《等腰三角形与等面积法》进阶练习(一) (2)
等腰三角形的性质和判定的综合题目
-鼓励学生在课后继续思考、探索联系观点的内涵，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固本章节的学习内容，培养学生的理论联系实际能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合本节课所学的联系观点，选取一个生活中的实例，分析其中包含的联系特征及其影养学生合作、探究的学习能力，提高学生在案例分析中运用联系观点分析问题的能力。
-引导学生运用比较法、分析法等学习方法，深入挖掘联系现象背后的本质规律。
3.情感态度与价值观方面的重难点：
-培养学生对联系观点的认同，使学生认识到联系是事物发展的内在规律，树立正确的价值观。
-增强学生的社会责任感，培养学生关注社会、关注生活的态度。
3.强化实践环节，引导学生关注现实生活中的联系现象，提高学生理论联系实际的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.知识与技能方面的重难点：
-理解联系的普遍性、多样性、条件性等特征，并能运用联系的观点分析实际问题。
-掌握联系的方法论，学会从联系的角度认识问题、分析问题，提高解决问题的能力。
2.过程与方法方面的重难点：
5.观察日记：要求学生观察身边的事物和现象，运用联系观点进行分析，记录在日记中。持续一周，每天至少记录一个实例，并写出自己的思考。
6.课后实践：鼓励学生参加社会实践活动，将所学联系观点运用到实际中，如参与环保活动、社区服务等。要求学生撰写实践报告，不少于1000字，内容需包括实践过程、联系观点的应用及收获。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：以现实生活中的实例导入新课，如“互联网的发展与人们生活的联系”、“环境保护与经济发展的联系”等，引发学生对联系概念的思考。
等腰三角形经典习题(必看)
等腰三角形经典习题(必看)等腰三角形经典题（必看）以下是一些经典的等腰三角形题，希望能对你的研究有所帮助。
1. 判断等腰三角形给定一个三角形ABC，其中AB=AC。
你需要判断这个三角形是否为等腰三角形。
解答：如果角B等于角C，则该三角形为等腰三角形。
2. 求等腰三角形的周长已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，且BC=8cm。
你需要求解这个等腰三角形的周长。
解答：由于AB=AC且BC=8cm，那么周长等于AB+AC+BC=2AB+BC=2(BC/2)+BC=BC+BC=2BC=2*8cm=16cm。
3. 求等腰三角形的面积已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=10cm，且角BAC等于60度。
你需要求解这个等腰三角形的面积。
解答：由于AB=AC=10cm且角BAC等于60度，我们可以利用正弦定理来计算三角形的高。
设三角形的高为h，那么有sin60度=h/10cm，解得h=10cm*sin60度=10cm*sqrt(3)/2=5sqrt(3)cm。
等腰三角形的面积可以通过底边乘以高再除以2来计算，即面积=10cm*5sqrt(3)cm/2=25sqrt(3)cm²。
4. 求等腰三角形的顶角已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=5cm，且BC=6cm。
你需要求解这个等腰三角形的顶角。
解答：由于AB=AC=5cm且BC=6cm，我们可以使用余弦定理来计算角BAC的大小。
设角BAC为x度，则有cosx=(5²+5²-6²)/(2*5*5)=19/25。
解得x=arccos(19/25)≈31.8度。
因此，等腰三角形的顶角大约为31.8度。
以上是一些关于等腰三角形的经典习题，希望对你的学习有所帮助。
如果你还有其他问题，请随时向我提问。
等腰三角形问题综合专项练习(解析版)
等腰三角形问题综合专项练习（解析版）一、单选题1．等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于（ ）A ．腰上的高B ．腰上的中线C ．底角的平分线D ．顶角的平分线【标准答案】A【思路点拨】画出图形，利用等积法证明可得等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．【精准解析】解：如图：中，，为上任意一点，，，垂足ABC ∆AB AC =D BC DE AB ⊥DF AC ⊥为、，于，连接AD ，E F CG AB ⊥G ，ED AB ⊥ ；12ABD S AB ED ∆∴=A ，DF AC ⊥ ；12ACD S AC DF ∆∴=⋅，CG AB ⊥ ；12ABC S AB CG ∆∴=⋅∵111222AB CG AB ED AC DF=+A A A 又，AB AC = ．CG DE DF ∴=+等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高，∴故选：．A【名师指路】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等积法证明垂线段之间的关系．2．（2021·广东白云·八年级期末）如图，∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，则下列结论正确的有（ ）①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE ；④CD ＝BE．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【标准答案】D【思路点拨】由∠ABE ＝∠ACD ，∠E BC ＝∠DC B ，可得出∠ABC ＝∠ACB ，再利用等角对等边可得出AB ＝AC ，可判断①；由∠A ＝∠A ，AB ＝AC 及∠ABE ＝∠ACD ，可证出△ABE ≌△ACD （ASA ），再利用全等三角形的性质可得出AD ＝AE ，CD ＝BE ，可判断②④；由AB ＝AC ，AD ＝AE ，可得出BD ＝CE 可判断③即可．【精准解析】解：∵∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，∴∠ABE +∠EBC ＝∠ACD +∠DCB ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，结论①正确；在△ABE 和△ACD 中，，A A AB ACABE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴AD ＝AE ，CD ＝BE ，结论②④正确；∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，∴BD ＝CE ，结论③正确．∴正确的结论有4个．故选择：D ．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021·广东高州·八年级期中）如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BE 和 CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，则下列结论中，①∠ABE ＝∠ACD ；②BE ＝CD ；③OC ＝OB ；④CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③④【标准答案】C【思路点拨】由AB =AC 得∠AB C =∠ACB ，由两个平分条件，则可得∠ABE =∠ACD ，即①成立；且∠OBC =∠OCB ，从而可得OC =OB ，即③正确；易证△ABE ≌△ACD ，BE =CD ，故可得②正确；由AB =AC 得∠ABC =∠ACB ，由两个平分条件，则可得∠OBC =∠OCB ，从而可得OC =OB ，即③正确；若④成立，则可得△ABC 是等边三角形，显然与已知矛盾．【精准解析】∵AB =AC∴∠ABC =∠ACBBE 和 CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线∴∠ABE =∠OBC =，∠ACD =∠OCB = 12ABC 12ACB ∴∠ABE =∠ACD =∠OBC =∠OCB即①成立∵∠OBC =∠OCB∴OC =OB即③正确在△ABE 和△ACD 中A A AB ACABE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△ACD (ASA )∴BE =CD即②正确若④成立，则∠ABC +∠OCB =90゜∵∠ABE =∠OBC =∠OCB∴∠ABE =∠OBC =∠OCB =30゜∴∠ABC =2∠ABE =60゜∵AB =AC∴△ABC 是等边三角形显然与已知△ABC 是等腰三角形矛盾故④错误所以正确的结论为①②③故选：C ．【名师指路】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定等知识，熟练运用三角形全等的判定与性质是本题的关键．4．（2021·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD =BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ．下列结论：①AE =CD ；②∠AFC =120°；③△ADF 是等腰三角形；④，其中正确的结论是12FGAG =（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④【标准答案】A【思路点拨】根据等边三角形的性质可得AB =AC ，∠BAC =∠B =60°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△CAD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE =CD ，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ACD =∠BAE ，求出∠CAF +∠ACD =60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC =120°，判定②正确；求出∠ADF ＞60°，∠FAD ＜60°，∠AFD =60°，判定△ADF 不是等腰三角形；求出∠AFG =60°，再求出∠FAG =30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得FG =AF ，然后判断④．12【精准解析】解：在等边△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =∠B =60°，在△ABE 和△CAD 中，，60AB AC BAC B AD BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CAD （SAS ），∴AE =CD ，故①正确；∵∠ACD =∠BAE ，∴∠CAF +∠ACD =∠CAF +∠BCE =∠BAC =60°，在△ACF 中，∠AFC =180°﹣（∠CAF +∠ACD ）=180°﹣60°=120°，故②正确；∵∠FAD ＜∠BAC ，∠BAC =∠B =60°，∴∠ADF ＞60°，∠FAD ＜60°，∠AFD =60°，∴△ADF 不是等腰三角形，故③错误；∵∠AFG =180°﹣∠AFC =180°﹣120°=60°，AG ⊥CD ，∴∠FAG =90°﹣60°=30°，∴FG =AF ，∴，故④错误，12FG AF =综上所述，正确的有①②．故选：A ．【名师指路】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键．5．（2021·广东·西关外国语学校八年级期中）如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，AE，AC与CD，BD分别交于点F、G．连接GF，下列结论：①AE＝BD；②AG＝DF；③GF∥BE，④CF＝GF，其中正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【标准答案】C【思路点拨】根据等边三角形性质，利用SAS证明△BCD≌△ACE，可证结论①；证明△DGC≌△EFC，得△GFC是等边三角形，则CF＝FG，可得结论④；∠GFC＝60°，根据∠GFC ＝∠DCE＝60°，所以GF∥BE，可得结论③；由CG＝CF，AC≠DC，可知：AC−CG≠DC−CF，即AG≠DF，可得结论②．【精准解析】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴AE＝BD，故①正确；∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠DCE＝60°，由①得△BCD≌△ACE，∴∠GDC＝∠AEC，∵DC＝EC，∴△DGC≌△EFC，∴CF＝CG，∴△GFC是等边三角形，∴CF ＝FG ，∠GFC ＝60°，∴∠GFC ＝∠DCE ＝60°，∴GF ∥BE ，故③④正确；∵CG ＝CF ，而AC 与CD 不相等，所以AG 与DF 不相等，故②不正确；正确的有：①③④，一共3个，故选：C ．【名师指路】本题考查了全等三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定，属于常考点型，难度适中；准确地在图形中找到全等三角形并进行证明是本题的关键．6．（2021·广东·南山实验教育集团南海中学八年级开学考试）如图，，点45AOB ∠=︒、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动M N OA OB 6MN =OMN A 12P MN 点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动P OA 1P P OB 2P P NM 时，的面积最小值为（ ）12OPP AA ．B ．C ．D ．681218【标准答案】B【思路点拨】连接OP ，过点O 作OH ⊥MN 交NM 的延长线于点H ．利用三角形的面积公式求出OH ，再证明△OP 1P 2是等腰直角三角形，OP 最小时，△OP 1P 2的面积最小．【精准解析】连接OP ，过点O 作OH ⊥MN 交NM 的延长线于点H ，如图∵，MN =61122OMN S MN OH =⨯=△∴OH =4∵点关于对称的点为，点关于对称点为P OA 1P P OB 2P ∴∠AOP 1=∠AOP ，∠BOP 2=∠BOP ，OP =OP 1=OP 2∵∠AOB =45°∴∠P 1OP 2=2（∠AOP +∠BOP ）=2∠AOB =90°∴△OP 1P 2是等腰直角三角形∴当OP 1最小，△OP 1P 2的面积最小根据垂线段最短知，OP 的最小值为线段OH 的长，即为4∴△OP 1P 2的面积最小值为14482⨯⨯=故选：B ．【名师指路】本题考查了轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，关键是证明△OP 1P 2是等腰直角三角形，把求面积的最小值转化为线段的最小值，也体现了数学上的转化思想．7．（2021·广东实验中学越秀学校八年级期中）如图所示，，点是60AOB ∠=︒P 内一定点，并且，点、分别是射线，上异于点的动点，AOB ∠2OP =M N OA OB O 当的周长取最小值时，点到线段的距离为（ ）PMN A O MNA ．1B ．2C ．4D ．1．5【标准答案】A【思路点拨】分别作点P 关于OB 和OA 的对称点P '和P ''，连接OP '、OP ''、P 'P ''，则P 'P ''与OB 的交点为点N '，P 'P ''与OA 的交点为点M '，连接PN '、PM '，则此时P 'P ''的值即为△PMN的周长的最小值，过点O 作OC ⊥P 'P ''于点C ，求得∠OP 'P ''的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案．【精准解析】解：分别作点P 关于O B 和OA 的对称点P '和P ''，连接OP '、OP ''、P 'P ''，则P 'P ''与OB 的交点为点N '，P 'P ''与OA 的交点为点M '，连接PN '、PM '，则此时P 'P ''的值即为△PMN 的周长的最小值，过点O 作OC ⊥P 'P ''于点C ，如图所示：由对称性可知OP ＝OP '＝OP ''，∵∠AOB ＝60°，∴∠P 'OP ''＝2×60°＝120°，∴∠OP 'P ''＝∠OP ''P '＝30°，∵OP ＝2，OC ⊥P 'P ''，∴OC ＝OP '＝1．12故选：A ．【名师指路】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．8．（2021·广东·深圳市高级中学八年级开学考试）如图，在ABC 中，BD 、CE 分别A 是∠ABC 和∠ACB 的平分线，AM ⊥CE 于P ，交BC 于M ，AN ⊥BD 于Q ，交BC 于N ，∠BAC ＝110°，AB ＝6，AC ＝5，MN ＝2，结论①AP ＝MP ；②BC ＝9；③∠MAN ＝30°； ④AM ＝AN ．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【标准答案】C【思路点拨】先证明ACP ≌MCP ，根据全等三角形的性质得到AP ＝MP ，判断①；再证明ABQ A A A ≌NBQ ，根据全等三角形的性质得到CM ＝AC ＝5，BN ＝AB ＝6，结合图形计算，判A 断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．【精准解析】解：∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠ACP ＝∠NCP ，∵AM ⊥CE ，∴，90CPA CPM ∠=∠=︒在ACP 和MCP 中，A A ，ACP MCP CP CP CPA CPM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ACP ≌MCP （ASA ），A A ∴AP ＝MP ，∠CMA ＝∠CAM ，①结论正确；∵ACP ≌MCP ，A A ∴CM ＝AC ＝5，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABQ ＝∠NBQ ，∵AN ⊥BD ，∴，90BQA BQN ∠=∠=︒在ABQ 和NBQ 中，A A ，ABQ NBQ BQ BQBQA BQN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABQ ≌NBQ （ASA ），A A ∴BN ＝AB ＝6，∠BNA ＝∠BAN ，∴BC ＝BN +CM ﹣MN ＝5+6﹣2＝9，②结论正确；∵∠BAC ＝110°，∴∠MAC +∠BAN ﹣∠MAN ＝110°，∵∠CMA ＝∠CAM ，∠BNA ＝∠BAN ，∴∠CMA+∠BNA﹣∠MAN＝110°，A又∵在AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③结论错误；④∵AB＝6，AC＝5，∴AB≠AC，∴∠ABC≠∠ACB，∵∠ABC＋2∠ANM＝180°，∠ACC＋2∠AMN＝180°，∴180°－2∠ANM≠180°－2∠AMN，∴∠AMN≠∠ANM，∴AM≠AN，④结论错误，∴正确的结论有①②，故选：C．【名师指路】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，也考查了等腰三角形的判定．9．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学八年级开学考试）如图，D是AB边上的中点，A将ABC沿过D点的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B＝50°，则∠BDF的大小为（）A．50°B．80°C．90°D．100°【标准答案】B【思路点拨】由折叠的性质，即可求得AD＝DF，又由D是AB边上的中点，即可得DB＝DF，根据等边对等角的性质，即可求得∠DFB＝∠B＝50°，再由三角形的内角和定理，即可求得∠BDF的度数．【精准解析】解：∵折叠，∴AD ＝DF ，∵D 是AB 边上的中点，∴AD ＝BD ，∴BD ＝DF ，∵∠B ＝50°，∴∠DFB ＝∠B ＝50°，∴∠BDF ＝180°﹣∠B ﹣∠DFB ＝80°．