正余弦定理的综合应用及答案
正余弦定理典型例题及解析
正余弦定理的应用的典型例题 五大命题热点：五大命题热点：
（1）求解斜三角形中的基本元素）求解斜三角形中的基本元素
例1(2005年全国高考湖北卷) 在 ΔABC 中，已知6
6
cos ,3
64=
=B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．的值．
（2）判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例2(2005年北京春季高考题)在ABC D 中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC D 一
定是（定是（ ） A ．直角三角形．直角三角形 B ．等腰三角形．等腰三角形 C ．等腰直角三角形．等腰直角三角形 D ．正三角形．正三角形
（3）解决与面积有关问题）解决与面积有关问题
例3(2005年全国高考上海卷) 在ABC D 中，若120A Ð= ，5AB =，7BC =，
则ABC D 的面积S ＝_________
（4）求值问题）求值问题
例4(2005年全国高考天津卷) 在ABC D 中，C B A ÐÐÐ、、所对的边长分别为c b a 、、，
设c b a 、、满足条件2
22a bc c b =-+和32
1+=b c ，求A Ð和B tan 的值．的值．
（5）正余弦定理解三角形的实际应用）正余弦定理解三角形的实际应用 ①测量问题；测量问题；
例5 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。，求河的宽度。
图1
A B
C
D
②遇险问题遇险问题
完整版正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )
课时作业3应用举例
时间：45分钟 满分：100分
1. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成 60°勺视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，贝J B 、C 间的距离是 ()
A . 10^3海里 C . 5迈海里
【答案】 D
【解析】 如图，/A = 60° /B = 75° 贝JZC = 45 °, 由正弦定理得:
BC
AB si nA 10x sin60 BC
= sinC = sin45
2. 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的河
岸边选定一点 C ,测出AC 的距离为50m , / ACB = 45° / CAB = 105°
B . 10/6海里 D . 5^6海里
课堂训练
—30 =150 ° ZCBO = 45 ° AB=
35 ,
【答案】 A
【解析】 因为ZACB = 45° ZCAB = 105°所以ZABC = 30°根 据正弦定理可知'sin%=sin 監，即爲=馬，解得AB
=
5072m ,选 A.
3. 从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°从电视 塔
的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45° A , B 间距离是35m ,
【答案】 如图所示，塔高为0C ,贝JZOAC = 60° 从OB = 180°
A . 5Oj2m C . 25 辺m
则此电视塔的高度是
m.
【解析】
A
设电视塔高度为hm,则OA=^h, OB= h,在△KOB中由余弦定
理可得AB2= OA2+ OB2—2OA OB cos/AOB,
三角函数正弦余弦定理解答题(容易)及详细答案
《 三角函数正弦余弦定理》解答题（2） 姓名：
1、 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知c = 1，6
C π=．
(Ⅰ)若a
b 的值； (Ⅱ)求cos A cos B 的取值范围．
【解】
（Ⅰ）解法一：由余弦定理2222cos ,c a b ab C =+-得2320b b -+=，所以b =1或b =2.
解法二：由正弦定理
sin sin sin a c A A C ==
得，233
A A ππ
==∴或． 当,232A B b ππ===时，;当2,136
A B b ππ
===时，
综上，b =1或b =2.
