2017-2018学年上海市浦东新区高二(下)期中数学试卷
上海交大附中2017-2018学年高二(下)期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）1．抛物线y2=x的准线方程为______．2．计算i+2i2+3i3+…+2016i2016=______．3．异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为______．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为______．5．已知△AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标______．6．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有______．（填上所有正确答案的序号）7．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于______．8．三个平面能把空间分为______部分．（填上所有可能结果）9．已知复数Z1，Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则=______．10．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，则复数|z1+z2|=______．11．二面角α﹣l﹣β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB=2在平面β内，CD⊥l 于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为______．12．已知虚数z=（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，则的取值范围是______．13．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于______．14．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为______．二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直16．（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．017．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．18．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个，其中正确的是（）①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b=P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β=b，P∈α，P∈β⇒P∈b．A．①②B．②③C．①④D．③④三、解答题（满分74分）19．已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．20．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．21．已知z为复数，ω=z+为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣4＜ω＜2时，若u=（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．22．动圆M与圆（x﹣1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．23．已知复数z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且．（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．2015-2016学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）1．抛物线y2=x的准线方程为x=﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1∴∴抛物线y2=x的准线方程为x=﹣故答案为：x=﹣2．计算i+2i2+3i3+…+2016i2016=1008﹣1008i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数单位的幂运算，化简求解即可．【解答】解：i+2i2+3i3+…+2016i2016=（i﹣2﹣3i+4）+（5i﹣6﹣7i+8）+…+2016=504（2﹣2i）=1008﹣1008i．故答案为：1008﹣1008i．3．异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为[30°，90°] ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，在平面α所有与OP'垂直的线，由此能求出直线b与c所成的角的范围．【解答】解：如图作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，∠POP'=30°．在平面α中，所有与OP'平行的线与b′的夹角都是30°．在平面α所有与OP'垂直的线∵PP'⊥平面α，∴该线⊥PP′，则该线⊥平面OPP'，∴该线⊥b'，与b'的夹角为90°，与OP'夹角大于0°，小于90°的线，与b'的夹角为锐角且大于30°．∴直线b与c所成的角的范围[30°，90°]．故答案为：[30°，90°]．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为1，则B1E=B1F=，EF=∴cos∠EB1F=，故答案为5．已知△AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标A（5，2），B（5，﹣2）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据垂心的性质可得A，B关于x轴对称，且AF⊥OB，设A（，y1）（y1＞0），则B（，﹣y1）．求出AF，OB的斜率，令k OB•k AF=﹣1解出y1即可得出A，B的坐标．【解答】解：抛物线焦点F（1，0），∵焦点F是△AOB的垂心，∴直线AB⊥x轴．∴A，B关于x轴对称．设A（，y1）（y1＞0），则B（，﹣y1）．∴k OB==﹣．k AF==．∵焦点F是△AOB的垂心，∴AF⊥OB．∴k OB•k AF=﹣1，即﹣•=﹣1，解得y1=2．∴A（5，2），B（5，﹣2）．故答案为：A（5，2），B（5，﹣2）．6．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有（2）、（4）．（填上所有正确答案的序号）【考点】异面直线的判定．【分析】图（1）中，直线GH∥MN，图（2）中M∉面GHN，图（3）中GM∥HN，图（4）中，H∉面GMN．【解答】解析：如题干图（1）中，直线GH∥MN；图（2）中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面；图（4）中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图（2）、（4）中GH与MN异面．故答案为：（2）、（4）7．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于1．【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，故可令z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB，代入，|z1﹣z2|=，及|z1+z2|，比较即可求得所求的答案【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|=1，|z2|=1，可令z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB∵|z1﹣z2|=，故有（cosA﹣cosB）2+（sinA﹣sinB）2=3，整理得2cosAcosB+2sinAsinB=﹣1又|z1+z2|2=（cosA+cosB）2+（sinA+sinB）2=2+2cosAcosB+2sinAsinB=1∴|z1+z2|=1故答案为：1．8．三个平面能把空间分为4，或6，或7，或8部分．（填上所有可能结果）【考点】平面的基本性质及推论．【分析】此类问题可以借助实物模型来研究，用房屋的结构来研究就行．【解答】解：若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分，故答案为：4，或6，或7，或8．9．已知复数Z1，Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则=．【考点】余弦定理的应用；复数求模．【分析】由余弦定理可得Z1+Z2|=，|Z1﹣Z2|=，故==【解答】解：如图在三角形OBC中由余弦定理得|Z1+Z2|=|OB|==，同理可得|Z1﹣Z2|=|CA=|=，∴===10．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，则复数|z1+z2|=．【考点】复数求模．【分析】复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，判断三角形是直接三角形，即可求得所求的答案．【解答】解：因为|z1|=|z2|=1，，所以复数z1，z2，构成的三角形是直角三角形，|z1+z2|是平行四边形的对角线，则|z1+z2|=．故答案为：．11．二面角α﹣l﹣β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB=2在平面β内，CD⊥l于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】要求出AM+CM的最小值，可将空间问题转化成平面问题，将二面角展开成平面中在BD上找一点使AM+CM即可，而当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，从而求出对角线的长即可．【解答】解：将二面角α﹣l﹣β平摊开来，即为图形当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，最小值即为对角线AC而AE=5，EC=1故AC=故答案为：12．已知虚数z=（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，则的取值范围是[﹣，]．【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的模，利用模长公式得：（x﹣2）2+y2=1，根据表示动点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率．根据直线与圆相切的性质得到结果．【解答】解：∵复数（x﹣2）+yi（x，y∈R）的模为1，∴（x﹣2）2+y2=1根据表示动点（x，y）到定点（0，0）的斜率知：的最大值是，同理求得最小值是﹣，如图示：∴的取值范围是[﹣，]故答案为：[﹣，]．13．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），利用中点坐标公式、斜率计算公式可得k AB，可得直线AB的方程为：y﹣2=x﹣2，化为y=x，与抛物线方程联立可得A，B的坐标，利用弦长公式可得|AB|，再利用点到直线的距离公式可得点F到直线AB的距离d，利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：∵F是抛物线C：y2=4x的焦点，∴F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∵线段AB的中点为M（2，2），∴y1+y2=2×2=4，又=k AB，4k AB=4，解得k AB=1，∴直线AB的方程为：y﹣2=x﹣2，化为y=x，联立，解得，，∴|AB|==4．点F到直线AB的距离d=，∴S△ABF===2，故答案为：2．14．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为30．【考点】二次函数的性质．【分析】把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标；设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．【解答】解：直线y=x与抛物线y=x2﹣4联立，得到A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．令y=﹣5，得x=5，∴Q（5，﹣5）．∴直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d==|x2+8x﹣32|，|OQ|=5，∴S△OPQ=|OQ|d=|x2+8x﹣32|，|∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．故答案为：30．二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，可得结论．【解答】解：如图，在正方体AC1中：∵A1B∥D1C∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A．16．（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】的真假判断与应用；复数的基本概念．【分析】直接利用复数的基本概念频道的真假即可．【解答】解：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；如果两个复数是实数，差值也是实数，所以（1）不正确；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；不正确，和一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；不正确，因为实系数方程的虚根是共轭复数，所以（3）不正确；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，如果虚数为i，则设z=x+yi（x，y∈R），由z2=（x+yi）2=i，得x2﹣y2+2xyi=i，∴，解得：或．∴z=+i或z=﹣﹣i．所以正确．故选：C．17．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】点P到BC的距离就是当P点到B的距离，它等于到直线A1B1的距离，满足抛物线的定义，推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．从而得出正确选项．【解答】解：依题意可知点P到BC的距离就是当P点B的距离，P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．A的图象为直线的图象，排除A．B项中B不是抛物线的焦点，排除B．D项不过A点，D排除．故选C．18．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个，其中正确的是（）①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b=P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β=b，P∈α，P∈β⇒P∈b．A．①②B．②③C．①④D．③④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据公理1及直线在面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解．【解答】解：当a∩α=P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；当a∩β=P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．