2018高考一轮江苏数学(文)(练习)第2章第11课函数与方程Word版含答案
(完整word版)2018高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4 •作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5 •如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：锥体的体积Y 其中药是锥体的底面积，h是锥体的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合A｛叩丄已，pi」血約，那么MU__________________ .【答案】｛1 , 8｝【解析】分析：根据交集定义■- : ：■- - . \ ：-\ ■ - .求结果•详解：由题设和交集的定义可知：点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小2. 若复数/满足I ■ z M2：，其中i是虚数单位，则z的实部为___________ .【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果1 +2i详解：因为id 1+匸，—:—-2 L,则2的实部为2.I点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数a亠hLfAbER.｝的实部为乩、虚部为tv模为（齐总、对应点为d共轭复数为乞-呼.•3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为9 011（第\题）【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数详解：由苹叶图可知t 5位裁判打出的分数分别为89.90,91,91 ,故平均数为B9 - S9 + 90 + 91 + 91-------- ------------- = 90□be + 3C + + xJ点睛：的平均数为n4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ________ .I ------------------------- 1”1!I I門![While 7<6 ；:I十2；:S—2S ；；End While ；；Print S \…〔第WW…【答案】8【解析】分析：先判断i■:二T是否成立，若成立，再计算 .，若不成立，结束循环，输出结果•详解：由伪代码可得■红7总-4 因为，所以结束循环，输出=二|点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小5. 函数2屮曾'的定义域为 _______________ .【答案】［2, +R)【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域详解：要使函数「(川有意义，则log2x 110,解得X-2,即函数的定义域为［工点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式(组)的问题6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为【答案】10【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率•详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为10点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1) 列举法•(2) 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求采用树状图法••对于基本事件有有序”与无序”区别的题目，常(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化⑷排列组合法(理科)：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目7.已知函数y ■- sin(2x + < P --的图象关于直线对称，则T的值是【答案】【解析】分析：由对称轴得qj - --4 k<k € Z)，再根据限制范围求结果•详解：由题意可得:1，所以2 兀丸n +甲■ ■十上旺(p - ― + kz(k毛Z)，因为-、 2 6北...-，所以：.点睛：函数厂加诚曲IB (A>0, 3>0 )的性质：(彷唤-2 乞沁厂八I B；(2)最小正周期I(!)冗朮;(3)由厨為I业■，+求对称轴；(4)由斥+ ］也冬3咒+屮冬；斗求增区间；2 223x兀JX 、由_ + 2kjt ——■+ 2kx(k € £.i求减区间•8.在平面直角坐标系中，若双曲线-=iu >o)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_________ •【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率详解:因为双曲线的焦点F(c.O)到渐近线y = ± :热即bx ±av= 0的距离为聲寻=7= 0所以b = yc ,因此『=c2-b? = c2-|c?= f a = ^c#e = 2.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b,焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为 a.(cos—,0 < x < 2,9.函数［侃满足+ 4) - «x.KxeR)，且在区间(W］上，f(刃二：贝他⑸)的值为|x - - 2 <x< 0h【答案】2【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果•详解：由、•门2得函数世対的周期为4，所以I.讥iH) F I L - \ '，因此.. .1 兀 Qt(f(l5)) = f(^) = cos- = —点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现|；m：的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围•10.如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 _______________ •（第10®）【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，| l r 4所以该多面体的体积为2 —1、〔a -点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.若函数I： . . I ：：_:在•内有且只有一个零点，则：在|上的最大值与最小值的和为【答案】-【解析】分析：先结合三次函数图象确定在隐-閱上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由- 0得—0^ ■:,因为函数啦•在0亠「珂上有且仅有一个零点且f(0)］,所以一品从而函数須在［上单调递增，在［H'J上单调递减，所以轨《.阿躯也・曲诃［-1)血)}7可，附心+姻)丄・| D- 1-4--3.点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件•从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.12. 在平面直角坐标系中，A为直线族■:制上在第一象限内的点，|哄淇；|，以AB为直径的圆C与直线I交于另一点D •若AB 00 = (',则点A的横坐标为_____________ •【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果亂+ 5详解：设|A(aJa)(a >0),则由圆心C为.中点得C(——Q易得|OC.(x-5)(x a)-hyiy-2a) o|,与y■■毀联立解 2得点D的横坐标£ - I」所以疥、聞.所以p I厂遊颅上J上二2-克| £1 + 5 r由.输■ CD = 0得15-a)( 1—-—) + (^2aX2_a) - 0用^2a 3 ■ 0,a ■ 3或a ■ - 1 ,因为Im】，所以£ - |点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法•13. 在|二阳也:中，角km所对的边分别为k"l，m m •心:的平分线交于点D，且.m，则碾::的最小值为__________ •【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值详解：由题意可知，渝込-仏加口+ S ABCL,由角平分线性质和三角形面积公式得ncsinl 20" - ■ I - + 1sin60°，化简得ac " a + + - = I ,因此|2 2 2 A c] [ (T 4a |cWa + c = (4a + + -) = 5-i >5 + 2 h1— - 9,a c a. c * e当且仅当匚J.i 2时取等号，则！(.的最小值为目.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中正”即条件要求中字母为正数卜定”不等式的另一边必须为定值)、等”等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合A ■仪恢■ 2n—l,n €N }, B ■凶％■ E N } •将AUB(的所有兀素从小到大依次排列构成一个数列何J.记S：为数列他丿的前n项和，则使得S n> I2a-—成立的n的最小值为_____________ •【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，贝U -Q- i —w十--十住芒--：；■]占+ 十2(1-右_ 尹七小_22 1-2由驚》也.十]得尹'+ 屮"012(21£+]人少¥-20(2* \T4AQ210 l> ：\k>6所以只需研究是否有满足条件的解，此时\ = [(21-1)十(2 V—I)十…十门叶打]十十于十…十刃[J + f 2, %+1-加+ 1 , m为等差数列项数，且序-化由' ‘I !- 1. ■' r- I ■得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.15.在平行六面体 I ' ■- \1'_' J .中, 一"；I '求证：（1） d 訂..\： （2）平面1 平面AiBC . 【答案】答案见解析【解析】分析：（1 ）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB I A I ，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后 根据面面垂直判定定理得结论 详解：证明：（1）在平行六面体 ABCD-A I B I C I D I 中，AB // A I B I .因为 AB 平面 A 1B 1C , A 1B 1；平面 A 1B 1C , 所以AB //平面A 1B 1C .见类型主要有分段型（如如需需蠶），符号型（如备十曲），周期型（如埠喑）（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA I=AB，所以四边形ABB i A i为菱形,因此AB i丄A I B .又因为AB i 丄B i C i, BC // B1C1,所以AB i丄BC.又因为A I B Q BC=B, A I B平面A i BC, BC 平面A i BC,所以AB i丄平面A i BC .因为AB i ：二平面ABB i A i,所以平面ABB i A i丄平面A i BC.点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明i6.已知为锐角，，^3 5(i)求卜芯领的值；(2 )求• 的值.°7【答案】(i) ■加osPT -25lan2a-tan(tt + B) 2(2)1 + un2atan(<i 十卩) 11【解析】分析：先根据同角三角函数关系得帚抄』，再根据二倍角余弦公式得结果;公式得，再利用两角差的正切公式得结果(2)因为k加为锐角，所以(■: -：-又因为costa+ p）= - ，所以$in（a + p）= Ji - 卩）因此"U42Lum 24因lana，所以un2a 、-(2)先根据二倍角正切详解：解:4sina tana ，t^na3COS<1因为ccsTi 1，所以因此，3曲"■烷(i)因为，所以3 1 - tan3a 丁因此,tan2a - Un（a + 阳 2吨邛）-网"3卩）］■门融亦卩1 5点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1) 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是 配凑”.