故选：B ．【名师指路】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．10．（2021·广东·东莞市沙田瑞风实验学校八年级期中）如图，在中，ABC ∆AB BC =，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1=∠2，AD =AB ．下列结论中，正确的个数是（） ①∠1=∠EFD ；②BE =EC ；③BF =DF =CD ；④FD BC//A ．B ．C ．D ．1234【标准答案】C【思路点拨】根据等腰直角三角形的“三合一”性质、角平分线的性质、全等三角形ABC 的性质对以下选项进行一一验证即可．ADF ABF ∆≅∆【精准解析】解：在中，，，，ABC ∆AB BC =AB BC ⊥BE AC ⊥；AE CE BE ∴==故②正确；在和中，ADF ∆ABF ∆，()12AD AB AF AF ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩公共边，()ADF ABF SAS ∴∆≅∆，ADF ABF ∴∠=∠，,AB BC AB BC ⊥= 为等腰直角三角形，ABC ∴A ，BE AC ⊥ ，90CEB AEB ∴∠=∠=︒，45ABF CBE ∴∠=∠=︒45ADF ABF ∴∠=∠=︒，45C ∠=︒ ，45ADF ABE ∴∠=∠=︒，45ADF C ∴∠=∠=︒（同位角相等，两直线平行），//DF BC ∴故④正确；，ADF ABF ∆≅∆ （全等三角形的对应边相等）．DF BF ∴=又，，//DF BC BE EC =，EF DF ∴=，CD BF DF ∴==故③正确；，，．45EAB ∠=︒ 12∠=∠1122.52EAB ∴∠=∠=︒又，//DF BC ，45EFD EBC ∴∠=∠=︒；1EFD ∴∠≠∠故①错误；综上所述，正确的说法有②③④三种；故选：C ．【名师指路】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是充分利用了等腰三角形的“三合一”的性质．二、填空题11．（2021·广东·广州市第十六中学八年级开学考试）已知等腰中，一腰上ABC A AC 的中线将的周长分成和两部分，则这个三角形的腰长和底边长分BD ABC A 9cm 15cm 别为_______．【标准答案】10cm ，4cm【思路点拨】将腰长与腰长的一半分为9cm 和15cm 两种情况，分别求出腰长，再求出底边，然后根据三角形的任意两边之和不能大于第三边进行判断即可.【精准解析】解：设腰长为x cm ，腰长与腰长的一半是9cm 时，x +x =9，12解得x =6，所以，底边=15﹣×6=12，12∵6+6=12，∴6cm 、6cm 、12cm 不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm 时，x +x =15，12解得x =10，所以，底边=9﹣×10=4，12所以，三角形的三边为10cm 、10cm 、4cm ，能组成三角形，故答案为： 10cm ， 4cm ．【名师指路】本题主要考查了中线的定义以及三角形两边之和不能大于第三边，正确理解等腰三角形以及中线的定义并熟练掌握三角形的两边之和不能大于第三边是解答本题的关键.12．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学八年级期末）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =36°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =36°，DE 交线段AC 于点E ，点D 在运动过程中，若△ADE 是等腰三角形，则∠BDA 的度数为_________．【标准答案】72°或108°【思路点拨】利用外角的性质判断出，分类讨论当时和AED ADE ≠∠∠AED DAE =∠时，两种情况，利外角的性质和角的等量代换运算即可．36ADE DAE ==︒∠∠【精准解析】解：∵AB AC=∴36B C ∠=∠=︒∵36AED EDC C EDC =+=+︒∠∠∠∠∴AED ADE≠∠∠∴当时，则AED DAE =∠180180367222ADE AED DAE ︒-︒-︒====︒∠∠∴7236108ADB DAE C =+=︒+︒=︒∠∠∠当时，则36ADE DAE ==︒∠∠363672ADB DAE C =+=︒+︒=︒∠∠∠故答案为：或72︒108︒【名师指路】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，外角的性质，灵活运用外角的性质是解题的关键．13．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，△ABC 的面积为12，AB ＝AC ，BC ＝4，AC 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 边于点E ，F ，若点D 为BC 边的中点，点P 为线段EF 上一动点，则△PCD 周长的最小值为 ___．【标准答案】8【思路点拨】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角AD ABC ∆D BC AD BC ⊥形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线AD EF AC C的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．EF A AD CP PD +【精准解析】解：连接，AD是等腰三角形，点是边的中点，ABC ∆ D BC ，AD BC ∴⊥，1141222ABC S BC AD AD ∆∴==⨯⨯=A 解得：，6AD =是线段的垂直平分线，EF AC 点关于直线的对称点为点，∴C EF A 的长为的最小值，AD ∴CP PD +的周长最短．CDP ∴∆11()6462822CP PD CD AD BC =++=+=+⨯=+=故答案为：8．【名师指路】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角-形三线合一的性质．14．（2021·广东·广州市越秀区育才实验学校八年级期中）△ABC 中，AB ＝AC ＝12厘米，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，若点Q 的运动速度为 ___米/秒，△BPD 能够与△CQP 全等．【标准答案】3或4.5．【思路点拨】根据等腰三角形的性质得出∠B ＝∠C ，根据全等三角形的判定得出两种情况：①BD ＝CP ，BP ＝CQ ，②BD ＝CQ ，BP ＝PC ，设运动时间为t 秒，列出方程，再求出答案即可．【精准解析】解：设运动时间为t 秒，∵AB ＝12厘米，点D 为AB 的中点，∴BD ＝AB ＝6（cm ），12∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴要使，△BPD 能够与△CQP 全等，有两种情况：①BD ＝CP ，BP ＝CQ ，8﹣3t ＝6，解得：t ＝，23∴CQ ＝BP ＝3×＝2，23∴点Q 的运动速度为2÷＝3（厘米/秒）；23②BD ＝CQ ，BP ＝PC ，∵BC ＝8厘米，∴BP ＝CP ＝BC ＝4（厘米），12即3t ＝4，解得：t ＝，43∴CQ ＝BD ＝6厘米，∴点Q 的运动速度为6÷＝4.5（厘米/秒），43故答案为：3或4.5．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．15．（2020·广东·广州外国语学校附属学校八年级期末）已知：如图，△ABC 是等边三角形，延长AC 到E ，C 为线段AE 上的一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ,OC ．以下五个结论：①AD=BE ；②AP=BO ；③PQ//AE ；④∠AOB=60°；⑤OC 平分∠AOE ；结论正确的有_________（把你认为正确的序号都填上）【标准答案】①③④⑤【思路点拨】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD △BCE ，根据全等≅三角形对应边相等可得AD=BE ，所以①正确；由△ACD △BCE 得∠CAD=∠CBE ，加上∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC ，得到△ACP ≅△BCQ （ASA ），所以AP=BO ，故②错误；≅根据△ACP △BCQ ，再根据PC=QC ，推出△PCQ 是等边三角形，又由∠ACB=∠≅CPQ ，根据内错角相等，两直线平行，故③正确；利用等边三角形的性质，BC //DE ，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO ，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正确；根据三角形面积公式求出CN=CM ，根据角平分线性质即可判断⑤.【精准解析】①∵正三角形ABC 和正三角形CDE ，∴BC=AC ，DE=DC=CE ，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，，=∠=∠⎨⎪=⎧⎪⎩AC BC ACD BCE DC CE ∴△ACD △BCE （SAS ），≅∴AD=BE ；故①正确.②∵△ACD △BCE （已证），≅∴∠CAD=∠CBE ，∵∠BCA=∠DCE=60°（已证），∴=60°，180602∠=︒-⨯︒BCQ ∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP 和△BCQ 中，，=∠=∠∠⎧⎪⎨⎩=∠⎪AC BC CAD CBE ACB BCQ ∴△ACP △BCQ （ASA ），≅∴AP=BO ，故②错误.③∵△ACP △BCQ （已证），≅∴PC=QC ，∴△PCQ 是等边三角形.∴∠CPQ=60°，∴∠ACB=∠CPQ ，∴PQ//AE ，故③正确.④∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，在正三角形CDE 中，∠DEC =60°=∠BCD ，∴ BC//DE ，∴∠CBE=∠DEO ，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正确.⑤过C 作于M ，于N ，CM BE ⊥CN AD⊥∵△ACD △BCE ，≅∴，BE=AD ，∆∆=BCE ACD S S ∴1122⨯⨯=⨯⨯，BE CM AD CN ∴CM=CN ，∴OC 平分∠AOE ，故⑤正确；故答案为①③④⑤.【名师指路】本题主要考查了三角形的证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定、等边三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的判定.16．（2020·广东福田·八年级期中）如图，已知等腰△ABC ，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面结论：①∠APO=∠ACO ；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO ；④AO+AP=AC ；其中正确的有________.(填上所有正确结论的序号)【标准答案】①②③④【思路点拨】连接，证明，利用等腰三角形的性质可判断结论①；由线段垂直平分线的OB OP OB =性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO 与∠DCO 的和等于30°，再证明是等边三角形，可判断结论②，③；, 在线段AC POC ∆上截取AE=AP ，连接PE ，证明△APO ≌△EPC 可判断结论④．【精准解析】解：如图，连接,OB∵AD ⊥BC ，,AB AC =是的中垂线，，AD ∴BC A ABC CB =∠∠,OB OC ∴=,OBC OCB ∴∠=∠,ABO ACO ∴∠=∠,OP OC = ,OP OB ∴=,OBP OPB ∴∠=∠ 即结论①正确；,APO ACO ∠=∠ 连接BO ，如图1所示：,120,AB AC BAC =∠=︒30,ABC ACB ∴∠=∠=︒由,APO ACO ∠=∠30,APO DCO ACO DCO ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒1803030120,OPC OCP ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒60,POC ∠=︒,OP OC = 是等边三角形，POC ∴∆60,PCO ∴∠=︒ 60603090,PCB APO PCO DCO APO DBO ABO ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠+∠=︒+︒=︒即结论②正确；是等边三角形，POC ∆,PC PO ∴=即结论③正确；在线段AC 上截取AE=AP ，连接PE ，如图所示：∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，∴∠CAP=60°，∴△APE 是等边三角形，∴AP=EP ，又∵△OPC 是等边三角形，∴OP=CP ，又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，∴∠APO=∠EPC ，在△APO 和△EPC 中，， AP EP APO EPC OP CP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△APO ≌△EPC （SAS ），∴AO=EC ，又∵AC=AE+EC ，AE=AP ，∴AC=AO+AP ， 即结论④正确；综合所述，①，②，③，④都正确，故答案为：①，②，③，④．【名师指路】本题综合考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角的和差，线段的和差，等量代换等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，难点是作辅助线构建等腰三角形，等边三角形，全等三角形．17．（2020·广东·广州市育才中学八年级期中）如图，在等腰中，ABC ∆是的高，分别是上一动点，则 5AB AC AD ==，ABC ∆4,3,AD BD E F ==、AB AD 、的最小值为__________．BF EF+【标准答案】245【思路点拨】利用等腰三角形的对称性找到点B 的对称点C ，连接CE ，当CE ⊥AB 时，线段的和最小，再运用等面积法求CE 的长度即可．【精准解析】如图所示：点B 关于AD 的对称点是点C ，∴BF ＝CF ，∴BF ＋EF ＝CF ＋EF ＝CE ，当CE ⊥AB 时，线段的长度有最小值，利用△ABC 面积的两种表示方法，得：，11BC AD=AB CE 22⋅⋅∵BC ＝2BD ＝6，AD ＝4，AB ＝5，∴，1164=5CE 22⨯⨯⨯⋅解得：．24CE=5【名师指路】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用等面积法求线段长度是解题的关键．18．（2021·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，已知∠AOB ＝a ，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1＝OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B ＝B 1A 2，连接A 2B 2，…，按此规律，记∠A 2B 1B 2＝θ1，∠A 3B 2B 3＝θ2，…，∠A n +1B n B n +1＝θn ，则θ2021﹣θ2020的值为__．【标准答案】．20211802α︒-【思路点拨】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 1B 1O ，再根据平角等于180°列式用α表示出θ1，再用θ1表示出θ2，并求出θ2﹣θ1，依此类推求出θ3﹣θ2，…，θ2021﹣θ2020，即可得解．【精准解析】解：∵OA 1＝OB 1，∠AOB ＝α，∴∠A 1B 1O ＝（180°﹣α）．12∴（180°﹣α）+θ1＝180°．12∴θ1＝．o 1802α+∵B 1B 2＝B 1A 2，∠A 2B 1B 2＝θ1，∴，o 12211802A B B θ-=∠∵o2212=180A B B θ+∠∴，o o 12180=1802θθ-+整理得：，o 2540=4αθ+∴．o o o 21540180180==424αααθθ++---同理可求：，o o 231801260==28θαθ++∴o o o 321260540180==848αααθθ++---•••以此类推， o 202120202021180=2αθθ--故答案为：．o 20211802α-【名师指路】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键在于能够准确找到规律求解.19．（2021·广东·广州市培正中学八年级期中）如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【标准答案】12⎛ ⎝【思路点拨】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可．【精准解析】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D 点作x 轴的垂线交于x 2处，∵△OAB 是等边三角形，且OA =2，∴在Rt △AD x 2中，∠DA x 2=60°，AD =1，∴，212Ax =2Dx =故D 点的坐标为，即P 3;32⎛ ⎝32⎛ ⎝第4秒结束时P 点运动到了点B 的位置，同理过B 点向x 轴作垂线恰好交于点C ，在Rt △OBC 中，∠BOC =60°，，,2OB =1OC =，BC故B 点的坐标为（1P 4（1第5秒结束时P 点运动到了线段OB 的中点E 的位置，根据点D 即可得出E 点的坐标为，即 P 5；12⎛ ⎝12⎛ ⎝第6秒结束时运动到了点O 的位置，所以P 6的坐标为P 6（0，0）；第7秒结束时P 点的坐标为P 7（1，0），与P 1相同；……由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环，∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为，12⎛ ⎝故答案为：．12⎛ ⎝【名师指路】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．20．（2020·广东·广州大学附属中学八年级期中）在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是边BC 上一点，连接AD ，若∠BAD ＋3∠CAD ＝90°，DC ＝a ，BD ＝b ，则AB ＝________. （用含a ，b 的式子表示）【标准答案】2a+b.【思路点拨】延长BC 至点E ，使CE=CD=a ，连接AE ，利用∠BAD ＋3∠CAD ＝90°，∠CAB+∠B ＝90°，证得∠B=2∠CAD ，再利用CE=CD,AC ⊥CD,证得△AED 是等腰三角形，推出∠E=∠EAB,由此得到AB=EB=2a+b.【精准解析】如图，延长BC 至点E ，使CE=CD ，连接AE ，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，AC⊥CD,∵∠BAD＋3∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD=∠BAC,∴∠B=2∠CAD,∵CE=CD,AC⊥CD,∴AC垂直平分ED,∴AE=AD,即△AED是等腰三角形，∴∠EAC=∠CAD,∴∠EAD=2∠CAD=∠B,∴∠EAB=∠B+∠BAD,∵∠E=∠ADE=∠B+∠BAD,∴∠E=∠EAB,∴AB=EB,∵EB=EC+CD+BD=a+a+b=2a+b，∴AB=2a+b.故填：2a+b.