最新北师版初中数学九年级上册2.2用配方法求解一元二次方程精选练习过关习题及解析答案

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北师大版九年级(上)数学2.2.2用配方法求解一元二次方程同步检测(原创)

北师大版九年级（上)数学2.2.2用配方法求解一元二次方程同步检测（原创)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用配方法解一元二次方程23650x x --=时，下列变形正确的是（） A ．28(1)3x -= B ．22(1)3x -= C ．2(1)8x -=D ．2(1)6x -= 2．将方程22430x x --=配方后所得的方程正确的是（）A ．()2210x -=B ．()22140x --=C ．()22110x --= D ．()22150x --= 3．一元二次方程2x 2＋6x ＋3= 0 经过配方后可变形为（）A ．2(3)x +=6B ．2(3)x -=12C ．23324x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．231524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 4．方程2x 2+3x －1＝0的解为（）A ．12x x ==B ．121144x x --==C ．12x x ==D ．121133x x +-==5．用配方法解方程2210x x --=，变形结果正确的是（）A ．213()24x -= B ．213()44x -= C ．2117()416x -= D ．219 ()416x -= 6．用配方法解方程2304x x --=，下列变形正确的是（）A ．21(1)4x -=B ．2112x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．2(1)1x -=D ．21724x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭7．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．22990x x --=化为()2 1100x -=B ．2890x x ++=化为()2425x += C ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 8．若代数式238M x =+，224N x x =+，则M 与N 的大小关系是（）A ．M N ≥B ．M N ≤C ．M N >D ．M N <二、填空题9．在空格内填上适当的数或字母，使等式成立：（1）214x x ++___________=(x +__________)2；（2）2y my ++___________=(y +__________)2；（3）226y y ++___________=2(y +__________)2；（4）2124x x -+___________=14(x -__________)2；. 10．把方程2260x x --=配方，化为()2x m n +=的形式为________．11．用配方法解方程215022x x +-=时，可配方为21(1)02x k ⎡⎤++=⎣⎦，其中k =________．12．如果（2a ＋2b ＋1）（2a ＋2b －1）＝63，那么a ＋b 的值为________．13．方程()22190x --=的解为__________14．代数式2x 2﹣3x ﹣1的最小值为_____．15．方程23+04x =的解为_______三、解答题16．解方程：21(2)602y +-=． 17．用配方法解方程：22830x x -+=．18．解方程：3x 2﹣4x +1＝0．（用配方法解）19．（1）根据要求，解答下列问题．①方程2210x x -+=的解为________________；②方程2320x x -+=的解为________________；③方程2430x x -+=的解为________________；（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程2980x x -+=的解为________________；②关于x 的方程________________的解为11x =，2x n =．（3）请用配方法解方程2980x x -+=，以验证猜想结论的正确性．20．用配方法证明：22x 4x 5-+ 的值不小于3．21．我们在学习了完全平方公式后，对于一些特殊数量关系的式子应该学会变形．如m 2+2mn +2n 2﹣6n +9=0；→m 2+2mn +n 2+n 2﹣6n +9=0；→（m +n ）2+（n ﹣3）2=0，就会很容易得到m 、n ．已知：a ，b ，c 是△ABC 的三边长，满足a 2+b 2=10a +8b ﹣41，且c 是△ABC中最长的边，求c 的取值范围．参考答案1．A【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，把二次项系数化为1后，两边配上一次项系数一半的平方即可．【详解】∵23650x x --=，∴2365x x -=， ∴2523x x -=，则252113x x -+=+， ∴()2813x -=，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．2．D【解析】【分析】首先移项，然后把二次项系数化为1，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．【详解】解：移项得，2x 2-4x=3，二次项系数化为1，得x 2-2x=32，配方得，x 2-2x+1=32+1，得（x-1）2=52，即2（x-1）2=5．故选：D ．【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．3．C【解析】【分析】先把常数项移到方程的右边，再把二次项系数变为1，然后配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得到答案．【详解】解：∵2x 2＋6x ＋3= 0 ∴23+32x x =-∴29393424x x ++=-+ ∴233x+24⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 4．A【解析】【分析】找出一元二次方程中a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出原方程的解．【详解】2x 2+3x －1＝0这里a=2，b=3，c=-1，∵△=224342(1)170b ac -=-⨯⨯-=＞∴x =，即 123344x x --== 故选：A【点睛】此题考查了解一元二次方程---公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出二次项系数a 、一次项系数b 及常数项c 的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出方程的解．5．D【解析】【分析】将原方程二次项系数化为１后用配方法变形可得结果．【详解】根据配方法的定义,将方程2210x x --=的二次项系数化为1, 得：211022x x --=，配方得21111216216x x -+=+，即:219 ()416x -=．本题正确答案为Ｄ．【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程．6．B【解析】【分析】方程两边同时加1，利用完全平方公式求解即可．【详解】2304x x --=2114x x -+= 2112x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故答案为：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的变形问题，掌握配方法是解题的关键．7．B【解析】【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：A 、22990x x --=Q ，2299x x ∴-=，221991x x ∴-+=+，2(1)100x ∴-=，故A 选项正确．B 、2890x x ++=Q ，289x x ∴+=-，2816916x x ∴++=-+，2(4)7x ∴+=，故B 选项错误．C 、22740t t --=Q ，2274t t ∴-=，2722t t ∴-=，274949221616t t ∴-+=+，2781()416t ∴-=，故C 选项正确． D 、23420x x --=Q ，2342x x ∴-=，24233x x ∴-=，244243939x x ∴-+=+，2210()39x ∴-=．故D 选项正确．故选：B ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．C【解析】∵223824M x N x x =+=+，，∴222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>，∴M N >.故选C.9．164 18 24m 2m 9232 4 4 【解析】【分析】利用完全平方公式进行配方即可解答.【详解】（1）211464x x ++=(x +18)2；（2）2y my ++24m =(y +2m )2；（3）226y y ++92=2（2934y y ++）=2(y +32)2；（4）2124x x -+4=2211(816)(4)44x x x -+=- 故答案为：164；18；24m ；2m ；92；32；4；4 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方是解题关键.10．2149()416x -= 【解析】【分析】先把常数项－6移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可．【详解】解：2260x x --=Q ，226x x ∴-=，2132x x -=， 2111321616x x -+=+， 2149()416x -=， ∴一元二次方程2x 2－x －6＝0化为()2x m n +=的形式是：2149()416x -=．答案为：2149()416x -=．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．11．-6【解析】【分析】把方程215022x x +-=左边配成完全平方，与()21102x k ⎡⎤++=⎣⎦比较即可. 【详解】 Q215022x x +-=， ∴()212502x x +-=， ∴()211602x ⎡⎤+-=⎣⎦， Q 可配方为()21102x k ⎡⎤++=⎣⎦， ∴6k =-. 故答案为：6-.【点睛】本题考查用配方法来解一元二次方程，熟练配方是解决此题的关键.12．±4【解析】∵（2a ＋2b ＋1）（2a ＋2b －1）＝63，∴(2a +2b )2-1=63,∴(2a +2b )2=64,∴2a +2b =±8,∴a +b =±4.故答案为：±4. 13．12x =，21x =-.【解析】【分析】移项后用直接开平方法求解即可.【详解】解：原方程即为：()2219x -=，∴213x -=或213x -=-，∴12x =，21x =-.故答案为：12x =，21x =-.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，掌握解法是解题的关键.14．-178. 【解析】【分析】把代数式2x 2﹣3x ﹣1进行配方，根据偶数次幂的非负性，即可求解.【详解】解：2x 2﹣3x ﹣1＝2（x 2﹣32x+916）﹣98﹣1 ＝2（x ﹣34）2﹣178∵2（x ﹣34）2≥0，∴2x 2﹣3x ﹣1的最小值是﹣178，故答案为：﹣178．【点睛】本题主要考查多项式的配方，把多项式配成2()a x m k ++ 的形式，是解题的关键.15【解析】【分析】把方程的常数项移到等号的右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方得到一个可以直接开平方的式子，然后开平方计算．【详解】配方得(x−2)2=0，解得x 1=x 2故答案为:【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则.16．12y =，22y =-．【解析】【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．【详解】解：21(2)602y +-=，（y+2）2=12，2y +=±12y =，22y =-．【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．17．12x =-或22x = 【解析】【分析】根据配方法的步骤先两边都除以2，再移项，再配方，最后开方即可得出答案．【详解】原方程变形为：2342x x -=- 配方得25442x x -+= 即25(2)2x -=2x -=或2x -=所以原方程得解为12x =或22x = 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，关键是能正确配方，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．18．x 1＝1，x 2＝13【解析】【分析】首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右侧，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方公式，右边是常数项，即可求解．【详解】3x 2﹣4x +1＝0 3（x 2﹣43x ）+1＝0 （x ﹣23）2＝19∴x ﹣23＝±13∴x1＝1，x2＝1 3【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．19．（1）①x1=x2=1，；②x1=1，x2=2；③x1=1，x2=3；（2）①x1=1，x2=8；②x2-（1+n）x+n=0；（3）见解析；【解析】【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2-9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．（3）利用配方法解方程x2-9x+8=0可判断猜想结论的正确．【详解】（1）①（x-1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2-2x+1=0的解为x1=x2=1，；②（x-1）（x-2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2-3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；③（x-1）（x-3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2-4x+3=0的解为x1=1，x2=3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2-9x+8=0的解为x1=1，x2=8；②关于x的方程x2-（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．（3）x2-9x=-8，x2-9x+814=-8+814，（x-92）2=494x-92=±72，所以x1=1，x2=8；所以猜想正确．故答案为x 1=x 2=1；x 1=1，x 2=2；x 1=1，x 2=3；x 2-（1+n ）x+n=0；【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握将一元二次方程配成（x+m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．20．证明见解析．【解析】【分析】先在一次项和二次项中通过提公因式将二次项系数化为1，再将二次项和一次项添上一个常数项化为完全平方的形式，并注意减去添上的项，最后化为()2a x h k -+的形式，根据以下情形：当0a >时代数式有最小值为k ；当0a <时代数式有最大值k ，即证．【详解】证明：∵()2222452252(1)3x x x x x -+=-+=-+，且2(1)0x -≥ ∴22(1)33x -+≥，即2245x x -+的值不小于3．【点睛】本题考查完全平方公式及配方法的应用，解题关键是熟悉()2a x h k -+的形式有以下情形：当0a >时代数式有最小值为k ；当0a <时代数式有最大值k ．21．5≤c ＜9．【解析】【分析】根据a 2+b 2=10a +8b ﹣41，可以求得a 、b 的值，由a ，b ，c 为正整数且是△ABC 的三边长，c 是△ABC 的最长边，可以求得c 的值，本题得以解决．【详解】解：∵a 2+b 2=10a +8b ﹣41， ∴a 2﹣10a +25+b 2﹣8b +16=0，即（a ﹣5）2+（b ﹣4）2=0， ∴ a ﹣5=0，b ﹣4=0，．解得a =5，b =4，∵c 是△ABC 中最长的边，∴5≤c＜9．【点睛】本题考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确配方法和三角形三边的关系．。