(Ⅱ
)51cos cos cos cos cos sin 62A B A A A A A ⎛⎫π⎛⎫
⋅=⋅-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2111sin cos sin 22sin 22423A A A A A A π⎛⎫
=+=+=- ⎪⎝⎭
因为540,26333A A ππππ<<
-<-<
,
所以sin 213A π⎛
⎫<- ⎪⎝
⎭≤,
所以cos A cos B
的取值范围是12⎛ ⎝⎦
．
2、 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知1
1
tan ,tan 23
A B ==，且最长边的边长为l ．，求：（1）角C 的大小；（2）△ABC 最短边的长．
【解】（1）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）] ＝－tan （A ＋B ）
11
tan tan 231111tan tan 123
A B A B +
+=-=-
正余弦定理 15道经典基础例题
正余弦定理 15道经典基础例题
例1、（共5分，2分钟）在∆ABC 中,若∠A =60°,∠B =45° ,BC =3√2 ,则AC=（ ）
A ．4√3
B ．2√3
C ．√3 D.√3
2
解答:由正弦定理,可得AC sin45°=BC
sin60° 所以AC =
3√2
√32
×
√22
=2√3
可得答案B
考点: 考点：正弦定理, 难度：★☆☆☆☆☆
例2、（共5分，2分钟）在∆ABC 中，角A,B,C 所对边长分别为a,b,c ，若a 2+b 2=2c 2，则sin C 的最小值为（ ）
A. √3
2 B. √2
2 C. 1
2 D. −1
2 解答：cos C =
a 2+
b 2−
c 2
2ab
=
2c 2−c 22ab
≥c 2
a 2+
b 2=1
2
可得答案C
考点：余弦定理，基本不等式，难度：★☆☆☆☆☆ 例3、（共5分，3分钟）在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°,则BC 边上
的高等于( )． A.
32
B.
3
32
C.
3＋62
D.
3＋394
解答：设AB ＝c ，BC 边上的高为h .
由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°， 即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．
又h ＝c ·sin 60°＝3×32
＝
33
2
，故选B.
可得答案B
考点：余弦定理，难度：★☆☆☆☆☆
例4、（共5分，3分钟）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，已知8b =5c,C =2B ，则cos C = ( ) A.7
(完整版)正余弦定理综合习题及答案
正余弦定理综合
1.（2014天津）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知1
4
b
c
a ，2sin 3sin B
C ，则cos A 的值为_______.
2.（2014广东）.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知
b B
c C b 2cos cos =+，则
=b
a
. 3.已知ABC ∆的内角
21)sin()sin(2sin ,+
--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积
满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤ 4. （2014江苏）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值
是 。
5.（2014新课标二）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )
A. 5
B. 5
C. 2
D. 1 6、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训
练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线
移动，此人为了准
确瞄准目标点
，需计算由点
观察点
的仰角
的大小.若
则
的最大值 。（仰角为直线AP
与平面ABC 所成角）
7．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,
2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ( )
A.33
B.36
(完整版)正余弦典型例题及详细答案
正余弦典型例题及详细答案
一、解答题（题型注释）
1
（1
（2
【答案】(2
【解析】
试题分析:（1;
（2）利用（1）,
值.
试题解析：（1
（2
考点：正余弦定理的综合应用及面积公式。
2,
（1
（2
【答案】（（2
【解析】
试题分析:（1）利用正弦定理，
（2
试题解析：
(1
（2
=”
考点：解三角形，正余弦定理，基本不等式．
3
（1
(2
【答案】（1
（2
【解析】
试题分析：（1）
等差数列
再由正弦定理
6
sin(3045)
4
+
=+=，再由正弦
定理
22
45sin60sin75262
24
b a
==⇒=
+
,
,则
11
sin2(
22
ABC
S ac B
∆
==⨯
2分
sin 603
2
A =
4分 120
，∴
6分 675sin(3045)4
+=+=分 245sin 60sin 7523
22
b a b
==⇒=
2(31)6(31)b -=-，， 10
分
12分
4．已知
A 、
B 、
C 为三角形ABC 的三内角,其对应边分别为a ，b ，c,若有2acosC=2b+c 成立. (1）求A 的大小；（2)
ABC 的面积. 【答案】（1
（2
【解析】 试题分析：（1)
A 的余弦值，从而求出角
A ；（2
,
,再结合上题中求得的角A
试题解析:(1
（
2)
考点：正弦定理，余弦定理，三角形两边一夹角的面积公式,化归与转化的数学思想.