故选D三、解答题（满分74分）19．已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由题设条件，可先通过复数的运算求出的代数形式的表示，再由其几何意义得出实部与虚部的符号，转化出实数a所满足的不等式，解出其取值范围；（2）实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的两个根互为共轭复数，利用根与系数的关系求出a 的值，从而求出m的值．【解答】解：（1）由条件得，z1﹣z2=（）+（a2﹣3a﹣4）i…因为z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有…∴解得﹣2＜a＜﹣1…（2）因为虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根所以z1+==6，即a=﹣1，…把a=﹣1代入，则z1=3﹣2i，=3+2i，…所以m=z1•=13…20．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）不妨设AD=1，由AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，可得AB=，AA1=2．在△ABD中，利用余弦定理可得：DB=1．利用勾股定理的逆定理可得∠ADB=90°．由DD1⊥底面ABCD，可得DD1⊥DB，可得DB⊥平面ADD1，即可得出异面直线AD1与BD所成角．（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD1．在Rt△ADD1中，经过点D作DO⊥AD1，垂足为O，连接OB，可得OB⊥AD1．∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：（1）不妨设AD=1，∵AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，∴AB=，AA1=2．在△ABD中，DB2==1，解得DB=1．∴AD2+DB2=AB2，∠ADB=90°．∴AD⊥DB．∵DD1⊥底面ABCD，DB⊂平面ABCD，∴DD1⊥DB，又AD∩DD1=D，∴DB⊥平面ADD1，∴DB⊥AD1，∴异面直线AD1与BD所成角为90°．（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD1．在Rt△ADD1中，经过点D作DO⊥AD1，垂足为O，连接OB，则OB⊥AD1．∴∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角．在Rt△ADD1中，OD===．在Rt△ODB中，tan∠BOD===．∴∠BOD=arctan．21．已知z为复数，ω=z+为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣4＜ω＜2时，若u=（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）设z=x+yi，x，y∈R，则ω=+i为实数，可得y﹣=0，因此y=0，或x2+y2=9．通过分类讨论即可得出．（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+，由﹣4＜ω＜2，可得﹣4＜＜2，利用基本不等式的性质即可得出．②x2+y2=9时．ω=2x，由于﹣4＜ω＜2，即可得出x的取值范围．由u=（α＞0）为纯虚数，化简可得α，再利用模的计算公式、函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设z=x+yi，x，y∈R，则ω=z+=x+yi+=x+yi+=+i为实数，∴y﹣=0，∴y=0，或x2+y2=9．①y=0时，ω=x+∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜＜10，x＞0时，解得1＜x＜9．x＜0时，x∈∅．综上可得：y=0时，点Z的轨迹方程是．②x2+y2=9时．ω=2x，∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜2x＜10，解得﹣1＜x＜5．因此x2+y2=9时．可得：点Z的轨迹方程是x2+y2=9（﹣1＜x＜5）．（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜＜2，∵x＜0时，≤﹣6；x＞0时，≥6．综上可得：y=0时，x∈∅，点Z的轨迹无方程．②x2+y2=9时．ω=2x，∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜2x＜2，解得﹣2＜x＜1．∵u=（α＞0）为纯虚数，u==，∴α2﹣9=0，2yα≠0，解得α=3，y≠0．∴u==，∵x∈（﹣2，1），∴|u|===∈．∴α=3，|u|∈．22．动圆M与圆（x﹣1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设出动圆圆心M的坐标，利用动圆M与y轴相切且与圆（x﹣1）2+y2=1外切建立方程，化简得答案；（2）设M的坐标，利用两点间的距离公式结合配方法求得定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）写出过B斜率存在的直线方程，联立直线方程与抛物线方程，由判别式等于0求得k 值，再结合图形求得直线m与轨迹C的公共点个数，并分析对应的斜率情况．【解答】解：（1）设动圆圆心M的坐标为（x，y），则，∴（x﹣1）2+y2=x2+2|x|+1，当x＜0时，y=0；当x≥0时，y2=4x；（2）如图，由图可知，M到轨迹C上的点与A的距离最小，则M在抛物线y2=4x上，设M（x，y），则|MA|===．∴当x=1，即M（1，±2）时，|MA|的最小值为；（3）设过B与抛物线y2=4x相切的直线方程为y﹣1=k（x+2），即y=kx+2k+1，联立，得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0．由△=（4k2+2k﹣4）2﹣4k2（4k2+4k+1）=0，解得：k=﹣1或k=．∴当直线m的斜率k不存在时或斜率存在为0时或直线m的斜率k∈（，+∞）∪（﹣∞，﹣1）时，m与C有1个交点；当直线m的斜率为k=﹣1或k=或k∈[﹣，0）时，m与C有2个交点；当直线m的斜率k∈（0，）∪（﹣1，﹣）时，m与C有3个交点．23．已知复数z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且．（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据复数条件求出关系式，结合复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动即可得出复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）先按向量方向平移个单位得到即为向 x 方向移动 1×=个单位，向 y 方向移动 1×1=1 个单位，再进行函数式的变换即可得出C 的轨迹方程； （3）设A （x 0，y 0），斜率为k ，切线y ﹣y 0=k （x ﹣x 0） 代入（y +6）2=﹣2x ﹣3消去x 得到关于y 的一元二次方程，再结合根的判别式为0利用向量的数量即可求得定点，从而解决问题．【解答】解：（1）∵i ﹣z 2=（m ﹣ni ）•i ﹣（2+4i ）=（n ﹣2）+（m ﹣4）i ；∴⇒．∵复数z 1对应的点M （m ，n ）在曲线上运动∴x +2=﹣（y +7）2﹣1⇒（y +7）2=﹣2（x +3）．复数z 所对应的点P （x ，y ）的轨迹方程：（y +7）2=﹣2（x +3）．（2）∵按向量方向平移个单位，==1×．即为向 x 方向移动 1×=个单位，向 y 方向移动 1×1=1 个单位（y +7）2=﹣2（x +3）⇒y +7=±．得轨迹方程 y +7=±⇒（y +6）2=﹣2（x +）=﹣2x ﹣3．C 的轨迹方程为：（y +6）2=﹣2x ﹣3． （3）设A （x 0，y 0），斜率为k ，切线y ﹣y 0=k （x ﹣x 0） （k ≠0）， 代入（y +6）2=﹣2x ﹣3整理得：（y +6）2=﹣2（）﹣3，△=0⇒k=，设定点M （1，0），且．∴以线段AB 为直径的圆恒过一定点M ，M 点的坐标（1，0）．2016年9月14日。
上海市浦东新区2018-2019学年下学期高二期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一.填空题1.已知(0,0)O 、(1,1)A ，则直线OA 的倾斜角为_____ 【答案】4π 【解析】【分析】本题首先可以根据两点坐标求出直线的斜率，然后根据直线的斜率与直线的倾斜角之间的关系即可写出它的倾斜角。
【详解】由题意可知点()()0,01,1O A 、，则直线OA 的斜率为10110k -==-， 令直线的倾斜角为θ，因为tan θk =，所以直线OA 的倾斜角为4π，故答案为4π。
【点睛】本题考查了直线的相关性质，主要考查了直线的斜率与倾斜角的计算问题，考查了推理能力，斜率与倾斜角之间的关系为tan θk =，是基础题。
2.经过点()10P ，，且与y 轴平行的直线方程为_____ 【答案】1x =【解析】【分析】本题首先可以根据直线与y 轴平行得出直线方程的斜率不存在，直线方程为0x x =，然后根据点p 坐标即可得出直线方程的解析式。
【详解】过点()1,0P ，且与y 轴平行的直线方程为1x =，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了直线的相关性质，主要考查了直线方程的求法与应用问题，考查与y 轴平行的直线的相关性质，考查推理能力，是基础题．3.抛物线24y x =的准线方程为_____．【答案】1x =-【解析】【分析】本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程。
【详解】由抛物线方程可知，抛物线24y x =的准线方程为：1x =-．故答案：1x =-． 【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线的简单性质的应用，考查抛物线的准线的确定，是基础题。
4.圆心为()1,1C ，半径为1的圆的方程是_____【答案】()()22111x y -+-=【解析】【分析】本题利用圆的标准方程以及题意中给出的圆心坐标和半径即可得出结果。
【详解】圆心为()1,1C ，半径为1的圆的方程是：()()22111x y -+-=． 故答案为：()()22111x y -+-=． 【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的标准方程的求法，根据圆心以及半径即可写出圆的标准方程，是简单题。
2017-2018学年第二学期高二数学文科期中考试试卷含答案
密 封 装 订 线2017—2018学年度第二学期八县(市)一中期中联考 高中二年数学科（文科）试卷命 题： 复 核：完卷时间：120分钟 满 分：150分第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若212(1),1z i z i =+=-，则12z z 等于( ) A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --2、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（ ） A. 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B. 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C. 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D. 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有3、下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明” 中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—反证法 B ．①—分析法，②—反证法 C ．①—综合法，②—分析法 D ．①—分析法，②—综合法4、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”，你认为这个推理（ ） A ．大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的5、已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2, 1.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．y=3x ﹣4.5B ．y=﹣0.4x+3.3C ．y=0.6x+1.1D ． y=﹣2x+5.5 6、极坐标方程2cos 4sin ρθθ=所表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一条抛物线D ．一条双曲线7、甲、乙、丙三位同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不确定8、如右图所示，程序框图输出的所有实数对(x ，y )所对应的点都在函数( ) A ．y ＝x ＋1的图象上 B ．y ＝2x 的图象上 C ．y ＝2x 的图象上 D ．y ＝2x -1的图象上 9、定义运算a b ad bc c d=-，若1201812z i i =（i 为虚数单位）且复数z满足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ ）A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆10、若下列关于x 的方程24430x ax a +-+=，2220x ax a +-=，22(1)0x a x a +-+= （a 为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(,1)2-- B ．3(,0)2- C ．3(,][1,)2-∞-⋃-+∞ D ．3(,][0,)2-∞-⋃+∞ 11、以下命题正确的个数是（ ）①在回归直线方程82^+=x y 中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量^y 平均增加2个单位； ②已知复数21,z z 是复数，若221121z z z z z z ⋅=⋅=，则；③用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于060”时，应假设“三个内角都大于060”；④在平面直角坐标系中，直线x y l 6:=经过变换⎩⎨⎧==yy x x ''23：ϕ后得到的直线'l 的方程：x y =； A ．1B ．2C ．3D ．412、《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
上海市浦东新区2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题(含精品解析)
