近世代数课件--2.10 不变子群,商群
《近世代数》PPT课件
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
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（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
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和
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联系在一起？
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例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
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• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
10 不变子群 商群
§10 不变子群 商群定义 设G 是一个群，N G ≤，称N 为群G 的子群，若,Na aN a G =∀∈.不变子群N 的一个左（右）陪集称为H 的一个陪集.N 是G 的不变子群，记为.N G例1 设G 为一个群，则G 和{}e 都是群G 的不变子群.{}{}{},.Ga aG G a e e a a ====例2 设G 是一个群，{}|,N n na an a G ==∀∈，则.N G,ea ae a G =∀∈,.e N N ∴∈≠∅12,n n N ∀∈，则1122,,,.n a an a G n a an G =∀∈=∀∈()()()()()()121212121212,.n n a n n a n an n a n an n a n n G ∴=====∀∈ 12.n n N ∴∈n N ∀∈，则,.na an a G =∀∈于是1,,a nan a G -=∀∈()1111,.n a n nan an a G ----==∀∈1,.n N N G -∴∈∴≤下证,.aN Na G =∀∈在aN 中任取一个元素an ，这里.n N ∈n N ∈故an na Na =∈.aN Na ∴⊂同理，.Na aN ⊂.aN Na ∴=.N G ∴该不变子群称为群G 的中心.例3 交换群G 的任一子群H 都是不变子群.设H G ≤，下证.aH Ha =ah aH ∀∈，这里h H ∈.因G 是交换群，故ah ha Ha =∈.aH Ha ∴⊂同理，.Ha aH ⊂例4 3,G S =设()()(){}1,123,132N =，则.N G()()()()()()111,1123123,==()()()1132132,=()()()()()()1231123,123123132,==()()()1231321,=()()()()()()1321132,1321231==都属于N ，N G ∴≤又()()()(){}()()()(){}()()()(){}()()()(){}11,123,132,11,123,132,1212,13,13,1212,13,23,N N N N ==== 故()()()()()()11231321123132,N N N N N N =====()()()()()()122313122313.N N N N N N =====.N G ∴定义 设G 是一个群，12,,,m S S S 为集合G 的m 个子集，则把集合{}121122|,,,m m m s s s s S s S s S ∈∈∈称为12,,,m S S S 的乘积，记为12.m S S S 易知()()123123.S S S S S S =这是因为在()123S S S 中任取一个元()123s s s ，这里112233,,s S s S s S ∈∈∈， ()()()123123123.s s s s s s S S S =∈()()123123S S S S S S ⊂.同理()()123123.S S S S S S ⊂定理1 设G 是一个群，N G ≤，则1,.N G nNa N a G -⇔=∴∈注：,,a b G S G ∀∈⊂，把{}{}a S b 记为aSb .把{}a S 记为aS .把{}S b 记为.Sb 易知{}|.aSb asb s S =∈证 “⇒”设N G ，a G ∀∈，则,aN Na G =∀∈.故()()()1111.aNa aN a Na a N aa Ne N ----=====“⇐”设1,aNa N a N -=∀∈，下证1.aNa N -=易知1.aNa N -⊂n N ∀∈，有()1111111.n aa n aa naa a a n a a -------⎡⎤===⎢⎥⎣⎦1a G -∈，()111.a n a N ---∴∈ 1.n aNa -∴∈11..N aNa aNa N --∴⊂∴=设G 是一个群，N G ，{}|S aN a G =∈（即S 为不变子群N 的所有陪集所成的集合）,xN yN S ∀∈，这里,x y G ∈，规定S 的乘法如下：()()().xN yN xy N =这在逻辑上没有问题.