专题04+函数的概念、解析式及定义域(检测)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习+Word版含解析

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高考函数详细知识点总结

高考函数详细知识点总结高考数学中，函数是一个重要的概念，几乎涉及到每年的数学必考内容。

函数作为一种数学工具，在解决实际问题、分析数学关系等方面具有重要意义。

本文将对高考函数的详细知识点进行总结，以便帮助考生更好地掌握高考数学知识。

一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一个对应关系，将自变量的每一个值对应到唯一的因变量上。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数结果的取值范围。

3. 奇偶性：函数的奇偶性与函数图像的对称性相关，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

4. 单调性：函数的单调性描述了函数图像的增减变化趋势，分为递增和递减两种情况。

二、函数的表示和分类1. 显式表示和隐式表示：函数可以通过显式表达式（y=f(x)）或隐式方程表示。

2. 基本初等函数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些函数在高考数学中经常出现。

3. 复合函数：由一个函数的输出作为另一个函数的输入所得到的函数。

三、函数的图像和性质1. 函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示，通过观察函数图像可以了解函数的性质。

2. 函数的对称性：函数可能存在关于y轴、x轴或原点的对称性。

3. 函数的周期性：若存在正数T，使得对于函数中的任意x值，都有f(x+T)=f(x)，则称函数是周期函数。

四、函数的运算和变换1. 函数的四则运算：函数可以进行加减乘除运算，不同函数之间的运算法则与数的运算法则类似。

2. 函数的平移变换：将函数图像在平面上上下左右平移得到新的函数图像。

3. 函数的伸缩变换：改变函数图像的纵坐标和/或横坐标，使其更陡峭或扁平。

五、函数的极限和连续性1. 函数的极限：极限可以用于描述函数在某个点附近的变化趋势，重要的极限有左极限和右极限。

2. 函数的连续性：函数在一个区间上的无间断性，重要的连续性概念有间断点、可去间断点、跳跃间断点和第一类间断点等。

六、函数的导数和应用1. 导数的定义：导数是函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。

专题04 导数及其应用-2019年高考数学(理)考试大纲解读 Word版含解析

2019年考试大纲解读04 导数及其应用（十七）导数及其应用1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y=C，（C为常数），的导数.（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数.•常见基本初等函数的导数公式：•常用的导数运算法则：法则1:法则2:法则3:3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（2）了解微积分基本定理的含义.与2018年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2019年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，内容涉及导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值（最值）、零点，证明不等式等.小题难度可大可小，大题难度偏大，且近几年导数大题的第一问起点较高，应引起高度重视.全国卷命题不回避热点和经典问题，预计压轴题仍会以极值（最值）、零点问题，证明不等式等方式切入.考向一利用导数研究函数的单调性样题1 （2018新课标全国Ⅰ理科）已知函数．（1）讨论的单调性；()f x （2）若存在两个极值点，证明：．()f x 12,x x 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）的定义域为，.()f x (0,)+∞（i ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.2a ≤()0f x '≤2a =1x =()0f x '=()f x (0,)+∞（ii ）若，令得，或.2a >()0f x '=当时，；()0f x '<当时，.()0f x '>所以在单调递减，在单调递增.()f x设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当()g x (0,)+∞(1)0g =(1,)x ∈+∞时，.()0g x <所以，即.考向二利用导数研究函数的极值问题样题2（2017新课标全国Ⅱ理科）若是函数的极值点，则的极小值为2x =-()f x A ． B ．1-32e --C ． D ．135e -【答案】A 【解析】由题可得，因为，所以，，故，(2)0f '-=1a =-令，解得或，()0f x '>2x <-1x >所以在上单调递增，在上单调递减，()f x (2,1)-所以的极小值为，故选A ．()f x【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．样题3（2018新课标全国Ⅲ理科）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；0a =10x -<<()0f x <0x >()0f x >（2）若是的极大值点，求．0x =()f x a 【答案】（1）见解析；（2）.16a =-【解析】（1）当时，，.0a =设函数，则.当时，；当时，.故当时，，且仅当10x -<<()0g x '<0x >()0g x '>1x >-0x =时，，从而，且仅当时，.()0g x =()0f x '≥0x =()0f x '=所以在单调递增.()f x (1,)-+∞又，(0)0f =故当时，；当时，.10x -<<()0f x <0x >()0f x >（2）（i ）若，由（1）知，当时，，这与是0a ≥0x >0x =的极大值点矛盾.()f x （ii ）若，设函数.0a <由于当时，，故与符号相同.()h x ()f x 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.0x =()f x 0x =()h x .如果，则当，且时，，故不是的极610a +>()0h x '>0x =()h x 大值点.如果，则存在根，故当，且时，610a +<10x <1(,0)x x ∈，所以不是的极大值点.()0h x '<0x =()h x 【答案】0【解析】.样题7 执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为．【答案】116样题8 如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于．【答案】5 12【解析】依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=1×4=4,阴影部分的面积S阴影=,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=.。

高三数学必修三函数知识点

高三数学必修三函数知识点函数是数学中非常重要的概念，它被广泛应用在各个领域。

在高中数学的必修三课程中，我们学习了许多与函数相关的知识点，下面将对其中的几个重要概念进行介绍和总结。

一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

一般来说，函数可以用公式、图像或者表格来表示。

函数的定义包括定义域、值域和对应关系。

其中，定义域是指函数的输入集合，值域是函数的输出集合。

函数的性质包括单调性、奇偶性和周期性等。

二、线性函数与二次函数线性函数是一种特殊的函数，它的图像是一条直线。

线性函数的一般形式为f(x)=kx+b，其中k和b为常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的斜率大小，截距b决定了直线与y轴的交点位置。

二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的平移，c决定了抛物线与y轴的交点位置。

三、指数函数与对数函数指数函数是形如f(x)=aˣ的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。

指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，a决定了曲线的变化速度。

对数函数是指数函数的逆运算，它可以表示为f(x)=logₐ(x)，其中a为底数，x为正实数。

对数函数的图像是一条递增的曲线，底数a决定了曲线的陡峭程度。

四、三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

正弦函数的一般形式为f(x)=asin(bx+c)+d，其中a、b、c、d为常数。

正弦函数的图像是一条波动的曲线，振幅a决定了波动的大小，角频率b 决定了波动的周期，c决定了波动的相位，d决定了波动的垂直平移。

反三角函数是三角函数的逆运算，表示为sin⁻¹(x)、cos⁻¹(x)和tan⁻¹(x)等。

反三角函数的定义域和值域与原三角函数相反。

高考函数入门知识点

高考函数入门知识点函数是数学中一种重要的概念，也是高考数学的重点内容之一。

掌握函数的基本知识是理解和解答高考数学题目的基础。

本文将围绕函数的定义、性质以及常见函数类型进行讲解，帮助同学们快速入门函数知识。

一、函数的定义和性质函数是一个简单而又常见的数学概念。

简而言之，函数就是一种对应关系。

给定一个数集A，如果对A中的每个元素x，都有唯一对应的元素y，那么就可以说y是x的函数。

通常用f(x)来表示函数。

函数具有以下常见的性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指x的取值范围，而值域则是函数输出的所有可能值的集合。

2. 单调性：函数可以是递增的、递减的，或者保持不变。

3. 奇偶性：奇函数在坐标轴原点对称，而偶函数在y轴对称。

4. 周期性：周期函数的函数值在一定范围内重复出现。

二、常见函数类型1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，其表达式为f(x) = kx + b。

其中，k是斜率，b是常数项，斜率决定了函数的倾斜方向和角度。

2. 二次函数：二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c。

其中，a、b、c都是常数，且a不为零。

这是一个抛物线。

3. 幂函数：幂函数的一般形式是f(x) = x^a。

其中，a是常数，决定了函数的形状。

当a大于1时，函数增长得很快；当0<a<1时，函数增长得很慢。

4. 指数函数：指数函数的一般形式是f(x) = a^x。

其中，a是常数，决定了函数的增长速度。

指数函数以a为底，以x为指数进行运算。

5. 对数函数：对数函数的一般形式是f(x) = logₐx。

其中，a是底数，x是真数。

对数函数是指数函数的反函数，用来求解指数运算中的未知数。

6. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们是以角度或弧度为自变量的周期函数。

三、函数的图像和性质函数的图像是函数运算结果在坐标系中的表现。

了解函数图像有助于理解函数的性质和变化规律。

1. 一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练04 函数的图象、零点及应用(含解析)

