轨迹法在最值问题中的应用

又 Ａ（ ，） Ｄ（ ｃｃ ， ｃ０ ， ２ ， ） 直 线 ０ ｃ ， ２ ，） Ｆ（即 点 ，直 雎与 圆 的 得 （，）为 Ｆ 线 椭 ｃ 鲁詈 ＿＿ 故
点 、 轴长 为 ６的椭 圆上． 长 注意 到焦 距 Ｃ ＝Ａ Ｄ Ｃ一
：
２ ． ｃ
注 本题 若用 常 规法计 算 量较 大 ， 对计算 能
ｚ ＋ ｙ 一４ （ ［ ｚ一 ６ ＋ ｙ ］ ） ，
整 理 得 （ ４ ｙ 一 １ ． 以 Ａ 到 Ｂ 边 的 ｚ一 ） ＋ ６ 所 Ｄ
解 法 ２ 常规法 ） 设 Ｂ ＝ 则 Ａ （ Ｃ： ｚ， ＝ Ｃ一√ ， ２ 且 Ｘ＋２＞ √ ．，２ ＋ ＞ ２ 解得 ２√ ２Ｅ√ Ｙ ， （２— １ ＜ ） Ｘ＜ ２√ （ ２＋ １ ． ） 又设 ＡＣ Ｂ一０ 则 ，
・
４ ・ ０
中学数 学 月刊
２ １ 年第 １ ０１ Ｏ期
轨 迹 法 在 最 值 问 题 中 的 应 用
张 青 （ 苏 省 苏 州 中 学 江 ２５ ０ ） １ ０ ７
本 文将 通 过 三 个 例 题 来 讨 论 轨 迹 法 在 最 值 问题 中 的应用 ． 为叙 述方 便 ， 我们先 介绍 一下 阿波
思路 审视 此 题
椭 圆上 顶点 Ａ作 右 准线 ｌ的垂线 ， 足 为 Ｄ， 垂 线段
Ｄ 与椭 圆的交点 是 Ｍ ． 问 ： 否 存 在 ， Ｔ Ｆ 试 是 使 Ａ
—
Ｔ 成立 ？ 若存 在 ， 出 ２的值 ； 不存 在 ， Ｍ 求 若 试
思 路 审 视 此 题 的
的常 规思 路 是先 求 出直
ｚ 。
一
｛ ７
一ｚ， 以 Ｐ 所 Ｃ＋ Ｐ 一６ 所 以 Ｐ点 在 以 Ｃ， Ｄ ． Ｄ为 焦
２１ ０ １年第 １ Ｏ期
中学 数学 月 刊
・４ ・ １
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８— ３— ｆ １ ５ ｆ Ｉ ５
例 谈 解 析 几 何 中处 理 交 点 的 策 略
蔡 欣 （ 苏省 南京 市金 陵 中 学 ２ ０ ０ ） 江 １ ０ ５
解 析几 何 中经 常碰 到处 理 交 点 的 问题 ， 这类 问题 着重 考查 解析 几 何 与 方 程 的 综 合 运用 ． 这 在 类 问题 中 ， 往需要 解 方程组 ， 有 时这 样 的方程 往 但
交 点 Ｆ在直 线 ＡＰ 上 ． 点 评 将原 问题 转 化为 证 明直线 Ｂ Ｅ与直 线 ＡＰ的交 点在 椭 圆Ｃ上． 一 处理交 点 的策 略 回避 这 了解 一个 相对 复 杂 的二 元 二 次方 程 组 ， 只 要 解 而
例 子． 例 ２ 苏州 中学期末 考试题 ） 在 等腰 三角形 （ Ｃ中， ＡＢ—Ａ 若 ＡＣ边 上 的 中线 长 为 ６ 则 Ｃ， ，
△Ａ ＢＣ面积 ｓ ＾ △Ｂ 的最 大值 为
１
一
．
的距 离 的最 大 值 ， 就是 求 Ｃ点 的轨 迹 圆上 的点 也 到直线 ＡＢ 的距 离 的最大 值．
线 Ｂ 与椭 圆 的交 点 Ｆ Ｅ 的坐 标 ， 后 证 明 点 Ｆ 然 在 直 线 ＡＰ 上 ． 程 中 过 图１
说 明理 由．
Ｄ
一
常 规 思 路 是 先 求 出直 线