正弦定理和余弦定理典型例题
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析
类型一：正弦定理的应用：
例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形
内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C =，
∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ⨯=
== ∴ 180()105B A C =-+=，
又sin sin b c B C
=，
∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304c B b C ⨯====⨯= 总结升华：
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；
根据正弦定理，0
0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0
==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，0
60C =，5c =，求a 、A .
【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=，
正弦定理余弦定理习题及答案
正 余 弦 定 理
1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2
2
cos cos 2sin
02
C
x x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是 （ ） (A ）直角三角形(B)钝角三角形(C ）等腰三角形（D ）等边三角形。
3、已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a=1，b=3, A+C=2B ，则sinC=.
4、如图,在△ABC 中，若b = 1,c =3，23
C π
∠=，则a=。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ,c ，若2a =,2b =，sin cos 2B B +=，
则角A 的大小为．
6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2
7
4sin cos 222
B C A +-= (1)求A ∠的度数
（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值
7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状。
8、如图,在△ABC 中，已知3=
a ，2=
b ，B=45︒ 求A 、C 及
c 。
1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．
2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222
C C
正余弦定理知识点+经典题(有答案)
正余弦定理
1.定理内容：
（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
2sin sin sin a b c
R A B C
=== （2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即：
2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-
（3）面积定理：111
sin sin sin 222
ABC S ab C bc A ac B ∆=
== 2.利用正余弦定理解三角形： （1）已知一边和两角：
（2）已知两边和其中一边的对角： （3）已知两边和它们所夹的角： （4）已知三边：
正弦定理
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )
D ．26
2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
正弦、余弦定理的应用优秀经典专题及答案详解
3.【解析】 由正弦定理知 c＝2Rsin C，a＝2Rsin A， 故 sin C＝2sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B. 所以 sin Acos B＝cos Asin B，即 sin(A－B)＝0，所以 A＝B. 故△ABC 为等腰三角形．
4.已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角 C 的大小为( ) A．60° B．90° C．120° D．150°
C.3
2
22
2
D. 6 2
1.解析：因为 A＝75°，B＝60°，所以 C＝180°－75°－60°＝45°.
因为 c＝ 3，根据正弦定理得
b
＝
c
，所以 b＝csin B＝
3×
பைடு நூலகம்3 2 ＝3
2.
sin B sin C
sin C
22
2
2.在△ABC 中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB的值为( ) sinC
所以 B＝π，所以 C＝π－
π＋π 36
＝π.
6
2
8．在△ABC 中，已知 a＝4，b＝6，C＝120°，则边 c＝
；
8.【解析】 根据余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76， c＝2 19.
正弦定理余弦定理习题及答案
正 余 弦 定 理
1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的 〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2
2
cos cos 2sin
02
C
x x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是 〔 〕 〔A 〕直角三角形〔B 〕钝角三角形〔C 〕等腰三角形〔D 〕等边三角形.
3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，假设a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .
4、如图，在△ABC 中，假设b = 1，c =3，23
C π
∠=，则a= 。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设2a =
，2b =，
sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．
6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2
7
4sin cos 222
B C A +-= 〔1〕求A ∠的度数
〔2〕假设3a =，3b c +=，求b 和c 的值
7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.
8、如图，在△ABC 中，已知3=
a ，2=
b ，B=45︒ 求A 、C 及
c .
1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．
2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222
正余弦定理综合习题及答案
正余弦定理综合
1.（2014天津）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知1
4
b
c
a ，2sin 3sin B
C ，则cos A 的值为_______.
2.（2014广东）.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知
b B
c C b 2cos cos =+，则
=b
a
. 3.已知ABC ∆的内角
21)sin()sin(2sin ,+
--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积
满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤ 4. （2014江苏）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值
是 。
5.（2014新课标二）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )
A. 5
B. 5
C. 2
D. 1 6、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训
练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线
移动，此人为了准
确瞄准目标点
，需计算由点
观察点
的仰角
的大小.若
则
的最大值 。（仰角为直线AP
与平面ABC 所成角）
7．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,
2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ( )
A.33
B.36
C.63
正弦定理余弦定理习题及答案
正 余 弦 定 理
1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2
2
cos cos 2sin
02
C
x x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.