设 ,xN x N yN y N ''==，下证()().xy N x y N ''=,,x xe xN x N y ye yN y N ''=∈==∈=()1212,,.x x n y y n n n N ''∴==∈12.xy x n y n ''=N G ，1n y Ny y N '''∴∈=，()()()()133123232,n y y n n N xy x n y n x y n n x y n n x y N ''''''''''∴=∈===∈. ()().xy N x y N ''∴=定理3 色环G 是一个群，N G ，{}|,S aN a G =∈则S 对于以上规定的乘法来说成为一个群.证 1）√2）()()()()()()(),xN yN zN xy N zN xy z N xyz N ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()().xN yN zN xN yz N x yz N xyz N ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 3）()()().eN xN ex N xN ==4）()()()11.x N xN x x N eN --==定义 定理3中的群S 称为群G 的一个商群，记为/.G N 若G 为有限群，N G ，则/.GG N N =习题P741.假定群G 的不变子群N 的阶是2 ，证明，G 的中心包含.N 证 设C 为群G 的中心，则{}|,.C c G ca ac a G =∈=∀∈2,N =∴可设{},,N e n =其中e 为群G 的单位元.显然，.e C ∈N G ，∴1,.ana N G -∈∀∈显然，不存在a G ∈使得1anae -=，不然,.an a ae n e ===故1,ana n G -=∀∈，即 ,an na a G =∀∈,.n C N C ∴∈∴⊂2. 证明，两个不变子群的交集还是不变子群.证 设G 是一个群，12,N G N G ，则12.N N G ≤12n N N ∀∈，则1,n N ∈且2.n N ∈因12,N G N G ，故,a G ∀∈有 1112,.ana N ana N --∈∈112,.ana N N a G -∴∈∀∈ 12.N N G ∴3. 证明，指数是2的子群一定是不变子群.证 设G 是一个群，(),: 2.N G G N ≤=设a G ∈，但a N ∉，因():2G N =，故()()()(),eN aN Ne Na =∅=∅，且()()()().G eN aN Ne Na ==但.eN Ne N ==aN Na ∴=，或.b aN Na ∈=b G ∀∈，b eN ∈或.b aN Na ∈=若b eN ∈，则,.b Ne bN eN Ne Nb ∈===若b aN ∈，则b Na ∈，故.bN aN Na Nb ===∴由不变子群的定义得，.N G4.设H 是G 的子群，N 是G 的不变子群，证明，HN 是G 的子群. 证 在HN 中任取一个元素11h n ，22h n ，这里1212,,,.h h H n n N ∈∈ 则()11111221122.h n h n h n n h ---=但N G ，H G ≤，1111122212,,n n N Nh h N h h H ----∴∈=∈111111221212.h n n h h Nh h h N HNHN G ----∴∈=⊂∴≤ 5.举例证明，G 的不变子群N 的不变子群1N 未必是G 的不变子群（取4G S =）. 解 取4G S =，()()()()()()(){}()()(){}11,1234,1324,1423,1,1234N N ==，则 1,N G N N ，但1N 不是G 的不变子群.。
近世代数学习课件
定义4 结合律：设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有：(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律：若对a,b X 有： ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材：离散数学引论 王义和，哈工大出版社
参考教材： 1）近世代数， 熊全淹，武大
2）近世代数基础习题指导，北师大
3）离散数学及其在计算机中的应用
4）代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数，以及由数所衍 生出来的对象，如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算， 其共同点是对任两个数，通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征，因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理：A为 M , , e 的非空子集，则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注：根据集合交的性质知道 由A生成的子（幺）半群 (A) 是包含A的所有子（幺）半群 中最小的，即对任意包含A的
子（幺）半群 A 有：A A
定义4 左（右）理想：半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左（右）
定义乘法“”：N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有：
a (b＋c) (a b) (a c)
则称“”对“＋”满足左分配律。
如果a,b, c S 有：
近世代数精品课程25页PPT
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
近世代数课件2
代数系统(S,⊙)是否 做成半群的判断方法就是检验代数 运算⊙在集合S上是否适合结合律.
