Chapter6有限元分析中的单元性质特征与误差
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以一维杆单元为例，杆单元 的位移场为
x u ( x ) a1 a2 x 1 e l N iu ui N ju u j x ui e u j l
形函数矩阵
N Niu
N ju
1、左端发生单位位移，右端固定 2、右端发生单位位移，左端固定 3、发生刚体位移
6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
仍然以一维杆单元为例，它的刚度方程为
k11 k 21
k12 u1 p1 u p k22 2 2
1、考虑单元左端发生单位位移，右端固定情况 2、考虑单元右端发生单位位移，左端固定情况
3、考察刚体位移
乘大数法
K aa K ba K ab qa Pa q P K bb b b
qa 0
K ab qb Pa K bb qb Pb
直接法
M K aa K ba
K ab qa M Pa q P K bb b b
以一维三节点杆单元为例
u( x) N1u1 N 2u2 N3u3
k11 k 21 k31
k12 k 22 k32
k13 u1 p1 k 23 u2 p2 k33 u3 p3
第六章 有限元分析中的单元性质特征与误差处理
山东理工大学交通学院
李红艳
公共邮箱：yjs_fem @126.com
密码：123456
6.1单元节点编号与带宽存储
6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质 6.3边界条件的处理与支反力计算 6.4单元刚度矩阵的缩聚 6.5为以函数构造与收敛性要求 6.6C0型单元与C1型单元 6.7单元的拼片试验
0 0 K 36 K 46 K 56
0 0 0 0 0 K 77
K 66 K 67
0 0 0 0 K 58 0 K 78 K 88
K 11 K 22 K 33 K 44 K 55 K 66 K 77 K 88
一般情况下，当泛函中的导数高于一阶时，则要求许可函数在单 元交界面上具有C1或更高的连续性，这时构造单元的插值函数往 往比较困难。如果在单元之间的交界面上位移或导数不连续，将 在交界面上引起无限大的变形，这时必须产生附加应变能，而我 们建立泛函时，并没有考虑这种情况。因此，基于最小势能原理 得到的有限元分析解答就不可能收敛于正确解。
性质1：单元刚度矩阵的对角元素kii表示要使单元的第i个节点产生
单位位移，而其它的节点位移为0时，需要在i点施加的节点力。 性质2：单元刚度矩阵的对角元素kij（i≠j）表示要使单元的第j个节
点产生单位位移，而其它的节点位移为0时，需要在i点施加的节点
力。 性质3：单元刚度矩阵是对称的。这可以由功的互等定理得到。对
以一般的梁问题为例
U W 1 2 EIz v dx p x x dx v l 2 l
从上式可以看出，所出现的物理量是关于位移的最高阶导数为2，因 此假定形状函数的时候，形函数至少应该包含完整的二次多项式。 由准则2可知，位移函数为C1连续，即在单元之间的位移函数至少要 求一阶导数连续。
Kaa qa Kab Kbb1 Pb Kba qa Pa qb Kbb1 Pb Kba qa
K aa qa K ab qb Pa K ba qa K bb qb Pb
6.5位移函数构造与收敛性要求
单元中的位移模式一般采用设有待定系数的有限多项式作为近似 函数，优先多项式的选取原则应该考虑以下几个方面：
以一般的平面问题为例
U W 1 x x y y z z xy xy yz yz zx zx d 2 bx u by v bz w d px u p y v pz w dA sp
从上式可以看出，所出现的物理量是关于位移的最高阶导数为1，因 此假定形状函数的时候，形函数至少应该包含完整的一次多项式。 由准则2可知，位移函数为C0连续，即在单元之间的位移函数要求零 阶导数连续。亦即函数的本身连续，而其一阶导数可以不连续。
协调元与非协调元
当单元的位移函数满足完备性要求时，称单元是完备的（一般都比 较容易满足），当单元的位移函数满足协调性条件时，称单元是 协调的（在单元与单元之间的公共边界上对于高阶连续性要求较 难满足）。 当单元的位移函数即完备又协调时，则有限元分析的解答是收敛的， 即当单元尺寸趋于零时，有限元分析的解答趋于真实解。我们称 这种单元为协调单元。
