模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型
解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型
答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走( 5 5 2 5 3 )千米
变式题
C
A
30°
D
45°
B
方法总结 所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两 个直角三角形. 解决这类问题时，抓住两三角形的公共边，并找到公共边与其它相关
边的关系，直接计算或列方程解决问题.
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如图， A 、 B 两地之 间有 一 座山， 汽车 原 来从 A 地到 B 地经过 C 地沿折线 A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶. 已知 AC = 10 千米， ∠A = 30°，∠B = 45°. 则隧道开通后，汽车从 A地到B 地比原来少走多少千 米？(结果保留根号)
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解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型
所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两
个直角三角形，
其位置关系有两种：Leabharlann 叠合式背靠式
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C
解：作 CD⊥AB，垂足为 D.
A
30°
D
45°
B
1 在 Rt△ACD 中，∵∠A= 30° ，∴CD = AC=5 千米 2 CD 5 ∴ AD 5 3 千米 tan 300 3 3
在 Rt△BCD 中，∵∠B= 45° ∴BD = CD = 5，BC= 5 2 千米 ∴ AC+ BC-AB= 10 5 2 (5 3 5) =（ 5 5 2 5 3 ）千米
湘教版九年级数学上册-模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型
模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型◆类型一叠合式1．(2016·苏州中考)如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为【方法16】()A．23m B．26mC．(23－2)m D．(26－2)m第1题图第2题图2．(2016·巴彦淖尔中考)如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是【方法16】() A．30003m B．3000(3＋1)mC．3000(3－1)m D．15003m3．如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO ＝58°，此时B处距离码头O多远(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)?◆类型二背靠式4．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为() A．300米B．1502米C．900米D．(3003＋300)米第4题图第5题图5．(2016·荆州中考)全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D 在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10米，则此塑像的高AB约为________米(参考数据：tan78°12′≈4.8)．6．(2016·郴州中考)小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度(结果保留到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)．模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型1．B 2.C3．解：设B 处距离码头Ox km ，在Rt △CAO 中，∠CAO ＝45°，∵tan ∠CAO ＝CO AO，∴CO ＝AO ·tan ∠CAO ＝(45×0.1＋x )·tan45°＝(4.5＋x )(km)．在Rt △DBO 中，∠DBO ＝58°，∵tan ∠DBO ＝DO BO，∴DO ＝BO ·tan ∠DBO ＝x ·tan58°.∵DC ＝DO －CO ，∴36×0.1＝x ·tan58°－(4.5＋x )，∴x ≈13.5.答：B 处距离码头O 大约13.5km.4．D5．58 解析：如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .由题意得EB ＝CD ＝10米．∵∠ECB ＝11°48′，∴∠EBC ＝78°12′，则tan78°12′＝EC BE ＝EC 10≈4.8，∴EC ≈48米．∵∠ACE ＝45°，∴AE ＝EC ≈48米，∴此塑像的高AB ＝AE ＋EB ≈48＋10＝58(米)．6．解：在Rt △ADC 中，∠ACD ＝30°，tan ∠ACD ＝AD CD ，CD ＝9米，∴AD ＝CD ·tan ∠ACD ＝9×33＝33(米)．在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，tan ∠BCD ＝BD CD，∴BD ＝CD ＝9米，∴AB ＝AD ＋BD ＝33＋9≈14(米)．答：对面楼房AB 的高度约为14米．。
模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型