设(S , o)是一个半群, Φ ≠ T ⊆ S , 则称(T , o)是(S , o)的一个 子半群 ⇔ ∀a, b ∈ T , 有a o b ∈ T .
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设 是 个 空 合若 S 一 非 集 , 1)在 上 在 个 数 算 ” S 存 一 代 运 “ ; 2)代 运 “ ” 集 S上 合 合 数 算 在 合 适 结 律 (也 ∀ ,b,c∈S,有 a b) c =a (b c).) 即a ( 则 集 S关 代 运 做 一 半 , 称 合 于 数 算 成 个 群 记 半 (S，. 作 群 )
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M n(R)(实数域R上全体n阶矩阵组成 的集合)关于矩阵的乘法、加法能否做成M n(R) 上的半群、交换半群吗？若把M n(R)换为On(R), 其中 n(R) = {A∈ M n(R) AA′ = A′A = I}, 结果如 O 何?若把M n(R)换为GLn(R), 其中 ( GLn(R) = {A∈ M n(R) A ≠ 0} 另一表示形式: GL n, R)),结果如何?若把M n(R)换为SLn(R), （ ),结 其中SLn(R) = {A∈ M n(R) A = 1},结果如何?
16
GLn( R) = {A ∈ M n( R) A ≠ 0} 关于矩阵的乘法、加法能否做成 ?(另 GLn( R)上的代数系统?(另一表 示形式:GL n, R)) （
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有理数集合关于规定 ⊕:Q × Q → Q, ∀a, b ∈ Q, 有a ⊕ b = a + b + ab 能否做成有理数集合Q上 的代数系统？
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在半群(S, o)中, 任取n n ≥ 3)个元a1, a2,L, an, ( 只要不改变元素次序,则 a1 o a2 oLo an的任一计算方法 所得结果均相同.
近世代数讲义子群
§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.
注意 若 G 是一个群, H 和 K 都是 G 的子群, 并且 K H ,则由子群的定义可知, K 也是 H 的 子群.
iI
Si 和 Si 分别称为 S 的这族子集的交(集)和并
§3 子 群
代数运算“ '”如下: a'b ab , a, b S .
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
2020/8/13
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§3 子 群
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§3 子 群
定理 3.3 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 非空子集.那么, H 为 G 的子群的充分必要条件 是:
(1) ab H , a, b H ; (2) a1 H , a H . 证明 先证明必要性.假设 H 是 G 的子群. 首先,根据子群的定义, H 满足条件(1). 其次,
例 2 设 P 是一个数域, nN .于是, SLn (P ) 是 GLn (P ) 的子群.(参看§2 的例 2).若令 H 表示数域 P 上全体 n 级可逆的上三角形矩阵构成的集合, K 表示 数域 P 上全体 n 级可逆的对角形矩阵构成的集合,则 H 是 GLn (P ) 的子群, K 是 H 的子群.