qa 0
K ab qb Pa K bb qb Pb
直接法
1 0 qa 0 0 K q P bb b b
qa 0
Kbb qb Pb
1、只能处理零约束情况。 2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列，适合于计算机处理。 3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。
K 12 0 K 23 0 K 34 0 K 45 K 46 K 56 0 K 67 0 K 78
K 14 0 K 36 0 K 58
K 11 K 21 K 31 K 41 K 51 K 61 K 71 K 81
Hale Waihona Puke Baidu
6.8有限元分析数值解的精度与性质
6.9单元应力的计算结果的误差与平均处理 6.10控制误差和提高精度的h方法和p方法
6.1单元节点编号与带宽存储
计算机进行有限元分析时， 需要存储所有单元和节点信 息，随着所求解问题自由度 的增大，计算规模的增大， 整体刚度矩阵的规模非常巨 大。
由于整体刚度矩阵中显现出 相邻单元之间的关联性，因 此矩阵中的大部分数据都为 零，反映非零数据的一个指 标就是带宽。
qa 0
K ab qb Pa K bb qb Pb
K aa K ba
K ab qa Pa K bb qb Pb
qa u
K aa u K ab qb Pa K ba u K bb qb Pb
-1 qb Kbb P Kbau b
1、既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。 2、处理过程直观。 3、待求矩阵的规模变小（维数变小），适合于手工处理。 4、矩阵的节点编号及排序改变，不利于计算机的规范化处理。
置“1”法
K aa K ba K ab qa Pa q P K bb b b
1、待定系数是由节点位移条件确定的，因此它的个数应该与节点 位移DOF个数相等。 2、在选取多项式时，必须选择常数项和完备的一次项。单元位移 模式中的常数项和一次项可以反映单元的刚体位移合唱应变的特 性。这是因为当划分的单元数趋于无穷时，即单元缩小趋于一点， 此时单元应变趋于常数。 3、选择多项式应该由低到高，尽量选取完全多项式以提高单元的 精度。
因此，在构造一个单元的位移函数时，应该参考由多项式函数构 成的Pascal三角形和上述原则进行函数项次的选取与构造。
收敛性问题
在有限元分析中，当节点数目或单元插值函数的项数趋于无穷大时， 即单元尺寸趋于零时，最后的解答如果能够无线的逼近准确解， 那么这样的位移函数或形函数是逼近于真实的，这就称为收敛。 为使有限元分析的解答收敛，位移函数必须满足一些收敛准则，这 些准则都经过过严密的理论验证。主要包括以下三个方面。
1 t 1 n n U q Kq kij ui u j 0 2 2 i 1 j 1 1 1 k11u12 k12u1u2 ...... k1n u1un k21u12 k22u1u2 ...... k 2 n u1un 2 2 1 ...... kn1u12 kn 2 u1u2 ...... knn u1un 2
6.3边界条件的处理与支反力的计算
位移边界条件在大多数情况下有两种类型。
1、零位移边界条件 2、给定具体数值的位移边界条件 根据上述两类边界条件，刚度方程的求解有以下几种方法： 1、直接法 2、置“1”法 3、乘大数法 4、罚函数法
直接法
K aa K ba K ab qa Pa q P K bb b b
除了罚函数法能够求出支反力以外，其它的方法都需要求解一定的 方程得到。
6.4单元刚度矩阵的缩聚
采用高次位移函数的单元也常被称为高阶单元。对于高次单元来 说，除了几何端点以外，其余的那些节点可能与其它的单元不发 生关系，当中间的节点与其它单元无关时，我们称作是内部节点。 而其余的节点是外部节点。既然内部节点与其他单元无关，那么 在组成整体刚度之前，就可以把他们消去，也就是把内部节点的 位移用外部节点的位移来表示。
以一维三节点杆单元为例
k11 k 21 k31
k12 k 22 k32
k13 u1 p1 k 23 u2 p2 k33 u3 p3
K aa K ba
K ab qa Pa q P K bb b b
于线弹性体，力所做的功跟加载次序无关，这可以利用上面的性
