动态法测量金属的杨氏模量
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E = ES F S F = L F = kx L L L
L L
F S
所以： 所以：E =
F S L L
ES k = L
总结：杨氏模量是反映材料的抗拉或抗压能力。 总结：杨氏模量是反映材料的抗拉或抗压能力。 抗拉 能力
回主页
杨氏模量的测量方法：静态法 动态法(棒状)。 杨氏模量的测量方法：静态法(丝状)和动态法 动态法 静态法: 静态法
近似法和推理法 常用的处理方法：近似法 推理法 近似法 推理法。
近似法： 近似法：阻尼越小，共振频率与固有频率之间的偏移将 越小。虽然阻尼为零的情况在现实不能存在，但尽可能减小 阻尼是可以存在的。因此只要实验中找到节点位置，然后再 节点附近测量其共振频率即可近似为固有频率。 推理法： 推理法：如果在节点附近等间距分别测量不同位置的共 振频率，那么这些测得的共振频率将遵循某个规律，然后根 据该规律通过作图法获得节点处的共振频率（即固有频率）
支撑点节点附近重复测量6 注意每测1次转动测试棒1 （支撑点节点附近重复测量6次，注意每测1次转动测试棒1次）
6．改变试样,分别测量细铜棒和细钢棒的固有频率。
回主页
注意事项
1．因换能器为厚度约为0.1~0.3mm的压电 晶体,用胶粘在0.1mm左右的黄铜片上构成,故极 其脆弱,放置测试棒时一定要轻拿轻放,不能用力, 也不能敲打。 2．调节支撑点保证测试棒在竖直方向上振动。 3．信号源——换能器(放大器)——示波器均 应共“地”。
但是现实情况是，当支撑点真的 指到节点处时，金属棒却无法继续激 发测试棒振动，即使能振动亦无法接 收到振动信号（即观察不到共振现象）， 即观察不到共振现象） 最终也无法得到节点处共振频率 。
回主页
面对理论要求与现实困难的冲突，该如何处理？
常用的处理方法：近似法 推理法 近似法和推理法 近似法 推理法。
l 3m 2 E = 1.6067 4 f d
公式中l 为金属杆的长度 长度；m 为金属杆的质量；d 为金属棒的直径， 长度 质量 成为实验的关键） （如何测量 f 成为实验的关键）
都较容易测量，f 是金属杆的固有频率 固有频率。 固有频率
注：f 不是金属棒的共振频率，而是金属棒的固有频率。
固有频率与共振频率 区别 联系： 固有频率 共振频率的区别和联系： 共振频率 区别和
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数据处理
因为多次测量频率值，故计算A 1．因为多次测量频率值，故计算A类不确定 因为仪器本身有系统误差，故计算B 度。因为仪器本身有系统误差，故计算B 类不确定度。 类不确定度。 正确表示固有频率值。 2．正确表示固有频率值。 因为l,d,m,f都有误差，故计算E l,d,m,f都有误差 3．因为l,d,m,f都有误差，故计算E的间接 误差。 误差。 4．正确表示杨氏模量值
固有频率是金属棒本身固有的属性，一旦金属棒做好之后，其固有 固有频率 频率也同时确定。不会因外部条件改变而轻易改变。 共振频率是指当驱动力振动频率非常接近 非常接近系统的固有频率时，系统 共振频率 非常接近 振动的振幅达到最大时的振动频率。
（为什么不是两者相等时达到振幅最大，是因为现实情况不可能是无阻尼的自由振动） 为什么不是两者相等时达到振幅最大，是因为现实情况不可能是无阻尼的自由振动）
J = ∫ s y ds
圆形棒的杨氏模量： 圆管棒的杨氏模量： 矩形棒的杨氏模量：
回主页Βιβλιοθήκη E = 1 . 6067E = 1 . 6067
E = 0 . 9464
l m f d 14 d 24 l m ( )3 f h b
l 3m d 4 3
f
2
2
2
圆形金属棒， 本实验测试棒都是圆形金属棒 所以原理公式改写为： 本实验测试棒都是圆形金属棒，所以原理公式改写为：
大学物理实验
动态法测量金属杨氏模量
实验目的 实验内容
课题引入 注意事项
实验简介 数据处理
实验原理 课后作业
实验目的
1、了解动态法测杨氏模量的原理 原理。 原理 外推法或近似法 2、掌握如何用外推法 近似法 外推法 近似法测量测试棒的 固有频率。 3、掌握判别真假共振（即：是否是测试棒共振现象） 3 判别真假共振 基本方法。 正确处理实验数据和正确表示实验结 4、能够正确处理实验数据 正确表示实验结 正确处理实验数据 果。
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课后作业