【名师指路】此题考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，延长BC至点E，使CE=CD是关键的辅助线，由此将直角三角形转化为等腰三角形来证明.三、解答题21．（2020·广东·龙华新区实验学校八年级期中）解答下列问题：（1）模型建立：如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C 位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为_________（用含a，b的式子表示）；（2）模型运用：如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）灵活运用：如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．【标准答案】（1）a＋b；（2）①见解析；②13；（3）6＋【思路点拨】（1）根据点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到CD=AC，EC=CB，∠ACD=∠BCE=60°，推出△DCB≌△ACE，根据全等三角形的性质得到AE=BD；②由于线段AE长的最大值=线段BD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）如图3中，连接BN，将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，易知PA AN长的最大值=线段BP长的最大值，当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值，由此即可解决问题．【精准解析】解：（1）∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC＋AB＝a ＋b，故答案为：a＋b；（2）①证明：如图2中，∵△ACD 与△BCE 是等边三角形，∴CD ＝AC ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCB ＝∠ACE ，在△CBD 与△CEA 中，，CD CA DCB ACE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBD ≌△CEA （SAS ），∴AE ＝BD ；②∵线段AE 长的最大值＝线段BD 的最大值，由（1）知，当线段BD 的长取得最大值时，点D 在BA 的延长线上，∴最大值为AD ＋AB ＝3＋10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN 绕着点M 顺时针旋转90°得到△PBM ，连接AP ，则△APM 是等腰直角三角形，∴MA ＝MP ＝2，BP ＝AN ，∴PA ＝，∵AB ＝6，∴线段AN 长的最大值＝线段BP 长的最大值，∴当P 在线段BA 的延长线时，线段BP 取得最大值＝AB ＋AP ＝6＋【名师指路】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及旋转的性质的综合应用．注意等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．22．（2021·广东·广州市真光中学八年级期中）如图，等边中，，关于轴ABC ∆A B y 对称，交轴负半轴于点，．AD AC ⊥y D ()0,6C （1）如图1，求点坐标；D （2）如图2，为轴负半轴上任一点，以为边作等边，的延长线交E x CE CEF ∆FA y 轴于点，求的长；G OG （3）如图3，在（1）的条件下，以为顶点作的角，它的两边分别与、交D 60︒CA BC 于点和，连接．探究线段、、之间的关系，并子以证明．M N MN AM MN NB【标准答案】（1）；（2）6；（3），证明详见解析()0,2D -MN NB AM =+【思路点拨】(1)先证∠ACO ＝30°，在Rr △ACO 中由勾股定理求出AC 的长，再在Rt △ACD 中求出CD 的长，即可求出OD 的长，进步写出点D 坐标；(2)证△FCA9≌△ECB ，求出∠GAO ＝60°，再证△CAO2△GAO ，即可得到OG ＝OC ＝6；(3)如图3，延长MA 至点H ，使AH ＝BN ，连接BD ，先证△DAH ≌△DBN ，再证△DMI ≌△DMN ，即可推出AM+BN ＝MN.【精准解析】（1）(1)△ABC 为等边三角形，A ，B 关于y 轴对称，C(0，6),∵6CO AB CO ⊥，＝，∴1302AO BO ACO BCO ACB ∠∠∠︒＝，＝＝＝在中设则，Rt ACO A AO x ＝，2AC x ＝∵，222AO CO AC =＋∴，()222x 2x =＋6解得，取正值)，∴AO AC ∵AD AC ⊥∴在中，设则，Rt ADC A AD a ＝，2CD a ＝∵222AD AC CD +=(()222a 2a +=解得，(取正值)a 4＝∴，=4=8AD CD ，∴，=2OD CDCO =﹣∴；()0,2D -（2）、均为等边三角形CEF DABC ∆，，CE CF ∴=AC BC =60ECF ACB ∠=∠=︒，即ECF ECA ACB ECA ∴∠+∠=∠+∠FCA ECB∠=∠在和中FCA ∆ECB ∆FC EC FCA ECBAC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()FCA ECB SAS \D @D 60FAC EBC \Ð=Ð=°18060GAB CAB FAC \Ð=°-Ð-Ð=°，平分30AGC ACG \Ð=Ð=°AO CAG∠．6OG OC \==（3），证明如下：MN NB AM =+如图，延长至点，使，连接、，NB H BH AM =DH BD由题意得：，AD BD =BD BC⊥在和中AMD ∆BHD ∆90AM BH MAD HBD AD BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()AMD BHD SAS \D@D ，DM DH \=MAD HDBÐ=Ð，60ACB ∠=︒ 90MAD HBD Ð=Ð=°120ADB \Ð=°又60MDN Ð=°60MDA NDB \Ð+Ð=°，即60HDB NDB \Ð+Ð=°60HDN Ð=°在和中MDN ∆HDN ∆60MD HD MDN HDN DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()MDN HDN SAS \D@D MN HN\=HN NB BH NB AM=+=+ ．MN NB AM \=+【名师指路】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，解题关键是证线段的和差关系时会用截长补短的作方法.23．（2021·广东·佛山市南海石门实验中学八年级月考）如图，在中，ABC A ，平分线交于点，点为上一动点，过作直线2ACB B ∠=∠BAC ∠AO BC D H AO H 于，分别交直线、、于点、、．l AO ⊥H AB AC BC N E M（1）当直线经过点时（如图2），求证：；l C BN CD （2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明；M BC CE CD （3）请直接写出、和之间的数量关系．BN CE CD 【标准答案】（1）见解析；（2）CD=2CE ，证明见解析；（3）当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ；当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ；当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN ．【思路点拨】（1）连接ND ，先由已知条件证明DN=DC ，再证明BN=DN 即可；（2）当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE ，过点C 作CN'⊥AO 交AB 于N'．过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ，再证明△BNM ≌△CGM 问题得证；（3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M 在线段BC 上时；②当点M 在BC 的延长线上时；③当点M 在CB 的延长线上时；由（2）即可得出结论．【精准解析】（1）证明：连接ND ，如图2所示：∵AO 平分∠B AC ，∴∠BAD=∠CAD ，∵直线l ⊥AO 于H ，。
人教版八年级数学上册《等腰三角形》拓展练习
《等腰三角形》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个2．（5分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定3．（5分）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5B．3C．4.5D．94．（5分）已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6，底角为30°，动点P从点B向点C运动，当△P AB是直角三角形时BP长为（）A．4B．2或3C．3或4D．35．（5分）如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（）A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE ＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长．7．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠BAD＝50°，则∠EDC ＝°．8．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点D作DF⊥BC于点F，且BD ＝BC＝AD，则∠CDF的度数为．9．（5分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，如果AB ＝CD，∠C＝20°，那么∠A＝度．10．（5分）一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）在等腰三角形ABC中，（1）若∠A＝110°，则∠B＝度；（2）若∠A＝40°，则∠B＝度．通过上述解答，发现∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝α，求∠B的度数（用含α的式子表示）．请你根据∠B的度数的个数探索α的取值范围．12．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）13．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．14．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm．（1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N；（2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长．15．（10分）如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．（1）若∠B＝60°，求∠C的值；（2）求证：AD是∠EAC的平分线．《等腰三角形》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．2．（5分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°HN＝MN＝x即可解决问题；【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵∠MON＝30°，∴∠CBH+∠∠ABM+∠CBN＝30°，∴∠NBM＝∠NBH，∵BM＝BH，BN＝BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN＝NH＝x，∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝n，∴∠NCH＝120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（5分）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5B．3C．4.5D．9【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．4．（5分）已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6，底角为30°，动点P从点B向点C运动，当△P AB是直角三角形时BP长为（）A．4B．2或3C．3或4D．3【分析】先画出符合的两种情况，图1中，根据等腰三角形的性质求出BP即可；图2中先求出BP＝2P A，再根据勾股定理求出即可．【解答】解：当∠APB＝90°时，如图1，∵AB＝AC，BC＝6，∴BP＝CP＝BC＝3；∵∠B＝30°，∴AB＝2AP，由勾股定理得：（2AP）2＝AP2+32，解得：AP＝，AB＝2AP＝2，当∠BAP＝90°，如图2，∵∠B＝30°，∴BP＝2AP，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，（2）2+AP2＝（2AP）2，解得：AP＝2，BP＝2AP＝4；所以BP＝3或4，故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，能熟练地运用含30°角的直角三角形的性质进行推理是解此题的关键．5．（5分）如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（）A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠2【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1和∠C之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1和∠2之间的关系．【解答】解：∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1，∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1，∴3∠1﹣∠2＝180°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE ＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长．【分析】连接AE，根据等腰三角形的性质及勾股定理得到AE＝CE，证明A、D、C、E四点共圆，根据同弧所对圆周角相等，得到∠ADE＝30°．过A点作AM⊥DE，易得△AME是等腰直角三角形，从而求出AM长度，在Rt△AMD中，根据30°直角三角形的性质可求AD长度．【解答】解：连接AE，过点A作AH⊥BC于H点，在Rt△ABH中，∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝3．利用勾股定理可得BH＝3，根据等腰三角形性质可知CH＝BH＝3，BC＝6．∴CE＝BC＝2．∴HE＝CH﹣CE＝．在Rt△AHE中，由勾股定理可求AE＝2．所以AE＝CE，∠CAE＝∠ACB＝30°，所以∠AEB＝60°＝∠ADC．∴点A、D、C、E四点共圆，∴∠ADE＝∠ACE＝30°，所以∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．∵DE＝DC，∴∠DEC＝75°．∴∠AED＝120°﹣75°＝45°．过点A作AM⊥DE于M点，则AM＝AE＝．在Rt△AMD中，∠ADM＝30°，∴AD＝2AM＝．故答案为2．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角的性质，正确作出辅助线、辅助圆是解题的关键．7．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠BAD＝50°，则∠EDC＝25°．【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADC和∠AED，然后求出∠EDC与∠BAD 的关系，再代入数据计算即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，在△ABD中，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+∠BAD﹣∠EDC，在△CDE中，∠AED＝∠EDC+∠C，∴∠B+∠BAD﹣∠EDC＝∠EDC+∠C，∴∠EDC＝∠BAD，∵∠BAD＝50°，∴∠EDC＝×50°＝25°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，主要利用了等边对等角的性质，熟记性质并求出∠EDC与∠BAD的关系是解题的关键．8．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点D作DF⊥BC于点F，且BD ＝BC＝AD，则∠CDF的度数为18°．【分析】设∠A＝α，可得∠ABD＝α，∠C＝∠BDC＝2α，∠ABC＝2α，再根据△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，即可得到∠C的度数，再根据DF⊥BC，即可得出∠CDF的度数．【解答】解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ACB＝∠ABC，∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠C＝∠BDC＝2α，∠ABC＝2α，∵△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴α+2α+2α＝180°，∴α＝36°，∴∠C＝72°，又∵DF⊥BC，∴Rt△CDF中，∠CDF＝90°﹣72°＝18°，故答案为：18°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．9．（5分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，如果AB ＝CD，∠C＝20°，那么∠A＝40度．【分析】连接DB，根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠BDA＝2∠C，证明BA＝BD，得到∠A＝∠BDA，只要证明∠A＝2∠C即可解决问题；【解答】解：连接DB，∵DE是边BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠BDA＝2∠C，∵AB＝CD，DB＝DC，∴BA＝BD，∴∠A＝∠BDA，∴∠A＝2∠C，∵∠C＝20°，∴∠A＝40°，故答案为40．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．（5分）一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝130°．【分析】由等边三角形和直角三角形可得∠1+α＝120°，∠2+β＝90°，且∠3＝α+β＝80°，可求得∠1+∠2．【解答】解：如图，由等边三角形和直角三角形可得∠1+α＝120°，∠2+β＝90°，∴∠1+∠2+α+β＝90°+120°＝210°，且∠3＝α+β，∴α+β＝80°，∴∠1+∠2＝210°﹣80°＝130°，故答案为：130°．【点评】本题主要考查等边三角形的性质及外角的性质，由条件利用α、β得到∠3和∠1、∠2之间的关系是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）在等腰三角形ABC中，（1）若∠A＝110°，则∠B＝35度；（2）若∠A＝40°，则∠B＝70或100或40度．