七年级数学期中考试线段垂直平分线知识点
七年级下册数学垂直知识点
七年级下册数学垂直知识点在数学中，垂直是一种常见的概念，也是我们学习数学必须熟悉的知识点。
在七年级的下册数学中，垂直知识点是一个非常重要的内容。
本文将介绍七年级下册数学中的垂直知识点，让同学们能够更好地理解和掌握这一知识点。
1. 垂线的概念垂线是指从一个点到一条直线或平面的距离最近的线段。
用符号⊥表示。
在图形中，垂线通常用虚线表示。
需要注意的是，一条直线或平面可以有无数条垂线。
2. 平行线和垂直线的关系平行线是指一直线与另外一条直线在同一平面上，但不相交的直线。
而垂直线则是指两条直线或线段之间成90度角的情况。
在平面几何中，当两条直线相交时，它们互为垂线。
因此，平行线和垂直线是互不相容的概念。
3. 垂直平分线垂直平分线是指一个线段的中垂线，它是将这个线段平分并垂直于线段的一条直线。
垂直平分线可以能够将一个线段分成相等的两部分，并且它们互相垂直。
4. 垂线的性质垂线有一些特殊的性质，这些性质对于理解垂线的概念和运用垂线进行计算是非常有帮助的。
- 垂线的长度：垂线的长度等于点到垂线所在的直线或平面的距离。
- 垂线的斜率：垂线的斜率是与被垂线的直线或平面的斜率相反的倒数。
- 垂线的平方：当垂线从一个点到另一个点垂直时，它的平方是两个点之间的距离的平方。
5. 垂线的应用垂线在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，垂线被广泛地用来检查建筑的垂直性和水平性。
在地图制图中，垂线被用来确定两个点之间的最短距离。
在数学中，垂线也是解决几何问题的重要工具。
总之，在七年级下册数学中，垂直知识点是数学学习过程中的一个必备知识点。
通过学习垂直知识点，同学们能够更好地理解和应用数学概念，提高自己的数学成绩。
北师大版七年级数学下册5.线段垂直平分线的性质及画法课件
新知探究
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB 的垂直平分线，点P 为直线CD上的一
点，且PA=5，则线段PB 的长为（ B）
A. 6
B. 5
C. 4
C
P
D. 3
A
D E
A 图① D
B
B
C
图②
2.如图②所示，在△ABC 中，BC=8cm，边AB 的垂直平分线交AB 于点D，交
边AC 于点E, △BCE 的周长等于18cm，则AC的长是10cm .
课堂小结
线段的垂直 平分的性质
和画法
性质 画法
内容
线段的垂直平分线上的点到线 段的两个端点的距离相等 .
作 用 见垂直平分线，得线段相等 .
1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于 二分之一线段的长为半径作弧，两弧在线 段两侧交于两点； 2、连接两个交点，即可作出所求线段的垂 直平分线 .
课堂小测
P2
P1
A
B
P3A _＝___ P3B
l
新知探究
猜想：点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 由此你能得到什么结论？ 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这一结论吗？
新知探究
验证结论 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在直线l 上． 求证：PA =PB．
D.三边垂直平分线的交点
课堂小测
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D，E，F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，
这样的点的组合共有 无数 种. 4.下列说法： ①若点P，E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 ① ② ③ （填序号）.