北师大数学九年级上《2.2用配方法求解一元二次方程》课时练习含解析

北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程第二节配方法解一元二次方程同步练习一、选择题1、用配方法解一元二次方程2x -6x-4=0，下列变形正确的是（）A ．2)6(-x =-4+36B ．2)6(-x =4+36C ．2)3(-x =-4+9D ．2)3(-x =4+9 答案：D解析：解答：2x -6x-4=0，移项，得2x -6x=4，配方，得94)3(2+=-x 故选：D ．分析：. 本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项.二次项系数化为1，配方的过程。

2、一元二次方程2x -8x-1=0配方后可变形为（）A ．2)4(+x =17B ．2)4(+x =15C ．2)4(+x =17D ．2)4(+x =15答案：C解析：解答：方程变形得：2x -8x=1，配方得：x 2-8x+16=17，即（x-4）2=17，故选C. 分析：方程利用配方法求出解即可．此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3.方程2x =9的根是（）A ．x=3B ．x=-3C ．1x =3，2x =-3D ．1x =2x =3答案：C.解析：解答：x=±3，∴31=x ，32-=x分析：利用直接开平方法解方程．4、代数式2x -4x+5的最小值是（）A ．-1B ．1C ．2D ．5答案：B解析：解答：∵2x -4x+5=2x -4x+4-4+5=2)2(-x +1∵2)2(-x ≥0，∴2)2(-x ≥1，∴当x=2时，代数2x -4x+5的最小值为1．故选B ．分析：此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．5、用配方法把一元二次方程2x +6x+1=0，配成2)(p x +=q 的形式，其结果是（）A ．2)3(+x =8B ．2)3(-x =1C ．2)3(-x =10D ．2)3(+x =4答案：A解析：解答：2x +6x =-1，2x +6x+9=-1+9，2)3(+x =8 故选A ．分析：先移项得到2x +6x =-1，再把方程两边加上9，然后利用完全平方公式即可得到．2)3(+x =86、二次三项式2x -4x+7配方的结果是（）A ．2)2(-x +7B ．2)2(-x +3C ．2)2(+x +3D ． 2)2(+x -1答案：B解析：解答：2x -4x+7=2x -4x+4+3=2)2(-x +3故选B ．分析：此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．7.若M=22x -12x+15，N=2x -8x+11，则M 与N 的大小关系为（）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N答案：A解析：解答：M-N=（22x -12x+15）-（2x -8x+11），=2x -4x+4，=2)2(-x ．∵2)2(-x ≥0，∴M ≥N ．故选：A ．分析：利用求差法判定两式的大小，将M 与N 代入M-N 中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断．8、一元二次方程2x -2x-1=0的解是（）A ．1x =2x =1B ．1x =1+2，2x =-1-2C ．1x =1+2，2x =1-2D ．1x =-1+2，2x =-1-2答案：C解析：解答：方程2x -2x-1=0，变形得：2x -2x=1，配方得：2x -2x+1=2，即2)1(-x =2，开方得：x-1=±2，解得：1x =1+2，2x =1-2．故选：C ．分析：方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．9、配方法解方程22x −34x −2＝0变形正确的是（） A ．98)31(2=-x B ．0)32(2=-x C ．910)31(2=+x D ．910)31(2=-x 答案：D解析：解答：，移项得：23422=-x x ，二次项系数化为1得：1642=-x x ，配方得：91191642+=+-x x ，910)31(2=-x 故选：D ．分析：根据配方法的步骤，把方程023422=--x x 配方即可． 10、对任意实数x ，多项式-2x +6x-10的值是一个（）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．无法确定答案：B解析：解答：-2x +6x-10=-（2x -6x ）-10=-（2x -6x+9-9）-10=-2)3(-x -1，∵-（2)3(-x ≤0，∴-2)3(-x -1＜0，即多项式-2x +6x-10的值是一个负数．故选B ．分析：利用配方法把-2x +6x-10变形为-2)3(-x -1，然后根据非负数的性质可判断-2x +6x-10＜0．11、用配方法解一元二次方程2x -4x-5=0的过程中，配方正确的是（）A ．2)2(+x =1B ．2)2(-x =1C ．2)2(+x =9D ．2)2(-x =9答案：D解析：解答：移项得：2x -4x=5，配方得：2x -4x+22=5+22，2)2(-x =9故选D ．分析：先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．12、用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（）A ．2x -2x=5B ．2x +4x=5C ．2x +2x=5D ．22x -4x=5答案：B解析：解答：A.因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；B.因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；C.因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；D.将该方程的二次项系数化为12x -2x=25，所以本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；故选B ．分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．13、将一元二次方程2x -6x-5=0化成2)3(-x =b 的形式，则b 等于（）A ．4B ．-4C ．14D ．-14答案：C解析：解答：方程2x -6x-5=0，移项得：2x -6x=5，配方得：2x -6x+9=14，即2)3(-x =14，则b=14，故选C分析：方程常数项移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形即可求出b 的值．14、已知方程2x -6x+8=0可配方成方程2)(q x -=1的形式，则2x -6x+8=2配成方程是（）A ．2)(q x -=-1B ．2)(q x -=3C ．2)2(+-q x =1D ．2)2(--q x =1答案：B解析：解答：2x -6x+8=0，变形得：2x -6x=-8，配方得：2x -6x+9=1，即2)3(-x =1，∴q=3，2x -6x+8=2，配方得：2x -6x+9=3，2)3(-x =3，则2x -6x+8=2可配成方程是2)(q x -=3．故选B分析：已知方程配方后求出q 的值，所求方程配方即可得到结果．15、用配方法解方程2x -4x+3=0，下列配方正确的是（）A ．2)2(-x =1B ．2)2(+x =1C ．2)2(-x =7D ．2)2(-x =4答案：A解析：解答：方程2x -4x+3=0，移项得：2x -4x=-3，配方得：2x -4x+4=1，即2)2(-x =1，故选A分析：方程常数项移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形即可求出结果．二、填空题16、把方程0362=++x x 变形为k h x =+2)(的形式后，h= ，k= ．答案：3|6解析：解答：移项，得362-=+x x 配方，得93962+=++x x 所以，6)3(2=+x 故答案是：3；6分析：把常数项移到选号的右边；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．17、如果一元二次方程062=++ax x 经过配方后，得3)3(2=-x ，那么a= . 答案：-6解析：解答：96)3(22+-=-x x x =3 即0662=+-x x 则a= -6分析：利用完全平方公式化简后，即可确定出a 的值.18、将0121222=--x x 变形为n m x =-2)(，则m+n= .答案：18解析：解答： 121222=-x x 662=-x x 96962+=+-x x 15)3(2=-x 则m ＝3，n=15则m+n=3+15=18故答案为：18分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程变为n m x =-2)(的形式。

