10第9章压杆稳定

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材料力学简明教程(景荣春)课后答案第九章

解设各杆与铅垂线夹角为 θ ，则由平衡的各杆的受力
130
3FN cosθ = F ， FN =
设钢管材料为 Q235，则
F F 2 .5 5 F = ⋅ = = 0.417 F 3 cos θ 3 2 12
= 269 > λp D2 + d 2 30 2 + 22 2 × 10 −3 π 2 EI π 3 E (D 4 − d 4 ) π 3 × 210 × 10 9 × (30 2 − 22 2 )× 10 −12 Fcr = = = = 9.37 kN 2 64 × 2.5 2 (μl )2 64(μl ) Fcr F 1 1 9.37 × 10 3 [F ] = = × = × = 7.49 kN 0.417 0.417 [n]st 0.417 3 i = =
2
127
比值差不多时较有利。 9-8 从稳定性的角度考虑，一般压杆截面的周边取圆形较为合理，但可以是空心或实心的。如规定压杆横截面面积相同，则： (1) 从强度方面看，它们有无区别？为什么？ (2) 从稳定性方面看，哪一种截面形式较为合理？为什么？ (3) 如果空心圆形截面较合理的话，是否其内、外半径越大越好？答 (1) 从强度方面看，它们无区别。因为 σ = F / A 。 (2) 从稳定性方面看，空心截面形式较为合理，因空心截面惯性矩较大。 (3) 如果空心圆形截面较合理的话，其内、外半径不是越大越好，因为在面积一定的情况下，内、外半径太大了会造成薄壁失稳。 9-9 如何进行压杆的合理设计？答（1）选择合理的截面形状；（2）改变压杆的约束条件；（3）合理选择材料。 9-10 满足强度条件的等截面压杆是否满足稳定性条件？满足稳定性条件的压杆是否满足强度条件？为什么？答（1）因为强度条件是 σ < [σ ] =

材料力学第9章压杆稳定

第9章压杆稳定图9－6
第9章压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章压杆稳定
图9－7
第9章压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章压杆稳定
图9－8
第9章压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆，在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为

《建筑力学》第九章压杆稳定

cr 为临界应力的许用值，其值为：
（9－13）

cr

cr
K
（9－14）
式中 K 称为稳定安全系数。稳定安全系数一般都大于强度计算时的安全系数，这是因为在
确定稳定安全系数时，除了应遵循确定安全系数的一般原则以外，还必须考虑实际压杆并非理想的轴向压杆这一情况。比如，在制造过程中杆件不可避免地存在微小的弯曲(即存在初曲率)；外力的作用线也不可能绝对准确地与杆件的轴线相重合(即存在初偏心)；还必需考虑杆件的细长程度等等，这些都应在稳定安全系数中加以考虑。
d=20mm，材料的许用应力 =170MPa，已知 h=0.4m，作用力 F=15kN。试在计算平面内校核
二杆的稳定。
图 9-3
解：(1)计算各杆承受的压力取结点 A 为研究对象，根据平衡条件列方程
x 0 FAB cos 450 FAC cos 300 0 Y 0 FAB sin 450 FAC sin 300 F 0
压杆的临界应力。
5、临界应力总图综上所述，压杆按照其柔度的不同，可以分为三类，计算各自临界应力的方法也不相
同。当 ≥ p 时，压杆为细长杆(大柔度杆)，其临界应力用欧拉公式来计算；当 s < < p 时，压杆为中长杆(中柔度杆)，其临界应力用直线经验公式来计算； s 时，压杆为短

4 1 0.566 103 20
113
4
AC

lAC i

4 1 0.8 103 20
160
(3)由表 9－3 查得折减系数为：
AC 0.272
AB

0.536

(0.536

材料力学第九章压杆稳定

cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1

l
i
大柔度杆—发生弹性失稳中柔度杆—发生非弹性失稳小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定稳定强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s

l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件讨论：

π 2 EI Fcr ( l )2

材料力学第九章压杆稳定

02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时，压杆保持稳定平衡状态；当压力大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章压杆稳定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望

材料力学第九章压杆稳定分析

我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或细长杆），其临界力用欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其临界力不能用欧拉公式求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定另端铰支
两端固定
一端固定另端自由
两端固定但可沿横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳时
B
B
B
挠
D
曲
线形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡

第9章压杆稳定

第九章压杆稳定§9.1 压杆稳定的概念§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力§9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力§9.4 欧拉公式的适用范围，经验公式§9.5 压杆的稳定校核§9.6 提高压杆稳定性的措施1. 引言强度——构件抵抗破坏（塑性变形或断裂）之能力2．实例crcr①受均匀外压作用的圆筒形薄壳——由圆形平衡变成椭圆形平衡。