湘教版数学七年级下册_线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的性质定理内容：1．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．2．逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用：线段垂直平分线的性质定理是初中几何的基本定理，它在几何证明和求解中有着广泛的应用．现举例加以说明，供同学们参考．一、用于求线段的长【例1】如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长．【分析】题中有“线段垂直平分线”这个条件，因此考虑运用其性质定理，把BE与AE进行等量代换，再根据△BCE的周长及AC的长，可求出BC的长．【解】因为ED是线段AB的垂直平分线，所以BE=AE．因为△BCE的周长等于50，所以BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50，而AE+EC=AC=27，所以BC=50-27=23．二、用于求角的度数【例2】如图，在△ABC中，已知AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，且∠BAC=115º，∠EAF的度数．【分析】要求∠EAF的度数，可采用整体思想，结合条件“垂直平分线”得“线段相等”，进一步可得∠B=∠EAB，∠C=∠FAC，而∠B+∠C=180º-∠BAC=65º，从而可求得∠EAF的度数．【解】因为EM、FD分别是AB、AC的垂直平分线，所以EB=EA，FC=FA，所以∠B=∠EAB，∠C=∠FAC．因为∠B+∠EAB+∠C+∠FAC+∠EAF=180º，所以∠EAF=180º-2（∠B+∠C），而∠BAC=115º，所以B+∠C=180º-115º=65º，所以∠EAF=180º-130º=50º．三、用于证明两角（或线段）相等【例3】如图，已知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF．求证：∠B=∠CAF．【分析】证明两角（或两线段）相等的常用方法是证两三角形全等，或用等边对等角（等角对等边），而本题中∠B与∠CAF不在同一个三角形内，它们所在的三角形又不能全等，故应从垂直平分线入手考虑问题．由于EF垂直平分AD，所以AF=DF，可得∠FDA=∠FAD，而∠CAF=∠FAD-∠1，只要证明∠B=∠FDA-∠2即可，这可由三角形外角定理证得．【证明】因为EF垂直平分AD，所以FA=FD，所以∠FDA=∠FAD．因为∠B=∠FDA-∠2，∠CAF=∠FAD-∠1，又因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2，所以∠B=∠CAF．四、用于证明两线段垂直【例4】如图，在△ABC中，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，AD= BD．求证：DC⊥AC．【分析】要证DC⊥AC，可证∠ACD=90º．由于AD=BD，可在AB上取中点E，连结DE，由AB= 2AC及∠BAD=∠CAD，易证得△ADE≌△ADC，从而得∠ACD=∠AED．由AD= BD知D在AB的垂直平分线上，可知∠AED=90º，本题得证．【证明】在AB上取中点E，连结DE．因为AD= BD，E为AB的中点，所以ED⊥AB．因为AB= 2AC，所以AE= AB=AC．在△ADE和△ADC中，因为AE= AC，∠DAE=∠DAC，AD公用，所以△ADE≌△ADC，所以∠ACD=∠AED=90º，所以DC⊥AC．【注】由于受学习习惯的影响，很多同学在可以用线段垂直平分线定理证明两角（或线段）相等，或证明两线段垂直（或直角）的地方，仍习惯用三角形全等的方法，这无形中增加了解（证）的复杂程度，我们在学习中应有意识地应用新定理探求新的解（证）题途径，切勿机械套用全等三角形知识．。
线段垂直平分线定理知识总结
线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
5.3简单的轴对称图形(2)——线段的垂直平分线2024学年北师大版数学七年级下册
点(要求写出作法,并保留作图痕迹).
解:作法:如图,
①作E关于BC的对称点E1,
②连接E1F交BC于点M.
则点M即为所求.
思维过关
7.如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,连接AO,CO.
若∠OEB=46°,则∠AOC=( B )
3.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于点E,交BC于点
D,△ABD的周长为20 cm,AE=5 cm.求△ABC的周长.
解:因为DE是AC的垂直平分线,所以AD=CD.
所以△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+
CD=AB+BC=20 cm.
因为AE=5 cm,所以AC=2AE=2×5=10(cm).
35°
5
2.(2023·揭阳惠来县期末)如图,已知在△ABC中,∠B=50°,
∠C=20°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平
分线分别交AC,BC于点F,G,连接AE,AG,则∠EAG=_____.
40°
3.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交
又因为BD是AC边上的高,
所以∠DBC=90°-∠C=18°.
