近世代数课件--2.10 不变子群,商群
近世代数(2)-
子群 子集是子群三个充分必要条件. 重点 子集是子群三个充分必要条件
•
• •
•
•
•
的子集H如果在 的乘法之下也成为一个群, 定义 群G的子集 如果在 的乘法之下也成为一个群 的子集 如果在G的乘法之下也成为一个群 称为G的子群 记为H≤ 则H称为 的子群 记为 ≤G. 称为 的子群,记为 偶数加群是整数加群的子群.对称群 对称群S 例 偶数加群是整数加群的子群 对称群 3≤ S4. 定理2.7.1 设H是群 的非空子集 则H是子群当且仅当 是群G的非空子集 定理 是群 的非空子集,则 是子群当且仅当 (1)a,b∈H⇒ab ∈H (2)a∈H⇒a-1 ∈ ⇒ ∈ ⇒ 定理2.7.2 设H是群 的非空子集,则H是子群当且仅当 定理 是群G的非空子集 则 是子群当且仅当 是群 的非空子集 a,b∈H⇒a-1b ∈H. ∈ ⇒ 定理2.7.3 设H是群 的有限非空子集 则H是子群当且 是群G的有限非空子集 定理 是群 的有限非空子集,则 是子群当且 仅当a,b∈ ⇒ 仅当 ∈H⇒ab ∈H. 必要性显然,下证充分性 因为这时H满足条件 下证充分性.因为这时 证 必要性显然 下证充分性 因为这时 满足条件 (1)(2)(3’),由定理 由定理2.3.1是子群 是子群. 由定理 是子群
群同态
两个群之间影射ϕ 定义 两个群之间影射ϕ:G → H使ϕ(ab) 使 = ϕ(a) ϕ(b)则称ϕ为群同态 则称ϕ 则称 为群同态. 定理2.4.1 若ϕ:G →H是两个乘法代数系统的同 定理 是两个乘法代数系统的同 是群则H也是群 因此ϕ 态,如G是群则 也是群 因此ϕ是群同态 如 是群则 也是群,因此 是群同态. 由群的定义立得. 证 由群的定义立得 定理2.4.2 若ϕ:G → H是群同态 则e是G的单位 是群同态,则 是 的单位 定理 是群同态 元时ϕ 是 的单位元 的单位元,且 元时ϕ(e)是H的单位元 且 ϕ(a) -1=ϕ(a -1). ϕ 是整数加群,Zn是整数模 剩余类加群,则 例 Z是整数加群 是整数模 剩余类加群 则 是整数加群 是整数模n剩余类加群 是加群同态Z~Zn. ϕ:a → [a]是加群同态 是加群同态
近世代数--正规子群与商群
• 正规子群的定义 • 正规子群的等价性命题 • 商群 • 小结
设H G,若
一、正规子群的定义
定义 设N G, 若a G, 有aN Hale Waihona Puke Baidu Na, 则称N是G的正规子群, 记作N G. 正规子群也称不变子群
例1 任意一个群G都有两个正规子群e与G,
这两个正规子群称为G的平凡正规子群.
若N G,且N e, N G, 称N是G的非
平凡正规子群
二、正规子群的等价性命题
定理 设 N G,则下述命题等价
(1)N G, (aN Na,a G (2)ana1 N , a G, n N (3)aNa1 N , a G (4)aNa1 N , a G (5) N的每一个左陪集也是右陪集.
3.商群: 注意当Ｎ是Ｇ的正规子群时，Ｇ关于 Ｎ才能作成商群．
练习
1.设N G,且[G : N ] 2,证明: N G.
2.设N G, 证明 : N G NG (N ) G.
作业
教材P69第1,4题
证明
(1) (2)an aN Na an n1a, n1 N ana1 n1 N
(2) (3)显然
(3) (4)由(3)知a1Na N n N, a1na N 于是n a(a1na)a1 aNa1 N aNa1 aNa1 N
近世代数习题解答张禾瑞二章
近世代数习题解答
第二章群论
1群论
1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？
证不是一个群，因为不适合结合律.
2.举一个有两个元的群的例子.
证G={1,-1}对于普通乘法来说是一个群.