1．讨论测量时为何将支撑点放在测试棒的节 点附近？ 点附近？ 2．讨论如何判断是否是铜棒发生了共振？ 讨论如何判断是否是铜棒发生了共振？
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f
2 共
= f β2
2 固
近似法：阻尼越小，共振频率与固有频率之间的偏移将 越小。虽然阻尼为零的情况在现实不能存在，但尽可能减小 阻尼是可以存在的。因此只要实验中找到节点位置，然后在 节点附近测量其共振频率即可近似为固有频率。
节点 节点
振源 振源
回主页
接收 接收
面对理论要求与现实困难的冲突，该如何处理？
回主页
根据振源的振动频率在不同范围内时， 根据振源的振动频率在不同范围内时，其振动形式相应的有所不 当振源频率在一定范围内时，其振动形式为第一种情况（ 同，当振源频率在一定范围内时，其振动形式为第一种情况（基频振 动形式）， 随着振动频率的增加，将逐渐过渡到第二种（ 次谐频振动 动形式）， 随着振动频率的增加，将逐渐过渡到第二种（1次谐频振动 形式）、第三种（ 次谐频振动形式 ）、第三种 次谐频振动形式） 形式）、第三种（2次谐频振动形式） … … 固有频率不至一个，而是有多个。分别对应着不同的振动形式， 固有频率不至一个，而是有多个。分别对应着不同的振动形式， 分别为基频固有频率 通常所说的固有频率）， 阶固有频率， 阶固 基频固有频率（ ），1阶固有频率 分别为基频固有频率（通常所说的固有频率）， 阶固有频率，2阶固 有频率， 有频率，... ...
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课题引入
杨氏模量的物理意义： 杨氏模量的物理意义：在外力的作用下，当物体的长度 变化不超过某一限度时，撤去外力之后，物体又能完全恢复 原状。在该限度内，物体的长度变化程度与物体内部恢复力 之间存在正比关系。（注：杨氏模量就是反映该关系的物理量 注 杨氏模量就是反映该关系的物理量） 杨氏模量：反映材料应变 应变(即单位长度变化量)与物体内 杨氏模量 应变 部应力 应力(即单位面积所受到的力的大小)之间关系 关系的物理量。 应力 关系 因此，此时材料中： 应变为单位长度的变化量: 应变 应力为单位面积受到的力: 应力
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动态法（共振法） 动态法（共振法）
实验简介
所谓 “动态法”就是使测试棒（如铜棒、钢棒）产生弯 曲振动，并使其达到共振，通过共振测量出该种材料的杨 氏模量值。 “动态法”通常采用悬挂法或支持法。（本次实验采用）
振源
接收
特殊点
回主页
特殊点
特殊点
特殊点
特殊点
一次谐频振动
特殊点
特殊点
特殊点
特殊点
二次谐频振动
本实验采用基频振动形式，因为该振动形式相对简单。 本实验采用基频振动形式，因为该振动形式相对简单。
特殊点
基频振动形式
特殊点
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实验原理
动态法测量杨氏模量的原理：在一定条件下（ 动态法测量杨氏模量的原理：在一定条件下（l >> d）,试样 ） 试样
振动的固有频率取决于它的几何形状 尺寸、质量以及它的杨氏模量。 固有频率取决于它的几何形状、 以及它的杨氏模量 振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。 3 2 l m E = 7.8870×10 f2 J 如果实验中测出一定温度下（如室温）测试棒的固有频率 尺寸、 固有频率、尺寸 固有频率 尺寸 质量、并知道其几何形状 质量 几何形状，就可以计算测试棒在此温度时的杨氏模量 杨氏模量。 几何形状 杨氏模量 公式中Ｊ表示测试棒的惯量距 惯量距,主要与金属杆的几何形状有关, 其惯 惯量距 量距公式为： 2
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区别： 区别：
固有频率只与测试棒本身有关； 固有频率只与测试棒本身有关； 共振频率不仅与测试棒本身有关，还与振动时的阻尼有关。 共振频率不仅与测试棒本身有关，还与振动时的阻尼有关。
联系： 联系：
f固 = f共 1+1 4Q2
（其中： Q = f共 2 β ） 或
f
2 共
= f β2
2 固
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f共 = f固 β 2