(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有切化弦”、升幕与降幕”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有: 换”、逆用变用公式”、通分约分”、分解与组合”、配方与平方”等• 17.某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆0的一段圆弧if ( P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已 知圆0的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米•现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地 块形状为矩形 ABCD ，大棚H 内的地块形状为 HF ,要求卢制均在线段上,均在圆弧上.设 0C 与MN 所成的角为耳(第门题)(1 )用卜分别表示矩形 忙益时和■■■■■■ 的面积，并确定林嗟的取值范围； (2)若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚n 内种植乙种蔬菜， 且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为岂胡.求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【答案】 (1)矩形ABCD 的面积为800 (4sin 9cos &+cos B)平方米，△ CDP 的面积为【解析】分析：(1)先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定阪的取值范围；(2)根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根 据单调性确定函数最值取法 •常值代1600 (cos B —in 0cos 9) , sin 1) (2)当详解:解：(1)连结PO并延长交MN于H,贝U PH丄MN，所以OH=10.过O 作OE 丄BC 于E，贝U OE // MN，所以/ COE= 0,故OE=40cos 0 EC=40sin 0,则矩形ABCD 的面积为2><4Ocos0( 40sin0+1O) =800 (4sin 0cos 0+cos 0), △ CDP 的面积为1X2 X40cos 0 (40 -40sin 0) =1600 (cos 0-sin 0cos 0).过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 .I gr令/ GOK= 0,则sin 0= , (0,).4 6r兀当0€ [ 0,-)时，才能作出满足条件的矩形ABCD ,所以sin0的取值范围是[,1).4答：矩形ABCD的面积为800 (4sin0cos 0+cos 0平方米，△ CDP的面积为11600 (cos 0-in 0cos 0) , si n0 的取值范围是[,1).]4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k (k>0),则年总产值为4k >800 (4si n0cos0+cos0) +3kX1600 (cos 0-si n 0cos 0)=8000k (sin 0cos 0+cos 0) , 0€ [ 00,).设 f ( 0) = sin 0cos0+cos 0, 0€[ 0, “)，则卜覚=「屣憑-涂蛙理心=-划用2心H=-加z -斗ii：兀令f⑹0,得0-,当0€ ( 0,)时，，所以f ( 0)为增函数；当0€ (,)时,]；;/：*所以f ( 0)为减函数，因此，当0=时，f ( 0)取到最大值.p7C答：当匸时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题•18. 如图，在平面直角坐标系koy中，椭圆C过点屁',焦点F1(曲切皿新0)，圆O的直径为F』』.（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线I与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线I与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线I与椭圆C交于两点.若的面积为工，求直线I的方程.7i【答案】（1）椭圆C的方程为- +［；圆O的方程为耳（2）①点P的坐标为；②直线I的方程为］；•=,【解析】分析：（1 ）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得即得椭圆方程；（2 ）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标•第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程•详解：解：（1 ）因为椭圆C的焦点为.：•，所以a2 4b2，解得a" - ~ 3,因此，椭圆C的方程为F十严=1・因为圆O的直径为儿叫，所以其方程为宀 f（2）①设直线I与圆O相切于，则，%所以直线1的方程为V =-上& -心+ y0，y=-—X +a,b,可设椭圆C的’-一=l(a ■' b ■■■ O'.又点『b2（黒）在椭圆C上,点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用+ - ?帰 + 36 - 4y 02 0-（ *） 因为直线I 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以鸟=.羽叼卩-4（%' yf ）（茹_ %?）=地代J ・2） = o| • 因为陥％ - °，所以鮭■百矿】•因此，点P 的坐标为匕：.办『②因为三角形OAB 的面积为•，所以丄需■设卜念「■.； ：/：•.：「：： 由（* ）得2% 士（4%丫好 一2）2（吋+泊所以总”广=十：_“「因为 所以解得(^2^)2 49,5瓜■:血-20舍去），则yf ［，因此P 的坐标为 »）设而不求”思想求解;由综上，直线I 的方程为因此，f (x )与g (x )不存在“ S ”点.(2)函数『3I TTK则 fCx) -2ax, g R (x)--.x设 x o 为 f (x )与 g (x )的“ S'点，由 f (x o )与 g (x o )且 f ' (x o )与 g (x o ),得，即得 Inxo---甘八则1 ea . --------- ■ ■T1 2 2(/ ¥当垃■时,--=、满足方程组(*),即k 为f ( X )与g (X )的“ s’点. ^0芒因此，a 的值为I二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的 情况•19•记分别为函数f(x).g(x)的导函数.若存在K ,满足Rg 以血且l (K 』・g 〔加，则称为函数「(X ) 与|券:的一个“ S 点”. (1)证明：函数血r.与 不存在“ S 点”；(2) 若函数- ax 3-l.与Inx 存在“ S 点”，求实数a 的值；(3) 已知函数”闆■」缸，皐代^骂. 对任意a *0,判断是否存在b >0 ,使函数心)与g (心在区间(0*亠上)内x 存在“ S 点”，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) a 的值为(3)对任意a>0，存在b>0，使函数f (x )与g (x )在区间(0, +8)内存在“ S 点” 【解析】分析：(1 )根据题中S 点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论； (2)同(1)根据S 点的定义列两个方程，解方程组可得 a 的值；(3)通过构造函数以及结合S 点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论 •详解：解：(1)函数 f (x ) =x , g (x ) =x 2+2x-2，贝V f' (x ) =1 , g' (x ) =2x+2 .由 f (x ) =g (x )且 f' (x ) = g' (x ),得(x = X' + 2x - 2 (1 = 2x + 2 ，此方程组无解,(3)对任意 a>0，设+乩.因为1. j I |.L _ 1.，且h (x )的图象是不间断的,be" f(x) = - x 2 + a . g(x)=——由 f (x )与 g (x )且 f' (x )与 g' (x )，得be -+ a -——Xbe y (x - 1)所以存在(0, 1),使得h(%) 0,令匕=，则 b>0.函数 则 f(x) = - 2x ,, g'lx}be\x - 1 j，即(** )此时, 满足方程组(** ),即是函数f (x )与g (x )在区间(0, 1)内的一个"S 点”因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f (x )与g (x )在区间(0, +〜内存在"S 点” 点睛: 涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单 调性、 最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底 还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路 20.设卜丿是首项为 ，公差为d 的等差数列，|代是首项为，公比为q 的等比数列. (1)设」.j2,若％ bjub ］对：i 12〃均成立，求d 的取值范围;(2)若 =b 1>0,m€N".c]G(l.V -l，证明：存在乙；K ，使得'"r - 对-I 均成立，并求旧的取 值范围(用％ E 兀表示).【答案】(1) d 的取值范围为 D与2(2) d 的取值范围为MEM 0------- •—I m m,证明见解析。
专题2-11 函数与方程讲-2018年高考数学一轮复习讲练测
【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 若函数f (x )＝x 2－x ＋a 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】Δ＝1－4a >0，解得a <14.2．[教材改编] 函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是________． 【解析】易知函数f (x )单调递增，且f (2)<0，f (3)>0，故存在唯一的零点． 3．[教材改编] 函数f (x )＝x 3－2x 2＋x 的零点是________．【解析】 解方程x 3－2x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0和1.题组二 常错题4．(1)函数f (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上存在零点，则实数a 的取值范围是________； (2)函数f (x )＝x 2－1在区间(－2，2)上零点的个数为________．5．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】二次函数图像的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8<m ≤1.6．若二次函数f (x )＝x 2＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是________． 【解析】Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4.题组一 常考题7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________． ①y ＝e x 2；②y ＝x 2＋1；③y ＝sin x ；④y ＝cos x ； ⑤y ＝ln |x |.【解析】y ＝e x 2，y ＝x 2＋1是偶函数，但没有零点；y ＝sin x 是奇函数，有零点；y ＝cosx ，y ＝ln |x |是偶函数，且有零点．8．函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2－x 2的零点个数为________.【知识清单】1．函数零点所在区间的判定1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2 判断函数零点个数函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是： (1)令f (x )＝0；(2)构造y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )；(3)作出y 1，y 2图像；(4)由图像交点个数得出结论． 3 函数零点的应用函数零点与函数交点关系【考点深度剖析】1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误认为函数图像与x 轴的交点． 2．由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．