10-11-1高数B期中

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高数第十一章11-1

n 2n4 1 1
解 (1)
tan

5n

5n
1 而发散, n 1 n

0
n4
1 x 4 dx
所以
原级数发散
1 n n 3 (2) 4 4 4 2n n 2n 1 n2 1 n 3 收敛，所以收敛. 4 n1 2 n 1 2 n 1 n 1 1 2 1 x n n xdx dx (3) 4 0 1 x 0 3 3 n2 1 1 x n 3 收敛，所以 dx 收敛. 4 0 1 x n1 2 n1 n 1 1 1 2 n 2 收敛 (4) n 2 4 n1 n 1 x 4 dx 0 xdx n
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n 1
数列sn 有极限 s , 即 lim sn s 则称无穷级数
n
u
n 1

n
收敛,这时极限 s 叫做级数
u
n 1

n
的和.并
写成 s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数
1. 级数的定义:

一般项 (常数项)无穷级数
un u1 u2 u3 un n1
级数的部分和
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
n
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,, sn u1 u2 un ,
n 0

的收敛性.
解如果q 1时
sn a aq aq 2 aq n1

高数b1期中考试试卷(A卷)A4精简版,分值,分类统计(可演示)

河南理工大学第一学期《高等数学b-1》期中考试试卷（A 卷）本试卷考试分数占学生总评成绩比例100%(4分)1．函数1sin )(2+=x x x f 在区间),(+∞-∞内是( )．（A ）有界函数（B ）单调增函数（C ）偶函数（D ）单调减函数等价无穷小(4分)2．当0→x 时，下列与x 同阶但不等价的无穷小量是（）．（A ）x x -sin（B ）x x sin 2 （C ）)1ln(x - （D ）1-x e(4分)2．已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则=a ．求极限，，幂指转化，无穷小等价代换，洛必达法则(4分)3．若极限22arctan lim 2=∞→xx k x ，则=k （）．（A ）2（B ）0 （C ）21 （D ）1(4分)1．若531lim e x k x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→，则=k ． (6分)1．计算极限⎪⎭⎫⎝⎛--+→x x x x 2cos 1)1ln(lim 0．间断点类型判断，导数定义，综合(4分)4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)()(x x x x f x F ，其中函数)(x f 在0=x 处可导，0)0(,0)0(=≠'f f ，则点0=x 是函数)(x F 的（）．（A ）连续点（B ）第一类间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点或间断点不能由此确定间断点类型判断，极限，综合(6分)6．讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性．若有间断点，判断其类型．导数定义(4分)5．设)(x f 可导，|)sin |1)(()(x x f x F +=，若欲使)(x F 在0=x 处可导，则必有（）．（A ）0)0(='f （B ）0)0()0(='-f f（C ）0)0()0(='+f f （D ）0)0(=f(4分)3．已知2)3(='f ，则=--→h f h f h 2)3()3(lim 0 ．(8分)1．设函数)(x f 满足下列条件：(1) 对一切x 、R y ∈，恒有)()()(y f x f y x f +=+；(2) )0(f '存在．证明)(x f 在R 上处处可导．求导数：基本导数公式，隐函数，参数方程确定的函数，对数求导法(4分)4．已知函数)(x y y =由方程0162=--++e x xy e y 确定，则=')0(y ．(6分)2．设22ln arctany x x y +=，求dxdy ． (6分)3．已知x x x x y +++=3333，求y '． (6分)5．已知函数)(x y y =由方程⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2所确定，求dx dy 及22dx y d ．高阶导数公式，莱布尼兹公式，常用高阶导数公式(4分)6．设2sin)(x x f =，则)()26(πf 的值等于（）．（A ）2621- （B ）2621 （C ）262（D ）0泰勒公式，麦克劳林公式，五大公式(4分)6．函数x x f tan )(=的带有佩亚诺余项的3阶麦克劳林公式为．三大中值定理及其应用：证明不等式，证明恒等式，证明中值问题(8分)2．设2e b a e <<<，证明：)(4ln ln 222a b ea b ->-．导数应用：单调性，极值，凹凸性，拐点，曲率(6分)4．求函数31292)(23-+-=x x x x f 的极值． (4分)5．椭圆41622=+y x 在点)2,0(处的曲率为．水平，铅直，斜渐近线。

2010年全国高中数学联赛B卷(含详细解答)

2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-. 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 1223≤≤-a . 解：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3. 解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+，（2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而 βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα， 333+=+βα. 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-. 解：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=，所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217. 解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(12742 17121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin4. 解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos αα=⇒=.所以 410sin =α. 解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，OEPC 1B 1A 1CBA110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得（4分）)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=. （8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h . （4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . （8分）从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ，从而0143≥+++c b a ,2432≤z a，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(30--=-x y y y . （1）易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）由（1）知直线AB 的方程为 )2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且1y 22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+= ]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==. （10分）220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=.（15分）当且仅当20202249y y -=+，即0y =,A B 或A B -时等号成立. 所以ABC ∆面积的最大值为7314.（20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, （10分） 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S , （15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t,66((33A B 或A B -时等号成立. 所以ABC ∆面积的最大值是7314. （20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n n n .求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1）证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知 111121+-=+n nn a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2）所以 211,111n n n n n n na a aa a a a ++==----即 1111n n n n n a aa a a ++=---. （5分）从而 n a a a +++ 211133222*********++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a 11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a .所以（1）等价于n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-，即 nn n n a a 21123131<-<++- . （3）（10分）由311=a 及 1221+-=+n n n n a a a a 知 712=a .当1n =时，2216a a -=，11122363<<- ，即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-. 当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++；（15分）又由（2）及311=a 知 )1(1≥-n a a nn 均为整数，从而由k k k a a 21131<-++ 有 131211-≤-++k k k a a 即kk a 2131≤+ ，所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。

安徽大学期末试卷MK10-11(1)高数B(三)试卷.pdf

（A）Y ∼ χ 2 (n) （B）Y ∼ χ 2 (n −1) （C）Y ∼ F (n,1)
). （D）Y ∼ F (1, n)
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 6、二次型 f (x1, x2 , x3 ) = (x1 + x2 )2 + (x2 + x3 )2 + (x1 + x3 )2 的秩为
答题勿超装订线
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
《高等数学 B(三)》（B 卷）第 1 页共 6 页
得分 .
年级
院/系
安徽大学期末试卷
7、设 A, B 为两个随机事件，满足 P( A) = a, P(B) = 0.3, P( A ∪ B) = 0.7 ，若事件 A 与 B 相互独立，则 a = _________ .
⎡1 0 0⎤
8、设矩阵 A = ⎢⎢2 2 0⎥⎥ ， A∗ 是 A 的伴随矩阵，则 ( A∗)−1 =
（A） A = 0 或 B = 0
（B） A + B = 0
（C） | A |= 0 或| B |= 0
（D）| A | + | B |= 0
得分
2、设 A 为 n 阶方阵，则以下结论中不成立的是( ). （A）若 A 可逆，则矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量也是矩阵 A−1 的属于特征值 1 λ 的特征向量（B） A 的特征向量即为方程 (λ E − A) X = 0 的全部解（C）若 A 存在属于特征值 λ 的 n 个线性无关的特征向量，则 A = λE （D） A 与 AT 有相同的特征值

厦门理工学院高数1(B)期中考试试卷参考答案(1)

1 y 1 ( x 1) 2 cos t t sin t 1 sin t t cos t
．．
．
7. 设参数方程为
x t (1 sin t ) dy ，则 dx y t cos t
2 ln x 3
8. 若 y x 2 ln x , 则 y =
系
相应地函数增量 y 的线性主部为 0.2，则 f (1) A．0.1 B．0.5 C．-1 D. 1
( D )
第 3 页共 7 页
得分阅卷人
三、计算题（每题 5 分，共 25 分），请把答案写在问题的下面。
1. 求极限 lim(
x 1
1 3 ) 1 x 1 x3
解： lim
sin 2 1 x
信级班级生
专业
1 sin 2 1 2 2 e x sin …………… x x
装
考
…7 分
系
第 6 页共 7 页
4. 试求由方程 2 y x ( x y) ln( x y ) 所确定的函数 y y ( x) 的微分 dy 解： 2 y 1 (1 y) ln( x y ) ( x y )
f (0) b f (0 ) lim (e x 1) 2. …………
x 0
……6 分 …7 分
…………… 综上：当a 1, b 2时，f ( x)在x 0处可导。
第 5 页共 7 页
2．求极限 lim
x 0
1 tan x 1 sin x etan x esin x
则dy
…7 分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得分阅卷人

内蒙古高一下学期期中考试数学试题(B卷)(解析版)

