江苏12年 转化与化归思想 教师版

21转化与化归思想

转化与化归思想是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式．

应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价．常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等．

分类讨论思想，函数与方程思想，数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现．常用的变换方法：分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等都是转化的手段．

1. 已知正实数x 、y 满足1x ＋1

y

＝1，则x ＋y 的取值范围是________．

2.若不等式x 2

＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤0，12都成立，则实数a 的最小值为________．

3.函数y ＝x ＋2－x 的值域为________．

4.函数f(x)＝x 3

－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是________．

【例1】 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，求PA →·PB →

的最小值．

【例2】 若不等式x 2＋px>4x ＋p －3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x 的取值范围．

【例3】 在数列{a n } 中a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13 n ＋1(n∈N *

)．

(1) 求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；

(2) 若S 1, t (S 1＋S 2 ), 3(S 2＋S 3) 成等差数列，求实数t 的值．

【例4】 已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫a －12x 2

＋lnx(a∈R )．(1) 当a ＝0时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2) 若 x∈[1,3]，使f(x)<(x ＋1)lnx 成立，求实数a 的取值范围；

(3) 若函数f(x)的图象在区间(1，＋∞)内恒在直线y ＝2ax 下方，求实数a 的取值范围．

1. (2011·福建)设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足 |PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线r 的离心率等于________．

2.(2011·湖南)设m>1，在约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

y≥x，y≤mx，

x ＋y≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则实数m

的取值范围为________．

3.(2011·全国)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥OABCD 的体积为________．

4.(2011·湖南)已知函数f(x)＝e x

－1，g(x)＝－x 2

＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________． 5.(2009·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255

，AB →·AC →

＝3.

(1) 求△ABC 的面积； (2) 若b ＋c ＝6，求a 的值．

6.(2011·辽宁)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l⊥MN，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.(1) 设e ＝1

2

，求|BC|与|AD|的比值；

(2) 当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO∥AN，并说明理由．

(2008·北京)(本小题满分13分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n 2

＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，λ是常数． (1) 当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；

(2) 数列{a n }是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； (3) 求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n>m 时总有a n <0.

解：(1) 由于a n ＋1＝(n 2

＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，且a 1＝1.所以当a 2＝－1时，得－1＝2－λ， 故λ＝3.(2分) 从而a 3＝(22

＋2－3)×(－1)＝－3.(4分)

(2) 数列{a n }不可能为等差数列，证明如下：由a 1＝1，a n ＋1＝(n 2

＋n －λ)a n 得

a 2＝2－λ，a 3＝(6－λ)(2－λ)，a 4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．

若存在λ，使{a n }为等差数列，则a 3－a 2＝a 2－a 1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3. 于是a 2－a 1＝1－λ＝－2，a 4－a 3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.

这与{a n }为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a n }都不可能是等差数列．( 8分)

(3) 记b n ＝n 2

＋n －λ(n ＝1,2，…)，根据题意可知，b 1<0且b n ≠0，即λ>2且λ≠n 2

＋n(n∈N *

)，这时总存在n 0∈N *

，满足：当n≥n 0时，b n >0；当n≤n 0－1时，b n <0.

所以由a n ＋1＝b n a n 及a 1＝1>0可知，若n 0为偶数，则an 0<0，从而当n>n 0时，a n <0；若n 0为奇数，则an 0>0，从而当n>n 0时a n >0.( 10分)

因此“存在m∈N *，当n>m 时总有a n <0”的充分必要条件是：n 0为偶数．记n 0＝2k(k ＝1,2，…)，则λ满

足⎩⎪⎨⎪⎧

b 2k ＝2k 2

＋2k －λ>0，b 2k －1＝2k －12

＋2k －1－λ<0.

故λ的取值范围是4k 2－2k<λ<4k 2＋2k(k∈N *

)．( 13分)

1. △ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3OA →＋4OB →－5OC →

＝0.则∠C＝__________. 【答案】

3π4

解析：3OA →＋4OB →－5OC →＝0，∴ 3OA →＋4OB →＝5OC →，∴ 9OA 2＋16OB 2＋24OA →·OB →＝25OC 2

， OA ＝OB ＝OC ，OA⊥OB.即∠C＝3π

4

.(注意结合图形，把问题转化．)

2. 设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数．已知对任意正整数n, m ， 当n ＞m 时，S n －S m ＝q m

·S n －m 总成立．(1) 求证：数列{a n }是等比数列；

(2) 若正整数n, m, k 成等差数列，求证：1S n ＋1S k ≥2

S m

.

证明：(1) 因为对任意正整数n ，m ，当n ＞m 时，S n －S m ＝q m

·S n －m 总成立． 所以当n≥2时，S n －S n －1＝q n －1

S 1，即a n ＝a 1·q

n －1

，且a 1也适合，又a n ＞0，

故当n≥2时，

a n

a n －1

＝q(非零常数)，即{a n }是等比数列． (2) 若q ＝1，则S n ＝na 1，S m ＝ma 1，S k ＝ka 1.所以1S n ＋1S k ＝n ＋k nka 1＝2m nka 1≥2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋k 22·a 1＝2m m a 1＝2ma 1＝2

S m

.

若q≠1，则S n ＝a 11－q n 1－q ，S m ＝a 11－q m 1－q ，S k ＝a 11－q k

1－q

.

所以1S n ＋1S k

≥2

1

S n S k

＝21－q 2

1－q n 1－q k

a 2

1

.

又因为(1－q n

)(1－q k

)＝1－(q n

＋q k

)＋q n ＋k

≤1－2q

n ＋k

＋q n ＋k

＝1－2q m ＋q 2m ＝(1－q m )2

.

所以1S n ＋1S k

≥2

1

S n S k

＝21－q 2

1－q n 1－q k

a 2

1

≥2

1－q 2

1－q m 2·a 21＝2

S m

. 综上可知：若正整数n ，m ，k 成等差数列，不等式1S n ＋1S k ≥2

S m (当且仅当n ＝m ＝k 时取“＝”)总成立．