【重点难点突破】考点1 函数零点所在区间的判定【1-1】函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为_________． 【答案】(1,2)．【1-2】函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,3)【解析】由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 【思想方法】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提醒】函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，不要误为函数上的点． 考点2 判断函数零点个数【2-1】函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为______个． 【答案】2【解析】令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．【2-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是_____【答案】4【思想方法】(1)等价转化思想． (2)数形结合思想【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质 考点3 函数零点的应用【3-1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0【解析】令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图像有两个交点．g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )<0，即ln x <－1，可解得0<x <1e；令g ′(x )>0，即ln x >－1，可解得x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e时，函数g (x )单调递增，由此可知当x＝1e 时，g (x )min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1e <a <0.【3-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1【思想方法】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质【易错试题常警惕】函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围．如：已知集合(){}2,20x y xmx y A =+-+=和(){},10,02x y x y x B =-+=≤≤，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．【分析】A B ≠∅，∴方程组212y x y x mx =+⎧⎨=++⎩，[]0,2x ∈，即函数 ()()211f x x m x =+-+在[]0,2有零点．()010f =>，当()20f ≤，即32m ≤-时，显然AB ≠∅成立．∴实数m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【易错点】忽略变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．【练一练】函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.【答案】 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞。
2018年高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析
2018年高考真题——数学(江苏卷)+Word版含解析【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.9. 函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l 交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.19. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。
2018年高考数学江苏卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共42页） 数学试卷 第4页（共42页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共42页） 数学试卷 第8页（共42页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共42页） 数学试卷 第10页（共42页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档 第二章
1.函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【知识拓展】1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a>0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.(√)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(√)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(√)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(√)1.(教材改编)对于定义域是R的任意奇函数f(x)，下列结论正确的有________.(填序号)①f(x)－f(－x)＞0；②f(x)－f(－x)≤0；③f(x)·f(－x)≤0; ④f(x)·f(－x)＞0.答案③解析①②显然不正确.对任意奇函数f(x)，有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故③正确，④不正确.2.(教材改编)函数y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(|a|)＝3，则f(－a)＝________.答案 3解析若a≥0，则f(－a)＝f(a)＝f(|a|)＝3；若a<0，则f(－a)＝f(|a|)＝3.故对a∈R，总有f(－a)＝3.3.(教材改编)若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.答案 1解析∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴f(－x)＝f(x)对任意x∈R恒成立，∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立，∴1－a＝0，∴a＝1.4.(教材改编)设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图所示，则它在[－1,0]上的解析式为________.答案f(x)＝x＋2解析由题意知f(x)在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)、(0,2)，设f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2.所以f(x)＝x＋2.5.(2016·四川)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又0<x <1时，f (x )＝4x，∴f (12)＝124＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2) ＝－f ⎝⎛⎭⎫52＋f (2) ＝－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0) ＝－2＋0＝－2.题型一 判断函数的奇偶性例1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是________. ①y ＝1＋x 2； ②y ＝x ＋1x ；③y ＝2x ＋12x ；④y ＝x ＋e x .答案 ④解析 ①中的函数是偶函数；②中的函数是奇函数；③中的函数是偶函数；只有④中的函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0的奇偶性.解 当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x ).∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f (－x )＝－f (x ). ∴函数f (x )为奇函数.思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是________.①y ＝1x ；②y ＝lg|x |； ③y ＝(x －1)2；④y ＝2x .(2)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)＝________. 答案 (1)② (2)3解析 (1)②中，函数y ＝lg|x |的定义域为{x |x ≠0}且lg|－x |＝lg|x |， ∴函数y ＝lg|x |是偶函数.(2)∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，∴－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，得g (1)＝3. 题型二 函数的周期性例2 (1)(2016·淮安模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______. 答案 (1)0 (2)2.5解析 (1)由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)， ∴f (x )的周期为4，∴f (2 017)＝f (1)，f (2 019)＝f (3)＝f (－1)， 又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0， ∴f (2 017)＋f (2 019)＝0.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x ).故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5).∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5. 引申探究例2(2)中，若将f (x ＋2)＝－1f (x )改为f (x ＋2)＝－f (x )，其他条件不变，则f (105.5)的值为________. 答案 2.5解析 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数的周期为4(下同例题).思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________. 答案 339解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016) ＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1，f (2 018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝339. 题型三 函数性质的综合应用 命题点1 解不等式问题例3 (1)(2016·南通模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是____________.(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______.答案 (1)(13，23) (2)(－1,4)解析 (1)因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)<f (13)，所以|2x －1|<13，所以13<x <23.(2)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4. 命题点2 求参数问题例4 (1)函数f (x )＝lg(a ＋21＋x)为奇函数，则实数a ＝________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________. 答案 (1)－1 (2)－10解析 (1)根据题意得，使得函数有意义的条件为a ＋21＋x>0且1＋x ≠0，由奇函数的性质可得f (0)＝0.