2017-2018学年第二学期高二数学期末质量检测一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1. 抛物线的准线方程是________.【答案】【解析】分析：利用抛物线的准线方程为，可得抛物线的准线方程.详解：因为抛物线的准线方程为，所以抛物线的准线方程为，故答案为.点睛：本题考查抛物线的准线方程和简单性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.2. 设复数满足，则＝__________.【答案】【解析】分析：由可得，再利用两个复数代数形式的除法法则化简，结合共轭复数的定义可得结果.详解：满足，，所以，故答案为.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 若一个球的体积为，则该球的表面积为_________.【答案】【解析】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为.4. 在正四面体P-ABC，已知M为AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为____.【答案】【解析】分析：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得即为与所成的角或其补角，利用余弦定理可得结果.详解：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得，，故即为与所成的角或其补角，因为是正四面体，不妨设令其棱长为，则由正四面体的性质可求得，故，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理的应用以及异面直线所成角的求法，求异面直线所成的角的做题步骤分为三步，分别为：作角、证角、求角，尤其是第二步证明过程不可少，是本题易失点分，切记.5. 若复数满足，则的取值范围是________【答案】【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果.详解：因为复数满足，在复平面内设复数对应的点为，则到的距离之和为，所以点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，可得最小距离是与的距离，等于；最大距离是与的距离，等于；即的取值范围是，故答案为.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题.复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.6. —个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，则该四面体的体积为________.【答案】【解析】分析：满足条件的四面体为正方体的一个角，利用三棱锥的体积计算公式即可得出结果.详解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的一个角，该四面体的体积，故答案为.点睛：本题主要考查空间直角坐标系与三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象力、推理能力与计算能力，属于中档题.7. 若复数为纯虚数，则实数=______.【答案】【解析】分析：纯虚数的表现形式是中，且，根据这个条件，列出关于的方程组，从而可得结果.详解：复数为纯虚数，且，，故答案为.点睛：本题主要考查纯虚数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于简单题.8. 以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是_______.【答案】【解析】分析：由椭圆的焦点为，顶点为，可得双曲线的焦点与顶点，从而可得双曲线方程.详解：椭圆的焦点为，顶点为，双曲线的顶点与焦点分别为，可得，所以双曲线方程是，故答案为.点睛：本题考查椭圆与双曲线的简单性质应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，解题时要认真注意审题，特别注意考虑双曲线的焦点位置.9. 将圆心角为，面积为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___．【答案】【解析】分析：由扇形的面积公式求出扇形的半径，得到圆锥的母线长，由弧长公式得圆锥底面半径，由勾股定理求得圆锥的高，由圆锥的体积公式可得结果.详解：如图，设扇形的半径为，则，即，圆锥的母线长为，设圆锥底面半径为，由，解得，则圆锥的高为，圆锥的体积为，故答案为.点睛：本题考查圆锥的体积公式，圆锥的侧面展开图、考查数形结合的解题思想方法，明确圆锥侧面展开图中的量与圆锥中的量之间的关系是解题的关键，本题属于中档题.10. 球的半径为，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为和，则这两个平面之间的距离是_______.【答案】7或1【解析】分析：两条平行的平面可能在球心的同旁或两旁，应分两种情况进行讨论，分别利用勾股定理求解即可.详解：球心到两个平面的距离分别为，，故两平面之间的距离（同侧）或（异侧），故答案为或.点睛：本题考查球的截面性质，属于中档题.在解答与球截面有关的问题时，一定要注意性质的运用.11. 三棱锥V-ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：设的中点为，连接，由余弦定理可得，利用三角函数的有界性可得结果.详解：设的中点为，连接，则是二面角的平面角，可得，在三角形中由余弦定理可得，，即的取值范围是，为故答案为.点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.12. 给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行.其中正确命题的序号是____.【答案】④【解析】分析：由三点可能共线可判断①错；由点可能在直线上可判断②错；由两直线可能相交、异面判断③错；根据公理可判定④正确.详解：①不共线的三点确定一个平面，故①错误；②一条直线和直线外一点确定一个平面，故②错误；③垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故③错误；④平行于同一直线的两直线平行，故④正确，故答案为④.点睛：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推理的合理运用. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.二、选择题(本大题共有4小题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．13. 在空间中，“直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的( )．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】若“直线平面”则“直线与平面内无穷多条直线都垂直”，正确；反之，若“直线与平面内无穷多条直线都垂直”则“直线平面”是错误的，故直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的充分非必要条件.故选A.14. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】略视频15. 设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（）.A. 垂直B. 平行C. 直线在平面内D. 直线在平面内或平行【答案】D【解析】∵直线的一个方向向量，平面的一个法向量∴∴直线在平面内或平行故选D.16. 对于复数，给出下列三个运算式子：（1），（2），（3）.其中正确的个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得，（1）正确；设，则，，（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知，（3）正确，即正确命题的个数是，故选D.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题.三、解答题（本大题共有5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17. 已知关于的方程x2+kx+k2﹣2k=0有一个模为的虚根，求实数k的值．【答案】1【解析】分析：设两根为、，则，，得，利用韦达定理列方程可求得的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得或，设两根为、，则，，得，．所以．18. 如图，正四棱柱的底面边长，若异面直线与所成角的大小为，求正四棱柱的体积.【答案】16【解析】分析：由正四棱柱的性质得，从而，进而，由此能求出正四棱柱的体积.详解：∵∴为与所成角且∵，∴点睛：本题主要考查异面直线所成的角、正四棱柱的性质以及棱柱的体积的公式，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养. 求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角.19. 已知双曲线，为上的任意点。
最新上海浦东高二下学期期末数学试卷附答案资料
2017学年第二学期高二数学期末质量检测2018．6注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2． 本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．抛物线216y x =的准线方程是________.4=-x2．设复数z 满足32=-+zi i ，则z ＝__________.23-i3．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为___16π______. 4．在正四面体P-ABC ，已知M 为AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为5. 若复数z满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________ 6. —个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，则该四面体的体积为________.167. 若复数22(2)(32)z a a a a i =--+-+为纯虚数，则实数a =__1-__ . 8．以椭圆1162522=+y x 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是_______.116922=-y x 9．将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为__π322_． 10. 球的半径为5㎝，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6㎝和8㎝，则这两个平面之间的距离是_______cm. 7或111. 三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.) .12. 给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行.其中正确命题的序号是___④__.二、选择题(本大题共有4小题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分．13. 在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的 ( A )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( D )（A ）4 （B ）4 （C ）4 （D ）3415. 设直线l 的一个方向向量()3,2,6=d ，平面α的一个法向量()0,3,1-=n ，则直线l 与平面α的位置关系是（ D ）.A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．直线l 在平面α内或平行16. 对于复数123、、z z z ，给出下列三个运算式子：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ⋅=⋅，（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是（ D ） A ． 0 B ．1 C.2 D ．3三、解答题（本大题共有5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分）已知关于的方程有一个模为的虚根，求的值． 【解】由题意，得或，……2分 设两根为1z 、2z ，则21=z z ，………………3分 21==1z z ，得12=1⋅z z ，…………5分212=2⋅-z z k k7分 所以8分18.（本题满分8分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB，若异面直线A A 1与C B 1所成角的大小为21arctan ，求正四棱柱1111D C B A ABCD -的体积.【解】∵11A A//BB∴1∠CB B 为A A 1与C B 1所成角且………………………………………4分 ∵=2BC ，∴1=4BB ………………………………6分………………………8分 x ()2220x kx k k k R ++-=∈1k ()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<83k >221k k ⇒-=1211k k ⇒==1k =21tan 1=∠B CB 16==∴sh V 第18题19.（本题满分10分，本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分） 已知双曲线22: 14x C y -=，P 为C 上的任意点。
2017-2018学年上海市浦东新区高二(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）抛物线y2＝16x的准线为．2．（3分）设复数z满足zi＝﹣3+2i，则＝．3．（3分）若一个球的体积为，则该球的表面积为．4．（3分）在正四面体P﹣ABC，已知M为AB的中点，则P A与CM所成角的余弦值为5．（3分）若复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝2，则|z﹣1﹣i|的取值范围是6．（3分）﹣个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1），则该四面体的体积为．7．（3分）如果复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为．8．（3分）以椭圆+＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是．9．（3分）将圆心角为，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．10．（3分）球的半径为5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm和8cm，则这两个平面之间的距离是cm．11．（3分）三棱锥V﹣ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是12．（3分）给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行．其中正确命题的序号是二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（3分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．15．（3分）设直线l的一个方向向量＝（6，2，3），平面α的一个法向量＝（﹣1，3，0），则直线l与平面α的位置关系是（）A．垂直B．平行C．直线l在平面α内D．直线l在平面α内或平行16．（3分）对于复数z1、z2、z3，给出下列三个运算式子：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|，（2）|z1•z2|≤|z1|•|z2|，（3）（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3）．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3三、解答题（本大题共有5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知关于x的方程x2+kx+k2﹣2k＝0（k∈R）有一个模为1的虚根，求k的值．18．（8分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若异面直线A1A与B1C 所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．19．（10分）已知双曲线C：﹣y2＝1，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|P A|的最小值；20．