2 2
振源
节点
接收
由公式得知，阻尼越小，共振频率与固 有频率之间的将越接近。当阻尼为零时，共 振频率刚好和固有频率相等。 当支撑点指在节点位置时， 当支撑点指在节点位置时，测量得到的 共振频率就是我们所要的找的固有频率值。 共振频率就是我们所要的找的固有频率值。
因为节点处的阻尼为零， 因为节点处的阻尼为零，无阻尼自由振动的 共振频率就是测试棒的固有频率。 共振频率就是测试棒的固有频率。
节点 节点
振源 振源振源 振源 振源振源 振源 振源振源
回主页
接收接收 接收 接收接收 接收 接收接收 接收
通过以上两种方法测量获得基频固有频率之后， 通过以上两种方法测量获得基频固有频率之后，代入到 原理公式即可获得杨氏模量。 原理公式即可获得杨氏模量。 l 3m 2 E = 1.6067 4 f d 但是原理公式的成立是有条件的。 （l >> d） 但是原理公式的成立是有条件的。 ）
缺点： 缺点：①不能很真实地反映材料内部结构的变化； ②对于脆性材料不能用拉伸法测量； ③不能测量材料在不同温度下的杨氏模量。
动态法: 动态法
优点： 优点：①能准确反映材料在微小形变时的物理性能： ②测得值精确稳定； ③对软脆性材料都能测定； ④温度范围极广（196 ℃ ~ +2600℃）。
静态法（拉伸法） 静态法（拉伸法）
在一定条件下（l >> d）,试样振动的固有频率取决于它的几何形状、 在一定条件下（ ） 试样振动的固有频率取决于它的几何形状、 试样振动的固有频率取决于它的几何形状 尺寸、质量以及它的杨氏模量。 尺寸、质量以及它的杨氏模量。 以及它的杨氏模量
现实情况不太可能达到 l >> d 的条件，故对原理公式需 的条件， 要作些适当的修正，即原理公式基础上再乘以一个修正量。 要作些适当的修正，即原理公式基础上再乘以一个修正量。
l 3m 2 E = 1.6067 4 f T d
T 的大小由查表获得，本实验统一近似取 T =1.008 。
径长比的d/L 径长比的d/L 修正系数K 修正系数K
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0.01 1.002
0.02 1.008
0.03 1.019
0.04 1.033
0.05 1.051
实验内容
1．正确连接线路并使处于工作状态。 2．正确判断真假共振(是否是测试棒的共振现象) 3．分别测量粗铜棒不同刻度处的共振频率。 4．根据不同刻度处共振现象和共振频率数据判断 节点位置。（排除法） 排除法） 5．用近似法测量该测试棒的固有频率。
L L
F S
所以： 所以：E =
F S L L
ES k = L
总结：杨氏模量是反映材料的抗拉或抗压能力。 总结：杨氏模量是反映材料的抗拉或抗压能力。 抗拉 能力
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杨氏模量的测量方法：静态法 动态法(棒状)。 杨氏模量的测量方法：静态法(丝状)和动态法 动态法 静态法: 静态法
近似法和推理法 常用的处理方法：近似法 推理法 近似法 推理法。
近似法： 近似法：阻尼越小，共振频率与固有频率之间的偏移将 越小。虽然阻尼为零的情况在现实不能存在，但尽可能减小 阻尼是可以存在的。因此只要实验中找到节点位置，然后再 节点附近测量其共振频率即可近似为固有频率。 推理法： 推理法：如果在节点附近等间距分别测量不同位置的共 振频率，那么这些测得的共振频率将遵循某个规律，然后根 据该规律通过作图法获得节点处的共振频率（即固有频率）
支撑点节点附近重复测量6 注意每测1次转动测试棒1 （支撑点节点附近重复测量6次，注意每测1次转动测试棒1次）
6．改变试样,分别测量细铜棒和细钢棒的固有频率。
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注意事项
1．因换能器为厚度约为0.1~0.3mm的压电 晶体,用胶粘在0.1mm左右的黄铜片上构成,故极 其脆弱,放置测试棒时一定要轻拿轻放,不能用力, 也不能敲打。 2．调节支撑点保证测试棒在竖直方向上振动。 3．信号源——换能器(放大器)——示波器均 应共“地”。
但是现实情况是，当支撑点真的 指到节点处时，金属棒却无法继续激 发测试棒振动，即使能振动亦无法接 收到振动信号（即观察不到共振现象）， 即观察不到共振现象） 最终也无法得到节点处共振频率 。
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面对理论要求与现实困难的冲突，该如何处理？