3.证明，我们也可以用条件1,2以及下面的条件
4,5'来作群的定义：
4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae = a 对于G的任何元a都成立
5 . 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元 a ,能让aa e
A_1
证(1) 一个右逆元一定是一个左逆元，意思是由aa e 得a a = e
因为由4 G有元a能使a'a =e
1 1 1 '
所以(a a)e = (a a)(a a )
即a a = e
(2)一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元，意即
由ae = a 得ea = a
即ea = a
这样就得到群的第二定义.
(3)证ax二b可解
取x = a
这就得到群的第一定义.
反过来有群的定义得到4,5'是不困难的.
2单位元，逆元，消去律
1.若群G的每一个元都适合方程x2二e,那么G就是交换群.
证由条件知G中的任一元等于它的逆元，因此对a,b^G有ab = (ab)，= b°a，= ba .
2.在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.
_1 n —1 n n —1 —1
证(1)先证a的阶是n则a 的阶也是n . a e= (a ) (a ) e e
若有m n 使(a ')m= e 即(a m)' = e因而a m=e‘ • a m=e 这与a的阶是n矛盾「a的
阶等于a °的阶
_4 _4 2
(2)a的阶大于2,则a=a 若a=a : a=e 这与a的阶大于2矛盾
近世代数第15讲
近世代数第15讲
第15 讲
§11 同态与不变⼦群
（Homomorphism and normal subgroup)
本讲的教学⽬的和要求：在上讲中我们已经了解到：对群的任⼀个不
G。由此，我们变⼦群，都可极其⾃然地得到⼀个新的群——商群
N
都不会怀疑与商群具有密切的联系。⽽本节的基本内容就是要揭⽰这个内在联系——群的同态基本定理。该定理确⽴了不变⼦群与商群在群的理论中的重要地位。在本节中，我们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。群G的同态象G可以设想是G的⼀个“粗略”的模型；忽略了G中的某些元素间的差异⽽⼜维持了中的运算关系。都知道，两个群之间的关系只有同态关系，于是我们有（ⅰ）G到G有单同态意味着在同构的意义下就是的⼀个⼦群；（ⅱ）G到G有满同态，则意味着G就是G的商群（在同构下）；（ⅲ）G到G有⾮单⾮同态，则在同构意义下意味着G的⼀个商群与的⼀个⼦群⼀样。上述存在的关系就是本节的重点。为此需要弄清：
1、每⼀个同态核都是不变⼦群（这与同态是否为单、满⽆关）
2、利⽤⾃然同态得到：每个同态象都是商群，如何理解。
3、真正了解“同态三⾓形”的可交换问题。
4、⼦群（不变⼦群）的同态象和同态完全原象之间的联系。
本讲的重点和难点：本节是以⼦群和商群为基本语⾔，⽤群同态映射
为纽带建⽴了⼀套同态理论。所以领会其理论的实质和掌握每个知识点的要领是关键所在。
⼀、群同态及同态核
定义1：设G G →:?是⼀个群同态映射，（即
G b a b a ab ∈?=,)()()( ），那么G 的单位元e 的全部原象（逆象）作成的集合})(|{e x G x =∈?叫做?的核，记为)(?Ker 。即 })(|{)(e x G x K e r =∈=??.
近世代数复习
第一章
集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；
集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章
群的定义
a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足
1.“▫”满足结合律；
2.{G，▫}中有单位元；
3.{G，▫}每个元都与逆元
则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。
b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。
群的性质
1.单位元唯一；
2.逆元唯一；
3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解
4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1
注：可以推广到无限：
1
1
1
2
1
1
m
1
m
1
m
2
1
m
a
...a
a
a
)
...a
a
(a
G
,
a
..,-
-
-
-
-
-=
⇒
∈
∀,.
a,
a
2
1
5.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）
证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k n|k。
8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。
交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。
元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。
有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无
第13讲 第2章第10节 不变子群和商群
设G是交换群，H G，a G, 都有
aH {ah | h H } {ha | h H } Ha
例3 任意群 G , C (G ) {c G | a G, ca ac} 是不变子群,称为 G 的中心.
证明：a G, ea ae a,e C (G), C (G)
的单位元, a 1 N 为 aN 的逆元.