北师大九年级上《2.2用配方法求解一元二次方程》同步练习有答案

2 用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程1．方程x 2＝16的解是( )A ．x ＝±4B ．x ＝4C ．x ＝－4D ．x ＝162．方程(x －2)2＝9的解是( )A ．x 1＝5，x 2＝－1B ．x 1＝－5，x 2＝1C ．x 1＝11，x 2＝－7D ．x 1＝－11，x 2＝73．用配方法解方程x 2＋2x －1＝0时，配方结果正确的是( )A ．(x ＋2)2＝2B ．(x ＋1)2＝2C ．(x ＋2)2＝3D ．(x ＋1)2＝34．填写适当的数使下式成立：(1)x 2＋6x ＋________＝(x ＋3)2；(2)x 2－________x ＋1＝(x －1)2.5．用直接开平方法解方程(2x －1)2＝x 2，下列做法正确的是( )A ．2x －1＝xB ．2x －1＝－xC ．2x －1＝±xD ．2x －1＝±x 26．已知关于x 的方程ax 2＝b 的两根分别为m －1和2m ＋7，则方程两根为( )A ．±2B ．±3C ．±4D ．±77．给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nxn －1.例如：若函数y ＝x 4，则有y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝36的解是( )A ．x 1＝x 2＝0B ．x 1＝23，x 2＝－2 3C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x 1＝4，x 2＝－48．解方程：(1)2x 2－24＝0； (2)(x ＋1)2－9＝0； (3)12(x ＋3)2－2＝0.9．用配方法解下列方程，配方正确的是( ) A．x2＋6x－7＝0可化为(x＋3)2＝2B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝410.用配方法解下列方程：(1)x2＋4x＋8＝2x＋11；(2)x(x－4)＝2－8x；(3)x2＋2 5x＋10＝0.11．如图所示，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．12.已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，试求a2－b2的值．13．阅读理解并填空：(1)为了求代数式x2＋2x＋4的值，我们必须知道x的值，若x＝1，则这个代数式的值为________；若x＝2，则这个代数式的值为________；…可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．(2)把一个多项式进行部分配方可以解决代数式的最大(或最小)值问题，例如：x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝(x＋1)2＋3，因为(x＋1)2是非负数，所以，代数式x2＋2x ＋4有最小值，这时相应的x的值是________．尝试探究并解答：(3)求代数式x2－10x＋30的最小值，并写出相应的x的值．1．A2．A3．B4．(1)9 (2)25．C 6．B 7．B8．解：(1)由原方程，得2x2＝24，∴x2＝12，直接开平方，得x＝±2 3，∴x1＝2 3，x2＝－2 3.(2)移项，得(x＋1)2＝9，开平方，得x＋1＝±3，解得x1＝2，x2＝－4.(3)移项、两边同时乘2，得(x＋3)2＝4，开平方，得x＋3＝±2，x＋3＝2或x＋3＝－2，解得x1＝－1，x2＝－5.9．D10．解：(1)移项、合并同类项，得x2＋2x＝3，配方，得x 2＋2x ＋1＝4，即(x ＋1)2＝4，开方，得x ＋1＝±2，解得x 1＝1，x 2＝－3.(2)去括号、移项、合并同类项，得x 2＋4x ＝2，配方，得x 2＋4x ＋4＝6，即(x ＋2)2＝6.开方，得x ＋2＝±6，解得x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(3)移项，得x 2＋2 5x ＝－10，配方，得x 2＋2 5x ＋5＝－10＋5，即(x ＋5)2＝－5＜0，∴原方程无解．11．解：(1)剩余部分的面积为ab －4x 2.(2)依题意，得ab －4x 2＝4x 2.将a ＝6，b ＝4代入上式，得x 2＝3，解得x 1＝3，x 2＝－3(舍去)．所以正方形的边长为 3.12．解：∵a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝(a ＋1)2＋(b －2)2＝0，∴a ＋1＝0，b －2＝0，∴a ＝－1，b ＝2，∴a 2－b 2＝1－4＝－3.13．解：(1)7 12 (2)－1(3)根据题意可得x 2－10x ＋30＝(x 2－10x ＋25)＋5＝(x －5)2＋5.∵(x －5)2是非负数，∴代数式x 2－10x ＋30的最小值是5，此时x ＝5.第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程1．用配方法解方程2x 2－x －6＝0，把二次项系数化为1，得( )A ．x 2－x －6＝0B ．x 2－12x －3＝0 C ．x 2－12x －6＝0 D ．x 2－12x －6＝0 2．用配方法解方程：3x 2＋6x ＋2＝0.3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝109 4．用配方法解下列方程：(1)12x 2－13x －16＝0； (2)(x ＋1)(x －1)＝2x 2－4x －6.5. 若M ＝3a 2－a －1，N ＝－a 2＋3a －2，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M ≥ND ．无法确定6．已知点(5－k 2，2k ＋3)在第四象限，且在其角平分线上，则k ＝________.7．阅读材料：把形如ax 2＋bx ＋c 的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.根据阅读材料解决下列问题：(1)m 2＋4m ＋4＝(________)2；(2)无论n 取何值，9n 2－6n ＋1________0(填“＜”“＞”“≤”“≥”或“＝”)；(3)已知m ，n 是△ABC 两条边的长，且满足10m 2＋4n 2＋4＝12mn ＋4m ，若该三角形的第三边长k 是奇数，求k 的值．。

2.2用配方法求解一元二次方程同步练习+2024-2025学年北师大版九年级数学上册

2.2用配方法求解一元二次方程一、选择题1．关于x 的方程：①ax 2+bx +c ＝0；②x 2﹣8x＝7；③3x 2﹣4x+5＝0；④（x +1）2−x 2＝3中，一元二次方程的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．一元二次方程2x 2−x +1=0的二次项系数是（）A ．2B ．1C ．0D ．−13．根据下表，确定方程x 2﹣bx ﹣5＝0的解的取值范围是（）： x﹣3 ﹣2 ﹣1 … 4 5 6 x 2﹣bx ﹣5 13 5 ﹣1 … ﹣1 5 13A ．﹣2＜x ＜﹣1或4＜x ＜5B ．﹣2＜x ＜﹣1或5＜x ＜6C ．﹣3＜x ＜﹣2或5＜x ＜6D ．﹣3＜x ＜﹣2或4＜x ＜54．一元二次方程2x 2−3x +1=0化为(x +a)2=b 的形式，正确的是（）A ．(x −34)2=116B ．2(x −34)2=116C ．(x −32)2=16D ．以上都不对5．如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（）A ．②B ．③C ．④D ．⑤二、填空题6．若(2−a)x a 2−2−5=0是一元二次方程，则a ＝ .7．一元二次方程3x(x −2)=−4的一般形式是． 8．若关于x 的一元二次方程（m+3）x 2+5x+m 2+2m －3=0有一个根是0，则m= ，另一根为。

三、计算题9．用适当的方法求解一元二次方程：（1）x 2+2x ﹣3＝0 （2）x 2﹣4x+2＝0；（3）2x 2−4x −1=0；（4）x（x﹣4）+1＝0；（5）x(x−1)+3(x−1)=0．（6）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）．10．下面是小聪同学用配方法解方程：2x2−4x−p=0(p>0)的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．2x2−4x−p=0解：移项，得：2x2−4x=p．①二次项系数化为1，得：x2−2x=p 2．②配方，得x2−2x+1=p 2．③即(x−1)2=p2.∵p>0，∴x−1=±√p2．④∴x1=1+√2p2，x2=1−√2p2．⑤（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并解出此方程．11．已知实数a满足a2+1a2−2a−2a−1=0，求a+1a的值.。

北师大版九年级数学上册 2.2 用配方法求解一元二次方程同步练习题(含答案,教师版)

北师大版九年级数学上册第二章 2.2 用配方法求解一元二次方程同步练习题第1课时用配方法解简单的一元二次方程1．用配方法解下列方程，配方正确的是( A )A ．3x 2－6x ＝9可化为(x －1)2＝4B ．x 2－4x ＝0可化为(x ＋2)2＝4C ．x 2＋8x ＋9＝0可化为(x ＋4)2＝25D ．2y 2－4y －1＝0可化为2(y ＋1)2＝32．把方程x 2－10x ＝－3左边化成含有x 的完全平方式，其中正确的是(B) A ．x 2－10x ＋(－5)2＝28 B ．x 2－10x ＋(－5)2＝22 C ．x 2＋10x ＋52＝22 D ．x 2－10x ＋5＝23．用配方法解一元二次方程x 2－4x －1＝0，配方后得到的方程是(D) A ．(x －2)2＝1 B ．(x －2)2＝4 C ．(x －2)2＝3 D ．(x －2)2＝5 4．下列方程一定有解的是(A)A ．(x ＋5)2＝a 2＋1 B ．(x －3)2＋1＝0 C ．(x ＋a)2＝b D ．(ax ＋3)2＋a 2＝05．若关于x 的一元二次方程(x ＋3)2＝c 有实数根，则c 的值可以为5(答案不唯一，只要c≥0即可)(写出一个即可)．6．若一元二次方程ax 2＝b(ab ＞0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a ＝4．7．若(x 2＋y 2－5)2＝64，则x 2＋y 2等于13．8．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，这个记号叫做2阶行列式，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc.若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x －11－x x ＋1＝6，则x9．方程x 2＋2＝4|x|的解是10．解方程： (1)x 2－23x ＋1＝0；解：(x －13)2＝－89，∴原方程无实数根．(2)x 2－22x －3＝0.解：配方，得x 2－22x ＋(2)2－(2)2－3＝0，即(x －2)2＝5.两边开平方，得x －2＝5或x －2＝－5， ∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.11．当m 为何值时，关于x 的方程(m －2)xm 2＋2m －6＋mx －m －2＝0为一元二次方程？并求这个一元二次方程的解．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －6＝2，m －2≠0，解得m ＝－4.∴此方程为－6x 2－4x ＋2＝0. 解得x 1＝－1，x 2＝13.∴当m ＝－4时，此方程为一元二次方程，且解为x 1＝－1，x 2＝13.12．已知a ，b ，c 满足8－a ＋a －8＝|c －17|＋b 2－30b ＋225. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．解：(1)∵a，b ，c 满足8－a ＋a －8＝|c －17|＋b 2－30b ＋225，∴8－a ＋a －8＝|c －17|＋(b －15)2，即a －8＝0，b －15＝0，c －17＝0. ∴a ＝8，b ＝15，c ＝17. (2)能．由(1)知a ＝8，b ＝15，c ＝17， ∵82＋152＝172， ∴a 2＋c 2＝b 2，即此三角形是直角三角形． ∴三角形的周长为8＋15＋17＝40，三角形的面积为12×8×15＝60.第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程1．将代数式3x 2＋6x ＋2配方成a(x ＋k)2＋h 形式为(C) A ．3(x ＋1)2＋1 B ．3(x ＋1)2－23C ．3(x ＋1)2－1D ．3(x －1)2＋232．用配方法解方程2x 2－x －6＝0，开始出现错误的一步是(C) ①2x 2－x ＝6；②x 2－12x ＝3；③x 2－12x ＋14＝3＋14；④(x－12)2＝314.A ．①B ．②C ．③D ．④ 3．下列对方程2x 2－7x －1＝0的变形，正确的是(B)A ．(x ＋74)2＝5716B ．(x －74)2＝5716C ．(x －74)2＝4116D ．(x ＋74)2＝41164．若M ＝5x 2－12xy ＋10y 2－6x －4y ＋13(x ，y 为实数)，则M 的值一定是(A) A ．非负数 B ．负数C ．正数 D ．零5．一元二次方程12x 2－x －3＝06．将x 2＋6x ＋4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为－5.7．如果一个一元二次方程的二次项是2x 2，经过配方整理得(x －12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是－2x ，－32．8．当x ＝－2时，代数式2x 2＋8x －3有最小值(填“大”或“小”)，是－11． 9．(成都成华区期末)已知M ＝29a －1，N ＝a 2－79a(a 为任意实数)，则M ，N 的大小关系为M ＜N ．10．解方程： (1)3x 2＋6x －1＝0；解：x 1＝－1＋233，x 2＝－1－23 3.(2)4x 2－7x ＋2＝0.解：x 1＝78＋178，x 2＝78－178.11．已知a ，b 是等腰△ABC 的两边长，且a 2＋b 2＝8a ＋16b －80，求△ABC 的周长．解：∵a 2＋b 2＝8a ＋16b －80， ∴a 2＋b 2－8a －16b ＋80＝0. ∴(a 2－8a ＋16)＋(b 2－16b ＋64)＝0.∴(a －4)2＋(b －8)2＝0. 又∵(a－4)2≥0，(b －8)2≥0， ∴a －4＝0，b －8＝0. 解得a ＝4，b ＝8.∵a ，b 是等腰△ABC 的两边长，当a ＝4为腰时，4＋4＝8，此时不能构成三角形，当a ＝4为底边时，8＋4＞8，此时能构成三角形， ∴△ABC 的周长为8＋8＋4＝20.12．小淇准备利用38 m 长的篱笆，在屋外的空地上围成三个相连且面积相等的矩形花园．围成的花园的形状是如图所示的矩形CDEF ，矩形AEHG 和矩形BFHG.若整个花园ABCD(AB ＞BC)的面积是30 m 2，求HG 的长．解：设HG 的长为x m ，则BC ＝32x m ，AB ＝38－4x3 m ，由题意，得32x·38－4x3＝30.解得x 1＝2，x 2＝7.5. ∵AB ＞BC ，∴x 2＝7.5不合题意，舍去． ∴HG 的长为2 m.。