高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题04 函数的图象、零点及应用考点1 作函数的图象 1.作出下列函数的图象． (1)y ＝⎩⎨⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2；【解析】(1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x ＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．考点2 识图与辨图2.已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )【答案】D【解析】法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.3．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高三模拟）函数()21xy x e =-的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()21xy x e =-，则()21xy x e '=+，1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+<，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+>，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，且12x <时，()210xy x e =-<，所以BCD 均错误，故选：A.4．（2021·吉林高三模拟）函数()6cos 2sin xf x x x=-的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数()6cos 2sin xf x x x=-为奇函数，所以排除选项BC ，又当0x >时，()f x 第一个零点为2x π=，所以令4x π=，则有222sin 0,cos0242x x ππ--=>=>，所以排除D.故选：C 考点3 函数图象的应用考向1 研究函数的性质5.已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【答案】C【解析】将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．6．（2021·山东烟台高三模拟）设函数()2,01,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．()0,∞+ C ．()1,0- D ．(),0-∞【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示：所以，函数()f x 在(),0-∞上为减函数，且当0x ≥时，()1f x =，因为()()12f x f x +<，观察图象可得2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是(),0-∞.故选：D. 考向2 求不等式解集7.若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2] B.)1,22(C ．(1，2) D ．(2，2) 【答案】A【解析】要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．8.（2021·甘肃省会宁县第一中学高三模拟）已知)(f x 在R 上是可导函数，)(f x 的图象如图所示，则不等式)()(2230x x f x '-->解集为（）A ．)()(,21,-∞-⋃+∞B ．)()(,21,2-∞-⋃C ．)()()(,11,02,-∞-⋃-⋃+∞D ．)()()(,11,13,-∞-⋃-⋃+∞ 【答案】D【解析】原不等式等价于()22300x x f x '⎧-->⎪⎨>⎪⎩或()22300x x f x '⎧--<⎪⎨<⎪⎩，结合)(f x 的图象可得，3111x x x x ><-⎧⎪⎨-⎪⎩或或或1311x x -<<⎧⎨-<<⎩，解得1x <-或3x >或11x -<<．故选：D ．考点4 函数图象对称性的应用9.已知lga ＋lgb ＝0，函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图像可能是( )【答案】B【解析】∵lga ＋lgb ＝0，∴lgab ＝0，ab ＝1，∴b ＝1a .∴g(x)＝－log b x ＝log a x ，∴函数f(x)与g(x)互为反函数，图像关于直线y ＝x 对称，故选B.10．（2021·云南高三模拟）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为1B ．函数()f x 在()0,2021内单调递增C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2D ．函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点【答案】D【解析】由()()11f x f x =+-得：()()2f x f x +=，()f x ∴最小正周期为2，A 错误；当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，又()f x 为R 上的奇函数，则()00f =，可得()f x 大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 在()0,2021上没有单调性，B 错误；()f x 的对称中心为()()0,k k Z ∈，则相邻的对称中心之间距离为1，C 错误；()ln y f x x =+在区间()0,2021内的零点个数等价于()f x 与ln y x =-在()0,2021内的交点个数，在平面直角坐标系中画出()f x 与ln y x =-大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 与ln y x =-在每个()()2,22k k k Z +∈内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于21k +，∴两个函数在()0,2021内有1010个交点，即()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点，D正确.故选：D.11．（2021·山东淄博高三模拟）已知函数()y f x =的定义域为{|0}x x x ∈≠R ，，且满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()()0f x f x --=得函数()f x 为偶函数，排除A 、B 项，又当0x >时，()ln 1f x x x =-+，∴(1)0f =，()20f e e =-<.故选:D 考点5 判断函数零点所在的区间12.设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间)1,1(e，(1，e)内均有零点B ．在区间)1,1(e，(1，e)内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D【解析】法一：图象法令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在)1,1(e内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈),1(e e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在),1(e e 上单调递减．又f )1(e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．13．（2021·黑龙江高三模拟）函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（）A ．()1,2B ．()1,0-C ．()0,1D ．()2,1--【答案】D【解析】如图，绘出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数29y x =+的图像，结合图像易知，函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是()2,1--，故选：D.考点6 判断函数零点(或方程根)的个数14.(2021·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解方程法，令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.15．（2021·山东潍坊高三模拟）已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（） A ．()1,0- B ．[]1,0-C ．（0，1）D ．[]0,1【答案】C【解析】因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点．作出函数()y f x =图象，由图可知，实数m 的取值范围是(0,1)．故选：C ．16．（2021·浙江镇海中学高三模拟）函数4()log (||1)cos f x x x π=+-的零点个数为（） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】令()4log (||1)x g x =+ ，因为10x +>恒成立，则()g x 的定义域为R ，由()()44log (||1)log (||1)x g x x g x --+=+==，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()4log (1)g x x +=，在()0,∞+上单调递增，令()cos h x x π=，分别画出()g x 与()h x 的函数图象，由图可知，()g x 与()h x 有六个交点，即函数4()log (||1)cos f x x x π=+-有六个零点.故选: D.考点7 函数零点的应用考向1 根据零点的范围求参数17.若函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2) 【答案】C【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a －3)<0，解之得0<a<3.18．（2021·浙江高一期末）已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（）A ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞【答案】A【解析】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2f -=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点.故选：A.19．（2021·江西高三模拟）设函数,10()11,01(1)x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,{0}4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】因为()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩所以(),1011,011x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，其图象如下：函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，等价于()40f x t -=在区间()1,1-内有且仅有一个实数根，又等价于函数()y f x =的图象与直线4y t =在区间()1,1-内有且仅有一个公共点. 于是41t ≤-或40t =，解得14t ≤-或0t =.故选：D 考向2 已知函数零点或方程根的个数求参数20．（2020·湖南高三模拟）已知函数2141,0()1,02x x x x f x x +⎧-+≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()g x f x a =-恰好有3个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．[0,1) B ．(0,1)C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由条件可知()0f x a -=()a f x ⇒=()()g x f x a =-恰好有3个零点，等价于y a =与()y f x =有3个交点，如图画出函数的图象，由图象可知112a <≤.故选：D21.(2021·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】]2,41[-【解析】∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝2)412(-x －14，∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈]2,21[，∴2)412(-x －14∈]2,41[-∴实数a 的取值范围是]2,41[-考点8 用函数图象刻画变化过程22.甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ 【答案】B【解析】由题知速度v ＝st 反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．23．（2021·重庆高三模拟）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，xhr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒=⋅，而,,r H v 都是常数，即2323H v r π是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h tr π=⋅，203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=⋅>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A 24．（2021·浙江高三模拟）如图，设有圆O 和定点C ，当l 从0l 开始在平面上绕O 匀速旋转（旋转角度不超过90︒）时，它扫过圆内阴影部分面积S 是时间t 的函数，它的图像大致是如下哪一种（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当直线l 从初始位置0l 转到经过点C 的过程中阴影部分面积增加的越来越快，图像越来越“陡峭”；l 从过点C 的位置转至结束时阴影部分面积增加的越来越慢，图像越来越“平缓”，故选：C.考点9 应用所给函数模型解决实际问题25.某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份 4 m 3 4元二月份 25 m 3 14元三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元【答案】A【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.26．（2021·湖南高三期末）某工厂8年来某种产品年产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年到第八年每年的年产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 【答案】②④【解析】由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确；综合所述，正确的为：②④. 故答案为：②④.27．（【百强校】福建师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题）如图所示，边长为 1的正方形PABC 沿 x 轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B 恰好能经过原点．设动点P 的纵坐标关于横坐标的函数解析式为()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x = 是偶函数； ②()y f x =是周期为 4 的函数；③函数 ()y f x =在区间[10，12] 上单调递减； ④函数 ()y f x = 在区间[1，1] 上的值域是[1，2] 其中判断正确的序号是_______．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①②④【解析】当2x 1-≤<-时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆当1x 1-≤<时，P 的轨迹是以B 为圆心，半径为2的14圆当1x 2≤<时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆当2x 3≤≤时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆故函数的周期为4因此最终构成图象如下所示：①根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数；故正确②由图可得()f x 的周期为4，故正确③函数()y f x =在区间[2，4]上为增函数，故在区间[10，12]上也是增函数，故错误 ④在区间[1，1]上的值域是[1，2]，故正确综上，正确的序号是①②④考点10 构建函数模型解决实际问题考向1 构建二次函数模型28.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计) 【答案】2 500【解析】设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)．29．（2021·四川高三模拟）某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为6元，即最初3km （不含3km ）计费6元.若某人乘坐该市的出租车去往13km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为_____. 【答案】19.2【解析】乘车距离为x km ，车费为y 元，由题意得：6,036 1.2,346 1.22,456 1.23,56x x y x x <<⎧⎪+≤<⎪⎪=+⨯≤<⎨⎪+⨯≤<⎪⎪⎩，所以当13x =时，()6132 1.219.2y =+-⨯=元，所以他需要支付的车费为19.2元，故答案为：19.230（2021·河南郑州一中高三模拟）在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，x =（）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】A【解析】不妨设投产后的累计收入2y ax bx c =++，则100.520242304.593a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1,100,02a b c ===， 211002y x x ∴=+， ∴改造后累计纯收入为215001005002y x x -=+-，不改造的累计纯收入为()10020x -，令()21100500100202x x x +->-，即212050002x x +->，解得201014x >-+201014x <--，20101417.4x ∴>-+，x N *∈，x 的最小值为18.故选：A 考向2 构建指数函数、对数函数模型31.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况【答案】B【解析】设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．32.声强级1L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭.若普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（） A ．610倍B ．510倍C ．410倍D ．310倍【答案】B【解析】设普通列车的声强为1I ，高速列车的声强为2I ，因为普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，所以1129510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2124510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()11129510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得12.5lg I -=，所以 2.5110I -=， ()22124510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得27.5lg I -=，所以7.5210I -=，两式相除得 2.5517.52101010I I --==，则普通列车的声强是高速列车声强的510倍.故选：B.33．（2020·重庆市酉阳第一中学校高三月考）为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：22112.51g E m m E -=-，联系两个天体的星等1m ､2m 和它们对应的亮度1E ､2E .这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是1.26，猎户星座的“参宿一”星等是1.76，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（）倍.（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.567B ．1.568C ．1.569D ．1.570 【答案】B【解析】设“十字架三”的星等是1m ，“参宿一”的星等是2m ，“十字架三”的亮度是1E ，“参宿一”的亮度是2E ，则1 1.26m =，2 1.76m =，设12E rE =，两颗星的星等与亮度满足22112.51gE m m E -=-， 211.76 1.26 2.51g E E ∴-=-，0.21210E E =0.22101 2.30.2 2.7(0.2) 1.568r ∴=≈+⨯+⨯=，∴与r 最接近的是1.568，故选B ．考向3 构建分段函数模型34（2021·广东江门市·高三模拟）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为___________小时．【答案】7916【解析】当01t ≤≤时，函数图象是一个线段，由于过原点与点()1,4，故其解析式为4,01y t t =≤≤，当 1t ≥时，函数的解析式为12t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()1,4M 在曲线上，所以1142a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得 3a =，所以函数的解析式为31,12t y t -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，综上，34(01)()1(1)2t t t y f t t -≤<⎧⎪==⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意有340.2510.252t t -≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1165t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，所以1516t ≤≤，所以服药一次治疗疾病有效的时间为17951616-=个小时，故答案为：7916． 35．（2020·福建三明市·三明一中高三期中）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是21300,0300()245000,300x x x P x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≥⎩，则总利润最大时店面经营天数是__________，最大总利润是__________．【答案】200 10000元【解析】由题意，0300x ≤<时，221130010010000(200)1000022y x x x x =---=--+，200x ∴=时，10000max y =；300x ≥时，4500010010000350001005000y x x =--=-≤，200x ∴=天时，总利润最大为10000元故答案为：200, 10000元。