通过上述解答，发现∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝α，求∠B的度数（用含α的式子表示）．请你根据∠B的度数的个数探索α的取值范围．【分析】（1）根据三角形内角和定理，因为∠A＝110°＞90°，即可得到∠B＝∠C＝35°；（2）根据三角形内角和定理，因为∠A＝40°＜90°，所以推出∠A＝∠B或∠A＝∠C 或∠B＝∠C，进而得到∠B的度数．分两种情况：①90°≤α＜180°；②0°＜α＜90°，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）∵∠A＝110°＞90°，∴∠A为顶角，∴∠B＝∠C＝35°；故答案为：35；（2）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）＝70°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×40°＝100°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝40°；故∠B＝70或100或40；分两种情况：①当90°≤α＜180°时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0°＜α＜90°时，若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2α）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝α．当90°﹣≠180°﹣2α且180°﹣2α≠α且90°﹣≠α，即α≠60°时，∠B有三个不同的度数．∴当0°＜α＜90°且α≠60°时，∠B有三个不同的度数．综上所述，当90°≤α＜180°时，∠B的度数只有一个；当0°＜α＜90°且α≠60°时，∠B有三个不同的度数．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．12．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）【分析】（1）先由AB＝AC，∠A＝36°，可求∠B＝∠ACB＝＝72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD＝DC，进而可得∠ACD＝∠A＝36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，根据等角对等边可得：CD＝CB，进而可证△BCD是等腰三角形；（2）由（1）知：AD＝CD＝CB＝b，由△BCD的周长是a，可得AB＝a﹣b，由AB＝AC，可得AC＝a﹣b，进而得到△ACD的周长＝AC+AD+CD＝a﹣b+b+b＝a+b．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝＝72°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴∠ACD＝∠A＝36°，∵∠CDB是△ADC的外角，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，∴∠B＝∠CDB，∴CB＝CD，∴△BCD是等腰三角形；（2）∵AD＝CD＝CB＝b，△BCD的周长是a，∴AB＝a﹣b，∵AB＝AC，∴AC＝a﹣b，∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝a﹣b+b+b＝a+b．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．13．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；（2）利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM＝∠MAC＝．∴∠MAD＝∠MAC+∠DAC＝＝．∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∴∠MAD+∠ADC＝180°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND＝∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN＝∠NDC＝∠AND．∴AD＝AN，∴△ADN是等腰直角三角形．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答．14．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm．（1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N；（2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长．【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AM＝BM，从而将△MBC的周长转化为：AM+CM+BC，即AC+BC＝14cm，依此可求BC．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∵△MBC的周长是14cm，∴MB+MC+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC＝14cm，∵AC＝8cm，∴BC＝6cm．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的作法与性质，熟记用尺规作线段垂直平分线及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．15．（10分）如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．（1）若∠B＝60°，求∠C的值；（2）求证：AD是∠EAC的平分线．【分析】（1）根据已知条件得到∠BAD＝∠BDA＝60°，于是得到AB＝AD，等量代换得到CD＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C，推出∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，即可得到结论；（2）证明：延长AE到M，使EM＝AE，连接DM，推出△ABE≌△MDE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠MDE，AB＝DM，根据全等三角形的判定定理得到△MAD≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠MAD＝∠CAD于是得到结论．【解答】（1）解：∵∠B＝60°，∠BDA＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BDA＝60°，∴AB＝AD，∵CD＝AB，∴CD＝AD，∴∠DAC＝∠C，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，∵∠BAD＝60°，∴∠C＝30°；（2）证明：延长AE到M，使EM＝AE，连接DM，在△ABE和△MDE中，，∴△ABE≌△MDE，∴∠B＝∠MDE，AB＝DM，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠MDE+∠BDA＝∠ADM，在△MAD与△CAD，，∴△MAD≌△CAD，∴∠MAD＝∠CAD，∴AD是∠EAC的平分线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．。
《等腰三角形与等面积法》进阶练习(一)
《等腰三角形与等面积法》进阶练习一．选择题1．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是（）A.6B.12C.24D.482．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的（）A. B. C. D.二．填空题3．如图，已知 DE是△ ABC的中位线， S△ADE＝4，则 S△ABC＝ __ __ .4．直角三角形两直角边长分别为15 、20，则它的斜边上的高为_____.三．解答题5．一个零件的形状如图3所示，工人师傅按规定做得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD ＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？参考答案1．C2．C3．164．125．解：∵42+32=52，52+122=132，即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，同理，∠ACD=90°，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36．答：这块钢板的面积是36.解析1.【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质以及勾股定理是解题的关键．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由菱形ABCD的周长是20，即可求得AB=5，然后由股定理即可求得OA的长，继而求得AC的长，则可求得菱形ABCD的面积．【解答】解：∵菱形ABCD的周长是20，∴AB=20÷4=5，AC⊥BD，OB=BD=3，∴OA==4，∴AC=2OA=8，∴菱形ABCD的面积是AC•BD=×8×6=24．故选C．2．【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点．注意分两种情况探讨：（1）当正方形A1B1C1O边与正方形ABCD的对角线重合时；（2）当转到一般位置时，由题求证△AEO≌△BOF，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积，得出结论．【解答】解：（1）当正方形绕点O转动到其边OA1，OC1分别于正方形ABCD的两条对角线重合这一特殊位置时，显然S两个正方形重叠部分=S正方形ABCD，（2）当正方形绕点O转动到如图位置时，∵四边形ABCD为正方形，∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OBBO⊥AC，即∠AOE+∠EOB=90°，又∵四边形A1B1C1O为正方形，∴∠A1OC1=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE和△BOF中，∴△AOE≌△BOF（ASA），∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF，又S△AOE=S△BOF∴S两个正方形重叠部分=S△BOA=S正方形ABCD，综上所知，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．故选C．3．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．由DE为三角形ABC的中位线，根据三角形中位线定理得到DE平行于BC，且DE等于BC的一半，再由两直线平行得到两对同位角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形ADE与三角形ABC相似，且相似比为1：2，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，得到三角形ADE与三角形ABC面积之比，由三角形ADE的面积即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，又S△ADE=4，则S△ABC=4S△ADE=16．故答案为16．4．【分析】本题考查勾股定理及面积法解决问题.先根据勾股定理求出斜边的长，再分别利用斜边与斜边上的高、两条直角边求面积，构造等式求出斜边上的高.【解答】解：由勾股定理可得：斜边长2=152+202=625，则斜边长=25，直角三角形面积S=×15×20=×25×斜边上的高，可得斜边上的高=12．故答案为12.5．【分析】本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的运用，证明△ACD是直角三角形是关键．由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．【解答】见答案．。
(完整版)等腰三角形三线合一专题练习[1]
![(完整版)等腰三角形三线合一专题练习[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/8aae49df844769eae109ed54.png)
等腰三角形三线合一专题训练1例1 如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上。
求BC=AB+DC 。
变 1 如图，AB // CD，/ A = 90° AB = 2, BC = 3, CD = 1, E 是AD 边中点。
求证：CE丄BE。
变2：如图，四边形ABCD中，AD / BC, E是CD上一点，且AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC.(1)求证：AE丄BE; (2)求证：E是CD的中点；(3)求证：AD+BC=AB.A n变3:\ ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM丄DN分别交AB、AC 于M、N，求证：（1）DM = DN。
A⑵若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
|\/|⑴已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF , EF交BC于点D .求证：DE=DF .⑵已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点. 求证：BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点，PC L AB于D, PEL AC于E, ?CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？变1若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为（）A 17B 22C 17 或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律1 1例1.在△ ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= —/ ACB BD与CE相交于点0,如图，/ B0C勺大小2 2与/A的大小有什么关系？1 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ BOC WZ A大小关系如何？3 31 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与Z A大小关系如何?n n会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC —腰上的中线BD?各这个等腰三角形周长分成15和6两部分,利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA PB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP 连结CQ （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.2）若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断△ PQC的形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD^^ ABC的高，AB=AC △ ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。
完整版)等腰三角形专项练习题
完整版)等腰三角形专项练习题BatchDoc-Word文档批量处理工具BatchDoc是一款方便快捷的Word文档批量处理工具，可以实现多种功能，如批量转换、批量重命名、批量加密、批量解密、批量压缩、批量解压等，提高了工作效率。
1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，已知∠A=36°，求∠1的度数。
解：由BD平分∠XXX可知∠ABD=∠CBD，又因为AB=AC，所以∠BAC=2∠ABD=2∠CBD，即∠1=180°-∠BAC=108°。
2.已知等腰三角形的两边长分别为5和6，求该等腰三角形的周长。
解：设等腰三角形的底边为x，则根据勾股定理可得x²=6²-(5/2)²=31.25，即x=√31.25，所以周长为2x+5+6=2√31.25+11≈17.5.3.在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积。
解：如图，设剪下的等腰三角形为△ABC，其中AB=AC=10，BC=x，则根据勾股定理可得x²=16²-10²=196，即x=14.所以△ABC的面积为(1/2)×10×14=70平方厘米。
4.如图，在等腰三角形ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，判断下列结论的正确性：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE。
解：①正确，因为∠XXX∠XXX∠XXX∠XXX∠BAC/2，所以△BDF、△CEF都是等腰三角形；②正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE，即DE=2BD；③错误，因为AB+AC=2AB≠AD+DE+EA=AD+2BD；④正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE。