常用的处理方法：近似法 推理法 近似法和推理法 近似法 推理法。
l 3m 2 E = 1.6067 4 f d
公式中l 为金属杆的长度 长度；m 为金属杆的质量；d 为金属棒的直径， 长度 质量 成为实验的关键） （如何测量 f 成为实验的关键）
都较容易测量，f 是金属杆的固有频率 固有频率。 固有频率
注：f 不是金属棒的共振频率，而是金属棒的固有频率。
固有频率与共振频率 区别 联系： 固有频率 共振频率的区别和联系： 共振频率 区别和
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数据处理
因为多次测量频率值，故计算A 1．因为多次测量频率值，故计算A类不确定 因为仪器本身有系统误差，故计算B 度。因为仪器本身有系统误差，故计算B 类不确定度。 类不确定度。 正确表示固有频率值。 2．正确表示固有频率值。 因为l,d,m,f都有误差，故计算E l,d,m,f都有误差 3．因为l,d,m,f都有误差，故计算E的间接 误差。 误差。 4．正确表示杨氏模量值
固有频率是金属棒本身固有的属性，一旦金属棒做好之后，其固有 固有频率 频率也同时确定。不会因外部条件改变而轻易改变。 共振频率是指当驱动力振动频率非常接近 非常接近系统的固有频率时，系统 共振频率 非常接近 振动的振幅达到最大时的振动频率。
（为什么不是两者相等时达到振幅最大，是因为现实情况不可能是无阻尼的自由振动） 为什么不是两者相等时达到振幅最大，是因为现实情况不可能是无阻尼的自由振动）
J = ∫ s y ds
圆形棒的杨氏模量： 圆管棒的杨氏模量： 矩形棒的杨氏模量：
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E = 0 . 9464
l m f d 14 d 24 l m ( )3 f h b
l 3m d 4 3
f
2
2
2
圆形金属棒， 本实验测试棒都是圆形金属棒 所以原理公式改写为： 本实验测试棒都是圆形金属棒，所以原理公式改写为：
大学物理实验
动态法测量金属杨氏模量
实验目的 实验内容
课题引入 注意事项
实验简介 数据处理
实验原理 课后作业
实验目的
1、了解动态法测杨氏模量的原理 原理。 原理 外推法或近似法 2、掌握如何用外推法 近似法 外推法 近似法测量测试棒的 固有频率。 3、掌握判别真假共振（即：是否是测试棒共振现象） 3 判别真假共振 基本方法。 正确处理实验数据和正确表示实验结 4、能够正确处理实验数据 正确表示实验结 正确处理实验数据 果。
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课后作业
1．讨论测量时为何将支撑点放在测试棒的节 点附近？ 点附近？ 2．讨论如何判断是否是铜棒发生了共振？ 讨论如何判断是否是铜棒发生了共振？
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f
2 共
= f β2
2 固
近似法：阻尼越小，共振频率与固有频率之间的偏移将 越小。虽然阻尼为零的情况在现实不能存在，但尽可能减小 阻尼是可以存在的。因此只要实验中找到节点位置，然后在 节点附近测量其共振频率即可近似为固有频率。
节点 节点
振源 振源
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接收 接收
面对理论要求与现实困难的冲突，该如何处理？
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根据振源的振动频率在不同范围内时， 根据振源的振动频率在不同范围内时，其振动形式相应的有所不 当振源频率在一定范围内时，其振动形式为第一种情况（ 同，当振源频率在一定范围内时，其振动形式为第一种情况（基频振 动形式）， 随着振动频率的增加，将逐渐过渡到第二种（ 次谐频振动 动形式）， 随着振动频率的增加，将逐渐过渡到第二种（1次谐频振动 形式）、第三种（ 次谐频振动形式 ）、第三种 次谐频振动形式） 形式）、第三种（2次谐频振动形式） … … 固有频率不至一个，而是有多个。分别对应着不同的振动形式， 固有频率不至一个，而是有多个。分别对应着不同的振动形式， 分别为基频固有频率 通常所说的固有频率）， 阶固有频率， 阶固 基频固有频率（ ），1阶固有频率 分别为基频固有频率（通常所说的固有频率）， 阶固有频率，2阶固 有频率， 有频率，... ...
