(理科)2008年高考数学试题分类汇编--复数
2008年高考数学试卷(湖南.理)含详解
y2008高考湖南理科数学试题及全解全析一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数31()i i-等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D【解析】由33412()()88ii i ii i--==-⋅=-,易知D 正确. 2．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由12x -<得13x -<<，由(3)0x x -<得03x <<，所以易知选B.3.已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( )A.2B.5C.6D.8【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点(3,3)时,x y +最大值是33 6.+=故选C.4.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】2(2,3)N ⇒12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ= 311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c =2, 所以选B.5.设有直线m 、n 和平面α、β,下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 【答案】D【解析】由立几知识,易知D 正确.6.函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1 C.32【答案】C【解析】由1cos 21()2sin(2)2226x f x x x π-=+=+-, 52,42366x x πππππ≤≤⇒≤-≤max 13()1.22f x ∴=+=故选C. 7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:212,1233AC AB AD AC AB +==++12,33BE BC BA =+12,33CF CA CB =+以上三式相加得1,3AD BE CF BC ++=-所以选A.8.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)1【答案】B【解析】233,22aex a e a a ac-=⨯->+23520,e e⇒-->2e∴>或13e<-(舍去),(2,],e∴∈+∞故选B.9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD,AA1=1, 则顶点A、B间的球面距离是()C.2D.4【答案】C【解析】112BD AC R===R∴=设11,BD AC O=则OAOB R===,2AOBπ⇒∠=,2l Rπθ∴==故选C.10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的n∈N*, 定义[][](1)(1),(1)(1)xnn n n xCx x x x--+=--+x∈[)1,+∞,则当x∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数8x C的值域是( )A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.284,3⎛⎫⋃⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D【解析】当x∈3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，328816,332C==当2x→时，[]1,x=所以8842xC==;当[)2,3时，288728,21C⨯==⨯当3x→时，[]2,x=88728,323xC⨯==⨯故函数xC8的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦.选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2008年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析
2008年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•浙江）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【考点】复数代数形式の混合运算．【分析】化简复数分母为实数，复数化为a+bi（a、b是实数）明确分类即可．【解答】解：由是纯虚数，则且，故a=1故选A．【点评】本小题主要考查复数の概念．是基础题．2．（5分）（2008•浙江）已知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则（A∩∁U B）∪（B∩∁U A）=（）A．∅B．{x|x≤0} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x＞0或x≤﹣1}【考点】交、并、补集の混合运算．【分析】由题意知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，然后根据交集の定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，∴C u B={x|x＞﹣1}，C u A={x|x≤0}∴A∩C u B={x|x＞0}，B∩C u A={x|x≤﹣1}∴（A∩C u B）∪（B∩C u A）={x|x＞0或x≤﹣1}，故选D．【点评】此题主要考查一元二次不等式の解法及集合の交集及补集运算，一元二次不等式の解法及集合间の交、并、补运算布高考中の常考内容，要认真掌握，并确保得分．3．（5分）（2008•浙江）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”の（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件の判断．【专题】常规题型．【分析】首先由于“a2＞b2”不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．故“a2＞b2”是“a＞b”の既不充分也不必要条件．【解答】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”の既不充分也不必要条件．故选D．【点评】本小题主要考查充要条件相关知识．4．（5分）（2008•浙江）在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）の展开式中，含x4の项の系数是（）A．﹣15 B．85 C．﹣120 D．274【考点】二项式定理の应用．【分析】本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题．本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数）の思路来完成．【解答】解：含x4の项是由（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）の5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数∴展开式中含x4の项の系数是（﹣1）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣15．故选A．【点评】本题考查利用分步计数原理和分类加法原理求出特定项の系数．5．（5分）（2008•浙江）在同一平面直角坐标系中，函数（x∈[0，2π]）の图象和直线の交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】函数y=Asin（ωx+φ）の图象变换．【分析】先根据诱导公式进行化简，再由xの范围求出の范围，再由正弦函数の图象可得到答案．【解答】解：原函数可化为：y=cos（）（x∈[0，2π]）=，x∈[0，2π]．当x∈[0，2π]时，∈[0，π]，其图象如图，与直线y=の交点个数是2个．故选C．【点评】本小题主要考查三角函数图象の性质问题．6．（5分）（2008•浙江）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）【考点】等比数列の前n项和．【专题】计算题．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项の特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选：C．【点评】本题主要考查等比数列通项の性质和求和公式の应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．7．（5分）（2008•浙江）若双曲线の两个焦点到一条准线の距离之比为3：2，则双曲线の离心率是（）A．3 B．5 C．D．【考点】双曲线の定义．【专题】计算题．【分析】先取双曲线の一条准线，然后根据题意列方程，整理即可．【解答】解：依题意，不妨取双曲线の右准线，则左焦点F1到右准线の距离为，右焦点F2到右准线の距离为，可得，即，∴双曲线の离心率．故选D．【点评】本题主要考查双曲线の性质及离心率定义．8．（5分）（2008•浙江）若，则tanα=（）A．B．2 C． D．﹣2【考点】同角三角函数基本关系の运用．【分析】本小题主要考查三角函数の求值问题，需要把正弦和余弦化为正切和正割，两边平方，根据切割の关系进行切割互化，得到关于正切の方程，解方程得结果．【解答】解：∵cosα+2sinα=﹣，∴cosα≠0，两边同时除以cosα得1+2tanα=﹣，∴（1+2tanα）2=5sec2α=5（1+tan2α），∴tan2α﹣4tanα+4=0，∴tanα=2．故选B．【点评】同角三角函数之间の关系，其主要应用于同角三角函数の求值和同角三角函数之间の化简和证明．在应用这些关系式子の时候就要注意公式成立の前提是角对应の三角函数要有意义．9．（5分）（2008•浙江）已知，是平面内两个互相垂直の单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||の最大值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积の坐标表示、模、夹角．【专题】压轴题．【分析】本小题主要考查向量の数量积及向量模の相关运算问题，所给出の两个向量是互相垂直の单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零の条件时要移项变化．【解答】解：．∵，∵，∴，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴の最大值是．故选C．【点评】启发学生在理解数量积の运算特点の基础上，逐步把握数量积の运算律，引导学生注意数量积性质の相关问题の特点，以熟练地应用数量积の性质，本题也可以利用数形结合，，对应の点A，B在圆x2+y2=1上，对应の点C在圆x2+y2=2上即可．10．（5分）（2008•浙江）如图，AB是平面aの斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABPの面积为定值，则动点Pの轨迹是（）A．圆B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线【考点】椭圆の定义；平面与圆柱面の截线．【专题】压轴题；转化思想．【分析】根据题意，因为三角形面积为定值，从而可得P到直线ABの距离为定值，分析可得，点Pの轨迹为一以AB为轴线の圆柱面，与平面αの交线，分析轴线与平面の性质，可得答案．【解答】解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面の问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线ABの距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线の圆柱面与平面αの交线上，且α与圆柱の轴线斜交，由平面与圆柱面の截面の性质判断，可得Pの轨迹为椭圆；故选：B．【点评】本题考查平面与圆柱面の截面性质の判断，注意截面与圆柱の轴线の不同位置时，得到の截面形状也不同．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2008•浙江）已知平面内三点A（2，﹣3），B（4，3），C（5，a）共线，则a= 6【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量坐标の求法求出两个向量の坐标，将三点共线转化为两向量共线，利用向量共线の充要条件列出方程求出a．【解答】解：由已知知所以2（a+3）=6×3解得a=6故答案为：6【点评】本题考查向量坐标の求法、向量共线の坐标形式の充要条件．12．（4分）（2008•浙江）已知F1、F2为椭圆=1の两个焦点，过F1の直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【考点】椭圆の简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线の定义、性质与方程．【分析】运用椭圆の定义，可得三角形ABF2の周长为4a=20，再由周长，即可得到ABの长．【解答】解：椭圆=1のa=5，由题意の定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2の周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：8【点评】本题考查椭圆の方程和定义，考查运算能力，属于基础题．13．（4分）（2008•浙江）在△ABC中，角A、B、C所对の边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．【考点】正弦定理の应用；两角和与差の正弦函数．【专题】计算题．【分析】先根据正弦定理将边の关系转化为角の正弦值の关系，再运用两角和与差の正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosAの值．【解答】解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差の正弦公式の应用．考查对三角函数公式の记忆能力和综合运用能力．14．（4分）（2008•浙江）如图，已知球Oの面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球Oの体积等于π．【考点】球の体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题．【分析】说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球の直径就是CD，求出CD，即可求出球の体积．【解答】解：AB⊥BC，△ABCの外接圆の直径为AC，AC=，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD为球の直径，CD==3，∴球の半径R=，∴V球=πR3=π．故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查球の内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD是球の直径，是本题の突破口，解题の重点所在，考查分析问题解决问题の能力．15．（4分）（2008•浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上の最大值为2，则t=1．【考点】分段函数の解析式求法及其图象の作法．【专题】压轴题．【分析】本题应先画出函数の大体图象，利用数形结合の方法寻找解题の思路．画出大体图象后不难发现函数の最大值只能在x=1或x=3处取得，因此分情况讨论解决此题．【解答】解：记g（x）=x2﹣2x﹣t，x∈[0，3]，则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方の部分翻折到x轴上方得到，其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在x=3或x=1处取得（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|32﹣2×3﹣t|=2，解得t=1或5，当t=5时，此时，f（0）=5＞2不符条件，当t=1时，此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．（2）当最大值在x=1处取得时f（1）=|12﹣2×1﹣t|=2，解得t=1或﹣3，当t=﹣3时，f（0）=3＞2不符条件，当t=1此时，f（3）=2，f（1）=2，符合条件．综上t=1时故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数の图象性质和绝对值对函数图象の影响变化．16．（4分）（2008•浙江）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字の奇偶性不同，且1和2相邻．这样の六位数の个数是40（用数字作答）．【考点】分步乘法计数原理．【专题】计算题；压轴题．【分析】欲求可组成符合条件の六位数の个数，只须利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成の空中即可．【解答】解析：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有A22种排法；第二步：再将4、6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成の空中，共有C51种排法．由分步乘法计数原理得共有A22•2A22•C51=40（种）．答案：40【点评】本题考查の是分步计数原理，分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同の方法，做第2步有m2种不同の方法…做第n步有m n 种不同の方法．那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同の方法．17．（4分）（2008•浙江）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a、b为坐标の点P（a，b）所形成の平面区域の面积等于1．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】压轴题；图表型．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域の关系画出其表示の平面区域，再利用求最优解の方法，结合题中条件：“恒有ax+by≤1”得出关于a，b の不等关系，最后再据此不等式组表示の平面区域求出面积即可．【解答】解：令z=ax+by，∵ax+by≤1恒成立，即函数z=ax+by在可行域要求の条件下，z max≤1恒成立．当直线ax+by﹣z=0过点（1，0）或点（0，1）时，0≤a≤1，0≤b≤1．点P（a，b）形成の图形是边长为1の正方形．∴所求の面积S=12=1．故答案为：1【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单の转化思想和数形结合の思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见の问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（12分）（2008•浙江）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当ABの长为何值时，二面角A﹣EF﹣Cの大小为60°？【考点】直线与平面平行の判定；与二面角有关の立体几何综合题．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内の直线DG，即可证明AE∥平面DCF；（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FEの延长线于H，连接AH，说明∠AHB为二面角A﹣EF﹣C の平面角，通过二面角A﹣EF﹣Cの大小为60°，求出AB即可．【解答】（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形．又ABCD为矩形，所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，所以AE∥平面DCF．（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FEの延长线于H，连接AH．由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣Cの平面角．在Rt△EFG中，因为EG=AD=．又因为CE⊥EF，所以CF=4，从而BE=CG=3．于是BH=BE•sin∠BEH=．因为AB=BH•tan∠AHB，所以当AB=时，二面角A﹣EF﹣Gの大小为60°．【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何．【点评】由于理科有空间向量の知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量の方法解决立体几何问题也有其相对の缺陷，那就是空间向量の运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题の优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题の工具，要注意综合几何法の应用．【点评】本题主要考查空间线面关系、空间向量の概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．19．（14分）（2008•浙江）一个袋中有若干个大小相同の黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球の概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球の概率是．（Ⅰ）若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，记得到白球の个数为ξ，求随机变量ξの数学期望Eξ．（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球の概率不大于．并指出袋中哪种颜色の球个数最少．【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件の概率；离散型随机变量の期望与方差．【专题】计算题；应用题；证明题；压轴题．【分析】（I）首先根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球の概率是，列出关系式，得到白球の个数，从袋中任意摸出3个球，白球の个数为ξ，根据题意得到变量可能の取值，结合对应の事件，写出分布列和期望．（II）设出两种球の个数，根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球の概率不大于，得到两个未知数之间の关系，得到白球の个数比黑球多，白球个数多于，红球の个数少于，得到袋中红球个数最少．【解答】解：（Ⅰ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球の个数为x，则，得到x=5．故白球有5个．随机变量ξの取值为0，1，2，3，∴分布列是∴ξの数学期望．（Ⅱ）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得，∴2y＜n，2y≤n﹣1，故．记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则．∴白球の个数比黑球多，白球个数多于，红球の个数少于．故袋中红球个数最少．【点评】本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件の概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生の逻辑思维能力和分析问题以及解决问题の能力．20．（15分）（2008•浙江）已知曲线C是到点和到直线距离相等の点の轨迹，l是过点Q（﹣1，0）の直线，M是C上（不在l上）の动点；A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴（如图）．（Ⅰ）求曲线Cの方程；（Ⅱ）求出直线lの方程，使得为常数．【考点】轨迹方程；直线の一般式方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）设N（x，y）为C上の点，进而可表示出|NP|，根据N到直线の距离和|NP|进而可得曲线Cの方程．（II）先设，直线l：y=kx+k，进而可得B点坐标，再分别表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根据|QA|2=|QM|2﹣|AM|2求得k．【解答】解：（I）设N（x，y）为C上の点，则，N到直线の距离为．由题设得，化简，得曲线Cの方程为．（II）设，直线l：y=kx+k，则B（x，kx+k），从而．在Rt△QMA中，因为=，．所以，∴，．当k=2时，，从而所求直线l方程为2x﹣y+2=0．【点评】本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线の位置关系等基础知识，考查解析几何の基本思想方法和综合解题能力．21．（15分）（2008•浙江）已知a是实数，函数（Ⅰ）求函数f（x）の单调区间；（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上の最小值．（i）写出g（a）の表达式；（ii）求aの取值范围，使得﹣6≤g（a）≤﹣2．【考点】利用导数研究函数の单调性；函数解析式の求解及常用方法；利用导数求闭区间上函数の最值；不等式の证明．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）求出函数の定义域[0，+∞），求出f′（x），因为a为实数，讨论a≤0，（x＞0）得到f′（x）＞0得到函数の单调递增区间；若a＞0，令f'（x）=0，得到函数驻点讨论x取值得到函数の单调区间即可．（Ⅱ）①讨论若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0；若0＜a＜6，f （x）在上单调递减，在上单调递增，所以；若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，所以．得到g（a）为分段函数，写出即可；②令﹣6≤g（a）≤﹣2，代到第一段上无解；若0＜a＜6，解得3≤a＜6；若a≥6，解得．则求出aの取值范围即可．【解答】解；（Ⅰ）解：函数の定义域为[0，+∞），（x＞0）．若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）有单调递增区间[0，+∞）．若a＞0，令f'（x）=0，得，当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0．f（x）有单调递减区间，单调递增区间．（Ⅱ）解：（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0．若0＜a＜6，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以．若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，所以．综上所述，改天（ii）令﹣6≤g（a）≤﹣2．若a≤0，无解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．若a≥6，解得．故aの取值范围为．【点评】本题主要考查函数の性质、求导数の应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题の能力．22．（16分）（2008•浙江）已知数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2（n∈N•）．记S n=a1+a2+…+a n．．求证：当n∈N•时，（Ⅰ）a n＜a n+1；（Ⅱ）S n＞n﹣2．（Ⅲ）T n＜3．【考点】不等式の证明；数列の求和；用数学归纳法证明不等式．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）对于n∈N•时の命题，考虑利用数学归纳法证明；（2）由a k+12+a k+1﹣1=a k2，对k取1，2，…，n﹣1时の式子相加得S n，最后对S n进行放缩即可证得．（3）利用放缩法由，得≤（k=2，3，…，n﹣1，n≥3），≤（a≥3），即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当n=1时，因为a2是方程x2+x﹣1=0の正根，所以a1＜a2．②假设当n=k（k∈N*）时，a k＜a k+1，因为a k+12﹣a k2=（a k+22+a k+2﹣1）﹣（a k+12+a k+1﹣1）=（a k+2﹣a k+1）（a k+2+a k+1+1），所以a k+1＜a k+2．即当n=k+1时，a n＜a n+1也成立．根据①和②，可知a n＜a n+1对任何n∈N*都成立．（Ⅱ）证明：由a k+12+a k+1﹣1=a k2，k=1，2，…，n﹣1（n≥2），得a n2+（a2+a3+…+a n）﹣（n﹣1）=a12．因为a1=0，所以S n=n﹣1﹣a n2．由a n＜a n+1及a n+1=1+a n2﹣2a n+12＜1得a n＜1，所以S n＞n﹣2．（Ⅲ）证明：由，得：，所以，故当n≥3时，，又因为T1＜T2＜T3，所以T n＜3．【点评】本题主要考查数列の递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．。