②受均匀压力作用的拱形薄板——由拱形平衡变成翘曲平衡。

③窄高梁或薄腹梁的侧向弯曲——由平面弯曲变成侧向弯曲。

④圆筒形薄壳在轴向压力或扭转作用下引起局部皱折。

⑤细长压杆由直线平衡变成曲线平衡。

3．稳定研究发展简史早在18世纪中叶，欧拉就提出《关于稳定的理论》但是这一理论当时没有受到人们的重视，没有在工程中得到应用。

原因是当时常用的工程材料是铸铁、砖石等脆性材料。

这些材料不易制细细长压杆，金属薄板、薄壳。

随着冶金工业和钢铁工业的发展，压延的细长杆和薄板开始得到应用。

19世纪末20世纪初，欧美各国相继兴建一些大型工程，由于工程师们在设计时，忽略杆件体系或杆件本身的稳定问题向造许多严重的工程事故。

例如：19世纪末，瑞士的《孟希太因》大桥的桁架结构，由于双机车牵引列车超载导致受压弦杆失稳使桥梁破坏，造成200人受难。

弦杆失稳往往使整个工程或结构突然坍蹋，危害严重，由于工程事故不断发生，才使工程师们回想起欧拉在一百多年前所提出的稳定理论。

从此稳定问题才在工程中得到高度重视。

§9.1 压杆稳定的概念 1．工程实例（1当推动摇臂打开气阀时就受压力作用。

（2）磨床液压装置的活塞杆，当驱动工作台移动时受到压力作用。

（3）空气压缩机，蒸汽机的连杆。

（4）桁架结构的某些杆件。

（5）建筑物中的柱。

2．压杆分类⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫--.,,.3.2.1曲线平衡而发生失稳杆件会由直线平衡变成比例极限甚至低于或者强度极限当应力低于屈服极限稳定问题细长杆中长杆强度问题短杆b b s σσσ 3．压杆失稳：压杆由直线形状的稳定平衡而过渡到曲线平衡称为失稳或者屈曲。

建筑力学第9章压杆稳定

• 压杆失稳时的压力比引起强度不足而破坏的压力要小得多，并且失稳破坏是突然的，因此，对细长压杆必须进行稳定性计算。
• 为了说明压杆平衡状态的稳定性，我们取一根细长的直杆进行压缩试验，如图９-１所示。
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第一节压杆稳定的概念
• 压杆的平衡状态可以分为三种。图９-１（ａ）中，当压力P不太大时，用一微小的横向力干扰它，压杆微弯，当横向力撤去后，压杆能自动恢复原有的直线形状，这时压杆处于稳定的平衡状态。图９-１（ｂ）中，当压力P增大到某一特定值Pｃｒ时，微小的横向干扰力撤去后，压杆在微弯状态下维持新的平衡，这时压杆处于临界平衡状态，这个特定值Pｃｒ叫作临界力。图９-１（ｃ）中，当压力P超过临界力Pｃｒ后，干扰力作用下的微弯会越来越大直至压杆弯断，此时压杆丧失了稳定性。
• σｃｒ＝π２E/λ２≤σＰ
• ■四、中长杆的临界应力计算———经验公式
• 当压杆的柔度小于λＰ时，称为中长杆或中柔度杆。中长杆的临界应力σｃｒ大于材料的比例极限σＰ，此时欧拉公式不再适用。工程中对这类压杆一般采用经验公式计算临界力或临界应力。常用的经验公式有两种：直线公式和抛物线公式。
上一页
• Pｃｒ＝π２EI/（μl）２（９-１） • 式中 • E———材料的弹性模量； • I———压杆横截面的最小惯性矩； • EI———压杆的抗弯刚度；
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第二节临界力和临界应力
• l———压杆的实际长度； • μ———压杆的长度系数，见表９-１； • μl———压杆的计算长度。 • ■二、临界应力 • 在临界力作用下，细长压杆横截面上的平均压应力叫作压杆的临界应
• 从前面几节内容可知，影响压杆稳定性的主要因素有：压杆的截面形状、长度、两端的约束条件以及材料的性质等。要提高压杆的稳定性，可采取以下四个措施。

材料力学：第九章压杆稳定问题

绞），I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆的
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力，得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D

