均值不等式练习题1
（完整版）均值不等式专题20道-带答案
（完整版）均值不等式专题20道-带答案均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、填空题1．若则的最⼩值是__________．2．若,且则的最⼤值为______________.3．已知，且，则的最⼩值为______．4．已知正数满⾜，则的最⼩值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最⼩值是______．6．设正实数满⾜，则的最⼩值为________7．已知，且，则的最⼩值是________8．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值是______9．已知，函数的值域为，则的最⼩值为________．10．已知，，且，则的最⼩值为__________．11．若正数x，y满⾜，则的最⼩值是______．12．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值为______．13．若，，，则的最⼩值为______．14．若，则的最⼩值为________.15．已知a，b都是正数，满⾜，则的最⼩值为______．16．已知，且，则的最⼩值为______．17．已知点在圆上运动，则的最⼩值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最⼩值为____．19．已知正实数，满⾜，则的最⼤值为______.20．已知，，则的最⼩值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利⽤基本不等式求解的最⼩值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题考查基本不等式求解和的最⼩值问题，关键是能够利⽤对数相等得到的关系，从⽽构造出符合基本不等式的形式. 2．【解析】【分析】先平⽅，再消元，最后利⽤基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最⼤值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最⼤值为，综上的最⼤值为【点睛】本题考查利⽤基本不等式求最值，考查基本分析求解能⼒，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利⽤代数式的恒等变换和利⽤均值不等式的应⽤求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满⾜，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】由题意可得经过圆⼼，可得，再+利⽤基本不等式求得它的最⼩值．【详解】圆，即，表⽰以为圆⼼、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆⼼，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最⼩值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应⽤，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最⼩值为8.【点睛】在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最⼩值是【点睛】由已知分离，然后进⾏1的代换后利⽤基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满⾜，则当且仅当且即，时取得最⼩值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利⽤基本不等式求解最值，解题的关键是进⾏分离后利⽤1的代换，在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利⽤基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成⽴，所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题主要考查⼆次函数的图象与性质，以及基本不等式的应⽤，属于中档题. 在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另⼀边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应⽤，否则会出现错误.10．【解析】【分析】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利⽤基本不等式求最值,将所求式运⽤“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题. 11．【解析】【分析】利⽤乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满⾜，则，，当且仅当时取等号，故的最⼩值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应⽤属基础题．12．2【解析】【分析】利⽤“1”的代换，求得最值，再对直接利⽤基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满⾜，，，当且仅当，即，时，取等号，的最⼩值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应⽤，熟记不等式应⽤条件，多次运⽤基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最⼩值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最⼩值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运⽤，注意运⽤“1”的代换，考查化简运算能⼒，属于基础题．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利⽤，可得到最⼩值，要注意等号取得的条件。
均值不等式练习题.
一、选择题1．若0≥x ，0≥y 且，那么232y x +的最小值为（ ） A. 2 B. 43 C. 32 D. 0 2．设若的最小值 ( )A. 2B. 41 C. 4 D. 8 3．若c b a >>集合{|},{|}2a b M x b x N x ab x a +=<<=<<，则集合M N I 等于（ ） A.{|}x b x ab << B.{|}x b x a << C.{|}2a b x ab x +<<D.{|}2a b x x a +<< 4．对于函数)(x f y =(I x ∈),)(x g y =(I x ∈),若对任意I x ∈,存在0x 使得)()(0x f x f ≥,)()(0x g x g ≥且)()(00x g x f =,则称)(x f ,)(x g 为“兄弟函数”,已知q px x x f +++=2)(,x x x x g 1)(2+-=定义在区间]2,21[上的“兄弟函数”,那么函数)(x f 在区间]2,21[上的最大值为 A.32 B. 2 C. 4 D.545．若0x >，则1x x +的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 86．若实数,x y 满足2222330x y x y +-++=，则3x y -的取值范围是（ ）A.[)2,+∞B.()2,6C.[]2,6D.[]4,0-7．设0,0a b >>，若1a b +=，则11a b+的最小值是（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14 8．正数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为A ．18B ．14C ．1D ．329．已知，则的最小值是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 110．已知关于x 的不等式在),(+∞∈a x 上恒成立，则实数a 的最小值为 ( ) A. 1 B. 32 C. 2 D. 11．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，0AC AD ⋅=u u u r u u u r ，0AD AB ⋅=u u u r u u u r ，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是. B. 2 C. 4 D. 8 12．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*.） A ．2 B ．3 C ．6 D ．813．若直线01=+-by ax 平分圆C ：014222=+-++y x y x 的周长，则ab 的取值范围是14．已知关于x 的不等式022>++b x ax (0≠a )，且b a >，则A ．2 C.．115．在R 上定义运算：对R y x ∈,，有y x y x +=⊕2，如果1=⊕b a (0>ab )的最小值是（ ）A．10 B ．9 C 16．若0>>b a ，则代数式( ) A.2 B. 3 C.4 D. 517．若0>a ，0>b ，且2=+b a ,则下列不等式恒成立的是( )A.1ab 1>B.1a +1b 2≤C.ab 1≥D. 222≥+b a 18．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当z xy 取得最大值时，z y x -+2的最大值为 A. 0 B.98 C. 2 D.9419．已知0>a ，0>b ，2=+b a ，则b a 41+的最小值是( ) A. 27 B. 4 C. 29 D. 5 20．已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.221．已知直线l 过点(2,1)P )，且与x 轴y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最小值为( ) A. 22 B. 24 C. 4 D. 3 22．若函数)(x f 满足：x xf x f =-)1(4)(，则|)(|x f 的最小值为 A. 152 B. 154 C. 15152 D. 15154 23．24．已知R a b ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是 ( )．A ．ab b a 2≥+B ．2≥+a b b aC ．2||≥+ab b a D ．222a b ab +> 25．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（）A.3B.4C.5D.626．如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为A.6B.42C.4D.2227．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ） A ．4)11)((≥++b a b a B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||28．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．4)11)((≥++ba b a B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||29．若，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 430．下列命题正确的是( )A ．若Z k k x ∈≠,π，则4sin 4sin 22≥+xx B ．若0<a ，则44-≥+a a C ．若0,0>>b a ，则b a b a lg lg 2lg lg ⋅≥+ D ．若0,0<<b a ，则2≥+b a a b 31．已知)2(log )(2-=x x f ，若实数n m ,满足3)2()(=+n f m f ，则n m +的最小值为 A. 5 B. 7 C. 8 D. 932．不等式<+x x 22a b ＋16b a对任意),0(,+∞∈b a 恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．)0,2(- B ．),0()2,(+∞--∞Y C ．)2,4(- D ．),2()4,(+∞--∞Y二、填空题33．已知,a R b R ++∈∈，函数2x y ae b =+的图象过（0，1）点，则11a b+的最小值是______. 34．