Ｄ 与 椭 圆 的交 点 Ｍ 的 Ｆ
坐标 ， 后 分 别 计 算 Ｔ 然 Ａ 与Ｔ 的坐 标 ， 而考 察 Ｍ 进 是 否 存 在 ， 有 一
解 法 １ 轨 迹 法 ） 以 Ａ 为 原 点 、 Ｂ 所 在 的 直 （ Ａ
分 析 设 ＡＣ边 上 的中线 为ＡＤ， 易知 Ｓ Ａ。 △Ｂ
ＳＡ △ｆ 。一 ｓ Ａｃ 所 以要求 ｓ Ａ 的最 大值 ， △Ｂ ， △Ｂ 只
厶
线 为 ｚ轴建 立直 角坐标 系 ， Ａ（ ， ） Ｂ（ ， ）设 则 ＯＯ ， ２ Ｏ．
要求 Ｓ Ａ。的最 大值． △Ｂ △Ａ Ｄ 中 ， Ｄ 长为 定值 ６ Ｂ Ｂ ， Ａ ＝ ２ Ｄ． Ｂ ＝ Ａ 这样 就转 化 为 例 １同样 的 问题 ， 由 ＝ 即 点 Ａ 的轨迹 是 圆得 出 Ｓ Ａ。的最大值 ． △Ｂ 解 设 ＡＣ边 上 的 中线 为 ＡＤ， 易知 Ｓ Ａｏ △ Ｂ 一
＿ ．
２
． ２
例 ２ 椭 圆 ｃ： ＋ 一 １ ｎ＞ ｂ＞ ｏ 的 离 （ ）
ｎ
２
例 ｌ 已知 椭 圆 ｃ： ＋ ｙ ＝１ 上 下 两 顶 点 ＝ 的 ＝
心率 ｅ 为 ， 焦 点为 Ｆ， 准线 ｚ Ｘ轴 于 丁， 右 右 交 过
厶
为 Ａ， ｚ轴 上 的两 点 Ｅ（ ，） Ｐ（ ，） 求 证 ： Ｂ， １０ ， ４ ０ ， 直 线 Ｂ 与 椭 圆 Ｃ 的交 点 Ｆ 在直 线 ＡＰ上． Ｅ
圆． 这个 结论 称作 阿波罗尼 斯 轨迹定 理．
我 们先 从 ２ ０ ０ ８年江苏 高 考数学 卷第 １ ３题开
始． 例 １ ２ ０ 年 江 苏卷 １ 题 ） 若 ＡＢ＝２ Ａ （０ ８ ３ ＝ ， Ｃ一 ＝
是不仅 要会 算 ， 而且要 算对 ． 这样 我们 需要 选取计
算 量小 且容 易算对 的方法做 填 空题．
为进 一 步 介绍 轨 迹 法 的应 用 ， 们 再 举 两个 我
√ Ｃ， ｓ Ａ ２ Ｂ 则 △Ｂ ｃ的最 大值 为
．
分析 对 于 填 空 题 来 说 ， 们 需 要 选 用 简 我
单、 快捷 而且 计算 不 易 出错 的方 法解 决． 阿 波罗 从
尼斯 圆的定 义 我 们 发 现本 题 中 的 Ｃ 点 轨 迹 是 个 圆． 考虑 到线段 ＡＢ 的长度 是个 定值 ， 以要 求 三 所 角 形面 积 Ｓ Ａｃ的最 大值 ， △Ｂ 只要 求 Ｃ点 到直 线 ＡＢ
＼ ＼ 、
．
求交 点 Ｆ的坐标 时 ， 必 要 解 由直 线 Ｂ 的二 元 势 Ｅ
一
次方 程 和椭 圆 Ｃ 的 二元 二 次 方 程 构 成 的方 程
图 ２
组 ． 否 回避 解 这 一方 程 组 呢 ？ 考 虑原 问题 等 价 能 于证 明直 线 Ｂ 与直线 ＡＰ 的交点 在 椭 圆 Ｃ 上． Ｅ
罗尼斯 圆．
一
÷ ￣一 （ 一 １ ） １ ８， ／ 。 ２ ＋ ２
当Ｘ 一１ ， ｚ一２ ∈ （ （ 一 １ ， （ ＋ ２即 ２ ） ２
在平 面上 给定 相异 两点 Ａ， 设 Ｐ点 在 同一 Ｂ， 平 面上且 满足 Ｐ Ｐ Ａ／ Ｂ— 当 ＞ ０ ， 且 ≠ １ ， 时 Ｐ点 的轨 迹 是个 圆 ， 这个 圆我 们 称作 阿 波 罗尼 斯