北师大版九年级数学上册《2.2 用配方法求解一元二次方程》同步练习题-附答案

北师大版九年级数学上册《2.2 用配方法求解一元二次方程》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．用配方法解下列方程，在左右两边同时加上 4 使方程左边成完全平方式的是（）A ．x 2+2x=3B ．x 2+8x=2C ．x 2﹣4x=59D ．2x 2﹣4x=12．210x 的解是( )A ．1±B ．1C ．1-D ．无实数根3．用配方法解方程2410x x ++=时，配方结果正确的是（）A ．()223x +=B ．()223x -=C ．()225x +=D ．()2415x += 4．用配方法将二次三项式a 2+4a ﹣5变形，结果是（）A ．（a ﹣2）2+9B ．（a +2）2+9C ．（a ﹣2）2﹣9D ．（a +2）2﹣95．将方程x 2﹣6x +6＝0变形为（x +m ）2＝n 的形式，结果正确的是（）A ．（x ﹣3）2＝15B ．（x ﹣3）2＝﹣3C ．（x ﹣3）2＝0D ．（x ﹣3）2＝36．用配方法解方程2410x x --=，配方正确的是（）A ．()223x +=B ．()229x +=C ．()225x -=D ．()2217x -= 7．用配方法解方程2x 2 + 3=7x 时，方程可变形为（）A ．（x–）2=B ．（x–）2=C ．（x–）2=D ．（x–）2=8．用配方法解方程2450x x --=时，原方程应变形为（）A ．()226x +=B ．()229x +=C ．()229x -=D ．()226x -= 9．将方程2650x x --=化为2()x m n +=的形式，则m ，n 的值分别是（）A ．3和5B ．-3和5C ．3和14D ．-3和1410．一元二次方程240x -=的根是（）A 2B ．2C 2或2-D ．2或2-二、填空题11．若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根是31m +与9m -，则b a = ． 12．把方程2450x x --=化成()2x a b +=的形式，则a 的值是 b 的值是；133x+42y -6y+9=0，则xy= ．14．在Rt △ABC 中，△C =90°，若a ：b =3：4，c =25，则a =15．已知一元二次方程22310x x a +++=有一个根为=1x -，则a 的值为．16．方程249x =的解为．17．将一元二次方程2215x x ++=化成2()x a b +=的形式，则a b += ．18．方程(x -5)2﹣9=0的根是．19．已知方程x 2﹣10x +24=0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为． 20．将方程x 2+6x ﹣3=0的左边配成完全平方后所得方程为．三、解答题21．【探究学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“20a ≥”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用．例如：求2612a a ++的最小值．解：()222261263333a a a a a ++=+++=++，因为2(3)0a +≥，所以()2333a ++≥，所以当2(3)0+=a 时，即当3a =-时，2612a a ++有最小值，最小值为3．【解决问题】(1)当x 为何值时，代数式2811x x -+有最小值？最小值为多少？(2)如图1所示的是一组邻边长分别为7，25a +的长方形，其面积为1S ；如图2所示的是边长为6a +的正方形，其面积为2S ，0a >请比较1S 与2S 的大小，并说明理由．(3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度46m 的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地ABCD ，且CD 边上留两个1m 宽的小门，设BC 的长为m x ，当x 为何值时，长方形场地ABCD 的面积最大？最大值是多少？22．已知函数()4342f x a x x =---(1)求函数的定义域；(2)当(1)3f =时，求a 的值.23．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A 粽子能够畅销．根据预测，每千克A 粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A 粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：(1)该商场节后每千克A 粽子的进价是多少元？(2)如果该商场在节前和节后共购进A 粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A 粽子获得利润最大？最大利润是多少？24．已知a ，b 为两个正实数2222()()2()0a b ab a b a b a b +-=+-≥ 2a b ab ∴+≥2a b ab +≥“a b =”时，等号成立．我们把2a b +叫做正数a ，b ab a ，b 的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当0x >时，求11y x x =++的最小值；解：11()1213y x x x x =++≥⋅=，当1x x=，即1x =时，y 的最小值为3． (1)探究：当0x >时，求2316x x y x-+=的最小值； (2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n 年的保养，维修费用总和为210n n +万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=所有费用：年数n ）？最少年平均费用为多少万元？(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线AB 经点(3,4)P ，与坐标轴正半轴相交于A ，B 两点，当AOB 的面积最小时，求直线AB 的表达式．25．阅读材料：用配方法求最值．已知x ，y 为非负实数2222()()2?()0x y xy x y x y x y +-+-=≥ 2x y xy ∴+≥“x y =”时，等号成立．示例：当0x >时，求14y x x=++的最小值．解：11()42?46y x x x x=++≥=，当1x x =，即1x =时，y 的最小值为6．（1）尝试：当0x >时，求21x x y x++=的最小值．（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n 年的保养、维护费用总和为210n n +万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=n所有费用之和年数）？最少年平均费用为多少万元？参考答案1．C2．A3．A4．D5．D6．C7．D8．C9．D10．D11．4912． 2- 913． -414．1515．1±16．32± 17．618．x 1=2，x 2=819．14或1620．（x+3）2 =12．21．(1)4x =时，代数式2811x x -+有最小值，最小值为-5；(2)当1a =时21=S S ；当1a ≠时21S S >，略(3)当8x =时，长方形场地ABCD 的面积最大，最大值为19222．(1)1423x <≤ (2)125a 225a =23．(1)节后每千克A 粽子的进价为10元(2)节前购进300千克A 粽子获得利润最大，最大利润为3000元 24．(1)5(2)10年；2.5万元 (3)483y x =-+ 25．（1）3；（2）10，2.5．。

