式一元二次方程的一般形式为：ax +bx+c=0 (a ≠0)其中，a 为二次项系数、b 为一次项系数、c 为常数项。

记住，a 一定不为0,b 、c 都有可能等于0，一元二次方程的形式多种多样，所以大家要注意找系数时先将一元二次方程化为一般式! 至于一个一元二次方程有没有根怎么判断，有同学能告诉老师吗?(没有就自己讲)，好非常好!我们知道Δ是等于2-4ac 的，当Δ>0时，方程有2个不相同的实数根;当Δ=0时，方程有两个相同的实数根;当Δ<0时，方程无实根。