三点共线典型例题(含答案)
向量证三点共线 (1)
利用共线向量巧解三点共线例题：如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得PC=λPA+（1-λ）PB．证法探究：分析：初看欲证目标，始感实难下手。
我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC=λPA+（1-λ）PB，只需证PC=λPA+PB-λPB⇔PC-PB=λ（PA-PB）⇔BC=λBA⇔BC∥BA．这样证明思路有了。
证法：∵向量BC与向量BA共线，∴BC=λBA，即PC-PB=λ（PA -PB），PC=λPA+PB-λPB，∴PC=λPA+（1-λ）PB．证毕，再思考一下实数λ的几何意义究竟如何。
考察向量等式BC=λBA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC 与BA同向，有0≤λ≤1；当点C在线段AB延长线上时，则BC 与BA反向，有λ<0；当点C在线段BA延长线上时，则BC与BA 同向，有λ＞1．此例题逆命题亦成立，即已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC=λPA+μPB，且λ+μ=1，则A，B，C三点共线．故此逆命题可作三点共线判定方法。
为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质1：已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得PC =λPA +（1-λ）PB ．或叙述为：已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，μ，使得PC =λPA +μPB ，则有λ+μ=1．性质2：已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC =λPA +μPB ，且λ+μ=1，则A ，B ，C 三点共线．三点共线性质在解题中的应用：例1 如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB =AM m ，AC =AN n ，则n m +的值为 ．解析：连结AO ，因为点O 是BC 的中点，所以有AO =AC AB 2121+=AN n AM m 2121+，又因为M 、O 、N 三点共线，所以12121=+n m ，故2=+n m ．点评：因为点O 是BC 的中点，所以λ=21||=CB ，由性质1，μ=1-λ=21，简便求出n m +的值． 例2 如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC=+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C例3 所示：点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．设，，证明：是定值；证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+ 1OP xOA OA OP x =∴= 1OQ yOB OB OQ y=∴= 111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3G OAB P Q OA OB P G Q OA x OP =OB y OQ =yx 11+例4．如图，在ABC ∆中，OA OC 41=，OB OD 21=， AD 与BC 交于M 点，设b OB a OA ==,． （Ⅰ）用a ，b 表示OM ；（Ⅱ）在已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设OA p OE =，OB q OF =．求证：17371=+qp ． 解析：(Ⅰ)因为B 、M 、C 三点共线，所以存在实数m 使得OM =OB m OC m )1(-+ =OB m OA m )1(41-+⋅=b m a m )1(41-+；又因为A 、M 、D 三点共线，所以存在实数n 使得OM =OD n OA n )1(-+=b n a n )1(21-+．由于a ，b 不共线，所以有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=),1(211,41n m n m 解得，⎪⎩⎪⎨⎧==．n m 71,74 故OM =b a 7371+． （Ⅱ）因为E 、M 、F 三点共线，所以存在实数λ使得OM =OF OE )1(λλ-+ =b q a p )1(λλ-+．结合（Ⅰ），易得出⎪⎩⎪⎨⎧=-=,73)1(,71q p λλ消去λ得，17371=+q p ． 点评：本题是以a ，b 作为一组基底，其他向量都由它们线性表示．解（Ⅰ）中的实数m ，n 的几何意义为：m ||BC =74，n ||DA DM =71， m ，n ∈（0，1）；解（Ⅱ）中的实数λ||FE FM =p 71．例5．如图，平行四边形ABCD 中，点P 在线段AB 上，且m PBAP =，Q 在线段AD 上，且n QD AQ =，BQ 与CP 相交于点R ，求RCPR 的值． 解析：设RC PR =λ，则PC PR =1+λλ，BR =1+λλBC +（1-1+λλ）BP ．因为m PB AP =，所以BA m BP 11+=，且BR =1+λλBC +11+λ·BA m 11+． 又n QD AQ =，∴AD n n AQ 1+==BC n n 1+，∴AQ BA BQ +=，即BA BC n n BQ ++=1．又∵BR 与BQ 共线，∴1+λλ-)1)(1(11++⋅+m n n λ=0，解得λ=)1)(1(++n m n ． 点评：我们先要确定好一组基底BC BA ,，看准BR ,BQ 如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因C R P ,,三点共线，中途要以BC BP ,作基底，BR 由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1，得BR =1+λλBC +（1-1+λλ）BP ；最终BR 与BQ 都得转化到由BC BA ,两基底线性表示，此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果．例6 所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b + 分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
高考数学二级结论快速解题：专题08三点共线充要条件(解析版)
专题08三点共线充要条件一、结论1、设平面上三点O ,A ,B 不共线,则平面上任意一点P 与A ,B 共线的充要条件是存在实数 与,使得OP OA OB,且1 .特别地,当P 为线段AB 的中点时,1122OP OA OB .二、典型例题1．（2021·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））如图，ABC 中，D 为AB 上靠近B 的三等分点，点F 在线段CD 上，设AB a ，AC b ，AF xa yb ，则21x y的最小值为（）A ．6B ．7C ．4 D ．4【答案】D 【解析】由于D 为AB 上靠近B 的三等分点，故23AD AB ,所以32x AF xa yb x AB y AC AD y AC,又因为点F 在线段CD 上，所以312x y ，故2121332()()422x x yy x y x y y x，由题意可知0,0x y ，故2132442x yx y y x，当且仅当322x y y x 时，即11,32x y时，等号取得，故选：D.【反思】本题重点C ,F ,D 三点共线，可以得到AF mAD nAC且1m n ，所以本题中AF xa yb 中的AF 如何化简成AF mAD nAC 才是本题的关键，又D 为AB 上靠近B 的三等分点，故23AD AB ,所以得到32x AF xa yb x AB y AC AD y AC这样，由C ,F ,D 三点共线，得到312x y ，进而才利用均值不等式求解最值.如何利用三点共线时解本题的快速捷径.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2020·安徽·安庆市第二中学高一阶段练习）如图，在三角形OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB u u u r u u r u u u r ，且3BP PA，则（）A ．23x ，13yB ．13x ，23yC ．14x，34yD ．34x，14y 【答案】D 【详解】因为3BP PA ，所以3331()4444OP OB BP OB BA OB OA OB OA OB ，又OP xOA yOB u u u r u u r u u u r ，,OA OB 不共线，所以31,44x y ，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在OAB 中，C 是AB 的中点，P 在线段OC 上，且2OC OP .过点P 的直线交线段,OA OB 分别于点N ，M ，且,OM mOB ON nOA ，其中,[0,1]m n ，则m n 的最小值为（）A ．12B ．23C ．1D ．34【答案】C【详解】解：1()2OC OA OB u u u r u u r u u u r ，则11122OP ON OM n m，1144OP ON OM n m，又P ，M ，N 共线，∴11144n m.又,[0,1]m n ，∴ 111111214444m n m n m n n m n m ，当且仅当12m n 时取等号，故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，3AC AD ，BE ED ，设(,)AE AB AC R，则 （）A ．13B ．13C ．23D ．43【答案】C 【详解】在三角形ABC 中，3AC AD ，BE ED ，可得111111()222326AE AB AD AB AC AB AC ,因为(,)AE AB AC R ，所以11,26，所以23 .故选：C.4．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）.如图，在ABC 中，13AD DC，P 是线段BD上一点，若16AP m AB AC ，则实数m 的值为（）A ．13B ．23C ．2D ．12【答案】A 【详解】设BP BD ，因为13AD DC，所以14AD AC ，则1()(1)4AP AB BP AB BD AB BA AD AB AC，又因为16AP m AB AC ，所以11146m，解得21,33m .故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC OA OB,R ，则 的取值范围是（）A ． 0,1B ． 1, C．D ．1,0 【答案】B 【详解】因为线段CO 与线段AB 交于点D ，所以,,O C D 三点共线，所以OC 与OD共线，设OC mOD ，则1m >，因为OC OA OB ，所以OA O OD B m ，可得OA OD O mB m ，因为,,A B D 三点共线，设AD t AB u u u r u u u r，所以OD OA t OB OA 即 1OD t OA tOB ，所以1t mtm，所以1m m ，可得1m ，所以 的取值范围是 1, .