北师大版初中数学九年级上册《2.2 用配方法求解一元二次方程》同步练习卷(含答案解析

北师大新版九年级上学期《2.2 用配方法求解一元二次方程》同步练习卷一．选择题（共26小题）1．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长2．一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（）A．（y+）2=1B．（y﹣）2=1C．（y+）2=D．（y﹣）2= 3．一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于34．设M=﹣x2+4x﹣4，则（）A．M＜0B．M≤0C．M≥0D．M＞05．一元二次方程式x2﹣8x=48可表示成（x﹣a）2=48+b的形式，其中a、b为整数，求a+b之值为何（）A．20B．12C．﹣12D．﹣206．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（）A．3B．4C．6D．97．用配方法解方程x2+2x﹣1=0时，配方结果正确的是（）A．（x+2）2=2B．（x+1）2=2C．（x+2）2=3D．（x+1）2=3 8．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15B．（x﹣3）2=3C．（x+3）2=15D．（x+3）2=3 9．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（）A．（x+2）2=1B．（x+2）2=7C．（x+2）2=13D．（x+2）2=19 10．给出一种运算：对于函数y=x n，规定y′=nx n﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（）A．x1=4，x2=﹣4B．x1=2，x2=﹣2C．x1=x2=0D．x1=2，x2=﹣211．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方后可变形为（）A．（x﹣3）2=14B．（x﹣3）2=4C．（x+3）2=14D．（x+3）2=4 12．已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定13．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17B．（x﹣4）2=17C．（x+4）2=15D．（x﹣4）2=15 14．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A．（x+5）2=16B．（x+5）2=1C．（x+10）2=91D．（x+10）2=10915．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+916．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1B．（x﹣3）2=1C．（x+3）2=19D．（x﹣3）2=19 17．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣18．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1B．x1=0，x2=5C．x1=﹣3，x2=5D．x1=﹣6，x2=219．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于320．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A．（x+）2=B．（x+）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=21．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根22．若一元二次方程式a（x﹣b）2=7的两根为±，其中a、b为两数，则a+b之值为何？（）A．B．C．3D．523．将代数式x2+4x﹣1化成（x+p）2+q的形式（）A．（x﹣2）2+3B．（x+2）2﹣4C．（x+2）2﹣5D．（x+2）2+4 24．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6B．（x+2）2=9C．（x﹣1）2=6D．（x﹣2）2=9 25．若a为方程（x﹣）2=100的一根，b为方程式（y﹣4）2=17的一根，且a、b都是正数，则a﹣b之值为（）A．5B．6C．D．10﹣26．已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定二．填空题（共16小题）27．规定：a⊗b=（a+b）b，如：2⊗3=（2+3）×3=15，若2⊗x=3，则x=．28．已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为．29．一元二次方程x2﹣9=0的解是．30．若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=．31．一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是．32．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m=．33．方程x2=2的解是．34．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=．35．二次三项式x2﹣4x﹣1写成a（x+m）2+n的形式为．36．一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数．37．把多项式x2﹣6x+5配成（x﹣h）2+k的形式：（其中h、k为常数）．38．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=．39．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=6，则x=．40．完成下列配方过程：x2+2px+1=[x2+2px+ ]+ =[x+ ]2+ ．41．一元二次方程x2﹣9=0的两个根是x1=3，x2=﹣3．．（判断对错）42．把x2+4x﹣1化为（x+h）2+k（其中h，k是常数）的形式是．三．解答题（共8小题）43．阅读材料：用配方法求最值．已知x，y为非负实数，∵x+y﹣2≥0∴x+y≥2，当且仅当“x=y”时，等号成立．示例：当x＞0时，求y=x++4的最小值．解：+4=6，当x=，即x=1时，y的最小值为6．（1）尝试：当x＞0时，求y=的最小值．（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？44．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x=4，x2=﹣2．”1（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）45．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．46．选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2；②选取二次项和常数项配方：，或③选取一次项和常数项配方：根据上述材料，解决下面问题：（1）写出x2﹣8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy﹣3y+3=0，求x y的值．47．（1）请从三个代数式4x2﹣y2，2xy+y2，4x2+4xy+y2中，任选两个构造一个分式，并化简该分式；（2）解方程：（x﹣1）2+2x﹣3=0．48．观察下列方程及其解的特征：（1）x+=2的解为x1=x2=1；（2）x+=的解为x1=2，x2=；（3）x+=的解为x1=3，x2=；…解答下列问题：（1）请猜想：方程x+=的解为；（2）请猜想：关于x的方程x+=的解为x1=a，x2=（a≠0）；（3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性．解：原方程可化为5x2﹣26x=﹣5．（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）49．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b=a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x=24的解．50．对于二次三项式x2﹣10x+36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．北师大新版九年级上学期《2.2 用配方法求解一元二次方程》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，整理得：x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（）A．（y+）2=1B．（y﹣）2=1C．（y+）2=D．（y﹣）2=【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：y2﹣y﹣=0y2﹣y=y2﹣y+=1（y﹣）2=1故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．3．一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3【分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3．故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．4．设M=﹣x2+4x﹣4，则（）A．M＜0B．M≤0C．M≥0D．M＞0【分析】利用配方法可将M变形为﹣（x﹣2）2，再根据偶次方的非负性即可得出M≤0．【解答】解：M=﹣x2+4x﹣4=﹣（x﹣2）2．∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，即M≤0．故选：B．【点评】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，利用配方法将M变形为﹣（x﹣2）2是解题的关键．5．一元二次方程式x2﹣8x=48可表示成（x﹣a）2=48+b的形式，其中a、b为整数，求a+b之值为何（）A．20B．12C．﹣12D．﹣20【分析】将一元二次方程式x2﹣8x=48配方，可求a、b，再代入代数式即可求解．【解答】解：x2﹣8x=48，x2﹣8x+16=48+16，（x﹣4）2=48+16，a=4，b=16，a+b=20．故选：A．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（）A．3B．4C．6D．9【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+=0，再根据非负数的性质得x2﹣4x+4=0，2x﹣y﹣3=0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后计算它们的和即可．【解答】解：根据题意得|x2﹣4x+4|+=0，所以|x2﹣4x+4|=0，=0，即（x﹣2）2=0，2x﹣y﹣3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了非负数的性质．7．用配方法解方程x2+2x﹣1=0时，配方结果正确的是（）A．（x+2）2=2B．（x+1）2=2C．（x+2）2=3D．（x+1）2=3【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．【解答】解：∵x2+2x﹣1=0，∴x2+2x+1=2，∴（x+1）2=2．故选：B．【点评】此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．8．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15B．（x﹣3）2=3C．（x+3）2=15D．（x+3）2=3【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6，配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（）A．（x+2）2=1B．（x+2）2=7C．（x+2）2=13D．（x+2）2=19【分析】把方程两边加上7，然后把方程左边写成完全平方式即可．【解答】解：x2+4x=3，x2+4x+4=7，（x+2）2=7．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．10．给出一种运算：对于函数y=x n，规定y′=nx n﹣1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（）A．x1=4，x2=﹣4B．x1=2，x2=﹣2C．x1=x2=0D．x1=2，x2=﹣2【分析】首先根据新定义求出函数y=x3中的n，再与方程y′=12组成方程组得出：3x2=12，用直接开平方法解方程即可．【解答】解：由函数y=x3得n=3，则y′=3x2，∴3x2=12，x2=4，x=±2，x1=2，x2=﹣2，故选：B．【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．11．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方后可变形为（）A．（x﹣3）2=14B．（x﹣3）2=4C．（x+3）2=14D．（x+3）2=4【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14，故选：A．【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．12．已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定【分析】将M与N代入N﹣M中，利用完全平方公式变形后，根据完全平方式恒大于等于0得到差为正数，即可判断出大小．【解答】解：∵M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），∴，∴N＞M，即M＜N．故选：A．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17B．（x﹣4）2=17C．（x+4）2=15D．（x﹣4）2=15【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，∴x2﹣8x=1，∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．14．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A．（x+5）2=16B．（x+5）2=1C．（x+10）2=91D．（x+10）2=109【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．【解答】解：方程x2+10x+9=0，整理得：x2+10x=﹣9，配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9【分析】根据配方法，可得方程的解．【解答】解：x2﹣6x﹣4=0，移项，得x2﹣6x=4，配方，得（x﹣3）2=4+9．故选：D．【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．16．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1B．（x﹣3）2=1C．（x+3）2=19D．（x﹣3）2=19【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程移项得：x2﹣6x=10，配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19，故选：D．