称出来的体积公式——球体积公式

称出来的体积公式
——球体积公式
两千多年前，发生了这样一个故事。

杠杆原理的发现者——古希腊科学泰斗阿基米德，利用杠杆原理＂称”出了球体积公式。

用一根长为球直径2倍的长杆，即为4r的杆，确定一个支点N。

将杆的中点支于支点。

两端点设为S、T。

NT的中点为O。

以O为心，以球半径r为半径画圆，并画圆的外切正方形及等腰三角形NBC，使∠CNT=∠BNT=45°。

这图形绕ST旋转得到球、圆柱和圆锥。

在离支点x处切一铅直狭条，宽度记为Δx。

旋
转后得到的是厚为Δx的圆盘。

这些薄片体积的近似
值分别是：
球部分：πx(2r-x) Δx，
圆柱部分：πr2Δx，
圆锥部分：πx2Δx。

阿基米德将从球和圆锥割出的两个薄片吊在端
点T，它们的合力矩（重力×重力臂）为
2r[πx(2r-x)Δx+πx2Δx]=4πr2xΔx
=4x·(πr2Δx)
这正好是圆柱部分薄片吊在原处力矩x·πr2Δx的4倍。

把从N到T所有割出的薄片加在一起，将球和圆锥用绳子吊在S点，其力臂是2r，把圆柱的重心吊在O点，它的力臂是r。

它们的力矩也应满足4倍关系，即球和圆锥吊在S点与4个圆柱吊在O点杠杆平衡，于是
2r(球体积+圆锥体积)=4r(圆柱体积)。

已知
8πr3，
圆锥体积=
3
圆柱体积=2πr3，
代入后立得
4πr3。

球体积=
3
2。

由此公式可得球体积是它的外切正圆柱体积的
3
多么精彩的方法。

竟然用秤称出了球的体积公式。

当然阿基米德在秤得球体积公式以后，仍然用数学方法严密地证明了他的发现。

阿基米德的方法启示
我们，数学定理与公式蕴藏在现实世界之中，它们往往与物理、化学、生物学…的规律联系在一起，我们可以通过物理的、化学的、生物的方法去发现它们。

我国古代数学家对球体积公式也有研究。

西汉末年成书的《九章算术》中，已经记载着柱、锥、台、球等各种体积的计算问题。

除了球以外，其他各体积公式都和现在一致。

由于球的体积比较
3πR3，它难求，当时未能找到正确公式。

书中所载的球体积算法，相当于V≈
2
的误差太大了。

《九章算术》成书后，人们逐渐发现了这一问题，在科学家张衡的脑子里出现了一个有价值的思想。

他设想了一个边长等于球直径的立方体，把球装在里面，使它们相切。

他想：若能求出立方体与内切球的体积之比，球体积问题便容易解决了。

这种想法是数学中比较“标准”的想法——把比较难解决的问题转化为可以解决或相对容易解决的问题。

遗憾的是，他的计算方法不够科学，最后推出立方体与球的体积之比为8∶5，这比原来的误差更大。

结果虽然不够理想，但张衡的研究方法却给了后人有益的启示。

到了三国时代，大数学家刘徽发现了一条重要原理：如果对于两个等高的立体，用平行于底面的平面截得的面积之比是一常数，则这两立体的体积之比也等于该常数。

这一原理可称为“刘徽原理”。

在用“刘徽原理”证明了圆锥、圆台等旋转体的体积公式后，刘徽便集中精力解决球体积问题。

他发现了《九章算术》和张衡研究中的错误，也从张衡的研究方法中得到启示，他试图通过刘徽原理把球体积转化为另一个能求出体积的立体——“牟合方盖”中去，以便求出正确的球体积公式。

虽经认真研究，但最终他还是没能找到“牟合方盖”的体积与球体积之间的关系，从而未能正确求出球体积，只能暂时搁下“以俟能言者”。

二百年以后，有一位“能言者”站了出来，这人就是祖冲之的儿子祖曰恒。

他沿看刘徽开辟的道路继续前进，适当改进了研究方法，终于完成了刘徽的未竟之业，彻底解决了球体积问题。

【附录】
一、【阿基米德简介】
阿基米德，人们称他为“数学之神”。

公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古。

父亲是位数学家兼天文学家。

阿基米德从小有良好的家庭教养，11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。

在这座号称“智慧之都”的名城里，阿基米德博览群书，汲取了许多的知识，并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生，钻研《几何原本》。

后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有“力学之父”的美称。

其原因在于他通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演泽方法推出许多杠杆命题，并给出严格的证明。

其中就有著名的“阿基米德原理”，他在数学上也有着极为光辉灿烂的成就。

尽管阿基米德流传至今的著作一共只有十来部，多数是几何著作，但这对于推动数学的发展，起着决定性的作用。

《砂粒计算》，是专讲计算方法和计算理论的一本著作。

阿基米德要计算充
满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。

《圆的度量》，利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率π为：
3.1408…<71
223<π<722=3.1428……， 这是数学史上最早的，明确指出误差限度的π值。

他还使用穷举法证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的“三角形”的面积。

《球与圆柱》，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球的大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。

阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的2
3。

在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理”。

《抛物线求积法》，研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。

”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。

《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。

他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。

在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。

《平面的平衡》，是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。

《浮体》，是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。

《论锥型体与球型体》，讲的是确定由抛物线和双曲线绕其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。

丹麦数学史家海伯格，于1906年发现了阿基米德给厄拉托塞的信及阿基米德其它一些著作的传抄本。

通过研究发现，这些信件和传抄本中，蕴含着微积分的思想，他所缺的是极限概念，但其思想实质却伸展到十七世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。

正因为他的杰出贡献，美国的E ·T ·贝尔在《数学人物》上是这样评价阿基米德的：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两位通常是牛顿和高斯。

不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。

二、【祖曰恒简介】
祖曰恒 是祖冲之的儿子，六世纪时南北朝后期人，生卒年代无可考证。

他继承发展了祖冲之在天文、历算等方面的工作，著有《缀术》六卷。

祖曰恒最重大的贡献就是发现了《祖曰恒原理》。

刘徽在发现了前人求体积时的不足，创造了“牟合方盖”理论，但是并没有能求出“牟合方盖”的体积。

祖曰恒在刘徽“牟合方盖”理论基础上，继续对“牟合方盖”体积的研究，终于得出了求“牟合方盖”
体积的方法。

他研究“牟合方盖”体积的情况，可以从李淳风对《九章算术》的注释中看出来。

《祖曰恒原理》包括如下原理：若二物体用平行的平面截出来的截面面积处处相同，那么这两个物体的体积必然相等。