故选：B.6．（2021·四川成都·高三期中（文））如图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AB xAM ，AC y AN，则111x y 的最小值为（）A ．2B．1C ．32D．2 【答案】A 【详解】G ∵为ABC 的重心，21()32AG AB AC1()3xAM y AN又G ∵在线段MN 上，11133x y 3x y (1)2x y11111[(1)]()121x y x y x y 11(11)21x y y x1(22)22故选：A ．7．（2021·山西大附中高三阶段练习（文））如图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点（点N 与点C 不重合），设xAB AM ，y AC AN，则11x y的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【详解】延长AG 交BC 与点H ,H 为BC 中点,G ∵为ABC 的重心，2211133333111123AG AH AB AC AB AC AM ANA x yxy M ANM G N ∵、、三点共线11133x y ,113x y故选:A8．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）如图，在ABC 中，23AN NC，P 是BN 上一点，若13AP AB AC，则实数 的值为（）A ．13B ．16C ．23D ．14【答案】B 【详解】由题意及图：1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB ,又23AN NC ,所以25AN AC,所以 215AP m AC m AB ,又13AP AB AC,所以12153m m，解得：51,66m .故选：B.二、填空题9．（2021·湖南·周南中学高二开学考试）在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE ，P 为BE 上任一点，AD mAB ，AF nAC ，（0m ，0n ），若AP AD AF ，则当31m n取最小值时，四边形ADPF 的面积与ABC 的面积之比等于________．【答案】16##1:6【详解】解：由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE，而P ，B ，E 三点共线，则：31m n ，据此有：3131936612n m m n m n m n m n ，当且仅当12m，16n 时等号成立，取到最小值，此时12AD AB ，16AF AC，所以11sin sin 126116sin sin 22ADPF ABCAB AC ABC AD AF ABC S S AB AC ABC AB AC ABC .故答案为：16.10．（2021·黑龙江·大庆中学高一阶段练习）如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB，,m n R ，则11n m的值为________．【答案】3【详解】解：设,OA a OB b，由题意知211()()323OG OA OB a b ，11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP ma b，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数 使得PQ PG，即1133n b m a m a b，从而1,31,3m m n消去 ，得113n m ．故答案为：3三、解答题11．（2021·全国·高一课时练习）如图，在AOB 中，14OC OA u u u r u u r ，12OD OB u u u r u u u r，AD 与BC 相交于点M ，设OA a，OB b，（1）试用a ，b表示向量OM ：（2）在线段AC 上取一点E ，在BD 上取一点F ，使得EF 过点M ，设OE OA ，OF OB，求证：13177．【答案】（1）1377OM a ；（2）证明见解析．【详解】（1）解：由A ，M ，D 三点共线可知，存在实数1 使得11111122OM OA AM a AD a a b a b．由B ，M ，C 三点共线可知，存在实数2 使得22221144OM OB BM b BC b b a a b．由平面向量基本定理知21121412．解得126747，所以1377OM a b ．（2）证明：若OE OA ，OF OB，则13137777OM a b OE OF．又因为E ，M ，F 三点共线，所以13177 ．。
高考数学复习---《三点共线问题》规律方法与典型例题讲解
高考数学复习---《三点共线问题》规律方法与典型例题讲解【规律方法】证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>的右焦点为2F ，点2F 到E 的2F 的直线与E 相交于,A B 两点.当AB x ⊥轴时，||AB =(1)求E 的方程.(2)若3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，N 是直线1x =上一点，当,,B M N 三点共线时，判断直线AN 的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 【解析】（1）根据对称性，不妨设()2,0F c 到直线0bx ay +=bcb c== 令x c =，则22221c y a b−=，解得2by a =±，所以当AB x ⊥轴时，22||b AB a ==a =故E 的方程为22122x y −=.（2）设()()1122,,,A x y B x y .当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为2x my =+， 联立方程组221222x y x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，化简得()221420m y my −++=， 由()22Δ81>010m m ⎧=+⎪⎨−≠⎪⎩，得1m ≠±，则12122242,11m y y y y m m +=−=−−设(1,)N t ，因为,,B M N 三点共线，所以221322y t x =−−，整理得2223y t x =−−. 因为()()()1221221212211222223212023232323y x y y my y my y y y y y t y x x x x −+++++−=+====−−−−，所以1101AN y tk x −==−，即直线AN 的斜率为定值0. 当直线AB 的斜率为0时，A ，B ，M ，N 都在x 轴上， 则直线AN 的斜率为定值. 综上所述，直线AN 的斜率为定值0.例2、（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN 【解析】（1）由题意，椭圆半焦距cc e a ==，所以a = 又2221b a c =−=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y −=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x −+=，所以121234x x x x +=⋅=，所以MN 所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b −+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++−=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k −+=−⋅=++，所以MN== 化简得()22310k −=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =−⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =y x =−所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =例3、（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C ，离心率O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线. 【解析】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的坐标可得1b =，由题意可得2210c e a a c c ⎧==⎪⎪⎪−=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）椭圆E 的左、右顶点分别为()2,0A −、()2,0B ，设点()()0000,0D x y x y ≠，则220014x y +=，则220044x y −=，直线CD 的斜率为001CD y k x −=，则直线CD 的方程为0011y y x x −=+， 令0y =，可得001x x y =−，即点00,01x P y ⎛⎫⎪−⎝⎭， 设点()11,Q x y ，由104OP OQ x x ⋅==，可得()01041y x x −=， 直线AD 的斜率为002AD y k x =+，则直线AD 的方程为()0022y y x x =++， 将()0041y x x −=代入直线AD 的方程得()()000002222y x y y x x −+=+，所以点Q 的坐标为()()()000000041222,2y y x y x x x ⎛⎫−−+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 直线BC 的斜率为101022BC k −==−− 直线BQ 的斜率为()()()2000000020000001012222222222424BQy x y x y y y y k x x y x x x y y −+−+===−+−−−−−20000200002214242BC x y y y k y x y y −+==−=−−， 又BQ 、BC 有公共点B ，因此，C 、B 、Q 三点共线.。
高考数学专项讲解：专题3.7三点共线证法多,斜率向量均可做
【题型综述】
三点共线问题证题策略一般有以下几种:①斜率法:若过任意两点的直线的斜率都存在,通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线;②距离法:计算出任意两点间的距离,若某两点间的距离等于另外两个距离之和,则这三点共线;③向量法:利用向量共线定理证明三点共线;④直线方程法:求出过其中两点的直线方程,在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法:求出过其中某两点的直线方程,计算出第三点到该直线的距离,若距离为0,则三点共线.⑥面积法:通过计算求出以这三点为三角形的面积,若面积为0,则三点共线,在处理三点共线问题,离不开解析几何的重要思想:“设而不求思想”.