若关于x 的不等式（组）()2*72209921n n x x n N ≤+-<∈+对任意恒成立，则所有这样的解x 构成的集合是____________.35．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,a ab a b a b b ab a b⎧-≤⎪*=⎨->⎪⎩，设()()()211f x x x =-*-，且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是___________.36．设连接双曲线12222=-b y a x 与12222=-ax b y (0,0>>b a )的4个顶点的四边形面积为1S ,连接其4个焦点的四边形面积为2S ，则21S S 的最大值为 . 37．已知0a b >>，且2a b +=，则213a b a b ++-的最小值为 ． 38．已知实数,a b 满足22941a b+=，则22b a +的最小值是 . 39．已知向量)2,1(-=x a ，),4(y b =，若b a ⊥，则y x 416+的最小值为 ．40．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 41．已知b a ,是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 .42．M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且AB u u u r ·AC u u u r 32=，ο30=∠BAC ，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为z y x ,,，记=),,(z y x f 149x y z++，则),,(z y x f 的最小值是________． 43．已知函数9)(22-+=x a x x f 的定义域为{}0,≠∈x R x x ，则实数a 的取值范为 . 44．(1）2≥+b a a b 成立当且仅当b a ,均为正数.（2）)0(,322>+=x xx y 的最小值是343 （3）)20(,)2(2a x x a x y <<-=的最大值是2723a （4）2|1|≥+aa 成立当且仅当0≠a . 以上命题是真命题的是45．设M 是△ABC 内一点,且AB u u u r ·AC u u u r 32=，ο30=∠BAC ，定义),,()(p n m M f =，其中p n m ,,分别是△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若),,21()(y x M f =，则y x 41+是 .46．若实数c b a ,,满足b a b a +=+222，c b a c b a ++=++2222，则c 的最大值是 .47．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数4()f x x=的图像交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值是＿＿＿＿48．现要用一段长为l 的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园（如图所示），则围成的菜园最大面积是___________________．49．设b a ,为两个正数，且1=+b a ，则使得恒成立的μ的取值范围是________． 50．若2x >，则的最小值为 ；51．已知正实数z y x ,,满足________． 52．设常数0>a ，若对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________． 53的图象过点)7,3(A ，则函数)(x f 的最小值是________． 54．设R y x ∈,，且5=+y x ，则y x 33+的最小值是________．55．设0<x ，则________． 56的值为 57．若0,0>>b a ，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于_.58．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时96元. 当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元. 若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小.59．已知正数,x y 满足22x y +=，则的最小值为 ． 60．已知正数y x ,满足则y x +的最大值为 ． 62．设y x ,均为正实数，且，则xy 的最小值为____________．65．函数log 1(0,1)a y x a a =+>≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny +-=上,其中0mn >,最小值为_______. 66．已知a b >，且1ab =，则. 67．一环保部门对某处的环境状况进行了实地测量，据测定，该处的污染指数等于附近污染源的污染强度与该处到污染源的距离之比．已知相距km 30的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为1和4，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．现拟在它们之间的连线上建一个C D B A公园，为使两化工厂对其污染指数最小，则该公园应建在距A 化工厂 公里处．68．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，0AC AD ⋅=u u u r u u u r ，0AD AB ⋅=u u u r u u u r ，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .69．下列结论中 ①函数)0)(21(>-=x x x y 有大值81②函数x x y 432--=（0<x ）有最大值342-③若0>a ，则4)11)(1(≥++a a 正确的序号是_____________.70．若不等式)(2222y x a xy x +≤+对于一切正数y x ,恒成立，则实数a 的最小值为________．三、解答题 71．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为2162m 的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/2m ，中间两道隔墙建造单价为248元/2m ，池底建造单价为80元/2m ，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过m 16，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．72．已知函数)(x f ＝22x x a x＋＋，),1[+∞∈x . (1)当4=a 时，求函数)(x f 的最小值；(2)若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，试求实数a 的取值范围．73．已知函数()|2|,*f x m x m R =--∈，且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-．（1）求m 的值；（2）若,,a b c R +∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥． 74．已知正实数a 、b 、c 满足条件3a b c ++=，（1）求证：3a b c ++≤；（2）若c ab =，求c 的最大值．75．已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥76．(1)(2)，求正数a 的值．77．若对任意0>x ，恒成立，求a 的取值范围． 78．（本小题满分12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C （万元）与隔热层厚度x （厘米）若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元.设()x f 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. （I ）求)(x C 和()x f 的表达式；（II ）当陋热层修建多少厘米厚时，总费用()x f 最小，并求出最小值.79．(14分)某公司在安装宽带网时，购买设备及安装共花费5万元.该公司每年需要向电信部门交纳宽带使用费都是5.0万元,公司用于宽带网的维护费每年各不同，第一年的维护费是1.0万元，以后每年比上一年增加1.0万元.（1）该公司使用宽带网满5年时，累计总费用（含购买设备及安装费用在内）是多少?（2）该公司使用宽带网多少年时，累计总费用的年平均值最小？80．某化工企业2016年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是5.0万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．(1)求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y (万元)；(2)为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？81．已知0,0>>y x ，求证：82．设y x z +=2，式中变量满足下列条件：4335251x y x y x ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－－，＋，，求z 的最大值和最小值．83（1）若不等式1)(<x f 的解集为{}31|<<x x ，求a 的值；（2）若存在0x ∈R ，使3)(00<+x x f ，求a 的取值范围.84．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米．（1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？（3）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？85．已知c b a ,,均为正数，并确定c b a ,,为何值时，等号成立．1．B【解析】由本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件。
a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 222. 若a,b?R，则时取“=”）*a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab ???2?*a?ba2?b2?ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。
平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知x?技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。
x?5 x2?7x?10的值域。
例求y?x?1技巧3：利用函数单调性例求函数y?2的值域。
技巧4：整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。
xy典型例题1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是?a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34ab11?的最小值为ab1A B C 1 D 7. 设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.659. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．①ab?1；②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3；⑤11??ab210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是abaa?b123411.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y 的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??）?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2；x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时，y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