3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .
4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23
C π
∠=，则a= 。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，
sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．
6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2
7
4sin cos 222
B C A +-= （1）求A ∠的度数
（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值
7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.
8、如图，在△ABC 中，已知3=
a ，2=
b ，B=45︒ 求A 、C 及
c .
1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．
2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222
正余弦定理的综合应用
正余弦定理的综合应用
正、余弦定理的综合应用
知识梳理
1.正弦定理：，其中为外接圆的半径。
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）
2.余弦定理：
(1)余弦定理：
；；.
在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.
（2）余弦定理的推论：
；；.
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
3.三角形面积公式：= =
4.三角形的性质：
①.A+B+C= ,,
,
②.在中, ＞c , ＜c ; A＞B ＞,
A＞B cosA＜cosB, a ＞b A＞B
③.若为锐角，则＞,B+C ＞,A+C ＞;
＞，＞，＋＞
5.(1)若给出那么解的个数为：(A为锐角)，几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：
(1)A为锐角
一解两解一解
若，则无解；
（2）当A≥90
若a>b,则一解
若a≤b，则无解
典例剖析
题型一三角形多解情况的判断
例 1.根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．
（1），，，求；
（2），，，求；
（3），，，求；
（4），，，求；
（5），，，求．
解：（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．
（2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．
（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．
（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．（5）由于为锐角，又，即，
正余弦定理的综合应用及答案
正余弦定理的综合应用
1.【河北省唐山一中2018届二练】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()3,cos sin sin cos 0b A B c A A C =+-+=． （1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为
3
2
，求sin sin A C +的值． 2.【北京市海淀区2018届高三第一学期期末】如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3AD DC =，7AB =，
3
ADB π
∠=
，
6
C π
∠=
.
（Ⅰ）求DC 的值； （Ⅱ）求tan ABC ∠的值.
【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.
3.【海南省2018届二模】已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=. （1）求角A 的大小； （2）若3a =，12
B π
=
，求ABC ∆的面积.
4.【湖北省天门等三市2018届联考】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c ，已知cos cos cos 3sin cos C A B A B +=．
（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围． 5.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】在中，角
华师一附中2024届高三 《正余弦定理的综合应用》 答案
参考答案：
1．C
【分析】A 、B 由三角形面积公式及余弦定理判断；C 由A 、B 分析sin 2cos c b A A b
c
+=+，结合辅助角公式、正弦函数性质即可确定目标式最大值；D 根据C 的分析，结合基本不等式可得sin 2cos 2A A +≥，应用同角三角函数关系及三角形内角性质求得4
0sin 5
A <≤，根据A 的结论即可求目标式最大值.
【详解】△ABC 的面积为2
1sin 22
a S bc A ==，则2sin a bc A =，A 错误；
由222cos 2b c a A bc
+-=且2
sin a A bc =，则22222tan a A b c a =+-，B 错误；
由22222sin cos 22b c a b c bc A
A bc bc
+-+-==
，则2cos sin b c A A c b =+-，所以sin 2cos 5sin()b c
A A A c b
ϕ+=+=+且tan 2ϕ=，故b c c b +的最大值为5，C 正确；
由C 分析知：sin 2cos 2c b A A b
c
+=+≥，当且仅当b c =时取等号，则sin 2cos 2A A +≥，故2cos 2sin A A ≥-，即224cos 44sin sin A A A ≥-+，即25sin 4sin 0A A -≤，解得4
0sin 5
A ≤≤，又sin 0A >，
所以40sin 5A <≤，而2sin a A bc
=，故2
a bc 的最大值为45，D 错误.
故选：C ．2．C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正余弦定理的综合应用
1.【河北省唐山一中2018届二练】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
()()3,cos sin sin cos 0b A B c A A C =+-+=． （1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为
3
2
，求sin sin A C +的值． 2.【北京市海淀区2018届高三第一学期期末】如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且
3AD DC =，7AB =，3
ADB π
∠=，6
C π
∠=
.