所以lg(a ＋2)＝0，即a ＝－1，经检验a ＝－1满足函数的定义域. (2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |).②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝________. 答案 (1)－32(2)1解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝e 2ax ， 整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x(e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)由f (x ＋2)是偶函数可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)， 又由f (x )是奇函数得f (－x ＋2)＝－f (x －2)， 所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，f (x ＋4)＝－f (x )， f (x ＋8)＝f (x )，故f (x )是以8为周期的周期函数， 所以f (9)＝f (8＋1)＝f (1)＝1， 又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以f (8)＝f (0)＝0，故f (8)＋f (9)＝1.2.抽象函数问题考点分析 抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域典例1 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,8]，则函数g (x )＝f (x 2－1)2－log 2(x ＋1)的定义域为________.解析 要使函数有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2－1≤8，x ＋1>0，2－log 2(x ＋1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，x >－1，x ≠3，解得1≤x <3，所以函数g (x )的定义域为[1,3). 答案 [1,3)二、抽象函数的函数值典例2 若定义在实数集R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，对任意x ∈R 恒成立，则f (2 019)＝________. 解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )， 即函数f (x )的周期是4，所以f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1). 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 019)＝f (－1)＝f (1).当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).即f (1)＝1，所以f (2 019)＝f (1)＝1. 答案 1三、抽象函数的单调性与不等式典例3 设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y ).若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求实数a 的取值范围. 规范解答解 因为f (xy )＝f (x )＋f (y )且f (3)＝1， 所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9).又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9). 再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f [9(a －1)]， 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9(a －1)>0，a >9(a －1)，解得1<a <98.故所求实数a 的取值范围是(1，98).1.(教材改编)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝____________. 答案x2－2解析f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，得f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2.2.(2016·苏州模拟)设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的有________.(填序号)①f(x)f(－x)是奇函数；②f(x)|f(－x)|是奇函数；③f(x)－f(－x)是奇函数；④f(x)＋f(－x)是偶函数.答案③④解析对于①，设g(x)＝f(x)f(－x)，g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，∴f(－x)f(x)是偶函数；对于②，设g(x)＝f(x)|f(－x)|，g(－x)＝f(－x)|f(x)|≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，∴f(x)|f(－x)|是非奇非偶函数；对于③，设g(x)＝f(x)－f(－x)，g(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－g(x)，∴f(x)－f(－x)是奇函数；对于④，设g(x)＝f(x)＋f(－x)，g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，∴f(x)＋f(－x)是偶函数.3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝________.答案 2解析由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，由－1∈(－2,0)得f(－1)＝2，∴f(2 019)＝2.4.(2016·南京模拟)若函数f (x )＝2x －k ·2－x2x ＋k ·2－x(k 为常数)在定义域内为奇函数，则k 的值为________. 答案 ±1解析 依题意，得f (－x )＝2－x －k ·2x2－x ＋k ·2x＝－2x －k ·2－x 2x ＋k ·2－x ，整理得k 2＝1，k ＝±1. 5.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos π6x (0＜x ≤8)，log 2x (x >8)，则f (f (－16))＝________. 答案 12解析 由题意f (－16)＝－f (16)＝－log 216＝－4， 故f (f (－16))＝f (－4)＝－f (4)＝－cos4π6＝12. 6.(2016·盐城模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________. 答案 13解析 依题意得f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，又a －1＝－2a ， ∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.7.(2017·苏北四市联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，g (x )，x <0，若f (x )为奇函数，则g (－14)＝________.答案 2解析 g (－14)＝f (－14)＝－f (14)＝－log 214＝－log 22－2＝2.8.(2016·常州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 0解析 由f (x ＋1)是偶函数得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x －1)，即－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x )＋f (x ＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.9.函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.10.(2016·南京模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )＋f (ln 1t)≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 答案 [1e，e] 解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f (ln 1t)， 由f (ln t )＋f (ln 1t)≤2f (1)， 得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e. 11.(2016·江苏苏北四市二调)定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)＋(a －1)x ＋b (a ，b 为常数)，若f (2)＝－1，则f (－6)的值为________.答案 4解析 由已知得f (0)＝0＝1＋b ，∴b ＝－1，又f (2)＝2＋2(a －1)－1＝－1，∴a ＝0，∴f (x )＝log 2(x ＋2)－x －1(x ≥0)，∴f (－6)＝－f (6)＝－3＋6＋1＝4.12.(2016·江苏扬州中学开学考试)已知f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m ，如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是____________.答案 [－5，－2]解析 ∵f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，∴f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1的值域为(0,3]，∴当x ∈[－2,2]时，f (x )的值域为[－3,3]，若∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则g (x )max ≥3且g (x )min ≤－3，∵g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1，∴当x ∈[－2,2]时，g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ，g (x )min ＝g (1)＝m －1，故8＋m ≥3且m －1≤－3，解得m ≥－5且m ≤－2，故－5≤m ≤－2.13.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数.∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示.设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×(12×2×1)＝4.。
(江苏专用)2018年高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的基本性质课件
3
.
22
思路分析 利用函数的奇偶性将原不等式转化为f(2|a-1|)>f( 2),结合函数f(x)在(0,+∞)上单调递 减即可求得a的取值范围.
C组 教师专用题组
1.(2013四川理改编,10,5分)设函数f(x)= ex x a (a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sin x上存
a,b,c的大小关系为
.(用“<”连接)
答案 b<a<c
解析 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较.
奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0时, f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时, f(x1)>f(x2)>0,∴x1 f(x1)>x2 f(x2),∴g(x) 在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2<log25.1<3,1<20.8<2,由g(x)在 (0,+∞)上单调递增,得g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c.
3.(2017江苏泰州中学第一学期第一次质量检测,10)已知函数f(x)=
x x
ln x 5,0 9 m, x
x 1
x
1
1,
的值域为R,
则实数m的取值范围为
.