利用均值不等式求最值练习题一
利用均值不等式求最值练习题一1．（2020春•西城区校级月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若11==a ba bαβ++，，则α+β的最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．62．（2020春•蚌埠期末）已知x+1＞y＞0，则x++的最小值为（ ） A．﹣1 B． C．2﹣1 D．3﹣13．（2020春•沙坪坝区校级期末）正数m，n满足m+n＝2，则+的最小值为（ ） A． B． C． D．24．（2020春•西安区校级期末）已知0＜x＜1，则的最小值为（ ）A．9 B． C．5 D．5．（2020春•南昌期末）已知a，b＞0，且满足a2+ab＝1，则3a+b的最小值为（ ） A． B． C．2 D．26．（2020春•九龙坡区校级期中）若x，y∈R+，且，则3x+4y的最小值是（ ）A．5 B． C． D．7．（2019秋•南城县校级期末）已知正数x，y满足x+y＝1，且≥m，则m的最大值为（ ） A． B． C．2 D．48．（2019秋•淮安期末）函数y＝2x+（x＞1）的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．89．（2019秋•诸暨市期末）已知a，b＞0，a+b＝1，则的最小值是（ ） A． B． C． D．10．（2020•兖州区模拟）已知正数m，n满足m（n﹣1）＝8n，则m+2n的最小值是（ ） A．18 B．16 C．8 D．1011．（2020春•宣城期末）已知x＞0，y＞0，2x+y＝2xy，若x+ay的最小值为8，则正实数a的值为（ ）A．2 B． C．3 D．12．（2020春•如皋市期末）设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（ ）A．有最小值为4 B．有最小值为C．有最小值为 D．无最小值13．（2020春•浙江期末）实数x，y，x＞﹣1，且满足xy+y＝﹣x+3，则x+y的最小值是（ ）A．1 B． C．2 D．314．（2020•镇海区校级模拟）若a＞0，b＞0，且，则a2+b2的最小值为（ ）A．2 B． C．4 D．15．（2020春•工农区校级期末）若正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，则的最大值为（ ） A． B． C． D．116．（2020春•南关区校级期中）若x＞0，则的最小值为（ ）A． B． C．1 D．17．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知实数x，y满足x+y＝1，﹣1＜x＜1，则的最小值为（ ） A． B． C．5 D．218．（2020春•昌吉市期中）若a＞0，b＞0，a+2b＝3，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．919．（2020•滨海新区模拟）已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（ ） A．13 B．11 C．10 D．920．（2020•和平区二模）已知a，b＞0，，则当取最小值时，的值为（ ） A．2 B． C．3 D．421．（2020春•四川月考）已知实数a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+的最小值为（ ） A． B． C． D．22．（2020•邯郸模拟）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ）A． B． C． D．23．（2020•济宁模拟）已知实数a，b满足ab＞0，则﹣的最大值为（ ） A．2﹣ B．2+ C．3﹣2 D．3+224．（2019秋•梅河口市校级期末）已知a，b为正数，4a2+b2＝7，则的最大值为（ ） A． B． C． D．225．（2019秋•开封期末）已知m＞0，n＞0，，若不等式m+n≥﹣x2+2x+a对已知的m，n及任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A．[8，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，8]26．（2019秋•楚雄州期末）已知x＞0，y＞0，若不等式恒成立，则正数m的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．827．（2020•湖北模拟）若不等式﹣m≥0对x∈（0，）恒成立，则实数m的最大值为（ ）A．7 B．8 C．9 D．1028．（2019秋•滨海新区期末）若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（ ）A．4 B． C．2 D．429．（2020春•重庆期末）已知关于x的一元二次不等式kx2﹣x+1＜0的解集为（a，b），则2a+b的最小值是（ ）A．6 B．5+2 C．3+2 D．330．（2020春•襄城区校级月考）若正实数x，y满足4x+y＝xy，且恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A．[﹣1，4] B．（﹣1，4） C．[﹣4，1] D．（﹣4，1）31．（2020春•浙江期中）已知正实数x，y，z满足x2+y2+z2＝1，则u＝的最小值是（ ） A．9 B．3 C．4 D．532．（2020春•驻马店期末）已知正实数x，y满足x+2y＝2xy．则x+y的最小值为（ ）A．4 B． C． D．33．（2020春•渝中区校级期末）已知实数a＞0，b＞0，＝，则a+2b的最小值为（ ） A．2 B．6 C．3 D．334．（2020春•合肥期末）已知a＞0，b＞0，且不等式≥恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．[﹣4，4] B．（﹣∞，4] C．[﹣4，+∞） D．[﹣3，3]35．（2020春•丽水期末）已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1，则的最小值为（ ） A． B．+ C．3+2 D．236．（2020春•路南区校级月考）若a，b为大于1的实数，且满足a+b＝ab，则的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．837．（2020•浙江模拟）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（ ）A． B． C．﹣2 D．238．（2019秋•越城区校级期末）已知x，y都是正实数，则+的最大值为（ ） A． B． C． D．39．（2020春•湖北期末）若x＞0，y＞0，且＝1，则2x+y的最小值为（ ） A．2 B．2 C． D．4+240．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为 ．参考答案1．（2020春•西城区校级月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若11==a ba bαβ++，，则α+β的最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，若11==a ba bαβ++，∴α+β＝a+b++＝1+＝3+≥3+2＝5，当且仅当，也即当a＝b＝时，α+β取最小值5．故选：C．2．（2020春•蚌埠期末）已知x+1＞y＞0，则x++的最小值为（ ） A．﹣1 B． C．2﹣1 D．3﹣1解：根据题意，x++＝+++﹣1＝（+）+（+）﹣1，又x+1＞y＞0，则+≥2＝2，当且仅当x+y+1＝2时等号成立，+≥2＝，当且仅当x﹣y+1＝时等号成立，故x++＝（+）+（+）﹣1≥3﹣1，当且仅当x+1＝，y＝时等号成立．故选：D．3．（2020春•沙坪坝区校级期末）正数m，n满足m+n＝2，则+的最小值为（ ） A． B． C． D．2解：∵正数m，n满足m+n＝2，∴（m+1）+（n+2）＝5，+＝1，∴+＝（+）（+）＝++≥+2＝，当且仅当m＝，n＝时“＝”成立，故选：B．4．（2020春•西安区校级期末）已知0＜x＜1，则的最小值为（ ）A．9 B． C．5 D．解：因为＝+＝（+）（x+1﹣x）＝++．∵0＜x＜1，∴x＞0且1﹣x＞0，，当且仅当，即时，取得最小值2．∴的最小值为．故选：B．5．（2020春•南昌期末）已知a，b＞0，且满足a2+ab＝1，则3a+b的最小值为（ ） A． B． C．2 D．2解：∵a2+ab＝1，∴．即3a+b＝＝．当且仅当a＝时取等号．∴3a+b的最小值为，故选：C．6．（2020春•九龙坡区校级期中）若x，y∈R+，且，则3x+4y的最小值是（ ）A．5 B． C． D．解：∵x，y∈R+，且，∴3x+4y＝＝＝，当且仅当，即时等号成立，故选：A．7．（2019秋•南城县校级期末）已知正数x，y满足x+y＝1，且≥m，则m的最大值为（ ） A． B． C．2 D．4解：根据题意，正数x，y满足x+y＝1，则＝+＝（y+1）+﹣4+（x+1）+﹣4＝（+）﹣5，又由+＝（+）[（x+1）+（y+1）]＝[8++]≥，当且仅当x＝y＝时等号成立，则＝（+）﹣5≥﹣5＝，即的最小值为，若≥m，则m的最大值为；故选：B．8．（2019秋•淮安期末）函数y＝2x+（x＞1）的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8解：因为y＝2x+＝2（x﹣1）++2＝6，当且仅当2（x﹣1）＝即x＝2时取等号，此时取得最小值6．故选：C．9．（2019秋•诸暨市期末）已知a，b＞0，a+b＝1，则的最小值是（ ） A． B． C． D．解：∵a，b＞0，a+b＝1，∴由权方和不等式可得，（，“＝”），故选：A．10．（2020•兖州区模拟）已知正数m，n满足m（n﹣1）＝8n，则m+2n的最小值是（ ） A．18 B．16 C．8 D．10解：∵正数m，n满足m（n﹣1）＝8n，∴．∴m+2n＝≥10+＝18，当且仅当，即m＝12，n＝3时取等号，∴m+2n的最小值为18．故选：A．11．（2020春•宣城期末）已知x＞0，y＞0，2x+y＝2xy，若x+ay的最小值为8，则正实数a的值为（ ）A．2 B． C．3 D．解：因为x＞0，y＞0，2x+y＝2xy，所以＝2，x+ay＝（x+ay）（）×＝（2a+1+）≥（2a+1+2）＝，当且仅当时取等号，由题意可得，＝8，则正实数a＝．故选：D．12．（2020春•如皋市期末）设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（ ）A．有最小值为4 B．有最小值为 C．有最小值为 D．无最小值解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝1，∴b＝1﹣2a＞0，解得0＜a＜．∴＝+＝+﹣2＝（a+1﹣a）（+）﹣2＝3++﹣2≥2+1＝2+1，当且仅当a＝﹣1，b＝3﹣2时取等号．∴有最小值2+1． 故选：B．13．（2020春•浙江期末）实数x，y，x＞﹣1，且满足xy+y＝﹣x+3，则x+y的最小值是（ ）A．1 B． C．2 D．3解：实数x，y，x＞﹣1，且满足xy+y＝﹣x+3，∴3﹣（x+y）＝xy≤，化为：（x+y+6）（x+y﹣2）≥0，∵x＞﹣1，∴y＝＞0，∴x+y+6＝x+1++4≥8．解得x+y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号．∴x+y的最小值是2．故选：C．14．（2020•镇海区校级模拟）若a＞0，b＞0，且，则a2+b2的最小值为（ ）A．2 B． C．4 D．解：∵a＞0，b＞0，且，∴≥2，可得ab≥2．当且仅当a＝b＝时取等号．∴a2+b2≥2ab≥4，当且仅当a＝b＝时取等号．则a2+b2的最小值为4，故选：C．15．（2020春•工农区校级期末）若正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，则的最大值为（ ）A． B． C． D．1解：因为正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，所以x+4y＝xy即＝1，x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+4＝9，当且仅当且＝1，即y＝3，x＝6时取等号，此时x+y取得最小值9，则的最大值为．故选：A．16．（2020春•南关区校级期中）若x＞0，则的最小值为（ ）A． B． C．1 D．解：因为x＞0，则＝＝，当且仅当即x＝1时取等号，故选：D．17．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知实数x，y满足x+y＝1，﹣1＜x＜1，则的最小值为（ ） A． B． C．5 D．