相关系数

b可简记为:
(横纵积和)减(横纵平均积和) (横方和)减(横平均方和)
这样的得到的方程
y bx a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
即为线性回归方程,
其中a, b是线性回归方程的系数.
例题
某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与 当天气温(x)的数据如表所示:
气温(x) 26
18
13
10
4
-1
杯数(y) 20
24
34
38
50
64
(1)试用最小二乘法求出线性回归方程. (2)如果某天的气温是-3C.请你预测这天可能会卖出热茶多少杯. 解: (1)根据数据可得到如下散点图: 杯数/杯
(3)线性回归方程的求解步骤 (4)线性回归方程必过点 x, y
问题 提出
(1)若两变量初步预定为线性相 关关系,则他们的线性相关程度 究竟如何刻画或检验呢？
(2)线性相关与非线性相关仅以 散点图的走趋来判断？
相关 系数
r
n
x y
i1 i
n
i
nx y
x
i1
2 i
nx
2
y
必修三 回归
复习概念
不相关（无 任何关系）
线性相关 （直线）
散点图 的集中 趋势 散点图
非线性相关 （非直线）
两变量 间关系
最小二乘法估计 线性相关方程
思路方法
一个好的线性关系要保证这条直线与所有散点都 近,此为最小二乘法的根本思想.
y
xi , yi
●
Y=bx+a
假设我们所求拟合直线方程为 y bx a, 任意给定一个样本点
对数型函数y a b ln x, 可作如下变换: v ln x, 则 模型可转化为线性回归 模型: y a bv. 指数型函数 y aebx , 可作如下变换: u ln y, c ln a则 模型可转化为线性回归 模型: u c bx. 幂数型函数 y axb , 可作如下变换: u ln y, v ln x, c ln a, 则模型可转化为线性回 归模型: u c bx.
xi2
676 324 169 100 16 1
xi yi
520 432 442 380 200 -64
进而可以求得
b 1.648, a 57.557 y 57.557 1.648 x
(2)略.
合计
70
230
1286 1910
知识总结 (1)最小二乘估计的思想方法
(2)线性回归方程的系数a,b的求解
xi , yi .我们用 yi bxi a
xi , a bxi
●
2
来刻画这个样本点与直线之间的距离 (此为竖直距离的平方),
x 用它来表示二者之间的接近程度.
求解过程
如果有n个点 x1 , y1 , x2 , y2
2
xn , yn ,
i1
n
2 i
ny
2
总结
相关系数r的范围:r∈[-1,1], r>0,正相关;r<0,负相关;|r|越大,相 关程度越强.
问题2
基于非线性相关的不确定性和线性 相关程度的可检验性,是否可将非 线性相关问题转化为线性相关问题？
若变量y与x有如下关系:
1 b a y x
引例
1 b 作如下变换: u , v , 则 y x 模型可转化为线性回归 模型 : u a bv,
xn
y1 y2 ,y n
yn
, 可以求得 :
用配方法可以求得: b x1 y1 x2 y2 x x
2 1 2 2
xn yn nx y x nx
2 n 2

x y
i 1 n i
n
i
nx y nx
2
x
i 1
2 i
a y bx
归纳
70 60 50 40 30 20 10
0 -1
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23 25 27 气温/C
由散点图可以看出,表中两个变量是线性相关的.
35 115 先求得 x , y , 又由表 3 3
i
1 2 3 4 5 6
xi
26 18 13 10 4 -1
yi
20 24 34 38 50 64
归纳总结 (1)线性回归方程的求解步骤
(2)线性回归方程必过点 x, y (3)相关系数的求解及范围意义
(4)非线性关系向线性的转化
2 2
则这些点与直线y bx a的接近程度可以刻画为 M y1 bx1 a y2 bx2 a yn bxn a 当M 为最小时所求直线即为我们拟合所求的最佳直线, 该法称为最小二乘法.
x1 x2 如果 x n