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课题引入
杨氏模量的物理意义： 杨氏模量的物理意义：在外力的作用下，当物体的长度 变化不超过某一限度时，撤去外力之后，物体又能完全恢复 原状。在该限度内，物体的长度变化程度与物体内部恢复力 之间存在正比关系。（注：杨氏模量就是反映该关系的物理量 注 杨氏模量就是反映该关系的物理量） 杨氏模量：反映材料应变 应变(即单位长度变化量)与物体内 杨氏模量 应变 部应力 应力(即单位面积所受到的力的大小)之间关系 关系的物理量。 应力 关系 因此，此时材料中： 应变为单位长度的变化量: 应变 应力为单位面积受到的力: 应力
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动态法（共振法） 动态法（共振法）
实验简介
所谓 “动态法”就是使测试棒（如铜棒、钢棒）产生弯 曲振动，并使其达到共振，通过共振测量出该种材料的杨 氏模量值。 “动态法”通常采用悬挂法或支持法。（本次实验采用）
振源
接收
特殊点
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特殊点
特殊点
特殊点
特殊点
一次谐频振动
特殊点
特殊点
特殊点
特殊点
二次谐频振动
本实验采用基频振动形式，因为该振动形式相对简单。 本实验采用基频振动形式，因为该振动形式相对简单。
特殊点
基频振动形式
特殊点
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实验原理
动态法测量杨氏模量的原理：在一定条件下（ 动态法测量杨氏模量的原理：在一定条件下（l >> d）,试样 ） 试样
振动的固有频率取决于它的几何形状 尺寸、质量以及它的杨氏模量。 固有频率取决于它的几何形状、 以及它的杨氏模量 振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。 3 2 l m E = 7.8870×10 f2 J 如果实验中测出一定温度下（如室温）测试棒的固有频率 尺寸、 固有频率、尺寸 固有频率 尺寸 质量、并知道其几何形状 质量 几何形状，就可以计算测试棒在此温度时的杨氏模量 杨氏模量。 几何形状 杨氏模量 公式中Ｊ表示测试棒的惯量距 惯量距,主要与金属杆的几何形状有关, 其惯 惯量距 量距公式为： 2
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区别： 区别：
固有频率只与测试棒本身有关； 固有频率只与测试棒本身有关； 共振频率不仅与测试棒本身有关，还与振动时的阻尼有关。 共振频率不仅与测试棒本身有关，还与振动时的阻尼有关。
联系： 联系：
f固 = f共 1+1 4Q2
（其中： Q = f共 2 β ） 或
f
2 共
= f β2
2 固
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f共 = f固 β 2
2 2
振源
节点
接收
由公式得知，阻尼越小，共振频率与固 有频率之间的将越接近。当阻尼为零时，共 振频率刚好和固有频率相等。 当支撑点指在节点位置时， 当支撑点指在节点位置时，测量得到的 共振频率就是我们所要的找的固有频率值。 共振频率就是我们所要的找的固有频率值。
因为节点处的阻尼为零， 因为节点处的阻尼为零，无阻尼自由振动的 共振频率就是测试棒的固有频率。 共振频率就是测试棒的固有频率。
节点 节点
振源 振源振源 振源 振源振源 振源 振源振源
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接收接收 接收 接收接收 接收 接收接收 接收
通过以上两种方法测量获得基频固有频率之后， 通过以上两种方法测量获得基频固有频率之后，代入到 原理公式即可获得杨氏模量。 原理公式即可获得杨氏模量。 l 3m 2 E = 1.6067 4 f d 但是原理公式的成立是有条件的。 （l >> d） 但是原理公式的成立是有条件的。 ）
缺点： 缺点：①不能很真实地反映材料内部结构的变化； ②对于脆性材料不能用拉伸法测量； ③不能测量材料在不同温度下的杨氏模量。
动态法: 动态法
优点： 优点：①能准确反映材料在微小形变时的物理性能： ②测得值精确稳定； ③对软脆性材料都能测定； ④温度范围极广（196 ℃ ~ +2600℃）。
静态法（拉伸法） 静态法（拉伸法）
在一定条件下（l >> d）,试样振动的固有频率取决于它的几何形状、 在一定条件下（ ） 试样振动的固有频率取决于它的几何形状、 试样振动的固有频率取决于它的几何形状 尺寸、质量以及它的杨氏模量。 尺寸、质量以及它的杨氏模量。 以及它的杨氏模量
现实情况不太可能达到 l >> d 的条件，故对原理公式需 的条件， 要作些适当的修正，即原理公式基础上再乘以一个修正量。 要作些适当的修正，即原理公式基础上再乘以一个修正量。
l 3m 2 E = 1.6067 4 f T d
T 的大小由查表获得，本实验统一近似取 T =1.008 。
径长比的d/L 径长比的d/L 修正系数K 修正系数K
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0.01 1.002
0.02 1.008
0.03 1.019
0.04 1.033
0.05 1.051
实验内容
1．正确连接线路并使处于工作状态。 2．正确判断真假共振(是否是测试棒的共振现象) 3．分别测量粗铜棒不同刻度处的共振频率。 4．根据不同刻度处共振现象和共振频率数据判断 节点位置。（排除法） 排除法） 5．用近似法测量该测试棒的固有频率。