2解：由x+y＝1可得x+1+y＝2，则＝（）（x+1+y）×＝（+5），当且仅当且x+y＝1即x＝﹣，y＝时取等号，故选：A．18．（2020春•昌吉市期中）若a＞0，b＞0，a+2b＝3，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9解：∵（）（a+2b）＝（312）≥×（15+2＝9等号成立的条件为，即a＝b＝1时取等，所以的最小值为9．故选：D．19．（2020•滨海新区模拟）已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（ ） A．13 B．11 C．10 D．9解：由＝＝1∵a+b＝1，∴＝（）（a+b）＝5+，当且仅当b＝，a＝时取等号． ∴的最小值为9+1＝10故选：C．20．（2020•和平区二模）已知a，b＞0，，则当取最小值时，的值为（ ） A．2 B． C．3 D．4解：由得，，等号成立时，即b＝2a，此时故选：C．21．（2020春•四川月考）已知实数a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+的最小值为（ ） A． B． C． D．解：因为a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+＝（+）[a+（b﹣1）]×，＝，当且仅当时取等号，故选：A．22．（2020•邯郸模拟）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ） A． B． C． D．解：当m+n＝2时，，因为，当且仅当m+1＝n+2，即时取等号，则，即最小值为．故选：D．23．（2020•济宁模拟）已知实数a，b满足ab＞0，则﹣的最大值为（ ） A．2﹣ B．2+ C．3﹣2 D．3+2解：∵ab＞0，则﹣＝＝＝＝3， 当且仅当时取等号，此时取得最大值为3．故选：C．24．（2019秋•梅河口市校级期末）已知a，b为正数，4a2+b2＝7，则的最大值为（ ） A． B． C． D．2解：因为4a2+b2＝7，则＝＝≤＝2，当且仅当4a2＝1+b2时，取得最大值．故选：D．25．（2019秋•开封期末）已知m＞0，n＞0，，若不等式m+n≥﹣x2+2x+a对已知的m，n及任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A．[8，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，8]解：∵，当且仅当时等号成立，∴﹣x2+2x+a≤9，即a≤x2﹣2x+9＝（x﹣1）2+8，∴a≤8．故选：D．26．（2019秋•楚雄州期末）已知x＞0，y＞0，若不等式恒成立，则正数m的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8解：因为x＞0，y＞0，正数m；∴＝，因为不等式恒成立，所以，即，解得，所以m≥4．故选：B．27．（2020•湖北模拟）若不等式﹣m≥0对x∈（0，）恒成立，则实数m的最大值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10解：根据题意，x∈（0，），则1﹣4x＞0，则＝+＝[4x+（1﹣4x）]（+）＝5++≥5+2×＝9，当且仅当1﹣4x＝2x时等号成立，则的最小值为9，若不等式﹣m≥0对x∈（0，）恒成立，即式≥m恒成立，必有m≤9恒成立， 故实数m的最大值为9；故选：C．28．（2019秋•滨海新区期末）若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（ ）A．4 B． C．2 D．4解：因为x2+xy﹣2＝0，所以＝，所以3x+y＝3x+＝2x+≥4，当且仅当x＝1时等号成立，故选：A．29．（2020春•重庆期末）已知关于x的一元二次不等式kx2﹣x+1＜0的解集为（a，b），则2a+b的最小值是（ ）A．6 B．5+2 C．3+2 D．3解：由（a，b）是不等式kx2﹣x+1＜0的解集，所以a，b是方程kx2﹣x+1＝0的两个实数根， 所以a+b＝，ab＝，且k＞0；所以a+b＝ab，且a＞0，b＞0；即+＝1；所以2a+b＝（2a+b）•（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当b＝a时“＝”成立；所以2a+b的最小值为3+2．故选：C．30．（2020春•襄城区校级月考）若正实数x，y满足4x+y＝xy，且恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A．[﹣1，4] B．（﹣1，4） C．[﹣4，1] D．（﹣4，1）解：因为正实数x，y满足4x+y＝xy，所以，所以x+＝（x+）（）＝2+＝4，当且仅当且，即x＝2，y＝8时取得等号，此时取得最小值4，因为恒成立，所以4＞a2﹣3a，解可得，﹣1＜a＜4．故选：B．31．（2020春•浙江期中）已知正实数x，y，z满足x2+y2+z2＝1，则u＝的最小值是（ ） A．9 B．3 C．4 D．5解：∵正实数x，y，z满足∴x2+y2+z2＝1，∴0＜z＜1，0＜1﹣z＜1，由基本不等式可得，z（1﹣z）＝，当z＝1﹣z即z＝时取等号，∵x2+y2+z2＝1，∴1﹣z2＝x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y＝时取等号，∴＝≥1，∴，则u＝＝4，当且仅当x＝y＝，z＝时取等号，此时取得最小值4．故选：C．32．（2020春•驻马店期末）已知正实数x，y满足x+2y＝2xy．则x+y的最小值为（ ）A．4 B． C． D．解：∵正实数x，y满足x+2y＝2xy，∴＝2，即+＝2，∴x+y＝（）•（+）＝+1++≥+2＝+，当且仅当x2＝2y2时，等号成立，则x+y的最小值为+，故选：D．33．（2020春•渝中区校级期末）已知实数a＞0，b＞0，＝，则a+2b的最小值为（ ） A．2 B．6 C．3 D．3解：令s＝a+1，t＝b+1，则s＞1，t＞1，且＝，∴a+2b＝（s﹣1）+2（t﹣1）＝s+2t﹣3，而s+2t＝2（s+2t）•（）＝2（1+++2）≥2×（3+2）＝2（3+），当且仅当＝，即s＝t时，等号成立．∴s+2t的最小值为2（3+），∴a+2b＝s+2t﹣3≥2（3+）﹣3＝3+4．故选：D．34．（2020春•合肥期末）已知a＞0，b＞0，且不等式≥恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．[﹣4，4] B．（﹣∞，4] C．[﹣4，+∞） D．[﹣3，3]解：因为a＞0，b＞0，且不等式≥恒成立，所以≥m2，即10+≥m2，因为10+＝16，当且仅当即a＝b时取等号，m2≤16，所以﹣4≤m≤4．故选：A．35．（2020春•丽水期末）已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1，则的最小值为（ ） A． B．+ C．3+2 D．2解：因为实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1，所以x＞1﹣x＞0，解可得1＞x＞＞y＞0，则＝＝，＝（）[（3﹣2x）+（2x﹣1）]，＝[3+]＝，当且仅当＝时取等号，故选：B．36．（2020春•路南区校级月考）若a，b为大于1的实数，且满足a+b＝ab，则的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8解：若a，b为大于1的实数，且满足a+b＝ab，所以（a﹣1）（b﹣1）＝1，即，故＝4（b﹣1）+（a﹣1）＝4b+a﹣5，同时a，b为大于1的实数，且满足a+b＝ab，整理得．所以4a+b＝＝4+，（当且仅当a＝2b时，等号成立） 故4b+a﹣5的最小值为9﹣5＝4．故选：B．37．（2020•浙江模拟）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（ ）A． B． C．﹣2 D．2解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，∴＝（a﹣）2+，由柯西不等式得，[（a﹣）2+][22+（）2]≥[2（a﹣）+b•]2＝|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有＝，∴a＝b，c＝10b2，∴＝﹣+＝（）2﹣＝（）2﹣2，当b＝时，取得最小值为﹣2． 故选：C．38．（2019秋•越城区校级期末）已知x，y都是正实数，则+的最大值为（ ） A． B． C． D．解：因为x，y都是正实数，则+＝＝1+＝1+≤．当y＝2x时取等号，∴+的最大值为．故选：B．39．（2020春•湖北期末）若x＞0，y＞0，且＝1，则2x+y的最小值为（ ） A．2 B．2 C． D．4+2解：（法一）＝1可变形为，所以2x+y＝（4x+2y）＝[（3x+3）+（x+2y）]﹣＝[（3x+3）+（x+2y）]（）﹣＝[4+]﹣≥﹣＝，当且仅当x+2y＝3x+3即x＝，y＝时取等号，（法二）原式可得y＝，则2x+y＝2x+＝≥2+＝+， 当且仅当，即x＝时取“＝”故选：C．40．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为 4．解：a＞0，b＞0，且ab＝1，则++＝+＝+≥2＝4，当且仅当＝，即a＝2+，b＝2﹣或a＝2﹣，b＝2+取等号，故答案为：4。
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
均值不等式【高考题】
利用一、求最值之杨若古兰创作直接求 例1、若x,y 是负数，则(x +1)2+(y +1)2的最小值是【】2y LXA.3B.7C .4D .922例2、设X ,”R ,a >1,b >1,若a x -b y -3,a +b =23,则1+1的最大值为【】xyA.2B.3C.1D.122练习1.若x >0，则x +2的最小值为.x练习2.设x ,y 为负数,则(x +y )(1+4)的最小值为【】xyA.6B.9C.12D 15练习3.若a >0,b >0,且函数f (x )-4x 3一ax 2-2bx +2在x -1处有极值，则ab 的最大值等于【】A.2B.3C.6D.9练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，贝1J x -吨. 练习5.求以下函数的值域：（a +b ）2的最小值是【】cd A.0B.4C.2D.1 例3、已知a>0,b >0,c >0且a +b +c —1,则（1一1）（1一1）（1一1）最小值为【】abcA.5B.6C.7D.8凑系数例4、若x ,y e R +，且x +4y -1，则x .y 的最大值是. 练习1.已知x ,y E R +，且满足x +y =1，则孙的最大值为. 34练习2.当0<x <4时，求y -x (8-2x )的最大值.凑项例5、若函数f (x )-x +1(x >2)在x -a 处取最小值，则a -【】x -2⑴y-3x 2+2：2⑵ 练习6.已知x >0,y >0, 1 y -x + x x ,a ,b ,y 成等差数列，x , d ,y 成等比数列，则A-1+2B-1+3C-3D-4练习1.已知x <5，求函数尸4，一2+，的最大值.44%—5 练习2.函数，+%(%>3)的最小值为【】%—3A.2B.3C.4D.5练习3.函数2%2+3(%>0)的最小值为【】% A-艰BYCWD-微 两次用不等式例6、已知抽a +log b >1，贝I3a +9b 的最小值为 22例7、已知a >0,b >0，则1+1+2%a 的最小值是【】ab A-2B-2R C-4D-5例8、设a >b >c >0，则2a 2+L -10ac +25c 2的最小值是【aba (a -b ) A-2B-4C-2V 5D-5练习1.设a >b >0，A-1B-2C-3D-4 练习2.设a >b >0，则a 2+1的最小值是【】b (a —b )A-2B-3C-4D-5练习3.设a >b >0，则a +1的最小值是【】 十b (2a -b )A-33/2B-3<3C-232D-33/4222 练习4.设a >2b >0，则(a -b )2+9的最小值是-b (a-2b ) 换元例9、若%2+y 2二4,则％-y 的最大值是-练习1.设a ,b G R ,a 2+2b 2=6,则a +b 的最小值是【】 A--22B--52C--3D--732 例10、设%,y 是实数，且%2+y 2=4,则S =2%y 的最小值是【】%+y -2A --2B--、2C-2-2k D-2(<2+1)练习1.若%2+y2T 盯则最大值是%y —±,%+y -1 练习2.若0<a <1,0<%<y <1,且(log x )(log y )二1则冲【】aa 消元例11、设x ,y ,z 为正实数，满足%.2y +3z =0，则竺的最小值是. xz练习1.