122
x y -=点. 41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
(1)求椭圆的标准方程;
C (2)如图,已知是椭圆上的两个点,线段的中垂线的斜率为
且与交于点, 为坐标原,R S RS 12RS P O 点,求证: 三点共线.
,,P O M 【思路点拨】(1)由二者离心率互为倒数以及椭圆经过点,建立关于a ,b ,c 的方程组从而得到41,33M ⎛⎫
(2)根据题意,设直线PQ的方程为y=k(x﹣3),联立直线与椭圆的方程可得(3k2+1)
x2﹣18k2x+27k2﹣6=0,设出P、Q的坐标,由根与系数的关系的分析求出、的坐标,由向量平行的坐标表示方法,分析可得证明;
(3)设直线PQ的方程为x=my+3,联立直线与椭圆的方程,分析有(m2+3)y2+6my+3=0,设P(x1,y1 ),Q(x2,y2),结合根与系数的关系分析用y1.y2表示出△FPQ的面积,分析可得答案.
(),代入抛物线方程消去x整理得,再设,,进而得,可得直线的方程为,又,,故BD方程化为
高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 例3．设OA 、OB 、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线⇒m+n=1，且OP mOA nOB ==成立；（2）上述条件成立⇒A 、B 、P 三点共线．
【证明】（1）由三点共线⇒m 、n 满足的条件．
若A 、B 、P 三点共线，则AP 与AB 共线，由向量共线的条件知存在实数λ使AP AB λ=，即()OP OA OB OA λ-=-，∴(1)OP OA OB λλ=-+． 令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+且m+n=1．
（2）由m 、n 满足m+n=1⇒A 、B 、P 三点共线．
若OP mOA nOB =+且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-．
则()OP OB m OA OB -=-，即BP mBA =．
∴BP 与BA 共线，∴A 、B 、P 三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-，12BC e e =+，1269CD e e =-，求证：A ，C ，D 三点共线．
【解析】 因为1212121(4)()233
AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=，所以AC 与CD 共线．。
第107课--三点共线问题
第107课三点共线问题基本方法：三点共线问题解题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线.在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.一、典型例题1．已知椭圆22:12x C y +=，41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M三点共线．答案：见解析解析：因为线段RS 的中垂线l 的斜率为12，所以直线RS 的斜率为2-.所以可设直线RS 的方程为2y x m =-+.由222,1,2y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298220x mx m -+-=.设点()11,R x y ，()22,S x y ，()00,P x y .所以1289m x x +=，()1212128222222299m m y y x m x m x x m m +=-+-+=-++=-⋅+=.所以120429x x m x +==，12029y y m y +==.因为0014y =，所以0014y x =.所以点P 在直线14y x =上.又点()0,0O ，41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭也在直线14y x =上，所以,,P O M 三点共线.2．已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥ ，求m 的取值范围；（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．答案：（1）2215x y +=；（2）805m <<；（3）在x 轴上存在定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得C 、B 、N 三点共线．解析：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意1b =，又e ===，∴25a =，故椭圆方程为2215x y +=．（2）由（1）得右焦点(2,0)F ，则02m ≤≤，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠）代入2215x y +=，得2222(51)202050k x k x k +-+-=，∴220(1)0k ∆=+>，设1122(,),(,),A x yB x y 则21222051k x x k +=+，212220551k x x k -=+，且1212(4)y y k x x +=+-，2121()y y k x x -=-．∴11221212(,)(,)(2,)MA MB x m y x m y x x m y y +=-+-=+-+ ，2121(,)AB x x y y =-- ，由()MA MB AB +⊥ ，得()0MA MB AB +⋅= ，则12211221()(2)()()()0MA MB AB x x m x x y y y y +⋅=+--++⋅-= ，即12211221(2)()(4)()0x x m x x k x x k x x +--++-⋅-=，即2222220202(4)05151k k m k k k -+-=++，得2085m k m =>-，所以805m <<，∴当805m <<时，有()MA MB AB +⊥ 成立．（3）在x 轴上存在定点N ，使得C 、B 、N 三点共线．依题意11(,)C x y -，直线BC 的方程为211121()y y y x x y x x +=---，令0y =，则121122112121()N y x x y x y x x x y y y y -+=+=++， 点,A B 在直线:(2)l y k x =-上，∴1122(2),(2)y k x y k x =-=-，∴122112************(2)(2)22()(2)(2)()4N y x y x k x x k x x kx x k x x x y y k x k x k x x k +-⋅+-⋅-+===+-+-+-222222205202255151220451k k k k k k k k k k -⋅-⋅++==⋅-+，∴在x 轴上存在定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得C 、B 、N 三点共线．二、课堂练习1．抛物线2:4C y x =，已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x 轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由.答案：点,,A Q O 共线，理由见解析解析：设直线:l y kx m =+，联立24y x y kx m⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()222240k x mk x m +-+=(*)由()()2222441610mk m k mk ∆=--=-=，解得1m =，则直线1:l y kx =+，得10,P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又P 关于点B 的对称点为Q ，故211,2Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时，(*)可化为222120k x x k -+=，解得21x k =，故12y kx k k =+=，即212,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2OA OQ k k k ==，即点,,A Q O 共线.2．已知椭圆22143x y +=，点F 是椭圆的右焦点.是否在x 轴上存在定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于,A B 两点.设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.答案：存在定点()4,0D 满足条件，理由见解析解析：由题意易知直线l 斜率不为0.设直线l 方程为x my t =+，(),0D t ，联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2223463120m y mt y t ++⋅+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,E x y -，则122212263431234mt y y m t y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，且0∆>，由,,A F E 三点共线有()()2112110x y x y -+-=，即()()1212210my y t y y +-+=，()22231262103434t mt m t m m --∴⋅+-⋅=++，解得4t =，∴存在定点()4,0D 满足条件.