模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型——形成思维模式，快准解题◆类型一叠合式1．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为() A．23m B．26mC．(23－2)m D．(26－2)m第1题图第2题图2．(2017·邵阳中考)如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°.n秒后火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是________．3．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图甲)，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长(结果精确到0.1米，3≈1.732)．◆类型二背靠式4．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C 观测到水平雪道一端A 处的俯角为30°，另一端B 处的俯角为45°.若直升机镜头C 处的高度CD 为300米，点A ，D ，B 在同一直线上，则雪道AB 的长度为( )A ．300米B ．1502米C ．900米D ．(3003＋300)米第 4题图 第5题图5．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C 处测得塑像底部B 处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A 处的仰角为45°，点D 在观测点C 正下方城墙底的地面上，若CD ＝10米，则此塑像的高AB 约为________米(参考数据：tan78°12′≈4.8)．6．(2017·青岛中考)如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需绕行B 地，已知B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，C 地位于B 地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73，结果保留整数)．【方法4】参考答案与解析1．B 2.(203－20)km3．解：设DH ＝x 米．在Rt △CHD 中，∠CDH ＝60°，∴CH ＝DH ·tan60°＝3x 米，∴BH ＝BC ＋CH ＝(2＋3x )米．在Rt △AHB 中，∠A ＝30°，∴AH ＝BHtan30°＝3BH ＝(23＋3x )米．∵AH ＝AD ＋DH ，∴20＋x ＝23＋3x ，解得x ＝10－3，∴BH ＝2＋3(10－3)＝103－1≈16.3(米)．答：立柱BH 的长约为16.3米． 4．D 5.586解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，∵B 地位于A 地北偏东67°方向，距离A 地520km ，∴∠ABD ＝67°，∴AD ＝AB ·sin67°≈520×1213＝480(km)，BD ＝AB ·cos67°≈520×513＝200(km)．∵C 地位于B 地南偏东30°方向，∴∠CBD ＝30°，∴CD ＝BD ·tan30°＝20033(km)，∴AC ＝AD ＋CD ＝480＋20033≈480＋115＝595(km)．答：A 地到C 地之间高铁线路的长为595km.综合滚动练习：解直角三角形及其应用时间：45分钟 分数：100分 得分：________一、选择题(每小题4分，共32分) 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cos A 等于( ) A.23 B.32 C.132 D.313132．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝512，则BC 等于( )A.35B.53C.365D ．5 3．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，若AB ＝5，AC ＝3，则tan ∠BCD ＝( ) A.43 B.34 C.45 D.35第3题图 第4题图 4．(2016·道里区二模)如图，沿AC 方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，使A ，C ，E 在一条直线上，那么开挖点E 与D 的距离是( )A ．500sin55°米B ．500cos35°米C ．500cos55°米D ．500tan55°米5．(2016·龙湖区一模)如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为33m ，则鱼竿转过的角度是( )A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°第5题图 第6题图 6．(2016·金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度为1米，则所需地毯的面积至少为( )A.4sin θ米2B.4cos θ米2 C ．(4＋4tan θ)米2 D ．(4＋4tan θ)米27．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为( )A ．302海里B ．303海里C ．60海里D ．306海里第7题图 第8题图8．(2016·聊城模拟)聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C 测得塔顶A 的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D 测得塔顶A 的仰角为β，若tan αtan β＝1，点D ，C ，B 在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考数据：10≈3.162)( )A ．15.81米B ．16.81米C ．30.62米D ．31.62米 二、填空题(每小题4分，共24分) 9．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝6，则AB 的长为________．