2008年(全国卷II)(含答案)高考理科数学
2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3．函数1()f x x x=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a5．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．929B ．1029C ．1929D ．20297．64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是（ ） A ．4- B ．3-C ．3D ．48．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．29．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(22)，B ．(25)，C ．(25)，D ．(25)，10．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．13B ．23C ．33D ．2311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3B ．2C ．13-D ．12-12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．14．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-． （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．EA 1B 1C 1D 120．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ． （Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．22．（本小题满分12分） 设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题1．答案：B解析:依题M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},从而M∩N={-1,0,1},故选B. 2．答案：A解析: (a+bi)3=a3+3a2·bi+3a(bi)2+(bi)3=a3+3a2bi-3ab2-b3i=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i为实数3a2b-b3=0,又∵b≠0,∴3a2-b2=0.∴b2=3a2.选A.3．答案：C解析:∵f(x)=f(-x),∴f(x)= -x是奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.4．答案：C解析:a=lnx,b=2lnx=lnx2,c=ln3x.∵x∈(e-1,1),∴x＞x2.故a＞b,排除A、B.∵e-1＜x＜1,∴-1＜lnx＜ln1=0.∴lnx＜ln3x.∴a＜c.故b＜a＜c,选C.5．答案：D解析:作出可行域.令z=0,则l0:x-3y=0,平移l在点M(-2,2)处z取到最小,最小值为-8.6．答案：D解析:排除法即可.P=1-=1-. 7．答案：B解析:化简原式=［(1-)4(1+)4］·(1-)2 =［(1-)(1+)］4·(1-)2=(1-x)4·(1-)2=(1-4x+6x2-4x3+x4)(1-2+x).故系数为1-4=-3,选B.8．答案：B解析:依题可知|MN|=|sina-cosa|=|sin(a-)|,故|MN|max=.9．答案：B解析:依题可知离心率e===,∵a＞1,∴0＜＜1.∴(+1)2∈(1,4).∴e∈(2,5).10．答案：C解析:作图.连结EO,则所求角为∠AEO或其补角.(∵EO∥SD)设侧棱长为a,则OE=SD=a,AO=a,AE= a.由余弦定理得cos∠AEO==. 11．答案：A解析:依题设底边所在直线斜率为k,则底边方程为l:y=kx,l 1:x+y-2=0,k1=-1,l 2:x-7y-4=0,k2=.由等腰三角形特征有:直线l到l1所成角的正切与直线l2到l所成角的正切相等,从而,得k=3,故选A.12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．2C．3D．2答案：C解析:依题意有示意图截面示意图为其中AH为公共弦长的一半,OA为球半径,∴OH=.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．答案：2解析:λa+b=λ(1,2)+(2,3)=(λ+2,2λ+3),∵λa+b与c共线,∴(λ+2)·(-7)-(2λ+3)·(-4)=0.解出λ=2.14．答案：2解析:y=e ax,y′=e ax·a,y′|x=0=e a·0·a=a.又x+2y+1=0的斜率为-,∴由题意a·(-)=-1.∴a=2.15．答案：解析:lAB:y-0=x-1,即y=x-1,联立x a =3+2,xb=3-2,∴=3+2.16．解析：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由5cos13B=-，得12sin13B=，由4cos5C=，得3sin5C=．所以33sin sin()sin cos cos sin65A B C B C B C=+=+=． ······························ 5分（Ⅱ）由332ABCS=△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故 65AB AC ⨯=， ································································· 8分又 s i n 20s i n 13A B BA C AB C⨯==， 故 2206513AB =，132AB =． 所以 s i n 11s i n 2A B A BC C ⨯==． ······················································ 10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ， 则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=， ··········································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--， 又410()10.999P A =-，故0.001p =． ················································································· 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 100005000ξ+， 盈利 10000(1000050a ηξ=-+，盈利的期望为 100001000050E aE ηξ=--， ································· 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ·········································· 12分 19．解法一：依题设知2AB =，1CE =． （Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD AC ⊥． ··························································· 3分 在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于122AA ACFC CE==， 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1AC EF ⊥． 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直， 所以1AC ⊥平面BED ． ····································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥， 故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ············································ 8分223EF CF CE =+=， 23CE CF CG EF ⨯==，2233EG CE CG =-=． 13EG EF =，12315EF FD GH DE ⨯=⨯=． 又221126AC AA AC =+=，11563AG AC CG =-=． AB CDEA 1B 1C 1D 1 FH G11tan 55A GA HG HG∠==． 所以二面角1A DE B --的大小为arctan55． ······································ 12分 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ··························································· 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DBDE D =，所以1AC ⊥平面DBE ． ····································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ． 故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ．············································ 9分 1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42AC AC AC ==，n n n ． 所以二面角1A DE B --的大小为14arccos42． ······································ 12分 20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ···························································· 4分ABC DEA 1B 1C 1D 1 yxz因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ···················································· 6分 （Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ， 于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=∙+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔∙+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．12分21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ···························· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=， 故212214x x k =-=+．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021221510(6)77714x x x x k=+==+；DF B yxAOE由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以221012714k k=++， 化简得2242560k k -+=， 解得23k =或38k =． ········································································· 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为21112222(1214)55(14)x kx k k h k +-+++==+，22222222(1214)55(14)x kx k k h k +-+-+==+． ··············································· 9分又2215AB =+=，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 214(12)525(14)k k +=+22(12)14k k+=+22144214k kk ++=+ 22≤，当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． ············ 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ······················································································· 9分 222(2)x y =+22222244x y x y =++ 22222(4)x y +≤22=，当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． 12分 22．解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． ············ 2分 当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数，()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ··················· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭．故当13a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ················ 9分 当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-． 故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>． 因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin3x ax>．于是，当(0arccos3)x a∈，时，sin sin()2cos3x xf x axx=>>+．当0a≤时，有π1π222f a⎛⎫=>∙⎪⎝⎭≥．因此，a的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．12分。
2008年上海市高考数学试卷(理科)及答案
2008年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）不等式|x﹣1|＜1的解集是．2．（4分）若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=．3．（4分）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则z=．4．（4分）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x＞0），则f（4）=．5．（4分）若向量，满足且与的夹角为，则=．6．（4分）函数的最大值是．7．（4分）在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．8．（4分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围是．9．（4分）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是．10．（4分）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是．11．（4分）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．B．（n+1）（r+1）C．nr D．13．（4分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要14．（4分）若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．三、解答题（共6小题，满分90分）16．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）18．（15分）已知双曲线，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．19．（16分）已知函数．（1）若f（x）=2，求x的值；（2）若3t f（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y2=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．21．（18分）已知以a1为首项的数列{a n}满足：a n+1=（1）当a1=1，c=1，d=3时，求数列{a n}的通项公式（2）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，试用a1表示数列{a n}的前100项的和S100（3）当0＜a1＜（m是正整数），c=，d≥3m时，求证：数列a2﹣，a3m+2﹣，a9m+2﹣成等比数列当且仅当d=3m．﹣，a6m+22008年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）（2008•上海）不等式|x﹣1|＜1的解集是（0，2）．【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2．故答案为：（0，2）．2．（4分）（2008•上海）若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=2．【分析】由题意A∩B={2}，得集合B中必定含有元素2，且A，B只有一个公共元素2，可求得a即可．【解答】解：由A∩B={2}，则A，B只有一个公共元素2；可得a=2．故填2．3．（4分）（2008•上海）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则z=1+i．【分析】直接化简出z，然后化简表达式为a+bi（a、b∈R）即可．【解答】解：由．故答案为：1+i．4．（4分）（2008•上海）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x＞0），则f（4）=2．【分析】令f（4）=t⇒f﹣1（t）=4⇒t2=4（t＞0）⇒t=2．【解答】解：令f（4）=t∴f﹣1（t）=4，∴t2=4（t＞0）∴t=2．答案：2．5．（4分）（2008•上海）若向量，满足且与的夹角为，则=．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：6．（4分）（2008•上海）函数的最大值是2．【分析】先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由正弦函数的性质即可得到其最大值．【解答】解：由．故答案为：27．（4分）（2008•上海）在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．【分析】本题是一个古典概型．由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；六个无共线的点生成三角形总数为C63；可构成三角形的个数为C63﹣C43﹣C33【解答】解：本题是一个古典概型由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；∵六个无共线的点生成三角形总数为：C63；可构成三角形的个数为：C63﹣C43﹣C33=15，∴所求概率为：；故答案为：．8．（4分）（2008•上海）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．【分析】首先画出x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x的图象，然后由奇函数的图象关于原点对称画出x∈（﹣∞，0）时的图象，最后观察图象即可求解．【解答】解：由题意可画出f（x）的草图观察图象可得f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）9．（4分）（2008•上海）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是a=10.5，b=10.5．【分析】根据中位数的定义得到a与b的关系式，要求总体的方差最小，即要求（a﹣10）2+（b﹣10）2最小，利用a与b的关系式消去a，得到关于b的二次函数，求出函数的最小值即可得到a和b的值．【解答】解：这10个数的中位数为=10.5．这10个数的平均数为10．要使总体方差最小，即（a﹣10）2+（b﹣10）2最小．又∵（a﹣10）2+（b﹣10）2=（21﹣b﹣10）2+（b﹣10）2=（11﹣b）2+（b﹣10）2=2b2﹣42b+221，∴当b=10.5时，（a﹣10）2+（b﹣10）2取得最小值．又∵a+b=21，∴a=10.5，b=10.5．故答案为：a=10.5，b=10.510．（4分）（2008•上海）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a．【分析】先根据题意分别表示出|MF1|和|MF2|，只要令|MF1|+|MF2|小于或等于椭圆的长轴即可．【解答】解：依题意，|MF1|+|MF2|≤2a⇒h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a；故答案为：h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a11．（4分）（2008•上海）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．【分析】原方程等价于，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．【解答】解析：方程的根显然x≠0，原方程等价于，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线的交点的横坐标；而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（x i，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得：；二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）（2008•上海）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．