5)交换群的任一子群都是交换群, 且其商群 也是交换群.
6)循环群的任一子群为不变子群，任一商群 都是循环群. 证明：设 G (a) 为循环群, N G ，因循环群为交换群，
且循环群的子群为循环群，故 N
G.
r
bN G / N (b G), 则r Z , b a r r bN a N (aN )
解： 因为 H (13) {(13),(123)}
(13) H {(13), (132)} 所以 H 不是 G 的不变子群.
近世代数习题解答张禾瑞二章
近世代数习题解答
第二章 群论
1 群论
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
证 不是一个群,因为不适合结合律.
2. 举一个有两个元的群的例子.
证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.
3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件
''5,4来作群的定义:
'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立 '5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得e a a =-1 因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1
所以))(()('111a a a a e a a ---=
即 e a a =-1
(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea =
即 a ea =
这样就得到群的第二定义.
(3) 证 b ax =可解
取b a x 1-=
这就得到群的第一定义.
反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.
2 单位元,逆元,消去律
1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.
2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.
证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===⇒=---111)()(
若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a Θ的阶等于1-a 的阶
2-8不变子群和商群
H是G的子群，h1h21 H
N是G的不变子群,由定理2知：h2 (n1n21)h21 N
(h1n1)(h2n2 )1 HN
n1n21 N , h2 G
2019/9/30
11:55
设N是群G的一个不变子群，将N得所有陪集的集合记为： G N {aN / a G}
Na (aNa1)a (aN )(a1a) aNe aN N是不变子群
2019/9/30
11:55
例：设H是G的子群，N是G的不变子群，证明：HN是G的子群 证： ee e HN,HN是G的非空子集 h1n1, h2n2 HN , h1, h2 H ;n1, n2 N (h1n1)(h2n2 )1 h1n1n21h21 h1(h21h2 )(n1n21)h21
近世代数
第二章 群论 §8 不变子群和商群
2019/9/30
11:55
二、不变子群的定义
定义 1 N G 且 aG , aN Na
,则称 N 是群 G 的一个不变子群（或正规子群）
，记作 N G .
例1 任意群 G 的两个平凡子群都是不变子群.
例2 任意群 G 的中心 C(G) {c G | a G, ca ac}
百度文库
2019/9/30
11:55
D2-1群的定义
([a] [b]) [c] [a b] [c] [(a b) c] [a b c]
这就是说， [a] ([b] [c]) [a] [b] [c] （ ）
第三步：找出单位元（即零元），使其为幺半群：
而且， [0] [a] [a ] [0] [0 a] [a]
第二章 群论
2.1 群的定义 2.2 单位元、逆元、消去律
2.7 循环群 2.8 子群
2.3 有限群的另一定义
2.4 群的同态
2.9
子群的陪集
2.10 不变子群、商群
2.5 变换群
2.6 置换群
2.11
同态与不变子群
第一节
教学目的和要求：
群的定义
第二章
在前面，我们已经明确了近世代数的主要对象——代数系统， 以及基本工具——映射。下面各节将逐一讨论几种重要的，也是 最常见的代数系统——群、环的基本性质与主要理论。在只含一 个代数运算的代数系统中，最重要的研究对象就是群。群论是近 世代数中的一个比较古老而又重要的分支。它不仅是近世代数其 它内容的基础，而且，它在自然科学中的许多领域里都有着广泛 的应用。而群的等价定义可谓“品种繁多”。本节依据教材只作 一些一般性地介绍。本节中要求掌握：半群、幺半群(monoid)这 些代数系统的概念，重要掌握单位元（左单位元、右单位元）、 逆元（左逆元、右逆元）和群的阶、群中元素的阶的概念，尤其 是它们彼此的联系、差异、作用要能脉络清晰、了如指掌。