（12分）如图，AO为圆锥的高，B、C为圆锥底面圆周上两个点，∠OAB＝，∠BOC ＝，AB＝4，D是AB的中点．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）21．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2+y2﹣2x＝0的圆心重合．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设定点A（3，2），当P点在C上何处时，|P A|+|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标；（3）若弦MN过焦点F，求证：+为定值．2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）抛物线y2＝16x的准线为x＝﹣4．【解答】解：抛物线y2＝16x焦点在x轴的正半轴，2p＝16，∴＝4∴抛物线y2＝16x的准线为x＝﹣4故答案为：x＝﹣42．（3分）设复数z满足zi＝﹣3+2i，则＝2﹣3i．【解答】解：由zi＝﹣3+2i，得z＝，∴．故答案为：2﹣3i．3．（3分）若一个球的体积为，则该球的表面积为16π．【解答】解：一个球的体积V＝π×r3＝，设这个球的半径r＝2，则4πr2＝16π，故答案为：16π．4．（3分）在正四面体P﹣ABC，已知M为AB的中点，则P A与CM所成角的余弦值为【解答】解：如图，取PB中点N，连接CM、CN、MN．∠CMN为P A与CM所成的角（或所成角的补角），设P A＝2，则CM＝，MN＝1，CN＝，由余弦定理得：∴cos∠CMN＝＝＝．故答案为：．5．（3分）若复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝2，则|z﹣1﹣i|的取值范围是[1，]【解答】解：∵复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝2，∴坐标系中，一个点到（0，1）和（0，﹣1）的距离和为2，这个点在y轴两个点之间，设点Z为（0，m），则﹣1≤m≤1，|z﹣1﹣i|＝|mi﹣1﹣i|＝，m＝1时，|z﹣1﹣i|min＝＝1，m＝﹣1时，|z﹣1﹣max＝＝．∴|z﹣1﹣i|的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．6．（3分）﹣个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1），则该四面体的体积为．【解答】解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的内接正四面体O﹣ABC．∴该四面体的体积V＝＝．故答案为：．7．（3分）如果复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为﹣1．【解答】解：复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2 ）i为纯虚数，则a2﹣a﹣2＝0且a2﹣3a+2≠0 解得a＝﹣1故答案为：﹣18．（3分）以椭圆+＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是．【解答】解：∵椭圆的焦点为F（±3，0），顶点为A（±5，0），∴以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是．故答案为：．9．（3分）将圆心角为，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．【解答】解：如图，设扇形的半径为R，则，即R＝3．∴圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，由，解得r＝1．则圆锥的高为．∴圆锥的体积为V＝．故答案为：．10．（3分）球的半径为5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm和8cm，则这两个平面之间的距离是1或7cm．【解答】解：球的半径为R＝5cm，设两个截面圆的半径别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2；则r1＝3cm，r2＝4cm．如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；即d2﹣d1＝＝4﹣3＝1（cm）；如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．即d2+d1＝＝4+3＝7（cm）．∴这两个平面间的距离为1cm或7cm．故答案为：1或7．11．（3分）三棱锥V﹣ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是（0，a）【解答】解：∵三棱锥V﹣ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，取AB的中点D，连接VD，CD，则VD＝CD＝，在△VCD中VC∈（﹣，+）＝（0，），故答案为：（0，）12．（3分）给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行．其中正确命题的序号是④【解答】解：①三点确定一个平面不正确，应为不共线的三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面不正确，应为一条直线和直线外一个点确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行不正确，空间里还可能相交或异面；④平行于同一直线的两直线平行正确．故答案为：④．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【解答】解：直线m⊥平面α，则直线m与平面α内所有直线，即直线m与平面α内无穷多条直线都垂直成立，若平面α内无穷多条直线都是平行的，则当直线m与平面α内无穷多条直线都垂直时，直线m⊥平面α也不一定成立，即“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．15．（3分）设直线l的一个方向向量＝（6，2，3），平面α的一个法向量＝（﹣1，3，0），则直线l与平面α的位置关系是（）A．垂直B．平行C．直线l在平面α内D．直线l在平面α内或平行【解答】解：∵＝﹣6+2×3+0＝0，∴⊥．∴直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行．故选：D．16．（3分）对于复数z1、z2、z3，给出下列三个运算式子：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|，（2）|z1•z2|≤|z1|•|z2|，（3）（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3）．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于（1），在复平面内，根据复数模长的几何意义知，|z1+z2|、|z1|和|z2|分别对应三角形的三边，则|z1+z2|＜|z1|+|z2|，若z1或z2＝0，或z1、z2对应的向量方向相同时，有|z1+z2|＝|z1|+|z2|，综上，|z1+z2|≤|z1|+|z2|成立，（1）正确；对于（2），复平面内，设z1、z2对应的向量分别为、，则|z1•z2|＝|•|＝||×||×|cos＜，＞|≤||×||＝||•||，（2）正确；对于（3），设z1＝r1（cosθ1+sinθ1），z2＝r2（cosθ2+i sinθ2），z3＝r3（cosθ3+i sinθ3），则（z1•z2）•z3＝{r1r2[cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2）]}•r3（cosθ3+i sinθ3）＝r1r2r3[cos（θ1+θ2+θ3）+i sin（θ1+θ2+θ3）]．z1•（z2•z3）＝r1（cosθ1+i sinθ1）•{r2r3[（cos（θ2+θ3）+i sin（θ2+θ3）]}＝r1r2r3[cos（θ1+θ2+θ3）+i sin（θ1+θ2+θ3）]．∴（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3），（3）正确；综上，正确命题的个数是3个．故选：D．三、解答题（本大题共有5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知关于x的方程x2+kx+k2﹣2k＝0（k∈R）有一个模为1的虚根，求k的值．【解答】解：由题意可得：△＝k2﹣4（k2﹣2k）＜0，化为：3k2﹣8k＞0，解得k＜0，或k．设两根为：z 1，，|z1|＝||，则＝1＝k2﹣2k，解得k＝1+，或k＝1﹣．因此k＝1﹣．18．（8分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若异面直线A1A与B1C 所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，∴AA1∥BB1，∴∠CB1B为AA1、B1C所成的角，且tan∠CB1B＝＝，…（4分）∵BC＝AB＝2，∴BB1＝4，…（6分）∴正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积V＝Sh＝22×4＝16．…（8分）19．（10分）已知双曲线C：﹣y2＝1，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|P A|的最小值；【解答】解：（1）证明：设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，可得x12﹣4y12＝4，该双曲的两条渐近线方程分别是x﹣2y＝0和x+2y＝0，点P到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是•＝＝．点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数；（2）设点P的坐标为（x，y），则|P A|2＝（x﹣3）2+y2＝（x﹣3）2+﹣1＝（x﹣）2+，由|x|≥2，当x＝时，|P A|2的最小值为，即|P A|的最小值为．20．（12分）如图，AO为圆锥的高，B、C为圆锥底面圆周上两个点，∠OAB＝，∠BOC ＝，AB＝4，D是AB的中点．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）在Rt△AOB中，由∠OAB＝，AB＝4，得OB＝2，即圆锥底面半径为2，圆锥的侧面积S侧＝πrl＝8π，故圆锥的全面积S全＝S侧+S底＝8π+4π＝12π；（2）过D作DM∥AO交BO于M，连CM，则∠CDM为异面直线AO与CD所成角．∵AO⊥平面OBC，∴DM⊥平面OBC，则DM⊥MC，在Rt△AOB中，∵AO＝，∴DM＝．∵D是AB的中点，∴M是OB的中点，则OM＝1，可得CM＝．在Rt△CDM中，tan，∴，即异面直线AO与CD所成角的大小为arctan．21．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2+y2﹣2x＝0的圆心重合．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设定点A（3，2），当P点在C上何处时，|P A|+|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标；（3）若弦MN过焦点F，求证：+为定值．【解答】解：（1）由已知圆x2+y2﹣2x＝0，易得F（1，0），则抛物线的标准方程C为y2＝4x；（2）设点P在抛物线C的准线上的射影为点B，根据抛物线定义知|PF|＝|PB|，要使|P A|+|PF|的值最小，必P，A，B三点共线，可得P（x0，2），22＝4x0可得x0＝1．即P（1，2），此时|P A|+|PF|＝3+1＝4；（3）证明：F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设MN的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程y2＝4x可得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，由抛物线的定义可得+＝+＝+＝＝＝1．。
2016-2017年上海市浦东新区高二下学期期中数学试卷及答案
2016-2017学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）．1．（3分）过点P（3，5），且与向量=（4，2）平行的直线l的点方向式方程为．2．（3分）直线3x+y+2=0的倾斜角为．3．（3分）直线3x﹣4y+1=0与3x﹣4y+7=0的距离为．4．（3分）直线y=x+1被曲线截得的线段AB的长为．5．（3分）若直线l1：x+m2y+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0平行，则m=．6．（3分）已知方程表示椭圆，求实数k的取值范围．7．（4分）过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为的直线方程为．8．（4分）已知一圆的圆心坐标为C（2，﹣1），且被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，则此圆的方程．9．（4分）若椭圆的两焦点和两顶点构成一个正方形，则k=．10．（4分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为．11．（4分）已知关于x的方程+x+m=0有两个不等实数根，则实数m的取值范围．12．（4分）设AB是椭圆的长轴，若把AB分成10等分，依次过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…P9．F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|的值．二、选择题（每题4分）．13．（4分）若点P的坐标为（a，b），曲线C的方程为F（x，y）=0，则F（a，b）=0是点P在曲线C上的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（4分）椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是（）A．+=1B．+=1或+=1C．+=1D．+=1或+=115．（4分）圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值是（）A．B．C．D．16．（4分）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A．4a B．2（a﹣c）C．2（a+c）D．以上答案均有可能三、解答题（共42分）．17．（6分）已知定圆C1：（x+1）2+y2=36及定圆C2：（x﹣1）2+y2=4，动圆P与C1内切，与C2外切，求动圆圆心P的轨迹方程．18．（8分）△ABC中，顶点B（3，4），C（5，2），AC边所在直线方程为x﹣4y+3=0，AB边上的高所在直线方程为2x+3y﹣16=0．（1）求AB边所在直线的方程；（2）求AC边的中线所在直线的方程．19．（6分）如图，某处立交桥为一段圆弧AB．已知地面上线段AB=40米，O为AB中点．桥上距离地面最高点P，且OP高5米．工程师在OB中点C处发现他的正上方桥体有裂缝．需临时找根直立柱，立于C处，用于支撑桥体．求直立柱的高度．（精确到0.01米）．20．（10分）已知直线l：y=x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B不同两点．（1）求m的取值范围；（2）设以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆两焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），椭圆C上的点到右焦点距离最小值为3﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为﹣2的直线交曲线C于E、F两点，求线段EF的中点N的轨迹方程；（3）设经过点F1（﹣2，0）的直线与曲线C相交所得的弦为线段PQ，求△PQO的面积的最大值（O是坐标原点）．