高考数学热点题型和提分秘籍专题04 函数及其表示理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数

2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题04 函数及其表示理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用．【热点题型】题型一考查函数的定义域例 1．(1)(函数f (x )＝ 1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋ 1－x 2的定义域为________．【答案】(1)A (2)(0,1] 【解析】【提分秘籍】1.函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域．(2)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域． (3)已知定义域确定参数问题． 2.简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．【举一反三】已知f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x －12的定义域．题型二考查函数的解析式例2、(1)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．【解析】 (1)f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，令t ＝1－cos x ，则cos x ＝1－t ，t ∈[0,2]， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]，即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．【提分秘籍】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值X 围．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．【举一反三】已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3 【答案】B题型三考查分段函数例3、如图，点P 从点O 出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系分别记为y ＝f (x )，y ＝g (x )，定义函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x ≤g x ，g x ，f x >g x .对于函数y ＝h (x )，下列结论正确的个数是( )①h (4)＝10；②函数h (x )的图象关于直线x ＝6对称；③函数h (x )的值域为[0，13 ]；④函数h (x )的递增区间为(0,5)．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 C 【解析】【提分秘籍】(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的X 围求的变量值或自变量的取值X 围，应根据每一段的解析式分别求解．但要注意检验，是否符合相应段的自变量的取值X 围．【举一反三】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43等于________．【答案】4【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4. 【高考风向标】【2015高考某某，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 【答案】D. 【解析】（2014·某某卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【答案】A【解析】由已知可得，f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin 5π6＝12.（2014·卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.（2014·某某卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】C【解析】由x 2－x >0，得x >1或x <0. （2014·某某卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2013·某某卷）已知函数f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0. (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值X 围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△A BC 的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．【解析】当a>12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4a 2x ，x ≤14a，2a －4a 2x ，14a <x ≤12，2a （1－2a ）＋4a 2x ，12<x ≤4a －14a ，4a 2－4a 2x ，x>4a －14a.所以f(f(x))＝x 有四个解0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a 21＋4a 2，又f(0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋2a ＝2a 1＋2a，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2，故只有2a 1＋4a 2，4a 21＋4a 2是f(x)的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值X 围为a>12.（2013·某某卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x ＋e x，则f′(1)＝________．【答案】2【解析】f(e x )＝x ＋e x，利用换元法可得f(x)＝ln x ＋x ，f′(x)＝1x ＋1，所以f′(1)＝2.（2013·某某卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－4 【答案】D 【解析】（2013·某某卷）函数y ＝xln(1－x)的定义域为( )A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1] 【答案】B【解析】x≥0且1－x>0，得x∈[0，1)，故选B.（2013·某某卷）已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x)＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ， H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16 D ．a 2＋2a －16【答案】B【解析】由题意知当f(x)＝g(x)时，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，整理得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，所以x ＝a ＋2或x ＝a －2，所以H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≤a－2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（a －2<x<a ＋2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≥a＋2），H 2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≤a－2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（a －2<x<a ＋2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≥a＋2）.由图形(图形略)可知，A ＝H 1(x)min ＝－4a －4，B ＝H 2(x)max ＝12－4a ，则A －B ＝－16. 故选B.（2013·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【答案】B【解析】对于f(2x ＋1)，－1<2x ＋1<0，解得－1<x<－12，即函数f(2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. （2013·某某卷）设函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 【答案】A（2013·某某卷）函数y ＝x33x －1的图像大致是( )图1－5【答案】C【解析】函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B；当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C中的图像．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．【解析】(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. 【高考押题】1. 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】B【解析】注意定义域和值域的限制，只有B 正确．2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于 ( )A. 12 B. 45C. 2D. 9【答案】C3. 函数f (x )＝2x －1log 3x 的定义域为 ( )A. (0，＋∞)B. (1，＋∞)C. (0,1)D. (0,1)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】由log 3x ≠0得x >0且x ≠1，因此，函数f (x )＝2x －1log 3x 的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，选D.4.已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝|x |12，若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素x 使得f ：x →k ，则k 的取值X 围是( )A. k ≤0B. k >0C. k ≥0D. k <0【答案】D【解析】由题易知y ＝|x |12的值域为[0，＋∞)，要使集合A 中不存在元素x 使得f ：x →k ，只需k 不在此值域中，即k <0.5.如右图，是X 大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示X 大爷家的位置，则X 大爷散步行走的路线可能是( )【答案】D【解析】6.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A. x －1B. x ＋1C. 2x ＋1D. 3x ＋3【答案】B【解析】在2f (x )－f (－x )＝3x ＋1① 将①中x 换为－x ，则有 2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， ∴f (x )＝x ＋1. 7. 已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是________．【答案】{x |x ≠－1，且x ≠－2} 【解析】由x ＋1≠0且1x ＋1＋1≠0，得x ≠－1，且x ≠－2. ∴定义域为{x |x ≠－1，且x ≠－2}． 8.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x <3，3x －m x ≥3，且f (f (2))>7，则实数m 的取值X 围为________．【答案】m <5【解析】因为f (2)＝4，所以f (f (2))＝f (4)＝12－m >7，解得m <5. 9.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.【答案】±1【解析】若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1；若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1.故a ＝±1. 10. 根据下列条件分别求出函数f (x )的解析式： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．解：(1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2. 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.11. 已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0，(1)求f [g (2)]与g [f (2)]． (2)求f [g (x )]与g [f (x )]的表达式．12.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．。

函数的概念与性质(公式、定理、结论图表)高考数学必背知识手册

第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）1．函数的概念定义一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素对应关系y ＝f (x )，x ∈A定义域自变量x 的取值范围值域与x 的值相对应的y 的函数值的集合{f (x )|x ∈A }思考1：(1)有人认为“y ＝f (x )”表示的是“y 等于f 与x 的乘积”，这种看法对吗？(2)f (x )与f (a )有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示定义R{x |x ≥a }{x |x ＞a }{x |x ≤a }{x |x ＜a }符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x 0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 是函数y ＝f (x )的最大值M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标思考：若函数f (x )≤M ，则M 一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x 0，使f (x 0)＝M 时，M 才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I结论f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x )图象特点关于y 轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称．8．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图所示：10．幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x ∈[0，＋∞)时，增函数x ∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x ∈(0，＋∞)时，减函数x ∈(－∞，0)时，减函数11.常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝f1(x)，x∈D1f2(x)，x∈D2……fn(x)，x∈D n<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]3.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.典例2：设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x))的形式时，应从内到外依次求值．6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0，解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．3－x≥0，x－1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x x＋1≠0，1－x≥0，解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．已知函数f(x x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2<x<2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，f f －52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f －52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f f －52－32＝－32＋2×－32＝94－3＝－34.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．[思路点拨]设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明]设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1x 2＋1x 2＝(x 1－x 21x 1－1x 2x 1－x 2)＋x 2－x1x 1x 2＝(x 1－x 2)1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨](1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→求x 的范围(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解](1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f(4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y －x2＋32x－100，0<x≤20，160－x，x>20(x∈N*)．(2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f (1)<f 52<72B．f 72<f (1)<52C．f 72<f 52f (1)D．f 52<f (1)<72[思路点拨]y ＝f (x ＋2)是偶函数―→f (x )的图象关于x ＝2对称――→[0，2]上递增比较大小B [∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴52f 32f 72＝12，又f (x )在[0,2]上单调递增，∴f 12<f (1)<3272f (1)<5213.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f 12(1)B (2)13[(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴12＝12log 23＝13.]14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断.典例12：点(2，2)与点－2，－12f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。

专题04 求函数的定义域、值域(解析版)