近世代数课件
环的性质
环是一个封闭的代数系统 ，具有单位元和逆元，满 足分配律。
环的同态与同构
环的同态
两个环R和S之间的映射 f:R→S，满足加法和乘法 的映射性质。
环的同构
两个环R和S之间的双射 f:R→S，满足加法和乘法 的映射性质。
同态与同构的应用
在抽象代数中，同态和同 构是研究环的重要工具， 它们可以帮助我们了解环 的结构和性质。
03
环论基础
环的定义与性质
环的定义
一个非空集合R，其中定义了两种运算，加法和乘法，且满足一定的性质。
环的性质
封闭性、结合律、单位元存在、逆元存在等。
环的运算与性质
01
02
03
环的加法运算
对于任意两个元素a, b∈R ，它们的和记为a+b，满 足交换律和结合律。
环的乘法运算
对于任意两个元素a, b∈R ，它们的积记为a×b，满 足结合律。
04
域论基础
域的定义与性质
定义
域是一个非空集合，该集合中定义了两种运算（加法和乘法 ），且满足封闭性、结合律、交换律、分配律等基本性质。
性质
域是加法群和乘法群，具有零元和单位元，满足域公理系统 。
域的运算与性质
运算
域中的加法、减法和乘法运算满足封闭性、结合律、交换律、分配律等基本性质。
近世代数群的概念课件
循环群是可交换的，即满足$a^m cdot a^n = a^{m+n}$，其中$a$是生成元， $m$和$n$是任意整数。
交换群的性质与结构
性质
交换群中任意两个元素的乘积可以交换，即满足$ab=ba$。
结构
交换群可以分解为若干个循环群的直积。
循环群与交换群的同态
同态
如果存在一个映射$varphi: G rightarrow H$，使得 $varphi(ab)=varphi(a)varphi(b)$，则称$varphi$是同态映 射。
反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
应用
直积和直和在代数学、几何学和拓扑学等领域有广泛 的应用。
群的直积与直和的性质
性质1
如果G是H和K的直积，那么G可以表示为H 和K的商群。
性质2
如果G是H和K的直和，那么G可以表示为H和K的商 群。
应用
这些性质在代数学、几何学和拓扑学等领域 有广泛的应用，例如在研究群的构造、分类 和表示理论等方面。
群及其结构
群及其结构
引言：群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是 近世代数的基础。变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论的基础。
在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。而群的等价关系可谓“品种繁多”，本文主要介绍群的定义及其性质，子群，群的分类，以及陪集，不变子群和商群。
一、群的定义及其性质：
1、定义： 设G 是一个非空集合,乘法“。”是G 上的一个代数运算.若“。”满足条件:
(1) “。”适合结合律;
(2)存在G e ∈,使得ea ae =,G a ∈∀;
(3)对于任意的G a ∈,存在G b ∈,使得e ba ab ==,
则称（G ，。）是一个群;不致混淆时,简称G 是一个群.
2、性质：
（1）设G 为群，则G 中的幂运算满足：
∀a ∈G ，(a -1)-1=a
∀a ,b ∈G ，(ab )-1=b -1a -1
∀a ∈G ，a n a m = a n +m ，n , m ∈Z
∀a ∈G ，(a n )m = a nm ，n , m ∈Z
若G 为交换群，则 (ab )n = a n b n .
（2）G 为群，∀a ,b ∈G ，方程ax =b 和ya =b 在G 中有解且仅有惟一解.
（3）消去律 ：G 为群,则G 中适合消去律,即对任意a,x,y ∈G 有
(1)若ax ＝ay,则x ＝y.
(2)若xa ＝ya,则x ＝y.
（4）G 为群，a ∈G 且 |a | = r . 设k 是整数，则
①ak = e 当且仅当r | k ；② |a -1| = |a |
2.2正规子群与商群近世代数
6)交换群的任一子群都是交换群, 且其商群 也是交换群.
(aN )(bN ) ( ab) N ( ba) N ( bN )( aN )
7)循环群的任一子群为正规子群，任一商群 都是循环群. （设 G ( a) 为循环群, N G , 由于循环群为交换群，且循环群的子群为 循环群，故 N G . r r r b G, b a bN a N (aN ) 所以 G / N {bN | b G} ( aN ) 为循环群.）
N H G ，且 N
G ，则 N
H.
2wenku.baidu.com13-8-6
21:57
四、商群
G / N {aN | a G} N G 关于 aN bN ( ab ) N 做成群.