已知实数a ,b ,c 〉0满足a +b +c =9,ab +b c +ca=24,，则b 的取值范围为 两次用 11 a 2+—+j aba (a —b ) 的最小值是【例12、已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上z的最小值是【】2xyzA.3B.3a+；")C.4D.2(v2+1)练习1.已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上的最小值是【】2xyz2A.3B.9C.4D.2c2练习2.已知x,y,z均为负数，则盯+y z的最大值是【】x2+y2+z2A.q初C.2,/2D.2V3练习3.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则尤xy+yz的最大值是全体代换例13、已知〃>0,b>0,a+b=2，贝y=1+4的最小值是【】abA.7B.4C.9D.5例14、函数y=a-(a>0,a01)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则I—+—的最小值为.mn例15、设a>0,b>0,若4万是3a与3b的等比中项，则1+1的最小值为abA.8B.4C.1D.14、例16、已知a,b,c都是正实数，且满足log(9a+b)=log abb，则使4a+b>c恒成93立的c的取值范围是A.[4,2)B.[0,22)C.[2,23)D.(0,25]练习1.函数klogG+3)」(〃>0且a=1)的图象恒过定点A，若点A在直线a mx+ny+1=0上，其中mn>0,则1+2的最小值为.mn练习2.若x,y e R+,且2x+y=1，则L1的最小值为.xy练习3.已知x>0,y>0，且1+9=1，求x+y的最小值.xy练习4.若x,y e R+且2x+y=1，求11的最小值.+xy练习5.已知a,b,x,y e R+且ab［，求x+y的最小值.+=1xy练习6.已知x>1,x>1,xx2=1000,则上+▲的最小值等于【I1212lg x lg x12A.4B,4<6C,7+2、落D.7—261-33练习7.若0<x<1,a,b为常数，则竺+上的最小值是x 1一x练习8.已知a >b >也,+'>与恒成立，则m 的取值范围是a -bb -ca 一c 练习9.a ,b e(0,+8),a +3b =1,则+_L 最小值为aa33b分离法【分式】例17、已知t >0，则函数y ='2一4t +1的最小值为.t例18、已知x >5,则f (x )=x 2一4x +5有【】 22x -4A.£大值58.最小值50最大值1口.最小值1 练习1.求y =x 2+7x +10(x >_1)的值域.x +1练习2.若x >1,则函数y =x +1+上的最小值为.'xx 2+1放缩法——解不等式例19、设x ,y 为实数，若4x 2+y 2+町=1,则2x +y 的最大值 是.例20已知2+1=2(x >0,y >0)，则xy 的最小值是.xy 例21、若a 是1+2b 与1_2b 的等比中项，则2ab 的最大值为【】a +2bA.空B.,翔C.V5D.\；215丁"5"万 练习1.若实数x ,y 满足x 2+y 2+町=1，则x +y 的最大值是. 练习2.若正实数X ,Y 满足2X +Y +6=XY ,则XY 的最小值是 练习3.已知x >0,y >0,x +2y +2町=8,则X +2y 的最小值是【】A.3B.4C.£D.q练习4.已知a >0,b >0,ab -（a +b ）=1，求a +b 的最小值.练习5：已知5+2=2（X >0,y >0）恒成立，则xy 的最小值是. Xy 练习6.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值. 练习7.若实数X ,y 满足4X +4y =2X +1+2y +1则t=2X +2y 的取值范围是 取平方例22、若a ,b ,c >0且a 2+2ab +2ac +4bc =12，则a +b +c 的最小值是【】A.2x /3B .3C .2D .<3练习1.若a ,b ,c>0且a （a+b+c ）+bc =4-2a ，则2a +b +c 的最小值为【】A -<3-1B .\；3+1C .2七3+2D.2,；3-2练习2.已知X ,y 为正实数，3X +2y =10，求函数w =3X +2y 的最值.取平方+解不等式 例23、已知a>0,b>0,c >0且a +b+c =1,则a 2+b 2+c 2最小值为【】A.1B.1C.1D.1结合2单3调性4——5与函数例24、若a ,b e R +,a +b=1,则ab+-1的最小值为【】abA.41B.41C.°1D,2 44224-练习1,求函数丫_%2+5的值域. y _E练习2.求以下函数的最小值，并求取得最小值时工的值. ⑴y _X 2+3X +1,（X >0）（2）y _2X +—,X >3X X -3（3）y _2sin X +—i —,X e （0,兀）sin X练习3.已知0<%<1,求函数y =\X E ）的最大值. 练习4.0<X <2,求函数y _.X 2F 的最大值.3 练习5.设a ,b e R +且2a+b_1,S_2ab-4a 2-b 2的最大值是【】A.2-1B.2-1C.2+1D.2+122例25、已知0+b_1，则a 4+b 4的最小值是【】A.1B.£C.1D.1练习1.若实数a ,b ,c 满足2a +2b =2a +b ,2a +2b +2c =2a +b +c ,则c 的最大值是 用另一个公式例26、函数、3+4=7的最大值为.练习1.已知a ,b G R+,a 2+吃=1,，则a 、瓦的最大值是【】2 A.1B.1C.32D.三212例27、已知a 〉0,b >0,c >0且a+b+c =1,则工+_!+_!最小值为【】a 2b 2c 2A.12B.11C.21D.27直接取值【讨论】例28、a 2+b 2-1,b 2+c 2-2,c 2+a 2=2,则ab +bc +ca 的最小值【】A.右一1B.1_、,3C.-1_,运D.1+；32222利用二、恒成立成绩例1、若a ,b e R ，且ab>0，则以下不等式中，恒成立的是【】 A,a 2+b 2>2ab B-a +b>2、/abC 112ba 、C*-+->^=D--+->2ababbab 例2、设a ,b ,c 是互不相等的负数， A*|a -b 1<1a -c 1+1b -c I B,a 2+—>a +1a 2a0*I a -b I +>2D *a+3-a+1<a+2-aa -b例3、设a >0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是【••••a 2+b 2+2>2a +2b *I a —b I >a —例4、已知不等式a+y )(i+a )>9对任意正实数羽》恒成立，则正实数a xy的最小值为【】 A.8B.6C.4D.2例5、若直线x +y =1通过点M (cos a ,sin 。
经典均值不等式练习题
均值不等式均值不等式又名基本不等式、 均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一, 在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件 定、等）。
2 2 1. ⑴若a,b R ，则a 2 b 2 _ 2ab ⑵若a,b R ，则ab 空 ~— （当且仅当_ 2时取“=”）* a + b ________________ *2. ⑴若a,b • R ，则ab ⑵若a,b • R ，则a • b _ 2•• ab （当且仅当2时取“=”）（3）若a,b • R *，则ab 空 a b（当且仅当a =b 时取“=”）飞2丿2 I — a + b则 ab <1丄 2 a b时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均 数）技巧1：凑项例 已知X ：：： ◎，求函数y =4x _2- 的最大值。
44x —5技巧2 :分离配凑2x + 7x +10例求y（x • T ）的值域x +1技巧3:利用函数单调性2x +5例 求函数y的值域Jx 2 +43.均值不等式链：若a 、b 都是正数,a 2b 2当且仅当（正、a = ba = ba 二基本技巧技巧4:整体代换例1 9已知x . 0, y 0，且1，求x y的最小值。
x y典型例题1. 若正实数X, Y满足2X+Y+6=XY ,则XY的最小值是 _____________2. 已知x>0,y >0, x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd是（）A.0B.1C.2D. 43. 若不等式x2+ax+4>0对一切x€ （0,1]恒成立，则a的取值范围为（）A. b,]B. ]C. !-5, ■ ■- iD. 1-4,4]4. 若直线2ax +by-2=0 （a, b €氏）平分圆x2+y2-2 x-4 y-6=0，则2+丄的最小值a b是（）A.1B.5C.4 2D.3+2 25. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,贝U x+2y 的最小值是6. 已知x, y = R，且满足——=1，则xy的最大值为___________ .___3 47. 设a 0,b 0.若是3a与3b的等比中项，贝V -，丄的最小值为（）a b1A 8B 4C 1D -48. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）24 28A. B. C.5 D.65 59. 若a 0,b 0, a ^2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）•③ a2 b2 _2 ；④ a3b3 _3 ；⑤ 11_2a b10.设a>b>0 ,则a21+——+ab1---- 的最小值是( a a「b(A) 1 (B) 211.下列命题中正确的是1A、y =x •-的最小值是x (0 (D) 4、y -—x 3-的最小值是2y =2—3X—4(X 0)的最大值是2-4.3x值是 2 一4、..3x224D、y = 2 -3x (x - 0)的最小x12.若x 2y =1，则2x4y的最小值是。
均值不等式 含答案(训练习题)
课时作业15 均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy ，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94.4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋nax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”． 2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值 【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】 D【解析】 方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12， 又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14， ∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大．4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大B.a ＋b2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab又∵a ＋b 2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b 2. 7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112【答案】 B【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2(x ＋1)·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】 ≥【解析】 x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min 对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y 2)2， 当且仅当x ＝y 时取“＝”． ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. ∴[(x ＋y )＋2]2≥12. ∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥12.∴x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． 故x ＋y 的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． ∴(xy )2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3. 又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n (n －1)2×4] ＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为yn ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元． 【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．。