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近世代数基础 第二章 群论
第二章群论群是最简单，最重要，有广泛应用的代数系统。
在本章里主要研究具有某种特殊的群存在，结构和构造等。
学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群，共讲十一个问题，它是以下几章的基础，本章开头提出的十一问题是：一、群在的定义及其基本性质七、循环群；二、单位元、逆元、消去律；八、子群；三、有限群的另一定义；九、子群的陪集；四、群的同态；十、不变子群、商群；五、变换群；十一、同态与不变子群。
六、置换群；§2.1 群的定义●课时安排约1课时●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35群的思想：第一，它有满足结合律的代数运算；第二，这个代数运算具有逆运算。
定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，则等价于下列条件: （1）（G，·）有单位元，且G中每一个元有逆元。
（2）（G，·）有左单位元，且G 中每个元有左逆元；（3）（G，·）有右单位元，且G 中每个元有右逆元；（4）a,b∈G，方程a.x=b和y.a=b在G中都有解，是一个有限整数；不然的话，这个群叫做无限群，有限群的元素个数叫做这个群的阶。
定义：对 a,b∈G来说，满足ab=ba条件的群叫做交换群。
例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。
例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。
例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。
习题选讲：P38 1，3●教学重点群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法。
●教学难点群定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定。
●教学要求理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，多训练（做题）。
●布置作业 P35 1，3（2）●教学辅导一、掌握三个基本概念（1）群的最本质的特点（2）群的思想方法主要体现在包含的方面。
（3）代数系充（G，·）是群当且仅当（i）结合律成立（ii）方程ax=b，ya=b在G中有解，其 a,b∈G.二、精选习题：（1）在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)（2）设（G，·）为半群，如果方程ax=b与ya=b a,b∈G在G中有解，（不要求唯一性）则G（）。
近世代数群的概念课件
反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
05
有限群的结构
有限群的分 类
阿贝尔群和非阿贝尔群
01
根据群中元素的乘法是否满足交换律，可以将有限群分为阿贝
尔群和非阿贝尔群。
循环群和非循环群
02
根据群中是否存在循环子群，可以将有限群分为循环群和非循
环群。
素数阶群和非素数阶群
03
根据群的阶是否为素数，可以将有限群分为素数阶群和非素数
阶群。
有限群的Sylow定理
近世代数群的概念
目 录
• 群的定义与性质 • 群的表示与同态 • 循环群与交换群 • 群的扩张与直积 • 有限群的结构 • 群的应用
contents
01
群的定义与性质
群的定 义
群的定义
一个群是由一个集合和一个 在其上的二元运算所组成， 满足结合律、存在单位元、 存在逆元的代数系统。
结合律
群中的二元运算满足结合律， 即对于任意$a, b, c$在群中， 有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元
群中存在一个元素$e$，使 得对于任意$a$在群中，有 $e cdot a = a cdot e = a$。
逆元
对于任意$a$在群中，存在 一个元素$b$，使得$a cdot b = b cdot a = e$，其中 $e$是单位元。
近世代数课件子群
§3 子 群
事实上,首先,由于 G 上的代数运算“ ”适合 结合律,因此 H 上的代数运算“ ”也适合结合律. 其次任取 a H .由于 H 满足条件(1)和(2),因此 a1 H , e aa1 H .最后,对于任意的 a H , 我们有
ae ea a ; aa1 a1a e . 所以 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成一个群.□
§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
Ⅰ. ab H , a, b H ,即 H 关于群 G 的乘 法“ ”封闭;
Ⅱ. H 关于“ ”构成一个群.
§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.
假设 S 关于代数运算“ ”封闭.于是,将 “ ”限制在 S 上, 我们便可得到 S 上一个代 数运算“ '”.也就是说,我们可以定义 S 上的
§3 子 群
代数运算“ '”如下: a'b ab , a, b S .
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
注意 若 G 是一个群, H 和 K 都是 G 的子群, 并且 K H ,则由子群的定义可知, K 也是 H 的 子群.
§3 子 群
命题 3.2 设 G 是一个群, H 是 G 的一个子 群.那么,
(1) H 的单位元就是 G 的单位元; (2)对于任意的 a H , a 在群 H 中的逆元就 是 a 在群 G 中的逆元. 证明 (1)设 e 是群 G 的单位元, e' 是子群 H 的单位元.由于 e 是 G 的单位元,我们有 ee' e' .
近世代数课件(全)--2-10 群对集合的作用、伯恩赛德引理
1
1
| g G}
S tabG H { g | g G , g ( H ) H } H}
{ g | g G , gH H g }
2012-9-19
稳定子群和轨道的关系： (1)轨道公式： a [ G : G a ] 证明： a { g ( a ) | g G }
2012-9-19
定义1 设 G 是一个群, 是一个非空集合 （称为目标集），若 g G 对应 上的一个变换 g ( x ) 满足
(1) e ( x ) x , x ;
( 2 ) g 1 g 2 ( x ) g 1 ( g 2 ( x )), x .
g1 ( g 2 H g 2 ) g1 , H .