2016-2017学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）．1．（3分）过点P（3，5），且与向量=（4，2）平行的直线l的点方向式方程为=．【解答】解：根据题意，直线l过点P（3，5），且以向量=（4，2）为方向向量，则其方程为：=；故答案为：=．2．（3分）直线3x+y+2=0的倾斜角为π﹣arctan3．【解答】解：根据题意，设直线3x+y+2=0的倾斜角为θ，直线3x+y+2=0的斜率k=﹣3，则有tanθ=﹣3，又由0≤θ＜π，则θ=π﹣arctan3；故答案为：π﹣arctan3．3．（3分）直线3x﹣4y+1=0与3x﹣4y+7=0的距离为．【解答】解：由平行线间的距离公式可得：直线3x﹣4y+1=0与3x﹣4y+7=0的距离为d=．故答案为：．4．（3分）直线y=x+1被曲线截得的线段AB的长为．【解答】解：解方程组，整理得x2﹣2x﹣4=0，解得x=或x=．∴直线y=x+1被曲线截得的交点坐标是A（，），B（，），∴直线y=x+1被曲线截得的线段的长|AB|==．故答案为：．5．（3分）若直线l1：x+m2y+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0平行，则m=0或﹣1．【解答】解：∵直线l1：x+m2y+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0平行，∴，解得：m=0或m=﹣1．故答案为：0或﹣1．6．（3分）已知方程表示椭圆，求实数k的取值范围﹣3＜m＜2且x≠﹣．【解答】解：根据题意，方程表示椭圆，则有，解可得：﹣3＜m＜2且x≠﹣，故答案为：﹣3＜m＜2且x≠﹣．7．（4分）过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为的直线方程为x+1=0或x﹣+4=0．【解答】解：直线x﹣y+1=0的斜率为，设所求直线的斜率为k，∵过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为，∴tan=||，∴=，或=﹣，由=，得3k﹣3=，k不存在，此时直线方程为x+1=0，由=﹣，得，解得k=，此时直线方程为y﹣=（x+1），即x﹣+4=0．∴过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为的直线方程为x+1=0或x ﹣+4=0．故答案为：x+1=0或x﹣+4=0．8．（4分）已知一圆的圆心坐标为C（2，﹣1），且被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，则此圆的方程（x﹣2）2+（y+1）2=4．【解答】解：∵一圆的圆心坐标为C（2，﹣1），且被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，圆心C（2，﹣1）到直线l的距离d==，∵圆被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，∴此圆半径r==2，∴此圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=4．9．（4分）若椭圆的两焦点和两顶点构成一个正方形，则k= 4．【解答】解：根据题意，椭圆的焦点在y轴上，设其焦点为F1、F2，若两焦点和两顶点构成一个正方形，则两顶点在x轴上，设x轴上两顶点问为A、B，如图所示，若四边形AF1BF2为正方形，则有b=c，则a2=b2+c2=2b2，则有k+4=2×4，解可得k=4；故答案为：4．10．（4分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．【解答】解：如图，，．∴直线l的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．11．（4分）已知关于x的方程+x+m=0有两个不等实数根，则实数m的取值范围（﹣，﹣1] ．【解答】解：移项得=﹣x﹣m，∵关于x的方程+x+m=0有两个不等实数根，∴半圆y=与直线y=﹣x﹣m有两个交点，故当直线y=﹣x﹣m经过点（1，0）时，m=﹣1，当直线y=﹣x﹣m与半圆相切时，，即m=﹣或m=（舍）．∴﹣＜m≤﹣1．故答案为：（﹣，﹣1]．12．（4分）设AB是椭圆的长轴，若把AB分成10等分，依次过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…P9．F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|的值44．【解答】解：F是椭圆的一个焦点，不妨令F为左焦点F1，则右焦点为F2，分别连结点F2与P1，P2，…P9九个点，易知当i+j=10时有：|P i F1|=|P j F2|，其中i、j∈{1，2，3，…，9}，由椭圆定义可知：|P i F1|+|P i F2|=2a=2×4=8，i∈{1，2，3，…，9}，∴2（|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|）=9×8=72，即|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|=36，则|F1A|+|F1B|=2a=8，∴|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|=36+8=44，故答案为：44．二、选择题（每题4分）．13．（4分）若点P的坐标为（a，b），曲线C的方程为F（x，y）=0，则F（a，b）=0是点P在曲线C上的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：根据曲线与方程的关系可知，因为F（a，b）=0，所以点P的坐标满足方程，所以点P在曲线上．反之，满足F（a，b）=0的实数对（a，b）和点P对应．所以F（a，b）=0是点P在曲线C上的充要条件．故选：C．14．（4分）椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是（）A．+=1B．+=1或+=1C．+=1D．+=1或+=1【解答】解：由题意可知：焦距为2c=8，则c=4，2a=10，a=5，b2=a2﹣c2=9，∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：，当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：，故椭圆的标准方程为：或，故选：B．15．（4分）圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣2y+=0的圆心C（﹣2，1），半径r==，∴圆心C（﹣2，1）到直线3x+4y=0的距离d==，∴圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值：d max==．故选：C．16．（4分）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A．4a B．2（a﹣c）C．2（a+c）D．以上答案均有可能【解答】解：（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c），则选B；（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c），则选C；（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a，则选A．由于三种情况均有可能，故选：D．三、解答题（共42分）．17．（6分）已知定圆C1：（x+1）2+y2=36及定圆C2：（x﹣1）2+y2=4，动圆P与C1内切，与C2外切，求动圆圆心P的轨迹方程．【解答】解：设所求点P（x，y），F1（﹣1，0），F2（1，0），动圆半径为r，由题易得|PF1|=6﹣r，|PF2|=2+r，∴|PF1|+|PF2|=8＞2，由点P到两定点F1，F2距离之和为定长8，且大于|F1F2|=2c=2，满足椭圆定义，∴轨迹方程：．动圆圆心P的轨迹方程．18．（8分）△ABC中，顶点B（3，4），C（5，2），AC边所在直线方程为x﹣4y+3=0，AB边上的高所在直线方程为2x+3y﹣16=0．（1）求AB边所在直线的方程；（2）求AC边的中线所在直线的方程．【解答】解：（1）据题意，AB边所在直线的方程为3（x﹣3）﹣2（y﹣4）=0，即3x﹣2y﹣1=0（2）联立⇒A（1，1）AC的中点，则AC边的中线所在直线的方程为x=3．19．（6分）如图，某处立交桥为一段圆弧AB．已知地面上线段AB=40米，O为AB中点．桥上距离地面最高点P，且OP高5米．工程师在OB中点C处发现他的正上方桥体有裂缝．需临时找根直立柱，立于C处，用于支撑桥体．求直立柱的高度．（精确到0.01米）．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设圆的半径为r，在Rt△O1OA中：OA=20，OO1=r﹣5，O1A=r；∴r2=202+（r﹣5）2，解得r=42.5；∴圆的方程为x2+（y+37.5）2=42.52；令x=10，求得y=3.81（米），即所求直立柱的高度为3.81米．20．（10分）已知直线l：y=x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B不同两点．（1）求m的取值范围；（2）设以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程．【解答】解：（1）由，得：2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，∵直线l：y=x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B不同两点，∴△=4（m+1）2﹣8（4m﹣4）＞0，解得，∴m的取值范围是（﹣3﹣3，﹣3+3）．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，由于以AB为直径的圆为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，若它经过原点，则x1x2+y1y2=0，∴2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，∴+m×+m2=0解得m=﹣4或m=1．直线l的方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆两焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），椭圆C上的点到右焦点距离最小值为3﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为﹣2的直线交曲线C于E、F两点，求线段EF的中点N的轨迹方程；（3）设经过点F1（﹣2，0）的直线与曲线C相交所得的弦为线段PQ，求△PQO的面积的最大值（O是坐标原点）．【解答】解：（1）椭圆的焦点为，c=2，由a﹣c=3﹣2．a=3，则b2=a2﹣c2=1故曲线C的方程为．（2）方法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），设直线方程为y=﹣2x+t，，﹣4tx+t2﹣1=0，，∴x﹣18y=0，，则x2=±，则﹣＜x＜，∴线段EF的中点N的轨迹方程是：x﹣18y=0，﹣＜x＜，方法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y．∵A、B在曲线C上，∴，．将以上两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）+9（y1﹣y2）（y2+y2）=0，即=﹣，则﹣2=﹣，∴线段EF的中点N的轨迹方程：x﹣18y=0，﹣＜x＜；（3）设直线PQ的方程是：my=x+2，x=my﹣2，代入得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，则，令t=m2+9≥9，，当t=16，即时，∴，△PQO的面积的最大值为．。
2018-2019学年上海市浦东新区高二(下)期中数学试卷
【点评】 本题考查圆的标准方程的求法，是基本知识的考查．
5．（3 分）两直线 l1： x﹣ y＝ 0， l 2： x+y﹣ 1＝0 的夹角为
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【分析】 设 l1 的斜率为 k1，l 2 的斜率为 k2，则 k1＝﹣ ＝ 1，k2＝﹣ ＝﹣1，所以 k1?k2
＝﹣1，所以夹角为 ．
第 6 页（共 16 页）
方程．
【解答】 解： C：
的焦点为（± 3， 0），顶点为（± 2， 0）
∴ 椭圆的顶点为（± 3， 0），焦点为（± 2， 0） ∴ b2＝ a2﹣c2＝ 5
∴ 椭圆的方程为
故答案为：
【点评】 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双
曲线的几何性质是关键．
中为“ A 类直线”的是（
）
A ．①③
B ．②④
三 .解答题
22
＝ 1 与直线y＝ x+1 的交点坐标． 17．求曲线x +y
C．②③
D．③④
18．已知双曲线的一个焦点为（ 5，0），其渐近线方程为，求此双曲线的标准方程．
2＝ 4x 与椭圆
有公共焦点 F1，椭圆的另一个焦点为F 2，P 是这
19．已知抛物线y
2
2＝ 1 所截得的弦长等
于
． 6．（3 分）直线 x+y﹣ 1＝ 0 被圆 x +y
【分析】 由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线
x+y﹣ 1＝0 的距离 d，即可求出弦长． 【解答】 解：圆 x2+y2＝1 的圆心 O（ 0，0），半径等于 1，圆心到直线 x+y﹣ 1＝ 0 的距离
上海市浦东新区2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题扫描版含答案
2017学年第一学期高二数学期中质量检测（总5/1 100分时何：%分仲:cr年11（1>•頃空昱〈每恶3共12起.满彷J6分）1、己如故创（％）址讦打数列.11你=12.心=7J!灯,= ___________ Q IE N、2 第比数耐（匚）中.q + = 30.ci, + <r4 = 60.魅q= _________3.b’P是a.b,c成等比救列的_______________ 条件.4、 _____________________________________________________________ 苕代何三用形的二杀边的氏成警至◎列，聘：边从小醐夬Z比刃___________________________________5、 ________________________________________________________ 己fei向殳o 二伙-1.3）.6 =（仁-4）.若d 丄b•«!'[<:数k s ________________________________________ »6、 ________________________________________________________ 己知!ft弭｛■/的问11唤的和S. = 3n2 + 2x1侧舛= _________________________________________________7,ett|ol = 3,16| = 3. rifl«6 = 12,则向Haft向而」：的投影为_________________ .8,在用法注叭—y2--（n€N・）ffHI程中.« 1« kt 1时，㈱应在n k的左瑞上加上 _____________________________ .9.科人b.c戍簣比数列.则曲散尸jw^ibx*的削磔与x £2点的个敕疋I。
上海市浦东新区高二下学期数学期中考试卷(2018.04)
数 m 的值为
6. 已知复数 z1 3 4i ， z2 t 4i ，且 z1 z2 是实数，则实数 t 等于
7. 设复数 z cos isin ，则| z i | 的最大值是 8. 以双曲线 x2 y2 1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为
10.