答案 m≤1
解析 当0<x≤1时,f(x)=x+ln x+5∈(-∞,6],当x>1时,f(x)=x+ 9 +m=x+1+ 9 +m-1≥2
在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题2.11_函数与方程(测)(有解析)
专题2.11 函数与方程班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()221,0,0x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________．【答案】1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知函数311,,()11,,x f x x x x ⎧>⎪=⎨-≤≤⎪⎩若关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．【答案】1(0,)2【解析】3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2,[0,1),()11|3|,[1,),xx f x x x x -⎧∈⎪=+⎨⎪--∈+∞⎩则函数1()()F x f x π=-的所有零点之和为 ． 【答案】112π-【解析】试题分析：由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次为12345,,x x x x x ，，，满足1234516,,612x x x x x π+=-=+=-，因此所有零点之和为112π-4. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】23a <≤ 【解析】试题分析：()()0()1f x g x f x -=⇒=，所以要有4个零点，需满足21,1+11,23(1)1,1,a a a a a ⎧>-≤⎪⇒<≤⎨->>⎪⎩ 5. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知函数()()23,0(01)log 11,0a x a x f x a a x x ⎧+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 【答案】123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【解析】26. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=，当()1,4x ∈-时，xx x f 2)(2-=,则函数()f x 在[]0,2016上的零点个数是__________.【答案】605【解析】7. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】若函数2,0ln ,0x a x y x a x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,2ln 2+ 【解析】试题分析:由题设可知函数a x y -=2与函数x a x y ln +-=在给定的区间]0,2(-和区间)2,0(内分别有一个根,结合图象可得⎪⎩⎪⎨⎧>+->-≤-02ln 2040a a a ,即⎪⎩⎪⎨⎧+<<≥2ln 240a a a ,所以2ln 20+<≤a ,故应填答案[)0,2ln 2+.8.已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1仅有一个零点，则m 的取值范围为 . 【答案】m ＝－29. [x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是 ． 【答案】2【解析】作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选B.10. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________. 【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。
2018江苏高考数学试题及答案解析(K12教育文档)
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．2．若复数z 满足i z i 21+=⋅,其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 ．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23,则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4,且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π， 则()()15f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅,则点A 的横坐标为 ．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、， 120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．14．已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n ,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证:(1)11AB A B C 平面∥； (2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=． （1）求cos2α的值； (2）求tan()αβ-的值．17．(本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ． （1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；(2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．(本小题满分16分）焦如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，点12(3,0),(3,0)F F -,圆O 的直径为12F F ． (1)求椭圆C 及圆O 的方程；（2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △,求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点"，求实数a 的值;(3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >,判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．(1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；(2）若*110,,a b m q =>∈∈N ,证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示)．数学Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．［选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 的半径为2,AB 为圆O 的直径,P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线,切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分）已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5:不等式选讲］(本小题满分10分）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6,求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科＃网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1=2,点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．（本小题满分10分)设*n ∈N ,对1,2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s 〈t 时，有s t i i >,则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序（2,1)，(3，1），则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式（用n 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1，8} 2．2 3．90 4．85．[2，+∞）6．3107．π6-8．29．2210．4311．–3 12．313．9 14．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明:（1）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数,考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=,所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=-，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：(1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ)=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0,则sin θ0=14,θ0∈(0,π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）．答:矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+cos θ）平方米,△CDP 的面积为 1600(cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是［14,1)． （2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600(cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ),θ∈［θ0，π2）． 设f (θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈［θ0，π2)，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′,得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ)为增函数； 当θ∈（π6，π2)时，()<0f θ′,所以f (θ)为减函数, 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解:（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=．（2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ,得 222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=,从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y , 由(*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去）,则2012y =，因此P 的坐标为102(,)2． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f (x ）=x ,g (x )=x 2+2x —2,则f ′（x )=1，g ′（x )=2x +2． 由f （x ）=g (x ）且f ′（x ）= g ′(x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解, 因此，f （x ）与g （x )不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f (x ）与g （x )的“S ”点，由f (x 0）与g （x 0）且f ′（x 0)与g ′(x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（＊） 得01ln 2x =-,即120e x -=,则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（＊），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此,a 的值为e2．（3）对任意a 〉0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，,且h (x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）与g （x ）且f ′（x )与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**) 此时，0x 满足方程组（*＊），即0x 是函数f （x )与g （x ）在区间（0,1）内的一个“S 点"． 因此，对任意a >0，存在b >0,使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2,3,4均成立， 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立， 即1≤1,1≤d ≤3，3≤2d ≤5,7≤3d ≤9，得7532d ≤≤． 因此,d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···,m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+， 即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值(2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x 〈f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时,数列1{}1n q n --单调递减,故数列1{}1n q n --的最小值为mq m ． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】A ．［选修4—1:几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ． 又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2,从而B 为Rt△OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． (2）设P (x ，y ），则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A , 因此，点P 的坐标为（3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2,0）,直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=， 则直线l 过A （4,0）,倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2, 所以π4cos 236AB ==．因此,直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．［选修4-5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式,得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122xy z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，, 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科％网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,设AC ，A 1C 1的中点分别为O ,O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--,故111|||cos ,|||||5BP AC BP AC BP AC ⋅===⋅． 因此,异面直线BP 与AC 1 (2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ， 因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==． 设n =（x ，y ,z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.x y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ， 则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n 所以直线CC 1与平面AQC 1． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，,所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1,2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以2018江苏高考数学试题及答案解析(word 版可编辑修改)牛人数学助力高考数学 (1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。