专题04 求函数的定义域、值域【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域； ②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．（二）函数的值域1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，()y f x =(),a b ()a g x b <<()()y f g x =()()y f g x =(),a b ()g x (),a b ()y f x =()f x )]([x g f )]([x g f ()f x )(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d++=+c a ,① ：换元→分离常数→反比例函数模型② ：换元→分离常数→模型③ ：同时除以分子：→②的模型 ④ ：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. ③形如,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域. 9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，ax by cx d+=+2ax bx cy dx e++=+a y x x =±2dx ey ax bx c+=++21y ax bx c dx e=+++22ax bx cy dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin xay f ay f x y f x ===()y f t =y ax b =+()f x ()f x如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当，当. （4）对勾函数： ① 解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得② 极值点：③ 极值点坐标：y kx b =+2y ax bx c =++1y x=,0x y →+∞→,0x y →-∞→()0ay x a x=+>x 0a>a a x 1a 42y x x =+4a =22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2a=x x ==(,-④ 定义域：⑤ 自然定义域下的值域：（5）函数：注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：的系数为1； ② 函数的零点：③ 值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为【经典例题】()(),00,-∞+∞(),2,a ⎡-∞-+∞⎣()0ay x a x=->x 0a >x =R xy a =1a >01a <<()0,+∞log a y x =1a >01a <<()0,+∞例1.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________．【答案】(0,)+∞【解析】要使得函数1()ln 1f x x x =++有意义，则100x x +≠⎧⎨>⎩，即0x >，∴定义域为(0,)+∞．【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．例2．【河南省部分重点高中2020届高三三模】函数ln y x=的定义域是（）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）【答案】A 【解析】2340ln ln 0,0x x x y x x x ⎧-++≥-=⎨≠>⎩14(0,1)(1,4]0,1x x x x -≤≤⎧∴∴∈⋃⎨>≠⎩故选：A【专家解读】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.例3．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩解得01x ≤<故答案为C例4．【山东省济宁市第一中学2020届高三三模】函数()1lnxf x x =-的定义域为（）A ．[)()0,11,⋃+∞B ．()()0,11,⋃+∞C ．[)0,+∞D ．()0,+∞【答案】B【解析】函数ln ()1xf x x =-，∴010x x >⎧⎨-≠⎩，解得x ＞0且x≠1，∴f （x ）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：B ．例5．【黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三三模】已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为（） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B【解析】因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．例6．【山东省实验中学2020年高三三模】若函数()f x 的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（） A ．22（﹣，）B ．22∞∞⋃+（﹣，﹣）（，）C ．][22∞∞⋃+（﹣，﹣，）D ．[]22﹣，【答案】D【解析】因为函数()f x =R ，所以开口向上的二次函数的图象，与x 轴没有交点，即240,22a a ∆=-≤-≤≤，即实数a 的取值范围为[]22﹣，，故选D. 【专家解读】本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为R 求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，()f x =，只需00a >⎧⎨∆≤⎩；（2）对数型，()()2log m f x ax bx c =++，只需00a >⎧⎨∆<⎩，（3）分式型，()21f x ax bx c =++，只需00a ≠⎧⎨∆<⎩. 例7．【山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题】已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞--D ．()(),11,1-∞--【答案】D【解析】令24x x >，即21x <，解得0x <. 若()11f x x -+有意义，则10,10x x -<⎧⎨+≠⎩，即()(),11,1x ∈-∞-⋃-.故选：D.【专家解读】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.【精选精练】1．【江西省宜春市宜丰中学2020高三三模】函数()()2log 1f x x =- ） A ．(),1-∞ B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)-1,+∞ 【答案】B【解析】使函数有意义的x 满足1010x x ->⎧⎨+≥⎩解得11x -≤<即函数()()2log 1f x x =-+[)1,1-.故选B.【专家解读】本题考查了具体函数定义域，属于基础题.2．【2020届北京市东城区高三三模】下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（）A ．22y x x =+，0x >B ．1y x =+C ．10x y -=D ．1y x x=+【答案】C【解析】由指数函数性质知：()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，值域为()0,∞+.对于A ，定义域为()0,∞+，与()f x 不同，A 错误；对于B ，值域为[)0,+∞，与()f x 不同，B 错误；对于C ，定义域为R ，值域为()0,∞+，与()f x 相同，C 正确；对于D ，定义域为{}0x x ≠，与()f x 不同，D 错误. 故选：C .【专家解读】本题考查函数定义域和值域的求解问题，属于基础题.3．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考】已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122344x x x x x -++的取值范围是（） A ．(]6,9 B ．()6,9C．()+∞D．)⎡+∞⎣【答案】A【解析】作出函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图像如下：因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，所以有122x x +=-，341x x =，故()31232343442x x x x x x x -++=+，再由2log 1x =可得2x =或12x =，即3112x ≤<，令4()2g x x x =+，(112x ≤<)，则24()2g x x'=-，因为112x ≤<，所以24()20g x x'=-<，即函数4()2g x x x =+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，又1()1892g =+=，(1)246g =+=，所以(]()6,9g x ∈. 即()3122344x x x x x -++的取值范围是(]6,9 故选A【专家解读】本题主要考查根据方程的根求取值范围的问题，通常需要结合函数图像求解，灵活运用数形结合的思想即可，属于常考题型.4．【浙江省宁波市镇海中学2020届高三仿真测试数学试题】若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（）A ．()cos21f x x =+B ．()f x =C ．()1f x x x =--D ．()3232x xx xf x -=+ 【答案】B【解析】∵1cos21x -≤≤，∴0cos212x ≤+≤，即函数()cos21f x x =+的值域为[]0,2，值域跨度为2； ∵()2221122x x x -++=--+≤， ∴()f x =⎡⎣；∵1,0()121,011,1x f x x x x x x -≤⎧⎪=--=-<<⎨⎪≥⎩，∴函数()1f x x x =--的值域为[]1,1-，值域跨度为2；∵323222222()11(1,1)323232312x x x x x xxx x x x x x f x -+-⋅⋅===-=-∈-+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，值域跨度为2；故选：B.【专家解读】本题主要考查函数值域的求法，掌握初等函数的性质是解题的关键，属于中档题.5．【2020届湖北省高三高考模拟调研考试】函数y x = ）.A．2⎡⎤-⎣⎦B ．[]0,4C．0,2⎡+⎣D．2⎡-+⎣【答案】A【解析】因为y x = 由240x x -，解得04x ．可得函数()y f x x ==-[]0,4．又()1f x '==．令()(2)g x x =-，则()()()1222410g x x x x -'=--+>，即()f x '在[]0,4上单调递增，(2)0x -=，解得2x =即()f x在0,2⎡⎣上单调递减，在2⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以2x =为极小值点，又(22f -=-(0)0f =，()44f =．∴函数y x =的值域为2⎡⎤-⎣⎦．故选：A ．【专家解读】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【东北三省三校2020届高三第四次模拟考试】已知函数()2cos 4x x xf x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为（）A ．1B ．2C ．12D ．3【答案】C【解析】因为函数()2cos 4x x xf x a=+是偶函数，所以()()f x f x -=，即()2cos 2cos 44x x x xx x a a---=++，化简可得：()4141x xa -=-，解得：1a =，即()2cos cos =4122x x xxx xf x -=++. 又因为c o s 1x ≤，222x x -+≥，所以()12f x ≤（当且仅当0x =时两个“=”同时成立）. 故选：C.【专家解读】本题考查偶函数的定义，考查求函数的最值，合理利用基本不等式和函数性质是解答本题的关键，属于中档题.7．【江西省赣州一中2020年高三三模】已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（）A ．{0,3}-B ．[3,0]-C ．(,3][0,)-∞-⋃+∞D ．{0,3}【答案】A【解析】∵函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞， ∴2[2(3)]43(3)0m m ∆=-+-⨯⨯+= ∴30m =-或∴实数m 的取值范围为{0,3}-【专家解读】本题考查通过观察二次函数的图象，根据函数的值域求参数的取值范围.8．【2020届湖南省五岳高三6月联考】函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】设2265(3)44u x x x =-+=--≥-，则()1,42uf u u ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以()()0416f u f <≤-=，即值域为(]0,16. 故选:A.【专家解读】本题考查了函数值域的求解.本题的难点是利用换元法，结合函数的性质求值域.一般地，求函数的值域时，常结合函数的图像、导数、函数的性质、基本不等式进行求解.9．【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（）A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-【答案】D【解析】函数()284f x x x =-+的对称轴为4x =，由于二次函数()f x 的开口向上，故函数()f x 在4x =处取到最小值()24484412f =-⨯+=-，最大值为()2888844f =-⨯+=，故所求值域为[]12,4-. 故选：D.【专家解读】本题考查了二次函数性质的简单应用，由定义域求函数的值域，属于基础题.10．【2020届福建省福州第一中学高三考试数学试题】若函数y (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]，所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0，所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C【专家解读】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33,66x k x k k Z ππππ-≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩，解得536x π-≤<-或66x ππ-<<或536x π<≤. 故答案为：553,,,36666ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 【专家解读】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．【2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三调研数学试题】函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________【答案】()(),11,1-∞--【解析】()2134lg x y x x -=--∴210340x x x ->⎧∴⎨--≠⎩解得1x <且1x ≠-即即函数()2134lg x y x x -=--的定义域为()(),11,1-∞--，故答案为：()(),11,1-∞--【专家解读】本题主要考查了分式函数与对数函数的定义域，以及不等式组的解法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．13．【2020届上海市高考模拟数学试题】对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________. 【答案】-4【解析】函数()f x ，其中0b > 若0a >，由于20ax bx +≥，即()0x ax b +≥， ∴对于正数b ，()f x 的定义域为:,[0,)b D a⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，但()f x 的值域[)0,A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求.若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为D 0,a b ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦. 由于此时max [()]2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭A ⎡=⎢⎣. 由题意，有b a -=，由于0b >，所以4a =﹣. 故答案为：﹣4【专家解读】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.14．【2020届陕西省咸阳市高三高考模拟检测数学试题】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出y =“同域函数”的解析式为____________.【答案】23xy =-，[]1,2x ∈（答案不唯一）【解析】由1020x x -≥⎧⎨-≥⎩得：12x ≤≤ y ∴=[]1,2又y =∴值域为[]1,1-y ∴=的一个“同域函数”为23x y =-，[]1,2x ∈故答案为：23xy =-，[]1,2x ∈（答案不唯一）【专家解读】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.15．【浙江省衢州二中2020届高三下学期6月模拟数学试题】已知函数()f x =[)0,+∞，则实数t 的取值范围是__________．【答案】1(,]4-∞【解析】令221ty x x =+-，当0t <时，22211,(0)t t y x m m x x m =+-=+-=>，因为1t y m m=+-在(0,)+∞上单调递增，因此221ty x x=+-值域为[),0,R +∞为R 的子集，所以0t <；当0t =时，222111t y x x x=+-=-≥-， [)0,+∞为[1,)-+∞的子集，所以0t =；当0t >时，22111,t y x x =+-≥=，当且仅当||x =[)0,+∞为1,)+∞的子集，所以11004t ≤∴<≤；综上，14t ≤故答案为：1(,]4-∞【专家解读】本题考查函数值域、利用基本不等式求值域，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属中档题.16．【2020届江苏省南京市第二十九中高三三模】已知函数()[]11,1,05xf x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】01a ≤≤【解析】因为函数()151xf x ⎛⎫= ⎪⎭-⎝在[1,0]-上单调递减，所以(0)()(1)f f x f ≤≤-，即0()4f x ≤≤，所以函数()f x 的值域为[0,4]，因为对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，故()g x 的值域是()f x 值域的子集，对22()log 3g x a x a =+，2]2x ∈，当0a =时，()0g x =，符合题意；当0a ≠时，函数()g x在,2]2单调递增，所以2213()32a a g x a a -≤≤+，所以22103234a a a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≤⎩，，解得01a ≤≤，又0a ≠，所以01a <≤，综上，实数a 的取值范围是[0,1]．故答案为：[0,1]【专家解读】本题主要考查等式型双变量存在性和任意性混搭问题，对于形如“任意的1x A ∈，都存在2x B ∈，使得12()()g x f x =成立”此类问题“等价转化”策略是利用()g x 的值域是()f x 值域的子集来求解参数的范围．。