此作用称为群 G 对其子群集的共轭作用.
2012-9-19
二、轨道与稳定子群 定义2 设 为目标集，群 G 作用于 a 上， ，则集合 称为 在 G 作用下的一个轨道，a 称为 此轨道的一个代表元. 例4 设 {1, 2, 3, 4 , 5 },
fg
g G
其中
fg
为元素 g 在 上的不动点数目
，求和是对群中每个元素求和.
2012-9-19
例4 设 {1, 2, 3, 4 , 5 },
G {(1), (12 ), ( 345 ), ( 354 ), (12 )( 345 ), (12 )( 354 )}
（3）求 G 的每个元素在 上的不动点数目. （4）求 在 G 作用下的轨道数目. f ( 1 2 ) 3, 解： f ( 1 ) 5 ,
近世代数第二章课件
第二章群论 20第二章群论本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．§1 群的定义及基本性质2.1 半群的定义设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素ba,关于“·”运算结果ba∙简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．定义1如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即ba∈c∀)有,S,,ab=，则称S关于它的乘法是一个半群，简称Sac(bc()是一个半群．2关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一例1 偶数集Z个半群．n⨯矩阵作成的集合M n(F)，关于矩阵乘法例2数域F上的所有n是一个半群．例3 A 是一个非空集合，A 的幂集}|{A x x A P ⊆=）（关于∩、∪分别是半群．例4 +Z （正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是+Z 的一个代数运算；Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算，但结合律不成立，故),(-Z 不是一个半群．注 由于一个半群),(⋅S 的乘法适合结合律，故可以在半群),(⋅S 中可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念，规定：, 个n n a aa a =那么，易见半群里有以下指数运算规律：ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =⋅===⋅+当,)(,)(,，这里+∈Z n m ,。
近世代数课件 第3节 群的定义及性质
(1) 证明2: 设 |a| = r，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1a rb b1eb e
可知b1ab的阶为有限. 令|b1ab| = t，从而有t | r.
另一方面，由 (b1ab)t=e可知
(b1ab)t = b1atb1 = e
at = e，从而有 r | t.
近世 代数
群论
主要内容:
群的定义与性质 有限群、子群 变换群 置换群 循环群 子群的陪集、正规子群与商群 群的同态基本定理
1/30
近世 代数
第3节 群的定义与性质
主要内容:
群的定义 群的基本性质 群的实例 群中的术语
2/30
近世 代数
群的三个等价定义
定义0 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足结合 律，则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点.
性质7 G为群，a∈G且 |a| = r. 设k是整数，则 (1) ak = e 当且仅当 r | k . (2 )|a1| = |a|.
证明： (2) 由 (a1)r = (ar)1 = e1 = e 可知 a1 的阶为有限. 令|a1| = t，从而有t | r. 同时，at = ((a-1)-1)t = (a-1)-t = ((a-1)t)-1 = e-1 = e ， 所以 r | t. 从而证明了r = t，即|a1| = |a| .