质1和2得到。
性质4：单元刚度矩阵是半正定的。
性质5：单元刚度矩阵是奇异的。 性质6：单元刚度矩阵的任意行或列代表一个平衡力系，当节点位
移全部为线位移时，任意行或列的代数和应该为0。
同样，由单元刚度矩阵所组装的整体刚度矩阵也有以下性质： 1）对称性 2）奇异性 3）半正定性 4）稀疏性 5）非零元素呈现带状分布
M K aa u K ab qb M Pa K ba u K bb qb Pb
1、 既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。 2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列。 3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。
罚函数法
罚函数法的最大好处是可以直接求出位移边界上的支反力。 反力的计算： 支
收敛性准则
定义：当单元尺寸趋于零时，有限元的解趋于真实解。 准则1：完备性准则（针对单元内部）。如果在势能泛函中所出现 的位移函数的最高阶导数是m阶，则有限元解答收敛性的条件之一 是选取单元内的位移场函数至少是m阶完全多项式。 准则2：协调性准则（针对单元之间）。如果在势能泛函中位移函 数所出现的最高阶导数是m阶，那么位移函数在单元交界面上必须 具有直至m-1阶的连续导数，即Cm-1连续性。
K 12 K 13 K 14 K 22 K 23 K 24 K 32 K 33 K 34 K 42 K 43 K 44 K 52 K 53 K 54 K 62 K 63 K 64 K 72 K 73 K 74 K 82 K 83 K 84
6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
由于刚度矩阵是对称的，可以看出，若节点的自由度数目为m，则 每一个单元在整体刚度矩阵的半带宽为
di=（第i个单元中节点编号的最大差值+1）＊m d=max（ di ） （i=1，2……n） 其中n为整个结构系统的单元数。显然 对于二维问题，m=2 对于三维问题，m=3
K 11 K 12 0 K 14 0 K 22 K 23 0 0 K 33 K 34 0 K 44 K 45 K 55
x u ( x ) a1 a2 x 1 e l N iu ui N ju u j x ui e u j l
形函数矩阵
N Niu
N ju
1、左端发生单位位移，右端固定 2、右端发生单位位移，左端固定 3、发生刚体位移
6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
仍然以一维杆单元为例，它的刚度方程为
k11 k 21
k12 u1 p1 u p k22 2 2
1、考虑单元左端发生单位位移，右端固定情况 2、考虑单元右端发生单位位移，左端固定情况
3、考察刚体位移
乘大数法
K aa K ba K ab qa Pa q P K bb b b
qa 0
K ab qb Pa K bb qb Pb
直接法
M K aa K ba
K ab qa M Pa q P K bb b b
以一维三节点杆单元为例
u( x) N1u1 N 2u2 N3u3
k11 k 21 k31
k12 k 22 k32
k13 u1 p1 k 23 u2 p2 k33 u3 p3
第六章 有限元分析中的单元性质特征与误差处理
山东理工大学交通学院
李红艳
公共邮箱：yjs_fem @126.com
密码：123456
6.1单元节点编号与带宽存储
6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质 6.3边界条件的处理与支反力计算 6.4单元刚度矩阵的缩聚 6.5为以函数构造与收敛性要求 6.6C0型单元与C1型单元 6.7单元的拼片试验
0 0 K 36 K 46 K 56
0 0 0 0 0 K 77
K 66 K 67
0 0 0 0 K 58 0 K 78 K 88
K 11 K 22 K 33 K 44 K 55 K 66 K 77 K 88
一般情况下，当泛函中的导数高于一阶时，则要求许可函数在单 元交界面上具有C1或更高的连续性，这时构造单元的插值函数往 往比较困难。如果在单元之间的交界面上位移或导数不连续，将 在交界面上引起无限大的变形，这时必须产生附加应变能，而我 们建立泛函时，并没有考虑这种情况。因此，基于最小势能原理 得到的有限元分析解答就不可能收敛于正确解。