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为( )A.12B.9C.12或9D.9或72.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为( )A.36°B.60°C.72°D.108°4.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝( )A.10°B.15°C.20°D.25°5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )A.BD＝CEB.AD＝AEC.DA＝DED.BE＝CD6.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( )A.有一个内角是60°B.有一个外角是120°C.有两个角相等D.腰与底边相等7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.150°8.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A.(1，1)B.(3，1)C.(3，3)D.(1，3)9.如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B为( )A.75°B.76°C.77°D.78°10.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.12 cm二、填空题11.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．12.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝3，AE＝4，则AC＝.13.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为.14.如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝________.15.已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为．16.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(蜨，同“蝶”)，如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP.若∠ADQ＝25°，则∠DCP的度数为.三、解答题17.如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，求∠B的度数.18.如图，△ABC中，AC＝BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F.（1）求证：CF∥AB；（2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数.19.如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(1)求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数.20.如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°.(1)若∠1＝50°，求∠2；(2)连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3.21.如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，点H是BC 边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．(1)求证：△ADC≌△FDB；(2)求证：CE＝12BF；(3)判断△ECG的形状，并证明你的结论；22.如图，已知在等边三角形ABC中，点D、E分别在直线AB、直线AC上，且AE＝BD．(1)当点D、E分别在边AC、边AB上时，如图1所示，EB与CD相交于点G，求∠CGE 的度数；(2)当点D、E分别在边CA、边AB的延长线上时，如图2所示，∠CGE的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出∠CGE的度数．答案1.A2.D3.C4.C.5.C6.C7.A8.D9.D10.C.11.答案为：100°.12.答案为：7.13.答案为：40°.14.答案为：75°15.答案为：72°.16.答案为：20°.17.解：∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°∴∠CAD＝(180°﹣100°)÷2＝40°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝100°＝40°＋100°＝140°∵DC＝DB∴∠B＝(180°﹣140°)÷2＝20°.18.（1）证明：∵AC＝BC∴∠B＝∠BAC∵∠ACE＝∠B+∠BAC∴∠BAC＝12∠ACE∵CF平分∠ACE∴∠ACF＝∠ECF＝12∠ACE∴∠BAC ＝∠ACF∴CF ∥AB ；（2）解：∵∠BAC ＝∠ACF ，∠B ＝∠BAC ，∠ADF ＝∠B ∴∠ACF ＝∠ADF∵∠ADF+∠CAD+∠AGD ＝180°，∠ACF+∠F+∠CGF ＝180° 又∵∠AGD ＝∠CGF∴∠F ＝∠CAD ＝20°.19.证明：(1)∵△ABC 是等边三角形∴AB ＝BC ，∠ABE ＋∠EBC ＝60°.∵△BEF 是等边三角形∴EB ＝BF ，∠CBF ＋∠EBC ＝60°.∴∠ABE ＝∠CBF.在△ABE 和△CBF 中⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF EB ＝BF ，∴△ABE ≌△CBF(SAS).∴AE ＝CF.(2)∵等边△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线∴∠BAE ＝30°，∠ACB ＝60°.∵△ABE ≌△CBF∴∠BCF ＝∠BAE ＝30°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝30°＋60°＝90°.20.解：(1)∵△ABC 是等边三角形∴∠B ＝∠A ＝∠C ＝60°∵∠B ＋∠1＋∠DEB ＝180°∠DEB ＋∠DEF ＋∠2＝180°∵∠DEF ＝60°∴∠1＋∠DEB ＝∠2＋∠DEB∴∠2＝∠1＝50°；(2)连接DF∵DF∥BC∴∠FDE＝∠DEB∵∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，∠FDE＋∠3＋∠DEF＝180°∵∠B＝60°，∠DEF＝60°∴∠1＝∠3.21.证明：(1)∵AB＝BC，BE平分∠ABC∴BE⊥AC，CE＝AE∵CD⊥AB∴∠ACD＝∠DBF在△ADC和△FDB中∴△ADC≌△FDB(ASA)；(2)∵△ADC≌△FDB∴AC＝BF又∵CE＝AE∴CE＝12BF；(3)△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点∴GH垂直平分BC∴GC＝GB∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°又∵BE⊥AC∴△ECG为等腰直角三角形.22.(1)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°在△ABE和△BCD中AE＝BD,∠A＝∠DBC,AB＝BC∴△ABE≌△BCD∴∠ABE＝∠BCD∵∠ABE＋∠CBG＝60°∴∠BDG＋∠CBG＝60°∵∠CGE＝∠BCG＋∠CBG∴∠CGE＝60°；(2)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°∴∠EAB＝∠CBD＝120°在△ABE和△BCD中AB＝BC,∠EAB＝∠CBD,AE＝BD∴△ABE≌△BCD(SAS)∴∠D＝∠E∵∠ABE＝∠DBG，∠CAB＝∠E＋ABE＝60°∴∠CGE＝∠D＋∠DBG＝60°．。
等腰三角形经典习题(必看)
等腰三角形经典习题(必看)题一：求等腰三角形的面积
题目描述
给定一个等腰三角形，已知底和高的长度分别为x和y，求该等腰三角形的面积。
解题思路
由于等腰三角形的底和高两边相等，可以利用三角形的面积公式求解。
面积公式为：$S = \frac{1}{2} \times x \times y$。
题二：求等腰三角形的周长
题目描述
给定一个等腰三角形，已知底的长度为x，求该等腰三角形的周长。
解题思路
由于等腰三角形的底和两边相等，可以利用周长公式求解。
周
长公式为：$P = 2 \times x + 2 \times \sqrt{\frac{x^2}{4} + y^2}$。
题三：求等腰三角形的顶角
题目描述
给定一个等腰三角形，已知底和高的长度分别为x和y，求该
等腰三角形的顶角。
解题思路
等腰三角形的顶角可以通过三角函数求得。
顶角的弧度可以表
示为：$r = \arctan(\frac{y}{\frac{x}{2}})$，然后将弧度转换为角度：$a = \frac{180 \times r}{\pi}$。
总结
通过以上题，我们可以掌握等腰三角形的面积、周长和顶角的
求解方法，这些基础知识对于进一步研究和应用等腰三角形有重要
意义。
以上为等腰三角形经典习题，希望对您的学习有所帮助。
专题 等腰三角形的性质与判定的综合运用(6大题型提分练)(原卷版)_1
八年级数学上册《第2章特殊三角形》专题等腰三角形的性质与判定的综合运用◆有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．◆等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).◆等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.◆有两边相等的三角形是等腰三角形.◆有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)．◆题型一等腰三角形的性质1．（2024春•新城区校级期末）已知一等腰三角形的周长为20，若其中一边长为6，则这个等腰三角形的腰长为（）A．6或8B．6或7C．6D．82．（2024春•永寿县校级月考）如图，△ABC的周长是20cm，AB＝AC＝7cm，AD⊥BC于点D，则BD的长为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm3．（2023秋•昌黎县期末）如图，在△ABD中，∠D＝20°，CE垂直平分AD，交BD于点C，交AD于点E，连接AC，若AB＝AC，则∠BAD的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．150°4．（2024春•永寿县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，BD⊥AC于点D，则∠DBC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．48°5．（2024春•章丘区期末）如图，△ABC的面积为36，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DE长为（）A．2B．3C．4D．66．（2024春•平陆县期末）如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF＝CF，∠ACB＝60°，∠CBF＝50°，则∠A的大小是（）A．40°B．50°C．60°D．100°7．（2024春•秦都区校级月考）△ABC中，AB＝AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于（）A．70°B．40°C．40°或70°D．70°或20°8．（2024春•宝丰县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是通过如图的作图痕迹作图而得，DE//BC，交AC于点E．（1）求证：DE＝CE；（2）若∠CDE＝34°，求∠A的度数．9．（2024春•龙华区期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上（不与端点重合），连接BE，CD．（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：，使得CD＝BE，并说明理由；（2）如图2，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，若∠BAC＝40°，BE平分∠ABC，求∠F的度数．题型二等腰三角形的判定1．（2023秋•冠县期中）下列能判定三角形是等腰三角形的是（）A．有两个角为30°、60°B．有两个角为40°、80°C．有两个角为50°、80°D．有两个角为100°、120°2．（2023春•文登区期中）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得∠BOC 是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（）A．OA＝OD B．AB＝CD C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB3．（2023秋•黄石港区校级月考）下列条件：∠已知两腰；∠已知底边和顶角；∠已知顶角与底角；∠已知底边和底边上的高，能确定一个等腰三角形的是（）A．∠和∠B．∠和∠C．∠和∠D．∠和∠4．（2023秋•阳东区期中）如图，在∠ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O且平行于BC的直线交AB于点M，交AC于N，连接AO，则图中等腰三角形的个数为（）A．5B．6C．7D．85．（2023春•南海区校级月考）已知：如图，在∠ABC中，AB＝AC，BP，CQ是∠ABC两腰上的高．求证：∠BCO是等腰三角形．6．（2023春•郓城县期中）如图，DE∠BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求证：∠DGE是等腰三角形．7．如图，在∠ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过G作EF∠BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：AD∠EF；（2）求证：∠AFG是等腰三角形．题型三等腰三角形的性质与判定的综合1．（2024春•海口期末）如图，O是△ABC内一点，OA＝OB＝OC．若∠BOC＝126°，则∠BAC＝度．2．（2024•寻乌县一模）如图，在△ABC中，∠A＝76°，D为AC边上一点．若BD将△ABC分成了两个等腰三角形，则∠C的度数为．3．（2024•喀什地区三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC边上一点，∠DAB＝45°．（1）求∠DAC的度数；（2）请说明：AB＝CD．4．（2024春•大方县校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB．（1）求证：△OBC为等腰三角形；（2）若∠ACF＝25°，求∠BOE的度数．5．（2024春•三水区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，EC＝3，BD＝4，求AC的长．6．（2023秋•绵阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，∠ADC的平分线交AC于点E，DE∥BC．（1）证明：△DBC是等腰三角形；（2）若BC＝2CE，求∠ADE的度数．7．（2023秋•拱墅区校级期末）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．（1）求证：EA＝EG；（2）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长．题型四利用等腰三角形的性质解决实际问题1．如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C的距离为（）A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来2．（2023秋•泗阳县期中）如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转当A端落地时，∠OAC＝25°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A'OA）是（）A．25°B．50°C．60°D．80°3．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°4．（2023春•青岛期末）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝18°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（）A．4B．5C．6D．无数5．如图，把量角器摆放在△AOC上，点A与点C恰在同一个半圆上，OC与130°的刻度线重合，射线OB与70°的刻度线重合，OB交AC于点D，则∠CDO的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．120°6．在如图①所示的钢架∠MAN中，需要焊上等长的钢条来加固钢架．若自左至右摆放，只能摆放7根，且AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P7P8．为了进一步加固该钢架，自点P8开始自右向左再焊上等长的钢条，如图②，且P8P9＝P9P10＝…＝P13P14＝AP14，则∠A的度数是（）A．不存在的B．10°C．12°D．15°7．（2023春•富平县期末）如图，大海中有两个岛屿A与B，∠BEQ＝30°，在海岸线PQ上的点F处测得∠AFP ＝60°，∠BFQ＝60°．（1）求证：AE＝AB；（2）若在海岸线PQ上的点E处测得∠AEP＝74°，求∠BAE的度数．题型五等腰三角形与动点运动问题1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝18厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，设运动时间为x．①PC＝（用含x的代数式表示）；②若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当x为何值时，以B，P，D为顶点的三角形与△CQP全等；③若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？（2）如果点Q以（1）③中的运动速度从点C出发，点P以3厘米/秒的速度从点B出发，都逆时针沿△ABC三边运动，点P，Q同时出发，运动时间为y．当y取何值时，点P与点Q第二次相遇？3．（2023秋•泰州月考）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝2时，BP＝cm；（2）当t为何值时，连接CP，DP，∠CDP是等腰三角形？题型六与等腰三角形相关的探究题1．（2023春•锦江区期末）如图，在∠ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，AE＝AC，AD∠CE，连接DE．（1）求证：∠DEC＝∠DCE；（2）若AC＝BC，BE＝CE．∠求∠B的度数；∠试探究AB﹣AC与BC﹣DE的数量关系，并说明理由．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA 逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．3．（2023春•峡江县期末）如图，在∠ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M．（1）若∠A＝40°，求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB之间有什么关系？4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．（1）如图1，填空∠A＝°，∠C＝°．（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．①求证：△BNE是等腰三角形；②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．5．（2023春•宝安区校级期中）如图①，∠AFH和∠AHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AF、AH交于点E、G．（1）若∠AFH＝80°，∠AHF＝70°，则∠EOF＝度，∠GOH＝度，∠FOH＝度．（2）若∠AFH+∠AHF＝130°，则∠FOH＝度．（3）如图②，∠AFH和∠AHI的平分线交于点O，EG经过点O，分别与AF、AH交于点E、G．若∠AFH+∠AHF＝140°，∠OHI＝50°，∠EOF＝30°，求证：EG∥FH．。
解等腰三角形的性质的练习题
解等腰三角形的性质的练习题1. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以点D为底边BC的中点，连接AD。
证明：△ABD≌△ACD。
解析：首先，根据等腰三角形的定义，AB=AC。
其次，由于D为BC的中点，所以BD=DC。
再根据SSS（边边边）对应的性质，我们可以得出△ABD≌△ACD。
也就是说，两个三角形的三边分别对应相等，从而可以得出两个三角形全等。
2. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的高为AH。
证明：∠HAB=∠HAC。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出∠A=∠B=∠C。