巩固提能
1.(2023·揭阳榕城区期末)如图,在△ABC中,直线MN为BC的垂直
平分线,并交AC于点D,连接BD.若AD=3 cm,AC=9 cm,则BD的
长为( A )
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
2.(2023·茂名电白区期末 )如图,△ABC中,ED垂直平分AB.若
《线段垂直平分线的性质》
在几何图形中的应用
确定点与线段的距离
利用线段垂直平分线的性质，可以确定一个点到线段两端 点的距离相等，从而确定点的位置。
三角形中垂线定理
在三角形中，通过三角形顶点向对边作垂直平分线，该垂 直平分线将与对边相交于一点，该点将相对边分为两段相 等的线段，这是三角形中垂线定理。
角的平分线性质
角的平分线上的点到角的两边距离相等，利用这一性质可 以将角平分，从而将几何图形划分为两个相等的部分。
在日常生活中的应用
01
确定物体的对称点
在建筑、艺术和设计等领域中，常常需要找到一个物体的对称点，以实
现物体的平衡和美感。线段垂直平分线的性质可以用来确定这些对称点
。
02
测量距离
在道路、桥梁和建筑物等工程中，需要测量两点之间的距离。通过找到
这两点的垂直平分线，可以确定这两点之间的最短路径，从而得到准确
性质
总结词
如果一个点与线段两端点的距离相等，那么这个点必然位于线段的垂直平分线 上。
详细描述
这是对性质1和性质2的综合应用。如果一个点与线段两端点的距离相等，那么 这个点必然位于线段的垂直平分线上。这一性质在解决几何问题时也非常重要 ，尤其是在处理与中点和对称性相关的问题时。
03
线段垂直平分线的应用
定理
ห้องสมุดไป่ตู้
总结词
该定理描述了线段垂直平分线的性质，即如 果一条直线经过线段两端点，并且与经过中 点的垂直线相交，则这条直线也是该线段的 垂直平分线。
详细描述
在几何学中，这个定理进一步揭示了线段垂 直平分线的性质。如果一条直线同时经过线 段的两端点，并且与经过中点的垂直线相交 ，那么这条直线也是该线段的垂直平分线。 这个定理对于理解线段垂直平分线的性质和 判定方法非常重要。
线段垂直平分线知识点+经典例题
第三讲 线段的垂直平分线【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了．(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”.2121【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理例2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC （已证）∴点A 和点D 都在线段BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD 是线段BC 的垂直平分线。
《线段的垂直平分线》
习题二：求解矩形中垂直平分线的长度问题
总结词
求解矩形中垂直平分线的长度问题，需要理解矩形的性质以及矩形中垂直平分线的定义和性质。
详细描述
首先，我们需要明确矩形的性质。在矩形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，并且AC=BD。接着，我们可以利用 矩形的性质来求解垂直平分线的长度问题。具体地，由于AC是BD的垂直平分线，我们可以得到AB=AD， BC=DC。因此，我们可以得到矩形中垂直平分线的长度为AC或BD的长度。
《线段的垂直平分线》
2023-11-08
目 录
• 定义与性质 • 定理与推论 • 垂直平分线的判定 • 垂直平分线的作法 • 垂直平分线的应用 • 习题与解析
01
定义与性质
定义
垂直平分线
一条直线把线段分成两段，其中每段与原线段的两个端点之间的线段相等，这 条直线叫做这条线段的垂直平分线。
中垂线
06
习题与解析
习题一
总结词
证明三角形中垂直平分线的性质定理，需要理解三角 形中线、高线的概念以及它们与垂直平分线的关系。
详细描述
首先，我们需要明确三角形的中线与垂直平分线的定 义。在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，则有 AB=AC，BD=DC，AD垂直平分BC。接着，我们可以 利用三角形全等的证明方法来证明垂直平分线的性质 定理。具体地，由于三角形ABD与三角形ACD全等， 我们可以得到角BAD=角CAD，从而证明AD是角BAC 的角平分线。此外，我们还可以证明AD是BC的高线。 因此，我们证明了三角形中垂直平分线的性质定理。
总结词
经过一个已知点作一条线段的垂直平分线， 方法有多种，其中一种是利用中垂线的性质 。
详细描述
首先，需要明确线段的中点，然后过该中点 作一条与原线段垂直的直线，即为所求的垂 直平分线。
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2.角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。
线段的垂直平分线定理
如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交 如图， AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交 AB于 AC于 BCD的周长 的周长。 AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
解： ∵ED是线段AB的垂直平分线 ∵ED是线段AB的垂直平分线 是线段AB
E
A
∴ BD=AD ∵ △BCD的周长=BD+DC+BC BCD的周长 的周长=BD+DC+BC
AD为BC的中垂线 所以AB AC。 1、因为 AD为BC的中垂线 ，所以AB＝AC。 AB＝ 线段垂直平分线上的点与这条 理由： 理由： 线段两个端点的距离相等． 线段两个端点的距离相等．
A B D C
AB＝ 2、因为 AB＝AC ，所以A在线段BC的中垂线上 所以A在线段BC BC的中垂线上 与一条线段两个端点距离相等的 理由： 理由： 点，在这条线段的垂直平分线上。 在这条线段的垂直平分线上。
结论： 结论： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 M 点的距离相等． 点的距离相等． P 你能证明你的发现或猜想吗？ 你能证明你的发现或猜想吗？
A N C B
线段垂直平分线定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. 距离相等. 定理应用格式： 定理应用格式： 如图, 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上 ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上 任意一点(已知), 任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线 ∴PA=PB(线段垂直平分线 上的点与这条线段两个端 点距离相等). 点距离相等).