一、单选题1．设向量＝（m +1，﹣4），＝（﹣m ，2），若，则m ＝（） a b//a b A ．1 B ．﹣1C ．D ．013-【答案】A【分析】利用向量平行的条件,计算求解.1221x y x y =【详解】根据向量平行的条件得,解得, ()()124m m +⨯=-⨯-1m =故选：A.2．在中，若，则（） ABC 31,5,sin 5AB AC A ===AB AC ⋅= A ．3 B ． C ．4D ．3±4±【答案】D【分析】先求得的值，然后求得. cos A AB AC ⋅u u u r u u u r【详解】由于，所以， 3sin 5A =4cos 5A ==±所以. cos 4AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=±故选：D3．已知，且是第四象限角，则的值为（） 3sin()5πα+=αcos(2)απ-A ．B ．C ．D ．45-4545±35【答案】B【分析】由诱导公式知、，结合同角三角函数的平方关系以sin()sin παα+=-cos(2)cos απα-=及是第四象限角，即可求.αcos(2)απ-【详解】由，即3sin()sin 5παα+=-=3sin 5α=-又，是第四象限角，cos(2)cos(2)cos αππαα-=-=α∴. 4cos 5α==故选：B4．在中，角的对边分别为，且，，（）．ABC ,,A B C ,,a b c 3B π=3b =a =c =A B ．C ．D ．33【答案】B【分析】利用余弦定理可构造方程直接求得结果.【详解】在中，由余弦定理得：， ABC 22222cos 39b a c ac B c =+-=+=即，解得：或（舍），260c -=c =c =c ∴=故选：B.5．已知平面向量，满足，，与的夹角为60°，则（）a b 2a = 3b =r a ba b ⋅=A ．BC ．5D ．3【答案】D【分析】根据数量积的定义即可求解. 【详解】.1cos ,2332a b a b a b ⋅==⨯⨯=故选：D.6．函数是（） ()2cos 2f x x x =A ．周期为的奇函数 B ．周期为的偶函数 2π2πC ．周期为的奇函数D ．周期为的偶函数4π4π【答案】A【分析】化简可得，根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，根据周期公式，即()4f x x =()f x 可求得答案.【详解】由题意得， ()2cos 24f x x x x ==所以，故为奇函数， ()4)4()f x x x f x -=-==-()f x 周期， 242T ππ==故选：A7．已知，则（）tan()3πα-=-2sin cos 2cos sin αααα+-A ． B ．7C ．D ．17-1-【答案】A【分析】利用表示，代入求值.tan α2sin cos 2cos sin αααα+-【详解】，即， ()tan tan 3παα-=-=-tan 3α=.2sin cos 2tan 172cos sin 2tan αααααα++==---故选：A8．已知函数，则（）()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭A ． B ．在上单调递增3122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．在上的最小值为D ．在上的最大值为()f x ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭1-()f x ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭12【答案】C【分析】A.直接求解判断； B.由，得到，利用正弦函数的性质判断； 02x π-<<52666x πππ-<+<CD.利用正弦函数的性质求解判断.【详解】A.，故错误； 31sin 3sin 2662f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.因为，所以，不单调，故错误； 02x π-<<52666x πππ-<+<()f x C.当，即时，取得最小值，且最小值为，在上无最大值，262x ππ+=-3x π=-()f x 1-()f x ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭故正确，D 错误. 故选：C9．如图，已知，用，表示，则等于（）3AB BP = OA OB OP OPA ．B ．1433OA OB -1433OA OB +C ．D ． 1433OA OB -+ 1433OA OB -- 【答案】C【分析】根据向量加法和减法的三角形法则即可求解.【详解】解：，3AB BP =，()11413333OP OB BP OB AB OB OB OA OB OA ∴=+=+=+-=-故选：C.10．已知向量共线，则实数x 的值是（） ()()1,2,3,a b x ==A ．1B ．C ．6D ．32-6-【答案】C【分析】利用向量平行的坐标运算，即可得答案；【详解】向量共线，()()1,2,3,a b x ==，∴606x x -=⇒=故选：C.11．已知，则（） (0,1),(1,3)A B --||AB =A B ．17C ．5D【答案】A【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得；AB【详解】解：因为，所以，所以(0,1),(1,3)A B --()()()1,30,11,4AB =---=-=故选：A12．为了得到函数图象，只需把函数的图象（）2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x x =A ．向左平移个长度单位 B ．向右平移个长度单位 4π4πC ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位2π2π【答案】C【分析】逆用两角差的正弦公式将化为一个角的三角函数，再根据平移法则判断sin y x x =即可.【详解】， 1sin 2sin 2sin cos cos sin 2sin 2333y x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故将其向左平移个长度单位可得2π2sin 2sin 236y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C【点睛】方法点睛：解决此类问题的方法是将原函数化为与目标函数同名的一个角的三角函数，再根据三角函数图象的变换法则求解.二、填空题13．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知，，ABC 3C π=2b =c =B =___________.【答案】4π【分析】根据正弦定理可得得，即可求得结果. sin B b c <3B C π<=【详解】由正弦定理得，而，，sin sin b c B C =3Cπ=2b =c =所以2sin B =sin B 因为，所以或， 0B π<<4B π=34π又因为，，所以，2b =c =b c <3B C π<=所以.4B π=故答案为：.4π14．函数的最小正周期为___________.()3tan 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】2π【分析】利用正切函数的周期公式求解. 【详解】由题可知，的最小正周期.()f x 212T ππ==故答案为：2π15．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 【答案】23π【分析】由已知关系式变形整体得到cos A 即可. 【详解】由a 2－b 2－c 2＝bc可得：，222122b c a bc +-=-即cos A =，所以. 12-23A π=故答案为：. 23π16．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若，则ABC2,60a b A ===︒sin B =______．【分析】由正弦定理，即可求出；sin B 【详解】解：在中，角，，所对的边分别为，，．ABC A B C a b c，，a =2b =60A =︒由正弦定理得：， ∴sin sin a b A B =2sin B=解得．sin B =三、解答题 17．化简：．cos(4)cot(2)tan(3)sin(2)cot()παπααπαππα++--+【答案】1【分析】利用三角函数诱导公式求解即可.【详解】原式.sin cos cos cot tan cos 1sin cot sin ααααααααα⋅⋅⋅===⋅18．已知向量，. ()1,0a =()1,2b =- （1）求的坐标；2a b +（2）求.()a ab ⋅-【答案】（1）；（2）2.()1,2【分析】运用向量的坐标运算法则计算即可.【详解】（1）因为 (1,0),(1,2)a b ==- 故 22(1,0)(1,2)(2,0)(1,2)(1,2)a b +=+-=+-=（2）因为()2,2a b -=-所以()()()()1,02,212022a a b ⋅-=⋅-=⨯+⨯-= 19．已知函数，求 22()2sin cos cos sin f x x x x x =+-（1）的最小正周期；()f x （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x x 【答案】（1）；（2），此时的集合为π()min 1f x =-x .2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】（1）利用倍角公式化简整理函数的表达式，由周期．()f x 2T πω=（2）先求解，由正弦函数性质求解最值即可． 52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）.22()2sin cos cos sin f x x x x x =+-=sin 2cos 2x x +24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴函数的最小正周期. ()f x 22T ππ==（2）∵，，∴∴.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()min 1f x =-此时，∴.5244x ππ+=2x π=取最小值时的集合为()f x x .2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭20．设是两个单位向量夹角为，若，,m n 602,32a m n b m n =+=-+ （1）求； a b ⋅（2）求；a r（3）求与夹角；a b（4）求在的投影.b a【答案】（1）；（2；（3）；（4）72-2π3【分析】由已知得，.1m n == 1cos 602m n m n ⋅=⋅=（1）展开可得答案；()()232a b m n m n ⋅=+-+（2）.2a m =（3）3b m =-+ （4）由（3）得，在的投影为可得答案. b acos b a b ⋅ 【详解】由已知得，.1m n == 1cos 602m n m n ⋅=⋅= （1）()()()()2223262a b m n m n m n m n ⋅=+-+=-++⋅ . 17621122=-++⨯⨯=-（2）2a m ==. ==（3）3b m =-+=1）（2）得 ==，因为两个向量的夹角的范围在， 1cos 2a b ⋅=- []0,π所以与夹角为. a b 23π（4）由（3）得，在的投影为. b a 1cos 2b a b b ⋅=-= 21．已知函数． ()4sin cos 2f x x x x =-（1）求函数的最小正周期； ()f x （2）当时，求的值域．,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】（1）；（2）．π[]4,4-【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简的解析式，由此求得函数的最小正周期． ()f x ()f x （2）由，可得，利用正弦函数的图象和性质，可求得的值域． 6πx π-≤≤252333x πππ-≤-≤()f x 【详解】（1）由题意，1()2sin 224(sin 22)4sin(2)23f x x x x x x π=-==-所以的最小正周期为． ()f x 22T ππ==（2）由题意， 6πx π-≤≤223x ππ∴-≤≤ 252333x πππ∴-≤-≤故当，即时，；232x ππ-=-12x π=-min ()4f x =-当，即时， 232x ππ-=512x π=max ()4f x =所以． []()4,4f x ∈-22．中，已知． ABC 222os c =A A （1）求；A （2）已知，求面积的最大值．2a =ABC 【答案】（1）；（223A π=【分析】（1）结合降次公式与二倍角公式进行化简求值即可；（2）方法一：根据边角关系转化为三角函数求最值；方法二：利用余弦定理得到，224bc b c -=+然后结合均值不等式即可. 【详解】（1）因为，所以，即，222os c =AA 1+cos A A=13A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为，所以，即，sin 3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0A π<<33A ππ-=23A π=（2）方法一：因为，，则23A π=2a =2sin a R A === 2sin 2sin bc R B R C =⋅ 16sin sin 3B C =162sin sin 33B B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭161sin sin 32B B B ⎫=-⎪⎪⎭ 28cos sin 3B B B =- 442cos 233B B =+- 84sin 2363B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当，即时，有最大值，sin 216B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭6B π=bc 43此时面积最大114sin 223S bc A ==⨯=方法二：由于，，所以，即，结合2222cos a b c bc A =+-2a =221422b c bc ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭224bc b c -=+均值不等式得，当且仅当时，等号成立，即， 222b c bc +≥bc =42bc bc-≥因此，即的最大值为，此时面积最大， 43bc ≤bc 43114sin 223S bc A ==⨯=。

高数b1期中考试试卷(A卷)A4精简版,分值,题型分类统计

河南理工大学第１学期《高等数学b1》期中考试试卷（A 卷）本试卷考试分数占学生总评成绩比例100%收敛数列性质(4分)1．下列命题正确的是 ( )．（A ）有界数列必定收敛（B ）单调数列必定收敛（C ）无界数列必定发散（D ）发散数列必定无界(4分)3．设{}n a 、{}n b 、{}n c 均为非负数列，且0lim =→∞n n a ，1lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ，则下列正确的是（）．（A ）+∈<N n b a n n ,（B ）+∈<N n c b n n , （C ）n n n c a ∞→lim 不存在（D ）n n n c b ∞→lim 不存在等价无穷小(4分)2．当0→x 时，下列函数中与x 是等价无穷小的是（）．（A ）x 2sin 21 （B ）)1ln(x - （C ）x x -sin （D ）x cos 1-求极限，重要极限，幂指转化，无穷小等价代换，洛必达法则(4分)1．极限)sin 11sin (lim 0x xx x x -→的结果是( )．（A ）1（B ）0 （C ）1- （D ）不存在 (4分)2．()=-→x x x 101lim． (6分)1．求极限xx x x x sin tan lim 20-→．连续性，间断点类型判断，综合极限，综合导数定义，证明连续 (4分)5．设函数x xe e xf 11321)(++=，则0=x 是函数)(x f 的（）．（A ）连续点（B ）跳跃间断点（C ）可去间断点（D ）第二类间断点 (6分)5．求)1()(22--=x x x x x f 的连续区间，若有间断点，指出间断点的类型． (9分) 2. 证明函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=-0,0,1)(2111x e x e x x f x x ，在点0=x 处连续．闭区间上连续函数的性质，证明题，应用根的存在性定理导数定义求导数：基本导数公式，隐函数，参数方程确定的函数，对数求导法，相关变化率问题(4分)3．设)45)(34)(23)(12()(----=x x x x x x f ，则=')0(f． (6分)2．设函数)(x y y =由方程e xy e y =+所确定，求dx dy ． (6分)3．求x x y sin =（0>x ）的导数．(6分)6．设⎩⎨⎧-'='=)()()(t f t f t y t f x ，)(t f ''存在，且0)(≠''t f ，求22dx y d ． (6分)7．注水入深m 8、上顶直径m 8的圆锥形容器中，其速率为min /43m ．试问当水深为m 5时，其表面上升的速率为多少？求微分（与求导是等价的）(4分)5．设()21ln x e y +=，则=dy ．高阶导数公式，莱布尼兹公式，常用高阶导数公式 (4分)4．设x y sin =，则=)10(y （）．（A ）x sin （B ）x cos （C ）x sin -（D ）x cos - (4分)4．设函数)(x f 具有任意阶导数，且[]2)()(x f x f ='，设2≥n ，且为正整数．则=)()x f n （． (6分)4．已知x x y sin 2=，求）（20y ．泰勒公式，麦克劳林公式，五大公式三大中值定理及其应用：证明不等式，证明恒等式，证明中值问题(9分)1. 证明罗尔定理．如果函数)(x f 满足：（１）在闭区间[]b a ,上连续；（２）在开区间()b a ,内可导；（３）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，那么在()b a ,内至少有一点)(b a <<ξξ，使得0)(='ξf ．导数应用：单调性，极值，凹凸性，拐点，曲率水平，铅直，斜渐近线(4分)1．函数224)(x x f -=的图形的水平渐近线的方程为．。