已知双曲线 x2 y2 64 36
1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，直线 l 过点 F1 交双曲线的左支于
A 、 B 两点，且| AB | 9 ，则 ABF2 的周长为
【解析】 AF2 BF2 9 4a AF2 BF2 41 ，周长为 50
11. 以椭圆 x2 y2 1的右焦点为圆心，且与双曲线 x2 y2 1的两条渐近线都相切的
浦东新区高二期中数学试卷
2018.04
一. 填空题 1. 复数1 2i 的虚部是 2. 关于 x 的方程 x2 4x k 0 有一个根为 a 3i （ a R， i 为虚数单位），则实数 k 等于
3. 直线 3x y 1 0 的倾斜角为 4. 若复数 z (1 i)(2 i) ，则| z |
18. 已知双曲线经过点 P(1,1) ，其渐近线方程为 y 2x ，求此双曲线的方程.
19. 求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点 M (2, 4) 的抛物线的方程.
20. 已知椭圆的焦点分别为 F1(2 2,0) 、 F2 (2 2,0) ，长轴长为 6，设直线 x y 2 0 交 椭圆于 A 、 B 两点，求线段 AB 的中点坐标.
21. 若方程 x2 y2 1所表示的双曲线为 C . 4t t2
（1）试讨论实数 t 的取值范围，使曲线 C 分别为：①圆；②双曲线； （2）若点 P(m,1) （ m 0 ）不在曲线 C 上，求实数 m 的取值范围.
上海市高二下学期期中数学试卷及答案(共3套)
上海市浦东新区高二第二学期期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）。
1. 过点)5,3(P ，且与向量)2,4(=d 平行的直线l 的点方向式方程为 24= 。
2. 直线023=++y x 的倾斜角为___________ 3arctan -π3. 直线0143=+-y x 与0743=+-y x 的距离为 56。
4.直线1y x =+被曲线2112y x =-截得的线段AB 的长为_____________ 5. 直线21:60l x m y ++=与2:(2)320l m x my m -++=平行，求实数m 的值___0或1-6.已知方程22123x y k k+=-+表示椭圆，求实数k 的取值范围_32m -<<且12≠- 7．过点)3,1(-且与直线013=+-y x 的夹角为6π的直线方程为04301=+-=+y x x 或8．已知一圆的圆心坐标为)1,2(-C ，且被直线01:=--y x l 截得的弦长为22，则此圆的方程22(2)(1)4x y -++= 。
9．若椭圆)0(14422>=++k ky x 的两焦点和两顶点构成一个正方形，则=k 4 。
10．已知点)3,2(-A 、)2,3(B --，若直线l 过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的 取值范围_____4-≤k 或43≥k11.已知关于x 0x m +=有两个不等实数根，则实数m 的取值范围1m ≤-12.设AB 是椭圆221164x y +=的长轴，若把AB 分成10等分，依次过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半部分于129P P P 、、。
1F 为椭圆的左焦点，则11112FA F P F P +++191F P FB ++的值___________。
44 二、选择题（每题4分）。
13. 若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的____________ （ C ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分又非必要条件14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是 （ B ）（A ）192522=+y x （B ）125922=+y x 或192522=+y x（C ）125922=+y x（D ）1251622=+y x 或191622=+y x15. 圆上的点到直线043=+y x 的距离的最大值是 （ C ）)(A53 B)(51)(C 552+ )(D 552-16. 已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点， 长轴长为a 2，焦距为2c. 当静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线击出， 经椭圆壁反弹后再回到点A 时，小球经过的路程是 （ D ） （A ）a 4 （B ）)(2c a - (C) )(2c a + （D ）以上三种情况都有可能三、 解答题（共42分）。
2018-2019学年上海市浦东新区高二下学期期中数学试题 解析版
【答案】B
【解析】
【分析】
本题可通过令 并对 进行运算即可判断出①是否错误；通过令 即可判断出②是否正确；通过取 可判断出③是否正确；最后可通过 判断出复数的虚部为 即可得出④是否正确。
【详解】
①：令 ，则 ，若 ，则有 ，即 ，错误；
②： ，若 ， ，不是纯虚数，错误；
【详解】
设 ，以 所在直线为x轴，以 得垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则 ，
设P的坐标为 ，则 ，
由题意， ，即 ．
当 时，方程化为 ，表示直线；
当 时，方程化为 ，表示圆；
当 时，方程化为 ，表示双曲线；
当 且 时，方程化为 ，表示椭圆，
所以动点P的轨迹可能是：①直线；②圆；④双曲线；⑤椭圆．
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查点的轨迹问题，主要考查直线、圆以及圆锥曲线的轨迹问题，能否明确每一种轨迹方程的特征是解决本题的关键，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题
18．以下四个命题：
①满足 的复数只有 ， ；
②若a、b是两个相等的实数，则 是纯虚数；
③ ；
④复数 的充要条件是 ；
其中正确的有（ ）
把点 代入方程可得 或 ，
故抛物线的标准方程 或 ，故选D。
【点睛】
本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查抛物线的标准方程以及简单性质的应用，可设抛物线的标准方程为 或 ，考查计算能力，是简单题。
3．若椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则实数 为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】由方程可知，双曲线焦点在 轴上，
②若a∥b，b⊥c，利用“等角定理”可得a⊥c，故正确；
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二(下)期中数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期中数学试卷一、填空题：1．（3分）设a，b是平面M外两条直线，且a∥M，那么a∥b是b∥M的条件．2．（3分）已知直线a，b及平面α，下列命题中：①；②；③；④．正确命题的序号为（注：把你认为正确的序号都填上）．3．（3分）地球北纬45°圈上有A，B两地分别在东经80°和170°处，若地球半径为R，则A，B两地的球面距离为．4．（3分）如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是．5．（3分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝，则球O的表面积为．6．（3分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱P A＝a，PB＝PD＝a，则它的5个面中，互相垂直的面有对．7．（3分）如图由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成，将4个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为．8．（3分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为．9．（3分）四面体的6条棱所对应的6个二面角中，钝二面角最多有个．10．（3分）在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为．二、选择题：11．（3分）当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A．三点确定一平面B．不共线三点确定一平面C．两条相交直线确定一平面D．两条平行直线确定一平面12．（3分）正方体被平面所截得的图形不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形13．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等14．（3分）由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）A．5B．6C．7D．8三、解答题：15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：空间四边形B1EDF 是菱形．16．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D 的中心．（1）求三棱锥A1﹣D1EF的体积；（2）求异面直线A1E与AB的夹角；（3）求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB，N是CC1的中点，M是线段AB1上的动点，且AM＝λAB1．（1）若，求证：MN⊥AA1；（2）求二面角B1﹣AB﹣N的余弦值；（3）若直线N与平面ABN所成角的大小为θ，求sinθ的最大值．18．平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体ABCD中棱AB，AC，AD两两垂直，那么称四面体ABCD为直角四面体．请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明．（请在结论1～3中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中h表示斜边上的高，r，R分别表示内切圆与外接圆的半径）直角三角形ABC直角四面体ABCD 条件AB⊥AC AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD结论1AB2+AC2＝BC2结论2sin2B+sin2C＝1结论3＝结论4＝结论5（2R）2＝（AB2+BC2+CA2）2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）设a，b是平面M外两条直线，且a∥M，那么a∥b是b∥M的充分不必要条件．【分析】判断由a∥b能否得到b∥M，再判断由b∥M能否得到a∥b即可．【解答】解：证明充分性：若a∥b，结合a∥M，且b在平面M外，可得b∥M，是充分条件；证明必要性：若b∥M，结合a∥M，且a，b是平面M外，则a，b可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．故a∥b是b∥M的“充分不必要”故答案为：充分不必要．【点评】本题考查空间线面平行，线线平行之间的关系，充分条件和必要条件，属于简单题．2．（3分）已知直线a，b及平面α，下列命题中：①；②；③；④．正确命题的序号为④（注：把你认为正确的序号都填上）．【分析】对于四个选项一一进行判断，不成立可列举反例验证说明．【解答】解：对于①若b⊥α，a⊥b，则a?α或a∥α；对于②，a⊥b，b∥α则a也可与α平行；对于③a?α时，不成立；对于④，根据两条平行线中有一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故正确故答案为④．【点评】本题的考点是平面的基本性质及推论，主要考查线、面的位置关系，注意掌握反例排除．3．（3分）地球北纬45°圈上有A，B两地分别在东经80°和170°处，若地球半径为R，则A，B两地的球面距离为R．【分析】由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离．【解答】解：地球表面上从A地（北纬45°，东经80°）到B地（北纬45°，西经170°），A，B两地都在北纬45°上，对应的纬圆半径是，经度差是90°．∴AB＝R，得球心角是．∴A，B两地的球面距离是．故答案为：．【点评】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．4．（3分）如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是．【分析】由题意画出图形，求得球的半径，再计算体积得答案．【解答】解：球和立方体的每条棱都相切，则球的直径为立方体的面对角线长度，∴单位立方体的棱切球的半径为，则球的体积为．故答案为：．【点评】本题考查空间想象能力，球的体积计算，是基础题．5．（3分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝，则球O的表面积为20π．【分析】由余弦定理求出BC＝2，利用正弦定理得∠ABC＝90°．从而△ABC截球O 所得的圆O′的半径r＝AC＝2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝，∴BC＝＝2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠ABC＝90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r＝AC＝2，∴球O的半径R＝＝，∴球O的表面积S＝4πR2＝20π．故答案为：20π．【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．6．