又因为AD为高，所以∠HAD=90°，而角HAB是等腰三角形ABC的顶角，所以角HAB也等于∠C。
综上所述，可以得出∠HAB=∠HAC。
3. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的中线DE。
证明：DE=BC/2。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出DE=BC/2。
这是因为DE是底边BC的中线，所以根据中线分割定理，DE等于底边BC的一半，即DE=BC/2。
4. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：△ADE≌△ABC。
解析：首先，我们需要说明如何将△ABC旋转180°得到△ADE。
根据题意，我们以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°。
旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
根据旋转的定义，可以得出△ADE≌△ABC。
5. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：BD=DC，BE=EC。
解析：如前一题所述，旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
由等腰三角形的定义可知，BD=DC，BE=EC。
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》知识点分类练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》知识点分类练习题（附答案）一．等腰三角形的性质1．等腰三角形的两条边长分别为8和4，则它的周长等于（）A．12B．16C．20D．16或202．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了A'点，则∠OA'A的度数为（）A．33°B．37°C．43°D．47°3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为（）A．50°B．27°C．64°或27°D．63°或27°4．若实数m、n满足等式+|n﹣4|＝0．且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠ACP＝∠PBC，则∠BPC的度数为．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于．7．如图，在等腰△ABC中，∠A＝56°，AB＝AC．在边AC上任取一点A1，延长BC到C1，使A1C＝CC1，得到△A1CC1；在边A1C1上任取一点A2，延长CC1到C2，使A2C1＝C1C2，得到A2C1C2，…，按此做法继续下去，则∠A2022C2022C2021的度数是（）A．×62°B．×62°C．×62°D．×62°8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）若∠E＝24°，求∠B；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE面积．9．如图，△ABC中，AB＝AC．O是△ABC内一点，OD是AB的垂直平分线，OF⊥AC，OD＝OF．（1）当∠DOF＝126°时，求：∠OBC的度数．（2）判断△AOC的形状，并证明．二．等腰三角形的判定10．如图，已知点P是射线MN上一动点，∠AMN＝35°，当∠A为时，△AMP 是等腰三角形．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．①求证：△ADE是等腰三角形；②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．三．等腰三角形的判定与性质12．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A ＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.513．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC m2．四．等边三角形的性质14．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°．（Ⅰ）求∠CAE的度数；（Ⅱ）求∠FDC的度数．五．等边三角形的判定15．在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C 向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？六．等边三角形的判定与性质16．如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E 作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．17．如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：①△ADC≌△BEA；②BP＝2PQ．七．含30度角的直角三角形18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB 于点E．若DB＝12cm，则AC＝（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm19．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）A．75°或15°B．75°C．15°D．75°和30°20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为30°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．21．已知△ABC为等边三角形，且边长为4，P为BC上一动点，且PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E两点，则PD+PE＝．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE＝6，直线ED是线段AC的垂直平分线，∠BAC＝120°，求线段BE的长．八．反证法23．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（）A．AC＞BC B．AC＜BC C．∠A＝∠B D．AC＝BC24．用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设．25．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设直角三角形中．26．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中．参考答案一．等腰三角形的性质1．解：当4为腰时，三边为4，4，8，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，当8为腰时，三边为8，8，4，符合三角形三边关系定理，周长为：8+8+4＝20．故选：C．2．解：∵秋千旋转了86°，小林的位置也从A点运动到了A'点，∴AOA′＝86°，OA＝OA′，∴∠OAA'＝（180°﹣86°）＝47°．故选：D．3．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．4．解：∵+|n﹣4|＝0．，∴+|n﹣4|＝0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，∴m＝2，n＝4，分两种情况：当等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，∴4+4+2＝10；综上所述：△ABC的周长是10．故答案为：10．5．解：∵∠BAC＝50°，∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣50°＝130°，又∵∠ACB＝∠ABC，∠ACP＝∠CBP，∴∠PBA＝∠PCB，∴∠ACP+∠ABP＝∠PCB+∠PBC＝130°×＝65°，∴∠BPC＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115°．6．解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，即∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A，∴2∠1＝2∠3+∠A，∵∠1＝∠3+∠D，∴∠D＝∠A＝×30°＝15°．故答案为：15°．7．解：∵∠A＝56°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝62°，∵A1C＝CC1，∴∠A1C1C＝∠C1A1C＝∠ACB＝×62°，∵A2C1＝C1C2，∴∠A2C2C1＝∠C2A2C1＝∠A1C1C＝（）2×62°，同理，∠A3C3C2＝∠C3A3C2＝∠A2C2C1＝（）3×62°，∴∠A2022C2022C2021＝（）2022×62°．故选：C．8．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的中垂线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE＝24°，∴∠B＝∠ACB＝2∠E＝48°；（2）在Rt△ADB中，，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，∴．9．（1）解：∵∠DOF+∠BAC＝180°，∠DOF＝126°，∴∠BAC＝54°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝63°，∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，∴∠DAO＝∠BAC＝27°，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠DAO＝27°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝63°﹣27°＝36°；（2）△AOC是等腰三角形，证明：∵OD＝OF，AO＝AO，∴Rt△ADO≌Rt△AFO（HL），∴AF＝AD＝AB，∵CA＝BA，∴AF＝AC，∴OF垂直平分AC，∴OA＝OC，∴△AOC是等腰三角形．二．等腰三角形的判定10．解：若△AMP为等腰三角形则有AM＝AP、AM＝MP和MP＝AP三种情况，①当AM＝AP时，则有∠M＝∠APM＝35°，∴∠A＝110°；②当AM＝MP时，则∠A＝∠APM＝72.5°；③当MP＝AP时，则∠A＝∠AMN＝35°，综上可知∠A为110°或72.5°或35°，故答案为：110°或72.5°或35°．11．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵CD是∠ACB的平分线∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；（2）①证明：∵AE∥BC∴∠EAB＝∠B＝72°，∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形；②解：结论：△ACE是等腰三角形．理由：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCE＝∠ACE，∵AE∥BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．三．等腰三角形的判定与性质12．解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠DCE，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，又∵CD＝CD，∴△CDB≌△CDE（ASA），∴BD＝DE，CE＝BC＝6，即△BCE为等腰三角形，∴AE＝AC﹣CE＝4，又∵∠A＝∠ABE，∴BE＝AE，∴，故选：C．13．解：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（m2），故答案为：12；四．等边三角形的性质14．解：（Ⅰ）∵三角形ABC为等边三角形，∴∠BAE＝60°，∵∠BAD＝15°，∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°，∵∠DAE＝80°，∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣80°）＝50°，∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°，又∵∠ADE＝50°∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．五．等边三角形的判定15．解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．六．等边三角形的判定与性质16．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CE＝CD，∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°，∴EC＝CF，∴CD＝CF．17．证明：（1）∵AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠C＝60°．∵AB＝AC，AE＝CD，∴△ADC≌△BEA．（2）∵△ADC≌△BEA，∴∠ABE＝∠CAD．∵∠CAD+∠BAD＝60°，∴∠ABE+∠BAD＝60°．∴∠BPQ＝60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°．∴BP＝2PQ．七．含30度角的直角三角形18．解：如图，连接AD，∵DE是AB的垂直平分线，DB＝12cm，∴DA＝DB＝12cm，∵∠B＝15°，∴∠DAB＝∠B＝15°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，在△ACD中，∠C＝90°，∴．故选：C．19．解：分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时，如图：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝75°，∴这个等腰三角形的底角是75°；当等腰三角形为钝角三角形时，如图：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝30°，∴∠ABC+∠C＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°，∴这个等腰三角形的底角是15°；综上所述：这个等腰三角形的底角是75°或15°，故选：A．20．解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．21．解：连接AP，过A点作AF⊥BC于F，∵S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，∴BC•AF＝AB•PD﹣AC•PE，∵△ABC为等边三角形，且边长为4，∴AB＝AC＝BC＝4，BF＝CF＝BC＝2，∴AF＝＝2，∴×4×2＝×4PD﹣×4PE，∴PD+PE＝2．故答案为：2．22．解：连接AE，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，∵直线ED是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC＝6，∴∠EAC＝∠C＝30°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°，∴BE＝2AE＝12，∴线段BE的长为12．八．反证法23．解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”，先假设AC＝BC．故选：D．24．解：用反证法证明“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设|a|≥2．故答案为：|a|≥2．25．解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，第一步假设直角三角形中每个锐角都大于45°，故答案为：每个锐角都大于45°．26．解：反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，假设这个三角形中每一个内角都大于或等于45°，故答案为：每一个内角都大于或等于45°．。
等腰三角形典型例题练习含答案
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性质：两腰相等，底边与两腰之间 的比例为固定值
应用：在几何问题和实际问题中， 利用等腰三角形的边长比例解决问 题
等腰三角形的边长计算
等腰三角形的两 腰相等，底边与 两腰之间的夹角 相等。
等腰三角形的边 长关系可以根据 勾股定理进行计 算。
等腰三角形的高、 中线和角平分线 等性质可用于计 算边长。
等腰三角形的角度关系
第四章
等腰三角形的角度性质
等腰三角形的顶角与底角互 补，即它们的角度之和为 180度。
等腰三角形的两个底角相等， 即两个角大小相等。
等腰三角形的一个角为顶角， 其余两个角为底角，且三个 角度之和为180度。
等腰三角形的一个角为底角， 其余两个角为顶角，且三个 角度之和为180度。
等腰三角形的角度计算
等腰三角形两底角相等，角度和为180度 顶角与底角的角度关系：顶角 = 180度 - 2 × 底角度数 等腰三角形的高、中线和角平分线重合 等腰三角形中的角度计算可以通过三角函数或勾股定理进行求解
等腰三角形的角度证明
等腰三角形两底角相等，证明方法 为取等腰三角形ABC，作底边BC的 中点D，连接AD，则 ∠BAD=∠CAD。
自然界：蜂巢、蜘蛛网等自然现象 中经常出现等腰三角形的形状。
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建筑学：等腰三角形在建筑设计中 有广泛的应用，如金字塔、塔楼等。
艺术创作：等腰三角形在绘画、雕 塑和图案设计中常被用作基本构图 元素。
等腰三角形在实际问题中的应用
桥梁设计：利用等腰三角形的性质，实现桥梁的稳定和平衡 建筑结构：等腰三角形在建筑设计中用于增强结构的稳定性 机械零件：等腰三角形的特殊性质使其在某些机械零件中具有特殊用途 自然界中的等腰三角形：例如蜂巢、蜘蛛网等自然现象中存在等腰三角形的实际应用
《 等腰三角形》提高训练 湘教版八年级数学上册
