4高三文科数学专题练习(立体几何)

A1 B1 A B
C
D1
C
1
D
7．如图, 四面体 P-ABC 中, PA=PB=PC=2, APB= BPC= APC=300. 一只蚂蚁从 A 点出发 沿四面体的表面绕一周, 再回到 A 点,问蚂蚁经过的最短路程是 ．
8．如图，某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、 等 腰三角形和菱形，则该几何体体积为 .

BAD 90
2
又
2
ADP ~ BAD , 3 4 3R ; 1 2R 2 4R2

AD DP AD , DP BA AD BA BD sin 30

BD sin 60
(2 ) 在 Rt BCD 中， CD BD cos 45
2R
AD =1. DC1
(2)（运用等体积法 求解） ，由题意易得 AC＝2，AF＝CF＝ 5 ，可求 S△ACF＝2， ．．．．
1 1 2 3 ， V F ACC1 = V B ACC1 = 2 2 3 = 3 3 2
记点 C1 到平面 AFC 的距离为 h ，
1 V F ACC1 = VC1 ACF = S△ACF×h， 求得 h= 3 . 3
授课：方建青
高三文科数学专题练习——立体几何
一、选择题 1.若 l，m，n 是互不相同的空间直线，， 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 Ａ．若 ∥ ，l ，n ，则 l ∥ n Ｃ．若 l n，m n ，则 l ∥ m Ｂ．若 ，l ，则 l Ｄ．若 l ，l ∥ ，则
7
授课：方建青
（３）如图,连结 EG,HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO 平面 EFGH， PO HF 又 EG HF 又 BD / / HF
HF 平面 PEG BD 平面 PEG.
.
13．解： （1） BD 是圆的直径
C
（1）求证：PE⊥CD； （2）若点 P 在面 CDE 的射影恰好是点 F，求 EF 的长.
5
授课：方建青
17． 半径为 R 的球 O 的截面 BCD 把球面面积分为两部分， 截面圆 O1 的面积为 12π， 2OO1=R， BC 是截面圆 O1 的直径，D 是圆 O1 上不同于 B，C 的一点，CA 是球 O 的一条直径.
2
主视图
2 左视图
俯视图
9．如图，点 O 为正方体 ABCD－A′B′C′D′的中心，点 E 为面 B′BCC′的中心，点 F 为 B′C′的 中点，则空间四边形 D′OEF 在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有 可能的序号)．
10．在平面上，用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边 长，由勾股定理有： c a b .
25 4 x 2 2
4x2 1 2
3，
∴EF 的长为 3 .
17．解： （1）连 OO1, 则 OO1 面 BDC，△ABC 中，OO1∥AB， ∴AB⊥面 BCD. ∵CD 在面 BCD 内 ， ∴AB⊥DC 又由题意知 BD⊥DC 且 AB∩BD=B， ∴CD⊥面 ABD ∵CD 面 ACD， ∴面 ACD⊥面 ABD. （2）∵ R 2OO1 ， S圆O1 =12π， ∴ O1C 2 3 . 在△O1OC 中 ∴R=4 OO1=2 OO12+O1C2 =R2
三棱锥 P ABC 的体积为
1 1 3 1 2 3 1 3 VP ABC S ABC PD R 3R R . 3 3 4 4
14．解：(1) 由题意不妨设 PA=BC=1，AD=2.
8
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AB=1，BC=
1 AD，作 CF//AB 交 AD 于 F， 2
故点 C1 到平面 AFC 的距离为 3 .
16．解： （1）证明：连结 PF，∵F、E 分别是等腰梯形上、下两底的中点，∴EF⊥CD.
9
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又∵AD=BC 即 PD=PC 且 F 为 CD 的中点， ∴PF⊥CD . 又 EF，PF 面 PEF，EF∩PF=F， ∴CD⊥面 PEF. 又 PE 面 PEF， ∴PE⊥CD. （2）若点 P 在面 CDE 的射影恰好是点 F，即 PF⊥面 CDE 于 F，EF 面 CDE，所以， PF⊥EF 设 EF= x，由已知 EF 为等腰梯形的高，且 PE⊥CF ∵PE=BE=
P E A
F
D
B
C
4
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15．如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都等于 2，D 在 AC1 上，F 为 BB1 中点，且 FD⊥ AC1.
A D
C
A1
AD （1）试求 的值； DC1
（2）求点 C1 到平面 AFC 的距离.
C1 B F B1
16．如图，在等腰梯形 ABCD 中，上底 CD=3，下底 AB=4，E、F 分别为 AB 、CD 中点，分 别沿 DE、CE 把△ADE 与△BCE 折起，使 A、B 重合于点 P． D F C D A E B E P F