三、课后作业1.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点()1,0-，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .证明：,,B F D 三点共线.解析：依题意，直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为()10x my m =-≠，由214x my y x=-⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 整理得2440y my -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()11,D x y -，且12124,4y y m y y +==.又直线BD 的方程为()122221y y y y x x x x +-=--，即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，令0y =，得1214y y x ==.所以点()1,0F 在直线BD 上，即,,B F D 三点共线.2．已知椭圆:E 22162x y +=，其右焦点为F ，过x 轴上一点()3,0A 作直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点，设(1)AP AQ λλ=> ，过点P 且平行于y 轴的直线与椭圆E 相交于另一点M ，试问,,M F Q 是否共线，若共线请证明；反之说明理由.答案：,,M F Q 三点共线，理由见解析解析：设()11,P x y ，()22,Q x y ，则11(3,)AP x y =- ，22(3,)AQ x y =- ，由已知得方程组()12122211222233162162x x y y x y x y λλ-=-⎧⎪=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎪⎩，注意到1λ>，解得2512x λλ-=，因为()()112,0,,F M x y -，所以11211211(2,)((3)1,),,22FM x y x y y y λλλλλ--⎛⎫⎛⎫=--=-+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又22(2,)FQ x y =- 21,2y λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以FM FQ λ=- ，从而三点共线.3．已知椭圆22:1x y E +=，过定点()3,4P -且斜率为k 的直线交椭圆E 于不同的两点,M N ，在线段MN 上取异于,M N 的点H ，满足PMMHPN NH =，证明：点H 恒在一条直线上，并求出这条直线的方程.答案：210x y -+=，证明见解析解析：设()()()112200,,,,,M x y N x y H x y ，由PMMHPN NH =，得01122033x x x x x x -+=+-，整理可得()1212012236x x x x x x x ++=++设直线():3434l y k x kx k =++=++，联立2234132y kx k x y =++⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()()2222363433460k x k k x k +++++-=由题0∆>，∴()12263432k k x x k -++=+，()21223346k x x k +-=+，则22122218241812122463232k k k k x x k k --++-++==++，()()22121222692416125472728423+3232k k k k k x x x x k k ++---++==++，∴072846710312241212k k x k k k++===-+---，而P 在l 上，则001053433411212k y kx k k k k k =++=-+++=-+--，∴00210x y -+=，即H 恒在直线210x y -+=上.。
第2节 共线向量之三点共线
第2节共线向量之三点共线知识梳理1、三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t)·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 2．结论(1)P 为线段AB 的中点⇔ OP ＝12( OA ＋OB )；(2)G 为△ABC 的重心⇔ GA ＋ GB ＋GC ＝0.(3)若|a ＋b |＝|a －b |，以a ，b 为邻边的平行四边形的形状是矩形 3．三角形三心：内心(三条角平分线交点）、外心（三条垂直平分线交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三条高的交点）。
1．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若)(31++=(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心2.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 3.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若⋅+)(=⋅+)(=⋅+)(= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心4.已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ, ),0(+∞∈λ. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 5．三个不共线的向量,,满足+⋅=+⋅)=+⋅ 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心6.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若++= 0, 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心做一做1．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．2.已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 4．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D5．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7、在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，AD=2DB，CD =13CA+x AC,则x =_______ 8．在△ABC 中，AN=12NC，P 为BN 上一点， AP=29AC+x AB,则x =_______9.10．作业：1．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC的面积的比值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B2.M 为△ABC 变BC 上任意一点，N 为AM 的中点， AN=x AB+y AC,则x +y =_______3.4.第2节共线向量之三点共线答案答案：做一做1.[答案]－12.[答案]k＝±1.3.B4.B5.B6.B7.238.1 39.10.作业：1.B2.123. 4.。
三点共线问题3
高考数学优质专题（附经典解析）三点共线问题基本方法：三点共线问题解题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线.在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.一、典型例题1．已知椭圆22:12x C y +=，41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为12且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M 三点共线．2．已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =．过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．二、课堂练习1．抛物线2:4C y x =，已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x 轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由.2．已知椭圆22143x y +=，点F 是椭圆的右焦点. 是否在x 轴上存在定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于,A B 两点.设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.三、课后作业1. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点()1,0-，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . 证明：,,B F D 三点共线.2．已知椭圆:E 22162x y +=，其右焦点为F ，过x 轴上一点()3,0A 作直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点，设(1)AP AQ λλ=>，过点P 且平行于y 轴的直线与椭圆E 相交于另一点M ，试问,,M F Q 是否共线，若共线请证明；反之说明理由.3．已知椭圆22:132x y E +=，过定点()3,4P -且斜率为k 的直线交椭圆E 于不同的两点,M N ，在线段MN 上取异于,M N 的点H ，满足PMMHPN NH =，证明：点H 恒在一条直线上，并求出这条直线的方程.。