2018高考一轮江苏数学文练习第2章 第11课 课时分层训
课时分层训练(十一)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．0，－12 [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . 令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．(2017·镇江期中)方程lg x －sin x ＝0的解的个数是________．3 [∵lg x －sin x ＝0，∴lg x ＝sin x ，分别作出函数y ＝lg x 与函数y ＝sin x 的图象可知，两个函数有3个交点．]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________．1 [由f (x )＝0得，2x －1＝0或log 2x ＋1＝0，解得x ＝0或x ＝12(舍去)．] 4．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________. 【导学号：62172061】(－2,0) [由x 2＋x ＋a ＝0得a ＝－x 2－x . 又y ＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14x ∈(0,1)，∴y ∈(－2,0)． 即a ∈(－2,0)．]5．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]6．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________． (0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，0<x <2，若关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 【导学号：62172062】0<k <12 [函数y ＝(x －1)3在R 上单调递增；函数y ＝2x 在[2，＋∞)上单调递减，又因为x ＝2时，(x －1)3＝1且2x ＝1，所以f (x )的最大值为1，对应点为(2,1)， 又y ＝kx 过原点(0,0)，所以k ＝1－02－0＝12.可见0<k <12.] 8．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.] 9．(2017·盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋1(x ≤1)，ln x (x >1)，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是______________．(注：e 为自然对数的底数)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e [由题意可知y ＝f (x )与y ＝ax 有2个交点， 当a ＝14时，易知y ＝ln x 与y ＝14x 恰有两个交点，设y ＝ax 与y ＝ln x 的切点为(x 0，y 0)，易知当a ＝1x 0时为临界状态，此时切线方程y －y 0＝1x 0(x －x 0)恰过原点(0,0)．解得x 0＝e ，即a ＝1e ，故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e .]10．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(x ∈R )有两个零点，则k 的取值范围________. 【导学号：62172063】(－∞，0)∪(0,1) [由f (x )＝0得|x |x ＋2＝kx 2＝k |x |2(*)， 显然x ＝0是f (x )＝0的一个根，故原命题等价于当x ≠0时，(*)式1x ＋2＝k |x |有且只有一个根．分别作出y ＝1x ＋2及y ＝k |x |的图象，(实线表示k >0的情况，虚线表示k <0的情况)．(1)当k >0，且x <0时，1x ＋2＝k |x |可化为kx 2＋2kx ＋1＝0.由Δ＝4k 2－4k ＝0得k ＝1或k ＝0(舍去)，结合图象可知，当k ∈(0,1)时合题意．(2)当k <0时，结合图象可知，方程kx 2＋2kx ＋1＝0一定有实根， 综上所述k 的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．] 二、解答题11．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续，∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.12．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根．因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是________．(0,1] [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1， 由f (x )＝0得x ＝12.所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x －a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解．又当x ∈(－∞，0]时，2x ∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上单调递增， 故所求a 的取值范围是(0,1]．]2．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点所构成的集合为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 [由题意知f (f (x ))＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12， 则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 的值．解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14， 解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2， 从而函数y ＝f (f (x ))＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.] 3．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． [解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎨⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a2＞0，解得a ＝－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]． 法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.4．已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围．(2)是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t (视区间[a ，b ]的长度为b －a )．[解] (1)因为函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，所以f (x )在区间[－1,1]上是减函数．因为函数在区间[－1,1]上存在零点， 则必有⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (－1)≥0，即⎩⎨⎧1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，所以－20≤q ≤12.(2)因为0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小， 所以f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0， 解得t ＝15±172，所以t ＝15－172；②当6<t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，所以f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，所以f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8或9，所以t＝9.综上可知，存在常数t＝15－172，8,9满足条件．。
专题2-11 函数与方程练-2018年高考数学一轮复习讲练测
一、填空题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________． 【答案】0，－12【解析】由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x )．令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12.2．(2017·苏州期末)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是________． 【答案】1【解析】因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,2)内只有一个零点． 3．函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________． 【答案】(0，＋∞)4．(2017·徐州月考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 【解析】当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15.5．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________． 【答案】0或－14【解析】当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根． ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．6．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 【答案】2【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.7．函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________． 【答案】28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】(0,1)【解析】画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 二、解答题9．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．10．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＝2m ＋1<0，f －1 ＝2>0，f 1 ＝4m ＋2<0，f 2 ＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12. 能力提升题组11．(2017·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(1,2]由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ，x ≥m ，x 2＋2x －3，x <m ，又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2.12．(2017·镇江调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x >0，12－12＋x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 【答案】(3，＋∞) 【解析】在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ， 即m 2－3m >0. 又m >0，解得m >3.14．(2017·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。
2018高考一轮江苏数学(文)(练习)第2章热点探究课1函数的图象与性质Word版含答案
热点探究课(一) 函数的图象与性质[命题解读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．热点1 函数图象的应用利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为________. 【导学号：62172064】⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 [画出函数f (x )的图象，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12； 当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34， 故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.][迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图象(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1.[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k |x |的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2.[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解． [对点训练1] (2017·镇江期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0＜x ＜2，x ＋22x ，x ≥2，若0＜a＜b ＜c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abf (c )的范围是________． (1,2) [如图所示，∵0＜a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )， ∴－log 2a ＝log 2b ，即ab ＝1， 又由图可知12＜f (c )＜1， 故1＜1f (c )＜2，∴ab f (c )＝1f (c )∈(1,2)．] 热点2 函数性质的综合应用对函数性质的考查，以单调性、奇偶性和周期性为主，同时融合函数的零点问题，重在考查学生的等价转化能力及数形结合意识，难度中等．熟练掌握上述性质是解此类题的关键．☞角度1 单调性与奇偶性结合(2016·天津高考改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.] ☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·南通二模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．7 [由f (x ＋2)＝f (x )可知，f (x )在[0，＋∞)上是周期为2的函数，又x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，且f (x )为偶函数，故f (x )在[－2,4]上的图象如图所示．由图可知y ＝f (x )与y ＝1有7个交点，故函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上有7个零点．]☞角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系为________．f (－25)＜f (80)＜f (11) [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．] [规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．热点3 函数图象与性质的综合应用函数的零点、方程的根和函数图象的交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想是解答此类问题的关键所在．