第七节 方向导数与数量场的梯度

定理1 若u u( x , y , z )在点M ( x , y , z )处可微, 方向l的单 位向量l 0 cos , cos , cos , 则u沿 l方向的方向导数
u u u u 0 gradu( M ) l cos cos cos l x y z
' '
例4 : 设 r x i y j z k , r r , 求 1 (1) gradr; ( 2) grad ( r 0). r
练习 : 设f ( r ) C (1) , r x 2 y 2 z 2 , 求f ( r ).
下面的两个例子是梯度 在热学和电学中的应用 .
在(1.1)中给常数c不同的值, 就得到 不同的等值面, 如图2 1
这族等值面充满了数量 场所在的 空间, 这是因为场中每一点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 )都有一个 等值面 u( x , y , z ) u( x0 , y0 , z 0 ) 通过,由于u是单值函数, 一个点只能在一个等值 面上.
第七节 方向导数与数量场的梯度
• 场的概念 • 方向导数和梯度 • 梯度的物理意义与几何意义 • 梯度的运算性质
10 场 : 场是物理量在空间和时间的分布。
20 数量场：若它的值取数量, 如温度、电位等, 可表示为u u( x , y , z , t )等;
30 矢量场：若它的值取矢量, 可表示为 A A( x , y , z , t )等.其中x , y , z刻划空间位置, t 表示时间；
M M0
它刻划了u( M ) u( x , y, z )在点沿l方向的变化率.
记x x x0 , y y y0 , z z z0 , u u( M ) u( M 0 ),
M 0 M ( x ) 2 ( y ) 2 ( z ) 2 , 则 u u u u( x , y , z )在M 0可微, u x y z o( ) x y z u( M ) u( M 0 ) u lim lim M M0 0 M0 M u x u y u z o( ) lim[ ] 0 x y z


dx dy dz Ax Ay Az
这就是向量线所满足的微分方程组, 解之可得过点
(7.2)
M ( x , y , z )的向量线, 让M 在场中变动, 可得向量线族. 当 A( x , y , z )单值且 C (1)时, 这族向量线可充满向量 场所在的空间, 且互不相交.
对于一向量场 A A( M )中的任一曲线C (非向量线)在其上每一点处有且仅有一条 向量线通过, 这些向量线全体构成一张通 过曲线C的曲面, 称为场 A过曲线C的向量面.
图6-15
特别地,当C为一封闭曲线, 通过C的向量面 就构成一个管形曲面 , 称之为场A通过C的向 量管(图6 16).
图6-16
例2 : 求向量场 A xzi yz j ( x y )k
2 2
过点M (2, 1,1)的向量线方程.
40 平行平面场 平行平面场是一种常见 的具有一定几何特点的 场, 平 行平面场亦有数量场和 向量场, 分述如下.
u u u u cos cos cos l x y z
(7.5)
图6-18
u u u 0 u u u u 或 , , cos ,cos ,cos , , l l x y z x y z
例 3 : 设有一根无限长的均匀 带电直线l，其上电 荷分布的线密度为q，则在l周围的空间里所产生 的电场中，由电场强度 E ( M )所构成的向量场是一 与l相垂直的平行平面向量 场，若任取一块与 l相垂 直的平面作为 xoy平面，原点O取在垂足处，则由 q 物理学知 E r，其中为介电系数， 2 2r r OM x i y j , r r 。
利用Hamilton算子 , 梯度的性质可写成 (1)' C 0 ( 2) (u v ) u v
'
( 3)' ( uv ) vu uv (4) f ( u) f ( u)u u 1 ' (5) ( ) 2 (vu uv ) v v
( 2) 平行平面数量场
如果数量场u u( M )具有这样的几何特点 :就 是在垂直于场中某一直 线l的所有平行平面上 ,数 量u的分布都相同 , 或者说, 在场中与直线 l平行的 任一条直线的所有点上 , 数量u都相同, 则称此数 量场为平行平面数量场 .
和平行平面矢量场一样 ，平行平面数量场也可 简化为一平面数量场来 研究。一般就任取一张 与 直线l 相垂直的平面作为 xoy平面，来研究数量 u 在其上的情况，此时 u u( x , y )。
二、 方向导数与梯度
设u u( x , y , z )在点M 0 ( x0 , y0 , z0 )处可微, 取定方向l , 其单位向量 l 0 cos ,cos ,cos 作由M 0沿 l 0方向的射线, 在其上任取一点M ( x , y , z ), 观 察极限 lim u( M ) u( M 0 ) M0 M
x2 y2 6 例1 : 求数量场u 中与平面x y 2 z 2 z 相切的等值面方程 .
30 向量场的向量线
设 A是一向量场, A Ax ( x , y, z )i Ay ( x , y, z ) j Az ( x , y, z )k 为了直观地表示向量场的分布情况,引入向
定义2 设数量场u u( x , y , z )在点M ( x , y , z )处可偏导, u u u 称向量 , , 为场u在点M处的梯度, 记为gradu( M ) x y z M ,即 u u u gradu( M ) , , x y z (7.6)
换句话说, u在点M 0 处的梯度就是u过点M 0的等值面 u 在点M 0 处的法向量,由定理1,当l与gradu同向时( ) M 0 l u 取得最大值, Max( ) M 0 gradu l l
例 3 : 求数量场u xy 2 yz 3 在M ( 2,1,1)处的梯度 及沿l 2,2,1的方向导数.
40 稳定场：如果场与时间t无关, 也称为恒稳场, 否则称 50不稳定场：如果场与时间t有关。
以下讨论稳定场，所得到的结果通常也适合于不稳定 场的每一瞬间的情况.
数量场的等值面
场u u( x , y , z )取同一数值的点全体通 常组成 一曲面 :
u( x, y, z ) c, (c为常数 )
(7.7)
若引进Hamilton算子 : , , x y z
它是一向量微分算子 , 作用于数量函数 u得到 u u u u , , u记 , , gradu. x y z x y z
(1.1)
称为场u u( x , y , z )的一个等值面，温度场 的等值面就是由温度相 同的点所组成的等温 面，电位场中的等值面 就是由电位相同的点 所组成的等位面。
由隐函数存在定理知 ,当u( x , y, z )为单值函数且 ux , u y , uz 不全为零时, 这种等值面一定存在 .
量线的概念,向量线是指这样的曲线, 在它上 面每一点M ( x , y , z )处,曲线都和对应于该点 的向量场 A的值 A( x , y , z )相切, 如图6 14.
图6-14
例如静电场中的电力线 , 磁场中的磁力线 , 流速场中 的流线等 , 都是向量线的例子 .
设M ( x , y , z )为某向量线上的任一点, 该点处的向径 为 r xi y j zk , 则 d r dx , dy , dz 应与该向量线在 M 处的切向量平行, 根据向量线的定义, 它与 A Ax , Ay , Az 平行,因此有
练习: 数量场u x 2 yz 3在点M (2,1, 1)处沿哪个方向的方向 导数最大，最大值是多少.
四、 梯度的运算性质
(1)设C为常数, 则gradC 0 ( 2)设 , 为常数, 则grad(u v ) gradu gradv ( 3) grad( uv ) vgradu ugradv (4) gradf ( u) f ' ( u) gradu u 1 (5) grad( ) 2 (vgradu ugradv) v v
(1) 平行平面向量场
如果向量场 A A( M场中所有的向量 A都平行于某一平面 ;
(2)在垂直于 的任一直线的所有点上,向量 A的大小和 方向都相同, 则称此向量场为平行平面场(图6 17).
显然，在这种场中每一 个与平面平行的平面上， 场中矢量的分布都相同 。因此，只要知道场在 其中 一个平面上的情况，则 场在整个空间里的情况 里就 知道了。 这就是说，平行平面矢 量场可简化为一平面矢 量 场来研究。一般就在平 行于的平面中任取一块作 为xoy平面，来研究矢量场A 在其上的情况，此时 A Ax i Ay j 。
u u u cos cos cos x y z
cos x

