第13章 布莱特舒尔斯期权定价模型动态图
BS期权定价模型课件详解精讲
f Sdz
S
f
( f S
S
f t
1 2
2 f S 2
〔2S〕2 )t
f Sz
S
为了消除z，我们可以构建一个包括一单位衍 生证券空头和 单位f 标的证券多头的组合。令
代表 该投资组合的S价值，那么：
f(6.1f5S)
S
由于股价将来波动随机过程与基于其的衍生品价格的随机波动过程是一致的，因此可以通过构建股价与其衍生品的对冲 组合消除这个随机过程。
这里表达了期权定价思想就是通过能消除随机过程的对冲组合去获得
确定的报酬，且这个报酬至少与无风险利率收益是一样好的，即无套
利。通过这样的思想得出期权定价。根据有效市场理论，无风险组合
在 时间后： 只能获得无风险利率。
t
f f S
S
〔〕
将式〔〕和〔〕代入式〔〕，可得：
〔〕
( f t
1 2
2 f S 2
2、如今定的期权价格上限是标的资产价格s，下限是sexp-〔T-t〕X。而bs模型的最终结果是
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 ) 虽然s和x的折现值都被乘以一个小于1的数值，但是可以 数学证明这个c值是大于下限值的。
3、c值大于下限值是因为该模型包含了期望价值的两个分 量，即内在价值s-exp-〔T-t〕X和时间价值，时间价值是因 为将来的时间间隔里标的资产会产生随机波动，而bs模型 已经考虑在内了。
《金融工程PPT》第十三章 期权定价模型
8
将上述结论推广到n期二叉树模型，有
金融工程课程
Vn,i max(S0unid i K,0) i 0,1,2,3n
V0
e 3rt
15
第三节 布莱克——斯科尔斯期权定价模型
省略
金融工程课程
16
金融工程课程
本章小结：本章讲述了期权有效期内标的资产价格可能遵循的路径，首先 阐述了二叉树模型的基本假设，介绍了二叉树模型的两种不同假定下定价 模型推导，一种是资产组合复制（无风险套利假定），一种是风险中性假 定。然后介绍了布莱克—舒尔斯期权定价模型以及相关的布莱克—舒尔斯 微分方程、定价公式等。最后，总结了与连续状态下相关的市场效率假说 、维纳过程以及股票价格变化的前提假定。本章的学习目的是使读者了解 期权价格的特征，掌握布菜克一斯科尔斯期权定价模型，运用定价方法对 现实中的期权进行分析。
第四节 维纳过程与证券价格变化过程 一、弱式效率市场假说 二、维纳过程 三、维纳过程与股票价格的变化过程
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2
第一节 二叉树期权定价模型的推导
金融工程课程
一、基本假定
关于期权定价的模型主要有两种： 二叉树模型（The Binominal Option Pricing Model, BOPM）； 布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes）；
B-S期权定价模型
Black—Scholes期权定价模型
(重定向自Black—Scholes公式）
Black—Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）,布莱克-肖尔斯期权定价模型
Black—Scholes 期权定价模型概述
1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton）和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯（Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克（Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表.所以，布莱克-斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型.默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese）赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献.