ｓ 最 值 吉Ｄ２ ２． △ 大 为 ｃ・ 的 一
２ 以 圆 标 方 为 ＋ 一 ｆ Ｉ 力 偏弱 的学 生来 说 容 易即使 有 这种 类 并 不 知 道 什 ， 椭 的 准 程 普 鲁 １Ｊ ｌ 大距 离 一般 都 能取 到 ， 算 错．时候 你 型 的题 目最 所 ，ｆ ｌ Ｐ ｌ ￣
到 Ｃ 的可 能 的最 大距 离 为 ２ ． 易 知 当 Ｐ是 Ｄ 又 ＢＣ 中点 时 ， Ｐ到 Ｃ 的距 离 为 ２ ， Ｄ 因此 Ｌ ） 厂 （ 一 么 时候 能取 得 ， 对 填 空 题来 说 能不 能 取 到 似 乎 但 不是 最重 要 的 ， 重要 的是 找 到最 佳 方 法 ， 速 、 最 快 正确 算 出结果 ．
解 ． 否 回避 解 这个 方 程 组 ？ 原 问题 等 价 于 考察 能 直 线 Ｄ 与 直线 Ａ丁 的交 点是 否在 椭 圆 Ｃ上． Ｆ
解 易得 ａ ２ ， —ｃ 故 椭 圆 Ｃ的方 程为 ＝√ ｆ ｂ ，
ｚ。＋ ２ ｙ 一 ２ 。 ｃ．
直线 ｙ 易 点＿＿在 圆 ：＋。１ ， ＤＦ 的方 程为 Ｙ—ｚ～ｃ， ＡＴ 的方程 为 ＋ ２ 证 （ 詈 椭 ｃ ＝上而 鲁Ｉ ＿） ， 等 ＝ ＝
１ ） ，△Ｂ ） 时 ｓ Ａｃ取得 最大值 ２ ２ √．
在 常 规法 中我们 略去 了化简 整 理 的过 程 ． 对
比两种 方法 ， 们 可 以看 到 作 为 一 个填 空 题 来 说 我 使 用常 规 的方法 计 算 量偏 大 ， 且 对 于计 算 整 理 而 能力不 强 的学生 容易算 错 ． 填空 题如 果算错 ， 么 那 得 分 和完全 不会 是 一 样 的． 以 填 空题 的要 求 就 所
１
Ｃ（ ） 由 ＡＣ ｘ， ， 一２ Ｃ。 Ｂ 得 。 。 Ｅｚ一 ２ ＋ｙ 一２ （ ）
＋ｙ ］ 整 理得 （ ， ｚ一 ４ 。 ） ＋ 一８ 易 见 Ｃ点 轨迹 圆 ．
的圆心 在 ＂ 上 ， Ａ Ｂ 半径 ｒ √ 所 以 ｃ点 到 直 线 一２ ２， ＡＢ 的距 离 的最大值 为 ２ ２ 从 而 ｓ 加 √ ， △ 的最大 值 为 ２ √．
为 比较 在 做填 空题 时 这种 方 法 的优 势 ， 们 我 这 里也 给 出常规 解法 ．
ｓ 。 △ 一去ｓ Ａ ． △Ｂ 以点 Ｂ为原点、 Ｄ所在的边为 ｃ Ｂ
厶
ｚ轴建 立直 角坐 标 系 ， 样 Ｂ（ ， ）Ｄ（ ， ） 并设 这 Ｏ Ｏ ， ６Ｏ ，
Ａ（ ， ．由 ＡＢ 一 ２ ） ＡＤ 得
解 直 线 Ｂ 的方 程 为 Ｙ— 一 １ 直 线 Ａ 的 Ｅ ， Ｐ
Ｔ ． 程 中求 交点 Ｍ 的坐标 时 ， Ｍ 过 势必 要解 由直线 Ｄ 的二 元一 次 方程 和椭 圆 Ｃ 的二 元 二 次方 程 构 Ｆ
成 的方程 组 ， 得 两个 交 点 坐 标 后 还 需 舍 掉 一个 解
方 程为ｚ ， ｙ 一 ： ＋４：４联立｛ 解得
Ｃ Ｓ０： ｚ。 ｚ Ｏ ＝ ２ ＋ 一 ４
—
最 大距 离 为 ４ 因此 Ｓ 彻。的 最 大 值 为 １ ， 而 ， △ ２从
ｓ 加ｃ的最大 值为 ２ ． △ ４ 例 ３ 《 学之 友 ） ０ １年 江 苏 高考 数 学 调研 （数 ） １ ２