专题06三点共线-2020年高考数学多题一解篇(文理通用)(解析版)
2020年高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之三点共线篇【知识储备】 1、共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa 。
2、A ，B ，C 三点共线，O 为A ，B ，C 所在直线外一点，则OA →＝λOB →＋μOC →且λ＋μ＝1。
特别，当A 为线段BC 中点时，OA →＝12OB →＋12OC →。
3．向量共线的坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0。
提示：a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0。
【走进高考】【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uuu r ，120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，则C 的离心率为____．【答案】2【解析】法一：由1F A AB =uuu r uuu r可得1，，F A B 三点共线且A 为线段1F B 的中点，由题意知F 1，F 2的坐标分别为(,0),(,0)-c c ，设A 点的坐标为(,）-b x x a ，B 点的坐标为11(,）x y ，由1F A AB =uuu r uuu r 可得11(,(,）=）+--+b bx c x x x y x a a， 解得B 点的坐标为2(2,）+-b x c x a ，所以1222=(22,),2,（）+-=-u u u r u u u u r b bF B x c x F B x x a a，又120F B F B ⋅=u u u r u u u u r ， 则有22242(22)0++=b x x c x a（1），又2=(2)-⨯+b bx x c a a 可得4=-c x ，代入（1）式得223=b a ，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 法二：如图，由1,F A AB =u u u r u u u r得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=o又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为221()1(3)2c bea a==+=+=．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB=和1OA F A⊥，从而可以得到1AOB AOF∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA∠=∠=∠=o从而由tan603ba=︒=可求离心率.【例】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3AP PB=u u u r u u u r，求|AB|．【答案】（1）3728y x=-；（2413【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y=+．（1）由题设得3,04F⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x+=++，由题设可得1252x x+=．由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t+-+=，则1212(1)9tx x-+=-．从而12(1)592t--=，得78t=-．所以l的方程为3728y x=-．（2）法一：由题意设P点的坐标为(,0）x，则1122=(,),,（）--=-u u u r u u u rAP x x y PB x x y，由3AP PB=u u u r u u u r可得123y y=-．由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t-+=．所以122y y+=．从而2232y y-+=，故211,3y y=-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =．法二：过A 点、B 点分别向x 轴作垂线，垂足分别为M ，N ，易知AMP BNP ∆≈∆，由3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-．下同法一。
初中数学竞赛专题选讲-三点共线
初中数学竞赛专题选讲三点共线一、内容提要1. 要证明A ，B ，C 三点在同一直线上， A 。
B 。
C 。
常用方法有：①连结AB ，BC 证明∠ABC 是平角②连结AB ，AC 证明AB ，AC 重合③连结AB ，BC ，AC 证明 AB ＋BC ＝AC④连结并延长AB 证明延长线经过点C2. 证明三点共线常用的定理有：① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半⑤ 两圆相切，切点在连心线上⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上二、例题例1.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点P 是形内的任一点，PM ⊥AB ，PN ⊥CD求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：过点P 作EF ∥AB ， ∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180∵PM ⊥AB ，PN ⊥CD∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180∴ M ，N ，P 三点在同一直线上例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上已知：平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，O 是AC 和BD 的交点求证：M ，O ，N 三点在同一直线上证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线∴MO ∥AB ，NO ∥AB根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行∴ M ，O ，N 三点在同一直线上证明二：连结MO 并延长交BC 于N， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB在△CAB 中∵AO ＝OC ，ON ，∥AB ∴BN ，＝N ，C ，即N ，是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点，∴点N ，和点N 重合∴ M ，O ，N 三点在同一直线上例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ，∠APB ＝Rt ∠连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上 例4.在平面直角坐标系中，点A 关于横轴的对称点为B ，关于纵轴的对称点是C ，求证B 和C 是关于原点O 解：连结OA ，OB ，OC ∵A ，B 关于X 轴对称， ∴OA ＝OB ，∠AOX ＝∠BOX 同理OC ＝OA ，∠AOY ＝∠COY ∴∠COY ＋∠BOX ＝90X ∴B ，O ，C 三点在同一直线上 ∵OB ＝OC∴ B 和C 是关于原点O 的对称点 例5.已知：⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过点B 的直线EF 分别交⊙O 1和⊙O 2于E ，F 。
在圆中利用三点共线求最值