（3分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱P A＝a，PB＝PD＝a，则它的5个面中，互相垂直的面有5对．【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列举出互相垂直的平面即可．【解答】解：底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，可得PA ⊥底面ABCDP A?平面P AB，P A?平面P AD，可得：面P AB⊥面ABCD，面P AD⊥面ABCD，AB⊥面P AD，可得：面P AB⊥面PAD，BC⊥面P AB，可得：面P AB⊥面PBC，CD⊥面PAD，可得：面P AD⊥面PCD；故答案为：5【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的结构，是基础题．7．（3分）如图由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成，将4个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为．【分析】由已知中正四棱锥的展开图为一个边长为2的正方形及四个正三角形，我们可以分别计算出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出折起后形成的四棱锥的体积．【解答】解：由已知中由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成故该棱锥的底面面积S＝2×2＝4侧高为正三角形的高则棱锥的高h＝＝故折起后形成的四棱锥的体积V＝＝故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱棱的体积，其中根据已知条件，计算出棱锥的底面面积，及结合正四棱锥中（其中h为棱锥的高，H为棱锥的侧高，a为底面的棱长）求出棱锥的高，是解答本题的关键．8．（3分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为2+．【分析】求出直观图中，DC，BC，S梯形ABCD，然后利与用平面图形与直观图形面积的比是，求出平面图形的面积．【解答】解：DC＝AB sin 45°＝，BC＝ABsin 45°+AD＝+1，S梯形ABCD＝（AD+BC）DC＝（2+）＝+，S＝S梯形ABCD＝2+．故答案为：2+【点评】本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．9．（3分）四面体的6条棱所对应的6个二面角中，钝二面角最多有3个．【分析】通过定性分析，对四面体取特殊情况可以得到钝二面角的个数【解答】解：将三棱锥的顶点，向下压到与底重合，侧面的3个二面角都是180°，将这个顶点稍稍提高一点点，离开底面，此时3个侧面的二面角都是钝角．故答案为：3．【点评】本题考查利用极限思想，通过定性分析来解决问题，属于简单题．10．（3分）在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为．【分析】三角形的内角平分线定理类比到空间三棱锥，根据面积类比体积，长度类比面积，从而得到．【解答】解：在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：，故答案为：．【点评】本题考查了类比推理，将平面中的性质类比到空间．二、选择题：11．（3分）当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A．三点确定一平面B．不共线三点确定一平面C．两条相交直线确定一平面D．两条平行直线确定一平面【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定，此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上．【解答】解：自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定．故选：B．【点评】本题考查不同线的三个点确定一个平面，属于简单题．12．（3分）正方体被平面所截得的图形不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】平面与正方体相交与不同的位置，可以出现不同的几何图形，不可能出现正五边形【解答】解：如图所示，平面与正方体相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，．故选：C．【点评】本题考查了截一个几何体，明确几何体的特征，是解好本题的关键．本题属基础题．13．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【分析】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14．（3分）由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）A．5B．6C．7D．8【分析】通过主视图和左视图分析出原几何体的形状，可以得到原几何体的体积【解答】解：通过主视图和左视图分析出原几何体的形状如图所示，可知最少共有7个单位立方体．则几何体的体积最小值为7．故选：C．【点评】本题考查由三视图还原几何体，空间想象能力，属于基础题．三、解答题：15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：空间四边形B1EDF 是菱形．【分析】由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF为平行四边形，得BG∥B1F，再由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG＝DE，从而得到B1F∥DE，且B1F＝DE，进一步得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E＝B1F，得到四边形B1EDF是菱形；【解答】证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B＝FG，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG＝DE，则B1F∥DE，且B1F＝DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E＝B1F，∴四边形B1EDF是菱形；．【点评】本题考查正方体内线段之间的关系，空间四边形的证明，属于简单题．16．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D 的中心．（1）求三棱锥A1﹣D1EF的体积；（2）求异面直线A1E与AB的夹角；（3）求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）【分析】（1）对三棱锥A1﹣D1EF换底，换成以F为顶点，△A1D1E为底的三棱锥，求出底面△A1D1E的面积和对应的高，得到所求的体积；（2）找到异面直线A1E与AB所成的角，在△EA1B1内由余弦定理求出；（3）找出直线EF与底面A1B1C1D1所成的角，再计算大小．【解答】解：（1）由题意知，＝＝??h＝×（×2×1）×1＝；（2）∵A1B1∥AB，∴∠EA1B1或其补角即为异面直线A1E与AB所成角，在△EA1B1，A1E＝EB1＝，A1B1＝2，∴cos∠EA1B1＝＝＝，∴异面直线A1E与AB所成角为arccos；（3）取A1D1中点M，联结MF，∵MF∥A1A且A1A⊥平面A1B1C1D1，∴MF⊥平面A1B1C1D1，∴∠FEM即为EF与底面A1B1C1D1所成的角，MF＝AA1＝1，ME＝∴tan∠FEM＝＝＝，∴EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱锥等体积转化，求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，属于中档题．17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB，N是CC1的中点，M是线段AB1上的动点，且AM＝λAB1．（1）若，求证：MN⊥AA1；（2）求二面角B1﹣AB﹣N的余弦值；（3）若直线N与平面ABN所成角的大小为θ，求sinθ的最大值．【分析】（1）取AA1中点D，通过线线垂直证明AA1⊥平面MND，从而得到MN⊥AA1；（2）取AB中点E，A1B1中点F，联结EN、EF、FN，则∠FEN即为二面角B1﹣AB﹣N 的平面角，再利用余弦定理求出其余弦值．（3）利用等体积法，求出M到平面ABN的距离及MN的长度，从而表示出sinθ关于λ的函数，求出最大值．【解答】解：（1）取AA1中点D，联结MD和ND，∵λ＝，∴M为AB1中点，又D为AA1中点，∴MD∥B1A1，∵B1A1⊥AA1，∴MD⊥AA1，同理ND⊥AA1，∴AA1⊥平面MND，∴MN⊥AA1；（2）取AB中点E，A1B1中点F，联结EN、EF、FN，则EN⊥AB，EF⊥AB，∠FEN即为二面角B1﹣AB﹣N的平面角，设AB＝2a（a＞0），则EF＝4a，EN＝FN＝a，∴cos∠FEN＝＝，即二面角B1﹣AB﹣N的余弦值为；（3）设AB＝2a（a＞0），M到平面ABN的距离为d，则S△ABM＝λ＝λ??2a?4a＝4λa2，S△ABN＝?2a?a＝a2；由等体积法，V三棱锥N﹣ABM＝V三棱锥M﹣ABN，即?S△ABM?a＝?S△ABM?d，可得d＝λa，而MN＝＝2a，∴sinθ＝＝?＝?＝?≤?＝，当且仅当＝，即λ＝时，等号成立，即sinθ的最大值为．【点评】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，二面角的求法，以及线面角的正弦值的表示，属于中档题．18．平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体ABCD中棱AB，AC，AD两两垂直，那么称四面体ABCD为直角四面体．请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明．（请在结论1～3中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中h表示斜边上的高，r，R分别表示内切圆与外接圆的半径）直角三角形ABC直角四面体ABCD 条件AB⊥AC AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD结论1AB2+AC2＝BC2结论2sin2B+sin2C＝1结论3＝结论4＝结论5（2R）2＝（AB2+BC2+CA2）【分析】在得到结论时，直角三角形中的长度类比成直角四面体的面积，角度类比成二面角，等面积类比成等体积，外接圆类比成外接球．结论1：分别表示、、，然后证明结论2：在△DAE中利用等面积法，表示出高d，然后分别表示sin2α、sin2β、sin2γ，再证明sin2α+sin2β+sin2γ＝1结论3：利用结论2中得到的d的表达式，再表示出，再证明结论4：内切球的球心与四个顶点相连接，把三棱锥分成四个小的三棱锥，利用V D﹣ABC ＝V O﹣ABC+V O﹣ABD+V O﹣ACD+V O﹣BCD进行证明结论5：将直角四面体ABCD补形成为以AB、AC、AD为长、宽、高的长方体，再进行证明．【解答】解：记△ABC、△ABD、△ACD、△BCD的面积依次为S1、S2、S3、S，平面BCD与AB、AC、AD所成角依次为α、β、γ，点A到平面BCD的距离为d，r，R分别表示内切球与外接球的半径，内切球的球心为O，直角三角形ABC直角四面体ABCD 条件AB⊥AC AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD结论1AB2+AC2＝BC2结论2sin2B+sin2C＝1sin2α+sin2β+sin2γ＝1结论3＝结论4＝结论5（2R）2＝（AB2+BC2+CA2）（2R）2＝AB2+AC2+BC2证明：设AB＝a、AC＝b、AD＝c，过A作AE⊥BC，垂足为E，联结DE，过A作AH⊥DE，垂足为H，易证：DE⊥BC，AH⊥平面BCD，则d＝AH，结论1：＝＝，在Rt△ABC中，AE＝．DE＝＝，＝∴；结论2：d＝AH＝＝＝，∴sinα＝＝．同理，sinβ＝，sinγ＝，∴sin2α+sin2β+sin2γ＝＝1；结论3：∵d＝，∴＝，又＝＝，∴结论4：∵V D﹣ABC＝V O﹣ABC+V OABD+V O﹣ACD+V O﹣BCD，∴＝+．从而＝，即；结论5：将直角四面体ABCD补形成为以AB、AC、AD为长、宽、高的长方体，则长方体的体对角线即为直角四面体ABCD的外接球的直径，即（2R）2＝AB2+BC2+CA2．【点评】本题考查平面图形向立体图形的推广，涉及到侧面积的表示，线面角的表示，几何体的体积分割法求内切球半径，补齐几何体求外接球半径等，属于难题．。