安徽大学期末试卷MK10-11(1)高数C(三)答案.pdf

∫ ∫ fY
(
y)
=
+∞ −∞
f
(x,
y)dx
=
⎧ ⎪6 ⎨ ⎪⎩
y 0
xdx, 0,
0
<
y
< 1,
=
⎧3 y 2 , ⎨
其它 ⎩ 0,
0 < y < 1, . 其它
(4)因为在 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 内, f (x, y) ≠ fX (x) fY ( y) ,所以, X ,Y 不相互独立。
16. （本小题 14 分）【解】（1） f (x) = ⎧⎪⎨θ1 ， 0 < x < θ， ⎪⎩ 0，其他.
15. （本小题 12 分）【解】
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ （1）因为1 =
+∞ +∞
f
−∞ −∞
(x, y)dxdy
=
1
A
0
1
xdx dy
x
=
1
A
0
x(1 −
x)dx
=
A[ x2 2
−
x3 3
]
|10
=
A； 6
所以 A = 6 。
1
1
1
∫∫ ∫ ∫ ∫ （2）
P ⎛⎜⎝Y
≤
1⎞ 2 ⎟⎠
=
y
≤
1 2
f
( x,
= C22 ⋅ 4 + C31 ⋅ C21 ⋅ 5 + C32 ⋅ 6 = 13 C52 10 C52 10 C52 10 25
C31 ⋅ C21 ⋅ 5
（2） P(B1
|
A)
=
P( AB1) P( A)
=

10-11高数(二)中考本科试卷_A_[1]

( A) x 2 y 2 1
( B) x 2 y 2 z
( D) x 2 y 2 2 z 2 1
(C ) x 2 +2 y 2 z
2.设z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续是z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处
可微的( C ) 条件.
则: 1) 当 AC B 0 时, 具有极值
2
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
2) 当 AC B 2 0 时, 没有极值.
AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论. 3) 当
13
★拉格朗日乘数法: 要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的可能极值点, 先构造函数：F ( x, y, ) f ( x, y) ( x, y)，
1 lim ( x , y ) (0,0) 2
1 . 2
7
2z 2.设函数 f (u, v )具有二阶连续偏导, z f ( x, xy ), 求 . xy z 解： f1 +yf2 , z , f1 , f 2 x
z ( f1 +yf2 )y xy
2
x
x
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, 可由 f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, 解出 x, y, ， ( x , y ) 0. 则解出的 x, y 就是可能的极值点的坐标.
★有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤： D内的驻点及不可导点. (1)找最值可疑点边界上的可能极值点. (2)比较以上各点处的函数值,最大(小)者即为所求的最大(小)值 .

安徽大学10-11(1)高数A(一)、B(一)答案

安徽大学 2010—2011 学年第一学期《高等数学 A(一)、B(一)》（B 卷）考试试题参考答案及评分标准
一、填空题（本题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
1 1. 2
2. y = x + e 2
π
3.
π
2
4.0
5.
2 (2 2 −，每小题 2 分，共 10 分） 6. C 7. C 8. D 9. B 10. A
+∞
+∞
2
dx x −1=t = x x −1
2
∫
+∞
1
2dt π +∞ = 2 arctan t |1 = ，收敛 2 (t + 1) 2
1
dx =π x x −1
四、综合分析题（本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） x dy 18. = 1 + ∫ [t − y (t )]dt , y (0) = 1 0 dx 方程两边求导有：对应齐次方程为 y " + y = 0
[‰Y'•Q~ÜNf^—
19. (1) 若 a = 0 时
A = ∫ ax + b dx = ∫ b dx = b ，
0 0 1 1
则 V = π A2 。 (2) 若 a ≠ 0 时，由几何对称性仅需讨论 a > 0 情形：设直线与 x 截距为 t ，则直线可表为 y = a ( x − t ) ， ⎧a( 1 2 − t ), t < 0 ⎪ 2 1 A = ∫ a x − t dx = ⎨a[(t − 1 2 ) + 4 ], 0 ≤ t ≤ 1 0 ⎪a (t − 1 ), t > 1 2 ⎩ 再由几何对称性， t < 0 与 t > 1 情形相同， i) 当 t < 0 时： 1 1 1 1 V = π a 2 ∫ ( x − t ) 2 dx = π a 2 [(t − ) 2 + ] = π A2 + π a 2 > π A2 0 2 12 12 ii) 当 0 ≤ t ≤ 1 时，可得 2 A ≤ a ≤ 4 A ， 1 1 3 4 V = π a 2 ∫ ( x − t ) 2 dx = − π (a − 3 A) 2 + π A2 ≥ π A2 。 0 6 2 3