性质1：单元刚度矩阵的对角元素kii表示要使单元的第i个节点产生
单位位移，而其它的节点位移为0时，需要在i点施加的节点力。 性质2：单元刚度矩阵的对角元素kij（i≠j）表示要使单元的第j个节
点产生单位位移，而其它的节点位移为0时，需要在i点施加的节点
力。 性质3：单元刚度矩阵是对称的。这可以由功的互等定理得到。对
以一般的梁问题为例
U W 1 2 EIz v dx p x x dx v l 2 l
从上式可以看出，所出现的物理量是关于位移的最高阶导数为2，因 此假定形状函数的时候，形函数至少应该包含完整的二次多项式。 由准则2可知，位移函数为C1连续，即在单元之间的位移函数至少要 求一阶导数连续。
Kaa qa Kab Kbb1 Pb Kba qa Pa qb Kbb1 Pb Kba qa
K aa qa K ab qb Pa K ba qa K bb qb Pb
6.5位移函数构造与收敛性要求
单元中的位移模式一般采用设有待定系数的有限多项式作为近似 函数，优先多项式的选取原则应该考虑以下几个方面：
以一般的平面问题为例
U W 1 x x y y z z xy xy yz yz zx zx d 2 bx u by v bz w d px u p y v pz w dA sp
从上式可以看出，所出现的物理量是关于位移的最高阶导数为1，因 此假定形状函数的时候，形函数至少应该包含完整的一次多项式。 由准则2可知，位移函数为C0连续，即在单元之间的位移函数要求零 阶导数连续。亦即函数的本身连续，而其一阶导数可以不连续。
协调元与非协调元
当单元的位移函数满足完备性要求时，称单元是完备的（一般都比 较容易满足），当单元的位移函数满足协调性条件时，称单元是 协调的（在单元与单元之间的公共边界上对于高阶连续性要求较 难满足）。 当单元的位移函数即完备又协调时，则有限元分析的解答是收敛的， 即当单元尺寸趋于零时，有限元分析的解答趋于真实解。我们称 这种单元为协调单元。
qa 0
K ab qb Pa K bb qb Pb
直接法
1 0 qa 0 0 K q P bb b b
qa 0
Kbb qb Pb
1、只能处理零约束情况。 2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列，适合于计算机处理。 3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。
K 12 0 K 23 0 K 34 0 K 45 K 46 K 56 0 K 67 0 K 78
K 14 0 K 36 0 K 58
K 11 K 21 K 31 K 41 K 51 K 61 K 71 K 81
Hale Waihona Puke Baidu
6.8有限元分析数值解的精度与性质
6.9单元应力的计算结果的误差与平均处理 6.10控制误差和提高精度的h方法和p方法
6.1单元节点编号与带宽存储
计算机进行有限元分析时， 需要存储所有单元和节点信 息，随着所求解问题自由度 的增大，计算规模的增大， 整体刚度矩阵的规模非常巨 大。
由于整体刚度矩阵中显现出 相邻单元之间的关联性，因 此矩阵中的大部分数据都为 零，反映非零数据的一个指 标就是带宽。
qa 0
K ab qb Pa K bb qb Pb
K aa K ba
K ab qa Pa K bb qb Pb
qa u
K aa u K ab qb Pa K ba u K bb qb Pb
-1 qb Kbb P Kbau b
1、既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。 2、处理过程直观。 3、待求矩阵的规模变小（维数变小），适合于手工处理。 4、矩阵的节点编号及排序改变，不利于计算机的规范化处理。
置“1”法
K aa K ba K ab qa Pa q P K bb b b
1、待定系数是由节点位移条件确定的，因此它的个数应该与节点 位移DOF个数相等。 2、在选取多项式时，必须选择常数项和完备的一次项。单元位移 模式中的常数项和一次项可以反映单元的刚体位移合唱应变的特 性。这是因为当划分的单元数趋于无穷时，即单元缩小趋于一点， 此时单元应变趋于常数。 3、选择多项式应该由低到高，尽量选取完全多项式以提高单元的 精度。