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣【分析】方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．【解答】解：方程x2﹣2x﹣1=0，变形得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1B．x1=0，x2=5C．x1=﹣3，x2=5D．x1=﹣6，x2=2【分析】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．【解答】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．19．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3【分析】利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，∴（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x2=1+＞3，x1=1﹣＜﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．20．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A．（x+）2=B．（x+）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．【解答】解：ax2+bx+c=0，ax2+bx=﹣c，x2+x=﹣，x2+x+（）2=﹣+（）2，（x+）2=，故选：A．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．21．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根【分析】根据直接开平方法可得x﹣1=±，被开方数应该是非负数，故没有实数根．【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0，∴没有实数根，故选：C．【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．22．若一元二次方程式a（x﹣b）2=7的两根为±，其中a、b为两数，则a+b之值为何？（）A．B．C．3D．5【分析】首先同时除以a得：（x﹣b）2=，再两边直接开平方可得：x﹣b=±，然后把﹣b移到右边，再根据方程的两根可得a、b的值，进而算出a+b的值．【解答】解：a（x﹣b）2=7，两边同时除以a得：（x﹣b）2=，两边直接开平方可得：x﹣b=±，则x=±+b，∵两根为±，∴a=4，b=，∴a+b=4=，故选：B．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．23．将代数式x2+4x﹣1化成（x+p）2+q的形式（）A．（x﹣2）2+3B．（x+2）2﹣4C．（x+2）2﹣5D．（x+2）2+4【分析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．【解答】解：x2+4x﹣1=x2+4x+4﹣4﹣1=（x+2）2﹣5，故选：C．【点评】本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．24．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6B．（x+2）2=9C．（x﹣1）2=6D．（x﹣2）2=9【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6∴（x﹣1）2=6．故选：C．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．25．若a为方程（x﹣）2=100的一根，b为方程式（y﹣4）2=17的一根，且a、b都是正数，则a﹣b之值为（）A．5B．6C．D．10﹣【分析】先解方程，分别求出a与b的值，再代入，即可得出a﹣b的值．【解答】解：解方程（x﹣）2=100，得x﹣=±10，∴x=±10，解方程（y﹣4）2=17，得y﹣4=，∴y=4．∵a、b都是正数，∴a=+10，b=4+，∴a﹣b=（+10）﹣（4+）=6．故选：B．【点评】本题主要考查了运用直接开方法求一元二次方程的解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b 同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．26．已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定【分析】可令Q﹣P，将所得代数式配成完全平方式，再根据非负数的性质来判断所得代数式的符号，进而得出P、Q的大小关系．【解答】解：由题意，知：Q﹣P=m2﹣m﹣m+1=m2﹣m+1=m2﹣m++=（m﹣）2+；由于（m﹣）2≥0，所以（m﹣）2+＞0；因此Q﹣P＞0，即Q＞P．故选：C．【点评】熟练掌握完全平方公式，并能正确的对代数式进行配方是解答此类题的关键．二．填空题（共16小题）27．规定：a⊗b=（a+b）b，如：2⊗3=（2+3）×3=15，若2⊗x=3，则x=1或﹣3．【分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．【解答】解：依题意得：（2+x）x=3，整理，得x2+2x=3，所以（x+1）2=4，所以x+1=±2，所以x=1或x=﹣3．故答案是：1或﹣3．【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．28．已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为3．【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．【解答】解：依题意得：，解得∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3=0，解得a=3．故答案是：3．【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．29．一元二次方程x2﹣9=0的解是x1=3，x2=﹣3．【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．【解答】解：∵x2﹣9=0，∴x2=9，解得：x1=3，x2=﹣3．故答案为：x1=3，x2=﹣3．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．30．若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=1．【分析】已知等式左边配方得到结果，即可确定出m的值．【解答】解：已知等式变形得：x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1=（x﹣2）2+m，则m=1，故答案为：1【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．31．一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是x1=x2=．【分析】先分解因式，即可得出完全平方式，求出方程的解即可．【解答】解：x2+3﹣2x=0（x﹣）2=0∴x1=x2=．故答案为：x1=x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握求根的方法是解本题的关键．32．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m=3．【分析】原式配方得到结果，即可求出m的值．【解答】解：x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6=（x+m）2+n，则m=3，故答案为：3【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．33．方程x2=2的解是±．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：x2=2，x=±．故答案为±．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b 同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．34．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=4．【分析】利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．【解答】解：由题意两根不相等，∵x2=，∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax2=b的两个根分别是2与﹣2，∴=2，∴=4．故答案为：4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．35．二次三项式x2﹣4x﹣1写成a（x+m）2+n的形式为（x﹣2）2﹣5．【分析】将所给式子配成完全平方式即可．【解答】解：原式=x2﹣4x+4﹣5=（x﹣2）2﹣5．【点评】配方法的难点是配方，要求学生必须熟练掌握公式“a2±2ab+b2”，判断什么是：“a”或“b”或“ab”，怎样从a2、2ab这两项去找出“b”，或从a2、b2这两项去找出2ab”，或从2ab去找出a2和b2”．同学们要熟练掌握这些基本方法，从而做到心中有数，配方有路可循．36．一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数此题答案不唯一，如101，110，202，220等．【分析】首先设此三位数为：100x+10y+z，则根据题意得：x2+y2+z2=2xy或x2+y2+z2=2xz或x2+y2+z2=2yz，由配方的知识易求得：x﹣y=z或x﹣z=y或y﹣z=x，然后可得此题答案不唯一，举出符合条件的数即可．【解答】解：设此三位数为：100x+10y+z，根据题意得：x2+y2+z2=2xy或x2+y2+z2=2xz或x2+y2+z2=2yz，即x2+y2﹣2xy=﹣z2或x2﹣2xz+z2=﹣y2或y2+z2﹣2yz=﹣x2，则（x﹣y）2=﹣z2或（x﹣z）2=﹣y2或（y﹣z）2=﹣x2，故x﹣y=z或x﹣z=y或y﹣z=x，故此题答案不唯一，如101，110，202，220等，只要是两个相同的数字和0构成的三位数就行．故答案为：此题答案不唯一，如101，110，202，220等．【点评】此题考查了配方法的应用．此题难度适中，属于开放题，注意掌握配方法的知识是解此题的关键．37．把多项式x2﹣6x+5配成（x﹣h）2+k的形式：（x﹣3）2﹣4（其中h、k 为常数）．【分析】多项式中的常数项5变形为9﹣4，利用完全平方公式变形即可得到结果．【解答】解：x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣4=（x﹣3）2﹣4，故答案为：（x﹣3）2﹣4【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．38．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=±6．【分析】按照题中给出的规则运算．其规则为：a☆b=a2﹣b2．【解答】解：其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13解的步骤为：（42﹣32）☆x=13，7☆x=13，49﹣x2=13，x2=36，∴x=±6．【点评】此题是典型的新定义题型，解题的关键是要根据所给的规则把数或字母代入相应的位置，进行计算．该题中用到了直接开平方法解方程，所以要熟悉直接开平方法．39．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=6，则x=．【分析】利用上述规律列出式子（x+1）2+（x﹣1）2=6，再化简，直接开平方解方程．【解答】解：定义=ad﹣bc，若=6，∴（x+1）2+（x﹣1）2=6，化简得x2=2，即x=±．【点评】本题需要利用上述规律先列出式子，再进行开平方．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．40．完成下列配方过程：x2+2px+1=[x2+2px+ p2]+ 1﹣p2=[x+ p]2+ 1﹣p2．【分析】此题考查了配方法，解题时要注意常数项的求得，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．【解答】解：∵x2+2px+1=x2+2px+p2﹣p2+1=（x+p）2+1﹣p2．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．41．一元二次方程x2﹣9=0的两个根是x1=3，x2=﹣3．对．（判断对错）【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【解答】解：∵x2﹣9=0，∴x2=9，∴x=±3，即x1=3，x2=﹣3，故答案为：A．【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，主要考查学生的计算能力．42．把x2+4x﹣1化为（x+h）2+k（其中h，k是常数）的形式是（x+2）2﹣5．【分析】多项式中﹣1变形为4﹣5，结合后利用完全平方公式变形即可得到结果．【解答】解：x2+4x﹣1=x2+4x+4﹣5=（x+2）2﹣5．故答案为：（x+2）2﹣5【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三．解答题（共8小题）43．阅读材料：用配方法求最值．已知x，y为非负实数，∵x+y﹣2≥0∴x+y≥2，当且仅当“x=y”时，等号成立．示例：当x＞0时，求y=x++4的最小值．解：+4=6，当x=，即x=1时，y的最小值为6．（1）尝试：当x＞0时，求y=的最小值．（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？【分析】（1）首先根据y=，可得y=x++1，然后求出当x＞0时，y=的最小值是多少即可．（2）首先根据题意，求出年平均费用=（+0.4n+10）÷n=，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可．【解答】解：（1）y==x++1+1=3，∴当x=，即x=1时，y的最小值为3．（2）年平均费用=（+0.4n+10）÷n==2+0.5=2.5，∴当，即n=10时，最少年平均费用为2.5万元．【点评】此题主要考查了配方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．44．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x=4，x2=﹣2．”1（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）【分析】（1）移项要变号；（2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为：⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2n x2=﹣4n．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．45．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是x=．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．【分析】第四步，开方时出错；把常数项24移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：在第四步中，开方应该是x+=±．所以求根公式为：x=．故答案是：四；x=；用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0。