高二数学选择性必修一总复习（B卷）答案与提示

高二数学选择性必修一总复习（B 卷）答案与提示一㊁单选题1.B2.B3.B4.D5.D 图16.B 提示:如图1,作直线2x +y =0,当直线上移与圆x 2+(y -1)2=1相切时,z =2x +y 取最大值㊂此时,圆心(0,1)到直线2x +y -z =0的距离等于1,即|1-z |5=1㊂解得z 的最大值为5+1㊂当下移与圆x 2+y 2=4相切时,2x +y 取最小值㊂同理|-z |5=2,即z 的最小值为-25㊂所以z =2x +y 的最大值与最小值之和是1-5㊂7.C 提示:直线l :k x -y -2k +1=0,即为k (x -2)+1-y =0,可得直线恒过定点(2,1)㊂圆C 2:(x -2)2+(y -1)2=1的圆心为(2,1),半径为1,且C ,D 为直径的端点㊂由A C ң=D B ң,可得A B 的中点为(2,1)㊂设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 21a 2+y21b 2=1,x 22a 2+y 22b2=1㊂两式相减可得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b2=0㊂由x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,可得k =y 1-y 2x 1-x 2=-2b2a2㊂由-2ɤk ɤ-1,可得12ɤb2a2ɤ1㊂则椭圆的离心率e =ca =1-b 2a2ɪ0,22㊂图28.C 提示:如图2所示,建立直角坐标系㊂设抛物线的标准方程为y 2=2p x (p >0),Fp 2,0 ㊂y A =d2,代入抛物线方程可得d 22=2px ,解得x =d28p㊂由t a n θ=2t a nθ21-t a n2θ2=-45,可得t a n θ2=52或t a n θ2=-255(舍去)㊂又d2p 2-d28p=t a n θ2=52,可化为45p 2-8d p -5d 2=0㊂解得p =52d 或p =-510d (舍去)㊂故f d =p 2d =54㊂二㊁多选题9.A C 提示:设椭圆的右焦点F ',连接P F ',Q F ',根据椭圆对称性可知四边形P F Q F '为平行四边形㊂则|Q F |=|P F '|,且由øP F Q =120ʎ,可得øF P F '=60ʎ㊂所以|P F |+|P F '|=4|P F '|=2a ,则|P F '|=12a ,|P F |=32a ㊂由余弦定理可得(2c )2=|P F |2+|P F '|2-2|P F |㊃|P F '|c o s 60ʎ=94a 2+a 24-2ˑ32a ㊃12a ㊃12,所以c 2=716a 2㊂椭圆的离心率e =c 2a2=716=74㊂设M (x 0,y 0),P (x 1,y 1),则Q (-x 1,24 演练篇核心考点A B 卷高二数学 2023年11月-y 1),k 1=y 0-y 1x 0-x 1,k 2=y 0+y 1x 0+x 1㊂所以k 1k 2=y 0-y 1x 0-x 1㊃y 0+y 1x 0+x 1=y 20-y 21x 20-x 21㊂又x 20a 2+y 20b 2=1,x 21a 2+y21b2=1,相减可得y 20-y 21x 20-x 21=-b2a 2㊂因为c 2a 2=716,所以b 2a 2=916,即k 1k 2=-916㊂图310.A B 提示:在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,以点D 为原点,建立如图3所示的空间直角坐标系,令|A B |=2㊂则D (0,0,0),D 1(0,0,2),B (2,2,0),E (1,0,0),F (2,1,0),G (2,2,1),H (1,2,2),I (0,1,2)㊂对于A ,D 1E ң=(1,0,-2),G D ң=(-2,-2,-1),D 1E ң㊃G D ң=0,则D 1E ʅG D ,A 正确㊂对于B ,E F ң=(1,1,0),D B ң=(2,2,0)=2E F ң,即E F ңʊD B ң,而D ∉E F ,故D B ʊE F ㊂而E F ⊂平面D 1E F ,D B ⊄平面D 1E F ,因此D B ʊ平面D 1E F ㊂所以点D 与点B 到平面D 1E F 的距离相等,B 正确㊂对于C ,I H ң=(1,1,0)=E F ң,即I H ңʊE F ң,而H ∉E F ,故I H ʊE F ㊂取点Q (3,2,0),则E F ң=F Q ң=(1,1,0),G Q ң=H G ң=(1,0,-1)㊂所以E ,F ,Q 与H ,G ,Q 均三点共线,故E F ɘG H =Q ㊂所以E F ⊂平面H I G ,C 错误㊂对于D ,D 1F ң=(2,1,-2),G H ң=(-1,0,1),令D 1F 与G H 的夹角为θ,则:c o s θ=|c o s <D 1F ң,G H ң>|=|D 1F ң㊃G H ң||D 1F ң||G H ң|=43ˑ2=223,显然θʂπ6,D 错误㊂11.A B D 提示:由题意可得M 533,4,N393,-2㊂所以5332a2-16b 2=1,3932a2-4b2=1,即253a2-16b2=1,133a 2-4b 2=1㊂解得a 2=3,b 2=9㊂所以双曲线C 的方程为x 23-y29=1,A 正确㊂双曲线x 23-y29=1的渐近线方程为y =ʃ3x ,双曲线y 23-x 2=1的渐近线方程为y =ʃ3x ,B 正确㊂由双曲线的性质可知,若过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行,只与双曲线有一个交点,所以不存在一点,使过该点的任意直线与双曲线C 有两个交点,故C 错误㊂由题意得D (-3,0),E (3,0),设P (x 0,y 0)(x 0ʂʃ3)为双曲线上任意一点,则x 203-y 209=1,y 20=3x 20-9㊂所以k P D ㊃k P E =y 0x 0+3㊃y 0x 0-3=y 20x 20-3=3(x 20-3)x 20-3=3㊂因此,双曲线C 上存在无数个点,使它与D ,E 两点的连线的斜率之积为3,D 正确㊂故选A B D ㊂图412.A C D 提示:如图4,取A D 的中点N ,连接MN ㊂因为A 1D 1ʊA D 且|A 1D 1|=|A D |,且M ㊁N 分别为A 1D 1㊁A D 的中点,所以A 1M ʊA N 且|A 1M |=|A N |,四边形A A 1M N 为平行四边形㊂可得MN ʊA A 1,且|MN |=|A A 1|=4㊂因A A 1ʅ底面A B C D ,故M N ʅ底面A B -C D ㊂因为N P ⊂底面A B C D ,所以M N ʅN P ㊂34演练篇核心考点A B 卷高二数学 2023年11月因为|M P |=25,|N P |=|M P |2-|M N 2|=2,所以点P 的轨迹是以N 为圆心,2为半径的圆,其位于正方形A B -C D 内的部分㊂故点P 的轨迹长度为πˑ2=2π,A 正确㊂图5以A为原点,A B ㊁A D ㊁A A 1所在直线分别为x ㊁y ㊁z 轴,建立空间直角坐标系,如图5㊂则A 1(0,0,4),C (4,4,0),M (0,2,4),B (4,0,0),D (0,4,0),B 1(4,0,4)㊂设P (2c o s θ,2+2s i n θ,0)-π2ɤθɤπ2㊂A 1C ң=(4,4,-4),M P ң=(2c o s θ,2s i n θ,-4)㊂A 1C ң㊃M P ң=8c o s θ+8s i n θ+16=82s i n θ+π4+2>0,B 错误㊂设平面B D D 1B 1的法向量为n =(x ,y ,z ),B D ң=(-4,4,0),B B 1ң=(0,0,4)㊂则n ㊃B D ң=-4x +4y =0,n ㊃B B 1ң=4z =0㊂令x =1,可得n =(1,1,0)㊂c o s <M P ң,n >=M P ң㊃n|M P ң|㊃|n |=2s i n θ+2c o s θ25ˑ2=55s i n θ+π4㊂又-π2ɤθɤπ2,则-π4ɤθ+π4ɤ3π4㊂所以,当θ+π4=π2,即当θ=π4时,c o s <M P ң,n >取得最大值55,故C 正确㊂如图4,挖去部分为半圆锥,原正方体的表面积S =6ˑ4ˑ4=96㊂挖去部分的面积S 1=8+2π,新增部分的面积S 2=12ˑ25ˑ2π=25π㊂所剩部分几何体的表面积S -S 1+S 2=88+2(5-1)π,故D 正确㊂三、填空题13.x +y -3=014.4 提示:由题意,显然过点M (-1,m )作抛物线C :y 2=2px 的切线的斜率存在,可设斜率为k ,则该切线方程为y -m =k (x +1),即y =k x +k +m ㊂联立y =k x +k +m ,y 2=2px ,消去y 可得k 2x 2+(2k 2+2k m -2p )x +k 2+2k m +m 2=0㊂由于切线与抛物线只有唯一交点,则Δ=(2k 2+2k m -2p )2-4k 2(k 2+2k m +m 2)=0,整理可得2k 2+2k m -p =0㊂由题意可知k M A ,k M B 为方程2k 2+2k m -p =0的两个根,则k M A ㊃k M B =-p 2㊂由题意,设直线A B 的方程为x =n y +p2㊂联立可得x =n y +p 2,y 2=2px ,消去x 可得y 2-2p n y -p 2=0㊂由题意可知y 1,y 2为该方程的两个根,则y 1y 2=-p 2㊂故y 1y 2k M A ㊃k M B =-p2-p2=2p ㊂由抛物线方程y 2=2p x (p >0),可得函数y =2p x 或函数y =-2p x ㊂则y '=12㊃12p x ㊃2p =p2p x 或y '=-12㊃12px ㊃2p =-p2px ㊂不妨设A (x 1,y 1)在第一象限,则x 1>0,y 1>0,即y 1=2p x 1,且kM A =p2p x 1=py 1㊂因设A (x 1,y 1)在第一象限,故B (x 1,y 2)在第四象限,即x 2>0,y 2<0,可得y 2=-2px 2,且k M B =-p2px 2=py 2,故k M A ㊃k M B =p 2y 1y 2㊂又y 1y 2=-p 2,则y 1y 2k M A ㊃k M B =y 1y 2p2y 1y 2=44 演练篇核心考点A B 卷高二数学 2023年11月(y 1y 2)2p2=p 2㊂综上可得2p =p 2,解得p =2,故y 1y 2k M A ㊃k M B=4㊂图615.66提示:设直线A C 与B D '所成角为θ,设O 是A C 中点,由已知得|A C |=6㊂如图6,以O B 为x 轴,O A 为y 轴,过O 与平面A B C 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系㊂则A 0,62,0 ,B 302,0,0,C 0,-62,0㊂作DH ʅA C 于H ,翻折过程中,D 'H 始终与A C 垂直,|C H |=|C D 2||C A |=16=66,则|O H |=63,|DH |=1ˑ56=306㊂因此可设D '306c o s α,-63,306s i n α,则B D 'ң=306c o s α-302,-63,306s i n α,与C A ң平行的单位向量为n =(0,1,0)㊂所以c o s θ=|c o s <B D 'ң,n >|=|B D 'ң㊃n ||B D 'ң||n |=639-5c o s α,当c o s α=1时,c o s θ取最大值66㊂16.①③④ 提示:设点P (x ,y )㊂对于①,若曲线C 表示点(a ,b ),则d (P ,C )=(x -a )2+(y -b )2ɤ2,化简可得(x -a )2+(y -b )2ɤ4㊂所以,点集D ={P |d (P ,C )ɤ2}所表示的图形是以点(a ,b )为圆心,半径为2的圆及其内部㊂点集D ={P |d (P ,C )ɤ2}所表示的图形的面积为πˑ22=4π,①正确㊂对于②,若曲线C 表示以点M (a ,b )为圆心,半径为2的圆㊂设Q 为曲线C 上一点,当点P 在曲线C内时,|P Q ң|=|M Q ң-M P ң|ȡ|M Q ң|-|M P ң|=2-|M P ң|,当且仅当Q ㊁P ㊁M 三点共线时,等号成立㊂所以,d (P ,C )=2-|M P |ɤ1,可得|M P |ȡ1,此时1ɤ|M P |<2㊂当点P 在曲线C 外时,|P Q ң|=|M Q ң-M P ң|ȡ|M P ң|-|M Q ң|=|M P ң|-2,当且仅当Q ㊁P ㊁M 三点共线时,等号成立㊂所以,d (P ,C )=|M P |-2ɤ1,可得|M P |ɤ3,此时2<|M P |ɤ3㊂当点P 在曲线C 上时,线段P Q 的长不存在最小值㊂综上所述,1ɤ|M P |<2或2<|M P |ɤ3,即1ɤ(x -a )2+(y -b )2<4或4<(x -a )2+(y -b )2ɤ9㊂图7所以,点集D ={P |d(P ,C )ɤ1}所表示的图形是夹在圆(x -a )2+(y -b )2=1和圆(x -a )2+(y -b )2=9的区域(但不包括圆(x -a )2+(y -b )2=4的圆周),如图7㊂此时,点集D ={P |d (P ,C )ɤ1}所表示图形的面积为πˑ(32-12)=8π,②错误㊂对于③,不妨设曲线C 为线段A B ,且|A B |=2㊂当点Q 与点A 重合时,由①可知,点集D 表示的是以点A 为圆心,半径为1的圆㊂当点Q 与点B 重合时,点集D 表示的是以点B 为圆心,半径为1的圆㊂图8故当点Q 在线段A B 上滑动时,点集D 表示的区域是一个边长为2的正方形E F G D 和两个半径为1的半圆所围成的区域,如图8㊂此时,点集D 的面积为πˑ12+22=π+4,③正确㊂对于④,若曲线C 是边长为9的等边三角形,设等边三角形为әA B C ㊂因为øB A D =øC A E =π2,øB A C =54演练篇核心考点A B 卷高二数学 2023年11月π3,所以øD A E =2π3㊂图9由③可知,点集D 构成的区域由矩形A B R D ㊁A C FE ㊁B C -W L ,以及分别由点A ㊁B ㊁C 为圆心,半径为1,圆心角为2π3的三段圆弧,和夹在等边әA B C 和等边әS T U 中间的部分(包括边界),如图9㊂|S G |=1,因此,|A G |=|S G |t a nπ3=3,则|H G |=|A B |-2|A G |=9-23㊂所以,点集D 所表示的图形的面积为πˑ12+3ˑ9ˑ1+3492-(9-23)2=54+π-33,④正确㊂四、解答题17.(1)易知直线l 的截距不能为0㊂令x =0,y =-12-a ;令y =0,x =-1a ㊂则-12-a =-1a,解得a =1㊂(2)圆心12,12 到直线l 的距离d =12a +12(2-a )+1a 2+(2-a )2=15⇒42a 2-4a +4=15⇒a 2-2a -8=0⇒a =4或a =-2,故a 的值为4或-2㊂18.(1)由题意可知,C 上任意一点M (x ,y )到定点F (2,0)的距离与它到直线x =-2的距离相等,轨迹为抛物线㊂设方程为y 2=2px ,则-p 2=-2,p =4,故抛物线C 的方程为y 2=8x ㊂(2)设直线A B 的方程为x =t y +2,A y 218,y 1,B y 228,y 2㊂则l O A :y =8y 1x ,l O B :y =8y 2x ㊂由y =8y 1x ,x =-2,得M -2,-16y 1㊂同理可得N -2,-16y 2㊂由x =t y +2,y 2=8x ,得y 2-8t y -16=0,则y 1y 2=-16㊂F M ң=-4,-16y 1,F N ң=-4,-16y 2,则F M ң㊃F N ң=-4,-16y 1㊃-4,-16y 2=(-4)ˑ(-4)+-16y 1ˑ-16y 2=16+16ˑ16y 1㊃y 2㊂又y 1y 2=-16,故F M ң㊃F N ң=16+16ˑ16-16=0㊂因此,以线段MN 为直径的圆经过点F ㊂19.(1)设点E 到A B 的距离为h ㊂因为әA B E 的面积为4,|A E |=2,|A B |=4,所以12h ㊃|A B |=4,12ˑh ˑ4=4,即h =2㊂因为|A E |=2,所以A E ʅA B ,即A A 'ʅA B ㊂又A D ʅA A ',A D ɘA B =A ,A D ⊂平面A B C D ,A B ⊂平面A B C D ,所以A A 'ʅ平面A B C D ㊂当λ=1时,F P ң=P H ң,即P 为F H 的中点,则P 在B 'D '上㊂又因为D D 'ʊA A ',所以D D 'ʅ平面A B C D ㊂因为A C ⊂平面A B C D ,所以D D 'ʅA C ㊂又A C ʅB D ,D D 'ɘB D =D ,D D '⊂平面B D D 'B ',B D ⊂平面B D D 'B ',所以A C ʅ平面B D D 'B '㊂又B P ⊂平面B D D 'B ',所以B P ʅA C ㊂(2)因为A A 'ʅ平面A B C D ,B D ⊂平面A B C D ,所以A A 'ʅB D ,即A E ʅB D ㊂又A C ʅB D ,A E ɘA C =A ,A E ⊂平面A C C 'E ,A C ⊂平面A C C 'E ,所以B D ʅ平面A C C 'E ㊂64 演练篇核心考点A B 卷高二数学 2023年11月因此,多面体B -A C C 'E 的体积V =13㊃S 梯形A C C 'E ㊃12|B D |=13ˑ12ˑ(2+4)ˑ422ˑ42=16㊂(3)由(1)知,D A ,D C ,D D '两两垂直㊂图10如图10,以D 为原点,D A ,D C ,D D '所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系㊂则D (0,0,0),B (4,4,0),E (4,0,2),C '(0,4,4),F (2,0,4),H (0,2,4)㊂故B E ң=(0,-4,2),B C 'ң=(-4,0,4)㊂设P (x 0,y 0,4),当λ=2时,F P ң=2P H ң,即(x 0-2,y 0,0)=2(-x 0,2-y 0,0)㊂所以x 0-2=-2x 0,y 0=2(2-y 0),则x 0=23,y 0=43,即P 23,43,4㊂所以B P ң=-103,-83,4㊂设平面B C 'E 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则:n ㊃B E ң=-4y +2z =0,n ㊃B C 'ң=-4x +4z =0㊂令z =2,得x =2,y =1,则n =(2,1,2)㊂所以|c o s <B P ң,n >|=|B P ң㊃n ||B P ң|㊃|n |=-203-83+8-1032+-832+16ˑ4+1+4=277231㊂所以当λ=2时,直线B P 与平面B C 'E夹角的正弦值为277231㊂20.(1)由题意得,圆C :(x -1)2+y 2=16,则圆心C (1,0),半径r =4㊂设P N 中点为K ,则Q K 为线段P N 的垂直平分线,|P Q |=|Q N |㊂而|Q N |+|Q C |=|Q P |+|Q C |=r =4>|N C |=2,所以Q 点轨迹是以C ,N 为焦点,长轴长为4的椭圆,即a =2,c =1,则b 2=a 2-c 2=3㊂所以点Q 的轨迹方程为x 24+y23=1㊂(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意可得x 1,x 2ɪ(0,2)㊂则x 214+y 213=1,x 224+y 223=1,故y 21=3-3x 214,y 22=3-3x 224㊂因此,|A C |=(x 1-1)2+y 21=x 21-2x 1+1+3-34x 21=14(4-x 1)2=2-12x 1㊂同理可得|B C |=2-12x 2㊂因为A B ʅO M ,|O M |=3,所以|A M |=|O A |2-|O M |2=x 21+y 21-3=x 21+3-34x 21-3=12x 1㊂同理可得|B M |=12x 2㊂所以|A B |+|A C |+|B C |=|A M |+|B M |+|A C |+|B C |=12x 1+12x 2+2-12x 1+2-12x 2=4,即әA B C 的周长为定值4㊂21.(1)设P (x 0,y 0),切线y -y 0=k (x -x 0),且x 20+y 20=5㊂由x 24+y 2=1,y -y 0=k (x -x 0),得(1+4k 2)x 2+8k (y 0-k x 0)x +4(y 0-k x 0)2-4=0㊂由Δ=0,得(4-x 20)k 2+2x 0y 0k +1-y 2=0㊂设切线P A ,P B 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1k 2=1-y 204-x 20=1-y 24-(5-y 20)=-1㊂74演练篇核心考点A B 卷高二数学 2023年11月又直线P A 的斜率为2,故直线P B 的斜率为-12㊂(2)①当切线P A ,P B 的斜率都存在时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),切线P A ,P B 方程为y -y i =k i (x -x i ),i =1,2㊂由(1)得(4-x 2i )k 2+2x i y i k i +1-y 2i =0,i =1,2㊂(*)由点A ,B 在椭圆上,得x 2i 4+y 2i =1,i =1,2,代入(*)得2y i k i +x i2 2=0,即k i=-x i4y i,i =1,2㊂切线P A ,P B 的方程为x ix 4+y iy =1,i =1,2㊂由于点P 在切线P A ,P B 上,则x ix 04+y iy 0=1,i =1,2,所以直线A B 的方程为x 0x4+y 0y =1㊂由P Q ʅA B ,得直线P Q 的方程为y -y 0=4y 0x 0(x -x 0)㊂联立直线A B ,解得x Q =4x 0(1+3y 20)x 20+16y 2=45x 0,y Q =y 0(1+3y 20)x 20+16y 20=15y 0㊂由x 20+y 20=5,得Q 点轨迹方程为516x 2+5y 2=1,且焦点恰为F 1,F 2㊂②当切线P A ,P B 的斜率有一个不存在时,不妨设P B 斜率不存在,且B (2,0),P (2,1),A (0,1)㊂直线A B 的方程为y =-12x +1,P Q 的方程为y -1=2(x -2),联立方程解得Q85,15,也在椭圆516x 2+5y 2=1上㊂综上可知,点Q 的轨迹为椭圆516x 2+5y 2=1㊂所以,S әQ F 1F 2=12|F 1F 2|ˑ|y Q |ɤ12ˑ23ˑ55=155,当Q 在椭圆516x 2+5y 2=1的短轴端点时取等号㊂22.(1)已知F 2(b ,0),则c =b ㊂故a 2=2c 2,e =22㊂(2)①设点P (x 0,y 0),于是|x 0-y 0-b |2=2b ㊂所以x 0-y 0-3b =0或x 0-y 0+b =0㊂方程组x -y -3b =0,x 2+2y 2=2b 2无解㊂由x -y +b =0,x 2+2y 2=2b 2,得P -43b ,-13b㊂又因为S әP F1F2=12ˑ2b ˑ13b =13,所以b =1㊂于是,椭圆C 的方程为x 22+y 2=1㊂②设直线l :y =k x +m ,代入椭圆C 的方程x 2+2y 2=2中,得:(2k 2+1)x 2+4k m x +2m 2-2=0㊂由Δ=0,得m 2=2k 2+1㊂同时,|F 1M |=|m -k |1+k2,|F 2N |=|m +k |1+k2㊂i )当k ʂ0时,|M N |=|F 1M |-|F 2N |k㊂所以(|F 1M |+|F 2N |)㊃|MN |=4|k m |(1+k 2)|k |=4|m |1+k2=4|m |1+m 2-12=8|m |+1|m |ɤ4,当且仅当|m |=1时等号成立㊂而k ʂ0,|m |ʂ1,因此(|F 1M |+|F 2N |)㊃|MN |<4㊂i i )当k =0时,四边形F 1M F 2N 为矩形㊂此时(|F 1M |+|F 2N |)㊃|MN |=(1+1)ˑ2=4㊂由i ),i i )可知,(|F 1M |+|F 2N |)㊃|MN |的最大值为4㊂(责任编辑徐利杰)84 演练篇核心考点A B 卷高二数学 2023年11月。