, cos
y

, cos
z
.
u( M ) u( M 0 ) 定义1 称极限 lim 为u( x , y , z )在点 M M0 M0 M u M 0 ( x0 , y0 , z0 )处沿方向l的方向导数, 记为 , 即 l u u( M ) u( M 0 ) lim (7.4) l M M 0 M0 M
场u中的每一点M对应一个向量gradu( M ),因此gradu( M ) 是一向量场, 称为由u产生的梯度场.
三、 梯度的物理意义和几何 意义
数量场u u( x , y , z )过点M 0 ( x0 , y0 , z0 )的等值面 u( x , y , z ) u( x0 , y0 , z0 )在点M 0处的法向量可取为 u u u n , , gradu( M 0 ) x y z M 0
例4 : 如例3，由无限长均匀带电直 线l在其周围 空间里所产生的电场中 ，由电位 v ( M ) 所构成的 数量场就是一平行平面 矢量场。 q 1 v ln C，其中C为任意常数。 2 r
平行平面数量场和平行 平面矢量场, 在不至发生 混淆的地方, 均可简称为平行平面场 或平面场(因为 它们都可简化为平面场 来研究).
u 可以看到, 在点M 0处沿各个不同方向l的方向导数( ) M0 l u u u u 之中,当且仅当l与 , , 同向时( ) M0 取得最大值 l x y z u u u u 2 u 2 u 2 , , ( ) ( ) ( ) . x y z x y z
例5 设有一温度场u( M ),由于场中各点的温度不尽相 同,因此就有热的流动,由温度较高的点流向温度较低的 点.根据热传导理论中的Fourier定律 : "在场中任一点处, 沿任一方向的热流强度(即在该点处于单位时间内流过与 该方向垂直的单位面积的热量)与该方向上的温度变化率 成正比 ".可知在场中任一点处, 沿l方向的热流强度为 u k , l 其中比例系数k 0, 称为内导热系数, 负号表示热流 的方向与温度增大的方 向相反.