北京四中数学题典
2023-2024学年北京四中九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年北京四中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．
C．D．
2．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（ ）
A．36°B．33°C．30°D．27°
3．（2分）抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣3D．x＝3
4．（2分）关于x的一元二次方程4x2+（4m+1）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
5．（2分）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
6．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）
A．40°B．70°C．80°D．75°
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝x2﹣2ax+4．若A（a﹣1，y1），B （a，y2），C（a+2，y3）为抛物线上三点，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 8．（2分）在一化学实验中，因仪器和观察的误差，使得三次实验所得实验数据分别为a1，a2，a3．我们规定该实验的“最佳实验数据”a是这样一个数值：a与各数据a1，a2，a3差的平方和M最小．依此规定，则a＝（ ）
北京四中七年级上册数学一次函数的图象和性质--知识讲解(基础)
一次函数的图象和性质—知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y kx =的图象之间的关系；
2. 能正确画出一次函数y kx b =+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．
3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．
【要点梳理】
要点一、函数图象及一次函数的定义
1.函数图象的概念
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2.一次函数的定义
一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.
要点诠释：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.
3.画函数图象的一般步骤
总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤
第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．
第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．
第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．
要点二、一次函数的图象与性质
1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ；
当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的.
北京四中高中数学精品全套-高一数学-5、立体几何- 30页
目录
空间几何体结构及其三视图 (2)
空间几何体结构及其三视图 (8)
直线、平面平行的判定与性质 (13)
直线、平面平行的判定与性质 (16)
空间角与空间距离 (21)
空间向量在立体几何中的应用 (27)
空间几何体结构及其三视图
北京四中
一、知识要点
二、基础训练
凸多面体的体积为（）的中心为顶点的
，则以该正方体各个面
、若正方体的棱长为2
1
的
小长方体，所得几何体、一个长方体去掉一个
2
何体、若某空间几何体的三
3
视图如图所示，则该几
4
、正视图为一个三角形
的几何体可以是（）
、如图，网格纸的小正1
5
方形的边长是
，在其上
、设三棱柱的侧棱垂直
6
与底面，所有棱的
-SA
ABCD
7=
S
中，
，那么
、已知正四棱锥3
2
8、
三、典型例题
空间几何体结构及其三视图
北京四中
一、知识要点
二、典型例题
直线、平面平行的判定与性质
北京四中
一、知识要点
二、典型例题
直线、平面平行的判定与性质
北京四中
一、知识要点
二、基础练习
1
确的是（）、在空间，下列命题正
2
P
、如右图，已知六凌锥ABCDEF
的底面是
=BC
AB
ABCD
，4=
2
中，
，
、如下图，在长方形1三、典型例题
题型二线面垂直
【例2】如图，正方形 E
空间角与空间距离
北京四中
一、知识要点
二、典型例题
题型一 空间角及其求法
【例1】 等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ， 二面角C-AB-D 的余弦值为
3
3
，M 、N 分别是AC 、BC 的中点， 则EM 、AN 所成角的余弦值等于
【例2】已知三棱锥P-ABC 中，
【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面
空间向量在立体几何中的应用
北京四中七年级上册数学二元一次方程组解法(一)--代入(提高)知识讲解
二元一次方程组解法—代入法（提高）知识讲解
【学习目标】
1. 理解消元的思想；
2. 会用代入法解二元一次方程组.
【要点梳理】
要点一、消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
要点二、代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
要点诠释：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
【典型例题】
类型一、用代入法解二元一次方程组
1．用代入法解方程组：
237 338
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x的系数较小，所以先把方程①中x 用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．
【答案与解析】
解：由①得
73
2
y
x
-
=③
将③代入②
73
338
2
y
y
-
⨯-=，解得
北京四中中考数学专练总复习 绝对值(基础)知识讲解
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点二、有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．
2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号
正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．
4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b
北京四中中考数学专练总复习 三元一次方程组(提高)知识讲解
三元一次方程组（提高）知识讲解
【学习目标】
1．理解三元一次方程(或组)的含义；
2．会解简单的三元一次方程组；
3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.