均值不等式练习题
均值不等式练习题1. 练习题一已知非零实数a、b满足ab<0，证明(a+b)/2 > √ab.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。
首先，根据均值不等式，我们知道对于任意两个正数x和y，有(x + y)/2 ≥ √xy.因此，我们可以推导出(a + b)/2 > √ab.首先，根据已知条件ab < 0，我们可以得出a和b有不同的符号。
假设a>0，b<0，那么我们可以得到√ab = √(a*(-b)) = √(a * -1 * (-b)) = √(a * 1 * b) = √(ab) < 0.另一方面，由于a>0，b<0，所以(a + b)/2 = (a + b)/2 > a/2 + b/2 > √ab + √ab = 2√ab > √ab.综上所述，我们证明了(a + b)/2 > √ab.2. 练习题二已知非零实数a、b、c满足abc = 1，证明a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。
首先，根据均值不等式，我们知道对于任意三个正数x、y、z，有(x/y + y/z + z/x)/3 ≥ (x + y + z)/(x + y + z)，即(x/y + y/z + z/x) ≥ (x + y + z).因此，我们可以推导出(a/b + b/c + c/a)/3 ≥ (a + b + c)/(a + b + c)，即(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).首先，根据已知条件abc = 1，我们可以得到a、b、c有不同的符号。
假设a>0，b<0，c>0，那么我们可以得到b/c < 0，c/a > 0，那么a/b +b/c + c/a = a/b + (b/c) + (c/a) > a/√(bc) + (-1) + √(bc)/a = (a^2 - bc)/a√(bc) = (a^2 - 1)/a√(bc) = (a - 1/a)/√(bc).另一方面，由于abc = 1，我们知道√(bc) = 1/√a，所以(a - 1/a)/√(bc)= (a - 1/a)√a = (a^2 - 1)/a ≥ a + b + c.综上所述，我们证明了(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).3. 练习题三已知非零实数a、b满足a+b = 2，证明a^2b^2(a^2+b^2) ≤ 2.解：我们将通过变量替换的方法来证明这个不等式。
完整版均值不等式练习题.docx
均值不等式一、 知识点：二、习题讲解：例1：（1）求y =x +1x (x >0)的最小值（2）求y =x +1x (x ≥2)的最小值（3）已知2>x ，求21-+=x x y 的最小值变式训练：1. 已知0>x ，求xx y 42--=的最大值2.当1->x 时，求()11++=x x x f 的最小值3.已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值4.已知R c b a ∈、、，求证：ac bc ab c b a ++≥++2225.423(0)y x x x =-->的最大值是2-6. 12,33y x x x =+>-7.12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈例2：（1）已知210<<x ，求()x x y 2121-=的最大值（2）已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1b bβ=+，求αβ+的最小值变式训练： 1.已知310<<x ，求函数()x x y 31-=的最大值 2.当时，求(82)y x x =-的最大值。
3.设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
4.已知01x <<，求函数y =.；5.203x <<，求函数y =6.若21x y +=，则24xy+的最小值是______7.已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。
例3：求函数()11332->+++=x x x x y 的最小值变式训练：1.231,(0)x x y x x ++=>2.设⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为3. 已知25≥x ，则()42542-+-=x x x x f 的最小值4. 2y =的最小值是5.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
均值不等式及其应用练习题含答案
均值不等式及其应用练习题（1）1. 如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1，并且通过点A(−1, 7)，则()A.a=2，b=4B.a=2，b=−4C.a=−2，b=4D.a=−2，b=−42. 在下列函数中，最小值是2的是()A.y=x2+2xB.y=√x2+2√x2+2C.y=7x+7−xD.y=x2+8x(x>0)3. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√34. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC= b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为( )A.a+b2≥√ab(a>0, b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0)C.√ab≥21a +1b(a>0, b>0) D.a2+b22≥a+b2(a≥0, b>0)5. 若0<x<y<1，则下列结论正确的是（）A. B.e x>e x−y C.x n<y n，n∈N∗ D.log x y>log y x6. 下列函数中，最小值是2的是（ ） A.y =a 2−2a+2a−1(a >1) B.y =√x 2+2√x 2+2C.y =x 2+1x2D.y =x2+2x7. 若2x +4y =4，则x +2y 的最大值是________．8. 已知x ，y 均为正实数，且满足1x+1y +3xy=1，则x +y 的最小值为________．9. 定义max {a,b}={a(a ≥b)b(a <b)，已知实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，设z =max {x +y, 2x −y}，则z 的取值范围是________．10. 若实数a >b ，则下列不等式正确的是________.(填序号) (1)a +c >b +c ；(2)ac <bc ；(3)1a<1b ；(4)a 2>b 2.11. 已知函数f(x)＝−2x 2+7x −3． （1）求不等式f(x)>0的解集；（2）当x ∈(0, +∞)时，求函数y =f(x)x的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系式为y =−x 2+18x −25(x ∈N ∗)．则当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，并求最大值．13. 设函数y ＝ax 2+bx +3(a ≠0)．（1）若不等式ax 2+bx +3>0的解集为(−1, 3)，求a ，b 的值；（2）若a +b ＝1，a >0，b >0，求1a +4b 的最小值．参考答案与试题解析均值不等式及其应用练习题（1）一、选择题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）1.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】由对称轴是x=1可得b2a=−1，又因为图象过点A(−1, 7)，代入解析式得a−b=6，从而解得结果．【解答】解：∵对称轴是x=1，∴b2a=−1.∵图象过点A(−1, 7)，∴a−b=6，∴a=2，b=−4.故选B．2.【答案】C【考点】基本不等式【解析】由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．【解答】解：A，x的正负不确定.当x>0时，y的最小值为2，故错误；B，当取等号时x2+2=1，即x2=−1，不存在实数x满足，故错误；C，y=7x+7−x≥2√7x⋅7−x=2，当且仅当7x=7−x，即x=0时取等号，故正确．D，y=x2+8x (x>0)≥2√x2⋅8x=4√2x，积不是定值，故错误.故选C.3.【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.二、多选题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）4.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得：CD2=AC⋅BC，因为OD≥CD，所以a+b2≥√ab(a>0, b>0)．由于CD2=DE⋅OD，所以DE=CD 2OD =aba+b2，所以由CD≥DE，整理得：√ab≥2aba+b =21a+1b(a>0, b>0)．故选AC.5.【答案】A,B,C【考点】利用不等式比较两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．【解答】解：对于A，y=a 2−2a+2a−1=(a−1)2+1a−1=(a−1)+1a+1≥2√(a−1)⋅1a−1=2，当且仅当a−1=1a−1，即a=2时取等号，故A正确；对于B，y=√x2+2√x2+2≥2，当且仅当√x2+2=√x2+2，即x2=−1时取等号，显然不成立，故B错误；对于C，y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，故C正确；对于D，当x<0时，无最小值，故D错误．故选AC.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）7.【答案】2【考点】基本不等式及其应用【解析】由基本不等式可得4＝2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y，即可求解．【解答】解：由基本不等式可得，4=2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y，当且仅当x=2y且2x+4y=4，即y=12，x=1时取等号，∴2x+2y≤4，∴x+2y≤2.则x+2y最大值是2．故答案为：2.8.【答案】6【考点】基本不等式及其应用【解析】由1x +1y+3xy=1可得xy＝x+y+3，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由1x +1y+3xy=1可得xy＝x+y+(3)又因为xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2≥x+y+3，，即(x+y)2−4(x+y)−12≥0，即(x+y−6)(x+y+2)≥0，所以x+y≤−2或x+y≥(6)又因为x，y均为正实数，所以x+y≥6（当且仅当x＝y＝3时，等号成立），即x+y 的最小值为（6）9.【答案】[3√55, √5]不等式比较两数大小【解析】直线为AB将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，如图，令z1=x+ y，点(x, y)在在半圆ACB上及其内部；令z2=2x−y，点(x, y)在四边在半圆ADB上及其内部（除AB边）求得，将这两个范围取并集，即为所求．【解答】解：(x+y)−(2x−y)=−x+2y，设方程−x+2y=0对应的直线为AB，∴Z={x+y,(−x+2y≥0)2x−y,(−x+2y<0)，直线为AB将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，令z1=x+y，点(x, y)在半圆ACB上及其内部，如图求得−3√55≤z1≤√2；令z2=2x−y，点(x, y)在半圆ADB上及其内部（除AB边），求得−3√55≤z2≤√5．如图综上可知，z的取值范围为[−3√55, √5]；故答案为：[−3√55, √5]10.