九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程练习北师大版(new)

《用配方法求解一元二次方程》练习一、基础过关1．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为( ）A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=7 C．(x+2）2=13 D．(x+2）2=192．用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为( ）A．(x﹣2)2=3 B．2(x﹣2）2=3 C．2（x﹣1)2=1 D．3．用配方法解方程3x2+8x﹣3=0，下列变形正确的是（）A．（x+）2=1+（）2 B．（x+)2=1+（）2C．（x﹣）2=1+（）2 D．（x﹣）2=1﹣（）24．若方程25x2﹣(k﹣1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A．﹣9或11 B．﹣7或8 C．﹣8或9 D．﹣6或75．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2﹣12x+14的值的范围．解:2x2﹣12x+14=2（x2﹣6x）+14=2（x2﹣6x+32﹣32）+14=2[（x﹣3)2﹣9]+14=2（x﹣3）2﹣18+14=2(x﹣3）2﹣4．∵无论x取何实数，总有(x﹣3)2≥0,∴2(x﹣3）2﹣4≥﹣4．即无论x取何实数，2x2﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数．问题：已知x可取任何实数，则二次三项式﹣3x2+12x﹣11的最值情况是（）A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最小值16．若一元二次方程9x2﹣12x﹣39996=0的两根为a，b,且a＜b，则a+3b的值为( ）A．136 B．268 C． D．二、综合训练7．将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab= ．8．将x2+6x+4进行配方变形后,可得该多项式的最小值为．9．将一元二次方程x2+4x+1=0化成（x+a）2=b的形式，其中a，b是常数，则a+b= ．10．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b）进入其中,会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中,得到﹣1,则x= ．11．配方：ax2+bx+c=(2ax+b)2+m,则m= ．12．若代数式x2+9的值与﹣6x的值相等，则x的值为．三、拓展应用13．王洪同学在解方程x2﹣2x﹣1=0时，他是这样做的：解:方程x2﹣2x﹣1=0变形为x2﹣2x=1．…第一步x（x﹣2）=1．…第二步x=1或x﹣2=1．…第三步∴x1=1，x2=3．…第四步王洪的解法从第步开始出现错误．请你选择适当方法,正确解此方程．14．关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得x2+4x+9=(x+m）2+n(1）则m= ,n= ；(2)求x为何值时,此二次三项式的值为7?15．解下列各题：（1)当a=1+，b=时,求代数式a2+b2﹣2a+1的值；(2）用配方法解方程：x2+12x=﹣9．16．已知a、b是实数,且+|b﹣｜=0,解关于x的方程：（a+2）x2+b2=（a﹣1）x．17．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0;…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为:“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③(x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2)用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根)参考答案一、基础过关1．B解：x2+4x=3， x2+4x+4=7， (x+2）2=7．故选．B2．C解：x2﹣2x=﹣， x2﹣2x+1=﹣+1，所以（x﹣1）2=．故选C．3．B解：∵3x2+8x﹣3=0，∴3x2+8x=3，∴x2+x=1，∴x2+x+=1+，∴（x+）2=，故选：B．4．A解：根据题意知，﹣（k﹣1）=±2×5×1，∴k﹣1=±10，即k﹣1=10或k﹣1=﹣10，得k=11或k=﹣9．故选A．5．C解:﹣3x2+12x﹣11=﹣3(x2﹣4x）﹣11=﹣3（x2﹣4x+4﹣4）﹣11=﹣3（x﹣2）2+12﹣11=﹣3（x﹣2）2+1，∵无论x取何实数,总有（x﹣2）2≥0，∴﹣3（x﹣2）2≤0，∴﹣3(x﹣2）2+1≤1，即无论x取何实数，二次三项式﹣3x2+12x﹣11有最大值1，故选：C．6．A解：∵9x2﹣12x﹣39996=0，∴9（x﹣)2=40000，∴x1=,x2=﹣66，∵一元二次方程9x2﹣12x﹣39996=0的两根为a，b，且a＜b，∴a=﹣66，b=，a+3b=﹣66+202=136．故选A．二、综合训练7．答案为：12解：x2﹣6x+5=0， x2﹣6x=﹣5,x2﹣6x+9=﹣5+9，（x﹣3）2=4，所以a=3，b=4， ab=12，故答案为：12．8．答案为﹣5．解:∵x2+6x+4=（x+3）2﹣5，∴当x=﹣3时，多项式x2+6x+4取得最小值﹣5;故答案为﹣5．9．答案为：5解：方程x2+4x+1=0，移项得:x2+4x=﹣1,配方得：x2+4x+4=3，即（x+2)2=3,∴a=2，b=3，则a+b=5,故答案为：510．答案为﹣2．解:根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3=﹣1，整理得x2+4x+4=0, （x+2）2=0, 所以x1=x2=﹣2．故答案为﹣2．11．答案为：．解：ax2+bx+c=（4a2x2+4abx+4ac)=［（2ax)2+2•(2a）•b•x+b2﹣b2+4ac] =［（2ax+b)2+4ac﹣b2］ =（2ax+b)2+，∴m=，故答案为：．12．答案为﹣3．解:根据题意得x2+9=﹣6x，整理得x2+6x+9=0，（x+3）2=0，所以x1=x2=﹣3．故答案为﹣3．三、拓展应用13．答案为二．解：王洪的解法从第二步开始出现错误，正确解此方程：x2﹣2x+1=1+1， (x﹣1）2=2，x﹣1=±, x1=1+,x2=1﹣；故答案为二．14．(1)答案为：2,5；（2）二次三项式的值为7．解:（1）x2+4x+9=x2+4x+4+5=（x+2）2+5，∵x2+4x+9=(x+m)2+n,∴m=2，n=5，故答案为：2，5；(2）根据题意得：x2+4x+9=7，（x+2）2=7﹣5， x+2=， x=﹣2±即当x=﹣2,此二次三项式的值为7．15．（1)5；（2)x1=﹣6﹣3，x2=﹣6+3．解：（1）∵a=1+,b=，∴原式=（1+）2+(）2﹣2（1+）+1=1+2+2+3﹣2﹣2+1=5;（2）方程可化为x2+12x+62=﹣9+36，即(x+6）2=27，两边开方得,x+6=±3，故x1=﹣6﹣3，x2=﹣6+3．16。

北师大版九年级上册数学用配方法解一元二次方程(1)练习题

《2.2用配方法解一元二次方程（1）》一、自主练习1、如果一个数的平方等于4，则这个数是，若一个数的平方等于7，则这个数是。

一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？2、用字母表示完全平方公式。

3、解方程：（1）x 2=4(2)x 2=16(3)2x 2=32(4)2x 2=82（5)(x+1)2=0(6)(2x－1)2=14.填上适当的数，使下列等式成立。

22)6(_____12+=++x x x 22)3(____6-=+-x x x 22___)(____8+=++x x x 22___)(____4-=+-x x x 5.解下列一元二次方程吗？52=x ；5)2(2=+x ；6.用开方法解形如n m x =+2)()0(≥n 的方程7.解方程：（1）x 2+8x-9=0.（2）015122=-+x x 8．解方程（1）03522=-+x x （2）12252=+y y （3）522=+t t （4）16)8(=-P P 二、训练巩固：1.方程x 2=16的根是x 1=__________,x 2=__________.2.若(x－2)2=0，则x 1=__________,x 2=__________.3.若9x 2－25=0，则x 1=__________,x 2=__________.4.若－2x 2+8=0，则x 1=__________,x 2=__________.5.若5x 2=0，则方程解为____________.6.解方程：（1）x 2=0（2）3x 2=3（3）2x 2=6（4）x 2+2x=0（5）21(2x+1)2=3（6）(x+1)2－144=07.填写适当的数使下式成立.①x 2+6x+______=(x+3)2②x 2－______x+1=(x－1)2③x 2+4x+______=(x+______)28.求下列方程的解①x 2+4x+3=0②x 2+6x+5=0③x 2－2x－3=09.（1）工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100CM 2正方形，请你帮他想一想，这个正方形的边长应为；若它的面积为75CM 2，则其边长应为。

北师大版九年级上册 2.2 用配方法求解一元二次方程(含答案及解析)

初中数学北师大版九年级上学期第二章2.2 用配方法求解一元二次方程一、单选题1.用配方法解方程x2-2x-8=0，配方正确的是( )A. (x-1)2=7B. (x-1)2=9C. (x-1)2=-7D. (x-1)2=32.用配方法解方程x2-3x-3=0时，配方结果正确的是( )A. (x-3)2=3B. (x- )2=3C. (x-3)2=D. (x- )2=3.已知点A（m2-2，5m+4）在第一象限角平分线上，则m的值是（）A. 6B. -1C. 2或3D. -1或64.若一元二次方程配方后为，则b，k的值分别为（）A. -6，4B. 6，4C. 6，13D. -6，13二、填空题5.把方程用配方法化为的形式，则m=________，n=________．6.用配方法将方程x2-4x+1=0化成(x+m)2=n的形式(m、n为常数)，则=________7.小明同学用配方法解方程x2+ax＝b2时，方程的两边加上________，据欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是线段________的长．三、计算题8.（1）计算：．（2）解方程：(x+2)2=9．9.用配方法求一元二次方程的实数根．10.解方程：（1）x2﹣2x﹣4＝0（2）用配方法解方程：2x2+1＝3x答案解析部分一、单选题1.答案：B解：x2-2x-8=0，移项得：x2-2x=8,配方得：x2-2x+1=9,即(x-1)2=9 .故答案为：B分析：将方程的常数移到右边，根据完全平方公式两边加1配方即可得到结果。

2.答案：D解：x2-3x-3=0，移项得：x2-3x=3，配方得：x2-2×x+=+3,即,故答案为：D分析：首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．3.答案：D解：第一象限点A（m 2 -2，5m+4）到x轴距离为5m+4，到y轴距离为m2-2，又角平分线上的点到角的两边距离相等，故m 2 -2=5m+4，解得：m1=-1，m2=6。