高考函数知识点总结

高考函数知识点总结高考数学中的函数是一个重要的知识点，也是考试中常见的题型。

下面我将对高考中常见的函数知识点进行总结，帮助你更好地复习。

一、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一种将一个集合的每个元素都对应到另一个集合的规则，即每一个自变量只有唯一的函数值与之对应。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，函数的值域是函数值的取值范围。

3. 函数的表示方法：通常用f(x)或y表示函数，其中x为自变量，y为函数值。

4. 函数的奇偶性：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

5. 函数的周期性：如果存在正数T，使得对于定义域中的任意x都有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数。

二、函数的分类1. 一次函数：函数的表达式为y=kx+b，其中k和b为常数，k为斜率，b为截距。

2. 二次函数：函数的表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

3. 反比例函数：函数的表达式为y=k/x，其中k为常数，x≠0。

4. 幂函数：函数的表达式为y=x^k，其中k为常数，k≠0。

5. 指数函数：函数的表达式为y=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1，x为指数。

6. 对数函数：函数的表达式为y=loga(x)，其中a为底数，a>0且a≠1，x为真数。

7. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

8. 常数函数：函数的表达式为y=c，其中c为常数。

三、函数的性质与方程1. 函数的奇偶性：可用来简化函数的图像及方程的求解。

2. 函数的单调性：函数的增减情况可以通过导数的正负来判断。

3. 函数的最值问题：可通过求函数的导数找出极值点。

4. 函数的零点与方程：函数的零点是方程y=f(x)的解，可以通过解方程求得。

同时，方程的解也是函数的图像与x轴的交点。

四、函数的图像与性质1. 函数的基本图像：不同类型的函数有不同的图像特点，如一次函数是一条直线，二次函数是开口向上或向下的抛物线等。

专题04 函数的定义域、解析式、值域(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)

专题04 函数的定义域、解析式、值域（知识梳理）一、函数的定义域定义域特指x 的值。

函数题的解答不能不考虑函数的定义域，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。

但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。

基本解题思路：①注意“定义域优先”；②不要对解析式化简变形；③在解不等式组时要细心、快而准，分类讨论要全面，取交集时需要借助数轴； ④要注意端点值或边界值能否取到； ⑤定义域要用集合或者区间的形式写出； ⑥换元法要注意新变量的取值范围；⑦注意对于指数不等式、对数不等式和分式不等式的解法的通用方法。

（一）单一函数经过四则运算结合求函数的定义域。

1、基本函数定义域的要求： (1)分式函数，分母不为0；(2)偶次根式函数的被开方数为非负数； (不要忘记等号) (3)一次函数、二次函数的定义域为R ；(4)0x 中的底数不等于0； (n x -中的底数也不等于0) (5)指数函数x a y =定义域为R ，对数函数x y a log =定义域为0>x ； (注意0>a 且1≠a ) (6)x y sin =、x y cos =的定义域为R ；x y tan =的定义域为},2|{z k k x x ∈π+π≠；x y cot =的定义域为},|{z k k x x ∈π≠；(7)实际问题应考虑实际限制。

2、剥洋葱原理→一层一层→交集(同时成立) →最后把求定义域转化成解不等式。

例1-1．函数3121)(++-=x x f x 的定义域为( )。

A 、]0,3()3,(---∞ B 、]1,3()3,(---∞ C 、]0,3(- D 、]1,3(- 【答案】C【解析】⎩⎨⎧>+≥-03021x x ，解得03≤<-x ，故选C 。

例1-2．函数211ln)(x xx x f -++=的定义域为。

【答案】]1,0( 【解析】0111>+=+xx x 且0≠x 且012≥-x 解得10≤<x 。

专题04函数的最值问题(解析版)