B．（n+1）（r+1）C．nr D．r﹣1的关系，即可得【分析】由组合数公式，C n r进行运算、化简，找到其与c n﹣1答案．【解答】解：由，故选D．13．（4分）（2008•上海）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要【分析】由垂直的定义，我们易得“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题，反之，“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件故选C14．（4分）（2008•上海）若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．【分析】由无穷等比数列{a n}各项和为a，则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可．【解答】解：由题意知a1=1，q=a﹣，且|q|＜1，∴S n==a，即，解得a=2．故选B．15．（4分）（2008•上海）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【分析】P优于P′的几何意义是：过点P′分别作平行于两坐标轴的直线，则点P 落在两直线构成的左上方区域内．【解答】解：依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域与点Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的集合才为所求．故选D．三、解答题（共6小题，满分90分）16．（12分）（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【分析】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，得到∠EDF是直线DE与平面ABCD 所成的角，然后再在三角形EDF中求出此角即可．【解答】解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF．∵EF⊥BC，CC1⊥BC∴EF∥CC1，而CC1⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD，∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）由题意，得EF=．∵（8分）∵EF⊥DF，∴．（10分）故直线DE与平面ABCD所成角的大小是（12分）17．（13分）（2008•上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）【分析】连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．【解答】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°=OC2即，解得（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°在△CDO中，AC2=CD2+AD2﹣2•CD•AD•cos120°=．∴AC=700（米）．．在直角△HAO中，AH=350（米），，∴（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．18．（15分）（2008•上海）已知双曲线，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．【分析】（1）先设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示出点P（x1，y1）到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理即可得到答案．（2）先设P的坐标为（x，y），根据两点间的距离公式表示出PA|2并根据双曲线方程为，用x表示出y代入整理成二次函数的形式，即可得到|PA|的最小值．【解答】解：（1）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是x﹣2y=0和x+2y=0．点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是•．点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．（2）设P的坐标为（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2==∵|x|≥2，∴当时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为．19．（16分）（2008•上海）已知函数．（1）若f（x）=2，求x的值；（2）若3t f（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f （x）=2求出x即可；（2）由时，3t f（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．【解答】解（1）当x＜0时，f（x）=3x﹣3x=0，∴f（x）=2无解；当x＞0时，，，∴（3x）2﹣2•3x﹣1=0，∴．∵3x＞0，∴（舍）．∴，∴．（2）∵，∴，∴．∴，即时m≥﹣32t﹣1恒成立又﹣32t﹣1∈[﹣10，﹣4]，∴m≥﹣4．∴实数m的取值范围为[﹣4，+∞）．20．（16分）（2008•上海）设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y2=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立姐方程求出交点坐标，（2）将直线方程与抛物线方程联立求出交点Q的坐标；将P的坐标代入椭圆方程得到a，b满足的关系，变形得到Q的坐标满足双曲线方程，证出点Q在双曲线上．（3）设出Q所在的抛物线方程，将Q的坐标代入得到a，b满足的方程；通过对p，c的分类讨论得到P所在的曲线．【解答】解：（1）当a=1，b=2，p=2时，解方程组得即点Q的坐标为（8，16）（3分）（2）证明：由方程组得即点Q的坐标为（5分）∵P时椭圆上的点，即=1∴，因此点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（8分）（3）设Q所在的抛物线方程为y2=2q（x﹣c），q≠0（10分）将代入方程，得，即b2=2qa﹣2qca2（12分）当c=0时，b2=2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；当qc=时，，此时点P的轨迹落在圆上；当qc＞0且qc≠时，=1，此时点P的轨迹落在椭圆上；当qc＜0时=1，此时点P的轨迹落在双曲线上；（16分）21．（18分）（2008•上海）已知以a1为首项的数列{a n}满足：a n+1=（1）当a1=1，c=1，d=3时，求数列{a n}的通项公式（2）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，试用a1表示数列{a n}的前100项的和S100（3）当0＜a1＜（m是正整数），c=，d≥3m时，求证：数列a2﹣，a3m+2﹣，a9m+2﹣成等比数列当且仅当d=3m．﹣，a6m+2【分析】（1）由题意得（2）由题意知，，，所以S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a6）+…+（a98+a99+a100）==．（3）由题设条件可知，当d=3m时，数列，，，是公比为的等比数列；当d≥3m+1时，，，故数列，不是等比数列．所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m【解答】解：（1）由题意得（2）当0＜a1＜1时，a2=a1+1，a3=a1+2，a4=a1+3，，，，，，∴S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+…+（a98+a99+a100）===（3）当d=3m时，，∵，∴；∵∴；∵，∴，∴，，，∴综上所述，当d=3m时，数列，，，是公比为的等比数列当d≥3m+1时，，，，，由于，，故数列，不是等比数列所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m。
2008年福建省高考数学试卷(理科)及答案
2008年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣12．（5分）设集合A={x|＜0}，B={x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{a n}的前7项的和为（）A．63 B．64 C．127 D．1284．（5分）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣25．（5分）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A． B． C． D．6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A．14 B．24 C．28 D．488．（5分）若实数x、y满足则的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，2） C．（2，+∞）D．[，+∞）9．（5分）函数f（x）=cosx（x∈R）的图象按向量（m，0）平移后，得到函数y=﹣f′（x）的图象，则m的值可以为（）A．B．πC．﹣πD．﹣10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或11．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，3） B．（1，3]C．（3，+∞）D．[3，+∞]12．（5分）已知函数y=f′（x），y=g′（x）的导函数的图象如图，那么y=f（x），y=g（x）的图象可能是（）A．B． C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4+a5=．（用数字作答）14．（4分）若直线3x+4y+m=0与曲线（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是．15．（4分）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是．16．（4分）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b，ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题的序号填填上）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知向量，，且•．（Ⅰ）求tanA的值；（Ⅱ）求函数的值域．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）设{a n}是正数组成的数列，前n项和为S n，其中a1=3．若点（a n，a n+12﹣2a n+1）（n∈N*）在函数y=f′（x）的图象上，求证：点（n，S n）也在y=f′（x）的图象上；（Ⅱ）求函数f（x）在区间（a﹣1，a）内的极值．20．（12分）某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．21．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x（1）求f（x）的单调区间；（2）记f（x）在区间[0，n]（n∈N*）上的最小值为b n令a n=ln（1+n）﹣b n （i）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；（ii）求证：．2008年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•福建）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1【分析】注意到复数a+bi，a，b∈R为纯虚数的充要条件是【解答】解：由a2﹣3a+2=0得a=1或2，且a﹣1≠0得a≠1∴a=2．故选B．2．（5分）（2008•福建）设集合A={x|＜0}，B={x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由分式不等式的解法，⇒0＜x＜1，分析有A⊊B，由集合间的包含关系与充分条件的关系，可得答案．【解答】解：由得0＜x＜1，即A={x|0＜x＜1}，分析可得A⊊B，即可知“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要条件，故选A．3．（5分）（2008•福建）设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{a n}的前7项的和为（）A．63 B．64 C．127 D．128【分析】先由通项公式求出q，再由前n项公式求其前7项和即可．【解答】解：因为a5=a1q4，即q4=16，又q＞0，所以q=2，所以S7==127．故选C．4．（5分）（2008•福建）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣2【分析】把α和﹣α分别代入函数式，可得出答案．【解答】解：∵由f（a）=2∴f（a）=a3+sina+1=2，a3+sina=1，则f（﹣a）=（﹣a）3+sin（﹣a）+1=﹣（a3+sina）+1=﹣1+1=0．故选B5．（5分）（2008•福建）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得答案．【解答】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，故选B．6．（5分）（2008•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算．【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．在△AC1A1中，sin∠AC1A1===．故选D．7．（5分）（2008•福建）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A．14 B．24 C．28 D．48【分析】法一：用直接法，4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，计算各种情况下的选派方案种数，由加法原理，计算可得答案；法二：用排除法，首先计算从4男2女中选4人的选派方案种数，再计算4名都是男生的选派方案种数，由排除法，计算可得答案．【解答】解：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C12•C34+C22•C24=2×4+1×6=14；法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C46﹣C44=15﹣1=14．故选A．8．（5分）（2008•福建）若实数x、y满足则的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，2） C．（2，+∞）D．[，+∞）【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率问题．【解答】解：不等式组，当取得点（2，3）时，取得最小值为，所以答案为[，+∞），故选D．9．（5分）（2008•福建）函数f（x）=cosx（x∈R）的图象按向量（m，0）平移后，得到函数y=﹣f′（x）的图象，则m的值可以为（）A．B．πC．﹣πD．﹣【分析】本题可根据三角函数的平移变换及导函数进行分析即可求得答案．【解答】解：y=﹣f'（x）=sinx，而f（x）=cosx（x∈R）的图象按向量（m，0）平移后得到y=cos（x﹣m），所以cos（x﹣m）=sinx，故m可以为．故选A．10．（5分）（2008•福建）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．C．或D．或【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选D11．（5分）（2008•福建）双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，3） B．（1，3]C．（3，+∞）D．[3，+∞]【分析】可用三角形的两边和大于第三边，及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a与c的关系．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，则有，解得x=4a，y=2a，∵在△PF1F2中，x+y＞2c，即4a+2a＞2c，4a﹣2a＜2c，∴，又因为当三点一线时，4a+2a=2c，综合得离心率的范围是（1，3]，故选B．12．（5分）（2008•福建）已知函数y=f′（x），y=g′（x）的导函数的图象如图，那么y=f（x），y=g（x）的图象可能是（）A．B． C．D．【分析】根据导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小可得答案．【解答】解：从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y=f（x）的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC，故选D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•福建）若（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4+a5= 31．（用数字作答）【分析】通过对x赋值1求出各项系数和，通过对x赋值0求出常数项，进而计算可得答案．【解答】解：：令x=1得a5+a4+a3+a2+a1+a0=﹣1，再令x=0得a0=﹣32，∴a5+a4+a3+a2+a1=31，故答案为3114．（4分）（2008•福建）若直线3x+4y+m=0与曲线（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是m＞10或m＜0．【分析】此圆的圆心为（﹣1.2），因为要没有公共点，所以根据圆心到直线的距离大于半径即可；或者可以联立方程根据二次函数的△＜0求解．【解答】解：∵曲线（θ为参数）的普通方程是（x﹣1）2+（y+2）2=1则圆心（1，﹣2）到直线3x+4y+m=0的距离，令，得m＞10或m＜0．故答案为：m＞10或m＜0．15．（4分）（2008•福建）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是9π．【分析】由于三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，将三棱锥扩展为正方体，它的对角线是球的直径，求解即可．【解答】解：依题可以构造一个正方体，其体对角线就是外接球的直径.，r=；S表面积=4πr2=9π故答案为：9π．16．（4分）（2008•福建）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b ∈P，都有a+b、a﹣b，ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是③④．（把你认为正确的命题的序号填填上）【分析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，关键把握数域是对加减乘除四则运算封闭．【解答】解：要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验，如①对除法如不满足，所以排除；对②当有理数集Q中多一个元素i则会出现1+i∉该集合，所以它也不是一个数域；③④成立．故答案为：③④．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2008•福建）已知向量，，且•．（Ⅰ）求tanA的值；（Ⅱ）求函数的值域．【分析】（Ⅰ）用向量数量积的坐标运算求得tanA的值，（Ⅱ）用三角函数的二倍角公式化简函数，用换元法将三角函数转化成二次函数，求二次函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）=sinA﹣2cosA=0即sinA=2cosA∴tanA=2（Ⅱ）f（x）=cos2x+tanAsinx=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx令sinx=t∵∴∴y=﹣2t2+2t+1=﹣2，∴∴当t=时，y最大为；当t=0时，y最小为1域为[1，]．18．（12分）（2008•福建）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】法一：（Ⅰ）证明直线PO⊥平面ABCD，因为平面PAD⊥底面ABCD，只需证明面PAD内的直线PO垂直这两个平面的交线即可即；（Ⅱ）连接BO，说明∠PBC是异面直线PB与CD所成的角，然后解三角形，求异面直线PD与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上存在点Q，设QD=x，利用等体积方法，求出比值．法二：建立空间直角坐标系，求出向量．利用向量数量积解答（Ⅱ）；利用平面的法向量和数量积解答（Ⅲ）即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PAD中，PA=PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD 又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD所以PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC=2有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBC是锐角，所以∠PBC是异面直线PB与CD所成的角因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=在Rt△AOP中因为AP=AO=1，所以OP=1在Rt△AOP中tan∠PBC=所以：异面直线PB与CD所成角的大小．（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为．设QD=x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，在Rt△POC中，，所以PC=CD=DP，，=V Q﹣PCD，得x=，所以存在点Q满足题意，此时．由V p﹣DQC解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，依题意，易得A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），所以．所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由（Ⅱ）知．设平面PCD的法向量为n=（x0，y0，z0）．则所以即x0=y0=z0，取x0=1，得平面PCD的一个法向量为=（1，1，1）．设，由，得，解y=﹣或y=（舍去），此时，所以存在点Q满足题意，此时．19．（12分）（2008•福建）已知函数．（Ⅰ）设{a n}是正数组成的数列，前n项和为S n，其中a1=3．若点（a n，a n+12﹣2a n+1）（n∈N*）在函数y=f′（x）的图象上，求证：点（n，S n）也在y=f′（x）的图象上；（Ⅱ）求函数f（x）在区间（a﹣1，a）内的极值．【分析】（Ⅰ）由题意知f′（x）=x2+2x，由点（a n，a n+12﹣2a n+1）（n∈N+）在函数y=f′（x）的图象上，知（a n﹣1﹣a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0，所以=f'（n），故点（n，S n）也在函数y=f′（x）的图象上．（Ⅱ）由f'（x）=0，得x=0或x=﹣2．然后列表求解函数f（x）在区间（a﹣1，a）内的极值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为，所以f′（x）=x2+2x，由点（a n，a n+12﹣2a n+1）（n∈N+）在函数y=f′（x）的图象上，又a n＞0（n∈N+），所以（a n﹣1﹣a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0，所以，又因为f′（n）=n2+2n，所以S n=f'（n），故点（n，S n）也在函数y=f′（x）的图象上．（Ⅱ）解：f'（x）=x2+2x=x（x+2），由f'（x）=0，得x=0或x=﹣2．当x变化时，f'（x）﹑f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣﹣2（﹣2，0）0 （0，+∞）2）f′（x）+0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗注意到|（a﹣1）﹣a|=1＜2，从而①当，此时f（x）无极小值；②当a﹣1＜0＜a，即0＜a＜1时，f（x）的极小值为f（0）=﹣2，此时f（x）无极大值；③当a≤﹣2或﹣1≤a≤0或a≥1时，f（x）既无极大值又无极小值．20．（12分）（2008•福建）某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B 每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．【分析】（1）不需要补考就获得证书的事件表示科目A第一次考试合格且科目B 第一次考试合格，这两次考试合格是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．（2）参加考试的次数为ξ，由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，根据相互独立事件同时发生的概率写出概率，求出期望．【解答】解：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2．（Ⅰ）不需要补考就获得证书的事件为A1•B1，注意到A1与B1相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率可得．