一个正态总体参数的假设检验复习

代入样本值计算统计量的值
(41.25 40) 25
U
3.125 >1.645
2
拒绝H0,接受H1,即在水平α= 0.05下,认为革新后的质 量有显著提高.
3、方差σ2已知时，在水平α下检验假设
H0 := 0 H1 : < 0 哪一个成立
__
取U ( X 0 ) n 作为检验统计量
对给定的水平α，求临界点Zα使 -Zα
§2 一个正态总体参数的假设检验
设X
~
N (, 2 ) ，（X1
,
X2
,
,
X
）是其
n
样本.
一、方差σ2已知时，对均值μ的假设检验
二、方差σ2未知时，对均值μ的假设检验
三、方差σ2的假设检验
复习： 置信区间
2已知,估计 用U X ~ N(0,1)
/ n
2未知,估计 用 T X ~ t(n 1).
,
2
n
)
___
取 U ( X 0 ) n ~ N (0,1) 作为检验统计量。
注：寻求一个含有μ(当H0为真时，不含任何未知参数)且 分布已知的检验统计量U.
对给定的检验水平α，由 标准正态分布上α分位点的定 义可知：
H0的 拒绝域
Z
2
Z
2
由于α很小，故事件 “U Z ” 是小概率事件。
2
s
129
0.44 t 9 2.262
2
在水平=0.05下, 接受H0.
即认为该工厂生产的灯泡寿命为 = 1600小时.
三、方差σ2的假设检验
假设的提法
(1)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
(2)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
(3)H0
: 2
2 0
,
H1
:
2
2 0
f ( y)
第一种类型的假设检验 称为双边检验，第二、 三种类型的检验称为单 边检验。
解: 此题为在水平 =0.05下检验假设 H0 : = 0=1600 是否成立
由于方差未知,所以我们选 T ( X 0 ) n
s
作为检验统计量. 对给定的水平=0.05, 由t分布表查得t0.025(9)=2.262
由样本算得:
x 1582; s 129
代入样本值计算统计量t的值
__
t ( x 0 ) n (1582 1600) 10
技术革新后,随机抽取25只,测得寿命均值 x 41.25
设技术革新后方差不变,问革新后产品质量较以前是 否显著提高?(=0.05)
分析: 质量显著提高的含义是寿命均值μ>40. 解:这个问题即在水平=0.05下,检验假设
H0 :=0=40 H1 : >u0= 40 哪一个成立
作为检验统计量.
对给定的水平=0.05，查表知： Z0.05=1.645
检验统计量 T ( X 0 ) n ~ t(n 1).
S
T t (n 1);
2
T t (n 1) T t (n 1)
参看P143表
此方法称为T检验法
wk.baidu.com
-t
t
例1 在正常情况下,某工厂生产的灯泡的寿命X服从正态分 布,今测得10个灯泡寿命为:1490 1440 1680 1610 1500 1750 1550 1420 1800 1580 。问能否认为该工厂生产的灯 泡寿命为1600(=0.05)? (注：此题是第141页例3）
2 1 2
)
1
2
(2)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
检验统计量 K (n 1)S 2
2 0
f ( y)
2 1
2
y
(3)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
参看P145表
例1：某种电子元件的寿命X~ N(,2),合格标准
为: ≥2000, 2 ≤1302,现从一批该种元件中任
抽25只,测得寿命均值为 x 1950,方差s2 1482
试在水平=0.05下,检验是否合格. (注：此题是 第145页例6）
①解: 此题为在水平= 0.05下,检验假设 H0: =2000 H1: <2000 哪一个成立?
取T X 0 ~ t(n 1) 作为检验统计量. S/ n
拒绝域为:T<－t (n－1) 对给定的水平= 0.05,查表知t 0.05(24)=1.7109
代入样本值计算统计量U的值u
当u Z时，就拒绝H0； 当u Z时， 就接受H0 .
1-
Z
小结：方差σ2已知,对均值μ的假设检验
拒绝域
假设提法
① H0 := 0 ② H0 : =0 ③ H0 : =0
H1 : ≠ 0 H1 : > 0 H1 : < 0
u Z ;
2
u Z u Z
代入样本值，计算t 1950 2000 1.689
148/ 5 ∴t= －1.689> － 1.7109, 应接受H0 , 即认为元件寿命不低于2000小时.
②在水平在水平 =0.05下,检验假设
H0: 2 = 1302 H1: 2 >1302 哪一个成立?
取K
n 1S 2
2 0
~
2 n 1
小概率事件发生的概率α称为显著性检验水平。
下面我们学习具体的假设检验方法
一、方差σ2已知时，对总体均值μ的假设检验
关于μ的假设检验有三种不同类型的提法:
① H0 := 0 ② H0 := 0 ③ H0 := 0
H1 : ≠ 0 H1 : > 0 H1 : < 0
第一种类型的假设检验称为双边检验，第
2
以上方法称为U检验法。
小结：U检验法的一般步骤
（1）提出假设 H0: = 0 H1: ≠ 0
（2）选定检验统量：
（3）对给定的显著水平α，确定临界值点
P(U Z )
2
（4）计算检验统计量的观察值 u
Z ，使
2
（5）下结论 当 u Z 时， 接受H0 2
当 u Z时， 拒绝H0
2
例1：某车间用一台包装机装箱,额定标准为每箱 重100kg,设每箱重量服从正态分布,且σ=1.15,某 日开工后,随机抽取10箱,测得重量为(kg):
2
代入样本值计算统计量U的值u
u ( x 0 ) n (100.27 100) 10
1.15
__
0.74 1.96 , ( x 100.27)
结论：接受H0 即认为在水平α=0.05下，包装机工作正常。
小结：求解具体检验题目的一般步骤 （1）提出假设 （2）选定检验统量 （3）确定临界点 （4）代入样本值计算统计量的值 （5）下结论
检验统计量 U ( X 0 )
n
~ N (0,1).