2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题04函数的最值问题函数是数学的灵魂，是高中数学的主干知识，贯穿高中数学始终.函数的最值是函数的重要性质，与其他数学知识联系紧密，在数学建模、最优化等问题中也有广泛的应用.它蕴含了函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等重要数学思想，是历年高考的必考内容.分析历年各地高考试卷中涉及的函数最值问题，主要有以下特点:(1)总体难度中等偏上.(2)最值问题的呈现形式通常有三种.其一，直接给出函数求其最值，这类题常以客观题形式出现；其二，在解答题中作为子问题出现，难度中等；其三，隐性呈现，如不等式恒成立、有解等问题，几何或应用题中的最优化问题，需要对问题进行二次转化，化归为最值问题，这类题难度较大.(3)近几年试卷中出现多变量函数的最值问题，这类题形式简单但难以找到解题突破口，虽然可以通过转化化归为常见问题，但转化难度较大，对考查学生的思维能力确有其独到之处.由于函数最值问题难度较大，思维要求较高，常导致部分学生对某些问题“无从下手”或“会而不对，对而不全”.解决这一难题，需从三方面入手:(1)加强对最值概念的理解，注意其两个要素缺一不可(一是不等式对定义域中任意值恒成立，二是确保等号取到)，通过多角度对常见函数最值问题的研究，再次回顾探求最值问题的常用策略和基本思想，拓宽解题思路，增强选择意识和求简能力，熟悉探求最值的基本技能，培养直观想象能力；(2)通过对较复杂的函数、多变量函数的最值问题的探求，强化转化化归意识，增强学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；(3)通过最值概念与其他知识的综合运用，增强数学应用意识，培养数学模型和数据分析等综合能力.本专题拟用两个课时完成，第一课时让学生在教师的帮助之下自主建构知能体系，并通过相关训练熟悉基本方法，体会其中蕴含的数学思想.第二课时着重研究多变量函数最值问题和最值的简单应用问题，提升学生的转化意识和数学应用能力.1自主建构，联珠结网“学之道在于悟”.经过前面的复习，学生已掌握了不少函数最值的求法，但稍显零碎、分散，没有进行归纳总结.放手让学生自主盘点研究过哪些函数的最值?分别有哪些方法?尝试提炼其中蕴含的数学思想.由此总结得出探求一次函数、二次函数、三次函数、简单一次分式函数、二次分式函数等常见代数函数最值的基本方法和思想，进一步总结与指数函数、对数函数相关的函数以及简单的无理函数、含绝对值函数等超越函数最值的探求方法，突出向代数函数转化的意识，提炼数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想.让学生自我总结，历经自主建构知能体系的过程，有助于提升学生对最值问题的认识，培养回顾反思的意识和概括总结的能力.2立足基础，温故知新“学数学重在做数学”.在自主建构出较为完善的知识体系的基础上，用以下几个与函数最值相关的问题，熟识最值问题的常用处理策略，提升思路的选择与甄别能力，加强学生数学思想的渗透与培养.例1－1函数的最小值为.思路探求:解法1，由(x∈[1，2])，当a≥4时，，f(x)在区间[1，2]上递减，此时最小值为；当a≤1时，，f(x)在区间[1，2]上递增，此时最小值为f(1)=1+a；当1<a<4时，由f(x)在区间内递减，在区间内递增，此时最小值为.因此，.解法2:作为客观题，直接利用“模型”即可获得函数的单调性.当a<0时，f(x)为“双刀”型函数，在区间(0，+∞)内单调递增；当a>0时，f(x)为“双勾”型函数，在区间内递减，在区间内递增；当a=0时，f(x)=x在区间(0，+∞)内单调递增，由此同样可以得到结论.方法点睛:通过研究函数的单调性探求最值是求函数最值的基本策略之一.掌握常见的函数模型对明确求解目标、提高解题速度大有益处.除常见的多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数外，研究并积累一些常见的函数模型图像及其性质(如，等)，增强数学模型意识，有助于提升学生的数学能力.例1－2设函数的最小值为1，求实数a取值的集合.思路探求:解法1，由该二次函数的对称轴为直线，故可以就与区间[1，3]的关系分三种情形进行讨论，并求得其最小值，由g(a)=1可得a取值集合为{4}.解法2:从最小值的定义出发，由f(x)最小值为1，即当x∈[1，3]时，x2－ax+5≥1恒成立，且存在x0∈[1，3]使“=”成立，亦等价于当x∈[1，3]时，a≤恒成立，且存在使“=”成立.由最小值定义可知，a即为函数的最小值.易求“双勾”函数h(x)在区间[1，3]上的最小值为4，故而a取值集合为{4}.方法点睛:解法1想法自然，是一种正向思维方式，充分体现了分类讨论的数学思想.解法2两次使用最值定义，将含参函数最值问题转化为不含参数的函数最值问题，较之解法1，过程更为简捷，这在已知含参函数最值求参数这类问题中常被使用，但在使用最值定义时应注意两个要素(“不等式恒成立”和“使等号成立”)，缺一不可.例1－3函数y=2x－的最小值为思路探求:解法1，为了处理二次根式，将原式化为，两边平方可得.由该方程有实根(原函数定义域为非空数集)，其根的判别式△≥0，由此可得，而当时，故当时，函数取得最小值.解法2:令，则，从而，不难求得其最小值为.解法3:利用导数研究其单调性，再求最小值.方法点睛:将无理式转化为有理式是处理无理式的基本策略.转化的方法通常有换元(代数换元或三角换元)、分母(或分子)有理化、乘方(平方)等.但转化时尤其要注意变形等价性要求.解法1是通过平方的手段将原式转化为整式方程，体现方程思想在函数最值问题中的应用.但需注意方程(*)其实与原函数式并不等价，“”应是原式成立的必要条件，但通过验证等号恰能取得，故而能确保结论的正确性.解法3是研究可导函数最值的基本策略，如求函数的最小值，研究其单调性优于换元转化的方法，但要注意“定义域优先原则”的应用.3合理转化，化生为熟多变量函数最值问题的基本处理策略，是通过合理消元或代换转化为一元函数等学生较为熟悉的问题，“整体思想”“函数与方程思想”等数学思想的正确运用是实现转化的关键所在.例2－1已知实数x，y满足3x+xy=3，则的最小值是.思路探求:看似两个变量的问题，而由已知条件可以消去一个变量，化为一元函数.解法1:选择x为变量，则易得，可借助导数研究其单调性再求最值，或从方程角度将其转化为关于x的一元二次方程，由方程有实根，则判别式不小于零得最小值为8(因为T是定义在开区间内的连续函数，故其最值只能在极值点取得，但需检验取最值时恰在内).解法2:选择y为变量，由，可得y>3，则，再借助基本不等式或函数知识更容易求得当时取得最小值8.方法点睛:“函数思想”的运用是解题的关键.通过消元转化为一元函数模型是解题的基本出发点，但两种消元的方法导致求解过程的繁简程度大相径庭，后者简单了许多，这样的分析、比较有益于培养学生多角度尝试的意识，提升发现问题、分析问题的能力.例2－2已知a>b>c>0，求的最小值.思路探求:解法1，将T视为关于c的函数f(c)，则，由此将三元问题转化为二元问题；再将其视着关于b的函数，利用函数或不等式知识可求g(b)≥，进一步将二元问题转化为一元问题，再由基本不等式或函数知识可求其最小值为4，当时取得最小值.解法2:由，记，则，同样可求得其最小值为4.方法点睛:转化为一元问题仍然是解题的基本出发点.由于不能通过等量关系代入消元，故“函数思想”的运用或“放缩”成为这类问题的常用转化策略.运用函数思想时，注意“主元”的选择，多次放缩后，注意验证各个等号的相容性.4综合运用，以简驭繁函数的最值在处理不等式有关问题(如恒成立、有解等)、函数其他性质的研究(如单调性、零点存在性)以及实际应用问题中有其重要的作用，合理准确的转化是正确运用的关键.例3－1已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且.若在区间上存在x0，使得成立，则实数a的最大值和最小值之和为.思路探求:条件即表示关于x的方程af(x)+g(2x)=0在区间上有解，又易求f(x)=，由此可进一步转化为在区间上有解.从而a的取值集合即为函数的值域，a的最值即为函数h(x)的最值.令，则运用导数求得h(x)=u(t)=，所以a的最大值与最小值之和为.方法点睛:“等价转化”思想在该题的求解过程中得以充分体现.关于a的方程a=f(x)有解，可等价转化为a的取值集合为函数f(x)的值域.类似地，若f(x)存在最小值，则关于x的不等式a≤f(x)恒成立，可等价转化为a≤[f(x)]min；分离变量可将含参函数的最值问题转化为不含参函数的最值问题，简化求解过程；在探求函数h(x)值域时，整体换元转化问题较之运用导数直接研究其单调性等方法更为简捷.例3－2设函数，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得，则满足条件的实数a的取值范围是.思路探求:由对定义域内的任意x1总存在x2使得，可得f(x)无最小值.而f(x)=，令，则f(x)=g(t)=2at2+t(t≠0)无最小值.分类讨论可得当a=0和a>0时，g(t)(t≠0)无最小值，故a的取值范围是.方法点睛:对最值概念的深刻理解是实现条件转化的关键所在.在研究函数f(x)最值存在性时，还可以令x－a=t，将函数f(x)转化为函数g(t)=，但研究过程要复杂许多.例3－3设长方体各棱长之和为36cm，表面积为48cm2，求该长方体体积的最大值和最小值.思路探求:容易将问题转化为“已知正实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，求T=abc的最大值和最小值”.由已知条件可得a+b=9－c，ab=24－c(a+b)=c2－9c+24，从而T=abc=c3－9c2+24c.由此将T转化为一元函数，求出c的取值范围(定义域)即可探求其最值解法1:从方程角度，将a，b视作关于x的方程x2－(9－c)x+(c2－9c+24)=0的两个正实根，不难得到1≤c≤5；也可以通过消元化成关于a (b )的一元二次方程再求解. 解法2:从不等式角度，由构造关于c 的不等式，解得1≤c ≤5令f (c )=c 3－9c 2+24c (1≤c ≤5)，借助导数可得其在区间[1，2]上单调递增，在区间[2，4]上单调递减，在区间[4，5]上单调递增，从而[f (c )]max =，即T 的最大值为20，最小值为16.方法点睛:将多变量函数式转化为一元函数模型是解题的基本方向.探求c 的取值范围时，引导学生从条件等式的形式，联想方程相关知识(根与系数的关系)或基本不等式，由此构造关于c 的不等关系得到其范围，这样有助于培养学生数学联想、直观想象等综合能力.最新模拟题强化1．函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值为2， m 的取值范围是 A ．(,2]-∞ B ．[0,2] C ．[1,2] D ．[1,)+∞【答案】C 【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，函数2()23=-+f x x x 在闭区间[0，]m 上上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是[1，2]．故选：C ．2．函数443y x x =-+在区间[2,3]-上的最小值为( ) A ．72B ．36C ．12D ．0【答案】D 【解析】解：344y x '=-，令0y '=，即3440x -= 解得1x = 当1x <时，0y '< 当1x >时，0y '> ∴1|0x y y ===极小值，而端点的函数值2|27x y =-=，3|72x y ==，得min 0y =．故选D.3．已知(0,1)(1,)a ∈+∞，且函数2,2(),2x a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩在R 上有最小值，则a 的取值范围为（）A ．()0,1?B ．()()0,11,2?⋃C ．(]1,2D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】当2x >时，2()4f x x =>；当2x ≤时，()x f x a =，若(0,1)a ∈时，2()x f x a a ≥=，且24a <，∴函数2,2(),2x a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩在R 上有最小值2a ，当(1,)∈+∞a 时，(20(),x f x a a ⎤∈=⎦，此时，显然函数2,2(),2x a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩在R 上没有有最小值，最小值无限趋近于零；综上：a 的取值范围为()0,1? 故选：A4．函数x y a =在[]0,1上的最大值与最小值之和为3,则函数13x y a -=在[0,1]上的最大值与最小值的差是（） A ．6 B ．1 C ．3 D ．32【答案】D 【解析】∵函数x y a =在[0,1]上的最大值与最小值之和为3,∴0113a a a +=+=,解得2a =.∴函数11332--==⨯x x y a ，易知132x y -=⨯在[0,1]上单调递增，所以在[0,1]上的最大值是0323⨯=,最小值是13322-⨯=； ∴最大值与最小值的差是33322-=. 故选：D5．函数()2f x x a =-在区间[]1,1-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞【答案】C 【解析】若0a ≤，则2()f x x a =-，()f x 在[1,1]-的最大值为1a -，即有1a a -=，可得12a =，不成立；则0a >，由2x a a -=，可得0x =或2a ，由图像结合在区间[1,1]-上的最大值是a 21a ，解得12a ，故选：C .6．已知函数()()sin sin f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间()0,π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中正确结论的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】∵()()(),sin sin x R f x x x π∈-=-+-()sin sin x x f x π=--=-， ∴()f x 是奇函数，①正确；sin y x =的周期12T k π=，k ∈Z ，()sin y x π=的周期22T n =，n ∈Z ，∵{}{}1122|2,|2,T T k k T T n n π=∈=∈=∅Z Z ，所以()f x 不是周期函数，②错误；令()()sin sin 0f x x x π=+=，得()()sin sin sin x x x π=-=-， ∴2x x k ππ=-+，k ∈Z ，或2x x k πππ-=+，k ∈Z ，解得21k x ππ=+，k ∈Z 或()211k x ππ+=-，又()0,x π∈，21x ππ=+或41x ππ=+或1ππ-，③正确；当sin 1x =时，22x k ππ=+，k ∈Z ，当()sin 1x π=时，122x k =+，k ∈Z ， ∵1|2,|2,22x x k k x x k k ππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈=∅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，即sin y x =与()sin y x π=不可能同时取得最大值1，故④错误. 故选：B7．设实数,x y ，满足224-13x xy y x y ++=+，则代数式2413xy y x y ++-（）A ．有最大值631B ．有最小值413C ．有最大值1D ．有最大值2021【答案】B【解析】由已知得：224-13x xy y x y ++=+，代数式2413xy y x y ++-222xy y x y xy +=++，设y t x =，原代数式221t t t t+=++，22413x xy y x y ++=+-，两边同时除以2x ， ()()22411013t t x t x ++-++=，故()()224141013t t t +-⨯++⨯≥⇒133t ≤≤，设24,129m t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，原代数式1m m =+111m =-+，当49m =，最小值为413；当12m =,最大值为1213故选：B 8．如果函数()f x 对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式()f x x≤M 恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛函．给出下面三个函数：①()1f x =；②()2f x x=；③()21xf x x x =++．其中属于有界泛函的是（）A ．①③B ．②C ．③D ．①② 【答案】C 【解析】①对于()1f x =，当0x =时，有()100f x M =>⨯=，()1f x =不属有界泛函;对于②()2f x x =，当0x ≠时，有()f x x x=无最大值，()2f x x =不属于有界泛函；对于③()21xf x x x =++，当0x ≠时，有()22114131324f x xx x x ==≤++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()21x f x x x =++属有界泛函 9．已知函数()41f x t x =--在区间[]2,5的最大值为2，则t 的值为（） A ．2 B ．3C ．2或3D ．1-或6【答案】C 【解析】由函数()41f x t x =--，令()0f x =，得41x t=+，当412t+≤，即4t ≥时，()f x 去绝对值后的函数在区间[]2,5上为单调递增函数， ∴函数()f x 的最大值()45251f t =-=-，解得3t =（舍）或1t =-（舍），当415t+≥，即1t ≤，()f x 去绝对值后的函数在区间[]2,5上为单调递减函数， ∴函数()f x 的最大值()42221f t =-=-，解得6t =（舍）或2t =（舍），当4215t<+<，即14t <<， ()f x 在区间[]2,5上的最大值为()42221f t =-=-或()45251f t =-=-，解得3t =或2t =.综上：t 的值为3t =或2t =. 故选：C.10．已知函数()f x x =+()f x 有（） A ．最小值12，无最大值 B ．最大值12，无最小值 C ．最小值1，无最大值 D ．最大值1，无最小值【答案】D 【解析】∵函数f （x ）的定义域为（﹣∞，12]设t =，则t 0≥，且x 212t -=，∴f （x ）＝g （t ）212t -=+t 12=-t 2+t 1122+=-（t ﹣1）2+1，t 0≥，∴g （t ）≤g （1）即g （t ）≤1∴函数f （x ）的最大值1，无最小值. 故选D .11．已知二次函数()()2,f x x bx c b R c R =++∈∈，,M N 分别是函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值，则M N -的最小值 A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】B 【解析】当12b-≤-，即2b ≥时，()()1124M N f f b -=--=≥；当12b-≥，即2b ≤-时，()()1124M N f f b -=--=-≥；当102b-<-≤，即02b ≤<时，()211124b b M N f f b ⎛⎫-=--=++≥ ⎪⎝⎭；当012b<-<，即20b -<<时，()211124b b M N f f b ⎛⎫-=---=-+> ⎪⎝⎭，综上所述，1M N -≥最小值为1，故选B.12．已知0a >,设函数120193()20191x x f x ++=+([,]x a a ∈-)的最大值为M , 最小值为N ,那么M N +=() A ．2025 B ．2022C ．2020D ．2019【答案】B 【解析】由题可知1201932016()20192019120191x x x f x ++==-++，20162019()201920191xxf x ⋅-=-+ ()()201620162102403840389201920162102xx f x f x -+⋅+-=-=+=，2016()201920191xf x =-+在[,]x a a ∈-为增函数，()()++2022M N f a f a ∴=-= 故选：B13．已知函数()af x x x=+（0x >，0a >）在3x =时取得最小值，则a =________．【答案】9【解析】函数()af x x x=+（0x >,0a >）根据打勾函数的图像可知,当ax x=时取得最小值.因为当3x =时取得最小值,即29a x == 故答案为:914．已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____ 【答案】2 【解析】二次函数()y f x = 在[]0,2x ∈ 单调递增，当(]2,3x ∈ 单调递减故在x=0时取得最小值，即a=215．已知定义在R 上的函数()223f x x ax =++在(],1-∞上是减函数，当[]1,1x a ∈+时，()f x 的最大值与最小值之差为()g a ，则()g a 的最小值为_______. 【答案】1 【解析】∵()f x 在(],1-∞上是减函数， ∴1a -≥，即1a ≤-.∴()f x 在[]1,1a +上的最大值为2(1)344f a a a +=++，最小值为(1)42f a =+，2211()32333g a a a a ⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭，∴()g a 在(,1]-∞-上单调递减， ∴()g a 的最小值为(1)1g -=. 故答案为：1.16．已知函数22xxy b a +=+（a ，b 是常数，且0a >，1a ≠）在区间3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有max 3y =，min 52y =，则常数a 的值等于_____. 【答案】2或23【解析】令22u x x =+，则u y b a =+，又二次函数22u x x =+在3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,0-上单调递增，根据复合函数的单调性可知，当01a <<时，u y b a =+为减函数，所以22x xy b a +=+在3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在(]1,0-上单调递减，故当1x =-时，22xxy b a +=+取最大值，则13b a -+=，最小值为34min 1,1b b a b -⎧⎫++=+⎨⎬⎩⎭，联立1b +=52,13b a -+=，解得32a =；当1a >时，u y b a =+为增函数，所以22xxy b a +=+在3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,0-上单调递增，故当1x =-时，22xxy b a +=+取最小值，则152b a -+=，最大值为341,1max b b a b -⎧⎫++=+⎨⎬⎩⎭，联立1b +=3,152b a -+=，解得2a =,所以2a =或23.17．若函数()331,1=log (1),1x x f x x x ⎧-≤⎨->⎩在(]a -∞，上的最大值为2，则实数a 的取值范围为_______.【答案】[1,10] 【解析】312x -=，解得1x =；33log (1)2lo 9g x -==，解得10x =函数()f x 的图像如下图所示由图可知，要使得函数()f x 在(]a -∞，上的最大值为2，则110a ≤≤18．已知函数()f x 的周期为2，当[)1,1x ∈-时，函数(),10,1,0 1.2x x a x f x x +-≤<⎧⎪=⎨⎛⎫≤< ⎪⎪⎝⎭⎩若()f x 有最小值且无最大值，则实数a 的取值范围是_______ 【答案】31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】当10x -≤<，()f x x a =+为增函数，则1()a f x a -+≤<，当01x ≤<，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，1(1)2f x <≤，()f x 有最小值且无最大值， 1121a a ⎧-+≤⎪∴⎨⎪>⎩，解得312a <≤，故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．19．已知函数2()22f x x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值2，最小值1，则m 的取值范围为___________．【答案】[1,2] 【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是1，当2x =时，2y =，函数2()22f x x x =-+在闭区间[0，]m 上上有最大值2，最小值1，则实数m 的取值范围是[1，2]．故答案为：[1,2]20．()2(),0 2,0x a x f x x a x ⎧-≤=⎨+>⎩，若()0f 是()y f x =的最小值，则a 的取值范围是______．【答案】[]0,1 【解析】当0a <时，显然()0f 不是()f x 的最小值，当0a ≥时，()20f a =，由题意得：2a a ≤，解不等式：01a ≤≤， a ∴的取值范围是[]0,1，故答案为：[]0,1．21．已知函数()()21,02,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若()f x 在区间3,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是______________．【答案】1(,0)2- 【解析】f （x ）的图象如图所示 ∵f （x ）在3,2a a ⎛⎫+⎪⎝⎭上既有最大值又有最小值， ∴0312a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得12-＜a ＜0，故a 的取值范围为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，故答案为：1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，22．已知f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ＞0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，则ab ＝__________. 【答案】0 【解析】函数2()22f x ax ax b =-++的对称轴是1x =，0a >函数()f x 在[]2,3上是增函数，根据题意得∴44229625a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，0ab ∴=故答案为：023．不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下：在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图像，然后进行求解，请类比求解以下问题：设,a b ∈Z ，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则a b +=________【答案】1- 【解析】类比图象法解不等式，在同一坐标系中，画出12y ax =+和222y x b =+的图象，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则两个函数图象应如下图所示：则0022a b b a⎧⎪>⎪<⎨⎪⎪-=-⎩ 由,a b ∈Z 得：12a b =⎧⎨=-⎩，故答案为1a b +=-.24．已知a ∈R ，函数3()2x f x a a -=-+在区间[1,5)上的最大值是4，则a 的取值范围是__________．【答案】5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】由题意知，[1,5)x ∈，32[1,4]x -∈，故32[1,4]x a a a --∈--，①1a ≤时，33()|22[1,4]x x f x a a --=-+=∈，故符合题意；②512a <≤时，10a -<，40a ->且14a a -≤-，∴32[0,4]x a a --∈-，故3()2[,4]x f x a a a -=-+∈，故符合题意；③542a <≤时，10a -<，40a ->，且14a a ->-，∴32[0,1]x a a --∈-，故3()2[,1]x f x a a a -=-+∈，故不符合题意；④4a >时，3()2x f x a a -=-+=322[24,21]x a a a --∈--，故不符合题意．综上所述：a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 25．已知二次函数2()(21)2f x ax b x a =++--在区间[3,5]上至少有一个零点，则22a b +的最小值为__________. 【答案】1100【解析】22()(21)20(1)2(2)0,[3,5]f x ax b x a x a xb x x =++--=∴-++-=∈所以222222()1x b a x -+≥=+ 令2[1,3]t x t =-∴∈∴222151(2)14x t x t t t-==+++++因为54y t t =++在上单调递减，在上单调递增，所以222511414510()10100y t a b t =++≤++=∴+≥=故答案为: 110026．设函数2()1ln f x x x =+- （1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()()g x f x x =-在区间1[,2]2上的最小值。