（Ⅰ）求DC 的值； （Ⅱ）求tan ABC ∠的值.
【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.
3.【海南省2018届二模】已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且
3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=.
（1）求角A 的大小； （2）若3a =，12
B π
=
，求ABC ∆的面积.
4.【湖北省天门等三市2018届联考】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos 3sin cos C A B A B +=．
（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围． 5.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】在
中，角
对边分别为
，已知
．
（1）求角的大小；（2）若
，求
的面积． 6.【福建省南平市2018届第一次质检】在中,
分别为角
的对边，且
.
（1）若，求及；
（2）若
在线段
上，且
，求的长.
7.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，16】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，
C 的对边，
cos 2cos C a c
B b
-=，且2a c +=．
（1）求角B ；（2）求边长b 的最小值．
8.【河北衡水中学2017届上学期一调，17】（本小题满分12分） 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos 2cos 3cos a b c
A B C
==
． （1）求角A 的大小；
（2）若ABC ∆的面积为3，求a 的值．
正余弦定理的综合应用答案
1【分析】（1）先根据两角和正弦公式，三角形内角关系及诱导公式得sin cos C c B =，再根
据正弦定理得cos 3B =，即
tan 3,3B B π==
（2）由ABC ∆的面积为32，得2ac =，再根据余弦定理得
()
()2
2
2
222232cos 3b a c ac B a c ac a c ac
=
=+-=+-=+-，解得3a c +=，
因此结合正弦定理得
()sin 3sin sin 2B A C a c b +=
+=
2.【解析】（Ⅰ）如图所示，3
6
6
DBC ADB C π
π
π
∠=∠-∠=-
=
，
故DBC C ∠=∠，DB DC = 设DC x =，则DB x =，3DA x =. 在ADB ∆中，由余弦定理
2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠,
即()2
221
732372
x x x x x =+-⋅⋅⋅
=，解得1x =，1DC =. （Ⅱ）在ADB ∆中，由AD AB >，得60ABD ADB ∠>∠=︒，故
3
6
2
ABC ABD DBC π
π
π
∠=∠+∠=
+
=
，在ABC ∆中，由正弦定理
sin sin AC AB
ABC ACB
=
∠∠，即471sin 2
ABC =∠， 故sin 7ABC ∠=
，由,2ABC ππ⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭，得3cos 7ABC ∠=-，
2
tan 333
ABC ∠=-
=-.
3.【解析】（1）由3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=及正弦定理得，
()sin sin cos cos sin A A C A C +3sin cos B A =-， 即()sin sin A A C +3sin cos B A =-，
又(
)sin
sin 0A C B +=>，所以tan 3A =-，又()0,A π∈，所以23
A π
=. （2）由（1）知23A π=
，又12B π=，易求得4
C π=， 在ABC ∆中，由正弦定理得
3
sin
sin 12
3
b π
π=
，所以62b -=. 所以ABC ∆的面积为1
sin 2
S ab C =
16223332224--=⨯⨯
⨯=. 4【解析】（Ⅰ）由已知得()cos cos cos 3sin cos 0A B A B A B -++-=， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B -=因为sin 0A ≠，∴sin 3cos 0B B -=． 又cos 0B ≠，∴tan 3B =．又0B π<<，∴3
B π
=
，∴1
cos 2
B =
（Ⅱ）由余弦定理，有2222cos b a c a B =+-．因为11cos 2a c B +==，，有2
211324b a ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
又01a <<，于是有
2114b ≤<，即有1
12
b ≤< 由余弦定理，得
，
所以
，又
，故
；
（2）由（1）知，由正弦定理，得，
所以
或（舍去）从而
，所以的面积为
． 6【解析】（Ⅰ）∵
，
，
，在△ABC 中，由正弦定理
，
∴，又，所以，则C 为锐角，所以，
则，