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B—S期权定价模型(以下简称B-S模型）及其假设条件
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(一)B-S模型有7个重要的假设
1、股票价格行为服从对数正态分布模式；
BS期权定价模型课件详解精讲
为了消除z ，我们可以构建一个包括一单位 f 衍生证券空头和 S单位标的证券多头的组合。 令 代表该投资组合的价值，则： f (6.15) f S
S 由于股价未来波动随机过程与基于其的衍生品价格的随机波动过程是一致的，因此可以通过构建股价与其衍生品的对冲
组合消除这个随机过程。
这是一个按正态规律 集中在起始点的一个 随机运动。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
标准布朗运动(2)
t 特征2：对于任何两个不同时间间隔， 和 z的值相互独立。 考察变量z在一段较长时间T中的变化情 形，我们可得： N z (T ) z (0) i t （6.2） i 1 当0时，我们就可以得到极限的标准布 朗运动： dz dt （6.3）
（6.11）
证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：
ln ST ln S ~ [(
2
2
)(T t ), T t ]
证券价格的对数变化量服从正态分布，从而知晓st的分布函数
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
2 G 1 G 1 G 令 G ln S ，由于 , 2 2, 0 S S S S t
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：
C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)
P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)
其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代
表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风
险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：
1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
第13章 布莱特舒尔斯期权定价模型(德意志银行Excel金融工程建模)
2.636 2.386 0.996 0.991 83.98 -2.636 -2.386 0.004 0.009 0.06
3.058 2.808 0.999 0.998 103.94 -3.058 -2.808 0.001 0.002 0.02
0.01 99.99 -36.556 -36.806 0.000 0.000
布莱克-舒尔斯期权定价模型 – 动态图
输入
100
BS期权定价动态图
看跌期权
期权种类：1=看涨，0=看跌 年波动率s 无风险利率r 协议价格X（元） 到期时间T-t（年）
0
0
80
25.0% 4.0% 100.00 1.000
250 40 10000 1000
期权价格 60 40 20
0
0 50 100 当前股价 150 200
动态图输出 当前股价S（元） 期权价格 内在价值 d1 d2 N(d1) N(d2) 看涨期权价格c -d1 -d2 N(-d1) N(-d2) 看跌期权价格d
0.01 96.07
20.00 76.08
40.00 56.08
60.00 36.30
80.00 19.03
100.00 7.92
120.00 2.74
1.014 0.764 0.845 0.778 26.66 -1.014 -0.764 0.155 0.222 2.74
布莱克-斯科尔斯期权定价模型课件
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
3
§ 效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。
§ 弱式效率市场假说认为，
Ø 证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来 变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超 过平均收益率的收益。
§ 半强式效率市场假说认为，
有两个条件：
1. 在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段 Δt满足
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
6
wt t t
（6.1）
这 里 ， w t w t w t 1 ,t i i d N ( 0 ,1 )
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的，这
个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
23
由 于 ln S T ~ N [ ln S t (2 /2 ),2]
则称ST服从对数正态分布，其期望值为
E(ST)Stexp()
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
24
§ 例6.2
Ø 设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为 每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循 几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利， 请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。
布莱克-舒尔斯模型ppt课件
其中，μ和σ的时间度量单位一般都采用年。几何布朗运动的离
散形式为：
Stt
S
.
为什么证券价格可以用几何布朗运动表示？
1、市场一般认同股票市场符合“弱式效率市场假说”，而几 何布朗运动的随机项来源于标准布朗运动 dz，具有马尔可夫 性质，符合弱式效率的假说。
2、投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。 投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股 票价格以一定的增长率在增长。因此需要用百分比收益率代替 绝对的股票价格（几何布朗运动的离散形式）。 3、几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率 （而不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分 布。这比较符合现实。
间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算 术平均的结果。
.
:
1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差
2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标
:
准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计
值。在计算中，一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗
口太长也不好；一般来说采用交易天数计算波动率而不采用
在一个小的时间间隔中，f的变化值 f为：
f ( S f S ft 1 2 S 2f2 （22 S ）2) t S f S z
.