09 第9章压杆稳定

P
An
4 稳定性校核步骤：
•计算柔度 •判断压杆类型并计算临界应力或临界压力 •稳定性校核
【例9.3】千斤顶如图9.6所示，丝杠长度，螺纹内径，材料为
45钢，最大起重重量为F=80kN，规定的稳定安全因数[nst]=4，
试校核丝杠的稳定性。解：(1) 计算柔度。
丝杠可以简化为下端固定，上端自由的压杆，因此长度因数取μ=2。
稳定失效：压杆丧失稳定性而破坏，具有突发性
逐渐成为构件或结构安全工作的控制条件
称为临界压力
稳定平衡
Pcr
不稳定平衡
§9.2 细长压杆的临界载荷的计算及欧拉公式
9.2.1 两端铰支细长压杆的临界载荷的计算
Pcr
y
Pcr
x
M (x) Pcr w M M (x) EIw''
EIw'' Pcr w 0
解： (1) 计算截面的极惯性矩
I min

0.05 0.033 12
m4
11.25 108 m 4
(2) 两端为铰支约束，则代入欧拉公式得
Pcr

2EI l2

2
9 109
11.25 108 1
N
10kN
所以，当杆的轴向压力达到10kN时，此杆就会丧失稳定。
9.3 欧拉公式的适用范围·经验公式
记：2

a
s
b
a s
b
2 1 ——直线公式的适用范围
——这种压杆称为中柔度杆或中长杆
2 的压杆 ——小柔度杆或短粗杆
不存在失稳问题，应考虑强度问题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为

第九章_压杆稳定

第 1 页/共 2 页9-5 未失稳失，轴向压缩 T F L L ∆=∆TEA F TL L EAFL L l l T F αα=⇒=∆=∆，临界状态 kN 3.109)5.0(22cr ==L EIF π由cr F F =得，温升C EALEI T l ︒==2.29422απ 9-8 由铰B 平衡，22BC AB F F F +=，ABBC F F =θtan F 最大时，AB F 与BC F 均达到临界值2222)sin ()cos (βπβπAC EI F AC EI F BC AB ==， )arctan(cot cot tan 22βθβθ==⇒， 9-10 柔度临界值 p2p σπλE = （1）5.72p =λ，（2）8.65p =λ，（3）6.73p =λ 9-12 AB 与BC 均为两力杆，由铰B 平衡可得 F F BC 75=（压）柔度 m m 320m 5.215.216=====i l i l，，，其中μμλ 稳定因素 06.028002==λϕ稳定许用应力 MPa 6.0][][st ==σϕσ st ][MPa 58.0σσ<==AF BC ，满意稳定性条件。

9-15 组合压杆的临界力cr F 为杆BC 与AB 临界力的最小值柔度临界值 1002==PP E σπλ P ACAC P BC BC i AC i BC λλλλ>=====1047.0100，大柔度杆，由欧拉公式N 1094.0)7.0(N 1004.1622622⨯==⨯==AC EIF BC EIF AC BC ππ，N 1094.06cr ⨯==⇒AC F F许用压力 kN 376][stcr ==n F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛======kN 416MPa 8.82][MPa 1.207BC kN 376MPa 6.76][MPa 4.191AC st cr st cr F F ，，：，，：σσσσ 9-17 杆AC ，强度许用应力 MPa 118][st ==n σσ 最大弯矩 26132bh W F M B ==，最大应力 kN 6.95][41][2max =≤⇒≤=bh F W M B σσσ 杆CD ，柔度P iCD λλ>==200，大柔度杆由欧拉公式 MPa 3.4922cr ==λπσE 稳定许用应力 MPa 4.16][st cr st ==n σσ 压力 F F CD 31=应力 kN 5.15][3][st st =≤⇒≤=A F AF CD σσσ 结构的许可荷载 kN 5.15][=F。

第9章-压杆稳定

第9章压杆稳定
压杆稳定
§９-1
§９-2 §９-3 §９-4 §９-5 §９-6
压杆稳定的概念
两端铰支细长压杆的临界压力其他支座条件下压杆的临界压力压杆的临界应力压杆的稳定校核提高压杆稳定性的措施
压杆稳定
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效；脆性材料：工作应力达到强度极限时断裂；
B 0.7 1
F
C 1 2
F
D 2
题1图
题2图
压杆稳定
压杆稳定
例
如图所示一细长的矩形截面压杆，一端固定，一端自由。材料为钢，弹性模量E = 200GPa，几何尺寸为：l=2.5m , b =40mm ， h=90mm 。试计算此压杆的临界压力。若b=h=60mm ，长度相等，则此压杆的临界压力又为多少？（压杆满足欧拉公式计算条件*）
半波正弦曲线的一段长度。长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的两端铰支的细长杆相当。长为L的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为0.7L的两端铰支压杆相当。长为L的两端固定压杆与长为0.5L的两端铰支压杆相当;
压杆稳定
讨论：
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对中性轴的惯性矩。
这类杆又称中柔度杆。中柔度压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题。
压杆稳定
类比法：根据力学性质将某些点类比为支座点。其它约束——折算成两端铰支。