第9题图 第11题图 第12题图 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝23，则sin A2＝________．11．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长是________．12．(2016·宁波中考)如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1m ，则旗杆高BC 为________m(结果保留根号)．13．B 在A 的北偏东30°方向(距A )2千米处，C 在B 的正东方向(距B )2千米处，则C 和A 之间的距离为________千米．14．★(齐齐哈尔中考)BD 为等腰△ABC 的腰AC 上的高，BD ＝1，tan ∠ABD ＝3，则CD 的长为________________．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，sin B ＝45，AC ＝8，D 为线段BC 上一点，CD ＝2.(1)求BD 的值；(2)求cos ∠DAC 的值．16．(10分)(2016·临沂中考)一艘轮船位于灯塔P 南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A 处，它向东航行多少海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处(参考数据：3≈1.732，结果精确到0.1海里)？【方法5】17．(12分)(2016·淮安中考)小宇想测量位于池塘两端的A ，B 两点的距离．他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，当行走到点C 处，测得∠ACF ＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF ＝60°.若直线AB 与EF 之间的距离为60米，求A ，B 两点的距离．18．(12分)(2016·泸州中考)如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值)．参考答案与解析1．D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A8．A 解析：∵BC ＝10米，BD ＝25米，∴在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝10tan α①.在Rt △ABD 中，AB ＝BD ·tan β＝25tan β②.∵tan αtan β＝1，∴AB 2＝10tan α·25tan β＝250，∴AB ＝250＝510≈5×3.162＝15.81(米)．故选A.9．43 10.1211.65米 12.(103＋1)13．23 解析：根据题意，可画如图所示的示意图，过点B 作BD ⊥AC 于点D .∵B 在A 北偏东30°方向，∴∠BAE ＝60°，∴∠ABC ＝180°－60°＝120°.∵AB ＝BC ＝2千米，∴∠BAD ＝∠BCD ＝30°，AD ＝CD ，∴AD ＝AB ·cos30°＝2×32＝3(千米)，∴AC ＝2AD ＝23千米．14．2＋3或2－3 解析：分两种情况：如图①，∠A 为钝角，AB ＝AC ，在Rt △ABD 中，∵BD ＝1，tan ∠ABD ＝3，∴AD ＝3，AB ＝2，∴AC ＝2，∴CD ＝2＋3；如图②，∠A 为锐角，AB ＝AC ，在Rt △ABD 中，∵BD ＝1，tan ∠ABD ＝3，∴AD ＝3，AB ＝2，∴AC ＝2，∴CD ＝2－ 3.综上所述，CD 的长为2＋3或2－ 3.15．解：(1)在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ＝45.又∵AC ＝8，∴AB ＝10，∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6，∴BD ＝BC －CD ＝6－2＝4；(5分)(2)在Rt △ACD 中，∵AD ＝AC 2＋DC 2＝82＋22＝217，∴cos ∠DAC ＝AC AD ＝8217＝41717.(10分) 16．解：过点P 作PC ⊥AB 于点C .(1分)由题意，得∠APC ＝60°，∠BPC ＝45°，AP ＝20海里．在Rt △APC 中，∵cos ∠APC ＝PC AP ，sin ∠APC ＝ACAP ，∴PC ＝20·cos60°＝10(海里)，AC ＝20·sin60°＝103(海里)．(4分)在△PBC 中，∵∠BPC ＝45°，∴△PBC 为等腰直角三角形，∴BC ＝PC ＝10海里，(7分)∴AB ＝AC －BC ＝103－10≈7.3(海里)．(9分)答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处．(10分)17．解：过点A 作AM ⊥EF 于点M ，过点B 作BN ⊥EF 于点N .(2分)由题意，得AM ＝BN ＝60米，AB ＝MN ，CD ＝100米．(5分)在Rt △ACM 中，∠ACM ＝45°，∴CM ＝AMtan45°＝601＝60(米)．(8分)在Rt △BDN 中，∠BDN ＝60°，∴DN ＝BN tan60°＝603＝203(米)，∴AB ＝MN ＝CD ＋DN －CM ＝100＋203－60＝(40＋203)(米)．(11分)答：A ，B 两点的距离是(40＋203)米．(12分) 18．解：过点B 作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M .(2分)在Rt △BDN 中，BD ＝30米，BN ∶ND ＝1∶3，∴BN ＝15米，DN ＝153米，∴CN ＝CD －DN ＝603－153＝453(米)．(5分)∵∠C ＝∠CMB ＝∠CNB ＝90°，∴四边形CMBN 是矩形，∴CM ＝BN ＝15米，BM ＝CN ＝453米．(8分)在Rt △ABM 中，tan ∠ABM ＝AM BM ≈43，∴AM ≈43BM ＝603米，∴AC ＝AM＋CM ＝(603＋15)米．(11分)答：楼房AC 的高度约为(603＋15)米．(12分)。