因此在处理此类问题时，务必要结合题设信息实现知识转化．以填空题压轴题据多，求解时务必细心．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为______．4 [令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧－lnx ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：62172065】(－∞，1) [函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数f (x )＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．]热点探究训练(一)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·镇江期中)函数f (x )＝12－lg x 的定义域是________．(0，10] [由12－lg x ≥0得lg x ≤12，即0<x ≤10.]2．(2017·常州期末)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.【导学号：62172066】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵－x 2＋22≤22，且y ＝log 2x 在(0,22]上单调递增，故log 2x ≤log 222＝log 2232＝32.]3．(2017·如皋中学高三第一次月考)若函数f (x )＝x 2(e x ＋m )e x －1(e 为自然对数的底数)是奇函数，则实数m 的值为________．1 [由f (－x )＝－f (x )得x 2(e －x ＋m )e －x －1＝－x 2(e x ＋m )e x －1，即1＋m e x ＝e x ＋m ，故m ＝1.]4．若函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________.【导学号：62172067】－3 [令g (x )＝a sin 2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g (－3)＝4，则g (3)＝－g (－3)＝－4，则f (π＋3)＝g (π＋3)＋1＝g (3)＋1＝－4＋1＝－3.]5．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________．1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[－1,2) [由题意知g (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 由x ≤a ，得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．]7．(2017·南通第一次学情检测)已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤6的解集是________. 【导学号：62172068】[－2,4] [∵f (x )为R 上的偶函数， ∴当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝2－x －2， 即f (x )＝2－x －2. ∵f (x －1)≤6，∴当x －1≥0，即x ≥1时， 2x －1－2≤6， 解得1≤x ≤4；当x －1<0，即x <1时，21－x －2≤6， 解得－2≤x <1.综上可知，f (x －1)≤6的解集为[－2,4]．]8．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]9．已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．b ＞a ＞c [由函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，得函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0,1)时，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝|log 2x |，且x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (4)，所以b ＞a ＞c .]10．(2017·南京一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x ＋m2x ，设g (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 [由f (x )为R 上的奇函数可知，f (0)＝0，即1＋m ＝0，m ＝－1， ∴f (x )＝2x －12x ， ∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12x ，x ＞1，12x －2x，x ≤1.又当x ＞1时，g (x )为增函数， ∴g (x )＞g (1)＝2－12＝32， 当x ≤1时，g (x )为减函数， ∴g (x )≥g (1)＝－⎝⎛⎭⎪⎫2－12＝－32. 要使g (x )－t ＝0有且只有一解，即函数y ＝g (x )与y ＝t 的图象只有一个交点(图略)，故－32≤t ≤32.]二、解答题11．(2017·镇江期中)已知函数f (x )＝log 2x4log 22x . (1)解不等式f (x )>0；(2)当x ∈[1,4]时，求f (x )的值域．[解] (1)函数f (x )＝log 2x 4·log 22x ＝(log 2x －log 24)(log 22＋log 2x ) ＝(log 2x )2－log 2x －2，x ∈(0，＋∞)． 令f (x )＝(log 2x )2－log 2x －2>0，则log 2x >2或log 2x <－1，故x >4或0<x <12. (2)若x ∈[1,4]，则0≤log 2x ≤2，f (x )＝(log 2x )2－log 2x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122－94，当log 2x ＝12即x ＝2时，f (x )min ＝－94；当log 2x ＝2即x ＝4时，f (x )max ＝0. 故f (x )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.12．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )＝－2x ＋m2x ＋1＋n (其中m ，n 为参数)．(1)当m ＝n ＝1时，证明：f (x )不是奇函数； (2)如果f (x )是奇函数，求实数m ，n 的值；(3)已知m >0，n >0，在(2)的条件下，求不等式f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0的解集．[解] 证明：(1)f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋1，∴f (1)＝－2＋122＋1＝－15，f (－1)＝－12＋12＝14，∵f (－1)≠－f (1)，∴f (x )不是奇函数． (2)由f (x )是奇函数得f (－x )＝－f (x )，即－2－x ＋m 2－x ＋1＋n ＝－－2x ＋m 2x ＋1＋n 对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得关于x 的恒等式(2m －n )·22x ＋(2mn －4)·2x ＋(2m －n )＝0，∴⎩⎨⎧ 2m －n ＝0，2mn －4＝0，即⎩⎨⎧ m ＝－1，n ＝－2或⎩⎨⎧m ＝1，n ＝2. (3)由题意得m ＝1，n ＝2，∴f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22x ＋1，易判断f (x )在R 上递减，∵f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0，∴f (f (x ))<－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，∴f (x )>－14， ∴2x <3，∴x <log 23，即所求不等式的解集为(－∞，log 23)．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|f (ln x )＋f (ln x )|2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e ＜x ＜e.]2．(2017·泰州中学高三摸底考试)对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e [由题意得ln x ＋x ＝kx 有两个不同的解，k ＝ln x x ＋1，则k ′＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0<x <e 时，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋1e ，当x >e 时，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ，从而要使ln x ＋x ＝kx 有两个不同的解，需k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e .]3．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． [解] (1)由⎩⎨⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎨⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1)．∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1. 4．已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝a |x －1|.(1)若当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求函数h (x )＝|f (x )|＋g (x )在区间[0,2]上的最大值．[解] (1)不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立，即x 2－1≥a |x －1|(*)对x ∈R 恒成立．①当x ＝1时，(*)显然成立，此时a ∈R ； ②当x ≠1时，(*)可变形为a ≤x 2－1|x －1|，令φ(x )＝x 2－1|x －1|＝⎩⎨⎧x ＋1，x >1，－(x ＋1)，x <1.因为当x >1时，φ(x )>2，当x <1时，φ(x )>－2， 所以φ(x )>－2，故此时a ≤－2.综合①②，得所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]． (2)h (x )＝⎩⎨⎧ －x 2－ax ＋a ＋1，0≤x <1，0，x ＝1，x 2＋ax －a －1，1<x ≤2.①当－a 2≤0，即a ≥0时， (－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (0)＝a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3.此时，h (x )max ＝a ＋3.②当0<－a 2≤1，即－2≤a <0时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3.此时h (x )max ＝a ＋3. ③当1<－a 2≤2，即－4≤a <－2时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0，(x 2＋ax －a －1)max ＝max{h (1)，h (2)}＝max{0,3＋a }＝⎩⎨⎧ 0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.此时h (x )max ＝⎩⎨⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.④当－a 2>2，即a <－4时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0， (x 2＋ax －a －1)max ＝h (1)＝0.此时h (x )max ＝0.综上：h (x )max ＝⎩⎨⎧ 3＋a ，a ≥－3，0，a <－3.。
人教版2018最新江苏省高三数学一轮复习备考试题：函数(含答案)Word版
高考一轮复习备考试题(附参照答案)函数一、填空题2 mx1、（2014 年江苏高考）已知函数 f (x) x 1，若对于随意x [ m,m 1] ，都有 f (x) 0成立，则实数m 的取值范围是▲．12 x2、（2014 年江苏高考）已知f (x) 是定义在R 上且周期为 3 的函数，当x[ 0,3) 时，f (x) | x 2 |2 y f ( x) a 在区间[ 3,4] 上有10 个零点（互不同样），则实数a的取值范围是▲．23、（2013 年江苏高考）已知 f (x) 是定义在R 上的奇函数。
当x 0 时，f (x) x 4x ，则不等式 f (x) x 的解集用区间表示为。
4、（2012 年江苏高考）函数 f ( x) 1 2 log x 的定义域为▲．65、（2012年江苏省高考）设f (x) 是定义在R上且周期为 2 的函数，在区间[ 1，1]上，ax x1 3f f ，则a 3b 的值为▲．2 26、（2012年江苏省5分）已知函数 2f ( x) x ax b(a ，b R) 的值域为[0 ，) ，若对于x 的不等式f (x) c 的解集为(m，m 6) ，则实数 c 的值为▲．2－3x＋a．若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实7、（2015 届江苏南京高三9 月调研）设f(x)＝x数a 的取值范围为▲8、（2015 届江苏南通市直中学高三9 月调研）已知函数 f (x)x a x3 1，，若 f (x) 在R上为增2，1，x a x ≤函数，则实数 a 的取值范围是▲9、（2015 届江苏苏州高三9 月调研）已知函数 f x log2a x1 x1为奇函数,则实数a的值为▲10、（南京市2014 届高三第三次模拟）已知函数 f (x)＝x x 0，≥，) f(3＞2，x＜0，，则对于x 的不等式f(xx－2x)的解集是▲11、（南通市2014 届高三第三次调研）已知函数 f (x) 对随意的x R知足 f ( x) f (x) ，且当x≥ 0时， 2f (x) x ax 1．若 f (x) 有4 个零点，则实数a的取值范围是▲．12、（苏锡常镇四市2014 届高三 5 月调研（二））函数y x 1 的定义域为A，函数y lg 2 x的定义域为B，则 A B = ▲13、（苏锡常镇四市2014 届高三 5 月调研（二））已知奇函数 f ( x) 是R上的单一函数，若函数2y f (x ) f (k x) 只有一个零点，则实数k 的值是▲．14、（徐州市2014 届高三第三次模拟）已知函数 f (x) 是定义在R上的奇函数，且当x ≤0 时，2f ( x) x 3x ，则不等式 f (x 1) x 4的解集是▲15、（徐州市2014 届高三第三次模拟）已知函数1 af (x) (a R) ．若存在实数m ，n ，xe x使得 f (x)≥0的解集恰为m, n，则a的取值范围是▲16、（南京、盐城市2014 届高三第二次模拟（淮安三模））函数f(x)＝ln x＋1－x的定义域为▲17、（南京、盐城市2014 届高三第二次模拟（淮安三模））已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1 时，f( x)＝ x2，当x＞0 时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)．若直线y＝kx 与函数y＝f(x)的图象恰有 5 个不一样的公共点，则实数k 的值为▲118、（2014 江苏百校联考一）函数f (x) 2sin( x) , x [ 2, 4] 的全部零点之和为．1 x19、（南京、盐城市2014 高三第一次模拟）若函数 f (x) 是定义在R上的偶函数，且在区间[0. )上是单一增函数.假如实数t 知足1f (ln t) f (ln ) 2 f (1)t时，那么t 的取值范围是20、（苏锡常镇四市2014 届高三 3 月调研（一））已知函数 f (x)2 x(2 x x )e , x ≤0,2x 4x 3,x 0,g (x) f ( x) 2k ，若函数g(x) 恰有两个不一样的零点，则实数k 的取值范围为▲21、（南通市2014 届高三上学期期末考试）设函数y f (x) 是定义域为R，周期为 2 的周期函数，且当x 1，1 时， 2f ( x) 1 x ；已知函数g( x) lg | x | x 0，，则函数 f (x) 和g( x) 的图象在区间1 x 0，．5 ，10 内公共点的个数为．22、（苏州市2014 届高三 1 月第一次调研）已知 f (x)2x x ( x 0),≥2x x ( x 0)，则不等式 2f (x x 1) 12的解集是▲23、（泰州市2014 届高三上学期期末考试）设函数 f (x) (x a) x a b （a,b 都是实数）．则以下表达中，正确的序号是▲．（请把全部表达正确的序号都填上）①对随意实数a, b，函数y f (x) 在R 上是单一函数；②存在实数a,b，函数y f (x) 在R上不是单一函数；③对随意实数a, b，函数y f (x) 的图像都是中心对称图形；④存在实数a,b，使得函数y f ( x) 的图像不是中心对称图形．24、（江苏省扬州中学2014 届高三上学期12 月月考）设 f ( x)1 =21+ x，f n+ 1(x) = f1[ f n( x)] ，且an=f (0) - 1nf (0) + 2n，则a ▲201425、、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）在用二分．法．．求方程 3 2 1 0x x 的一个近似解时, 此刻已经将一根锁定在区间(1,2) ，则下一步可判定该根所在的区间为▲.26、（江苏省东海县第二中学2014 届高三第三次学情调研）已知函数f (x) kx, g( x) l nxx，假如关于x 的方程f ( x) g( x)在区间▲.1[ ,e ]内有两个实数解，那么实数k 的取值范围是e27、（江苏省阜宁中学2014 届高三第三次调研）已知函数f x log , 1x x≥2，则f 2x , 0 x 131 2f =2▲28 、（无锡市2014 届高三上学期期中）定义在R 上的奇函数 f ( x) ，当x 0 时，f ( x) l og x( 1 ) ( 0x1)2，则函数|x3| 1 ( x 1)1g( x) f ( x) 的全部零点之和为＿＿＿＿＿。