参看P143表
H0的 拒绝域
此方法称为U检验法
Z
2
Z
2
二、方差σ2未知,对均值μ的假设检验
拒绝域
与方差σ2已知的情况类似
假设提法
① H0 := 0 ② H0 : =0 ③ H0 : =0
H1 : ≠ 0 H1 : > 0 H1 : < 0
2
~
2 (n 1)
当H0为真时，取
K
(n 1)S 2
2 0
~
2(n 1)
作为检验统计量.
对给定的水平α，查 2 分布表，找到临界点
（ 2 n - 1)和12-（ n - 1),使得
2
2
由于α很小，故事件
是小概率事件. 代入样本值计算统计量K的值k.
f ( y)
2 1 2
2
2
y
2
注意：P ( K
由实际推断原则，小概率事件在一次试验中几乎是不可
能发生的.如果发生了，我们就认为是不合理的，从而
拒绝假设H0 ,因而我们把由事件
所确定的
区域W称为H0的拒绝 域，其余的便是接受域，称 为临界点。
代入样本值计算统计量U的值u，当u落入
拒绝域时，则拒绝H0 。
当 u Z时，就拒绝H0； 2
当 u Z时，就接受H0；
作为检验统计量.
对给定的水平 =0.05,查表知2 0.05(24)=36.415
计算k
24 1482 1302
31.106 ;
k<36.415，
接受H0 , 即认为标准差不超过130小时. 由以上说明在水平 =0.05下，认为这批元件合格.
复习 一、概率的计算、事件间关系 二、一维与二维随机变量的概率分布问题 三、会求随机变量函数的概率分布 四、数学期望、方差、协方差的定义、性质及计算 五、会求矩估计量与极大似然估计量 六、会求置信区间 七、会判断估计量的无偏性 八、掌握假设检验的基本步骤
2、方差σ2已知时，在水平α下，检验假设
H0 := 0 H1 : > 0 哪一个成立。
与第1种情况类似, 作为检验统计量.
对给定的检验水平α，求临界点Zα使
1-
接受域
Z
拒绝域
代入样本值计算U的值u 当 Z时，拒绝H0；
当u Z时，接受H0 .
例2: 某工厂产品寿命X~N(,2),正常情况下0=40, 0=2,
99.3 98.9 101.5 101.1 99.6 98.7 102.2 100.8 99.8 100.9 试在水平α=0.05下，检验假设
H0 : 0 100
是否成立?
__
解: 取U ( X 0 ) n 作 为 检 验 统 计 量.
对给定的水平α=0.05,查表知： Z Z0.025 1.96
2 1 2
2
2
y
2
三、方差σ2的假设检验 假设的提法
(1)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
(2)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
(3)H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
第一种类型的假设检验 称为双边检验，第二、 三种类型的检验称为单 边检验。
(1)在水平α下，检验假设
H0
:
2
2 0
是否成立?
解：考虑到
(n 1)S 2
sn
估计2
用Y
(n 1)S 2 2
~
2(n 1);
由上节课我们知道，假设检验就是先对总体的未知 参数提出某种假设H0，然后再根据小概率事件是否发 生作出拒绝假设H0 或是接受假设H0 的。
弃真错误的概率α即为小概率事件发生的概率。
我们把只关心犯第一类错误而不考虑犯第二类错误 的检验称为显著性检验。
二、三种类型的检验称为单边检验。并将H0称 为原假设， H1称为备择假设。
一、方差σ2已知时，对总体均值μ的假设检验 １、方差σ2已知时，在水平α下，检验假设 Ｈ0 := 0 （0为已知） 是否成立
考虑到 样本均值X 是 μ的一个无偏估计量，
若H 0成立， 则X
~
N (0 ,
2 ), 从而X
~
N
(0
由观察值s2=9200 得
(n 1)S2 02
46 44.314
结论：拒绝H0, 认为这批灯泡的 寿 命的波动性较以往有显著变化。
例2：某厂生产某种型号的电池，其寿命服从 方差σ2=5000（小时2）的正态分布，现有一批 这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动 性有所改变。现随机抽取26只，测出其寿命的 样本方差S2=9200(小时2），问根据这批数据能 否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著 变化。（α=0.02）
分析：寿命的波动性由方差反应。
解：本题要在显著水平α=0.02 下检验假设
H0 : 2 5000 , H1 : 2 5000
n
26,
2
(n
1)
2 0.01
(25
)
44.314
,
2
2 1
(n
1)
2 0.99
(25)
11
.524
,
2 0
5000
2
拒绝域为：
(n 1)S 2
2 0
11.524
,
(n 1)S 2
2 0
44.324