2 2 2
2
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设想正方形换成正方体， 把截线换成如图的截面， 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂 直的三棱锥 O—LMN，如果用 s1 , s 2 , s 3 表示三个侧面面积， s 表示截面面积，那么你类 ． 比 得到的结论是 ． .
b
O
c
a
M N
L
三、解答题 11．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为 8， 高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为 6，高为 4 的等腰三角形． （1）求该几何体的体积 V ； （2）求该几何体的侧面积 S ． 6
（当且仅当 BD CD 时取“=” ） ∴（ S △BCD）max=12 . ∴ (V A BCD ) max
1 2 AB=2 ∴ PF 4 x 2
∴ PC 腰
1 3 ∵ CF CD 2 2
在 等
PF CF
2 2
25 4 x 2 2
ABCD 中 ，
梯
形
1 BC EF 2 ( BE CF ) 2 x 2 ( ) 2 2
∵PC=BC ∴
4x2 1 2
解得： x
14 ． 如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， PA 平 面 ABCD ， PA=AB ， 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ，
ABC BAD 90, PA BC
（1）求证： CD 平面 PAC；
1 AD. 2
（2）在棱 PD 上是否存在一点 E，使 CE//平面 PAB？若存在， 请确定 E 点的位置，若不存在，请说明理由.
Hale Waihona Puke 平面 EFC//平面 PAB.
又 CE 在平面 EFC 内，CE//平面 PAB，BC=
1 AD，AF=BC， 2
F 为 AD 的中点， E 为 PD 中点.
故棱 PD 上存在点 E，且 E 为 PD 中点，使 CE//面 PAB.
15．解： (1)连 AF，FC1， ∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱且各棱长都等于 2，又 F 为 BB1 中点， ∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F，∴AF=FC1. 又在△AFC1 中，FD⊥AC1，所以 D 为 AC1 的中点，即
(1)求证：平面 ADC⊥平面 ABD; (2)求三棱锥 A－BCD 的体积最大值; (3)当 D 分 BC 的两部分的比 BD：DC=1：2 时，求 D 点到平面 ABC 的距离.
B D
O1 O
C
A
6
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参考答案
一、选择题 1-5 DDBCD
二、填空题 6. AC BD 三、解答题 11．解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为 4，顶点在底面的射影是矩形中心的 四棱锥 V-ABCD ； (1) 由题意可知， V 7. 2 2 8. 2 3 9.①②③ 10. s s1 s 2 s 3
1
V D E B C O A
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二、填空题 6．在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，当底面四边形 ABCD 满足条件 （ 凡是能推出 ． ．．．．．
该结论的一切条件均可） 时，有 A1C⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不 ．．．．．．．．．．． 必考虑所有可能的情况）
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∵AB=2OO1 ∴AB=4 ∵AB⊥面 BDC， ∴要使 VA-BCD 取最大，则需 S△BCD 取最大.
S
BCD=
△
1 1 1 1 1 BD CD (2 BD CD ) ( BD 2 CD 2 ) BC 2 (2 2 3 ) 2 12 2 4 4 4 4
由 ABC BAD 90, 易得 CD=AC= 2 由勾股定理逆定理得 AC CD . 又 PA 面 ABCD CD 面 ABCD，
PA CD, PA AC A, CD 面 PAC.
又 CD 面 PCD， 面 PAC 面 PCD. (2)棱 PD 上存在点 E，当 E 为 PD 中点，使 CE//面 PAB.证明如下： 作 EF//AP 交 PD 于 E，连接 CE. 又 CF//AB，EF//PA，CF EF=F，PA AB=A，
PD 2 CD 2 9 R 2 2 R 2 11R 2 PC 2 PD CD
又 PDA 90

PD 底面 ABCD.
S ABC
3 2 1 2 1 1 3 1 2 AB BC sin 60 45 R 2 R R 2 2 2 2 2 2 4