即该考生不需要补考就获得证书的概率为．（Ⅱ）由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，根据相互独立事件同时发生的概率可得=．=，=，∴．即该考生参加考试次数的数学期望为．21．（12分）（2008•福建）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，由此能够推导出椭圆方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，由题意知恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：x=my+1，代入，由题设条件能够推导出=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2＜0恒成立．由此入手能够推导出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，即1=，解得．a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：，整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2﹣a2b2=0，所以因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．即恒成立．x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1==．又a2+b2m2＞0，所以﹣m2a2b2+b2﹣a2b2+a2＜0对m∈R恒成立，即a2b2m2＞a2﹣a2b2+b2对m∈R恒成立．当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2﹣a2b2+b2＜0．a2＜a2b2﹣b2，a2＜（a2﹣1）b2=b4，因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2﹣a﹣1＞0，解得a＞或a＜（舍去），即a＞，综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．22．（14分）（2008•福建）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x（1）求f（x）的单调区间；（2）记f（x）在区间[0，n]（n∈N*）上的最小值为b n令a n=ln（1+n）﹣b n （i）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；（ii）求证：．【分析】（1）先求函数f（x）的导数，再根据导函数的正负和原函数的关系可得答案．（2）（i）先求出b n的值然后代入到a n=ln（1+n）﹣b n放缩可得答案．（ii）根据（i）知，然后用数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣x，所以函数定义域为（﹣1，+∞），且f′（x）=﹣1=．由f′（x）＞0得﹣1＜x＜0，f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）；由f’（x）＜0得x＞0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．（2）因为f（x）在[0，n]上是减函数，所以b n=f（n）=ln（1+n）﹣n，则a n=ln（1+n）﹣b n=ln（1+n）﹣ln（1+n）+n=n．（i）因为对n∈N*恒成立．所以对n∈N*恒成立．则对n∈N*恒成立．设，n∈N*，则c＜g（n）对n∈N*恒成立．考虑．因为=0，所以g（x）在[1，+∞）内是减函数；则当n∈N*时，g（n）随n的增大而减小，又因为=1．所以对一切n∈N，g（n）＞1因此c≤1，即实数c的取值范围是（﹣∞，1]．（ⅱ）由（ⅰ）知．下面用数学归纳法证明不等式（n∈N+）①当n=1时，左边=，右边=，左边＜右边．不等式成立．②假设当n=k时，不等式成立．即．当n=k+1时，＜===，即n=k+1时，不等式成立综合①、②得，不等式成立．所以，所以+＜+…+=﹣1．即．。
2008年山东高考数学真题
可排除B、D，
由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，
故选A．
4．（5分）（2008•山东）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值为（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
【分析】函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|的图象为轴对称图形，其对称轴是直线x= ，可利用这个性质快速解决问题
【解答】解：由题意知本题是古典概型问题，
∵试验发生的基本事件总数为C183=17×16×3．
选出火炬手编号为an=a1+3（n﹣1），
a1=1时，由1，4，7，10，13，16可得4种选法；
a1=2时，由2，5，8，11，14，17可得4种选法；
a1=3时，由3，6，9，12，15，18可得4种选法．
【分析】先依据不等式组 ，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．
【解答】解析：平面区域M如如图所示．
求得A（2，10），C（3，8），B（1，9）．
由图可知，欲满足条件必有a＞1且图象在过B、C两点的图象之间．
18．（12分）（2008•山东）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答对的概率分别为 ，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）．
【解答】解： ，
令 得r=9
2008年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)
(1,4)(1,1)(3,3)Xy Ox=11x+2y-9=0x-y=0绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数31()i i -等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D【解析】由33412()()88i i i i ii--==-⋅=-,易知D 正确.2．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由12x -<得13x -<<，由(3)0x x -<得03x <<，所以易知选B. 3.已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( )A.2B.5C.6D.8【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点(3,3)时,x y +最大值是33 6.+=故选C.4.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】2(2,3)N ⇒ 12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ=311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c =2, 所以选B.5.设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 【答案】D【解析】由立几知识,易知D 正确. 6.函数2()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1B.132+ C.32D.1+3【答案】C【解析】由1cos 231()sin 2sin(2)2226xf x x x π-=+=+-,52,42366x x πππππ≤≤⇒≤-≤ m ax 13()1.22f x ∴=+=故选C.7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,D C BD = 2,C E E A =2,AF FB =则AD BE CF ++ 与BC ( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:212,1233AC AB AD AC AB +==++12,33B E B C B A =+ 12,33C F C A C B =+以上三式相加得1,3A DB EC F B C ++=-所以选A.8.若双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )C 1D 1B 1A 1ODCBAA.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)【答案】B【解析】2033,22aex a e a a a c-=⨯->+23520,e e ⇒-->2e ∴>或13e <-(舍去),(2,],e ∴∈+∞故选B.9.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一球面上，且AB =2,AD =3,AA 1=1,则顶点A 、B 间的球面距离是( ) A.22π B.2π C.22π D.24π【答案】C【解析】11222,BD AC R === 2,R ∴=设11,BD AC O = 则2,O A O B R ===,2A OB π⇒∠=2,2l R πθ∴==⨯故选C.10.设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的n ∈N *,定义[][](1)(1),(1)(1)x nn n n x C x x x x --+=--+ x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数xn C 的值域是( ) A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.284,3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭[)28,56D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D【解析】当x ∈3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，328816,332C ==当2x →时，[]1,x = 所以8842xC ==; 当[)2,3时，288728,21C ⨯==⨯当3x →时，[]2,x = 88728,323xC ⨯==⨯故函数xC 8的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2008年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2008年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•江西）在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数的几何意义作出相应判断．【解答】解：∵sin2＞0，cos2＜0，∴z=sin2+icos2对应的点在第四象限，故选D．【点评】本题考查的是复数的几何意义，属于基础题．2．（5分）（2008•江西）定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（）A．0 B．2 C．3 D．6【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案．【解答】解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．【点评】解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．3．（5分）（2008•江西）若函数y=f（x）的值域是，则函数的值域是（）A．B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先换元，转化成积定和的值域，利用基本不等式．【解答】解：令t=f（x），则，则y=t+≥=2当且仅当t=即t=1时取“=”，所以y的最小值为2故选项为B【点评】做选择题时，求得最小值通过排除法得值域；考查用基本不等式求最值4．（5分）（2008•江西）=（）A．B．0 C． D．不存在【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】把原式进行分母有理化，得：，消除零因子简化为，由此可求出的值．【解答】解：==，故选A．【点评】本题考查池函数的极限，解题时要注意计算能力的培养．5．（5分）（2008•江西）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．【解答】解：∵，，…∴=故选：A．【点评】数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n 换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．6．（5分）（2008•江西）函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A．B．C．D．【考点】正切函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法；三角函数值的符号；正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】本题的解题关键是分析正弦函数与正切函数在区间上的符号，但因为已知区间即包含第II象限内的角，也包含第III象限内的角，因此要进行分类讨论．【解答】解：函数，分段画出函数图象如D图示，故选D．【点评】准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦．”7．（5分）（2008•江西）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．8．（5分）（2008•江西）展开式中的常数项为（）A．1 B．46 C．4245 D．4246【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为0得常数项．【解答】解：的展开式的通项为，其中r=0，1，2 (6)的展开式的通项为=，其中k=0，1，2， (10)的通项为=当时，展开式中的项为常数项∴，，时，展开式中的项为常数项∴展开式中的常数项为1+C63C104+C66C108=4246故选项为D【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决展开式的特定项问题的工具．9．（5分）（2008•江西）若0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1+a2=b1+b2=1，则下列代数式中值最大的是（）A．a1b1+a2b2 B．a1a2+b1b2 C．a1b2+a2b1 D．【考点】基本不等式．【分析】本题为比较一些式子的大小问题，可利用做差法和基本不等式比较，较复杂；也可取特值比较．【解答】解：又∵a1b1+a2b2﹣（a1b2+a2b1）=（a1﹣a2）b1﹣（a1﹣a2）b2=（a2﹣a1）（b2﹣b1）＞0∴a1b1+a2b2＞（a1b2+a2b1）而1=（a1+a2）（b1+b2）=a1b1+a2b1+a1b2+a2b2＜2（a1b1+a2b2）∴解法二：取，，，即可．故选A【点评】本题主要考查比较大小问题，注意选择题的特殊做法，切勿“小题大做”10．（5分）（2008•江西）连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；综合题．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．【点评】本题考查球面距离及其计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．11．（5分）（2008•江西）电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题是一个古典概型，解题时要看清试验发生时的总事件数和一天中任一时刻的四个数字之和为23事件数，前者可以根据生活经验推出，后者需要列举得到事件数．【解答】解：一天显示的时间总共有24×60=1440种，和为23有09：59，19：58，18：59，19：49总共有4种，故所求概率为P==．故选C【点评】本题考查的是古典概型，如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数是解题的关键．12．（5分）（2008•江西）已知函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，8）C．（2，8）D．（﹣∞，0）【考点】一元二次不等式的应用．【专题】压轴题．【分析】当m≤0时，显然不成立；当m＞0时，因为f（0）=1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可．【解答】解：当m≤0时，当x接近+∞时，函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1与g（x）=mx均为负值，显然不成立当x=0时，因f（0）=1＞0当m＞0时，若，即0＜m≤4时结论显然成立；若，时只要△=4（4﹣m）2﹣8m=4（m﹣8）（m﹣2）＜0即可，即4＜m＜8则0＜m＜8故选B．【点评】本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•江西）直角坐标平面上三点A（1，2）、B（3，﹣2）、C（9，7），若E、F为线段BC的三等分点，则=22．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】本题首先要用等比分点的公式计算出E和F两点的坐标，根据所求的坐标得到向量的坐标，把向量的坐标代入向量的数量积公式，求出结果．【解答】解：根据三等分点的坐标公式，得E（5，1），F（7，4）；=（4，﹣1），=（6，2）=4×6﹣2=22，故答案为：22【点评】看清问题的实质，认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．14．（4分）（2008•江西）不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪（0，1]．【考点】指数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】≤0⇒x ∈（﹣∞，﹣3]∪（0，1]【解答】解：∵，∴，∴，∴∴x∈（﹣∞，﹣3]∪（0，1]答案：（﹣∞，﹣3]∪（0，1]．【点评】本题考查指数函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．15．（4分）（2008•江西）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则=．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x A+x B和x A x B的表达式，进而可求得x A x B=﹣（）2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．2，整理后两边同除以xB【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知x A＜0，x B＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0∴x A+x B=p，x A•x B=﹣p2，∴x A x B=﹣p2=﹣（）2=﹣（x A2+x B2+2x A x B）∴3x A2+3x B2+10x A x B=0两边同除以x B2（x B2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵x A+x B=p＞0，∴x A＞﹣x B，∴＞﹣1，∴=﹣=﹣（﹣）=．故答案为：【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．16．（4分）（2008•江西）如图（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2））有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．其中真命题的代号是：BD（写出所有真命题的代号）．【考点】棱柱的结构特征．【专题】综合题；压轴题；探究型．【分析】设出图（1）的水高，和几何体的高，计算水的体积，容易判断A、D的正误；对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，根据体积判断它是正确的．根据当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，计算水的体积和实际不符，是错误的．【解答】解：设图（1）水的高度h2几何体的高为h1图（2）中水的体积为b2h1﹣b2h2=b2（h1﹣h2），所以b2h2=b2（h1﹣h2），所以h1=h2，故A错误，D正确．对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确．对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为b2h2＞b2h2，矛盾，故C不正确．故选BD【点评】本题考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何体的体积，是难题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2008•江西）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，2sinBcosC=sinA，求A，B及b，c．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题．【分析】由可求得得，把切转化成弦化简整理可求得sinC=，进而求得C，对2sinBcosC=sinA化简可得sin（B﹣C）=0，进而求得B，最后由正弦定理即可求得b，c．【解答】解：由得∴∴∴，又C∈（0，π）∴，或由2sinBcosC=sinA得2sinBcosC=sin（B+C）即sin（B﹣C）=0∴由正弦定理得【点评】本题主要考查三角形中的几何计算．常涉及正弦定理、余弦定理和面积公式及三角函数公式等常用公式．18．（12分）（2008•江西）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令ξi（i=1，2）表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．（1）．写出ξ1、ξ2的分布列；（2）．实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（3）．不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；应用题．【分析】（1）根据题意得到两个变量的可能取值，根据条件中所给的方案一和方案二的两年柑桔产量的变化有关数据写出两个变量的分布列．（2）根据两种方案对应的数据，做出方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率，得到结论：方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大．（3）根据两年后柑桔产量和灾前产量的比较，做出达不到灾前产量，达到灾前产量，超过灾前产量的概率，列出柑橘带来效益的分布列，做出期望．【解答】解：（1）ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44，ξ1、ξ2的分布列分别为：（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，P（A）=0.15+0.15=0.3，P（B）=0.24+0.08=0.32∴方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大（3）令ηi表示方案i所带来的效益，则∴Eη1=14.75，Eη2=14.1∴方案一所带来的平均效益更大．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查解决实际问题的能力，考查对题干较长的应用题的理解，是一个综合题．19．（12分）（2008•江西）数列{a n}为等差数列，a n为正整数，其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1=3，b1=1，数列是公比为64的等比数列，b2S2=64．（1）求a n，b n；（2）求证．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n﹣1）d，b n=q n ﹣1，依题意有，由此可导出a n与b n．（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），所以，然后用裂项求和法进行求解．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n﹣1）d，b n=q n﹣1依题意有①由（6+d）q=64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，解①得d=2，q=8故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，b n=8n﹣1（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）∴==．【点评】本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的应用．20．（12分）（2008•江西）如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知．（1）求证：B1C1⊥平面OAH；（2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小．【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】（1）要证B1C1⊥平面OAH，直线证明直线垂直平面OAH内的两条相交直线：AH、OA即可；（2）作出二面角O﹣A1B1﹣C1的平面角，然后求解即可；或者建立空间直角坐标系，利用法向量的数量积求解．