M P
C N
B
这个结论是经常用来证明点在直线上( 这个结论是经常用来证明点在直线上(或 点在直线上 直线经过某一 某一点 的根据之一. 直线经过某一点)的根据之一.
鲁教五四学制版七年级下册数学：线段的垂直平分线的性质和判定定理
课堂练习
如图,在△ABC中,线段BC的垂直平分线DE交 AC于点D.
(1)若AB=5,AC=8,求△ABD的周长; (2)若△ABD的周长为13,△ABC的周长为20,求BC 的长.
课堂提高
A
本节课你掌A 握了哪些知识呢？
1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等
2.到线段两个端点距离相等点在这条线段的垂 直平分线上
10.4线段的垂直平分线
淄河中学 张晓
线段的垂直平分线
知识点一
线段的垂直平分线的性质
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C,且AC=BC,P是MN上的任 意一点
求证：PA=PB
证明：∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC,PC=PC, ∴△PCA ≌△PCB(SAS)
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
定理：线段垂直平分线上的点到这条 线段两个端点的距离相等.
知识点二
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距 离相等. 你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上
已知：PA=PB 求证：点P在线段的垂直平分线上
证明：取AB中点点C，连接PC， ∵PA=PB,C是中点 ∴PC⊥AB ∴PC所在的直线是线段AB的垂
直平分线 即点P在线段AB的垂直平分线上
定理：到线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上
学以致用
已知：在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点，且 OB=OC
求证：直线AO垂直平分线段BC
证明：∵AB=AC ∴点A在线段BC的垂直平分线上
深圳七年级数学 直角三角形,垂直平分线和角平分线(知识点汇总)
直角三角形、线段的垂直平分线与角平分线
全等的判定：“SSS”“ASA”“AAS”“SAS”直角三角形还有“HL”
定义：有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形。
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
性质：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
直角三角形：
判定：定义：有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形。
勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
线段的垂直平分线：性质定理的逆定理：到一条线段的连个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形垂直平分线定理：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等
角平分线性质定理的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
三角形角平分线定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
备注：“互余”“互补”，等腰三角形分类讨论。
七年级数学下---5.3.2线段的垂直平分线1
七年级数学下---5.3.2线段的垂直平分线1一、线段的垂直分线定义及其性质到_______________________的直线叫做这条线段垂直平分线。
垂直平分线又可称为_________。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离___________。
A 组：二、练习1、如上图2，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线与AC 交于点D ，已知AC=5，BC=4，则△BCD 的周长是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．62、如上图3，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、BC 的垂直平分线，它们交于P 点，则PA PC3、点P 是△ABC中边AB 的垂直平分线上的点，则一定有（）A ．PA=PB B ．PA=PC C ．PB=PCD ．点P 到∠ACB 的两边的距离相等 4、下列说法错误的是（ ） A ．D 、E 是线段AB 的垂直平分线上的两点，则AD=BD ，AE=BE B ．若AD=BD ，AE=BE ，则直线DE 是线段AB 的垂直平分线 C ．若PA=PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上 D ．若PA=PB ，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线5、在锐角△ABC 内一点P 满足PA=PB=PC ，则点P 是△ABC （ ） A ．三条角平分线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条高的交点 D ．三边垂直平分线的交点6、如图1-3-1，下列说法正确的是（ ）A ．若AC =BC ，则CD 是线段的垂直平分线； B ．若AD =DB ，则AC =BC ； C ．若CD ⊥AB ，则AC =BC ；D ．若CD 是线段AB 的垂直平分线，则AC =BC7、如图1-3-2，Rt △ABC 中，∠C =90°，DE 是AB 的垂直平分线，AD 分∠CAD ：∠DAB =2：1，•则 ∠B 的度数为（ ） A ．20° B ．22.5° C ．25° D ．30°8、如图1-3-3，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC =BD +AD ，则点D 在（ ）的垂直平分线上A ．AB B ．AC C ．BCD ．不能确定OABDC M54DBACPABCNMDE图1-3-1图1-3-2图1-3-39、平面内到不在同一条直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能11、如下图1，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（） A、7 B、14 C、17 D、2012、如上图2，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若∠A=300,AC=9，则AE的值是（） A、6 B、4 C、3 D、213、如上图3，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（） A、80°B、70° C、60°D、50°14、如上图4，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC的中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确15、如右图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC的长。