因此，在构造一个单元的位移函数时，应该参考由多项式函数构 成的Pascal三角形和上述原则进行函数项次的选取与构造。
收敛性问题
在有限元分析中，当节点数目或单元插值函数的项数趋于无穷大时， 即单元尺寸趋于零时，最后的解答如果能够无线的逼近准确解， 那么这样的位移函数或形函数是逼近于真实的，这就称为收敛。 为使有限元分析的解答收敛，位移函数必须满足一些收敛准则，这 些准则都经过过严密的理论验证。主要包括以下三个方面。
1 t 1 n n U q Kq kij ui u j 0 2 2 i 1 j 1 1 1 k11u12 k12u1u2 ...... k1n u1un k21u12 k22u1u2 ...... k 2 n u1un 2 2 1 ...... kn1u12 kn 2 u1u2 ...... knn u1un 2
6.3边界条件的处理与支反力的计算
位移边界条件在大多数情况下有两种类型。
1、零位移边界条件 2、给定具体数值的位移边界条件 根据上述两类边界条件，刚度方程的求解有以下几种方法： 1、直接法 2、置“1”法 3、乘大数法 4、罚函数法
直接法
K aa K ba K ab qa Pa q P K bb b b
除了罚函数法能够求出支反力以外，其它的方法都需要求解一定的 方程得到。
6.4单元刚度矩阵的缩聚
采用高次位移函数的单元也常被称为高阶单元。对于高次单元来 说，除了几何端点以外，其余的那些节点可能与其它的单元不发 生关系，当中间的节点与其它单元无关时，我们称作是内部节点。 而其余的节点是外部节点。既然内部节点与其他单元无关，那么 在组成整体刚度之前，就可以把他们消去，也就是把内部节点的 位移用外部节点的位移来表示。
以一维三节点杆单元为例
k11 k 21 k31
k12 k 22 k32
k13 u1 p1 k 23 u2 p2 k33 u3 p3
K aa K ba
K ab qa Pa q P K bb b b
于线弹性体，力所做的功跟加载次序无关，这可以利用上面的性
质1和2得到。
性质4：单元刚度矩阵是半正定的。
性质5：单元刚度矩阵是奇异的。 性质6：单元刚度矩阵的任意行或列代表一个平衡力系，当节点位
移全部为线位移时，任意行或列的代数和应该为0。
同样，由单元刚度矩阵所组装的整体刚度矩阵也有以下性质： 1）对称性 2）奇异性 3）半正定性 4）稀疏性 5）非零元素呈现带状分布
M K aa u K ab qb M Pa K ba u K bb qb Pb
1、 既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。 2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列。 3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。
罚函数法
罚函数法的最大好处是可以直接求出位移边界上的支反力。 反力的计算： 支
收敛性准则
定义：当单元尺寸趋于零时，有限元的解趋于真实解。 准则1：完备性准则（针对单元内部）。如果在势能泛函中所出现 的位移函数的最高阶导数是m阶，则有限元解答收敛性的条件之一 是选取单元内的位移场函数至少是m阶完全多项式。 准则2：协调性准则（针对单元之间）。如果在势能泛函中位移函 数所出现的最高阶导数是m阶，那么位移函数在单元交界面上必须 具有直至m-1阶的连续导数，即Cm-1连续性。
K 12 K 13 K 14 K 22 K 23 K 24 K 32 K 33 K 34 K 42 K 43 K 44 K 52 K 53 K 54 K 62 K 63 K 64 K 72 K 73 K 74 K 82 K 83 K 84
6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
由于刚度矩阵是对称的，可以看出，若节点的自由度数目为m，则 每一个单元在整体刚度矩阵的半带宽为
di=（第i个单元中节点编号的最大差值+1）＊m d=max（ di ） （i=1，2……n） 其中n为整个结构系统的单元数。显然 对于二维问题，m=2 对于三维问题，m=3
K 11 K 12 0 K 14 0 K 22 K 23 0 0 K 33 K 34 0 K 44 K 45 K 55