函数-2019年高考数学---精校解析Word版

【知识应用通关】＋1，则函数f(x)的解析式为( )B．f(x)＝xx＋1D．f(x)＝1x＋2t＋1x＋1x＋f－x＝－x＋f x＝－lg x，则f(x)＝________.x－＋x＋，x －，x，－2≤x ≤2，－，x 2－x ，≥1，－π2，0单调性相反；f xx单调性相同．奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．－，x －x －x ，＝⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎛⎫11x －，上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)a －x －log a x ，x >1，x＋x＋1(2)图象法函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点x＋x＋a为奇函数，则x3【解析】由题意知，＋1)(f(x＋a)＝－1f xf(x＋a)＝1f xx，当x ，∴f x＋，∴f(1)＝f(3)＝－f(2 019)＝504[f(3)＋(4)]＋f(504×4＋(504×4＋x1－x2>0 x1－2幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要A．－1 C．1【答案】CA．④，⑦B．④，⑧C．③，⑧D．①，⑤确定二次函数图象的三要点二次函数在闭区间上的最值，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：m<n<－b2a ，即－b∈(n，＋∞)m<－b2a<n，即－b∈(m，n)①b2>4ac；②2a－③a－b＋c＝0；④其中正确的结论是，[－6，的单调递增区间是(0,6]当，na当n时．有理数指数幂－＝结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．－＝39＝33－＝y＝3a的图象有两个交点，则实数2－2．－22－23－＝＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log35·log－ 1 000；lg 0.3·lg 1.2(2)(log32＋log943＋loglg 32－lg 3－1·lg 31－lg 3·32lg 3＋2lg 2－1lg 31·lg 3＋2lg 2－1＝－(2)原式＝⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎭⎪⎫lg 3lg 8＝⎫lg 3lg 33lg 2，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a>1，故函数y＝)>g(1)时，x的取值范围是[1,2)．0<b<a－1<1 ．0<a－1<b－1<1，即ab＋a＋b＝0.所以a＋2 4＋＋b＋4>0.∴a＋b>0.2x－，．利用图象变换法作函数的图象个单位y ＝f (x －a )；个单位y ＝f (x )＋b . y ＝f (x )―――――――――――――――――――――→A >1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍0<A <1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A 倍y ＝【知识应用通关】的图象大致为( )的定义域为{x|x≠0}且为偶函数，所以排除选项B，，解得x＝2，或x＝－2(舍去)．则当0<x<2时，函数f(x)，故函数f(x)为偶函数，即函数的图象关于y利用函数的图象解决方程根问题的思路当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．，则下列结论正确的是( ) ，＋∞)若方程f(x)＝g(x1⎛⎫若f(3－a2)<f(2a)，则实数，对于任意的x∈R，不等式有三个不同的实数根，即函数) ．1，作出函数f (x )的图象，如图所示，当的图象有且只有一个交点，所以实数a 的取值范围是(－∞，在区间[0,2]上有解，则实数B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1－，时，f(x)＝ln(1－。