【答案】(1)不等式的基本性质【解析】由不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：已知a>b，则a+c>b+c，(1)正确；当c≥0时，(2)显然不正确；当a，b满足其中一个为0时，(3)显然无意义；取a=1，b=−2可知a2<b2，(4)不正确．故答案为：(1).四、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）11.【答案】由题意得−2x2+7x−3>0，因为方程−2x2+7x−3＝0有两个不等实根x1=12，x2＝3，又二次函数f(x)＝−2x2+7x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|12<x<3}．由题意知，y=f(x)x =−2x2+7x−3x=−2x−3x+7，因为x>0，所以y=−2x−3x +7=7−(2x+3x)≤7−2√6，当且仅当2x=3x ，即x=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√62时，y取得最大值为7−2√6．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）结合二次方程与二次不等式的关系及二次不等式的求法即可求解，（2）先进行分离，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由题意得−2x2+7x−3>0，因为方程−2x2+7x−3＝0有两个不等实根x1=12，x2＝3，又二次函数f(x)＝−2x2+7x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|12<x<3}．由题意知，y=f(x)x =−2x2+7x−3x=−2x−3x+7，因为x>0，所以y=−2x−3x +7=7−(2x+3x)≤7−2√6，当且仅当2x=3x ，即x=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当x =√62时，y 取得最大值为7−2√6．12. 【答案】解：根据题意，年平均利润为yx =−x −25x+18，∵ x >0，∴ x +25x≥2√x ×25x=10，当且仅当x =5时，等号成立， ∴ 当x ＝5时，年平均利润最大， 最大值为：−10+18=8(万元). 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】确定年平均利润函数，利用基本不等式求函数的最值，即可得到结论． 【解答】解：根据题意，年平均利润为yx =−x −25x+18，∵ x >0，∴ x +25x≥2√x ×25x=10，当且仅当x =5时，等号成立， ∴ 当x ＝5时，年平均利润最大， 最大值为：−10+18=8(万元). 13.【答案】由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根， 故{−ba =23a=−3 ，解可得，a ＝−1，b ＝2， a +b ＝1，a >0，b >0， ∴ 1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当ba =4ab且a +b ＝1即a =13，b =23时取等号，此时取得最小值9． 【考点】基本不等式及其应用 【解析】（1）由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，结合方程根与系数关系可求；（2）由已知可得1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b，然后利用基本不等式即可求解．【解答】由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，故{−ba =23a =−3，解可得，a ＝−1，b ＝2， a +b ＝1，a >0，b >0， ∴ 1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当ba =4a b且a +b ＝1即a =13，b =23时取等号，此时取得最小值9．。
均值不等式练习题
均值不等式一、 知识点：二、习题讲解：例１：（1）求的最小值(2）求的最小值(3）已知2>x ,求21-+=x x y 的最小值变式训练：1. 已知0>x ,求x x y 42--=的最大值2.当1->x 时，求()11++=x x x f 的最小值3.已知45<x ,求函数54124-+-=x x y 的最大值4.已知R c b a ∈、、，求证：ac bc ab c b a ++≥++2225.423(0)y x x x =-->的最大值是243-６． 12,33yx x x =+>- 7．12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈例2：（1)已知210<<x ,求()x x y 2121-=的最大值(2)已知：a 、b 都是正数,且1a b +=,1a a α=+，1b b β=+，求αβ+的最小值变式训练：1.已知310<<x ,求函数()x x y 31-=的最大值２.当时,求(82)y x x =-的最大值。
３.设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值。
4．已知01x <<,求函数(1)y x x =-；5.203x <<,求函数(23)y x x =-6．若21x y +=,则24x y +的最小值是_＿_＿＿＿7.已知,x y R +∈,且满足134x y +=,则ｘｙ的最大值为 ＿___＿＿__。
例3：求函数()11332->+++=x x x x y 的最小值变式训练:１.231,(0)x x y x x ++=>2．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ,则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为3. 已知25≥x ，则()42542-+-=x x x x f 的最小值4.2y =的最小值是5.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
均值不等式练习题
均值不等式练习题
1.在下列函数中，当0x >时，最小值为4的是（ ）
A.4y x
x
=+ B.1lg lg y x x =+ C.y = D.223y x x =-+ 2.若0>x ，则x
x 2+的最小值为 3.建造一个容积为18 m 3，深为2 m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价分
别为200元和150元，那么水池的最低造价为________元．
4.长为24 cm 的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为________．
5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_____;费用最小值为_____
6.已知0,0>>b a ，且14=+b a ，求ab 的最大值；
7.用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
8.当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1x+1的最小值.
9.用篱笆围成一个面积为64的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆长是多少？。
完整版)均值不等式测试题(含详解)
完整版)均值不等式测试题(含详解)解析：将不等式化简为x2-x+1/4+1/4≥1，即(x-1/2)2≥3/4，当x≤1/2-√3/2或x≥1/2+√3/2时，不等式成立，选项B符合条件。
3．C解析：2x+8y=2(x+4y)，由于x+3y-1=0，所以2x+8y=2(x+4y)=(x+3y-1)+5y+1≥2√15，故最小值为2√15，选项C符合条件。
4．B解析：根据柯西-施瓦茨不等式，有|(mx+ny)|≤√(m2+n2)(x2+y2)，代入已知条件得到|(mx+ny)|≤√3，故mx+ny的最大值为3，选项B符合条件。
5．B解析：将选项B化简为(a-b)2(a2+b2+ab)≥0，显然成立，其他选项均不成立。
6．A解析：将选项A化简为(x+1/x+2)2≥4，即(x2+1+2x/x)2≥4，由于x>0，故(x2+1+2x/x)2≥(2(x2+1))/x≥4，故选项A成立。
7．A解析：将2a+b+c表示为a+(a+b+c)，代入已知条件得到a(a+b+c)+bc=4-2(a+b+c)，化简得到(a+b+c-2)2=4-23，故a+b+c的最小值为3-1，选项A符合条件。
填空题：8．最大值为2，当x=1时取得。
9．最小值为2，当x=2时取得。
10．最小值为2，当x=1时取得。
11．最大值为4，当x=2时取得。
解答题：12．由于点A在直线mx+ny+1=0上，所以loga(3)-1=-(mx+ny)/a，化简得到mx+ny=-a(loga(3)-1)，代入mn>0得到a>1/3，且mn=a2>0，故m=n=a/√2，所以m+n=√2a，最小值为2√2.13．设购买次数为n，则每次购买x=400/n吨，总运费为4n万元，总存储费用为4x=1600/n万元，总花费为4n+1600/n，根据均值不等式，有4n+1600/n≥2√(4n×1600/n)=80，即n≥4，故购买次数至少为4，每次购买100吨。
(完整版)均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题一、选择题1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ）Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值224．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）Ａ．（a+b ）(ba 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥-6．下列结论正确的是（ ）A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（ ）A ．13-B ．13+C ．223+D ．223-二．填空题：8．设x>0，则函数y=2－x4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。
10．函数y=142-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________． 11．函数f(x)=242+x x (x ≠0)的最大值是 ；此时的x 值为 _______________．三．解答题：12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n m 11+的最小值为。
经典均值不等式练习题
均值不等式 【2 】均值不等式别名根本不等式.均值定理.主要不等式.是求规模问题最有利的对象之一,在情势上均值不等式比较简略,但是其变化多样.应用灵巧.尤其要留意它的应用前提（正.定.等）.1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数,则2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+,当且仅当b a =时等号成立. （注：以上四个式子分别为：折衷平均数.几何平均数.代数平均数.加权（平方）平均数）一、 根本技能技能1：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值. 技能2：分别配凑例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技能3：应用函数单调性例求函数2y =的值域.技能4：整体代换例 已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值. 典范例题1. 若正实数X,Y 知足2X+Y+6=XY , 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0,1］恒成立,则a 的取值规模为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）等分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0,则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0,x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是.6. 已知,x y R +∈,且知足134x y +=,则xy 的最大值为.7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 148. 若正数x ,y 知足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切知足前提的,a b 恒成立的是(写出所有准确命题的编号)．①1ab ≤; ②≤; ③ 222a b +≥; ④333a b +≥; ⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞,则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中准确的是 A.1y xx =+的最小值是2B.2y =的最小值是2C.423(0)y x x x =-->的最大值是2-D.423(0)y x x x=-->的最小值是2-12. 若21x y +=,则24x y +的最小值是______。