证明： ①N G / N ，故非空； ② 有乘法运算 (aN )( bN ) ( ab) N ； ③ ( aNbN )cN aN ( bNcN ) (abc ) N ，有结合律； ④ ( eN )( aN ) aN ,有左单位元 eN N ； 1 ⑤ (a N )(aN ) eN ,有逆元.
hx Hx, h1 , h2 H , st . xh1 hxh2 1 hx xh1h2 xH Hx xH
2013-8-6 21:57
Hx 1 x 1 H xH Hx xH Hx
第2章 群论
a -1，则有：
a -1 a = e 这样就证明了左逆元a -1的存在性。证完。
性质Ⅳ，Ⅴ可以代替群的第一定义中的第三条而得到群的 第二定义。
2016/4/27
§1 群的定义
群的第二定义 称一个不空集合G对一个叫乘法的代数运
算作成一个群，假如 Ⅰ. G对于这个乘法来说是闭的，即 a, b G, 有 ab G;
§1 群的定义
为了给出群的第二定义，下面先来看群的两个性质。 Ⅳ. 群G中至少存在一个元 e，叫做G的左单位元，能让 ea = a 对于G的任何元 a 都成立。 证明 由Ⅲ，对于G的一个固定元b，方程 y b = b在G中有 解。任意取一个解，记为是e，于是有：e b = b …… … (1) 对G的任何元 a，再由Ⅲ，b x = a 有解，不妨设为c，即: b c = a …… … (2) 于是由(1)，(2)及Ⅱ，
第一定义可以推出群的第二定义。下面证明由群的第二定义可 以推出群的第一定义，这即是证明由Ⅰ， Ⅱ， Ⅳ，Ⅴ可以推 得Ⅲ，这一点可以分三步来证明。 (ⅰ) 一个左逆元一定也是一个右逆元，即对任意的a, 由 a -1 a = e 可得 a a -1 = e. 首先由Ⅴ，对a -1，G中有其左逆元b, 使b a -1 = e. 其次， 一方面， (b a -1)(a a -1)=e (a a -1) )= (e a) a -1 = a a -1 另一方面， (b a -1)(a a -1)=b [(a -1 a) a -1] = b (e a -1 ) = b a -1 = e 所以， a a -1 = e
近世代数复习
第一章
集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系;
集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章
群的定义
a.设G就是一个非空集合,“▫”就是其上一个二元运算,若满足
1.“▫”满足结合律;2、{G,▫}中有单位元;3、{G,▫}每个元都与逆元
则称{G,▫}就是一个群,简称G就是一个群。
b、若G就是一个有乘法的有限非空集合,且满足消去律。
群的性质
1.单位元唯一; 2、逆元唯一;
3、若G就是群,则对G中的任意元a、b,方程ax = b与xa = b都有唯一的解
4、若G就是群,则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1
注:可以推广到无限:
1
1
1
2
1
1
m
1
m
1
m
2
1
m
a
...a
a
a
)
...a
a
(a
G
,
a
..,-
-
-
-
-
-=
⇒
∈
∀,.
a,
a
2
1
5、单位元就是群中唯一的等幂元素(满足x2 = x的元叫等幂元)
证:令x就是等幂元,∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论:若G就是有限群,则其运算表中的每一行(列)都就是G中元的一个排列,而且不同行(列)的排列不同。
7、若群G的元a的阶就是n(有限),则a k n|k。
8、群中的任意元素a与她的逆元a-1具有相同的阶。
9、在有限群G中,每一元素具有一有限阶,且阶数至多为|G|。
交换群:若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。
元素的阶:G的一个元素a,能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶,记为o(a)。若就是这样的m不存在,则称a就是无限阶的。
有限群:若一个群的元的个数就是一个有限整数,则称这个群为有限群,否则为无限群。一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群．
给了一个群 G ，一个子群 H ，那么 H 的一个右陪 集 Ha 未必等于 H 的左陪集 aH ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到．
定义 一个群 G 的一个子群 N 叫做一个不变子 群,假如对于 G 的每一个元 a 来说,都有
aN Na
aNa1 N
（＊）
1
因为 a …………证完
1
也是 G 的元，在（＊）中以 a
代a ,
注6. 要测验一个子群是不是不变子群，用 定理２的条件一般比较方便． 注7. 用定理２的条件可以改写成 a G ， n N a 1na N 注8 .