【解答】解：（1）证明：依题设，EF是△ABC的中位线，所以EF∥BC，则EF∥平面OBC，所以EF∥B1C1．又H是EF的中点，所以AH⊥EF，则AH⊥B1C1．因为OA⊥OB，OA⊥OC，所以OA⊥面OBC，则OA⊥B1C1，因此B1C1⊥面OAH．（2）作ON⊥A1B1于N，连C1N．因为OC1⊥平面OA1B1，根据三垂线定理知，C1N⊥A1B1，∠ONC1就是二面角O﹣A1B1﹣C1的平面角．作EM⊥OB1于M，则EM∥OA，则M是OB的中点，则EM=OM=1．设OB1=x，由得，，解得x=3，在Rt△OA1B1中，，则，．所以，故二面角O﹣A1B1﹣C1为．解法二：（1）以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，O﹣xyz则所以所以所以BC⊥平面OAH，由EF∥BC得B1C1∥BC，故：B1C1⊥平面OAH（2）由已知，设B1（0，0，z）则由与共线得：存在λ∈R有得同理：C1（0，3，0），∴设是平面A1B1C1的一个法向量，则令x=2，得y=z=1，∴．又是平面OA1B1的一个法量∴所以二面角的大小为（3）由（2）知，，B（0，0，2），平面A1B1C1的一个法向量为．则．则点B到平面A1B1C1的距离为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）（2008•江西）设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0＜m＜1）上，过点P作双曲线x2﹣y2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点．（1）求证：三点A、M、B共线．（2）过点A作直线x﹣y=0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在曲线方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】（1）先根据题意设A（x1，y1），B（x2，y2），将切线PA的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根的判别式等于0即可表示出切线的斜率，因此PA的方程和PB的方程都可以利用A，B两点的坐标表示，又P在PA、PB上，得到点A （x1，y1），B（x2，y2）都在直线y0y=mx﹣1上，从而证得三点A、M、B共线，从而解决问题．（2）设重心G（x，y），欲求△AMN的重心G所在曲线方程，即求出其坐标x，y的关系式，利用点A在双曲线上即可得重心G所在曲线方程．【解答】证明：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得到y1y2≠0，且x12﹣y12=1，x22﹣y22=1，设切线PA的方程为：y﹣y1=k（x﹣x1）由得（1﹣k2）x2﹣2k（y1﹣kx1）x﹣（y1﹣kx1）2﹣1=0从而△=4k2（y1﹣kx1）2+4（1﹣k2）（y1﹣kx1）2+4（1﹣k2）=0，解得因此PA的方程为：y1y=x1x﹣1同理PB的方程为：y2y=x2x﹣1又P（m，y0）在PA、PB上，所以y1y0=mx1﹣1，y2y0=mx2﹣1即点A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线y0y=mx﹣1上又也在直线y0y=mx﹣1上，所以三点A、M、B共线（2）垂线AN的方程为：y﹣y1=﹣x+x1，由得垂足，设重心G（x，y）所以解得由x12﹣y12=1可得即为重心G 所在曲线方程【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、三角形重心、双曲线的标准方程的问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．22．（14分）（2008•江西）已知函数f（x）=++，x∈（0，+∞）（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2．【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）把a=8代入函数解析式，求出函数的导数，并判断导数的符号，得到函数的单调区间．（2）令，则abx=8①，②，将f（x）解析式进行放缩，使用基本不等式，可证f（x）＞1，由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b．则0＜b≤2，当a+b≥7，将f（x）解析式进行放缩，可证f（x）＜2；当a+b＜7③，将f（x）解析式进行放缩，再使用基本不等式证明f（x）＜2，结论得证．【解答】解：（1）当a=8时，，求得，于是当x∈（0，1]时，f'（x）≥0；而当x∈[1，+∞）时，f'（x）≤0．即f（x）在（0，1]中单调递增，而在[1，+∞）中单调递减．（2）对任意给定的a＞0，x＞0，由，若令，则abx=8①，且②．（一）先证f（x）＞1：因为，，，又由，得a+b+x≥6．所以==．（二）再证f（x）＜2：由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b，则0＜b≤2．（ⅰ）当a+b≥7，则a≥5，所以x≥a≥5，因为，，此时，．（ⅱ）当a+b＜7③，由①得，，，因为，所以④，同理得⑤．于是⑥．今证明⑦：因为，故只要证，即证ab+8＞（1+a）（1+b），即证a+b＜7．据③可得此式显然成立，因此⑦得证．再由⑥可得得f（x）＜2．综上所述，对任何正数a，x，皆有1＜f（x）＜2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法、基本不等式法证明不等式，体现分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2008年高考理科数学试题及答案-全国卷2
2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）数学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(012)k k n kn n P k C P p k n -=-=，，，，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3|0|31x M x x N x x x +⎧⎫==<=-⎨⎬-⎩⎭，≤，则集合{}|1x x ≥＝（ ） A ．M N B ．M NC ．()M MN ðD ．()M MN ð2．135(21)lim(21)x n n n →∞++++-=+（ ）A ．14B ．12C ．1D ．23．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ ）A ．(k ∈B ．((2)k ∈-+，∞C ．(k ∈D ．((3)k ∈-+，∞4．复数11212i i +-+-的虚部是（ ） A ．15i B ．15 C ．15i -D ．15-5．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ） A ．2OA OB -B ．2OA OB -+C ．2133OA OB - D ．1233OA OB -+6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．348．将函数21x y =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象，则（ ）A ．(11)=--，aB ．(11)=-，aC ．(11)=，aD ．(11)=-，a 9．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种 10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）AB ．3CD ．9211．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条 12．设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫=⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．3-B ．3C ．8-D ．8第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．函数100xx x y e x +<⎧=⎨⎩，，，≥的反函数是__________． 14．在体积为的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BCA ，C，则球心到平面ABC 的距离为_________．15．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______． 16．已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥AD '．（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直； （Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若D E '与平面PQEF 所成的角为45，求D E '与平 面PQGH 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若OA ⊥OB ，求k 的值；A BCDE FP Q H A ' B 'C 'D 'G（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |． 21．（本小题满分12分）在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ） （Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…．22．（本小题满分14分） 设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． （Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．11ln 1.x x y x x -<⎧=⎨⎩，，， ≥14．3215．516．143三、解答题17．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ······················· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ·············································· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································ 8分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =， 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==······················································ 12分18．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． ····················· 3分 （Ⅱ）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且 P （ξ=8）=0.22=0.04， P （ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2， P （ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P （ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3， P （ξ=16）=0.32=0.09．ξ的分布列为·················································································· 9分E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） ···························· 12分 19．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。
2008年高考全国卷2理科数学(含解析)
14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
【答案】 2
【解析】，∴切线的斜率，所以由得
【评注】又是这么简单，没有任何悬念。
15．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于 ．
【答案】
【解析】设A（，）B（，）由，，（）；∴由抛物线的定义知这是用圆锥曲线定义做的。也可以使用下面的方法：
再由知道，问题转化成定区间上二次函数的最值问题，就容易解决了。不是很难吧。
代入法是这样的：假设 ，合题设。可以排除A、C、D确定 B是正确的。[q1]
10．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】，，设底边为
由题意，到所成的角等于到所成的角于是有
再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A。
【高考考点】两直线成角的概念及公式
【备考提示】本题是由教材的一个例题改编而成。（人教版P49例7）。做题时应该画一个草图，可以断定C、D是错误的，这样代A、B验证即可。
12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】设两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为AB，其中点为E，则为矩形，于是对角线,而，∴
立体几何中的球体问题主要障碍就在图象，我们采取特殊的位置的方法解决问题。取水平截面为大圆，另一圆为竖直面，再平面化如下图：B=2，B=1
【备考提示】函数图像问题是一个常考常新的问题。
9．设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
2008年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2008年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•天津）i是虚数单位，=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果．【解答】解：，故选A．【点评】本题考查复数的代数形式的运算，i的幂的运算，是基础题．2．（5分）（2008•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y 的最小值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，z max=5，故选D．【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．3．（5分）（2008•天津）设函数，则函数f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y=Asinωx的形式，然后由y=Asinωx 的性质得出相应的结论．【解答】解：f（x）==﹣=﹣sin2x所以T=π，且为奇函数．故选A．【点评】本题考查余弦的二倍角公式及函数y=Asinωx的性质．4．（5分）（2008•天津）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．【解答】解：A、B、D的反例如图．故选C．【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．5．（5分）（2008•天津）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（）A．6 B．2 C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆定义，求出m，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的对应关系．【解答】解：由椭圆第一定义知a=2，所以m2=4，椭圆方程为所以d=2，故选B【点评】本题考查了椭圆的第一定义以及第二定义的应用6．（5分）（2008•天津）设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 C．a≤﹣3或a≥﹣1 D．a＜﹣3或a＞﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，易得S={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，可得不等式组，解可得答案．【解答】解：根据题意，S={x||x﹣2|＞3}={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，所以，故选A．【点评】本题考查集合间的相互包含关系及运算，应注意不等式的正确求解，并结合数轴判断集合间的关系．7．（5分）（2008•天津）设函数的反函数为f﹣1（x），则（）A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1B．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0C．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1D．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最小值为0【考点】反函数．【分析】根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．【解答】解：∵为减函数，由复合函数单调性知f（x）为增函数，∴f﹣1（x）单调递增，排除B、C；又f﹣1（x）的值域为f（x）的定义域，∴f﹣1（x）最小值为0故选D【点评】本题很好的利用了排除法，显得小巧灵活，如果求出反函数再去研究，就会麻烦多了，可以比较一下感受感受，所以筛选法、排除法、验证法都是很好的解题方法，平时要用．8．（5分）（2008•天津）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A．B．{x|x≤1} C．D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】对f（x+1）中的x分两类，即当x+1＜0，和x+1≥0时分别解不等式可得结果．【解答】解：依题意得所以故选：C．【点评】本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题．9．（5分）（2008•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【考点】偶函数；不等式比较大小．【专题】压轴题．【分析】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内，根据单调性比较a、b、c的大小．【解答】解：，因为，又由函数在区间[0，+∞）上是增函数，所以，所以b＜a＜c，故选A【点评】本题属于单调性与增减性的综合应用，解决此类题型要注意：（1）通过周期性、对称性、奇偶性等性质将自变量调整到同一单调区间内，再比较大小．（2）培养数形结合的思想方法．10．（5分）（2008•天津）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A．1344种B．1248种C．1056种D．960种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，分2步进行，首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，然后确定其余4个数字的排法数，使用排除法，用总数减去不合题意的情况数，可得其情况数目，由乘法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有C21A22=4种排法，然后确定其余4个数字，其排法总数为A64=360，其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有A42=12种排法，所以此时余下的这4个数字共有360﹣4×12=312种方法；由乘法原理可知共有4×312=1248种不同的排法，故选B．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意特殊方法的使用，如排除法．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2008•天津）的二项展开式中，x2的系数是40（用数字作答）．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出x2的系数．【解答】解：，令所以r=2，所以x2的系数为（﹣2）2C52=40．故答案为40【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（4分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为24．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【专题】计算题；综合题．【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由得，所以a=2，表面积为6a2=24．故答案为：24【点评】本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．13．（4分）（2008•天津）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为x2+（y﹣1）2=10．【考点】抛物线的应用；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而求得圆心，进而求得圆心到直线4x﹣3y﹣2=0的距离，根据勾股定理求得圆的半径．则圆的方程可得．【解答】解：依题意可知抛物线的焦点为（1，0），∵圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．所以圆心坐标为（0，1），∴，圆C的方程为x2+（y﹣1）2=10故答案为x2+（y﹣1）2=10【点评】本题主要考查了抛物线的应用．涉及了圆的基本性质，对称性问题，点到直线的距离，数形结合思想等问题．14．（4分）（2008•天津）如图，在平行四边形ABCD中，，则=3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】选一对不共线的向量做基底，在平行四边形中一般选择以最左下角定点为起点的一对边做基底，把基底的坐标求出来，代入数量积的坐标公式进行运算，得到结果．【解答】解：令，，则∴．故答案为：3【点评】用基底表示向量，然后进行运算，比较困难．要启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．15．（4分）（2008•天津）已知数列{a n}中，，则=．【考点】数列的求和；极限及其运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先由求a n可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到a n的表达式，再求极限即可．【解答】解：因为所以a n是一个等比数列的前n项和，所以，且q=2．代入，所以．所以答案为【点评】此题主要考查数列的求和问题，用到错位相加法的思想，需要注意．16．（4分）（2008•天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时a的取值的集合为{2}．【考点】对数的运算性质；函数单调性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由log a x+log a y=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．【解答】解：∵log a x+log a y=c，∴=c∴xy=a c得，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，所以，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+log a2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．故答案为：{2}【点评】本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（12分）（2008•天津）已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）利用x的范围确定x﹣的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin（x﹣）的值，进而根据sinx=sin[（x﹣）+]利用两角和公式求得答案（2）利用x的范围和（1）中sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，最后代入正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：（1）因为x∈（，），所以x﹣∈（），sin（x﹣）==．sinx=sin[（x﹣）+]=sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin=×+×=．（2）因为x∈（，），故cosx=﹣=﹣=﹣．sin2x=2sinxcosx=﹣，cos2x=2cos2x﹣1=﹣．所以sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin=﹣．【点评】本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用．考查了学生基础知识的掌握和基本运算能力．18．（12分）（2008•天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式写出乙两次都未投中的概率，列出方程，解方程即可．