从上面分析可以看出，(1)和(2)中的 相z同，都等于 。
第13章 布莱克-斯科尔斯-默顿模型
13.9 累积正态分布函数-1
13.10 权证与雇员股票期权-1
股票稀释效应
• 普通期权：不存在 普通期权： • 权证与雇员股票期权：存在 权证与雇员股票期权：
稀释效应不影响定价
• 假定：市场是有效的 假定：
13.10 权证与雇员股票期权-2
权证定价
• 假定：新权证没有其他方面补偿 假定： • 权证行使后的股票价格： 权证行使后的股票价格： • 权证行权支付： 权证行权支付：
举例： 举例：P196例13-2 例
13.1 股票价格的对数正态分布性质-3
13.2 收益率的分布-1
0~T之间每年实现的连续复利回报率：x 之间每年实现的连续复利回报率： 之间每年实现的连续复利回报率
举例： 举例：P196例13-3 例
13.3 预期收益率-1
连续复利回报率期望值不同于μ
业界事例13-1 业界事例
举例： 举例：P174
11.7 选取u和d使二叉树 与波动率吻合-7
11.8 增加二叉树的时间步数-1
实际应用：步数为 或更多 实际应用：步数为30或更多 举例： 举例：P175 使用GerivaGem软件 软件 使用
13.12 股息-1
本章本节之前假设： 本章本节之前假设：标的股票不支付股息 本章本节假设： 本章本节假设：
举例： 举例：P210例13-10 例
第13章股票期权定价BS模型ppt课件
第13章
13.1 关于股票价格变化的假设
EMH假说
根据价格对信息的反应程度，市场可分为 weak / semi-strong / strong form(弱式、半 强式、强式)
一般认为，弱式假说成立，故可用马尔可Biblioteka Baidu夫过程(Markov Stochastic Process)来表述
(1)z t，其中 ~ N (0,1)
(2)对于任意不同的t，z相互独立 由性质1，可知z ~ N (0, t) 由性质2，可知布朗运动为马尔可夫过程的特殊形式
2020/2/16
金融工程学
13.4
13.1 关于股票价格变化的假设
标准布朗运动(Standard Brownian Motion)
在较长的时间T内，z的变化为z(T) z(0)，
可视为在N个长度为t的小时间间隔内 z的变化总量 其中，N T / t，故：
N
z(T) z(0) i t i1
其中，i (i 1,2, , N)为标准正态分布的随抽机样值
因此：z(T) z(0) ~ N(0,T)，方差可加性
2020/2/16
金融工程学
13.14
13.2 期望收益率
由公式(13.4)得知，以连续复利计的股票 预期收益率为 m– 2/2
Black-Scholes期权定价模型解析
f rS f
t
S
1
2
2S
2
2 f S 2
rf
（5）
• 式（5）为Black-Scholes微分分程，该方程适
用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券 的定价。
四、Black-Scholes期权定价公式的问题
• 使用Black-Scholes期权定价模型对期权进行定
价，通常会高估方差高的期权，低估方差低的期权； 高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格。
欧式期货期权的定价公式
• 对于欧式期货期权，其定价公式为：
c er(T t)[FN (d1) XN (d2 )] （3） p er(T t)[ XN (d2 ) FN (d1)] （4）
• 其中：
d1
ln( F
/
X)
2
T
2(T t
t)
d2
ln( F
/
X)
2 2(T
T t
t)
d1
T t
• 近似为7.2824元。
2．美式看跌期权
• 由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减 小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美 式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只 能通过较复杂的数值方法来求出。
• Black-Scholes不合用于美式期权的定价。
四、Black-Scholes微分分程
第13章 布莱克舒尔斯期权定价模型动态图
布莱克-舒尔斯期权定价模型–动态图
如果股票的波动率增大，看涨期权价格将会怎样？如果到期时间延长，看跌期权价格将会怎样？你可以通过使用“微调项”创建动态图来回答类似的问题。微调项是由上下箭头组成的按纽，它可以让你很容易通过点击鼠标来改变模型的输入。输入一旦改变，表单会重新计算模型并立即把结果重新画在图上。
创建这个Excel表单模型的步骤：
1．从基础表单开始，插入几行，并加一个转换开关。打开名为“布莱克舒尔斯期权定价模型基础”的表单，把它另存为“布莱克舒尔斯期权定价模型动态图”。选定区域A11:A16，点击“插入”“行”，加入六行。选定区域A4:B4，将它拖至区域A13:B13（将鼠标移到选定区域的下边，此时鼠标会变为四向的箭头，按住鼠标左键并移到A4:B4放开）。在单元格B4中键入1，把它作为看涨期权和看跌期权之间的转换开关。为了指明当前画的是哪种期权，在单元格I1中键入
=IF($B$4=1,"Call","Put")。
2．增加行高。选择区域A4:A8，单击主菜单的“格式”“行”“行高”，键入30后按“确定”。
3．显示窗体工具栏。从主菜单选择“视图”“工具栏”“窗体”。
4．创建微调项。在“窗体”工具栏中找到上下箭头的按钮（如果你让鼠标停留在它上面，它将显示“微调项”字样）并单击。然后在单元格C4中从左上角拖向右下角。
这时一个微调项就出现在单元格C4中。用鼠标右键单击微调项，单击复制。然后选定C5并按粘贴。这就在C5中也创建了同样的微调项。在C6, C7和C8中重复上述步骤。这样你就在C列中创建了5个微调项。
BlackScholes期权定价模型(2)
不再具有正
多期收益率的乘积问题
因此，尽管σ是短期内股票价格百分比收益率的标