材料力学第9章压杆稳定

材料力学
第9章压杆稳定
第9章压杆稳定
材料力学
第9章压杆稳定
第9章压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态，临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章压杆稳定
材料力学
第9章压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程及荷载值。用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑：（1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑；（2）假设压杆处在线弹性状态；（3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是，梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。（4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。

材料力学-第9章压杆的稳定问题

0 1 0 sinkl coskl
sinkl 0
第9章压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI 由此得到临界载荷
2
kl nπ, n 1, 2 ,,
FPcr
第9章压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
微分方程的解 w =Asinkx + Bcoskx 边界条件 w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B 不全为零的条件是他们的系数行列式等于零：
FP F FP P
FP>FPcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是不稳定的。
第9章压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下，压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程称为屈曲（buckling）或失稳（lost stability）。对于细长压杆，由于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所以又称为分叉屈曲（bifurcation buckling）。稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点（critical point）。对于细长压杆，因为从临界点开始，平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所对应的载荷称为临界载荷（critical load）或分叉载荷（bifurcation load），用FP表示。
第9章压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
在很多情形下，屈曲将导致构件失效，这种失效称为屈曲失效（failure by buckling）。由于屈曲失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因此工程设计中需要认真加以考虑。

第九章压杆稳定

E1 E2
λ
1
2l1 d
λ
2
2
3l2 d
cr1
2 E1 12
2 E1 d 4l12
2
2 E2d212l Nhomakorabea2 2
cr 2
2 E2
2 2
2 E2d2
12l
2 2
Cr1
Fcr1 Fcr 2
A1 CR1 A2 CR2
A1 A2
d 2
4 d2
4
58
例题：两端为球绞支的圆截面杆，材料的弹性模量
E 2.03105 MPa ,σ P 300MPa ，杆的直径d=100mm
sin
kx
2
x
F cr
l
l 2
y
A
δ
B
25
0
δ sin kl
sin
kl
2δ
cos
kl 2
2
要想压杆在微弯状态下平衡只有
cos kl 0 2
kl n (n 1,3,5 )
22
x
F cr
l
l 2
y
A
δ
B
26
kl n (n 1,3,5 )
22
其最小解为 n = 1 的解
k
l
F cr k2 EI
6 12
z
24
6 y 22
42
解：
在 xy 平面内失稳时，z 为中性轴
I
z
1 12
12243
2( 1 2263 226152) 12
F cr1
2E Iz ( z l1)2
2E Iz
(1l1)2
6 12
z

第9章压杆稳定(H)

2 EI
(0.7l ) 2
Fcr
0.7l 第十章压杆稳定
Fcr
Q
两端固支：
拐点拐点
Fcr
l 4
l 2
l 4
Fcr
Fcr
l 2
EI
2
Fcr
(0.5l )
2
第十章压杆稳定
四、欧拉公式的一般表达式：
2 EI Fcr 2 ( ml )
ml ——相当长度：相当的两端铰支压杆的长度 m——长度因数:支持方式对临界载荷的影响
Q 杆端约束刚度越强，m 越小，临界载荷越大。 Q 柱状铰的约束方式。
第十章压杆稳定
例：
刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。
解: (a)

2
kl
F
F
k
l l
（a）
Fcr l 2 kl l
(b)

2 Fcr 2 k l
kl Fcr 2
2 l
k
M k *
k*
F
F
l
l
（b）
k Fcr l
第十章压杆稳定
例
刚性梁，两大柔度杆 EI
a A a a C l
F
D
（1）求 O2C 失稳 Fcr2
（2）求结构失稳 Fcr 解:（1）为求Fcr2,先求作用 F 时 FN2
l2 2l1
B
FN 2 2FN1
O1
O2
FN1 a FN 2 2a F 3a 0
n k l F k2 EI
(n 1,2)
n 2 2 EI F l2
n=1，得到存在非零解的最小的压力：临界载荷的欧拉公式(欧拉临界载荷)

材料力学第09章(压杆稳定)

67.14(kN)
[例3] 已知：压杆为Q235钢，l=0.5m，E=200GPa，求细长压杆的临界压力。 F 解：I min I y 3.89cm 4 3.89104 mm 4
y0 x x1 x0 z 0 x0 x x1 y0
2 EImin Fcr ( l )2
0
1