（II）做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率，因为两人共命中的次数记为ξ，得到变量可能的取值，看清楚变量对应的事件，做出事件的概率，写出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得解得或（舍去），∴乙投球的命中率为．（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知ξ可能的取值为0，1，2，3，P（ξ=1）=P（A）P（）+•P（B）P（）P（）=∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查对立事件的概率，是一个综合题，是近几年高考题目中经常出现的一个问题．19．（12分）（2008•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题．【分析】（I）由题意在△PAD中，利用所给的线段长度计算出AD⊥PA，在利用矩形ABCD 及线面垂直的判定定理及、此问得证；（II）利用条件借助图形，利用异面直线所称角的定义找到共面得两相交线，并在三角形中解出即可；（III）由题中的条件及三垂线定理找到二面角的平面角，然后再在三角形中解出角的大小即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2，可得PA2+AD2=PD2于是AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB=由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=．所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan．（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连接PE因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．由题设可得，PH=PA•sin60°=，AH=PA•cos60°=1，BH=AB﹣AH=2，BD=，HE=于是在RT△PHE中，tanPEH=所以二面角P﹣BD﹣A的大小为arctan．【点评】本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，还考查了利用反三角函数的知识求出角的大小．20．（12分）（2008•天津）已知函数，其中a，b∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即为点的斜率，再根据f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，解出a值；（Ⅱ）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，因极值点含a，需要分类讨论它的单调性；（Ⅲ）已知，恒成立的问题，要根据（Ⅱ）的单调区间，求出f（x）的最大值，让f（x）的最大值小于10就可以了，从而解出b值．【解答】解：（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得f'（2）=3，于是a=﹣8．由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得﹣2+b=7，解得b=9．所以函数f（x）的解析式为．（Ⅱ）解：．当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数．当a＞0时，令f'（x）=0，解得．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：xf′（x）+ 0 ﹣﹣0 +↗f（x）↗极大值↘↘极小值所以f（x）在，内是增函数，在，（0，）内是减函数．综上，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数；当a＞0时，f（x）在，内是增函数，在，（0，）内是减函数．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为与f（1）的较大者，对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的b的取值范围是．【点评】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．21．（14分）（2008•天津）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．【考点】双曲线的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C 的方程．（2）设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．由题设得，解得，所以双曲线方程为．（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组将①式代入②式，得，整理得（5﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣20=0．此方程有两个不等实根，于是5﹣4k2≠0，且△=（﹣8km）2+4（5﹣4k2）（4m2+20）＞0．整理得m2+5﹣4k2＞0．③由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足，．从而线段MN的垂直平分线方程为．此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，k≠0．将上式代入③式得，整理得（4k2﹣5）（4k2﹣|k|﹣5）＞0，k≠0．解得或．所以k的取值范围是．【点评】本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．22．（14分）（2008•天津）在数列{a n}与{b n}中，a1=1，b1=4，数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，2a n+1为b n与b n+1的等比中项，n∈N*．（Ⅰ）求a2，b2的值；（Ⅱ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅲ）设．证明|T n|＜2n2，n≥3．【考点】数列的应用；数列递推式；数学归纳法．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（Ⅰ）解：题设有a1+a2﹣4a1=0，a1=1，4a22=b2b1，b1=4，由此可求出a2，b2的值．（Ⅱ）由题设条件猜想，b n=（n+1）2，n∈N*．再用数学归纳法进行证明．（Ⅲ）由题设条件知．由此可以导出|T n|＜2n2．【解答】解：（Ⅰ）解：由题设有a1+a2﹣4a1=0，a1=1，解得a2=3．由题设又有4a22=b2b1，b1=4，解得b2=9．（Ⅱ）解：由题设nS n+1﹣（n+3）S n=0，a1=1，b1=4，及a2=3，b2=9，进一步可得a3=6，b3=16，a4=10，b4=25，猜想，b n=（n+1）2，n∈N*．先证，n∈N*．当n=1时，，等式成立．当n≥2时用数学归纳法证明如下：（1）当n=2时，，等式成立．（2）假设n=k时等式成立，即，k≥2．由题设，kS k+1=（k+3）S k（k﹣1）S k=（k+2）S k﹣1①的两边分别减去②的两边，整理得ka k+1=（k+2）a k，从而．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的n≥2成立．综上所述，等式对任何的n∈N*都成立再用数学归纳法证明b n=（n+1）2，n∈N*．（1）当n=1时，b1=（1+1）2，等式成立．（2）假设当n=k时等式成立，即b k=（k+1）2，那么．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式b n=（n+1）2对任何的n∈N*都成立．（Ⅲ）证明：当n=4k，k∈N*时，Tn=﹣22﹣32+42+52﹣﹣（4k﹣2）2﹣（4k﹣1）2+（4k）2+（4k+1）2．注意到﹣（4k﹣2）2﹣（4k﹣1）2+（4k）2+（4k+1）2=32k﹣4，故4k（4k+4）﹣4k=（4k）2+3×4k=n2+3n．当n=4k﹣1，k∈N*时，T n=（4k）2+3×4k﹣（4k+1）2=（n+1）2+3（n+1）﹣（n+2）2=n当n=4k﹣2，k∈N*时，T n=（4k）2+3×4k﹣（4k+1）2﹣（4k）2=3（n+2）﹣（n+3）2=﹣n2﹣3n﹣3．当n=4k﹣3，k∈N*时，T n=3×4k﹣（4k+1）2+（4k﹣1）2=3（n+3）﹣（n+4）2+（n+2）2=﹣n﹣3．所以．从而n≥3时，有总之，当n≥3时有，即|T n|＜2n2．【点评】本题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．。
2008年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析
代入使其等于0求出m即可． 【解答】解：设平移向量 ， 则函数按向量平移后的表达式为
， 因为图象关于点
中心对称， 故
，代入得：
，
﹣2m=kπ（k∈Z）， k=0得：
， 故选C． 【点评】本题主要考查三角函数按向量进行平移的问题．属基础题．
6．（5分）（2008•安徽）设（1+x）8=a0+a1x+…+a8x8，则a0，a1， …，a8中奇数的个数为（ ）
故选B． 【点评】本题考查一元二次方程的根的分布于系数的关系，充要条件的 判定，是中档题． 8．（5分）（2008•安徽）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣
2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【分析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求 解．
【解答】解：i3（1+i）2=（﹣i）（2i）=2，
故选A． 【点评】复数代数形式的运算，注意i 的幂的运算，是基础题． 2．（5分）（2008•安徽）集合A={y|y=lgx，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1， 2}则下列结论正确的是（ ）
A．A∩B={﹣2，﹣1} B．（CRA）∪B=（﹣∞，0） C． A∪B=（0，+∞） D．（CRA）∩B={﹣2，﹣1}
用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=e﹣x，又由 f（x）﹣g（x）=ex联立方程组，可求出f（x），g（x）的解析式进而
得到答案．
【解答】解：用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，即f（x） +g（x）=﹣e﹣x， 又∵f（x）﹣g（x）=ex
2008年广东高考理科数学试题及答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(理科)全解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ C ） A ．(15)， B ．(13)，C．D．【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ D ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．48【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）A ．24B ．18C ．16D ．12 表1【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168264=⨯4．若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．40 【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C. 5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.6．已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ⌝∨⌝ 为真命题7．设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-EF DIA H GB C EFDA B C侧视 图1 图2 B EA ．B EB ． B EC ． B ED ．图3【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。
2008高考四川数学理科试卷含详细解答(全word版)080622
2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医类）及逐题详解本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次实验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=第Ⅰ卷一．选择题：１．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U A B = ð( B )（Ａ）{}2,3 （Ｂ）{}1,4,5 （Ｃ）{}4,5 （Ｄ）{}1,5 【解】：∵{}{}1,2,3,2,3,4A B == ∴{}2,3A B =又∵{}1,2,3,4,5U = ∴(){}1,4,5U A B = ð 故选B ； 【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算； 【突破】：画韦恩氏图，数形结合； ２．复数()221i i +=( A )（Ａ）4- （Ｂ）4 （Ｃ）4i - （Ｄ）4i【解】：∵()()222121212244i i i i i i i +=+-=⨯==- 故选A ；【点评】：此题重点考复数的运算；【突破】：熟悉乘法公式，以及注意21i =-； ３．()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x【解】：∵()22222sin cos sin cos tan cot cos cos cos cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭cos cot sin xx x== 故选D ； 【点评】：此题重点考察各三角函数的关系；【突破】：熟悉三角公式，化切为弦；以及注意22sin cos sin cos 1,tan ,cot cos sin x xx x x x x x+===； ４．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+ 【解】：∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+ 故选A ；【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；５．若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( C ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解】：∵sin αα ∴sin 0αα> ，即12sin 2sin 023πααα⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵02απ≤≤ ∴5333πππα-≤-≤，∴03παπ≤-≤ ，即4,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选C ； 【考点】：此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用，以及正余弦函数的图象； 【突破】：熟练进行三角公式的化简，画出图象数形结合得答案；６．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( C )（Ａ）70种 （Ｂ）112种 （Ｃ）140种 （Ｄ）168种 【解】：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有410C 种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有48C 种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有4410821070140C C -=-=种不同挑选方法 故选C ；【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；7．已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞【解1】：∵等比数列()n a 中21a = ∴当公比为1时，1231a a a ===，33S = ； 当公比为1-时，1231,1,1a a a =-==-，31S =- 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D ；【解2】：∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭∴当公比0q >时，31113S q q =++≥+=；当公比0q <时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭ ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞ 故选D ；【考点】：此题重点考察等比数列前n 项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；【突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前n 项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；８．设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )（Ａ）3,5,6 （Ｂ）3,6,8 （Ｃ）5,7,9 （Ｄ）5,8,9【解】：设分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆的半径为123,,r r r ，球半径为R ，则：22222222222212325182,,39393r R R R r R R R r R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴222123::5:8:9r r r = ∴这三个圆的面积之比为：5,8,9 故选D【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系； 【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；９．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( B ) （Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条 【解】：如图，和α成030角的直线一定是以A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当030ABC ACB ∠=∠=，直线,AC AB 都满足条件 故选Ｂ【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对称性；10．设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f =（Ｄ）()'00f=【解】：∵()()sin f x x ωϕ=+是偶函数∴由函数()()sin f x x ωϕ=+图象特征可知0x =必是()f x 的极值点， ∴()'00f= 故选D【点评】：此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系；【突破】：画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于y 轴对称的要求，分析出0x =必是()f x 的极值点，从而()'00f=；11．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213【解】：∵()()213f x f x ⋅+=且()12f = ∴()12f =，()()1313312f f ==， ()()13523f f ==，()()1313752f f ==，()()13925f f ==， ，∴()221132n f n n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ，∴()()1399210012f f =⨯-= 故选C 【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值；【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解；12．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且A K A F =，则AFK ∆的面积为(B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32 【解】：∵抛物线2:8C y x =的焦点为()20F ，，准线为2x =- ∴()20K -， 设()00A x y ，，过A 点向准线作垂线AB ，则()02B y -，∵AK =，又()0022AF AB x x ==--=+∴由222BK AK AB =-得()22002y x =+，即()20082x x =+，解得()24A ±，∴AFK ∆的面积为01144822KF y ⋅=⨯⨯= 故选B 【点评】：此题重点考察双曲线的第二定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题； 【突破】：由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在ABK ∆中集中条件求出0x 是关键；第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
2008年高考数学试卷(江西.理)含详解
准考证号 姓名（在此卷上答题无效）绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A ＋B)＝P (A)＋P (B) S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P (A·B)＝P (A)·P (B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V ＝34πR 3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P n (k )＝C kn P k (1一P )kn -一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．63．若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()1()F x f x f x =+的值域是A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310] 4．123lim1--+→x x x ＝A ．21 B ．0 C ．－21D ．不存在 5．在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++⎪⎝⎭，则n a ＝ A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间(2π，23π)内的图象大致是A B C D7．已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0，1)B ．(0，21] C ．(0，22) D ．[22，1)8．(1＋3x )6(1＋41x)10展开式中的常数项为A ．1B ．46C ．4245D ．42469．若12120,0a a b b <<<<，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．2110．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为l 其中真命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．1801 B ．2881 C ．3601 D ．480112．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE ·AF ＝ ．14．不等式132+-xx ≤21的解集为 ． 15．过抛物线()220x py p =>的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则FBAF＝ ． 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，a ＝23，tan 2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22A．求A 、B 及b 、c ．18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令()1,2i i ξ=表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出ξ1、ξ2的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大? 19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．（1）求n a 与n b ； （2）证明：11S ＋21S ＋……＋n S 1＜43．20．（本小题满分12分）正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA OB OC 、、两两垂直，且长度均为2．E F 、分别是AB AC 、的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA OB OC 、、或其延长线分别相交于111A B C 、、，已知132OA =． （1）证明：11B C ⊥平面OAH ； （2）求二面角111O A B C --的大小．21．（本小题满分12分）设点()00,P x y 在直线(),01x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，定点M (m1，0)． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A M B 、、三点共线． 22．（本小题满分14分） 已知函数()f x ＝x+11＋a+11＋8+ax ax，x ∈(0，＋∞)．（1）当8a =时，求()f x 的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：()12f x <<．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2008年湖南省高考数学试卷(理科)及答案