七年级数学上册《线段的垂直平分线》PPT
如图，直线l垂直平分线段AB，在直线l上任取一点P， 连接PA和PB.想一想，如果我们把线段AB沿直线l对折， 线段PA与PB会重合吗？
探究一：线段垂直平分线的性质
1.如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3…是l上 的点.请同学们分别量一量点P1、P2、P3…到点A与点B的 距离，你们有什么发现？
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
A C
B
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
P
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
，则MN是线段AB的垂直平分线； ⑤ 过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4
2.已知三角形ABC，AB边的垂直平分线交 另一边AC与D，且AB=AC=8,BC=6,则 △BDC的周长 。
3、.如图，已知：△ABC中，B C＜AC，AB 边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E， AC=8 cm,△BCE的周长为15 cm,求BC的长.
∴PA=PB
C
B
N
性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两
个端点的 距离相等。
M
用符号语言表示为：
P
∵直线MN⊥AB,垂足为C,
且AC=CB，点P在MN上.
∴ PA =PB．
A
B
C
N
探究二：线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的
初中数学线段的垂直平分线及坐标知识点总结
初中数学线段的垂直平分线及坐标知识点总结中学数学线段的垂直平分线线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的全部点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：假如两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，假如它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：假如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称以上就是我为大家整合的中学数学知识点大全，同学们都能熟记于心、敏捷运用了吗。
接下来还有更多更全的中学数学知识点尽在。
中学数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，盼望同学们很好的掌控下面的内容。
平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为*轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③相互垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般状况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上需要相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌控了吧，盼望同学们都能考试胜利。
中学数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做*轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，*轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，盼望同学们对上面的内容都能很好的掌控，同学们仔细学习吧。
什么是垂直平分线
什么是垂直平分线
垂直平分线的简介
垂直平分线，又称“中垂线”，是指经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。
垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。
垂直平分线的逆定理
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
解：猜想：点P在线段AB的垂直平分线上。
已知：P为线段AB外一点，且PA=PB。
求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
∵O是AB的中点
∴AO=BO
在△POA和△POB中。
PA=PBPO=POAO=BO
∴APOA和APOB（SSS）
∴∠POA=POB
∵∠POA+∠POB=180°
∴2∠POA=180°，∠POA=90°
∴直线PO是线段AB的垂直平分线。
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
中垂线和角平分线
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理
（1）线段垂直平分线的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线
上.
定理的数学表示：如图 2，已知直线 m 与线段 AB 垂直相交
于点 D，且 AD＝BD，若 AC＝BC，则点 C 在直线 m 上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
A
课堂笔记：
段的中垂线.
A.1 个
B.2 个 C.3 个 D.4 个
4.△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，如果 AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC 的周
长是（ ）
A.6 cm
B.7 cm C.8 cm D.9 cm
5.已知如图，在△ABC 中，AB=AC，O 是△ABC 内一点，且 OB=OC，
j 图3
C
点 O，且 OA＝OB＝OC.
定理的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形
是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角
形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交
求证：AO⊥BC.
2
6.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC、AB 于点 M、N. 求证：CM=2BM.
线段的垂直平分线与角平分线(2)
知识要点详解
4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角
的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图 4，已知 OE 是∠AOB 的平
图5 C A