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2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为．4．（3分）若复数z=，则|z|=5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为6．（3分）已知复数z 1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为．10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．814．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不确定16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccos B．2arctanC．π﹣2arctanb D．2arctanb三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为2．【分析】复数a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b．【解答】解：复数a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b．∴复数1+2i的虚部为2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数虚部的概念．虽然概念简单，但实际训练中，往往望文生义，错误的答为bi．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于13【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【解答】解：关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），k ∈R．则a﹣3i也是此方程的一个根．∴a+3i+a﹣3i=﹣4，（a+3i）（a﹣3i）=k，解得a=﹣2．k=4+9=13．故答案为：13．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为60°．【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1=0化为y=x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ=60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了斜截式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．4．（3分）若复数z=，则|z|=【分析】复数代数形式的乘除运算法则求出z=﹣1﹣i，由此能求出|z|．【解答】解：∵复数z=======﹣1﹣i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为2【分析】由曲线方程可知：曲线y=为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（x轴上侧），从而根据曲线y=与直线x=m有且只有一个公共点，可求实数m的值．【解答】解：由题意，曲线y=为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（x轴上侧）与直线L：y=m（L∥x轴）有且只有一个公共点∴m=2故答案为：2．【点评】本题以圆为载体，考查直线与圆的位置关系，关键是利用圆的特殊性．6．（3分）已知复数z 1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z 1，再由其虚部为0求得t值．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=t+4i，∴z 1=（3+4i）（t﹣4i）=（3t+16）+（4t﹣12）i，由z 1是实数，得4t﹣12=0，即t=3．故答案为：3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是2【分析】直接利用复数模的公式列式，再由三角函数最值的求法得答案．【解答】解：∵z=cosθ+isinθ，∴|z﹣i|=|cosθ+（sinθ﹣1）i|==．∴当sinθ=﹣1时，|z﹣i|的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题考查复数的模，考查三角函数最值的求法，是基础题．8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为【分析】求得双曲线的标准方程，则求得焦点和顶点坐标，即可求得a和c，则b2=a2﹣c2，即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：双曲线=1可得双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为（，0），（，0），顶点坐标为（3，0），（﹣3，0），由题意设椭圆的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），顶点坐标为（，0），（，0），则a=2，c=3，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：，故答案为：，【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查双曲线的简单几何性质，属于基础题．9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为（2，2）．【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，即可得到结论．．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，∵A（3，2），∴P点的纵坐标y=2，此时由y2=2x得x=，即P（2，2），故答案为：（2，2）【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生数形结合的思想和抛物线定义的应用，利用抛物线的定义是解决本题的关键．10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为50【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．【解答】解：根据题意双曲线=1，双曲线图象如图：|AF2|﹣|AF1|=2a=16 ①|BF2|﹣|BF1|=2a=16 ②而|AB|=9，①+②得：|AF2|+|BF2|=41，∴周长为50．故答案为：50．【点评】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为（x﹣5）2+y2=16．【分析】求出椭圆的右焦点得到圆心，再求出双曲线的渐近线，由圆心到渐近线的距离得到圆的半径，由此可以得到圆的方程．【解答】解：∵c2=169﹣144=25，∴椭圆的右焦点为F（5，0），∴所求圆的圆心坐标是（5，0）．∵双曲线的渐近线方程是，由点到直线的距离公式可知（5，0）到的距离=4，∴所求圆的半径为4．故所求圆的方程是（x﹣5）2+y2=16．答案：（x﹣5）2+y2=16．【点评】求出圆的圆心和半径，就得到圆的方程．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是[1，]【分析】化简|PA|=m|PB|，通过距离公式以及基本不等式转化求解最值即可．【解答】解：设P（，y），由题意可得m2====1+，1≤m2≤1+=3，∴1≤m≤，当且仅当y2=2时，m取得最大值，y=0时，m取得最小值，则m的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，基本不等式的应用，运用基本不等式求出m2≤3，是解题的关键．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】先根据抛物线的方程求出p的值，即可得到答案．【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．14．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆【分析】分情况讨论，可得当P不在直线F1F2上时或在直线F1F2上且在F1、F2两点之外时，都有|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；只有点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，符合题意．由此得到本题答案．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=5，且|F1F2|=5∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|①当点P不在直线F1F2上时，根据三角形两边之和大于第三边，得|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；②当点P在直线F1F2上时，若点P在F1、F2两点之外时，可得|PF1|+|PF2|＞5，得到|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；若点P在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|，符合题意．综上所述，得点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间或与F1、F2重合，故点P的轨迹是线段F1F2．故选：B．【点评】本题给出动点P满足的条件，求P点的轨迹，着重考查了动点轨迹的求法和椭圆的定义等知识，属于基本知识的考查．15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不确定【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．【解答】解：椭圆得∴c1=，∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），双曲线：有则半焦距c2=∴则实数m=±1故选：C．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，主要考查了椭圆双曲线的标准方程．在求曲线方程的问题中，巧识方程，解题时要充分注意．16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccos B．2arctanC．π﹣2arctanb D．2arctanb【分析】求出双曲线的渐近线，结合直线的斜率求出直线的倾斜角即可得到结论．【解答】解：双曲线的标准方程为x2﹣=1（b＞1），则渐近线方程为y=±bx，直线的倾斜角为α，由y=bx得渐近线的斜率b=tanα，cosα=，则α=arctanb，b＞1，，双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，θ=π﹣2arctanb．也可以是：2arctan；也可以是arccos．双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为：2arctanb．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的夹角问题，求出双曲线的渐近线是解决本题的关键．比较基础．三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入|z|2+（z+）i=1﹣i，由复数相等的条件列式求解．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则由|z|2+（z+）i=1﹣i，得：a2+b2+2ai=1﹣i，∴，即或．故z=﹣或．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．【分析】根据题意，设出双曲线的方程为﹣x2=t，将点（1，1）的坐标代入方程，计算可得t的值，将方程变形即可得答案．【解答】解：根据题意，要求双曲线的渐近线为y=±x，设其方程为﹣x2=t，又由双曲线经过点（1，1），则﹣1=t，则t=﹣，则双曲线的方程为﹣x2=﹣，即2x2﹣y2=1．则双曲线的方程为2x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，关键是由双曲线的渐近线方程设出其方程．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．【分析】根据题意，分析可得抛物线的开口向上或向左，据此分2种情况讨论，分析设出抛物线的方程，将M的坐标代入计算可得p的值，综合2种情况即可得答案．【解答】解：根据题意，要求抛物线经过点M（﹣2，4），则该抛物线开口向上或向左，若抛物线开口向左，设其方程为y2=﹣2px，又由其经过点M（﹣2，4），则有16=（﹣2）×p×（﹣2），解可得p=4，此时抛物线的方程为y2=﹣8x，若抛物线开口向上，设其方程为x2=2py，又由其经过点M（﹣2，4），则有（﹣2）2=2p×4，解可得p=，此时抛物线的方程为x2=y，综合可得：抛物线的方程为x2=y或y2=﹣8x．【点评】本题考查抛物线的标准方程，关键是依据点M的坐标，分析抛物线开口的方向，设出其方程．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．【分析】椭圆的焦点F1（﹣2，0）、F2（2，0），焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），c=2 ，a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，即可求得椭圆的方程；将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，根据中点坐标公式即可求得线段AB的中点坐标．【解答】解：椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；由，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．【分析】（1）方程表示圆时：分母相等且为正；表示双曲线时：分母异号，列出方程或不等式求解即可．（2）点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，推出m关于t的表达式，利用基本不等式求解表达式的范围，然后推出m的范围．【解答】解：（1）因为方程表示圆时，4﹣t=t﹣2＞0，解得t=3，此时，此方程表示圆．因为方程表示双曲线时，（4﹣t）（t﹣2）＜0，即t＜2或t＞4，所以当t＜2或t ＞4时，此方程表示双曲线．（2）点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，方程≠1，即m2≠（4﹣t）•（）=，当t＞2时，≥3+2，当t＜2时，≤3﹣2．可得m∈（3﹣2，3+2）．【点评】（1）本小题主要考查圆锥曲线的共同特征，圆、双曲线的方程特征是解题的关键，属于基础题；（2）本小题考查函数与方程思想的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。