2008年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）复数等于（）A．8 B．﹣8 C．8i D．﹣8i2．（5分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是（）A．2 B．5 C．6 D．84．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α6．（5分）函数在区间上的最大值是（）A．1 B．C．D．1+7．（5分）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直8．（5分）若双曲线（a＞0，b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，5） D．（5，+∞）9．（5分）（文）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（）A．B．C．D．210．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2，[]=1），对于给定的n ∈N*，定义，x∈[1，+∞），则当x∈时，函数的值域是（）A．B．C．[28，56）D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）=．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，右准线为l，离心率e=过顶点A（0，b）作AM⊥l，垂足为M，则直线FM的斜率等于．13．（5分）设函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=x﹣f（x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）﹣x的图象一定过点．14．（5分）已知函数（a≠1）．（1）若a＞0，则f（x）的定义域是；（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是．15．（5分）10个相同的小球分给3个人，每人至少2个，有种分法．三、解答题（共7小题，满分75分）16．（12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率；（Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望．17．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小．18．（12分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=（1+cos2）a n+sin2，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，S n=b1+b2+…+b n．证明：当n≥6时，|S n﹣2|＜．19．（13分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．20．（13分）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x＞2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦”．给定x0＞2．（I）证明：点P（x0，0）的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同；（II）试问：点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由．21．（13分）已知函数．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式对任意的n∈N*都成立（其中e是自然对数的底数）．求a的最大值．2008年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•湖南）复数等于（）A．8 B．﹣8 C．8i D．﹣8i【分析】先化简复数，然后进行复数幂的运算即可．【解答】解：由，故选D．2．（5分）（2008•湖南）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】首先解出两个不等式，再比较x的范围，范围小的可以推出范围大的．【解答】解：由|x﹣1|＜2，得﹣1＜x＜3，由x（x﹣3）＜0，得0＜x＜3，故选B．3．（5分）（2008•湖南）已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是（）A．2 B．5 C．6 D．8【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数x+y，不难求出目标函数x+y 的最大值．【解答】解：如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为（1，1），（1，4），（3，3），代入验证知在（3，3）时，x+y最大值是3+3=6．故选C．4．（5分）（2008•湖南）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】画正态曲线图，由对称性得c﹣1与c+1的中点是2，由中点坐标公式得到c的值．【解答】解：∵N（2，32）⇒，，∴，解得c=2，所以选B．5．（5分）（2008•湖南）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【分析】由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C．【解答】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选：D．6．（5分）（2008•湖南）函数在区间上的最大值是（）A．1 B．C．D．1+【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到f（x）=，然后再求其在区间上的最大值．【解答】解：由，∵，∴．故选C．7．（5分）（2008•湖南）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直【分析】根据向量的定必分点性质可分别表示出，，，然后三者相加即可得到答案．【解答】解：由定比分点的向量式得：，，，以上三式相加得，故选A8．（5分）（2008•湖南）若双曲线（a＞0，b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，5） D．（5，+∞）【分析】由题设条件可知，，由此能推导出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：∵则3e2﹣5e﹣2＞0，∴e＞2或（舍去），∴e∈（2，+∞），故选B．9．（5分）（2008•湖南）（文）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（）A．B．C．D．2【分析】先求长方体的对角线，就是球的直径，再求AB的球心角，然后求A、B 间的球面距离．【解答】解：∵，∴，设BD1∩AC1=O，则，，∴，故选B10．（5分）（2008•湖南）设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2，[]=1），对于给定的n∈N*，定义，x∈[1，+∞），则当x∈时，函数的值域是（）A．B．C．[28，56）D．【分析】将区间分为[，2）、[2，3）两段分别考虑进行求值．【解答】解：当x∈时，，当x→2时，[x]=1，所以；当[2，3）时，，当x→3时，[x]=2，，故函数C8x的值域是．故选D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2008•湖南）=．【分析】先化简，再求值．【解答】解：故答案为：．12．（5分）（2008•湖南）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，右准线为l，离心率e=过顶点A（0，b）作AM⊥l，垂足为M，则直线FM的斜率等于．【分析】先根据题意求得M的坐标，进而根据离心率求得a和c的关系，则b 和c的关系可求．进而利用斜率的公式求得直线FM的斜率．【解答】解：∵，，∴故答案为13．（5分）（2008•湖南）设函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=x﹣f （x）的图象过点（1，2），则函数y=f﹣1（x）﹣x的图象一定过点（﹣1，2）．【分析】本题考查反函数的概念，互为反函数的函数图象的关系及灵活运用解析式的变化等相关知识点；依题意首先由函数y=x﹣f（x）的图象过点（1，2），可以得到f（1）的值，然后以反函数为桥梁得解．【解答】解析：由函数y=x﹣f（x）的图象过点（1，2）得：f（1）=﹣1，即函数y=f（x）过点（1，﹣1），则其反函数过点（﹣1，1），所以函数y=f﹣1（x）﹣x的图象一定过点（﹣1，2）．14．（5分）（2008•湖南）已知函数（a≠1）．（1）若a＞0，则f（x）的定义域是（﹣∞，] ；（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3] ．【分析】（1）由当a＞0且a≠1，再由负数不能开偶次方根，有3﹣ax≥0求解．（2）先看分母，当a﹣1＞0，即a＞1时，要使“f（x）在（0，1]上是减函数”，则分子是减函数，且3﹣a×1≥0成立；当a﹣1＜0，即a＜1时，要“使f（x）在（0，1]上是减函数”则分子是增函数，且﹣a＞0成立，两种情况的结果最后取并集．【解答】解：（1）当a＞0且a≠1时，由3﹣ax≥0得，即此时函数f（x）的定义域是（﹣∞，]．（2）当a﹣1＞0，即a＞1时，要使f（x）在（0，1]上是减函数，则需3﹣a×1≥0，此时1＜a≤3．当a﹣1＜0，即a＜1时，要使f（x）在（0，1]上是减函数，则需﹣a＞0，此时a＜0．综上所述，所求实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，3]．故答案为：（1）（﹣∞，]；（2）（﹣∞，0）∪（1，3]15．（5分）（2008•湖南）10个相同的小球分给3个人，每人至少2个，有15种分法．【分析】根据题意，首先每人分一个球，因球相同，问题转化为将相同的7个球，分给3人，每人至少一个的问题，使用隔板法，先将7个球排成一列，除去两端后，有6个空位，从中任取两个空位，插入隔板，由组合公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先每人分一个球，因球相同，有一种分法，进而将其他的7个球，分给3人，每人至少一个，用隔板法，先将7个球排成一列，除去两端后，有6个空位，从中任取两个空位，插入隔板，即可将7个球分成3组，有C62=15种不同方法，故答案为15．三、解答题（共7小题，满分75分）16．（12分）（2008•湖南）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率；（Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=P（B）=P（C）=，分析可得“至少有1人面试合格”与“三人面试全不合格”为对立事件，由对立事件的概率，计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，易得ξ 的可能取值为0，1，2，3，分别计算其概率可得分布列，由期望的计算公式，结合分布列计算可得ξ的期望．【解答】解：（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=P（B）=P（C）=．至少有1人面试合格的概率是．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，==．==．P（ξ=2）=P（•B•C）=．所以，ξ的分布列是ξ0 1 2 3Pξ的期望=1．17．（12分）（2008•湖南）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小．【分析】法一（Ⅰ）连接BD，证明平面PBE内的直线BE，垂直平面PAB内的两条相交直线PA，AB即可证明平面PBE⊥平面PAB；（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连接PF．过点A作AH⊥PB于H，∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）．解Rt△AHG求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小．法二：以A为原点，建立空间直角坐标系．（Ⅰ）由，与平面PAB的一个法向量是=（0，1，0），共线，说明BE⊥平面PAB，推出平面PBE⊥平面PAB；（Ⅱ）求出平面PBE的一个法向量，平面PAD的一个法向量，求两个向量的数量积，即可求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小．【解答】解：解法一（Ⅰ）如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连接PF．过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE．在Rt△ABF中，因为∠BAF=60°，所以，AF=2AB=2=AP．在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG．则AG⊥PF．连接HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG．所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）．在等腰Rt△PAF中，在Rt△PAB中，．所以，在Rt△AHG中，．故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是．解法二：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），，，P（0，0，2），．（Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线．从而BE⊥平面PAB．又因为BE⊂平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB．（Ⅱ）易知，设是平面PBE的一个法向量，则由得所以y1=0，x1=2z1．故可取=（2，0，1）．设是平面PAD的一个法向量，则由得所以．故可取．于是，．故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是．18．（12分）（2008•湖南）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n +2=（1+cos 2）a n +sin 2，n=1，2，3，…．（1）求a 3，a 4并求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =，S n =b 1+b 2+…+b n ．证明：当n ≥6时，|S n ﹣2|＜．【分析】（1）根据a n +2=（1+cos 2）a n +sin 2，把a 1和a 2代入即可求得a 3，a 4，先看当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，整理得a 2k +1﹣a 2k ﹣1=1进而可判断数列{a 2k ﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列；n=2k （k ∈N *）时，整理得a 2k +2=2a 2k 进而可判断数列{a 2k }是首项为2、公比为2的等比数列，最后综合可得答案．（2）把（1）中求得a n 代入b n 中可知数列{b n }是由等比和等差数列构成，因而可用错位相减法求和，得到数列的求和公式S n =2﹣．．要证明当n ≥6时，|S n﹣2|＜成立，只需证明当n ≥6时，＜1成立．用数学归纳法，先看当n=6时求得＜1，再假设当n=k （k ≥6）时不等式成立，通过n=k +1时，等式亦成立，进而证明结论． 【解答】解：（1）因为a 1=1，a 2=2， 所以a 3=（1+cos 2）a 1+sin 2=a 1+1=2，a 4=（1+cos 2π）a 2+sin 2π=2a 2=4．一般地，当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1=[1+cos 2]a 2k ﹣1+sin 2=a 2k﹣1+1，即a 2k +1﹣a 2k ﹣1=1．所以数列{a 2k ﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列， 因此a 2k ﹣1=k ．当n=2k（k∈N*）时，a2k=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k．+2所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k．故数列{a n}的通项公式为a n=（2）由（1）知，b n==，所以S n=+++…+，①S n=+++…+，②①﹣②得，S n=+++…+﹣=﹣=1﹣﹣，所以S n=2﹣﹣=2﹣．要证明当n≥6时，|S n﹣2|＜成立，只需证明当n≥6时，＜1成立．（1）当n=6时，==＜1成立．（2）假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即＜1．则当n=k+1时，=×＜＜1．由（1）、（2）所述，当n≥6时，＜1．即当n≥6时，|S n﹣2|＜．19．（13分）（2008•湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【分析】（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC 的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q 在点A和点E之间，根据QE=AE﹣AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．【解答】解：（I）如图，AB=40，AC=10，．由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=．由余弦定理得BC=．所以船的行驶速度为（海里/小时）．（II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．在△ABC中，由余弦定理得，==．从而．在△ABQ中，由正弦定理得，AQ=．由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE﹣AQ=15．过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°﹣∠ABC）=．所以船会进入警戒水域．20．（13分）（2008•湖南）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”．已知当x＞2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦”．给定x0＞2．（I）证明：点P（x0，0）的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同；（II）试问：点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由．【分析】（I）设AB为点P（x0，0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2）（x1≠x2），代入抛物线方程相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2）．设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x m，y m），则可表示出AB的斜率，进而可表示出AB的垂直平分线l的方程，把点P（x0，0）代入求得x m=x0﹣2．答案可得．（2）由（Ⅰ）知，弦AB所在直线的方程与抛物线方程联立求得x1•x2的值，设点P的“相关弦”AB的弦长为l则根据l2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=整理得l关于x0的函数，进而根据x0的范围求得答案．【解答】解：（I）设AB为点P（x0，0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2）（x1≠x2），则y21=4x1，y22=4x2，两式相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2）．因为x1≠x2，所以y1+y2≠0、设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x m，y m），则k=．从而AB的垂直平分线l的方程为又点P（x0，0）在直线l上，所以而y m≠0，于是x m=x0﹣2．故点P（x0，0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0﹣2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直线的方程是y﹣y m=k（x﹣x m），代入y2=4x中，整理得k2x2+2[k（y m﹣kx m）﹣2]x+（y m﹣kx m）2=0．（•）则x1、x2是方程的两个实根，且设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则l2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=（1+k2）（x1﹣x2）2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=4（1+k2）（x m2﹣x1x2）==（4+y m2）（4x m﹣y m2）=﹣y m4+4y m2（x m﹣1）+16x m=4（x m+1）2﹣[y m2﹣2（x m﹣1）]2=4（x0﹣1）2﹣[y m2﹣2（x0﹣3）]2．因为0＜y m2＜4x m=4（x m﹣2）=4x0﹣8，于是设t=y m2，则t∈（0，4x0﹣8）．记l2=g（t）=﹣[t﹣2（x0﹣3）]2+4（x0﹣1）2．若x0＞3，则2（x0﹣3）∈（0，4x0﹣8），所以当t=2（x0﹣3），即y m2=2（x0﹣3）时，l有最大值2（x0﹣1）．若2＜x0＜3，则2（x0﹣3）≤0，g（t）在区间（0，4x0﹣8）上是减函数，所以0＜l2＜16（x0﹣2），l不存在最大值．综上所述，当x0＞3时，点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0﹣1）；当2＜x0≤3时，点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值．21．（13分）（2008•湖南）已知函数．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式对任意的n∈N*都成立（其中e是自然对数的底数）．求a的最大值．【分析】（Ⅰ）①函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞）求f′（x）判断f′（x）正负②由于f′（x）比较复杂令分子为g（x）判断g（x）单调性从而判断函数值正负③再令h（x）=g′（x），可求当﹣1＜x＜0时，h'（x）＞0，h（x）在（﹣1，0）上为增函数，当x＞0时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上为减函数h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0，所以g'（x）＜0函数g（x）在（﹣1，+∞）上为减函数于是当﹣1＜x＜0时，g（x）＞g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜g（0）=0．（Ⅱ）借用（Ⅰ）结论将题设中不等式变形即可求出a最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），．设g（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x2﹣2x，则g'（x）=2ln（1+x）﹣2x．令h（x）=2ln（1+x）﹣2x，则．当﹣1＜x＜0时，h'（x）＞0，h（x）在（﹣1，0）上为增函数，当x＞0时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上为减函数．所以h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0，所以g'（x）＜0（x≠0），函数g（x）在（﹣1，+∞）上为减函数．于是当﹣1＜x＜0时，g（x）＞g（0）=0，当x＞0时，g（x）＜g（0）=0．所以，当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上为增函数．当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上为减函数．故函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）．（Ⅱ）不等式等价于不等式．由知，．设，则．由（Ⅰ）知，，即（1+x）ln2（1+x）﹣x2≤0．所以G'（x）＜0，x∈（0，1]，于是G（x）在（0，1]上为减函数．故函数G（x）在（0，1]上的最小值为．所以a的最大值为．。