均值不等式练习题解析版
均值不等式练习题班级_______姓名____________1. 已知x,y∈R+，xy=2x+y，则x+y取得最小值时，x=．2. 若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是_______________①1ab ≤14②1a+1b≤1③√ab≥2③a2+b2≥83. 下列结论正确的是______________①若a,b∈R，则ba +ab≥2②若x<0，则x+4x ≥−2√x⋅4x=−4③若ab≠0，则b2a +a2b≥a+b④若x<0，则2x+2−x>24. “a>0，b>0”是“ab<(a+b2)2”的条件5. “x+1x>2”是“x>1”的条件6. 设a>1，b>1且ab−(a+b)=1，下列结论正确的是_______________①a+b有最小值2+2√2②a+b有最大值2+2√2③ab有最大值√2+1④ab有最小值2+2√27. 设m∈R且m≠0，“不等式m+4m>4”成立的一个必要不充分条件是( )①m≠2②m>0且m≠2③m>2④m≥28. 设直线x=t(t>0)与曲线y=x2+2和x轴分别交于A，B两点，C(t+1t,2)，则△ABC面积的最小值为．9. 若不等式(x+y)(ax +4y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为．10. 已知a>0，b>0，若a+b=4，则a2+b2的最小值为．11. 已知x>0，y>0，且x+2y=2，那么xy的最大值是．12. 已知x>54，则函数y=4x+14x−5的最小值为．13. 已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设没有出租的房子不需要花这些费用），则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为元．14. 已知0<x<1，当x=_______时，√x(1−x)的值最大．15. 已知x>−1，求x+4x+1的值最小值.16. 设a，b，c∈R，求证：b+ca +c+ab+a+bc≥6．17. 设ab≠0，利用基本不等式有如下证明：ba +ab=b2+a2ab≥2abab=2．试判断这个证明过程是否正确．若正确，请说明每一步的依据；若不正确，请说明理由．18. 某工厂有一面长14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房．工程条件是：①修1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用是a4元；③用拆去1m旧墙所得的材料建1m新墙的费用为a2元．经过讨论有两种方案（设利用旧墙的矩形厂房的一面边长为x m）：方案1：利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长(x<14)：方案2：利用旧墙为矩形厂房的一面边长(x≥14)．则如何利用旧墙，即x为多少时建墙费用最省?答案1. √2+12. ④【解析】4=a +b ≥2√ab （当且仅当 a =b 时，等号成立），即 √ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项①，③不成立；1a +1b =a+b ab=4ab ≥1，选项②不成立；a 2+b 2=(a +b )2−2ab =16−2ab ≥8，选项④成立．3. ④ 【解析】对于①，当 ab <0 时不成立； 对于②，若 x <0，则 x +4x =−(−x +4−x)≤−2√(−x )⋅4−x =−4，当且仅当 x =−2 时，等号成立，因此②选项不成立；对于③，取 a =−1，b =−2，b 2a +a 2b=−92<a +b =−3，所以③选项不成立；对于④，若 x <0，则 2x +2−x >2 成立． 4. 既不充分也不必要【解析】当 a >0，b >0 时，a+b 2≥√ab ，即 ab ≤(a+b 2)2，当 a =b 时，ab <(a+b 2)2 不成立，故“a >0，b >0”不是“ab <(a+b 2)2”的充分条件．当 ab <(a+b 2)2 时，a ，b 可以异号，故 a >0，b >0 不一定成立，故“a >0，b >0”不是“ab <(a+b 2)2”的必要条件．故“a >0，b >0”是“ab <(a+b 2)2”的既不充分也不必要条件．5. 必要而不充分6. ① 【解析】因为 a >1，b >1 且 ab −(a +b )=1，所以 1+a +b =ab ≤(a+b 2)2，则 (a +b )2−4(a +b )−4≥0，得 a +b ≥2+2√2 或 a +b ≤−2√2+2（舍去），当且仅当 a =b =1+√2 时等号成立．因为 a +b =ab −1≥2+2√2，所以 ab ≥3+2√2，当且仅当 a =b 时等号成立． 7. ①8. √2．【解析】由 {x =t,y =x 2+2可得 A (t,t 2+2)，所以 ∣AB∣=t 2+2，则 △ABC 的面积S=12×∣∣t +1t−t ∣∣×(t 2+2)=12×t 2+2t =12(t +2t )≥12×2√t ×2t=√2,当且仅当 t =2t ，即 t =√2 时等号成立，所以 △ABC 面积的最小值为 √2．9. 4【解析】因为不等式 (x +y )(a x +4y)≥16 对任意正实数 x ，y 恒成立，所以 16≤[(x +y )(ax +4y )]min，令 f (x )=(x +y )(ax +4y )(a >0)，则f (x )=a +4+ay x+4x y ≥a +4+2√ayx ⋅4x y=a +4+4√a,当且仅当 xy =√a2时取等号， 所以 a +4√a ++4≥16，解得 a ≥4， 因此正实数 a 的最小值为 4． 10. 8 11. 12【解析】因为 x >0，y >0，且 x +2y =2， 所以 xy =12x ⋅2y ≤12×(x+2y 2)2=12×(1)2=12，当且仅当 x =2y =1，即 x =1，y =12 时，取等号，故 xy 的最大值是 12． 12. 7【解析】因为 x >54，所以 4x −5>0．y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7． 当且仅当 4x −5=14x−5，即 x =32时等号成立．法二：因为 x >54，令 yʹ=4−4(4x−5)2=0，得 x =1 或 x =32，当 54<x <32 时，yʹ<0，函数单调递减； 当 x >32 时，yʹ>0，函数单调递增．所以当 x =32时函数取得最大值为：4×32+14×32−5=7．13. 3300【解析】设利润为 y 元，租金定为 3000+50x (0≤x ≤70,x ∈N ) 元．则 y =(3000+50x )(70−x )−100(70−x )=(2900+50x )(70−x )=50(58+x )(70−x )≤50(58+x+70−x 2)2，当且仅当 58+x =70−x ，即 x =6 时，等号成立，故每月租金定为 3000+300=3300（元）时，公司得最大利润．14. 0<x <1⇒√x >0，√1−x >0⇒√x ⋅√1−x ≤x+(1−x )2=12，即 √x (1−x )≤12（当且仅当 x =1−x ，即 x =12时，等号成立）， 所以当 x =12 时，√x (1−x ) 的最大值为 12． 第三部分 15.x >−1⇒x +1>0⇒x +4x +1=(x +1)+4x +1−1≥2√(x +1)⋅4x +1−1=3(当且仅当x +1=4x +1,即x =1时,等号成立⇒当x =1时,x +4x +1的最小值为3.16. ba +ab≥2c b +bc ≥2a c +ca ≥2} ⇒b+c a +c+ab +a+bc ≥6（当且仅当 a =b =c 时，等号成立）．17. 这个证明过程不正确．过程中b 2+a 2ab≥2ab ab这一步不成立，这是因为 ab 的正负没有确定．18. 设利用旧墙的矩形厂房的一面边长为 x m ，则另一面边长为 126xm ．若利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长，则修旧墙的费用为 x ⋅a 4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为 (14−x )⋅a2 元，其余的建新墙的费用为 (2x +2×126x−14)⋅a 元，总费用为y =a 4x +(14−x )a 2+a (2x +252x−14)=a (7x 4+252x −7)=7a (x4+36x−1)(0<x <14).因为 x 4+36x≥2√x4⋅36x=6，0<x <14，所以当且仅当 x =12 时，y min =7a (6−1)=35a （ 元）．若利用旧墙为矩形厂房的一面边长，则修旧墙的费用为 a4⋅14=7a2元，建新墙的费用为 (2x +252x−14)⋅a 元，总费用为 y=72a +a (2x +252x −14)=72a +2a (x +126x−7)(x ≥14).设14≤x1<x2，则x1+126x1−(x2+126x2)=(x1−x2)(1−126x1x2)<0(x1x2>126),所以m=x+126x 在[14,+∞)上为增函数，所以当x=14时，y min=72a+2a(14+12614−7)=35.5a（元）．综上可知，采用方案1，即利用旧墙12m为矩形厂房的一面边长，可使建墙费用最省．。
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§3.2 均值不等式练习题（Ⅰ）
（高二数学 B ）编制：孙国兴、马会义、于明东、纪登彪 日期：2008-10-20
一、选择题
1、在下列函数中，当0x >时，最小值为4的是（ ）
A.4y x
x =+ B.1lg lg y x x =+ C.y = D.223y x x =-+ 2、某工厂产品第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则 A.2a b x += B.2a b x +≤ C. 2a b x +> D. 2
a b x +≥ 3、已知正数,a b 满足4ab =，那么23a b +的最小值为（ ）
A ．10
B ．12
C ．4、已知1,1x y >>，且lg lg 4x y +=，则lg lg x y 的最大值是（ ） A.4 B.2 C.1 D.14
5、已知0,0,4a b a b >>+=，则下列各式中正确的不等式是（ ）
A.1114a b +≤
B. 111a b +≥2≥ D.11ab
≥ 6、若0,0x y >>，则22
1122x y y x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是（ ） A.3 B.72 C.4 D.92
7、已知,a b R +∈，则11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的最小值是（ ）
二、填空题
8、函数()0y x =>的最大值是
9、已知32x >，则函数y ＝2x+3
24-x 的最小值是_________． 10、已知,a b R +∈，给出下列不等式：
（1）21a a +>
（2）114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭ （3）()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭
（4）296a a +>
（5）221121a a ++
>+，其中恒成立的是 三、解答题
11、已知02πθ<<
，求函数()tan cot f θθθ=+的最小值以及相应的θ的值.
12、用铁皮做一个体积为250cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长、宽各为多少时，用料最少，最少是多少？
选做题
在下列函数中，最小值是2的是（ ） A.()505x y x R x x =+∈≠且 B.()1lg 110lg y x x x =+<< C.()33x x y x R -=+∈ D.1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭。