2017届苏教版 双曲线的几何性质 课后限时自测

课后限时自测（五十一）

[A 级 基础达标练]

一、填空题

1．(2015·苏州调研)已知双曲线x 2

－y 2m ＝1(m >0)的离心率为2，则m 的值为________．

[解析] ∵a 2＝1，b 2

＝m ，c ＝1＋m ，∴e ＝c a ＝1＋m 1＝2，∴m ＝3.

[答案] 3

2．(2015·苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 29－y 2

m ＝1的一个焦点为(5,0)，则实数m ＝________.

[解析] 由题设知a 2＝9，b 2＝m ，∴9＋m ＝25，∴m ＝16.

[答案] 16

3．(2014·苏州四市期末检测)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的一条渐近线方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________．

[解析] 由题意得b a ＝2，∴b ＝2a ，∴c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋4a 2＝5a 2，

∴c ＝5a ，∴e ＝c a ＝ 5. [答案] 5

4．(2014·南通、扬州、泰州、连云港、淮安五市调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为2，且过点(1，2)，则曲线C 的标准方程为________．

[解析] 由离心率2>1知曲线C 是双曲线．∵双曲线的离心率为2，∴该双曲线为等轴双曲线，

设双曲线方程为x 2－y 2＝m ，将点(1，2)坐标代入，得1－2＝m ， ∴m ＝－1故双曲线方程为y 2－x 2＝1.

[答案] y 2－x 2＝1

5．(2014·徐州市、宿迁市质检)已知点P (1,0)到双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2

＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为

________．

[解析] 渐近线方程为y ＝±b a x 即bx ±ay ＝0，∴12＝b a 2＋b 2，整理得b 2a 2＝13，故e ＝

1＋b 2a 2＝ 1＋13＝233. [答案] 23

3 6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．

[解析] 依题意c －a ＝1，①

又e ＝c a ＝2，即c ＝2a ，②

由①②联立，得a ＝1，c ＝2.

∴b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线C 为x 2－y 23＝1.

[答案] x 2－y 23＝1

7．(2014·泰州期末检测)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交

点为P .若∠PF 1F 2＝30°，则该双曲线的离心率为________．

[解析] 因为以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，故∠F 1PF 2＝90°，又∠PF 1F 2＝30°，F 1F 2＝2c ，∴PF 1＝3c ，PF 2

＝c ，由双曲线的定义知2a ＝PF 1－PF 2＝(3－1)c ，∴e ＝2c 2a ＝2c (3－1)c ＝3＋1. [答案] 3＋1

8．(2014·盐城模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点

F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为点A ，B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为________．

[解析] 由题意，得OA ＝OF ＝AF ，∴b a ＝tan π3＝3，

∴e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2＝2. [答案] 2

二、解答题

9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)虚轴长为12，离心率为54；

(2)焦距为26，且经过点M (0,12)．

(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．

(4)右焦点为(5，0)且与双曲线x 24－y 2

16＝1有相同的渐近线．

[解] (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)．

由题意知：2b ＝12，e ＝c a ＝54.

∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.

∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.

(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.

又2c ＝26，∴c ＝13.∴b 2＝c 2－a 2＝25.

∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.

(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9m －28n ＝1， 72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－175， n ＝－125.

∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1

(4)∵双曲线C 与C ′：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，

∴设双曲线C 的方程为x 24－y 216＝λ(λ≠0)．

则双曲线C ：x 24λ－y 2

16λ＝1，

又双曲线C 的右焦点为(5，0)，

∴c ＝5，则4λ＋16λ＝5，∴λ＝14.

故所求双曲线C 的方程为x 2

－y 24＝1. 10．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线的倾斜角为π3，点(－4，－6)在双曲线上，直线l 的方程为x －my －4＝0.