【要点梳理】
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义:
含有三个相同的未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
要点诠释：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
2．三元一次方程组的定义：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．
要点二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
北京四中数学分班真题剖析
北京四中数学分班真题剖析
作为中国一流学府，北京四中的数学一直是众所周知的出类拔萃。
分班考试更是让每个数学爱好者心怀梦想。但是，究竟如何才能更好
地备考分班考试呢？本文将从真题分析的角度来探讨这个问题。
一、分班真题概述
北京四中的分班考试非常严格，每次考试的真题都相当艰深。在之
前的真题中，分别考查了代数、几何、数学分析、数论等多个知识点。不同于初中的数学，高中数学更加侧重于理解与证明，考查常规涉及
多角度的思维，而不仅仅是题目的求解。
二、代数
在真题中，代数部分通常是最多的部分，也是考察的深度最大的方
面之一。分班真题通常会涉及到多项式的定义、运算等方面。其中经
典的综合问题也是一个重点，通过综合问题来检验学生对于整个章节
结构，重点知识点，重点题型等等是否有全面的掌握。
三、几何
分班几何题目通常涉及到圆锥曲面、立体几何、二维平面几何等方面。从之前的分班试题题型来看，平面向量，线性规划等一些特殊的
几何应用比较热门。通常这部分考查的重点是结合学生之前知识点中
的综合能力，通过不同的知识点相互衔接，考查学生的几何推理和表
达能力等方面。
四、数学分析
高中数学分析作为数学思维拓展的重要环节，分班真题中也是必不可少的。考查内容通常包括3d空间、函数极限、连续性与可微性等方面。通常这一部分的考察重点在于学生的综合素质，能否深度理解题目难点，理顺思路，学会独立推理等。
五、数论
数论是一个比较特殊的考察方向，考查的一些性质在高中课程中并不涉及。因此在分班考试中，依然是一个非常考验学生的方向。前几年的数论题目通常涉及到初等数论证明题目，公因数、公倍数的运算原理，以及加密算法等在数论中的应用。
北京四中 高考数学总复习：知识梳理_函数的图象(基础)
函数的图像
【考纲要求】
1.结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．
3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
5.会作简单的函数图像并能进行图像变换。
6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。 【知识网络】
【考点梳理】
考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系
1. 当x R ∈时，二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的个数可以用判别式2
4b ac ∆=-与0的关系进行判断；
2. 二次方程2
0ax bx c ++=（0≠a ）的根1x 、2x 与系数的关系：12b x x a +=-
，12c x x a
=； 3.二次方程2
0ax bx c ++=（0≠a ）的根的分布：结合2
()f x ax bx c =++（0a >）的图像可以得到一系列有关的结论（0a <可以转化为0a >）：
（1）方程()0f x =的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔()0f r <
.
函数的图像
图像与性质、图像变换
幂指对函数
二分法
二次函数
（2）二次方程()0f x =的两根都大于r 2402()0
Δb ac b
r
a f r ⎧=-≥⎪⎪⇔->⎨⎪>⎪⎩
（3）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内有两根240
北京四中八年级下册数学平行四边形及其性质知识讲解(基础)
平行四边形及其性质（基础）
【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．
4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相
等”．
【要点梳理】
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点三、平行线的性质定理
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
北京四中数学题典
训练16 算法初步、复数
1．已知复数z ＝
1
1＋i
，则复数(z －1)·i 在复平面内对应的点在第________象限． 2．在复平面内，复数2
1－i 对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是________．
3．在如图所示的流程图中，若f (x )＝2x ，g (x )＝x 3，则h (2)的值为________．
．
题3 题5 题6
4．(2011·陕西改编)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ||x i |＜1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为________． 5．给出如图所示的流程图，其功能是________．
6．一组数据x i (1≤i ≤8)从小到大的茎叶图为：4|0 1 3 3 4 6 7 8，在如图所示的流程图中x 是这8个数据的平均数，则输出的s 2的值为________．
7．已知一个算法的流程图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为________．
题7 题8
8．执行如图所示的流程图，则输出的S ＝________.