准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率的标
准差却不再是 T 。股票价格的年波动率并不是 一年内股票价格百分比收益率变化的标准差。
2024/1/29
13
几何布朗运动的深入分析〔3〕
如果股票价格服从几何布朗运动，那么可以利 用Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循 的随机过程：dG ( 2 )dt dz
马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过 去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。
几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可夫性质， 符合弱式假说。
投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。投资 者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格 以一定的增长率在增长。因此需要用百分比收益率代替绝对的股 票价格。
连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总那么不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不 2是024/和1/2的9 对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 11 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
衍较生长证时券间的段定后价的与连标续的复资利产收的益预率期的收期益望率值等μ是于无关的22。 ，这是因 为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率 几何平均的结果，而较短时间内的收益率那么是算术平均的结果。
(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK—SCHOLES期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model)，1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿（RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会（The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B—S模型有5个重要的假设
1、金融资产收益率服从对数正态分布;（股票价格走势遵循几何布朗运动）
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
-1.758 -2.008 0.039 0.022 0.22 1.758 2.008 0.961 0.978 36.30
-0.608 -0.858 0.272 0.196 2.95 0.608 0.858 0.728 0.804 19.03
0.285 0.035 0.612 0.514 11.84 -0.285 -0.035 0.388 0.486 7.92
140.00 0.83
160.00 0.23
180.00 0.06
200.00 0.02
-36.556 -36.806 0.000 0.000 0.00 36.556 36.806 1.000 1.000 96.07
-6.153 -3.380 -6.403 -3.630 0.000 0.000 0.000 0.000 0.00 0.00 6.153 3.380 6.403 3.630 1.000 1.000 1.000 1.000 76.08 56.08
1.014 0.764 0.845 0.778 26.66 -1.014 -0.764 0.155 0.222 2.74
1.631 1.381 0.949 0.916 44.75 -1.631 -1.381 0.051 0.084 0.83
2.165 1.915 0.985 0.972 64.16 -2.165 -1.915 0.015 0.028 0.23
2.636 2.386 0.996 0.991 83.98 -2.636 -2.386 0.004 0.009 0.06
3.058 2.808 0.999 0.998 103.94 -3.058 -2.808 0.001 0.002 0.02
0.01 99.99 -36.556 -36.806 0.000 0.000
100.00 0.00 0.285 0.035 0.612 0.514
200.00 0.00 3.058 2.808 0.999 0.998
36.556 36.806 1.000 1.000 96.07
-0.285 -0.035 0.388 0.486 7.92
-3.058 -2.808 0.001 0.002 0.02
布莱克-舒尔斯期权定价模型 : 动态图
看跌期权
输入
100
BS期权定价动态图
期权种类：1=看涨，0=看跌 年波动率s 无风险利率r 协议价格X（元） 到期时间T-t（年）
0
0
80
25.0% 4.0% 100.00 1.000
250 40 10000 1000
期权价格
60
40 20 0 0 50 100 当前股价 150 200
动态图输出 当前股价S（元） Leabharlann Baidu权价格 内在价值 d1 d2 N(d1) N(d2) 看涨期权价格c -d1 -d2 N(-d1) N(-d2) 看跌期权价格d
0.01 96.07
20.00 76.08
40.00 56.08
60.00 36.30
80.00 19.03
100.00 7.92
120.00 2.74