２０２３年６月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀在圆中利用三点共线求最值◉甘肃省白银市景泰县第四中学㊀周振华㊀㊀摘要:最近几年,在圆中讨论线段长的最大值或最小值问题越来越常见,而学生解决这类问题的能力依然不足．在这一矛盾前提下,探索求与圆有关的线段最值的方法显得尤为重要．本文中以圆的有关知识为基础,尝试利用三点共线的方法解决与圆有关的线段最值问题．关键词:圆;三点共线;最值㊀㊀圆是中考重点考查的内容,其涉及的知识点非常多,极易综合起来形成压轴题．本文中选择求线段最值这一压轴题的常考形式,尝试利用三点共线加以解决．之所以如此,一方面是为了不断拓展与圆的综合,另一方面是为了呈现更丰富的解决问题策略,尤其是在探究解决策略的过程中帮助学生逐渐形成动态观念．１三点共线理论模型解析三点共线是数学几何部分非常重要的内容,也是本文中讨论求线段长最值的方法．但是,很多学生仍然存在 为什么三点共线的情况下线段才最短 等疑问．鉴于本文是讨论如何利用三点共线求与圆有关的线段最值,三点共线是理论基础,所以有必要在此对三点共线的理论模型进行解析．１．１非圆中的点形成三点共线如图１(１),直线L 外有A ,B 两点,现需在直线L 上找一点O ,使得A O ＋B O 的值最小．如果在L 上任意取一点O 并连接A O ,B O ,如图１(２)所示,那么此时A O ＋B O 的值是否最小如图１(３),作点A 关于直线L 的对称点A ᶄ并连接A ᶄB ,此时A ᶄ,O ,B 在同一直线上,那么A O ＋B O 的值是否最小?图１现将图１(２)(３)综合得到图１(４)并连接O A ᶄ,A B ,可得到әA ᶄO B ．在该三角形中,由 三角形的两边之和大于第三边 ,可知O A ᶄ＋O B ＞A ᶄB ．换言之,只有当A ᶄ,O ,B 三点共线时,A O ＋B O 才会有最小值．１．２平面内的点与圆上一点形成三点共线此时,应存在三种不同的情况:(１)如图２(１),当点P 在☉O 的内部,过点P 和点O 的直线交☉O 于点A ,B ,则P A 为点P 到☉O 上一点的最小值,P B 为点P 到☉O 上一点的最大值;(１)㊀㊀㊀(２)图２(２)如图２(２),当点P 在☉O 的外部,过点P 和点O 的直线交☉O 于点A ,B ,则P A 为点P 到☉O 上一点的最小值,P B 为点P 到☉O 上一点的最大值;(３)如果点P 在☉O 上,那么点P 与☉O 上一点的距离的最大值就是☉O 的直径的长,最小值为０．２三点共线求最值的类型２．１利用三点共线求最大值图３例１㊀(２０２０ 山东泰安)如图３,A ,B 两点的坐标分别是(２,０),(０,２),C 为平面直角坐标系中的一点,且B C ＝１,M 是线段A C 的中点,连接O M ,则O M 的最大值为(㊀㊀)．A．２＋１㊀㊀㊀㊀B ．２＋１２C ．２２＋１D．２２－１２解析:如图４,由于C 为平面直角坐标系中的一５８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年６月下半月㊀㊀㊀点,且B C ＝１,因此点C 在☉B 上,且☉B 的半径为１．在x 轴负半轴上取点D ,使得O D ＝O A ＝２,并连接C D ．由AM ＝C M ,O A ＝O D ,可得O M 是әA C D 的中位线,则O M ＝１２C D ．所以,当C D 的长为最大值时,O M 的长最大．图４当D ,B ,C 三点共线,即点C 在线段D B 的延长线上时,线段C D 的长最大,此时由O B ＝O D ＝２,且øB O D ＝９０ʎ,可得B D ＝２２,则C D ＝２２＋１,于是O M ＝１２(２２＋１)＝２＋１２．故O M 的最大值是２＋１２．故答案为:B ．点评:本题首先根据题意确定点C 的运动轨迹,然后将D 视为☉B 外的一点,根据图２(２)即可分析出当D ,B ,C 三点共线时C D 的长最大,进而根据中位线定理得到此时O M 的长最大．２．２利用三点共线求最小值图５例２㊀(２０２０ 广东)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最近时扑捉．把墙面㊁梯子㊁猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图５所示,øA B C ＝９０ʎ,点M ,N 分别在射线B A ,B C 上,MN 长度始终保持不变,MN ＝４,E 为MN 的中点,点D 到B A ,B C 的距离分别为４和２．在此滑动过程中,猫与老鼠的距离D E 的最小值为．图６解析:如图６所示,连接B D ,B E ．根据题意,易得㊀B D ＝２２＋４２＝２５．由E 是MN 的中点,可得㊀㊀㊀E M ＝N E ．由øA B C ＝９０ʎ,且MN ＝４,可得B E ＝１２MN ＝１２ˑ４＝２．所以,点E 在以B 为圆心,２为半径的圆上．因此,当E ,B ,D 三点共线时,D E 的值最小,此时D E ＝２５－２．故答案为:２５－２．点评:本题主要考查了在圆中借助三点共线讨论线段长的最小值．解决这类问题,关键就是灵活运用所学知识分析点E 的运动轨迹,尤其是利用三点共线找准点E 的最佳位置．３总结与启示通过上述两道中考题的解析发现,在圆中利用三点共线求最值需经过以下步骤:首先,根据点的不确定性分析出 隐形圆 ．如图４㊁图６中都利用了 隐形圆 分析问题,这是因为点C 或点E 的位置在变化的过程中B C 或B E 的长保持不变,这完全符合圆的定义,所以这类问题中往往包含着一个 隐形圆 ．其次,分析另一个点是在 隐形圆 内或外,还是在 隐形圆 上[１]．然后根据上文 平面内的点与圆上一点形成三点共线 中的三种情况对号入座,即可分析出线段长最小值或最大值的情况．当然,解决这类问题还需要空间想象能力及动态观念,毕竟像C ,E 这样的点的位置是在不断变化的,需根据它们的动态变化特点想象出具体情况㊁分析出符合题意的点的位置[２]．所以,也启示教师在日常教学中要注意学生这方面素养的培养．处于初中阶段的学生,具备了一定的空间想象能力,对他们分析以上类型的动态问题提供了一定的帮助．但是,这个阶段的空间想象能力也存在一定的局限性,这主要是因为动态观念对其产生了束缚,使得很多学生在对图形的运动情况进行想象之后,无法画出与之匹配的图形．此时,教师可借助几何画板等软件将学生原本想象的内容直观地呈现出来,如几道例题中三点共线为什么可求得最小值 等,让学生在呈现的过程中逐步产生动态观念,帮助学生产生解题思路．总而言之,圆的问题在考查时形式多样,在圆中利用三点共线求最值只是其中一类．要想学生的综合素养不断提升,教师在教学时不能只停留在知识传授与巩固方面,要始终不断地培养学生的素养．参考文献:[１]李玉荣．三点共线破解最值[J ]．中学数学,２０１３(１０):１３Ｇ１６．[２]徐洪金,丁冬．例谈圆中的最值问题求解策略[J ]．理科考试研究,２０２１(１０):１６Ｇ１８．Z ６８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
平面向量中三点共线定理的应用
平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一)对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ,使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二)三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ,存在唯一的一对实数x ,y 使得：OP xO A yOB =+ 且.OP xO A yOB =+ 例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+- 1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+ 8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝2，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋2μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即APPM＝4.10、证明： 因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OPx=∴=1OQ yOBOB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQx y x y ∴=+=+∴=+又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y∴+=11x y∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++=,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++=∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴=321111AP a b∴=+12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC=+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y xx y∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。
专题：利用三点共线结论解平面向量问题——高三数学二轮专题复习