9.若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．
10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12i
，i 2，|5i 2|，(1＋i )2
i ，－i 22，则集合A ∩R ＋的子集个数为________．
11．(2010·北京)在复平面内，复数2i
1－i 对应的点的坐标为______．
12．阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的结果是________．
北京四中数学题典
训练27 数 列
(推荐时间：75分钟)
1．数列{a n }中，a 3＝1，a 1＋a 2＋…＋a n ＝a n ＋1(n ＝1,2,3，…)．
(1)求a 1，a 2；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；
(3)设b n ＝log 2S n ，存在数列{c n }使得c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1，试求数列{c n }的前n 项和．
2．(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n ＋54是等比数列．
3．(2011·辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．
4.某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共60天．为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中．市场调研表明，该商店在经销这一产品期
间第n 天的利润a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，1≤n ≤20110n ，21≤n ≤60
(单位：万元，n ∈N *)．记第n 天的利润率b n ＝第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 381＋a 1＋a 2
. (1)求b 1，b 2的值；(2)求第n 天的利润率b n ；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．
北京第四中学七年级数学下册第六章【实数】经典练习题(培优提高)
一、选择题
1．下列说法中错误的有（ ）
①实数和数轴上的点是一一对应的；
②负数没有立方根；
③算术平方根和立方根均等于其本身的数只有0；
④49的平方根是7±，用式子表示是497=±． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
2．下列命题是真命题的是（ ）
A ．两个无理数的和仍是无理数
B ．有理数与数轴上的点一一对应
C ．垂线段最短
D ．如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等
3．下列实数中，是无理数的为（ ）
A ．3.14
B ．13
C ．5
D ．9
4．在一列数：1a ，2a ，3a ，…，n a 中，1=7a ，2=1a 从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这列数中的第2020个数是（ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．9
5．如果32.37≈1.333，323.7≈2.872，那么32370约等于（ ）
A ．287.2
B ．28.72
C ．13.33
D ．133.3
6．85-的整数部分是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 7．下列实数31,7
π-，3.14，38,27,0.2-，1.010010001…（从左到右，每两个1之间依次增加一个0）中，其中无理数有（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
8．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）
A ．p
B ．q
C ．m
D ．n
9．64的平方根为（ ）
A ．8
B ．8-
C ．22
D ．22±
北京四中高中数学精品全套-高考总复习函数的概念和性质(01函数及解析式、02函数的基本性质)- 2页
函数及其解析式 北京四中 苗金利
一、知识要点
1．函数是高中数学最重要、最基础的内容，函数思想方法自始
至终贯穿于代数教材全过程，可以毫不夸张的说，“函数”在数学
教材中扮演“统帅”的角色。
2．函数是学习高等数学的基础，应深入理解函数的有关概念，灵
活运用函数的解析式去分析问题。
3.函数的定义
4. 函数的解析式
二、 典型例题
例1、判断下列从A 到B 的对应是否为映射，是否为一一映射？
（1）{|A αα=为三角形的内角}，{|}B y y R =∈，对应法则：tan y α=；
（2）{|}A m m Z =∈，{|01}B y y y ===或，对应法则：0(2,)1
(21,)m n n Z y m n n Z =∈⎧=⎨=+∈⎩； （3）{|01}A x x =<<，{|01}B y y =<<，对应法则：y x
（4）{|01}A x x =≤≤，{|0}B ααπ=≤<，对应法则：sin .x α=
例2、设()f x 是一次函数，,(())94x R f f x x ∈=+，求函数()f x 。
例3、（1）将函数y ＝3x 2－4x －12的图象沿向量a →
＝（－2，3）平移后的 解析式为____________；
（2）函数y =f （x ）与14y x =的图象关于直线x=1对称，则
f （x ）= ____________。
例4、设2111(1)1(0)f x x x x +=+
+≠，求函数(1)f x -.
例5、函数1()21,()1,()32,,()2
北京四中数学题典
训练28 立体几何
(推荐时间：75分钟)
1．如图，平面ABCD ⊥平面PAD ，△APD 是直角三角形，∠APD ＝90°，四边形ABCD 是直角梯形，其中BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，AD ＝2BC ，
O 是AD 的中点．
(1)求证：CD ∥平面PBO ；
(2)求证：平面P AB ⊥平面PCD .
2．(2011·福建)如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .
(1)求证：CE ⊥平面P AD ；
(2)若P A ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P —ABCD 的体积．
3．如图所示，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且AE ＝3，AB ＝6.(1)求证：AB ⊥平面ADE ；
(2)求凸多面体ABCDE 的体积．
4.(2010·辽宁)已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB
上一点，且AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．
(1)证明：CM ⊥SN ；
(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．
5．如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面是边长为2的正方形，D 、E 分别是BB 1、AC 的中点．
(1)求证：BE ∥平面A 1CD ； (2)求二面角C —A 1D —C 1的余弦值．
6．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝1
北京四中七年级上册数学平面直角坐标系(基础)知识讲解
平面直角坐标系（基础）
【学习目标】
1.了解确定位置的方法，用有序数对或用方向和距离来确定物体的位置.
2.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.
3.会用确定坐标、描点、连线的方法在直角坐标系中作出简单图形.
【要点梳理】
要点一、确定位置的方法
有序数对：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
要点诠释：
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．可以用有序数对确定物体的位置，也可以用方向和距离来确定物体的位置（或称方位）. 要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1.平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2.点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.