高等数学B1期中考试详细解答

n
nx nx2 2

0；
综上
f
(x)

1 ，x x

0
0，x 0
四、求导数 1．【解】 y (x 2)(x 3) (x 1)[(x 2)(x 3)]
x2 5x 6 (x 1)[(x 3) (x 2)] x2 5x 6 (x 1)(2x 5) x2 5x 6 2x2 7x 5 3x2 12x 11 2．
3．
【解】由 n 1 1 1 n ，
n2 n n2 n2 2
n2 n n2
则
n
n2
n
n

n(
n2
1

n2
1
2

n2
1
) n

n
n2
n

因为
lim(n
n
n2
n
) n

lim
n
n2
n2 n
1，lim(n n
，则
x2 lxim3 (
2x x
k m)
x2 4
(3 m)x 3m
，
解得
k 3 m 1
二、选择题
1．C
【解】 lim x0
f
( x0
3x) x
f
(x0 )
3 lim x0
f
( x0
3x) 3 x
f (x0 )
解得 x0 0 ，代入切点得 x0 ex0 0 1 1，故切点为 (0，1)
4．F
【解】对于 A，取 f (x) 1 sin 1，g(x) 1 sin 1 ，则当 x 0 时，均 f (x)，g(x)

北师大版高中数学必修一复件高一期中考试数学试题B卷

高一期中考试数学试题（B 卷）命题李保林校对王振刚一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若A={a,b,1},则（）A.1∈AB.1∉AC.a=1D.b=1 2. 已知函数()1f x x=-的定义域为M,则M=（） A.{x|x>1}B.{x|x<1}C.{x|－1<x<1}D.∅3. 设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A ∩(U B )=（）A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3}4. 函数y=x a 在[0,1]上的最大值为2,则a=（）A.12B.2C.4D.145. 对于a>0,a ≠1,下列结论正确的是（）A.若M=N,则log log a a M N =B.若22log log a a M N =,则M=NC.若log log a a M N =,则M=ND.若M=N,则22log log a a M N =6. 三个数:0.22,21()2,21log 2的大小是（）A.21log 2>0.22>21()2B.21log 2>21()2>0.22C.0.22>21log 2>21()2D.0.22>21()2>21log 27. 已知函数22(1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,若f(a)=3,则a 的值为（）以上均不对8. 已知集合A={1,2,3},B={2,4},定义集合A 、B 之间的运算,A*B={x|x ∈A 且x ∉B},则集合A*B 等于（） A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,3}D.{2}9．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）10．已知32()logf x a x=-是奇函数,则2011a ＋2011a 的值为（） A.2012B.2011C.2010D.2009二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．设:f A B →是A 到B 的一个映射，其中A=B={}(,)|,x y x y R ∈,:(,)(,)f x y x y x y →-+,则A 中元素(1,2)-在B 中的像是12．函数()y f x =的图象与函数3log y x =(x>0)的图象关于直线y=x 对称,则f(x)=13．幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________ 14．函数2()1f x x x =-+在定义域[0,2]上的值域为: .15．已知函数2log (0)()3 (0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩,则1[()]4f f 的值是 .三、解答题（本大题共6小题，满分共75分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知集合A=｛-1，3｝，B={}0|2=++b ax x x ，且A=B ，求实数,a b 的值。

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高一期中考试数学试题（B 卷）命题李保林校对王振刚一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若A={a,b,1},则（）A.1∈AB. 1∉AC. a=1D. b=1 2. 已知函数1()1f x x=-的定义域为M, 则M= （） A. {x|x>1} B.{x|x<1} C. {x|－1<x<1} D. ∅ 3. 设集合U={1,2,3,4,5}, A={1,2,3},B={2,5}, 则A ∩(U B )=（）A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3} 4. 函数y=x a 在[0,1]上的最大值为2, 则a= （）A.12 B.2 C. 4 D. 145. 对于a>0, a ≠1, 下列结论正确的是（）A. 若M=N , 则 log log a a M N =B. 若22log log a a M N =, 则M=NC. 若log log a a M N =, 则M=ND. 若M=N, 则22log log a a M N =6. 三个数: 0.22, 21()2, 21log 2的大小是（）A. 21log 2>0.22>21()2 B. 21log 2>21()2>0.22 C. 0.22>21log 2>21()2 D. 0.22>21()2>21log 27. 已知函数22(1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩, 若f(a)=3 , 则a 的值为（）A. 3B. －3C. ±3D.以上均不对8. 已知集合A={1,2,3}, B={2,4}, 定义集合A 、B 之间的运算, A*B={x|x ∈A 且x ∉B}, 则集合A*B 等于（）A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,3}D.{2}9．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）10．已知32()log a xf x a x-+=-是奇函数, 则2011a ＋2011a 的值为（） A. 2012 B.2011 C.2010 D.2009二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．设:f A B →是A 到B 的一个映射，其中 A=B={}(,)|,x y x y R ∈,:(,)(,)f x y x y x y →-+, 则A 中元素(1,2)-在B 中的像是12．函数()y f x =的图象与函数3log y x =(x>0) 的图象关于直线y=x 对称,则f(x)=13．幂函数()f x 的图象过点43,27)（，则()f x 的解析式是_____________ d d 0t 0 t O A ．d d 0t 0 t O B ．d d 0t 0 t O C ．d d 0t 0 tO D ．14．函数2()1f x x x =-+在定义域[0,2]上的值域为: .15．已知函数2log (0)()3 (0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩, 则1[()]4f f 的值是 .三、解答题（本大题共6小题，满分共75分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知集合A=｛-1，3｝，B={}0|2=++b ax x x ，且A=B ，求实数,a b 的值。