《等腰三角形》提高训练姓名__________小组____________一、选择题（本大题共5小题，共25分）1．（5分）如图，在△ABC中，∠C=29°，D为边AC上一点，且AB=AD，DB=DC，则∠A的度数为（）A．54°B．58°C．61°D．64°2．（5分）如图，在正三角形ABC中，D、E分别在边AC、AB上，且=，AE=BE，则的值为（）A．B．C．D．3．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，点P为△ABC内一点，∠APB=∠BAC=120°．若AP+BP=4，则PC的最小值为（）A．2B．2C．D．34．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．10B．8C．5D．45．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（）A．D是BC中点B．AD 平分∠BACC．AB=2BD D．∠B=∠C二、填空题（本大题共5小题，共25分）6．（5分）在△ABC中，∠ABC=90°，D是BC边延长线上一点，并且CD=CA=2cm，∠ADC=15°，则BC=cm．7．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD=3BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为24，则△ACF与△BDE的面积之和为．8．（5分）已知，CD是△ABC的高，若AC=，AD=BC=2，则∠ABC的度数为．9．（5分）一个等腰三角形的底边长为5，一腰上的中线把它的周长分成的两部分的差为2，则这个等腰三角形的腰长为．10．（5分）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成9和12两部分，则腰长为．三、解答题（本大题共5小题，共50分）11．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，若AB=AD=CD，∠BAD=100°，求∠C度数．12．（10分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AC，AB边上，且AB=AC，BF=CD，AE+BD=AC．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=50°，求∠EDF的度数．13．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C 开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P运动的时间为t 秒．当t为何值时，△BCP为等腰三角形？14．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，E为BC边上一动点（不与B、C重合），AE、BD交于点F．（1）当AE平分∠BAC时，求证：∠BEF=∠BFE；（2）当E运动到BC中点时，若BE=2，BD=2.4，AC=5，求AB的长．15．（10分）如图，△ABC为等边三角形，D为BC边的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE+DF=3，则△ABC的边长为多少？《等腰三角形》提高训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25分）1．（5分）如图，在△ABC中，∠C=29°，D为边AC上一点，且AB=AD，DB=DC，则∠A的度数为（）A．54°B．58°C．61°D．64°【分析】根据等腰三角形的性质得到∠DBC=∠C=29°，由外角的性质得到∠ADB=∠C+∠DBC=58°，由于AB=AD，于是得到∠ABD=∠ADB=58°，然后根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵DB=DC，∠C=29°，∴∠DBC=∠C=29°，∴∠ADB=∠C+∠DBC=58°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=58°，∴∠A=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=64°．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．2．（5分）如图，在正三角形ABC中，D、E分别在边AC、AB上，且=，AE=BE，则的值为（）A．B．C．D．【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=60°，BC=AB，由AE=BE可得到CB=2AE，再由得到CD=2AD，则，然后根据两边及其夹角法可得到：△AED∽△CBD，进而解答即可．【解答】解：∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠C=60°，BC=AB，∵AE=BE，∴CB=2AE，∵，∴CD=2AD，∴，而∠A=∠C，∴△AED∽△CBD．∴，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．3．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，点P为△ABC内一点，∠APB=∠BAC=120°．若AP+BP=4，则PC的最小值为（）A．2B．2C．D．3【分析】把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AP′C，作AD⊥PP′于D，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到∠AP′P=30°，根据直角三角形的性质得到PP′=AP，根据勾股定理和配方法计算．【解答】解：把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AP′C，作AD⊥PP′于D，则AP=AP′，∠PAP′=120°，∠AP′C=∠APB=120°，∴∠AP′P=30°，∴PP′=AP，∠PP′C=90°，∵AP+BP=4，∴BP=4﹣PA，在Rt△PP′C中，PC===，则PC的最小值为=2，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及配方法的应用，掌握旋转变换的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．4．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．10B．8C．5D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．5．（5分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（）A．D是BC中点B．AD 平分∠BACC．AB=2BD D．∠B=∠C【分析】由在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，BD=DC．∴AD平分∠BAC，无法确定AB=2BD．故A、B、D正确，C错误．故选：C．【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共5小题，共25分）6．（5分）在△ABC中，∠ABC=90°，D是BC边延长线上一点，并且CD=CA=2cm，∠ADC=15°，则BC=cm．【分析】利用等腰三角形的性质可得∠CDA=∠D=15°，推出∠ACD=30°即可解决问题；【解答】解：∵CA=CD，∴∠CAD=∠D=15°，∴∠ACB=∠CAD+∠D=30°，∵∠ABC=90°，AD=2cm，∴AB=AC=1cm，∴BC===cm，故答案为．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD=3BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为24，则△ACF与△BDE的面积之和为6．【分析】根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即可得出答案．【解答】解：∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，∵，∴△ABE≌△CAF（ASA）；∴S△ACF +S△BDE=S△ABD∵△ABC的面积为24，CD=3BD，∴△ABD的面积是：×24=6，∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是6，故答案为：6．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．8．（5分）已知，CD是△ABC的高，若AC=，AD=BC=2，则∠ABC的度数为120°或60°．【分析】分两种情形：①当高CD在△ABC内部时．当高CD在△ACB′外部时．分别求解即可；【解答】解：有两种情形：①当高CD在△ABC内部时．∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∴CD===，∴sinB==，∴∠B=60°．②当高CD在△ACB′外部时，同法可得∠CB′D=60°，∴∠AB′C=120°，故答案为120°或60°．【点评】本题考查等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．9．（5分）一个等腰三角形的底边长为5，一腰上的中线把它的周长分成的两部分的差为2，则这个等腰三角形的腰长为3或7．【分析】设腰长为x，得出方程（2x+x）﹣（5+x）=2或（5+x）﹣（2x+x）=2，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可．【解答】解：设腰长为2x，则（2x+x）﹣（5+x）=2或（5+x）﹣（2x+x）=2，解得：x=3.5，x=1.5，∴2x=7或3，①三角形ABC三边长为7、7、5，符合三角形三边关系定理；②三角形ABC三边是3、3、5，符合三角形三边关系定理；故答案为：3或7．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难度不大，关键是求出x的值后根据三角形三边关系进行验证．10．（5分）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成9和12两部分，则腰长为6或8．【分析】由题意得，腰上的中线把等腰三角形分成9和12两部分，则要分一腰的一半与另一腰的和为9或12两种情况进行分析即可．【解答】解：（1）当AD+AC=9时，∵CD是AB边的中线，∴AD=AC，∴AC=9，AC=6；（2）当AD+AC=12时，则AC=12，AC=8；所以腰长为6或8．故答案为：6或8．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，做题时注意分类讨论思想的运用．三、解答题（本大题共5小题，共50分）11．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，若AB=AD=CD，∠BAD=100°，求∠C度数．【分析】根据题意可知∠ADB的度数，然后再利用∠ADC是三角形ADC的一个外角即可求得答案．【解答】解：∵若AB=AD=CD，∠BAD=100°，∴∠B=∠ADC=（180°﹣100°）=40°，又∵在等腰三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，∴∠BDA=∠DAC+∠C，又∵∠C=∠DAC，∴∠C=×40°=20°．【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，以及三角形的内角和为180°的知识点，此题难度不大．12．（10分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AC，AB边上，且AB=AC，BF=CD，AE+BD=AC．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=50°，求∠EDF的度数．【分析】（1）等量代换得到BD=EC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形的内角和得到∠B=∠C=（180°﹣50°）=65°，根据全等三角形的性质得到∠BFD=∠CDE，等量代换即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AE+BD=AC，AE+CE=AC，∴BD=EC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDF与△CED中，，∴△BDF≌△CED，（SAS），∴DE=EF；即△DEF是等腰三角形；（2）解：∵∠A=50°，∴∠B=∠C=（180°﹣50°）=65°，∵△BDF≌△CED，∴∠BFD=∠CDE，∵∠CDE+∠EDF=∠BFD+∠B，∴∠EDF=∠B=65°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．13．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C 开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P运动的时间为t 秒．当t为何值时，△BCP为等腰三角形？【分析】先根据勾股定理求出AC的长，由于点P是动点，故应分点P在AC上与AB上两种情况进行讨论．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴AC==8cm．当点P在AC上时，CP=CB=6cm，t=3；当点P在AB上时，分三种情况：若BP=BC=6cm，则AP=4cm，t=6；若CP=CB=6cm，作CM⊥AB，∵∠B=∠B，∠BMC=∠BCA，∴△ABC∽△CBM，∴==，即==，∴CM=4.8cm，PM=BM=3.6cm，∴AP=2.8cm，t=5.4．若PC=PB，则∠B=∠BCP，∠A=∠ACP，∴AP=CP=BP=5cm，t=6.5．综上所述，当t=t=3或5.4或6.5或6秒时，△BCP为等腰三角形．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．14．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，E为BC边上一动点（不与B、C重合），AE、BD交于点F．（1）当AE平分∠BAC时，求证：∠BEF=∠BFE；（2）当E运动到BC中点时，若BE=2，BD=2.4，AC=5，求AB的长．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAE，根据余角的性质得到∠AEB=∠AFD，等量代换即可得到结论；（2）根据线段中点的定义得到BC=2BE=4，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∵BD⊥AC，∴∠ABC=∠ADF=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠DAF+∠AFD=90°，∴∠AEB=∠AFD，∵∠BFE=∠AFD，∴∠BEF=∠BFE；（2）∵E是BC中点，BE=2，∴BC=2BE=4，∵∠ABC=90°，AC=5，∴AB==3．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．15．（10分）如图，△ABC为等边三角形，D为BC边的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE+DF=3，则△ABC的边长为多少？【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=30°，根据角平分线的性质得到DE=DF，求得AD=2DE=3，于是得到结论．【解答】解：连接AD，∵AB=AC，D为BC边的中点，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∵DE+DF=3，∴DE=DF=1.5，∴AD=2DE=3，∴AB=AD=2，故△ABC的边长为2．【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．。
八年级数学上册 等腰三角形课后练习二(含详解)(新版)苏科版
等腰三角形重难点易错点解析题一：题面：下列说法：①顶角相等的两个等腰三角形的底角一定相等；②底边相等的两个等腰三角形全等；③腰长相等且有一个角是20°的两个等腰三角形全等．其中正确的有 .金题精讲题一：题面：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.求证：(1)△ABD≌△ACD；(2)BE=CE题二：题面：如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=900，AB=AC.若∠1=20°，则∠2的度数为( )A. 25°B. 65°C. 70°D. 75°题三：题面：如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A. 20B. 12C. 14D. 13题四：题面：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M，求证：BN=CM．思维拓展题面：如图，∠AOB是一建筑钢架，∠AOB=10°，为使钢架更加稳固，需在内部添加一些钢管EF、FG、GH、HI、IJ，添加钢管的长度都与OE相等，则∠BIJ= .课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：①．详解：①两个等腰三角形的顶角相等，根据三角形内角和定理可知底角一定相等，故是正确的；②底边相等的两个等腰三角形，不满足两个三角形全等的条件，故是错误的；③腰长相等且有一个角是20°的两个等腰三角形，不满足两个三角形全等的条件，故是错误的．故答案为：①．金题精讲题一：答案：见详解详解：(1)∵D是BC的中点，∴BD=CD.在△ABD和△ACD中，∵BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)，∴△ABC≌△ACD(SSS).(2)由(1)知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AE，∴△ABE≌△ACE(SAS).∴BE=CE(全等三角形的对应边相等).题二：答案：B.详解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=45°.∵∠1=20°，∴∠ACB＋∠1=65°.又∵a∥b，∴∠2=∠ACB＋∠1=65°.故选B.题三：答案：C.详解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴根据等腰三角形三线合一的性质得AD⊥BC，C D=BD=12BC=4.∵点E为AC的中点，∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE=CE=12AC=5.∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.故选C. 题四：答案：见详解详解：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中PC＝PB，PM＝PN，∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL)，∴BN=CM．思维拓展答案：60°.详解：∵OE=EF=FG=GH=HI=IJ，∴∠1=∠AOB=10°，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∴∠2=∠O+∠1=20°=∠3，∴∠4=∠O+∠3=30°=∠5，∠6=∠O+∠5=40°=∠7，∠8=∠O+∠7=50°=∠9，∠BIJ=∠O+∠9=60°。
等腰三角形典型例题练习(含答案)