要点诠释：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
北京四中 初一数学找规律和科学计数法
找规律和科学计数法
撰稿：王正审稿：梁威责编：邵剑英
一、找规律专题
在做题之前，应明白这类题的用意：这类题往往是给出一串有某种隐藏规律的数字，要求找出其规律，并进一步用字母抽象出一个一般的表达式，即用一个含n的代数式表示出第n个数字，要求我们不但能敏锐地发现规律，更能够找到数字与其对应序号之间的代数关系。此类题目考察了对数字的敏感程度，以及抽象表达能力，是近年来中考的必考题型，现将基本知识点和典型例题总结如下。
1、交错数列：
特征捕捉：正负交替出现。
1．写出第ｎ项的表达式：
（1）-1，1，-1，1，-1，1，-1……
（2）1，-1，1，-1，1，-1，1……
分析：= ，，，……，所以与（1）题一致；那么自然（2）题的第n项与（1）错着一个，应为，为避免0次幂的出现，不提倡使用。
熟记于心：先考虑其绝对值的规律，再用或来调节符号。按“正负正负”顺序交错的数列，绝对值部分乘以；反之，按“负正负正”顺序交错的数列，绝对值部分乘以。
练习：写出第ｎ项的表达式：
（1）1，-2，3，-4，5，-6……
（2）-2，3，-4，5，-6，7……
分析：（1）中数字绝对值与对应序号相同，即为n，符号为“正负”顺序，所以第n 项为n；（2）中数字绝对值比对应序号大1，即为n+1，符号为“负正”顺序，所以第n 项为(n+1)。
2、等比数列：
特征捕捉：相邻两项中，后一项比前一项的商为常数。数值(绝对值)跳跃幅度较大，有倍数关系。
熟记于心：初中阶段，这类题所给数字往往与2或3的幂有关，需要对2或3的幂敏感，在此帮大家列出几个常见2的幂：2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024；3的幂见下面例题。
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训练26 三角函数
(推荐时间：75分钟)
1．已知sin α＝55，α∈(0，π2)，tan β＝13
. (1)求tan α的值；(2)求tan (α＋2β)的值．
2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1－c 2a ＝sin (B －C )sin (B ＋C )
，求 cos B 2
的值．
3．若函数f (x )＝sin 2ax －sin ax cos ax (a ＞0)的图象与直线y ＝m (m 为常数)相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2
的等差数列．(1)求m 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈[0，3π4
]，求点A 的坐标．
4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .m ＝(1,1)，n ＝⎝⎛⎭
⎫32－sin B sin C ，cos B cos C ，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3c .求S △ABC .
5．设函数f (x )＝2sin x cos 2φ2
＋cos x sin φ－sin x (0＜φ＜π)，在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32
，求角C .
6．(2010·福建)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
答案
1．解 (1)∵sin α＝55，α∈(0，π2
)， ∴cos α＝1－sin 2α＝
1－15＝255∴tan α＝sin αcos α＝5
5255＝12
. (2)∵tan β＝13，∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×1
31－(13
)2
＝34. ∴tan (α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝12＋341－12×34
＝2. 2．解 由已知得
2a －c 2a ＝sin (B －C )sin A
， ∴2sin A －sin C 2sin A ＝sin (B －C )sin A
， ∴2sin A －sin C ＝2sin (B －C )，
∴2sin (B ＋C )－sin C ＝2sin (B －C )，
2sin B cos C ＋2cos B sin C －sin C ，
＝2sin B cos C －2cos B sin C ，
∴4cos B sin C ＝sin C ， 又sin C ≠0，∴cos B ＝14
. B 为锐角．
∴cos B 2＝1＋cos B 2＝104
3．解 (1)f (x )＝12(1－cos 2ax )－12
sin 2ax ＝－12(sin 2ax ＋cos 2ax )＋12
＝－22sin (2ax ＋π4)＋12
∵y ＝f (x )的图象与y ＝m 相切．
∴m 为f (x )的最大值或最小值．
即m ＝1＋22或m ＝1－22
.
(2)又因为切点横坐标依次成公差为π2
所以f (x )最小正周期为π2
. 又T ＝2π|2a |＝π2
，a ＞0， 所以a ＝2.
即f (x )＝－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12
令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＝0，则4x 0＋π4
＝k π(k ∈Z ) x 0＝k π4－π16
. 由0≤k π4－π16≤34
π及k ∈Z . 得k ＝1,2,3，
因此对称中心点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫316π，12、⎝⎛⎭⎫716π，12、⎝⎛⎭⎫1116π，12. 4．解 因为m ⊥n ，所以
32－sin B sin C ＋cos B cos C ＝0， 所以cos (B ＋C )＝－32，即cos A ＝32