三、压杆的临界应力总图
cr
S
P
s a b2
a s 2 b
cr a b
2E cr 2
L
i
2
1
临界应力总图
四、小结
≥ 1，大柔度杆
2 ≤ ≤ 1，中柔度杆
2E cr 2
cr a b
一端固定一端铰支
两端固定
=1
=2
= 0.7
=0.5
[例1]求细长压杆的临界压力 F
0.5l
π 2 EI Fcr ( 0.5l ) 2
π 2 EI Fcr (0.5 0.7 l ) 2
l
[例2] 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
可靠地工作。
一、稳定性的概念稳定性：保持原有平衡状态的能力 1、稳定平衡
影片：14-1
2、随遇平衡
3、不稳定平衡
影片：14-2
稳定性：保持原有平衡状态的能力
二、压杆失稳与临界压力 F<Fcr
稳定平衡
F=Fcr
随遇平衡
F>Fcr
F
F
F
不稳定平衡
影片：14-3
稳定平衡
=2，试校核其稳定性。(一个角钢A1=8.367cm2，Ix=23.63cm4， Ix1=47.24cm4 ，z0=1.68cm ） z

工程力学(高教版)教案：第九章压杆稳定

第九章压杆稳定第一节压杆稳定的概念对于一般的构件，其满足强度及刚度条件时，就能确保其安全工作。

但对于细长压杆，不仅要满足强度及刚度条件，而且还必须满足稳定条件，才能安全工作。

例如，取两根截面（宽300mm ，厚5mm ）相同；其抗压强度极限40=c σMpa 的松木杆；长度分别为30mm 和1000mm ，进行轴向压缩试验。

试验结果，长为30mm 的短杆，承受的轴向压力可高达6kN （A c σ），属于强度问题；长为1000mm 的细长杆，在承受不足30N 的轴向压力时起就突然发生弯曲，如继续加大压力就会发生折断，而丧失承载能力，属于压杆稳定性问题。

如图9-1(a)所示，下端固定，上端自由的理想细长直杆，在上端施加一轴向压力P 。

试验发现当压力P 小于某一数值cr P 时，若在横向作用一个不大的干扰力，如图9-1b 所示，杆将产生横向弯曲变形。

但是，若横向干扰力消失，其横向弯曲变形也随之消失，如图9-1c 所示，杆仍然保持原直线平衡状态，这种平衡形式称为稳定平衡。

当压力cr P P =时，杆仍然保持直线平衡，但此时再在横向作用一个不大的干扰力，其立刻转为微弯平衡，但此时在，如图9-1d 所示，并且当干扰力消失后，其不能再回到原来的直线平衡状态，这种平衡形式称为不稳定平衡。

压杆由原直线平衡状态转为曲线平衡状态，称为丧失稳定性，简称失稳。

使压杆原直线的平衡由稳定转变为不稳定的轴向压力值cr P ，称为压杆的临界载荷。

在临界载荷作用下，压杆既能在直线状态下保持平衡，也能在微弯状态保持平衡。

所以，当轴向压力达到或超过压杆的临界载荷时，压杆将产生失稳现象。

图9-1在工程实际中，考虑细长压杆的稳定性问题非常重要。

因为这类构件的失稳常发生在其强度破坏之前，而且是瞬间发生的，以至于人们猝不及防，所以更具危险性。

例如：1907年，加拿大魁北克的圣劳伦斯河上一座跨度为548m 的钢桥，在施工过程中，由于两根受压杆件失稳，而导致全桥突然坍塌的严重事故；1912年，德国汉堡一座煤气库由于其一根受压槽钢压杆失稳，而致致使其破坏。

10第9章压杆稳定

材料力学简明教程(景荣春)课后答案第九章

材料力学第9章 压杆稳定

《建筑力学》第九章压杆稳定

材料力学 第九章 压杆稳定

材料力学第九章 压杆稳定

材料力学 第九章 压杆稳定分析

第9章 压杆稳定

建筑力学第9章压杆稳定

材料力学：第九章 压杆稳定问题

09 第9章 压杆稳定

第九章_压杆稳定

第9章-压杆稳定

材料力学 第9章 压杆稳定

材料力学-第9章压杆的稳定问题

第九章压杆稳定

第9章 压杆稳定(H)

材料力学第09章(压杆稳定)

工程力学(高教版)教案：第九章 压杆稳定

材料力学第9章压杆稳定

材料力学第九章压杆稳定

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第9章压杆稳定

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