一中高二数学下学期期中试题B卷文(2021年整理)

黑龙江省青冈县一中2017-2018学年高二数学下学期期中试题B卷文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（黑龙江省青冈县一中2017-2018学年高二数学下学期期中试题B卷文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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2017-2018学年度青冈一中高二期中考试数学文B试卷一．选择题（共12小题，每小题5分)1．集合P={x｜0≤x＜3｝，M=｛x|｜x｜≤3}，则P∩M=（）A．{1，2｝B．{0，1，2｝C．｛x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}2．设复数z满足（1+i）z=i﹣1,则｜z｜=（)A．4 B．1 C．2 D．33．函数f（x)=+1+x的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1,+∞）C．［﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣1，1）4．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等;③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为（）A．②①③ B．③①② C．①②③ D．②③①5．在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．设()⎩⎨⎧<≥-=,2,1xxxxfx，则()[]=-2ff（ )23.21.41.1.DCBA-7．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是教师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是教师C．甲是医生，乙是教师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是教师8．已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（）A． B． C． D．9．[]表示不超过的最大整数．若S1=［］+[]+［]=3,S2=［]+［］+[］+［］+[]=10，S3=[]+［］+［］+［］+［］+［］+［]=21，…,则S n=（）A．n（n+2）B．n（n+3）C．（n+1)2﹣1 D．n（2n+1）10．在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为（）A．ρcosθ= B．ρcosθ=2C．ρ=4sin（θ+) D．ρ=4sin（θ﹣）11．函数y=xln|x|的大致图象是( )A．B．C．D．12．二次函数f(x）满足对称轴为x=2，又f(0）=3,f(2）=1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1,则m的取值范围是（）A．(0,+∞) B．［2，+∞）C．（0,2] D．［2，4]二．填空题（共4小题，每小题5分）13．复数= ．14．将曲线C按伸缩变换公式变换得曲线方程为x2+y2=1，则曲线C的方程为．15．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是（填序号)．①假设三个角都不大于60°；②假设三个角都大于60°；③假设三个角至多有一个大于60°; ④假设三个角至多有两个大于60°．16．在以O为极点的极坐标系中，曲线ρ=2cosθ和直线ρcosθ=a相交于A,B两点．若△AOB 是等边三角形，则a的值为．三．解答题(共6小题）17．(10分）已知：命题p:方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实根．命题q：1＜m＜3；若p假q真，求实数m的取值范围．18．（12分）已知i是虚数单位，且（1+2i)=3+i．（1）求z；（2）若z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．19．(12分）观察下列方程，并回答问题：①x2﹣1=0;②x2+x﹣2=0；③x2+2x﹣3=0；④x2+3x﹣4=0;…．(1）请你根据这列方程的特点写出第n个方程；（2）直接写出第2009个方程的根;（3）说出这列方程的根的一个共同特点．20．（12分)（1）已知在平面直角坐标系中，直线l经过点P（1，1)，倾斜角α=，写出直线l的参数方程．（2）极坐标系中，已知圆ρ=10cos，将它化为直角坐标方程．21．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系 (与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求｜PA|+｜PB|．22．（12分）已知曲线C:+=1，直线l：（t为参数）(Ⅰ）写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程．(Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．数学答案B 卷1—12 CBCDA CCADB CD13 。

精品解析：吉林省白城市第一中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题(解析版)

