南通市2010届高三数学附加题考前指导

南通市2010届高三数学附加题考前指导一．矩阵变换1. 二阶行矩的乘法:一般地M N NM ≠，nM MM M =，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦2. 二阶行矩的乘法:一般地M N NM ≠，nM MMM =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦。

cos sin sin cos A θθθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,nA 表示几何意义是什么？3.几种常见的平面变换 (1) 恒等变换阵（即单位矩阵）： (2) 伸压变换: (3) 反射变换：（4）旋转变换：（5）投影变换： （6）切变换：4.逆矩阵常见的方法：ＡＢ＝ＢＡ＝E（1）用待定系数法求逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，ＡＢ＝ＢＡ＝E ； （2）公式法：a bc d ＝ad bc -，记为：detA ，有1det det det det db A A A ca A A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当detA=ad bc -≠0；（3）从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵； （4）(AB)－1＝B －1A －1 。

5利用逆矩阵解方程组 ax b m cx dy n+=⎧⎨+=⎩可以表示成a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，简写成AX B =,111A AX AB X A B ---=⇒= 6.求特征向量和特征值的步骤： （1）() -() ()a b f c d λλλ-=--=0；（2）解()0()0a x by cx d y λλ--=⎧⎨-+-=⎩()0a x by λ⇔--=；（3）取1x=或者1y =，写出相应的向量；7．如何求nM β的步骤： （1）求M αλα=，即M 的特征值λ和特征向量α；（2）用特征向量12,αα线性表示向量x y β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即12,,m n m n βαα=+是常数，但一般不是12,λλ；（3）代入12()M M m n βαα=+=12mM nM αα+,因为111M αλα=222M αλα=，12mM nM αα+=1122m n λαλα+，依此，n M β=1122n nm n λαλα+；例1.求矩阵M=⎢⎢⎣⎡251- ⎥⎥⎦⎤32的特征值和特征向量解：M=⎢⎢⎣⎡251- ⎥⎥⎦⎤32 有两个特征值λ1=4，λ2=-2，属于λ1=4的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡52，属于λ2=-2的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡12-。

例2. 例18. 已知M=1 -23,-2 11α⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试计算20M α 解：2020202020113232(1)1132M α⎡⎤+⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦二．参数方程、极坐标1. 常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系：正弦定理sin sin OP OMOMP OPM=∠∠，0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-； （2）圆心P 00(,)ρθ半径为R 的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理2.参数方程化为直角坐标：消去参数（1）圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：cos ,sin x a r x b r θθ-=-=（2）椭圆22221x y a b+=的参数方程：cos ,sin x a x b θθ==（3）直线过点M 00(,)x y ,倾斜角为α的参数方程：00tan y y x x α-=-即00cos sin x x y y t θθ--==，即⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 00是参数t t y y t x x αα注：0cos x x t θ-=，0sin y y tθ-=根据锐角三角函数定义，T 的几何意义是有向线段MP 的数量；3. 极坐标和直角坐标互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合.（2）将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。

4．曲线的极坐标方程(1)求曲线轨迹的方程步骤： （1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P (,)ρθ；（3）写出等式；（4）根据,ρθ几何意义用,ρθ表示上述等式，并化简（注意：,x y ρθ≠≠）；（5）验证。

注意：常见的技巧（1）直接法；（2）定义法；（3）坐标转移法（利用,ρθ几何意义） (2)求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程 ⑶代入法(相关点法或转移法).⑷定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 例1． 已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长． 解：直线l 与曲线C相交所成的弦的弦长例2. 已知圆C的参数方程为2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点，以圆心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆C 的切线的极坐标方程。

解：5cos()26πρθ-=即为所求切线的极坐标方程． 三．定积分 1、基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m＝111++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x ＝xe ＋C ；⎰dx a x＝a a xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）。

（2）定积分的性质①⎰⎰=ba badx x f k dx x kf )()(（k 为常数）； ②⎰⎰⎰±=±ba b abadx x g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=bac abcdx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

例1、如图，过点A (6，4)作曲线()f x =l ． （1）求切线l 的方程；（2）求切线l ，x 轴及曲线所围成的封闭图形的面积S ．解：（1）∵()f x '=，∴1(6)2f '=，∴切线l 的方程为：14(6)2y x -=-，即材112y x =+．（2）令()f x =，则x =2．令112y x =+=0，则x = -2。