等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A ．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A ．0 B．1 C．2 D．3二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．6．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．11．如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_________．点P到AB边的距离PE=_________．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE_________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE_________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果）．13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF 和CF，求证：AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．17．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A ．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定考点：角平分线的性质．分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解．解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A ．0 B．1 C．2 D．3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．解答：解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，故①正确；∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于1：3．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答：解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，，∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．分析：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答：证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：△ABC是等腰三角形．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三角形．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴，（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴，∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明．解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵S△ABC=AB•CH，AB=AC，∴×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答：解：（1）故答案为：=．（2）过E作EF∥BC交AC于F，∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=．（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=，∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=113．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．解答：解：∠F=∠MCD，理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，在△ACE和△ABE中∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC，∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA，∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD，从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF 和CF，求证：AE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答：证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF．解答：解：AE与BF相等且垂直，理由：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF．延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO，由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．17．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答：解：（1）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，S△PAC=AC•PE，AB•PD=AB•CF+AC•PE，即可求证．解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，又∵AB=AC，∴S△PAC=AB•PE，∴AB•PD=AB•CF+AB•PE，即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。
等腰三角形专项练习
等腰三角形专项练习等腰三角形是初中数学中一个非常重要的几何图形，具有独特的性质和广泛的应用。
在这篇文章中，我们将对等腰三角形进行深入的探讨和专项练习。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的性质主要包括：1、两腰相等。
2、两底角相等（简写成“等边对等角”）。
3、顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
这些性质是解决等腰三角形相关问题的关键，我们通过一些例题来加深对它们的理解。
例 1：已知在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，∠A ＝ 80°，求∠B 和∠C 的度数。
解：因为 AB ＝ AC，所以∠B ＝∠C。
又因为三角形内角和为180°，所以∠B ＝∠C ＝（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°例 2：在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，AD 是底边 BC 上的中线，若∠BAD ＝ 30°，求∠BAC 的度数。
解：因为 AD 是底边 BC 上的中线，且 AB ＝ AC，所以 AD 是顶角∠BAC 的平分线。
所以∠BAC ＝ 2∠BAD ＝ 60°二、等腰三角形的判定判定一个三角形是等腰三角形的方法有以下几种：1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2、如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
例 3：已知在三角形 ABC 中，∠B ＝∠C，求证：三角形 ABC 是等腰三角形。
证明：因为∠B ＝∠C，所以根据“等角对等边”，AB ＝ AC，所以三角形 ABC 是等腰三角形。
三、等腰三角形中的分类讨论在涉及等腰三角形的问题中，常常需要进行分类讨论，常见的情况有：1、已知等腰三角形的一个角，求其他角的度数时，需要分这个角是顶角还是底角进行讨论。
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1.如图已知ABC △中AB=3，AC=5，BC=7，若过点A 的一条直线将ABC △分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A.1条B.2条C.3条D.4条2.如图在ABC △中AB=AC ，D 是BC 边上的中点30B ∠=︒，则DAC ∠等于( )A.30°B.40°C.50°D.60°3.等腰三角形的一个内角是40︒，则它的顶角度数为( )A.100︒B.40︒或100︒C.70︒D.40︒4.如图,a//b,AB=AC,若162∠=︒,则A ∠的度数为( )A.56︒B.59︒C.62︒D.76︒5.已知等腰三角形的周长为19，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边是( )A.3B.8C.3或8D.136.如图在ABC △中AC DC DB ==，100ACD ∠=︒则B ∠等于( )A.50°B.40°C.25°D.20°7.如图在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，35ABC ∠=︒将ABC △绕点C 顺时针旋转至A B C '''△，使点A '恰好落在AB 上，则旋转角度为( )A.35︒B.55︒C.70︒D.90︒8.如图在ABC △中点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB AC =，BC BD =，AD DE EB ==，则A ∠等于( )A.45°B.30°C.60°D.75°9.如图点A 、B 、C 三点在O 上40OCB ∠=︒，则A ∠=_____________10.已知等腰三角形的一个外角是80︒,则它顶角的度数为________.11.等腰三角形的周长为20cm ，一边长为6cm ，则底边长为__________cm ．12.如图52ABC ∠=︒，AD 是线段BC 的垂直平分线，垂足为点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则AEC ∠的度数是__________.13.如图将ABC △绕点A 逆时针旋转140︒得到ADE △，B ，C ，D 三点恰好在同一直线上.（1）判断ACE △的形状；（2）连接CE ，若CE BD ⊥，求BAC ∠的度数.14.如图在ABC △中AC 边的垂直平分线分别交BC 、AC 于点E 、F ，连接AE ，作AD BC ⊥于点D ，且D 为BE 的中点.（1）试说明：AB CE =；（2）若32C ∠=︒，求BAC ∠的度数.参考答案及解析1.答案：C解析：如图所示，当3AB AF ==，3BA BD ==与BG AG =时，都能得到符合题意的等腰三角形.综上，这样的直线最多可画3条.2.答案：D解析：在ABC △中已知AB AC =，D 是BC 边上的中点AD BC ∴⊥90ADC ∴∠=︒30B C ∠=∠=︒ 60DAC ∴∠=︒ 故选：D.3.答案：B解析：当40︒为等腰三角形的底角时，顶角为1804040100︒-︒-︒=︒；当40︒为等腰三角形的顶角时，则顶角为40︒.所以该等腰三角形的顶角度数为40︒或100︒.4.答案：A解析:AB AC =如图A B ABC C ∴=∠∠如图//a b 如图162ABC ∴∠=∠=︒如图180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒如图18026256A ∠=⨯∴︒-︒=︒如图故选:A.5.答案：A解析：当3是腰长时，底边为193213-⨯=此时33613+=<，不能组成三角形；当3是底边时，腰长为()119382-=此时3，8，8三边能够组成三角形. 所以等腰三角形的底边是3.故选：A.6.答案：D解析：AC DC DB == 100ACD ∠=︒180100402CAD -∴︒︒∠==︒ CDB ∠是ACD △的外角10040100140CDB A ACD ︒∴∠=∠+∠=︒=+=︒︒DC DB =180140202B ︒︒-∴∠==︒.7.答案：C 解析：90ACB ∠=︒ 35ABC ∠=︒∴180903555A ∠=︒-︒-︒=︒将ABC △绕点C 顺时针旋转至A B C '''△，即其中一个旋转角为ACA '∠A C AC '∴=∴CAA '△是等腰三角形∴55CA A CAA ''∠=∠=︒∴180555570ACA '∠=︒-︒-︒=︒故选：C.8.答案：A解析：设EBD x ∠=DE EB =EBD EDB x ∴∠=∠=2AED EBD EDB x ∴∠=∠+∠=AD DE =2A AED x ∴∠=∠=3BDC A EBD x ∴∠=∠+∠=BC BD =3BDC C x ∴∠=∠=AB AC =3ABC C x ∴∠=∠=在ABC △中有180A ABC C ∠+∠+∠=︒，则233180x x x ++=︒22.5x ∴=︒245A x ∴∠==︒故选：A.9.答案：50︒解析：OB OC = 40OCB ∠=︒40OBC OCB ∴∠=∠=︒1804040100BOC ∴∠=︒-︒-︒=︒1502A BOC ∴∠=∠=︒.故答案为：50︒.10.答案：100︒.解析:等腰三角形一个外角为80︒,那相邻的内角为100︒如图三角形内角和为180︒,如果这个内角为底角,内角和将超过180︒如图所以100︒︒只可能是顶角.故答案为:100︒.11.答案：6或8. 解析：①6cm 是底边时,腰长()12067cm 2=-=此时三角形的三边分别为7cm 7cm 6cm 、、能组成三角形②6cm 是腰长时，底边20628cm =-⨯=此时三角形的三边分别为6cm 6cm 8cm 、、能组成三角形综上所述，底边长为6或8cm .故答案为：6或8.12.答案：116︒解析：52ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E 11522622EBD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒点E 在BC 的垂直平分线上BE CE ∴= 90EDC ∠=︒26C EBD ∴∠=∠=︒2690116AEC C EDC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒.故答案为：116︒.13.答案：（1）顶角为140︒的等腰三角形（2）90︒解析：（1）ABC △绕点A 逆时针旋转140︒得到ADE △ AC AE ∴= 140CAE ∠=︒ ACE ∴△是以顶角为140︒的等腰三角形；（2）ABC △绕点A 逆时针旋转140︒得到ADE △ 140BAD CAE ∴∠=∠=︒ AB AD = AC AE = ∴在ABD △中180140202ABC ADB ︒-︒∠=∠==︒ 在ACE △中180140202ACE AEC ︒-︒∠=∠==︒ CE BD ⊥90ECB ∴∠=︒902070ACB ECB ACE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒在ABC △中180180207090BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ BAC ∴∠的度数为90︒.14.答案：（1）见解析（2）84︒解析：（1）D 为BE 的中点BD DE ∴=AD BC ⊥ AB AE ∴=EF 是AC 的垂直平分线AE CE ∴=AB CE ∴=； （2）32C ∠=︒ AE CE =32C EAC ∴∠=∠=︒64AEB C EAC ∴∠=∠+∠=︒AB AE =64B AEB ∴∠=∠=︒180180646452BAE B AEB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ 523284BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒.。
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《等腰三角形与等面积法》进阶练习
一．选择题
1．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是（）
A.6
B.12
C.24
D.48
2．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的（）
A. B. C. D.
二．填空题
3．如图，已知 DE是△ ABC的中位线， S△ADE＝4，则 S△ABC＝ __ __ .
4．直角三角形两直角边长分别为15 、20，则它的斜边上的高为_____.
三．解答题
5．一个零件的形状如图3所示，工人师傅按规定做得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD ＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
参考答案
1．C
2．C
3．16
4．12
5．解：∵42+32=52，52+122=132，
即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，
同理，∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=×3×4+×5×12
=6+30
=36．
答：这块钢板的面积是36.
解析
1.【分析】
此题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质以及勾股定理是解题的关键．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由菱形ABCD的周长是20，即可求得AB=5，然后由股定理即可求得OA的长，继而求得AC的长，则可求得菱形ABCD的面积．
【解答】
解：∵菱形ABCD的周长是20，
∴AB=20÷4=5，AC⊥BD，OB=BD=3，
∴OA==4，
∴AC=2OA=8，
∴菱形ABCD的面积是AC•BD=×8×6=24．
故选C．
2．【分析】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点．注意分两种情况探讨：（1）当正方形A1B1C1O边与正方形ABCD的对角线重合时；（2）当转到一般位置时，
由题求证△AEO≌△BOF，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积，得出结论．【解答】
解：（1）当正方形绕点O转动到其边OA1，OC1分别于正方形ABCD的两条对角线重合这一特
殊位置时，显然S两个正方形重叠部分=S正方形ABCD，
（2）当正方形绕点O转动到如图位置时，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB
BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB=90°，
又∵四边形A1B1C1O为正方形，∴∠A1OC1=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，在△AOE和△BOF中，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF，
又S△AOE=S△BOF
∴S两个正方形重叠部分=S△BOA=S正方形ABCD，
综上所知，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个
正方形面积的．
故选C．
3．【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．由DE为三角形ABC的中位线，根据三角形中位线定理得到DE平行于BC，且DE等于BC的一半，再由两直线平行得到两对同位角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形ADE与三角形ABC相似，且相似比为1：2，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，得到三角形ADE与三角形ABC面积之比，由三角形ADE的面积即可求出三角形ABC的面积．
【解答】
解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，
∴S△ADE：S△ABC=1：4，又S△ADE=4，
则S△ABC=4S△ADE=16．
故答案为16．
4．【分析】
本题考查勾股定理及面积法解决问题.先根据勾股定理求出斜边的长，再分别利用斜边与斜边上的高、两条直角边求面积，构造等式求出斜边上的高.
【解答】
解：由勾股定理可得：斜边长2=152+202=625，
则斜边长=25，
直角三角形面积S=×15×20=×25×斜边上的高，
可得斜边上的高=12．
故答案为12.
5．【分析】
本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的运用，证明△ACD是直角三角形是关键．由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．【解答】
见答案．。