白城市第一中学2024-2025学年度高一上学期期中考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知函数()21010x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，，，若()()423f x f x >--，则实数x 的取值范围是（）A.()1，-+∞ B.()1-∞-，C.()14-，D.()1-∞，【答案】C 【解析】【分析】根据函数的解析式，分析函数的单调性，进而可将(4)(23)f x f x ->-转化为：40230x x -<⎧⎨-⎩或4230x x -<- ，解得答案．【详解】函数21,0()1,0x x f x x ⎧+=⎨>⎩，∴函数在(-∞，0]上为减函数，在(0,+∞)上函数值保持不变，若(4)(23)f x f x ->-，则40230x x -<⎧⎨-⎩或4230x x -<-，解得：(1,4)x ∈-，故选：C ．【点睛】本题主要考查的知识点是分段函数的解析式、单调性，函数单调性的应用，难度中档．2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 应为（）A.10mB.15mC.20mD.25m【答案】C 【解析】【分析】设出矩形花园的宽为y m ，根据相似得到方程，求出40y x =-，从而表达出矩形花园的面积，配方求出最大值，并得到相应的x .【详解】设矩形花园的宽为y m ，则404040x y -=，即40y x =-，矩形花园的面积()()22404020400S x x x x x =-=-+=--+，其中()0,40x ∈，故当20x =m 时，面积最大.故选：C3.若()f x 是定义在R 上的单调递增函数，则下列四个命题中正确的有（1）若00()>f x x ，则[]00()>f f x x ；（2）若[]00()>ff x x ，则00()>f x x ；（3）若()f x 是奇函数，则[()]f f x 也是奇函数；（4）若()f x 是奇函数，则1212()()00+=⇔+=f x f x x x ．A.4个 B.3个C.2个D.1个【答案】A 【解析】【分析】利用单调性判断①；利用单调性与反证法判断②；利用奇偶性的定义判断③;利用奇偶性以及单调性判断④.【详解】对于①,()f x 是定义在R 上的单调递增函数,若()00f x x >,则()()000f f x f x x >>⎡⎤⎣⎦,故①正确;对于②,当()00f f x x >⎡⎤⎣⎦时,若()00f x x ≤,由()f x 是定义在R 上的单调递增函数得()()000f f x f x x ≤≤⎡⎤⎣⎦与已知矛盾,故②正确;对于③,若()f x 是奇函数,则()()()f f x f f x f f x -=-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦,()f f x ∴⎡⎤⎣⎦也是奇函数,故③正确;对于④,当()f x 是奇函数,且是定义在R 上的单调递增函数时,若()()120f x f x +=,则()()()12212120f x f x f x x x x x =-=-⇒=-⇒+=,若()()()()()12121221200x x x x f x f x f x f x f x +=⇒=-⇒=-=-⇒+=,故④正确;故选A.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.4.已知实数,x y 满足24460x xy y +++=，则y 的取值范围是（）A.{}|32y y -≤≤B.{}|23y y -≤≤C.{}{}|2|3y y y y ≤-≥ D.{}{}|3|2y y y y ≤-≥ 【答案】C 【解析】【分析】利用一元二次方程有解，可得判别式大于等于零可求解.【详解】由题意知，关于x 的一元二次方程有解，则21616(6)0y y ∆=-+≥，即260y y --≥，解得2y ≤-或3y ≥.所以y 的取值范围是{}{}|2|3y y y y ≤-≥ .故选：C.5.设,x y 是两个实数，命题“,x y 中至少有一个数大于1”的充分条件是（）A.2x y += B.2x y +> C.222x y +> D.1xy >【答案】B 【解析】【分析】用赋值法，取不同的x 与y 代入，可排除A 、C 、D.【详解】对于A ，当1,1x y ==时，满足2x y +=，但命题不成立；对于C ，D ，当2,3x y =-=-时，满足222x y +>，1xy >，但命题不成立.故选：B.6.当02x ≤≤时，22a x x <-+恒成立，则实数a 的取值范围是（）A .1a ≤ B.0a ≤ C.a<0D.0a >【答案】C 【解析】【分析】根据恒成立问题结合二次函数最值分析求解.【详解】记2()2,02f x x x x =-+≤≤，则min )[0,2],(a f x x <∈．而22()2(1)1f x x x x =-+=--+，当02x ≤≤时，min ()(0)(2)0f x f f ===，所以实数a 的取值范围是a<0.故选C ．7.已知函数()f x 是R 上的奇函数，对任意的()12,,0x x ∞∈-，()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，设()1523,,1325a f b f c f ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】确定数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，变换得到13a g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25b g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1c g =-，根据单调性得到答案.【详解】()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，即()()()121212120,f x f x x x x x x x ->≠-，故函数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()f x 是R 上的奇函数，故()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，1113333a f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，522255b f g ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()111c f g g ===-.12135->->-，故a b c >>.故选：A8.若定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为奇函数；②对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式()()2422f x f x x --<+的解集为（）A.(),1∞--B.()3,2-C.()(),31,2-∞-- D.()(),32,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()f x g x x=，由题意可以推出函数()()f x g x x=的奇偶性、单调性，然后对x 进行分类讨论解不等式即可.【详解】因为对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，即对任意两个不相等的正实数12,x x 不妨设120x x <<，都有()()()()21121212121212x f x x f x f x f x x x x x x x x x --=<--，所以有()()1212f x f x x x >，所以函数()()f x g x x=是()0,∞+上的减函数，又因为()f x 为奇函数，即有()(),00,x ∀∈-∞⋃+∞，有()()f x f x -=-，所以有()()()()()f x f x f x g x g x xxx---====--，所以()g x 为偶函数，所以()g x 在(),0-∞上单调递增．当20x ->，即2x >时，有240x ->,由()()2422f x f x x --<+，得()()224224f x f x x x --<--，所以224x x ->-，解得<2x -，此时无解；当20x -<，即2x <时，由()()2422f x f x x --<+，得()()224224f x f x x x -->--，所以224x x -<-，解得3x <-或12x -<<．综上所述，不等式()()2422f x f x x --<+的解集为()(),31,2-∞-- ．故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数()()f x g x x=，并结合已知导出其函数性质，从而分类讨论解不等式即可.二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.若给定函数()221f x x x =--，2p =，则下列结论正确的是（）A.()()()()00p p f f f f = B.()()()()11p p f f f f =C.()()()()22ppff f f = D.()()()()33ppff f f =【答案】ACD 【解析】【分析】结合“p 界函数”的定义可确定函数解析式，再结合分段函数性质可得函数值，进而判断各选项.【详解】因为()221f x x x =--，2p =，令2212x x --≤，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，则()2221,132,13x x x f x x x ⎧---≤≤⎪=⎨-⎪⎩或，A 选项：()()()2012p f f f =-=，()()()012pf f f =-=，即()()()()00ppf f f f =，A 选项正确；B 选项：()()()2122p f f f =-=，()()()127pf f f =-=，即()()()()11p pf f f f ≠，B 选项错误；C 选项：()()()212f f f =-=，()()()()()2222212ppf f f f f ==-=即()()()()22ppf f f f =，C选项正确；D 选项：()()()321ff f ==-，()()()()()2223321ppf f f f f ===-，即()()()()33ppf f f f =，D选项正确；故选：ACD.10.以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为[]y x =，其中x ⎡⎤⎣⎦表示不超过x 的最大整数，例如[]3.23=，[]1.52-=-，则（）A.R x ∀∈，[][]11x x --=B.不等式[][]22x x -≤的解集为{}13x x -≤<C.当1x ≥，3xx ⎡⎤+⎣⎦⎡⎤⎣⎦的最小值为D.方程[]243x x =+的解集为【答案】AB 【解析】【分析】设x 的整数部分为a ，小数部分为b ，则[]x a =，则[]11x a -=-得到A 正确，解不等式得到[]12x -≤≤，计算B 正确，均值不等式等号条件不成立，C 错误，举反例得到D 错误，得到答案.【详解】对选项A ：设x 的整数部分为a ，小数部分为b ，则[]x a =，1x -的整数部分为1a -，[]11x a -=-，故[][]11x x --=，正确；对选项B ：[][]22x x -≤，则[]12x -≤≤，故13x -≤<，正确；对选项C ：3x x ⎡⎤+≥=⎣⎦⎡⎤⎣⎦，当且仅当3x x ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤⎣⎦，即x ⎡⎤=⎣⎦时成立，x ⎡⎤=⎣⎦不成立，故等号不成立，错误；对选项D ：取x =，则[]4x =，代入验证成立，错误；故选：AB11.若存在常数k 和b 使得函数()F x 和()G x 分别对其定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()223R f x x x x =-∈，()()10g x x x=<，若使直线4y x b =-+为函数()f x 和()g x 之间的隔离直线，则实数b 的取值可以为（）A.0B.－1C.－3D.－5【答案】BC 【解析】【分析】根据题意得到2234x x x b -≥-+，计算180b ∆=+≤得到一个范围，再根据双勾函数的单调性得到函数()14K x x x=+的最大值，综合得到答案.【详解】2234x x x b -≥-+，即220x x b +-≥恒成立，故180b ∆=+≤，解得18b ≤-；14x b x ≤-+，即14x b x+≤，函数()14K x x x =+在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，故()max 142K x K ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故b 4≥-.综上所述：14,8b ⎡⎤∈--⎢⎣⎦.故选：BC.（2023·浙江省余姚中学期中）12.已知,0,260x y x y xy >++-=，则（）A.xy的最大值为B.2x y +的最小值为4C.x y +的最小值为3-D.22(2)(1)x y +++的最小值为16【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，对不等式变形为26x y xy +=-，利用基本不等式得到6xy -≥，求出xy 的最大值；B 选项，将不等式变形为()62xy x y =-+，利用基本不等式得到()()22628x y x y +-+≤，求出2x y +的最小值；C 选项，对不等式变形为()()16y x x y +=-+，利用()()2114y x y x +++≤求解x y +的最小值；D 选项，不等式变形为()()218x y ++=，利用基本不等式求出和的最小值.【详解】由260x y xy ++-=得：26x y xy +=-，因为,0x y >，所以260x y xy +=->，所以06xy <<，由基本不等式可得：2x y +≥当且仅当2x y =时，等号成立，此时6xy -≥，解得：18xy ≥或2xy ≤，因为6xy <，所以18xy ≥舍去，故xy 的最大值为2，A 错误；由260x y xy ++-=得：()62xy x y =-+，因为,0x y >，所以()620x y -+>，所以026x y <+<，由基本不等式可得：()2224x y xy +≤，当且仅当2x y =时等号成立，即()()22628x y x y +-+≤，解得：24x y +≥或212x y +≤-，因为026x y <+<，所以212x y +≤-舍去，故2x y +的最小值为4，B 正确；由260x y xy ++-=变形为()16x y y x +++=，则()()16y x x y +=-+，由基本不等式得：()()2114y x y x +++≤，当且仅当1y x =+时等号成立，此时()()2164y x x y ++-+≤，令()0x y t t +=>，则由()2164t t +-≤，解得：3t -≥或3t -≤（舍去）所以x y +的最小值为3-，C 正确；由260x y xy ++-=可得：()()218x y ++=，从而22(2)(1)2(2)(1)2816x y x y +++≥++=⨯=当且仅当21x y +=+时，即2x =-，1y =-等号成立，故22(2)(1)x y +++最小值为16.故选：BCD ，三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知实数0a >，0b >，且111a b +=，则3211a b +--的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】利用111a b +=可得3211a b +--325b a =+-，根据()113232325b a b a b a a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭和基本不等式求出32b a +的最小值，从而可得解.【详解】根据题意得到111a b+=，变形为()()111ab a b a b =+⇒--=，则3211a b +--()()32532511b a b a a b +-==+---,因为111a b +=，故得到()1132323255b a b a b a a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭,当且仅当32b a ba=时等号成立.故3211a b +--≥故答案为：【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题14.若关于x 的一元二次方程()22210a x ax a --++=没有实数解，则不等式30ax +>的解集__________．【答案】3|x x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】试题分析：因为关于x 的一元二次方程()22210a x ax a --++=没有实数解，所以()()2=44210a a a ∆--+<，可得320,3,a ax x a <--∴<- ，故答案为3x|x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．考点：1、一元二次方程根与系数的关系；2、不等式的性质．15.若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【解析】【详解】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥=，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22,24a b ==时取等号）.【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈，a b +≥，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.16.若定义在区间[]2021,2021-上的函数()f x 满足：对于任意的[]12,2021,2021x x ∈-，都有()()()12122023f x x f x f x +=+-，且0x >时，有()2023f x >，()f x 的最大值为M ，最小值为N ，则()0f =______，M N +的值为______．【答案】①.2023②.4046【解析】【分析】根据题意，取特殊点，结合单调性的定义，可得答案.【详解】∵对于任意的[]12,2021,2021x x ∈-，都有()()()12122023f x x f x f x +=+-，∴令120x x ==，得()02023f =，再令120x x +=，将()02023f =代入可得()()4046f x f x +-=，设12x x <，[]12,2021,2021x x ∈-则210x x ->，()()()21212023f x x f x f x -=+--∴()()2120232023f x f x +-->，又()()114046f x f x -=-，∴可得()()21f x f x >，即函数()f x 是严格增函数，∴()()max 2021f x f =，()()min 2021f x f =-，又∵()()202120214046f f +-=，∴M N +的值为4046．故答案为：2023；4046四、解答题：写出必要的文字描述、解题过程.共6题.17.经观测，某公路段在某时段内的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间有函数关系：()2920031600=>++vy v v v ．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？（精确到0.01）（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【答案】（1）当40v =（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/小时；（2）汽车的平均速度应控制在[]25,64这个范围内（单位：千米/小时）.【解析】【分析】（1）利用基本不等式可求得y 的最大值，及其对应的v 值，即可得出结论；（2）解不等式29201031600vv v ≥++即可得解.【小问1详解】解：0v >，292092092011.08160031600833v y v v v v ==≤≈++++（千辆/小时），当且仅当1600v v=时，即当40v =（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/小时.【小问2详解】解：据题意有29201031600vv v ≥++，即28916000v v -+≤，即()()25640v v --≤，解得2564v ≤≤，所以汽车的平均速度应控制在[]25,64这个范围内（单位：千米/小时）.18.（1）若()21,,204b x ax a x b =-∀∈+++≤R ，求a 的取值范围；（2）若22b a =--（a R ∈），求关于x 的不等式()220ax a x b +++≤的解集.【答案】（1）[]4,1--；（2）见解析【解析】【分析】（1）对a 分两种情况讨论，结合二次函数的图像和性质求出a 的取值范围；（2）原不等式等价于()()2210ax a x ++-≤.再对a 分类讨论解不等式得解.【详解】（1）当0a =时，不等式可化为1204x -≤，显然在R 上不恒成立，所以0a ≠.当0a ≠时，则有()20,20,a a a <⎧⎪⎨∆=++≤⎪⎩解得41a -≤≤-.故a 的取值范围为[]4,1--.（2）()22220ax a x a ++--≤等价于()()2210ax a x ++-≤.①当0a =时，()210x -≤，原不等式的解集为−∞,1.②当0a >时，220a a +-<，原不等式的解集为22,1a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.③当0a <时，22321a a a a++--=-.若()222,1033a x =---≤，原不等式的解集为R；若23222,0,3a a a a a ++<--<-<1，原不等式的解集为[)22,1,a a +⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ；若232220,0,13a a a a a ++-<<->->，原不等式的解集为(]22,1,a a +⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查二次型不等式的恒成立问题，考查解二次型的不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为()1,2，试求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集．【答案】12x x ⎧<⎨⎩或>1．【解析】【分析】由题意可知，关于x 的方程20x ax b ++=的两个根为1、2，利用韦达定理可求得a 、b 的值，进而可求得不等式210bx ax ++>的解集.【详解】由题意可知，关于x 的方程20x ax b ++=的两个根为1、2，由韦达定理得1212a b -=+⎧⎨=⨯⎩，即32a b =-⎧⎨=⎩，所以，不等式210bx ax ++>为22310x x -+>，即()()2110x x -->，解得12x <或1x >.因此，不等式210bx ax ++>的解集为12x x ⎧<⎨⎩或>1．【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，同时也考查了利用一元二次不等式的解集求参数，考查计算能力，属于基础题.20.已知函数()()22323x x x f x -=<-≤+.（1）用分段函数的形式表示函数op ；（2）画出函数op 的图象；（3）写出函数op 的值域.【答案】（1）()2,2012,033x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（2）图象答案见解析；（3）(]0,2.【解析】【分析】（1）分20x -<≤和03x <≤两种情况去掉绝对值可求出函数的解析式；（2）根据（1）的解析式画出函数的图像；（3）根据函数图像可求出函数的值域【详解】（1）()2,2012,033x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩.（2）函数op 的图象如下图所示.（3）由图得函数op 的值域为(]0,2.【点睛】此题考查分段函数，考查由函数解析式画函数图像，根据图像求出函数的值域，属于基础题21.已知函数()()01axf x a x =≠+．（1）当0a >时，判断()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间[]1,2上的最大值为43．（i ）求实数a 的值；（ii ）若函数()()0b g x x b x =+>，是否存在正实数b ，使得对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r ，s ，t ，都存在以()()g f r ，()()g f s ，()()g f t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）在(),1∞--和()1,-+∞上单调递增（2）（i ）2a =；（ii ）存在，15153b b ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据单调性的定义判断单调性；（2）（i ）根据题意，分别对a<0和0a >两种情况讨论单调性，即可得出结果；（ii ）由题意()()0bg x x b x=+>，可证得()g x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()m f x =，1,13m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()0b b g m m m =+>，从而把问题转化为1,13m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2g m g m >时，求实数b 的取值范围．结合()()0b b g m m m=+>的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意得(),111ax af x a x x x ==-≠-++．设12,(,1)x x ∀∈-∞-且12x x <，则()()()()()11212212=1111a x x a a a a x x x x x f x f -⎛⎫--- ⎪=+⎭-+++⎝，因为121x x <<-，所以120x x -<，()()12110x x ++>，当0a >时，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()1af x a x =-+在(),1∞--上单调递增；同理可得，()1af x a x =-+在()1,-+∞上单调递增.故()f x 在(),1∞--和()1,-+∞上单调递增.【小问2详解】（i ）()f x 在区间[]1,2上的最大值为43．①当a<0时，同理（1）可知，函数()1af x a x =-+在区间[]1,2上单调递减，∴()()max 41223a a f x f a ==-==，解得823a =>（舍去）；②当0a >时，函数()1af x a x =-+在区间[]1,2上单调递增，∴()()max 242333a a f x f a ==-==，解得[]1,22a =∈．综上所述，2a =．（ii ）由（i ）知，()221f x x =-+，且()f x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．∴()()115f f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤，即()113f x ≤≤，∴()f x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．讨论函数()()0bg x x b x=+>：令120x x <<，则()()()12121212121b b b g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当(12,x x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12g x g x >，()g x 为减函数；当)12,x x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12g x g x <，()g x 为增函数；∴()g x 在(为减函数，在)+∞为增函数，令()m f x =，则1,13m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bg f x g m m b m==+>．在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r ，s ，t ，都存在以()()g f r ，()()g f s ，()()g f t 为边长的三角形，等价于1,13m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2g m g m >．①当103<≤，即109b <≤时，()b g m m m =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()min max 13,13g m b g m b =+=+，由()()minmax 2g m g m >，即2613b b +>+，得115b >，∴11159b <≤；②当1193b <≤时，()b g m m m =+在13⎡⎫⎢⎣⎭上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()()ma min x 1g m g m b ==+，由()()min max 2g m g m >，即1b >+，得21410b b -+<，解得77b -<<+1193b <≤；③当113b <<时，()b g m m m =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()()m x min a 133g m g m b ==+，由()()min max 2g m g m >，即133b >+，得2191409b b -+<，解得74374399b -+<<，∴113b <<；④当1b ≥时，()b g m m m =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()()min max 11,33g m b g m b =+=+，由()()min max 2g m g m >，即12233b b +>+，解得53b <，∴513b ≤<．综上所述，实数b 的取值范围为15153bb ⎧⎫<<⎨⎩⎭．【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是结合对勾函数的图象与性质，通过对b 的分类讨论从而得到不等式，解出即可.（2023·四川省攀枝花市第三高级中学月考）22.已知______，且函数()14212x x xa g x b+-⋅+=+．①函数()()0f x ax b a =+>在[]1,2上的值域为[]2,4；②函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数．请你在①②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补无完整．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()g x 在[]1,2-上的值域；（3）设()()2log 22xh x x m =+-，若1R x ∃∈，[]22,2x ∃∈-使得()()12g x h x <成立，求m 的取值范围．【答案】（1）选①根据单调性及值域列方程组求解；选②利用奇偶性列方程组求解（2）12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）12m >【解析】【分析】（1）选①，根据根据单调性及值域列方程组求解；选②根据函数为偶函数列方程组求解；（2）直接根据函数单调性求值域；（3）将1R x ∃∈，[]22,2x ∃∈-使得()()12g x h x <成立转化为()()2min 1g x h x <，先利用函数单调性求出()in 1m 2g x =-，即得则[]22,2x ∃∈-使得()()22222log 22x h x x m =+->-成立，继续转化为22min 112242x x m ⎛⎫>+⋅ ⎪⎝⎭，利用基本不等式最小值即可.【小问1详解】选①，函数()()0f x ax b a =+>在[]1,2上单调递增，故()()12224f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，解得2,0a b ==；选②，函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数故202110a b b -⎧=⎪⎨⎪-++=⎩，解得2,0a b ==；【小问2详解】由（1）得()1422112422x x x x xg x +-⋅+==+-，令12,42xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，[]1,2x ∈-，则()14g x t t =+-，1,42t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由对勾函数的性质可得1y x x=+在()0,1上递减，()1,+∞上递增，故()min 11421g x =+-=-，又()()131124,44224412g g =+-==+-=--，所以函数()g x 在[]1,2-上的值域为12,4⎡⎤-⎢⎣⎦；【小问3详解】由（2）得，当x ∈R 时，20x >，()min 2g x =-，若1R x ∃∈，[]22,2x ∃∈-使得()()12g x h x <成立，则[]22,2x ∃∈-使得()()22222log 22x h x x m =+->-成立，整理得22112242xx m >+⋅在[]22,2x ∈-上能成立，所以22min112242xx m ⎛⎫>+⋅ ⎪⎝⎭，又22112142x x +⋅≥=，当且仅当2211242xx =⋅，即21x =-时等号成立，所以21m >，即12m >.。