2最新北师版初中数学九年级上册专题练习.2 用配方法求解一元二次方程

2.2 用配方法求解一元二次方程一、选择题（本题包括6个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（）A. （x﹣2）2=11B. （x+2）2=11C. （x﹣4）2=23D. （x+4）2=232. 将代数式x2+6x﹣3化为（x+p）2+q的形式，正确的是（）A. （x+3）2+6B. （x﹣3）2+6C. （x+3）2﹣12D. （x﹣3）2﹣123. 用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（）A. （x﹣2）2=3B. 2（x﹣2）2=3C. 2（x﹣1）2=1D. 2（x﹣1）2=4. 已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）A. M＜NB. M=NC. M＞ND. 不能确定5. 将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（）A. ﹣30B. ﹣20C. ﹣5D. 06. 对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（）A. 非正数B. 非负数C. 正数D. 负数二、填空题（本题包括8个小题）7. 若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=________．8. 若a为实数，则代数式的最小值为________．9. 用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣______）2=________．10. 已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m﹣n）2016=________．11. 设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为________．12. 若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是________．13. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=________．14. 若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2﹣3，则b﹣a=________．三、解答题（本题包括4个小题）15. 解方程：（1）x2+4x﹣1=0．（2）x2﹣2x=4．16. “a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x2﹣4x+6=（x）2+ ；所以当x= 时，代数式x2﹣4x+6有最（填“大”或“小”）值，这个最值为．（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．17. 阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．18. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？答案一、选择题1. 【答案】A【解析】方程x2−4x−7=0，变形得：x2−4x=7，配方得：x2−4x+4=11，即(x−2)2=11，故选：A.2. 【答案】C【解析】x2+6x−3=x2+6x+9−9−3=(x+3)2−12.故选：C.3. 【答案】C【解析】2x2-4x=-1，x2-2x=12-, x2-2x+1=12-+1,∴（x-1）2=12，即2（x-1）2=1.故选C.4. 【答案】A【解析】∵M=a﹣1，N=a2﹣a (a为任意实数)，∴N−M=a2−a+1=(a−)2+，∴N>M，即M<N.故选：A5. 【答案】A【解析】把常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方，即x2+4x-5=0，x2+4x=5，x2+4x+4=9，（x+2）2=9，故答案选A．考点：配方法解一元二次方程．6. 【答案】D【解析】−x2+4x−5=−(x2−4x)−5=−(x−2)2−1，∵−(x−2)2<0，∴−(x−2)2−1<0，故选：D.点睛：此题主要考查了配方法的应用，正确应用配方法是解题的关键.二、填空题7.【答案】1【解析】已知等式变形得：x2−4x+5=x2−4x+4+1=(x−2)2+1=(x−2)2+m，则m=1，故答案为：18. 【答案】3【解析】因，根据非负数的性质可得当a=3时，有最小值为9，所以当a=3时，有最小值为3.考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方；二次根式的性质与化简．9. 【答案】 (1). 1 (2).【解析】原方程为3x2−6x+1=0，二次项系数化为1，得x2−2x=−，即x2−2x+1=−+1，所以(x−1)2= .故答案为：1，.10. 【答案】1【解析】由(x+m)2=3，得：x2+2mx+m2−3=0，∴2m=4，m2−3=n，∴m=2，n=1，∴(m−n)2016=1，故答案为：1. 11.【答案】3【解析】原式=(x2+2x+1)+(4x2−8xy+4y2)=4(x−y)2+(x+1)2+3，∵4(x−y)2和(x+1)2的最小值是0，即原式=0+0+3=3，∴5x2+4y2−8xy+2x+4的最小值为3.故答案为：3.12. 【答案】【解析】∵a+b2=1，∴b2=1−a，∴a2+b2=a2+1−a=(a−)2+，∵(a−1)2⩾0，∴(a−1)2+⩾，故答案为：. 13. 【答案】12【解析】x2−6x+5=0，x2−6x=−5，x2−6x+9=−5+9，(x−3)2=4，所以a=3，b=4，ab=12，故答案为：12.14. 【答案】3【解析】根据题意，得x2-6x+b=(x2-6x+9)+b-9=(x-3)2+b-9=(x-a)2-3,可得a=3，b−9=−3，解得：a=3，b=6，则b−a=3.故答案为：3.点睛：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.三、解答题15. 【答案】（1）x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x1=1+，x2=1﹣【解析】（1）利用配方法即可解决；（2）利用配方法即可解决．解：（1）∵x2+4x﹣1=0，∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4，∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．（2）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．点睛：本题考查一元二次方程的解法，记住配方法的解题步骤是解题的关键，属于中考常考题型．16. 【答案】（1）﹣2；2；2；小；2；（2）x2﹣1＞2x﹣3．【解析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；（2）利用求差法和配方法解答即可．解：（1）x2-4x+6=（x-2）2+2，所以当x=2时，代数式x2-4x+6有最小值，这个最值为2，故答案为：-2；2；2；小；2；（2）x2-1-（2x-3）=x2-2x+2；=（x-1）2+1＞0，则x2-1＞2x-3．17.【答案】（1）4；（2）7；（3）2【解析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=-1，a=3，则a-b=4；（2）∵2a2+b2-4a-6b+11=0，∴2a2-4a++2+b2-6b+9=0，∴2（a-1）2+（b-3）2=0，则a-1=0，b-3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；（3）∵x+y=2，∴y=2-x，则x（2-x）-z2-4z=5，∴x2-2x+1+z2+4z+4=0，∴（x-1）2+（z+2）2=0，则x-1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=-2，∴xyz=2．点睛：本题主要考查的是配方法的应用和三角形三边的关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边的关系是解题的关键.18. 【答案】（1）；（2）5；（3）当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．【解析】 (1)将原式进行配方，然后根据非负数的性质得出最小值；(2)将原式进行配方，然后根据非负数的性质得出最大值；(2)、根据题意得出代数式，然后进行配方得出最值.解：(1) m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；(2)4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；(3)、由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．考点：一元二次方程的应用.。

北师大版九年级数学上册《2.2 用配方法求解一元二次方程》同步练习卷

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯2.2 用配方法求解一元二次方程一．选择题1．若x2+mx+19＝（x﹣5）2﹣n，则m+n的值是（）A．﹣16B．16C．﹣4D．42．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝3．用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣11＝0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣4）2＝5B．（x+4）2＝5C．（x﹣4）2＝27D．（x+4）2＝27 4．把方程x2﹣8x﹣84＝0化成（x+m）2＝n的形式为（）A．（x﹣4）2＝100B．（x﹣16）2＝100C．（x﹣4）2＝84D．（x﹣16）2＝845．用配方法将方程x2﹣6x+7＝0变形，结果正确的是（）A．（x﹣3）2+4＝0B．（x﹣3）2﹣2＝0C．（x﹣3）2+2＝0D．（x+3）2+4＝0 6．若一元二次方程4x2+12x﹣27＝0的两根为a，b，目a＞b，则3a+b的值为（）A．﹣12B．0C．9D．107．将方程3x2+6x﹣1＝0配方，变形正确的是（）A．（3x+1）2﹣1＝0B．（3x+1）2﹣2＝0C．3（x+1）2﹣4＝0D．3（x+1）2﹣1＝08．用直接开平方法解方程3（x﹣3）2﹣24＝0，得方程的根是（）A．x＝3+2B．x＝3﹣2C．x1＝3+2，x2＝3﹣2D．x＝﹣3±2二．填空题9．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则这个等腰三角形的周长为．10．用配方法解方程2x2﹣3x﹣5＝0，配方后可得方程：．11．代数式﹣2x2+4x+7的最大值为．12．若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2﹣1，则b﹣a的值是．三．解答题13．解方程：（1）2x2﹣4x+1＝0；（2）3（x﹣2）2﹣12＝0．14．解方程：（1）9（x﹣2）2＝121（2）x2﹣4x﹣1＝015．解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）16．阅读下面的解答过程，求y2+4y+5的最小值．解：y2+4y+5＝y2+4y+4+1＝（y+2）2+1∵（y+2）2≥0，即（y+2）2的最小值为0∴y2+4y+5＝（y+2）2+1≥1∴y2+4y+5的最小值为1仿照上面的解答过程，求：（1）m2﹣2m+2的最小值；（2）3﹣x2+2x的最大值．参考答案与试题解析一．选择题1．解：（x﹣5）2﹣n＝x2﹣10x+25﹣n，∴x2+mx+19＝x2﹣10x+25﹣n，∴m＝﹣10，25﹣n＝19，解得，m＝﹣10，n＝6，∴m+n＝﹣10+6＝﹣4，故选：C．2．解：4x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣x＝，x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝．故选：D．3．解：x2﹣8x＝11，x2﹣8x+16＝27，所以（x﹣4）2＝27，故选：C．4．解：∵x2﹣8x﹣84＝0∴x2﹣8x＝84∴x2﹣8x+16＝84+16∴（x﹣4）2＝100故选：A．5．解：∵x2﹣6x+7＝0∴x2﹣6x＝﹣7∴x2﹣6x+9＝﹣7+9∴（x﹣3）2＝2∴（x﹣3）2﹣2＝0故选：B．6．解：4x2+12x﹣27＝0，移项得：4x2+12x＝27，4x2+12x+9＝27+9，即（2x+3）2＝36，2x+3＝6，2x+3＝﹣6，解得：x＝1.5，x＝﹣4.5，∵一元二次方程式4x2+12x﹣27＝0的两根为a、b，且a＞b，∴a＝1.5，b＝﹣4.5，∴3a+b＝3×1.5+（﹣4.5）＝0．故选：B．7．解：∵3x2+6x﹣1＝0∴3（x2+2x）﹣1＝0∴3（x2+2x+1﹣1）﹣1＝0∴3（x2+2x+1）﹣3﹣1＝0∴3（x+1）2﹣4＝0故选：C．8．解：移项得，3（x﹣3）2＝24，两边同除3得，（x﹣3）2＝8，开方得，x﹣3＝±2，所以x1＝3+2，x2＝3﹣2．故选C．二．填空题9．解：a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，解得，a＝3，b＝4，当a是腰长时，等腰三角形的周长＝3+3+4＝10，当b是腰长时，等腰三角形的周长＝3+4+4＝11，故答案为：10或11．10．解：由原方程移项，得2x2﹣3x＝5，把二次项的系数化为1，得x2﹣x＝，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣x+＝+，∴＝；故答案是：＝．11．解：根据题意可设y＝﹣2x2+4x+7，即为求y的最大值，∵y＝﹣2x2+4x+7＝﹣2（x﹣1）2+9，根据﹣2（x﹣1）2≤0，可以得到：当x＝1时，y最大，最大值为9．故答案为：9．12．解：x2﹣6x+b＝x2﹣6x+9﹣9+b＝（x﹣3）2+b﹣9＝（x﹣a）2﹣1，∴a＝3，b﹣9＝﹣1，即a＝3，b＝8，故b﹣a＝5．故答案为：5．三．解答题13．解：（1）2x2﹣4x+1＝0，2（x2﹣2x+1）＝1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，x1＝1﹣，x2＝1+；（2）3（x﹣2）2﹣12＝0，3（x﹣2）2＝12，（x﹣2）2＝4，x﹣2＝±2，x1＝0，x2＝4．14．解：（1）∵9（x﹣2）2＝121∴（x﹣2）2＝∴x﹣2＝±∴x1＝2+＝，x2＝2﹣＝﹣∴方程的解为：x1＝，x2＝﹣；（2）∵x2﹣4x﹣1＝0∴x2﹣4x+4＝1+4∴（x﹣2）2＝5∴x﹣2＝±∴x1＝2+，x2＝2﹣15．解：由原方程移项，得x2﹣6x＝﹣4，等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2﹣6x+9＝﹣4+9，即（x﹣3）2＝5，∴x＝±+3，∴x1＝+3，x2＝﹣+3．16．解：（1）m2﹣2m+2＝m2﹣2m+1+1＝（m﹣1）2+1，∵（m﹣1）2≥0，∴（m﹣1）2+1≥1，∴m2﹣2m+2的最小值为1；（2）3﹣x2+2x＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4，∵（x﹣1）2≥0，∴﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+4≤4，∴3﹣x2+2x的最大值为4．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。