专题：利用三点共线结论解平面向量知识梳理：三点共线定理 OC →＝ (1－t )OA →＋tOB →的证明： 若OA →＝a ，OB →＝b 是平面内两不共线向量，对于平面内任一向量OC →＝c ，存在一对实数λ，μ使c ＝λa ＋μb .证明A 、B 、C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.证明：（必要性）若A ，B ，C 三点共线，则存在实数t ，使得AC →＝tAB →， 即OC →－OA →＝t (OB →－OA →)所以OC →＝ (1－t )OA →＋tOB → 令λ＝1－t ，μ＝t ，则有c ＝λa ＋t b ，即λ＋μ＝1.（充分性）若λ＋μ＝1，则c ＝λa ＋(1－λ)b 即c －b ＝λ(a －b ) 即OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)即BC →＝λBA →.所以A 、B 、C 三点共线．(思考：当t=21时，会发现A,B,C 是什么情况？)典型例题：例1：（全国高考）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝－43AB →－13AC →例2：已知平面内的三点A ，B ，O 不共线，且AP →＝λOA →＋μOB →，则A ，P ，B 三点共线的一个必要不充分条件是( )A ．λ＝μB ．|λ|＝|μ|C ．λ＝－μD ．λ＝1－μ例3：如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.例4：如图，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M,N ，若N nA C A M mA B A==,,则m+n 的值为_______．练习：1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，且A ，B ，C 三点共线，则S 13＝________．2、［2021•江苏卷，10］设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3、（2021华美）在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为4、(2021·郑州质检)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且A P →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+112m AB →＋211B C →，则实数m 的值为________.5、（2021华美）A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是__________.专题：利用三点共线结论解平面向量例1：[解析] 由BC →＝3CD →知，B 、C 、D 三点共线，从四个选项知系数和为1的仅有A ，故选A.例2：解析 A ，P ，B 三点共线，即存在一个实数m ，使得AP →＝mAB →，∵AP →＝λOA →＋μOB →，∴mAB →＝λOA →＋μOB →，即m (OB →－OA →)＝λOA →＋μOB →，∴(m －μ)OB →＝(m ＋λ)OA →，∵A ，B ，O 三点不共线，∴m －μ＝0，m ＋λ＝0，即λ＝－μ＝－m ，∴A ，B ，P 三点共线的充要条件为λ＝－μ，结合各选项知A ，B ，P 三点共线的一个必要不充分条件为|λ|＝|μ|.故选B. 例3：解析 由于B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点， 所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.例4：解析 解法一：AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2.解法二：MN 绕O 旋转，当N 与C 重合时，M 与B 重合，此时m ＝n ＝1，∴m ＋n ＝2.练习：1、[解析] 由3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，得OA →＝a 53OB →＋a 93OC →因为A ，B ，C 三点共线，所以a 53＋a 93＝1，即a 5＋a 9＝3，所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13（a 5＋a 9）2＝392.所以S 13＝3922、解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.（提示，过A 作DE 平行线交BC 延长线于点F,利用B,C,F 共线）3、 答案1/34、 解析 设BP →＝λBN →＝λ(AN →－AB →)＝λ⎝⎛⎭⎫13 AC →－AB →＝－λAB →＋λ3 AC →(0≤λ≤1)， ∴A P →＝AB →＋B P →＝(1－λ) AB →＋λ3AC →. 又A P →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211 BC →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211(AC →－AB →)＝mAB →＋211AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＝211，m ＝1－λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，∴m ＝511.5、【答案】(1，＋∞) [设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1。
21-22版：微专题3 利用共线向量巧解三点共线（步步高）
例 4 如图，平行四边形 ABCD 中，点 P 在线段 AB 上，且APPB＝m， Q 在线段 AD 上，且QAQD＝n，BQ 与 CP 相交于点 R，求RPCR的值.
解 设RPRC＝λ，则PPRC＝λ＋λ 1，B→R＝λ＋λ 1B→C＋1－λ＋λ 1B→P. ∵APBP＝m，∴B→P＝m＋1 1B→A， 且B→R＝λ＋λ 1B→C＋λ＋1 1·m＋1 1B→A. 又QAQD＝n，∴A→Q＝n＋n 1A→D＝n＋n 1B→C， ∵B→Q＝B→A＋A→Q，即B→Q＝n＋n 1B→C＋B→A.
由①②两式可得λ1＝－4 1λ＝－213－x，x， ∴A→G＝37a＋17b.
∴ x＝76， λ＝37，
反思 感悟
本题的解法中由两组三点共线(F，G，B以及E，G，C三点 在一条直线上)，利用平面内三点共线构造方程组求解，避 免了用向量的加法和平面向理基本定理解答本题的复杂运算， 达到了简化解题过程的效果.
例 3 如图，在△OAB 中，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B，AD 与 BC 交于 M 点， 设O→A＝a，O→B＝b.
(1)用 a，b 表示O→M；
解 因为B，M，C三点共线， 所以存在实数 m 使得O→M＝mO→C＋(1－m)O→B
＝m·14O→A＋(1－m)O→B＝14ma＋(1－m)b；
第六章 平面向量初步
先利用共线向量的思想，佐证出关于三点共线问题的解决方法， 启迪了思维，拓展了解题思路，同时，通过具体例题，强化新结论 的应用.
一、共线向量定理的性质
例 1 试证明如下问题.如图，A，B，C 是平面内三个 点，P 是平面内直线 AB 外任意一点，若点 C 在直线 AB 上，则存在实数 λ，使得P→C＝λP→A＋(1－λ)P→B.
最值问题(三点共线)
DC BA ABC DA B CD最值问题(1)1、(11丰台一摸)已知:在△ABC中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.图1 图2 图32、已知：24PA PB ==，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P D 、两点落在直线AB 的两侧.⑴ 如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；⑵ 当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB ∠的大小.3、（2011，22，12分）在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ．（1）如图（1），当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ．△A ′CD 是 三角形；（2）如图（2），设AC 中点为E ，A ′B ′中点为P ，AC =a ，连接EP ，当θ= °时，EP 长度最大，最大值为 ．图1 图24、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =α，点P 在△ABC 的部．A ′AB B ′CE PθAθA、B ′BC(1) 如图1，AB =2AC ，PB =3，点M 、N 分别在AB 、BC 边上，则cos α=_______， △PMN 周长的最小值为_______；(2) 如图2，若条件AB =2AC 不变，而PA =2，PB =10，PC =1，求△ABC 的面积； (3) 若PA =m ，PB =n ，PC =k ，且cos sin k m n αα==，直接写出∠APB 的度数．5、（北大附初二期末试卷）如图，在平面直角坐标系O x y 中，直线2y x =+分别交x轴、y轴于C、A两点。
高中数学圆锥曲线系统讲解第26讲《三点共线问题》练习及答案