22/30
近世 代数
例题
例5 设G是群，a, b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
近世代数第12讲
第 12 讲§10 不变子群、商群（Normal subgroup, Quatient group ）本讲的教学目的和要求：在前一讲中，我们已经知道群G 的每一个子群H 都能“引导”出一批陪集，这些陪集构成的集合R S （或L S ）可以构成G 的陪集分解：mHa Ha Ha H G⋃⋃⋃⋃= 21.那么R S 是否可以成为一个群呢？如果R S 成群，对H 有什么特殊的要求吗？本讲正是以这个问题为中心而展开的。
为此，要求在本讲的学习中注意下列问题：1、掌握不变子群的特性，尤其是不变子群的等价定义。
2、商群的证明方法。
3、围绕着不变子群和商群而形成的常见几类例子以及几个思考问题。
本讲的重点和难点：由于在讨论不变子群成立的等价条件时，要用到陪集的一些性质，所以在这里往往会感到棘手一些。
另外商群的形成，由于元素都是子集；多少都会带来一些不习惯的感觉。
一、 不变子群概念的引入问题：若H 是G 的子群且G a ∈, 那么“aHHa=”成立吗?为什么?答：不成立。
如三次对称群()()()()()(){}31,12,13,23,123132S =，，()(){}12,1=H 是3S 的子群。
()()(){}23,123123=H，而()()(){}13,123123=H ，()()123123H H ≠∴.定义2.10.1：设N 是G 的子群，如果对于G 中任一个元a ， 都有N a aN =，那么称N 为G 的不变子群，记做GN。
一个不变子群的左（或右）陪集叫做N 的一个陪集。
注：不变子群也叫正规子群。
例1G是群，e 是G 的单位元。
则G 和{}e 是G 的不变子群。
例2 令{|,}N n G na an a G =∈=∀∈。
则N是G 的不变子群。
（P62定理1）。
N ≠Φ，对G 的运算封闭，1n NnN-∈⇒∈。
称N 是G 的中心。
例3 交换群G 的每一个子群都是G 的 不变子群。
例4()()()()()(){}31,12,13,23,123132S =，，()(){}12,1=H 不是3S的不变子群。
16不变子群
§10．不变子群、商群定义 一个群G 的一个子群N 叫做一个不变子群，假如对于G 的每一个元a 来说，都有aN Na =，一个不变子群N 的一个左（或右）陪集叫做N 的一个陪集。
记作N G例1 一个任意群G 的子群G 和e 总是不变子群。
证明：G aG Ga ==，a ae ea ==例2 N 刚好包含群G 的所有有以下性质的元n ，即{}G a an na n N ∈∀==,，则N 是G 的一个不变子群。
叫做G 的中心。
证明：(1)N e ∈非空; (2)若12,n N n N ∈∈,即2121212211,n an an n a n n an a n an a n ==⇒==12n n N ⇒∈(3)若n N ∈即111111------===⇒=an nan n ann n a n an na得N 是G 的一个子群.但G 的每一个元a 可以同N 的每一元n 交换,所以有Na aN =,即N 是G 的不变子群。
例3 一个交换群G 的每一个子群H 都是不变子群。
例4 3S G =，则()()(){}132,123,1=N 是一个不变子群。
证明：()()123=N ，但()()()(){}132,123,11=N ，()()()(){}132,123,11=N ()()()(){}13,23,1212=N ，()()()(){}13,23,1212=N注：aN Na =，并不是说a 可以和N 的每一个元交换，而是说aN 和Na 这两个集合一样。
定理1 一个群G 的一个子群N 是一个不变子群的充分必要条件是N aNa =-1，对于G 的任意一个元a 都对。
证明 假如N 是不变子群，那么对于G 的任何a 来说，aN Na =这样，()()()N Ne aa N a Na a aN aNa =====----1111假如对于G 的任何a 来说，N aNa =-1那么()()()()aN e aN a a aN a aNa Na ====--11N 是不变子群。
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S1S2
Sm
定理１ 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是：
aNa 1 N
对于 G 的任意一个元 a 都对．
证明 …………证完
a 1 Na N ?
注5. aNa 1 N 可以换成
定理２ 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是： n N ana 1 N a G ， 证明 这个条件的必要性是显然的，是定理１ 的直接结果．我们证明它也是充分的． 条件 ana 1 N 意味着
注9. a 1na N 等价于‥‥‥？？
小结:
n N .下面条件等价: 群 G 的一个子群 N , a G ，
1. aN Na 2. aNa 1 N 3. a 1na N 4. aNa1 N
注意: 不变子群不具有传递性.
