第21课时(向量的数乘(2))

1、填空：（1）=||a

λ ；

（2）当0>λ时，a λ与a 方向 ；当0<λ时，a λ与a

方向 ；

当0 =时，a λ= ； 当0=λ时，a λ= 。

（3）=)(a μλ ；=+a )(μλ ；=+)(b a

λ 。

（4）若向量与方向相反，且5||,2||==，则与的关系是 。 （5）设,是已知向量，若)(3)(2=--+，则= 。 2、如图，D ，E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，求证：与共线， 并将用线性表示。

3、共线向量定理：如果存在一个实数λ，使=b ，)0( ≠a ，那么 。

反之，如果b 与a )0(

≠a 是共线向量，那么 。

注意：)0(≠=λλa b

可写成b a λ1=，但不能写成λ=a b 或λ=b a 。

4、提问：上述定理中，若无条件0

≠a ，会有什么结果？

5、向量共线定理如何用来解决点共线或线共点问题。

例题剖析

例1、设e 是非零向量，若e b a e b a

32,2-=-=+，试问：向量a 与b 是否共线？

例2、如图，OAB ∆中，C 为直线AB 上一点，)1(-≠=λλCB AC ，

求证：λ

λ++=1OC 。

思考：上例证明的结论λ

λ++=

1OB

OA 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向

量可以用,表示。那么两个不共线的向量,可以表示平面内任一向量吗？

巩固练习

1、已知向量)(3,221221--=-=，求证：与是共线向量。

2、已知向量21212,24e e PQ e e MP +=+=，求证：Q P M ,,三点共线。

3、如图，在△ABC 中，

,21==EB AE DA CD 记,,==求证：)(3

1

a b DE -=。

4、如图，设点Q P ,是线段AB 的三等分点，若==,，

课堂小结

共线向量定理及其运用；若t s +=，则1=+t s 时，C B A ,,三点共线。

课后训练

班级：高一（ ）班 姓名__________

一、基础题

1、点R 在线段PQ 上，且PQ PR 5

3

=

，设λ=，则=λ （ ） A 、32 B 、23 C 、32- D 、2

3

-

2、若O 是平行四边形ABCD 的中心，且216,4==，则=-1223e e ( )

A 、

B 、

C 、

D 、 3、已知向量c a b c a 2

5

3,32-==

，则与 （填“共线”或“不共线”）。 4、给出下列命题：①若||||b a =，则=；②若=，则∥；③若0||=a ，则=；④,3,2-==则∥。其中，正确的序号是 。 5、若G 是△ABC 的重心，则=++ 。

6、已知)(3,82,5-=+-=+=，则 三点共线。

二、提高题

7、已知非零向量1和2不共线，若21k +和21k +共线，求实数k 的值。

8、设F E D ,,分别是ABC ∆的边AB CA BC ,,上的点，且AB AF 21=

，BC BD 3

1

=， CA CE 4

1

=

。若记n CA m AB ==,，试用n m ,表示FD EF DE ,,。

三、能力题

9、如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 的中点，AE 交BD 于M ， 试用向量的方法证明：M 是BD 的一个三等分点。

10、在第9题中，当点Q P ,三等分线段AB 时，有OB OA OQ OP +=+。如果点

121,,,-n A A A 是AB 的)3(≥n n 等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论。