高一数学的函数知识点总结

高一数学的函数知识点总结高一是数学学科的重要阶段，其中函数是一个核心概念，也是高一数学的重点内容之一。

函数在数学中具有广泛的应用，不仅在数学领域有重要意义，而且在其他学科以及生活中都有广泛的应用。

在高中阶段，学生需要全面掌握函数的基本概念、性质以及解题方法。

本文将围绕函数的定义、性质、图像、应用等方面进行总结，帮助同学们全面理解和掌握高一数学中的函数知识点。

一、函数的定义和基本概念1. 函数的定义：函数是一个自变量到因变量的映射关系，通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

3. 奇偶性：如果对于定义域内的任意x值，有f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果对于定义域内的任意x值，有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。

4. 单调性：函数的单调性可以分为增函数和减函数两种情况。

如果对于定义域内的任意x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) ≤ f(x2)，则函数是增函数；如果对于定义域内的任意x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) ≥ f(x2)，则函数是减函数。

二、函数的性质和特点1. 奇偶性：通过函数的表达式，可以判断函数的奇偶性。

比如，当函数的表达式只含有偶次幂项时，函数是偶函数；当函数的表达式只含有奇次幂项时，函数是奇函数。

2. 对称轴：对于函数y = f(x)，如果存在一条直线x = a（a为常数），使得该直线与函数图像关于y轴对称，则直线x = a称为函数的对称轴。

3. 零点：函数的零点即为方程f(x) = 0的解，是函数图像与x轴的交点。

4. 最值：函数图像上的最高点称为最大值，最低点称为最小值。

函数的最值在图像上具有明显的特征，可以通过观察图像或计算得出。

5. 周期性：如果对于定义域内的任意x，有f(x + T) = f(x)，其中T为正常数，则函数具有周期T，称为周期函数。

函数的概念与基本性质强基培训——高中数学强基计划培训讲义

函数的概念与基本性质【知识点】1. 函数的单调性（1）增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域内某个区间上任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

（2）减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域内某个区间上任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

（3）单调性（单调区间）：如果()y f x =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说()y f x =在这个区间上具有单调性，这一区间叫做函数()y f x =的单调区间。

2. 函数的奇偶性（1）奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()y f x =就叫做奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

（2）偶函数：如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()y f x =就叫做偶函数。

偶函数的图像关于y 轴原点对称。

（3）如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，那么就说()y f x =具有奇偶性。

3. 函数的对称性（1）如果()()f a x f a x +=-，那么函数关于直线x a =对称。

（2）如果()()f a x f a x +=--，那么函数关于点(,0)a 成中心对称。

4. 函数的周期性对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域中的每个数时，总有()()f x T f x +=成立，那么称函数为周期函数，T 称作这个函数的周期。

如果函数的所有周期中存在最小的正常数0T ，称0T 为函数的最小正周期。

例题1、设()min{41,2,24}f x x x x =++-+，则()f x 的最大值为。

函数知识点春季高考

函数知识点春季高考函数是数学中的一种重要概念，也是春季高考中非常常见的考点。

本文将详细介绍函数的定义、性质以及一些常见的函数类型，帮助同学们熟练掌握相关知识。

一、函数的定义函数是一个特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。

通常用符号表示为 f(x)，其中 x 是定义域上的元素，f(x) 是值域上的元素。

函数的定义包括定义域、值域和映射关系。

定义域是函数的输入集合，值域是函数的输出集合。

映射关系即函数的规则，它决定了输入与输出之间的对应关系。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域可以是实数集、有理数集或整数集等。

根据题目的要求，我们需要确定函数的定义域和值域。

2. 单调性：函数可以是递增的、递减的或保持不变的。

递增函数表示随着定义域的增加，函数值也随之增加；递减函数则相反。

我们需要通过导数、增减性等方法确定函数的单调性。

3. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。

奇函数满足 f(-x)=-f(x)，即关于原点对称；偶函数满足 f(-x)=f(x)，即关于 y 轴对称。

4. 反函数：如果存在函数 g(x)，使得 g(f(x))=x，并且 f(g(x))=x，那么 g(x) 就是 f(x) 的反函数。

反函数的求解可以通过互换自变量和因变量来实现。

三、常见函数类型1. 一次函数：一次函数是函数表达式为 y=ax+b 的函数，其中 a 和 b 是常数。

一次函数的图像是一条斜率为 a 的直线。

2. 二次函数：二次函数是函数表达式为 y=ax^2+bx+c 的函数，其中a、b 和 c 是常数，并且a ≠ 0。

二次函数的图像是抛物线，开口方向由a 的正负号决定。

3. 幂函数：幂函数是函数表达式为 y=ax^b 的函数，其中 a 和 b 是常数。

幂函数的图像可以是反比例曲线、指数函数曲线或者多项式曲线。

4. 指数函数：指数函数是函数表达式为 y=a^x 的函数，其中 a 是常数且 a > 0 且a ≠ 1。

高考数学函数知识点梳理2023

高考数学函数知识点梳理2023函数是高考数学中的重要知识点，也是学生们备战高考的重点之一。

在这篇文章中，我们将对高考数学中与函数相关的知识点进行梳理和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、函数的基本概念与性质1. 函数的定义：函数是一个对应关系，每一个自变量都对应唯一的一个因变量。

即对于集合A和集合B，如果对于集合A中的每一个元素x，都存在集合B中的唯一元素y与之对应，那么我们就称之为函数。

2. 函数的表示方法：通常用f(x)或者y表示函数，其中x是自变量，f(x)或者y是因变量。

3. 定义域与值域：对于函数f(x)，所有使f(x)有意义的x的取值构成的集合称为函数的定义域；而所有可能的f(x)的取值构成的集合称为函数的值域。

4. 奇偶性与周期性：如果对任意x，有f(-x) = f(x)，那么函数f(x)是偶函数；如果对任意x，有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)是奇函数；如果存在正常数T，使得f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)是周期函数。

二、常见的函数类型1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b为常数，表示为斜率和截距。

一次函数的图像是一条直线，斜率表示其斜率的大小，截距表示与y轴的交点。

2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于a的正负，a > 0时开口向上，a < 0时开口向下。

3. 幂函数：y = x^a，其中a为常数。

幂函数的图像可以是一条直线、一段抛物线或一个开口向上或向下的曲线，取决于a的值。

4. 指数函数：y = a^x，其中a为常数且a > 0。

指数函数的图像是一条过点(0,1)的增长曲线，且呈现指数增长的趋势。

5. 对数函数：y = loga(x)，其中a为常数且a > 0且a ≠ 1。

对数函数的图像是一条过点(1, 0)且呈现指数减小的曲线。

对口高考函数知识点

对口高考函数知识点函数在高中数学中占据重要的地位，作为数学的基础概念之一，掌握函数的相关知识对于高中生参加对口高考具有重要意义。

下面将围绕对口高考函数知识点展开讨论。

函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素上。

函数可以用不同的表示形式来描述，包括集合表示法、解析式表示法以及图像表示法。

在函数的定义中，需要明确函数名、自变量、因变量以及定义域、值域等概念。

函数名通常用字母表示，自变量是函数中的独立变量，而因变量则依赖于自变量的取值。

定义域是自变量的取值范围，而值域则是函数值的范围。

函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

函数的单调性指函数的增减规律，可以分为增函数和减函数。

奇偶性是指函数的对称性，奇函数具有轴对称性，而偶函数具有点对称性。

函数的周期性指函数在某一区间内具有相同的重复模式。

函数的图像与性质函数的图像是描述函数的重要工具，通过函数的图像可以直观地了解函数的性质和特点。

函数的图像可以通过绘制函数的曲线来表示，常用的坐标系包括直角坐标系、极坐标系等。

函数的图像可以通过平移、伸缩、翻转等操作得到新的图像。

平移操作可以改变函数图像的位置，伸缩操作可以改变函数图像的形状和大小，翻转操作可以改变函数图像的方向。

函数的图像具有一些特点，比如函数在拐点处的导数为0，函数在极值点处取得极值。

通过对函数图像的观察可以得到函数的增减区间和极值点的位置。

常见的函数及其性质高中数学中，常见的函数包括常函数、线性函数、一次函数、二次函数、幂函数以及指数函数、对数函数等。

这些函数在对口高考中经常出现，掌握它们的性质对于考试具有重要意义。

常函数是指函数的值在定义域内始终保持不变，如f(x)=c。

线性函数是指函数的图像为一条直线，二次函数则是指函数的图像为一条抛物线。

幂函数、指数函数以及对数函数在数学中具有重要的地位，它们分别以x为底的幂函数、以x为底的指数函数以及以x为底的对数函数等形式出现。