ana 1 N
等价于 aNa1 N
Ⅳ． eN 是单位元,因为
eNxN (ex) N xN
Ⅴ
xN 有逆元 x 1 N
,因为
x1 NxN ( x1 x) N eN
证完
定义 一个群 G 的一个不变子群 N 的陪集所 作成的群叫做一个商群．这个群我们用符号 G N 来表示． 因为 N 的指数就是 N 的陪集的个数，我们显 然有，商群 G N 的元的个数等于 N 的指数．当 G 是有限群的时候，
na an n1a n1ann1 n1nan1 an1
这就是说，N是一个子群． (2) . G 的每一个元 a 可以同 N 的每一个元 n 交换，所以 Na aN，即 N 是不变子群．
aN Na
这个不变子群
C
叫做 G 的中心．
例３ 一个交换群 G 的每一个子群 H 都是不变子群．因
G 的子集的乘积,计算两个陪集 xN
成绩
定理３ 一个不变子群的陪集对于上边 规定的乘法来说作成一个群．
证明
我们证明群定义的条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ 能被满足． Ⅰ．显然． Ⅱ． ( xNyN ) zN [( xy) N ]zN ( xyz) N
xN ( yNzN ) xN[( yz) N ] ( xyz) N
G的阶 G N 的阶 N的阶
从商群的角度重新认识剩余类加群 Z n
第一，回忆剩余类加群。
第二，重新认识 Z n 。设
G Z (整数加群)
N (n) {kn k Z}(由n生成的循环群)
• 作业: • P74: 2,3,4
Ga aG G
ea ae a
na an， 例２ C 刚好包含群 G 的所有有以下性质的元 n ， 不管 a 是 G 的哪一个元 证明: C 是 G 的一个不变子群．
证明:
(1) C 是子群.因为 e N ，所以 N 是非空的． 又 n1a an1 ，n2a an2 n1n2a an1n2
注1. 一个不变子群 N 的一个左(或右)陪集叫做 N 的一个陪集. 注2. aN Na意味着: an na 吗? 反过来呢? 注3. aN Na在元素间意味着什么? 注4. 不变子群又称为正规子群
10.2 例子
例１ 一个任意群 G 的子群 G 和 e 总是不变子群，因 为对于任意 G 的元 a 来说，
为 G 的每一个元 a 可以和任意一元 x交换，xa ax ， 所以对于一个子群 H来说， Ha aH
例４ G S ．那么 3
，(123) ，(132)} 是一个不变子群．
N {(1)
注5. 从这个例子可以总结出一般性结论吗?
10.3 等价条件
现在复习一下群 G 的子集的乘积: 设A，B是群 G 的两个非空子集,规定
AB {ab a A, b B} ， A1 {a1 a A}
容易证明:
( AB)C A( BC ) ，A( B
C ) ( AB) ( AC )
( AB)1 B1 A1 , ( A1 )1 A
Sm 的乘积用符号 由于结合律成立, S1，S2，…，
来表示．
S1S2
Sm
定理Βιβλιοθήκη Baidu 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是：
aNa 1 N
对于 G 的任意一个元 a 都对．
证明 …………证完
a 1 Na N ?
注5. aNa 1 N 可以换成
定理２ 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是： n N ana 1 N a G ， 证明 这个条件的必要性是显然的，是定理１ 的直接结果．我们证明它也是充分的． 条件 ana 1 N 意味着
注9. a 1na N 等价于‥‥‥？？
小结:
n N .下面条件等价: 群 G 的一个子群 N , a G ，
1. aN Na 2. aNa 1 N 3. a 1na N 4. aNa1 N
注意: 不变子群不具有传递性.
10.4 商群
不变子群所以重要，是因为这种子群的陪 集，对于某种与原来的群有密切关系的代数 运算来说，也作成一个群．
我们看一个群 G 的一个不变子群 N 的所有 陪集作成一个集合
G / N {aN , bN , cN } {aN a G}
(1) (2) (3)
aN 相对 G / N :是一个元素, aN 相对 G :是一
个子集.
aN
有不同的表示方式. 和 yN 的
( xN )( yN ) ( xy) N