高数b1期中试卷题型分类统计及解答

河南理工大学 2016-2017 学年第１学期《高等数学b1》期中考试试卷（A 卷）本试卷考试分数占学生总评成绩比例20%收敛数列性质等价无穷小 (4分)2．当0→x 时，)cos 1(arcsin x x -⋅是x 的k 阶无穷小，则=k 3 ．求极限，重要极限，幂指转化，无穷小等价代换，洛必达法则 (4分)1．下列函数的极限中，错误的是 ( C )．（A ）+∞=+→xx e 10lim （B ）0lim 10=-→xx e （C ）∞=→xx e 10lim （D ）1lim 1=∞→xx e(4分)1．极限=→xx x 2tan lim 01/2 ．(7分)1．求极限)21ln(arctan lim 30x x x x +-→．(7分)2．求极限()xx x sin 321lim +→．解：()()()幂指转化＝幂指转化＝x xx x x x eex xx21ln sin 321ln 0lim lim 21lim sin 3sin 3+→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+→→+()623lim 21ln sin 3lim 00e ee x xx x x x ＝无穷小的等价代换＝极限的复合运算法则＝→→+连续性，间断点类型判断，综合极限，综合导数定义，证明连续(4分)2．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<⋅=0,1sin 0,1arctan )(2x x x x x x x f ，则关于函数)(x f 连续性的结论正确的是（ A ）．（A ）在()+∞∞-,内处处连续（B ）只有一个间断点0=x（C ）只有一个间断点1=x（D ）有两个间断点闭区间上连续函数的性质，证明题，应用根的存在性定理导数定义求导数：基本导数公式，隐函数，参数方程确定的函数，对数求导法，相关变化率问题(4分)3．设xy 1arctan =，则='y （ B ）．（A ）221x x +（B ）211x +-（C ）211x +（D ）212x x +(4分)3．设xx y sec tan +=，则='y．(7分)3．设xx y 2222=，求y '．(7分)4．设曲线方程为⎩⎨⎧+=++=t t y tt x cos sin 2，求此曲线在点)1,2(处的切线方程和法线方程．求微分（与求导是等价的） (4分)5．设()1ln2++=x x y ，则函数的微分=dy．(7分)5．求函数x x y -=3当01.0,2=∆=x x 时的增量y ∆及微分dy ．高阶导数公式，莱布尼兹公式，常用高阶导数公式 (4分)4．已知函数xx f sin )(=，则，且=)()(x fn（其中)2,≥∈n N n ．泰勒公式，麦克劳林公式，五大公式 (7分)6．设函数xxex f =)(的带有佩亚诺余项的n 阶麦克劳林公式．三大中值定理及其应用：证明不等式，证明恒等式，证明中值问题 (4分)5．函数xx x f -⋅=3)(在区间[]3,0上满足罗尔中值定理的=ξ（C ）．（A ）0（B ）3 （C ）2（D ）23导数应用：单调性，极值，凹凸性，拐点，曲率 (4分)4．设函数)(x f 在点0x 处满足0)(0='x f 、0)(0>''x f ，则0x x =一定是函数)(x f 的（D ）．（A ）最大值点（B ）最小值点（C ）极大值点（D ）极小值点 (4分)6．函数x x x f 43)(3-=的单调递减区间为（B ）．（A ）⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-32,（B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32（C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32（D ）[)∞+,1(4分)6．椭圆4422=+y x 在点)2,0(处的曲率=k2 ．(10分)已知函数)1ln()(2+=x x f ，记函数)(x f 的图形为曲线C．（１）求函数)(x f 的单调区间和极值；（３）求曲线C的凹、凸的区间和拐点．水平，铅直，斜渐近线。

2021年11月厦门一中高二期中考试数学试卷与答案

第Ⅰ卷（选择题共60试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，满分150分考试时间1202021年11月厦门一中高二期中考试数学试卷分钟分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．（2021一中高二11月期中考，1）直线+=x 30的倾斜角是( )A ．π6B ．π3C ．π32 D ．π65（2021一中高二11月期中考，2）空间中，与向量(3,0,4)a =同向共线的单位向量e 为( )A ．(1,0,1)e =B ．(1,0,1)e =或(1,0,1)e =−−C ．34(,0,)55e =D ．34(,0,)55e =或34(,0,)55e =−−（2021一中高二11月期中考，3）已知动点Q 在∆ABC 所在平面内运动，若对空间中任意一点P ，都有-2+5PQ PA PB mCP =+,则实数m 为( ).A. 0B. 2C. −1D. −2（2021一中高二11月期中考，4）若点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线=y x 22的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则+PA PF ||||取得最小值时点P的坐标是( )A ．(0,0)B ．C ．(2,2)D ．2(,1)1（2021一中高二11月期中考，5）已知椭圆+=>>a ba b x y 1(0)2222的两顶点为A a (,0)，B b (0,)，且左焦点为F ，若 ∆FAB 是以B 为直角顶点的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )ABCD（2021一中高二11月期中考，6）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11AC 与11B D 的交点，则BM 的长为（）A ．94B ．32C ．54D（2021一中高二11月期中考，7）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题−− “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为(2,0)B −，若将军从山脚下的点1(3A ，0)处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为( )A B ．5 C D ．163（2021一中高二11月期中考，8）如图，已知双曲线222:1(0)x C y a a −=>的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，AB OB ⊥，//(BF OA O 为坐标原点），则a 的值为（）A ．3B CD ．163二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．（2021一中高二11月期中考，9）已知双曲线E ，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±（2021一中高二11月期中考，10）如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把ABD ∆和ACD ∆折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是( )A ．AB AC ⊥B ．AD 与平面BCD 的法向量平行C ．BD AC ⊥D ．平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直（2021一中高二11月期中考，11）线段AB 是抛物线了()220y px p =>过焦点F 的弦，下列命题正确的有A. AF 最小值是pB. AB 最小值是2pC. AOB ∠可能为锐角，其中O 为坐标原点;D.以AB 为直径的圆一定与直线: 2px =−相切（2021一中高二11月期中考，12）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 满足1DP DD DA λμ=+，[0λ∈，1]，[0μ∈，1]，则以下说法正确的是( )A ．当λμ=时，//BP 平面11CB D B ．当12μ=时，存在唯一点P 使得DP 与直线1CB 的夹角为3πC ．当1λμ+=时，CPD ．当1λμ+=时，CP 与平面11BCC B 所成的角不可能为3π三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．（2021一中高二11月期中考，13）已知向量()()3,1,2,,,4a b x y =−=−，且//a b ，则x y +=_____（2021一中高二11月期中考，14）已知动圆M 与圆221:(4)4C x y ++=外切，与圆222:(4)4C x y −+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_______（2021一中高二11月期中考，15）三棱锥P ABC −,3PA PB PC AC ABC π====∠=,则点P到底面ABC 的距离为_______（2021一中高二11月期中考，16）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且63,ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是_________四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．（2021一中高二11月期中考，17）已知直线:(2)10l ax a y +−+=. （1）若直线l 在x 轴上截距和在y 轴上截距相等，求a 的值；（2）若直线l 与圆22(2)4x y −+=相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程.（2021一中高二11月期中考，18）中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点(2,3)A ；②该曲线的渐近线与圆22840x x y −++=相切；③点P 在该双曲线上，1F ，2F 为该双曲线的焦点，当点P 的纵坐标为32时恰好12PF PF ⊥ （1）求双曲线E 的标准方程；（2）过定点(1,1)Q 能否作直线l ，使l 与此双曲线相交于1Q ，2Q 两点，且Q 是弦12Q Q 的中点?若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。