∴A=6221(1)2x dx -+-⎰⎰=3226611()(48)2246x x x +---=163四．用向量方法求空间角和距离⑴求异面直线所成的角：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角||||||arccosa b a b α⋅⋅=；⑵求线面角：设l 是斜线l 方向向量,n 是平面α法向量, 与直线l 则斜线l 的锐夹角为ϑ,||||||cos l n l n θ⋅⋅=，则斜线l 与平面α成角为ϑ-090，或||||||sin l n l n α⋅⋅=； 注意：||||||cos l n l n θ⋅⋅=得到的角ϑ是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；⑶求二面角(法一)在α内a l ⊥,在β内b l ⊥,其方向如图(略),则||||cos a b a b α⋅⋅=；(法二)设1n ,2n 是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l αβ--的平面角1212||||cos n n n n α⋅⋅=；注：12120||||cos n n n n α<⋅⋅=不能判断二面角是钝角，还要根据图形辨别；（4)求点面距离：设n 是α法向量,在α内取一点B ,则A 到α距离|||||cos |||AB n dAB n θ⋅==(即AB 在n 方向上投影的绝对值)（5）坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz 时，使∠xOy=135°（或45°）， ∠yOz=90°。

(1)让右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指能指向z 轴的正方向，则称为右手直角坐标系； (2) OQ=x 、OR=y 、PA=z 分别叫做点A 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A （x,y,z ）； (3) 平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知， 不共线,，⊥⊥,则为平面α的法向量例1. 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且2,1====AB DC AD PA ,M是PB 的中点．（1）求AC 与PB 所成的角余弦值；（2）求二面角A MC B --的余弦值．解：（1）AC 与PB.（2）23-故所求的二面角的余弦值为.五．排列、组合、二项式定理 1、排列数公式:!!()!(1)(1)(,,*)mnn m n m A n n n m m n m n N -=--+=≤∈, !nn A n =.组合数公式：(1)(1)()!(1)(2)321m mn nA n n n m C m n m m m m ⋅-⋅⋅⋅--==≤⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅,01nn n C C ==. 组合数性质：mn m n nC C -=；11r r rn n n C C C -++=. 2、二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)r n r rr n T C a b r n -+==；⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别.例1．已知)(321*∈++++=N n A A A A a nn n n n n，当n ≥2时，求证：⑴n a a n n =+-11；⑵12311111(1)(1)(1)(1)3n a a a a n++++-≤ （1）因为)2(A )]!1()1[()!1()!(!A 11n k n k n n n k n n k n kn ≤≤=----⋅=-=--，所以当2≥n 时，n n a n 1=)A A A (21n n n n +++ =)]A A ([11111---+++n n n n n n n111111)A A (1----+=+++=n n n n a . 所以na a n n =+-11．（2）由（1）得1111---=+n n n n na a a a ，即1111--=+n n n na a a ， 所以3241231231111(1)(1)(1)(1)234n a a a a a a a a a a +⋅+⋅+⋅⋅+=⋅⋅…nn a n a )1(1++11(1)!(1)!n a n n +==++)A A A (112111+++++++n n n n +-+=)!1(1!1n n (11)12!1!+++11(1)(1)(2)n n n n ≤++--- (2211)+⨯++-+-+--=)2111()111(n n n n …2)211(+-+n 13-=． ［另法：可用数学归纳法来证明+-+)!1(1!1n n …111132!1n+++≤-！］六．数学归纳法如果（1）当n 取第一个值0n （例如01,2n =等）时结论正确；（2）假设当nk =（*k N ∈，且0k n ≥）时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确．那么，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立．注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即1n k =+时为什么成立？1n k =+时成立是利用假设n k =时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1n k=+出时成立，而不是直接代入，否则1nk =+时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．例1．已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==⋅-∈ （1）求12,a a ；（2）证明12,n n a a n N +<<∈．解：（1）0100211131151,(4),(4),2228a a a a a a a ==-==-= 方法一 用数学归纳法证明：1°当n=0时，0131,,2a a == ∴210<<a a ，命题正确．2°假设n =k 时有.21<<-k k a a则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时11111112()()()()(4).22k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a -----=---+=---而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确． 由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a方法二：用数学归纳法证明：1°当n=0时，0131,,2a a ==∴2010<<<a a ；2°假设n =k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有。