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第11课函数与方程[最新考纲]1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫作函数y＝f(x)(x ∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )，x ∈D 在区间(a ，b )⊆D 内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )＜0.( )(3)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是________． 1 [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0， ∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________．(填序号) ①y ＝cos x ； ②y ＝sin x ； ③y ＝ln x ； ④y ＝x 2＋1.① [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(－2，－1)；④(－1,0)． ④ [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23， f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5， ∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0， ∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1， ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]存在”)零点．(2)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是(k ，k ＋1)(k∈Z )，则k ＝________.(1)存在 (2)2 [(1)法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0， f (8)＝82－3×8－18＝22＞0， ∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]的图象是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点． 法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点． (2)∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0，∴x 0∈(2,3)，即k ＝2.][规律方法] 确定函数f (x )的零点所在区间的2种常用方法1．定义法：使用零点存在性定理，函数y ＝f (x )必须在区间[a ，b ]上是连续的，当f (a )·f (b )<0时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．2．图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f (x )＝g (x )－h (x )，作出y ＝g (x )和y ＝h (x )的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点．[变式训练1] 设f (x )＝ln x ＋x －2，在下列区间中，包含函数f (x )的零点所在的区间为________．(填序号)①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．② [函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．]0.5【导学号：62172059】(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数为________．(1)2 (2)3 [(1)令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14， 综上，f (x )有3个零点．][规律方法] 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[变式训练2] (2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．][0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围.【导学号：62172060】[思路点拨] 先作出函数f (x )的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．[解] 由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，所以函数图象关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x有三个不同的根，则满足⎩⎨⎧a ＞1，f (6)＜2，f (10)＞2，如图，即⎩⎨⎧a ＞1，log a 6＜2，log a 10＞2，解得6＜a ＜10.故a 的取值范围是(6，10)．[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[变式训练3] (1)函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(1)(0,3) (2)(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.(2)作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][思想与方法]1．转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．2．判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断．(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法．[易错与防范]1．函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．课时分层训练(十一)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．0，－12 [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . 令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．(2017·镇江期中)方程lg x －sin x ＝0的解的个数是________．3 [∵lg x －sin x ＝0，∴lg x ＝sin x ，分别作出函数y ＝lg x 与函数y ＝sin x 的图象可知，两个函数有3个交点．]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________．1 [由f (x )＝0得，2x －1＝0或log 2x ＋1＝0，解得x ＝0或x ＝12(舍去)．] 4．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________. 【导学号：62172061】(－2,0) [由x 2＋x ＋a ＝0得a ＝－x 2－x . 又y ＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14x ∈(0,1)，∴y ∈(－2,0)． 即a ∈(－2,0)．]5．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]6．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________． (0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示， 则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，0<x <2，若关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 【导学号：62172062】0<k <12 [函数y ＝(x －1)3在R 上单调递增；函数y ＝2x 在[2，＋∞)上单调递减，又因为x ＝2时，(x －1)3＝1且2x ＝1，所以f (x )的最大值为1，对应点为(2,1)， 又y ＝kx 过原点(0,0)，所以k ＝1－02－0＝12.可见0<k <12.] 8．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.] 9．(2017·盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋1(x ≤1)，ln x (x >1)，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是______________．(注：e 为自然对数的底数)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e [由题意可知y ＝f (x )与y ＝ax 有2个交点， 当a ＝14时，易知y ＝ln x 与y ＝14x 恰有两个交点，设y ＝ax 与y ＝ln x 的切点为(x 0，y 0)，易知当a ＝1x 0时为临界状态，此时切线方程y －y 0＝1x 0(x －x 0)恰过原点(0,0)． 解得x 0＝e ，即a ＝1e ，故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e .] 10．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(x ∈R )有两个零点，则k 的取值范围________. 【导学号：62172063】(－∞，0)∪(0,1) [由f (x )＝0得|x |x ＋2＝kx 2＝k |x |2(*)， 显然x ＝0是f (x )＝0的一个根，故原命题等价于当x ≠0时，(*)式1x ＋2＝k |x |有且只有一个根．分别作出y ＝1x ＋2及y ＝k |x |的图象，(实线表示k >0的情况，虚线表示k <0的情况)．(1)当k >0，且x <0时，1x ＋2＝k |x |可化为kx 2＋2kx ＋1＝0. 由Δ＝4k 2－4k ＝0得k ＝1或k ＝0(舍去)，结合图象可知，当k ∈(0,1)时合题意．(2)当k <0时，结合图象可知，方程kx 2＋2kx ＋1＝0一定有实根， 综上所述k 的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．]二、解答题11．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. [证明] 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18， ∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.12．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根．因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34. 故实数a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 12<a <34.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是________．(0,1] [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1，由f (x )＝0得x ＝12.所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x －a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解．又当x ∈(－∞，0]时，2x ∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上单调递增， 故所求a 的取值范围是(0,1]．]2．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点所构成的集合为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 [由题意知f (f (x ))＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12， 则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 的值．解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14，解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2，从而函数y ＝f (f (x ))＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.] 3．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．[解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根．令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎨⎧ Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22； ②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a＋1＜0，解得a ＜－1；③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a 2＞0，解得a ＝－1.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1， 设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1＞1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.4．已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围．(2)是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t (视区间[a ，b ]的长度为b －a )．[解] (1)因为函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，所以f (x )在区间[－1,1]上是减函数．因为函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (－1)≥0，即⎩⎨⎧1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，所以－20≤q ≤12.(2)因为0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小，所以f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t ＝15±172，所以t ＝15－172； ②当6<t ≤8时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (8)最小，所以f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，所以f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8或9，所以t＝9.综上可知，存在常数t＝15－172，8,9满足条件．。