10.4 商群
不变子群所以重要，是因为这种子群的陪 集，对于某种与原来的群有密切关系的代数 运算来说，也作成一个群．
aNa1 N
（＊）
1
因为 a …………证完
1
也是 G 的元，在（＊）中以 a
代a ,
注6. 要测验一个子群是不是不变子群，用 定理２的条件一般比较方便． 注7. 用定理２的条件可以改写成 a G ， n N a 1na N 注8 .
ana 1 N
等价于 aNa1 N
AB {ab a A, b B} ， A1 {a1 a A}
容易证明:
( AB)C A( BC ) ，A( B
C ) ( AB) ( AC )
( AB)1 B1 A1 , ( A1 )1 A
Sm 的乘积用符号 由于结合律成立, S1，S2，…，
来表示．
我们看一个群 G 的一个不变子群 N 的所有 陪集作成一个集合
G / N {aN , bN , cN } {aN a G}
(1) (2) (3)
aN 相对 G / N :是一个元素, aN 相对 G :是一
个子集.
aN
有不同的表示方式. 和 yN 的
( xN )( yN ) ( xy) N
G的阶 G N 的阶 N的阶
从商群的角度重新认识剩余类加群 Z n
第一，回忆剩余类加群。
第二，重新认识 Z n 。设
G Z (整数加群)
N (n) {kn k Z}(由n生成的循环群)
• 作业: • P74: 2,3,4源自Ⅳ． eN 是单位元,因为
eNxN (ex) N xN
Ⅴ
xN 有逆元 x 1 N
,因为
x1 NxN ( x1 x) N eN
证完
定义 一个群 G 的一个不变子群 N 的陪集所 作成的群叫做一个商群．这个群我们用符号 G N 来表示． 因为 N 的指数就是 N 的陪集的个数，我们显 然有，商群 G N 的元的个数等于 N 的指数．当 G 是有限群的时候，
注1. 一个不变子群 N 的一个左(或右)陪集叫做 N 的一个陪集. 注2. aN Na意味着: an na 吗? 反过来呢? 注3. aN Na在元素间意味着什么? 注4. 不变子群又称为正规子群
10.2 例子
例１ 一个任意群 G 的子群 G 和 e 总是不变子群，因 为对于任意 G 的元 a 来说，
G 的子集的乘积,计算两个陪集 xN
成绩
定理３ 一个不变子群的陪集对于上边 规定的乘法来说作成一个群．
证明
我们证明群定义的条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ 能被满足． Ⅰ．显然． Ⅱ． ( xNyN ) zN [( xy) N ]zN ( xyz) N
xN ( yNzN ) xN[( yz) N ] ( xyz) N
为 G 的每一个元 a 可以和任意一元 x交换，xa ax ， 所以对于一个子群 H来说， Ha aH
例４ G S ．那么 3
，(123) ，(132)} 是一个不变子群．
N {(1)
注5. 从这个例子可以总结出一般性结论吗?
10.3 等价条件
现在复习一下群 G 的子集的乘积: 设A，B是群 G 的两个非空子集,规定
10.1 定义
这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群．
给了一个群 G ，一个子群 H ，那么 H 的一个右陪 集 Ha 未必等于 H 的左陪集 aH ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到．
定义 一个群 G 的一个子群 N 叫做一个不变子 群,假如对于 G 的每一个元 a 来说,都有
aN Na
na an n1a n1ann1 n1nan1 an1
这就是说，N是一个子群． (2) . G 的每一个元 a 可以同 N 的每一个元 n 交换，所以 Na aN，即 N 是不变子群．
aN Na
这个不变子群
C
叫做 G 的中心．
例３ 一个交换群 G 的每一个子群 H 都是不变子群．因
Ga aG G
ea ae a
na an， 例２ C 刚好包含群 G 的所有有以下性质的元 n ， 不管 a 是 G 的哪一个元 证明: C 是 G 的一个不变子群．
证明:
(1) C 是子群.因为 e N ，所以 N 是非空的． 又 n1a an1 ，n2a an2 n1n2a an1n2