第26讲 三点共线问题知识与方法在解析几何中，三点共线一般用斜率相等或向量共线来计算：（1）斜率相等：A 、B 、C 三点共线AB AC k k ⇔=或直线AB 、AC 的斜率都不存在； （2）向量共线：A 、B 、C 三点共线AB AC ⇔∥.典型例题1.（★★★★）已知曲线()()22:528C m x m y −+−=()m ∈R .（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点分别为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A 、G 、N 三点共线. 【解析】（1）原曲线方程可化为2218852x y m m +=−−，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，所以88052m m >>−−，解得：752m <<. （2）当4m =时，曲线C 的方程为2228x y +=，由题意，()0,2A ，()0,2B −，联立22428kx x y y ++==⎧⎨⎩消去y 整理得：()222116240k x kx +++=，判别式()232230k ∆=−>，故232k >，设()11,4M x kx +，()22,4N x kx +，由韦达定理，1221621k x x k +=−+，1222421x x k =+， 直线MB 方程为1162kx y x x +=−，令1y =解得：1136x x kx =+，所以113,16x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭故113,16x AG kx ⎛⎫=−⎪+⎝⎭，()22,2AN x kx =+要证A 、G 、N 三点共线，只需证AG 与AN 共线， 即证()1221326x kx x kx +=−+成立，化简得：()121246kx x x x =−+①由1221621kx x k +=−+和1222421k x x k =+可得式①成立，所以A 、G 、N 三点共线.2.（★★★★）已知A 、B 分别为曲线222:1x C y a+=()0,0y a ≥>与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B且与x 轴垂直，S 为l 上异于B 的一点，连接AS 交曲线C 于点T . （1）若曲线C 为半圆，且T 为圆弧AB 的三等分点，求S 点的坐标；（2）如下图所示，M 是以BS 为直径的圆与线段BT 的交点，试问：是否存在a ，使得O 、M 、S 三点共线?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）当曲线C 为半圆时，1a =，由点T 为圆弧AB 的三等分点得60BOT ∠=︒或120°，当60BOT ∠=︒时，30SAB ∠=︒，又2AB =，所以在SAB △中，tan303SB AB =⋅︒=，故S ⎛ ⎝⎭当120BOT ∠=︒时，同理可求得点S 的坐标为(，综上所述，点S 的坐标为⎛ ⎝⎭或( （2）解法1：由题意，(),0A a −，(),0B a ，直线AS 不与坐标轴垂直，可设其方程为x my a =−()0m ≠，联立2222x a x m a ay y ⎧⎨+==−⎩消去x 整理得：()22220m a y may +−=，解得：0y =或222mam a+，所以222T may m a =+，从而()2222T T a m a x my a m a −=−=+，故()2222222,a m a ma T m a m a ⎛⎫−⎪ ⎪++⎝⎭， 联立x x amy a ⎧⎨==−⎩解得：2a y m =，所以2,a S a m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为点M 在以BS 为直径的圆上，所以SM BM ⊥，又M 是圆与线段BT 的交点，所以SM BT ⊥，故O 、M 、S 三点共线等价于OS BT ⊥，即()222222221OS BTmam a k k m a m a am a +⋅=⋅=−−−+，结合0a >可解得：a =，所以存在a =，使得O 、M 、S 三点共线.解法2：显然AS 的斜率存在且大于0，故可设直线AS 的方程为()y k x a =+，联立()ay k x x a ⎧⎪⎨==+⎪⎩解得：2y ka =，所以(),2S a ka ，故直线OS 的斜率22OS ka k k a ==， 设()00,T x y ，则220021x y a +=，所以220021x y a=−，从而202200022222000011AT BT BTx y y y a k k k k x a x a x a x a a−⋅=⋅=⋅===−+−−− 所以直线BT 的斜率为21BT k a k=−，因为点M 是线段BT 与以BS 为直径的圆的交点，所以BT SM ⊥，从而211BT MS MS k k k a k=−⋅=−，故直线MS 的斜率为2MS k a k = 而O 、M 、S 三点共线等价于OS MS k k =，即22a k k =，所以a =，故存在a =使得O 、M 、S 三点共线.强化训练3.（★★★★）已知椭圆22154x y +=的右焦点为F ，设直线:5l x =与x 轴的交点为E ，过点F 的直线1l 与椭圆交于A 、B 两点，M 为线段EF 的中点.（1）若直线1l 的倾斜角为45°，求ABM △的面积S ；（2）过点B 作BN l ⊥于点N ，证明：A 、M 、N 三点共线.【解析】（1）由题意，()5,0E ，()1,0F ，()3,0M ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 若直线1l 的倾斜角为45°，则其方程为1y x =−，联立221541x y y x =−⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：298160y y +−=，判别式()284916640∆=−⨯⨯−=故12121299ABM S FM y y y y =⋅⋅−=−==△.（2）证法1：当1l y ⊥轴时，易得A 、M 、N 三点都在x 轴上，故A 、M 、N 三点共线， 当1l 不与y 轴垂直时，设其方程为1x my =+，联立221541x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩ 消去x 整理得：()22458160m y my ++−=，易得判别式0∆>，由韦达定理，122845my y m +=−+，1221645y y m =−+()13,MA x y =−，因为()25,N y ，所以()22,MN y =，要证A 、M 、N 三点共线，只需证MA 与MN 共线，即证()12132x y y −=，即()121320x y y −−=，也即()1211320my y y +−−=，故只需证()121220my y y y −+=而()1212221682204545m my y y y m m m ⎛⎫⎛⎫−+=⋅−−⋅−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以A 、M 、N 三点共线. 证法2：当1l y ⊥轴时，易得A 、M 、N 三点都在x 轴上，故A 、M 、N 三点共线， 当1l 不与y 轴垂直时，设其方程为1x my =+，联立221541x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩ 消去x 整理得：()22458160m y my ++−=，易得判别式0∆>，由韦达定理，122845m y y m +=−+，1221645y y m =−+ 由题意，()25,N y ， 所以()()()()()()112112121212111123213232232323AM MN y x y y my y y y my y y y k k x x x x −−−+−+−−=−===−−−− 而()1212228162204545m y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫+−=⋅−−⋅−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故0AM MN k k −=，即AM MN k k =，所以A 、M 、N 三点共线.【反思】证明三点共线，常用证向量共线或证斜率相等的方法. 4.（★★★★）已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的右焦点为F ，椭圆的上顶点和两个焦点的连线构成一.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线:l x my q =+()0m ≠与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，设点A 关于椭圆长轴的对称点为1A ，试求1A 、F 、B 三点共线的充要条件.【解析】（1）由题意，2222122a cc b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪−=⎩，解得：2a =，b 1c =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1）知()1,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()111,A x y −()1111,FA x y =−−，()221,FB x y =−−，1A 、F 、B 三点共线的充要条件是1F A 与FB 共线，即()()()122111x y x y −=−−，整理得：()1221120x y x y y y +++=①联立22143x my q x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()2223463120m y mqy q +++−=判别式()()()2222223643431248340m q m q m q ∆=−+−=+−>，所以22340m q +−>②，由韦达定理，122634mq y y m +=−+，212231234q y y m −=+，所以()()()()()()122112122112121221x y x y y y my q y my q y y y my y q y y +++=+++−+=+−+()()()()2222312166403434m q q mq m q m m −+−−−===++因为0m ≠，所以4q =，代入式②得：24m >，即2m > 故A 、F 、B 三点共线的充要条件是4q =且2m >.。