2008年高考数学(理科)试卷及答案(江西卷)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z =sin 2＋i cos 2对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．6 3．若函数y ＝f (x )的值域是[21，3]，则函数F (x )＝f (x )＋)(1x f 的值域是A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310] 4．123lim1--+→x x x ＝A ．21 B ．0 C ．－21D ．不存在 5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,]2 C． D． 8．(1＋3x )6(1＋41x)10展开式中的常数项为ABCDA ．1B ．46C ．4245D ．42469．已知实数1a 、2a 和有理数1b 、2b ，若210a a <<，210b b <<，且12121=+=+b b a a ，则下列代数式中值最大的是 （ ）、A 2121b b a a + 、B 2211b a b a + 、C 1221b a b a + 、D 2110．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ；②弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为l .其中真命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．1801 B ．2881 C ．3601 D ．4801 12．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋l ，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．直角坐标平面内三点A(1，2)、B(3，－2)、C(9，7)，若E 、F 为线段BC 的三等分点，则²＝ ． 14．不等式132+-x x ≤21的解集为 ． 15．过抛物线x 2=2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则FBAF＝ ． 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题： A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，a ＝23，tan2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22A．求A 、B 及b 、c ． 18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi (i ＝1，2)表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出ξ1、ξ2的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?19．（本小题满分12分）数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++< . 20．（本小题满分12分）正三棱锥O －ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于A 1、B 1、C 1，已知OA 1＝23． （1）证明：B 1C 1⊥平面OAH ；（2）求二面角O －A 1B 1－C 1的大小．21．（本小题满分12分）设点P (x 0，y 0) 在直线x ＝m ( y ≠±m ，0＜m ＜1)上，过点P 作双曲线搿x 2－y 2＝1的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M(m1，0)． （1）过点A 作直线x －y ＝0的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A 、M 、B 三点共线．1C 1A22．（本小题满分14分） 已知函数f (x )＝x+11＋a+11＋8+ax ax，x ∈(0，＋∞)．（1）当a ＝8时，求f (x )的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：l ＜f (x )＜2．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案1．D .因sin 20,cos 20><所以sin 2cos2z i =+对应的点在第四象限， 2．D .因*{0,2,4}A B =3．B .令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t =+∈ 4．A.11x x →→=1 =1=2x →5. A . 211ln(1)1a a =++，321ln(1)2a a =++，…，11ln(1)1n n a a n -=++- 1234ln()()()()2ln 1231n na a n n ⇒=+=+-6．D. 函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨≥⎩当时当时7．C .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则2222212c b c b a c e <⇒<=-⇒<又(0,1)e ∈,所以1(0,)2e ∈8．D . 常数项为346861061014246C C C C ++=9. A. 22121212121()()222a ab b a a b b +++≤+=112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--≥ 11221221()a b a b a b a b +≥+12121122112112221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=+++≤+112212a b a b +≥10．C . 解：①③④正确，②错误。
2008年陕西省高考数学试卷(理科)及解析
2008年陕西省高考数学试卷（理科)一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1．（5分）复数等于（)A．iB．﹣iC．1D．﹣12．(5分）已知全集U={1,2，3，4，5｝，集合A={x｜x2﹣3x+2=0｝，B={x｜x=2a，a∈A｝，则集合∁U(A∪B）中元素的个数为()A．1B．2C．3D．43．（5分）△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c,若，则a等于()A．B．2C．D．4．（5分)已知｛a n｝是等差数列，a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10等于() A．64B．100C．110D．1205．（5分）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切,则实数m等于（)A．或B．或C．或D．或6．(5分）“a=1”是“对任意的正数x,”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分)已知函数f(x）=2x+3,f﹣1(x)是f(x）的反函数，若mn=16（m，n∈R+)，则f﹣1(m)+f ﹣1(n）的值为（）A．10B．4C．1D．﹣28．(5分)双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(）A．B．C．D．9．（5分）如图，α⊥β,α∩β=l，A∈α,B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ,AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（)A．θ＞φ，m＞nB．θ＞φ,m＜nC．θ＜φ，m＜nD．θ＜φ，m＞n10．（5分）已知实数x，y满足,如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2,则实数m等于(）A．0B．6C．7D．811．(5分)定义在R上的函数f（x)满足f（x+y）=f(x）+f（y)+2xy（x,y∈R)，f(1)=2，则f （﹣3）等于（)A．2B．3C．6D．912．(5分)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈｛0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2,⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1,1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是(）A．11010B．01100C．10111D．00011二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．(4分），则a=．14．（4分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上，其中AB：AD:AA1=1：1:．A，B两点的球面距离记为m，A，D1两点的球面距离记为n，则的值为．15．（4分）关于平面向量,，，有下列三个命题:①若•=•，则=、②若=（1，k）,=(﹣2,6），∥,则k=﹣3．③非零向量和满足｜|=｜|=|﹣｜，则与+的夹角为60°．其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）16．（4分）某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．三、解答题（共6小题,满分74分）17．（12分）已知函数f（x）=2sin•cos+cos．（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；（2)令g(x）=f,判断函数g（x)的奇偶性，并说明理由．18．(12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击,第i次击中目标得1～i（i=1,2，3）分,3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0。
【历年高考经典】2008年理科数学试题及答案-陕西卷
2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．复数(2)12i i i +-等于（ ） A ．i B ．i - C ．1D ．1-2．已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()U AB ð中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===，则a等于（ ）AB ．2CD 4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ）A ．64B ．100C ．110D ．12050y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A B ．C ．-D ．-6．“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数3()2x f x +=，1()fx -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ ）A ．2-B ．1C ．4D ．108．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD9．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ） A ．m n θϕ>>， B ．m n θϕ><， C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，10．已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．311．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13．(1)1lim2n a n n a∞++=+→，则a = ．14．长方体1111ABCD A BC D -的各顶点都在球O 的球面上，其中1::AB AD AA =A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则mn的值为 ． 15．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火A B abl αβ炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sincos 444x x xf x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 18．（本小题满分12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得4-i (123)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC，1A A =AB =，2AC =，111AC =，12BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．A 1 A C 1B 1BDC21．（本小题满分12分）已知函数21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-．（Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围． 22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n =，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+．2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．C 二、13．1 14．1215．② 16．96 三、17．解：（Ⅰ）2()sin2sin )24x x f x =+-sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． 当πsin 123x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是偶函数．18．（Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==，，()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==⨯=．（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3． ξ的分布列为00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．解法一：（Ⅰ）1A A ⊥平面ABC BC ⊂，平面ABC ，∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △中，2AB AC BC ==∴，，:1:2BD DC =，3BD ∴=，又3BD AB AB BC==， DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠=，即AD BC ⊥．又1A AAD A =，BC ∴⊥平面1A AD ，BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ， 由已知得AB ⊥平面11ACC A ．AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．由三垂线定理知1BE CC ⊥，AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点， 则1CF AC AF =-=，11C F A A =160C CF ∴∠=．在Rt AEC △中，sin 6022AE AC ==⨯= 在Rt BAE △中，tan 3AB AEB AE ===．arctanAEB ∴∠= 即二面角1A CC B --为 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则11(000)0)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，，:1:2BD DC =，13BD BC ∴=． A 1 AC 1B 1BD CFE（第19题，解法一）（第19题，解法二）D ∴点坐标为03⎪⎪⎝⎭，，．∴22033AD ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，，，1(220)(00BC AA =-=，，，．10BC AA =，0BC AD =，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A AD A =，BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）BA ⊥平面11ACC A ，取(20)AB ==，，m 为平面11ACC A 的法向量，设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC ==，n n ．200m m ⎧+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，，ln ∴==，，如图，可取1m =，则=⎭n，22010cos (2)1⨯+<>==+，m n ， 即二面角1A CC B --为15arccos5． 20．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，222282()048m m mk k m k ∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x kx x x x =-=++-2214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-，．∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫⎪⎝⎭，．22y x =，4y x '∴=，∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．由（Ⅰ）知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=，21016k --<，23304k ∴-+=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．21．解：（Ⅰ）222222()2(1)2()()()k x c x kx kx x ckf x x c x c +-+--+'==++，由题意知()0f c '-=， 即得220c k c ck --=，（*）0c ≠，0k ∴≠．由()0f x '=得220kx x ck --+=，由韦达定理知另一个极值点为1x =（或2x c k=-）． （Ⅱ）由（*）式得21k c =-，即21c k=+． 当1c >时，0k >；当01c <<时，2k <-．（i ）当0k >时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数． 1(1)012k kM f c +∴===>+， 221()02(2)kc k m f c c c k -+-=-==<++，由2122(2)k k M m k -=++≥及0k >，解得k（ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数．2()02(2)k M f c k -∴=-=>+，(1)02k m f ==<22(1)1112(2)22k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．综上可知，所求k 的取值范围为(2)[2)-∞-+∞，，．22．解法一：（Ⅰ）1321n n n a a a +=+，112133n n a a +∴=+，1111113n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又1213n a -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是以23为首项，13为公比的等比数列．∴112121333n n n a --==，332n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032nn na =>+， 21121(1)3nx x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 2112111(1)3n x x x ⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭2111(1)1(1)n x x x a ⎡⎤=--+⎢⎥++⎣⎦2112(1)1n a x x=-+++ 2111n n n a a a x ⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭n a ≤，∴原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有122221121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++--+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭≥21121(1)3nx x x ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭2212221(1)333n n nx x x ⎛⎫=-+++- ⎪++⎝⎭．∴取22111222113311333313n n n x n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 则2212111111133n n n n n n a a a n n n +++=>+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭≥． ∴原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设2112()1(1)3n f x x x x ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭， 则222222(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=--=+++ 0x >，∴当23n x <时，()0f x '>；当23n x >时，()0f x '<， ∴当23n x =时，()f x 取得最大值212313n n nf a ⎛⎫== ⎪⎝⎭+． ∴原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．笔记卡。
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2008年高考数学试题分类汇编
复数
一．选择题：
1.（全国一4）设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ D ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
2.（全国二2）设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ A ）
A ．223b a =
B ．223a b =
C ．229b a =
D ．229a b = 3.（四川卷）复数()221i i +=( A )
（Ａ）4- （Ｂ）4 （Ｃ）4i - （Ｄ）4i
4.（安徽卷1）复数
32(1)i i +=（ A ） A ．2 B ．－2 C ． 2i D ． 2i -
5.（山东卷2）设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则
z z 等于D （A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i
6．（江西卷1）在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于D
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7.（湖北卷11）设211z z iz =-(其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 .1
8.（湖南卷1）复数31()i i
-等于( D ) A.8 B.－8 C.8i D.－8i
9.（陕西卷1）复数
(2)12i i i
+-等于（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-
10.（重庆卷1）复数1+22i =A (A)1+2i (B)1-2i (C)-1
(D)3
11.（福建卷1)若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为B
A.1
B.2
C.1或2
D.-1
12.（广东卷1）已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ C ）
A ．(15)，
B ．(13)，
C ．
D ．
13.（浙江卷1）已知a 是实数，i
i a +-1是春虚数，则a =A （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2
14.（辽宁卷4）复数
11212i i +-+-的虚部是（ B ） A ．15i B ．15 C ．15
i - D ．15- 15.（海南卷2）已知复数1z i =-，则2
1
z z =-（ B ） A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i
二．填空题：
1.（上海卷3）若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ．1+i
2.（北京卷9）已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = 。
－1．
3.（江苏卷3）11i i
+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ．1。