梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理 梅涅劳斯
梅涅劳斯定理梅涅劳斯
梅涅劳斯，公元70～140年，古希腊数学家，天文学家。
青年时期求学于Alexandria，后定居于Rome。
他第一个认识到曲面上的测地线（geodesics）可以类比于平面上的直线。
Menelaus' theorem的发现者不详。
现存最早的记录是Menelaus 的著作《Spherics》，该书不仅提出了平面版本的Menelaus' theorem，而且还将之推广到球面三角形。
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）中。
一条截线在三角形各边上确定出的六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积。
这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角比关系来证明。
梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。
奥数定理
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）
[编辑本段]塞瓦定理推论
1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1
因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1
所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1
3：海伦公式
原理简介 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦
（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
———————————————————————————————————————rica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理【定理内容】如果一条直线与ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点， 那么1=⋅⋅EACEDC BD FB AF .[评]等价叙述：ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上有三点F 、D 、E ，则F 、D 、E 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEDC BD FB AF 。
三点所在直线称为三角形的梅氏线。
【背景简介】梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
【证法欣赏】证法1：（平行线分线段成比例）证：如图，过A 作BC AG //交CF 延长线于G ，∵BC AG //，∴BD AG FB AF =，AGCDEA CE =， 又CDBD CD BD =BG则1=⋅⋅=⋅⋅CDBDAGCDBDAGCDBDEACEFBAF∴1=⋅⋅EACEDCBDFBAF证法2：（正弦定理）证：如图，令α=∠AEF，β=∠AFE，γ=∠BDE，在AEF∆中，由正弦定理知：βαsinsinAEAF=，同理ββγsin)180sin(sinBDBDBF=-︒=，γαsinsinCECD=∴βαsinsin=AEAF，γβsinsin=BFBD，αγsinsin=CDCE，∴1=⋅⋅CDCEBFBDAEAF，即1=⋅⋅EACEDCBDFBAF.【逆定理】梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即如果有三点F、D、E分别在ABC∆的三边AB、BC、CA或其延长线上，且满足1=⋅⋅EACEDCBDFBAF，那么F、D、E三点共线。
[注]利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线B【定理应用】梅涅劳斯定理的应用定理1：若ABC ∆的A ∠的外角平分线交边BC 延长线于P ，B ∠的平分线交边AC 于Q ，C ∠的平分线交边AB 于R ，则P 、Q 、R 三点共线。
证：由三角形内、外角平分线定理知，CA BA PC BP =，AB BC QA CQ =，CB CARB AR =， 则1=⋅⋅=⋅⋅ABBCCA BA CB CA QA CQ PC BP RB AR ， 故P 、Q 、R 三点共线。
梅涅劳斯定理
当直线交三边所在直线于点时，以及逆定理：在三边所在直线上有三点，且那么三点共线。
注意：以上定理严格来说应该用有向线段形式，且乘积为-1；另外，三点中有偶数个点在线段上时，才有梅氏定理，否则为塞瓦定理. 证明一过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则证毕证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD：DC=FB：PF，CE：EA=PF：AF两式相乘得(AF：FB)×(BD：DC)×(CE：EA)=(AF：FB)×(FB：PF)×(PF：AF)=1证明三连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。
AF：FB =S△ADF：S△BDF…………（1），BD：DC=S△BDF：S△CDF…………（2），CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA=（S△CDE+S△FEC）：（S△ADE+S△FEA）=S△CDF：S△ADF (3)（1）×（2）×（3）得××=××证明四过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图：充分性证明：△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。
连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1又∵∴有CE/EA=CE'/E'A，两点重合。
所以共线推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。
（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）此外，用该定理可使其容易理解和记忆：第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin ∠ABE)=1即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。
梅涅劳斯(Menelaus)定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证明一：过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二：过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/E A)=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1证明四：连接BF。
（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）=1此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
数学竞赛--梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理16/3/5梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）。
任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。
中文名梅涅劳斯定理外文名Menelaus别称梅氏定理表达式(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1提出者梅涅劳斯提出时间1678年应用学科数学，物理适用领域范围平面几何学适用领域范围射影几何学定理内容定理证明证明一过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则两式相乘得证明三连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。
AF：FB =S△ADF：S△BDF…………（1），BD：DC=S△BDF：S△CDF…………（2），CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA=（S△CDE+S△FEC）：（S△ADE+S△FEA）=S△CDF：S△ADF (3)（1）×（2）×（3）得证明四过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图：充分性证明：△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。
连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1又∵2∴有CE/EA=CE'/E'A ，两点重合。
所以共线推论 在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上分别取L 、M 、N 三点，又分比是λ=BL/LC 、塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）此外，用该定理可使其容易理解和记忆：第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E ，F ，D 三点共线，则 (sin ∠ACF/sin ∠FCB)(sin ∠BAD/sin ∠DAC)(sin ∠CBE/sin ∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。
梅涅劳斯定理内容
梅涅劳斯定理内容
梅涅劳斯定理是数学中的一个定理，它描述了在某个封闭曲线上的凸包中，离凸包最远的两个点是该封闭曲线的端点。
具体来说，梅涅劳斯定理可以表述为：对于一个封闭曲线C上的
任意两个点P和Q，如果P和Q是C上凸包上的点，并且有
一个切线可以同时接触到P和Q，那么P和Q必然是C的端点。
换句话说，梅涅劳斯定理告诉我们，在一个封闭曲线的凸包中，离凸包最远的两个点是该封闭曲线的端点。
这个定理对于凸包算法和计算凸包的应用都有着重要的意义。
梅涅劳斯定理向量证明
梅涅劳斯定理向量证明一、梅涅劳斯定理简介梅涅劳斯定理是数学中的一个重要定理，用于证明向量的平行性。
该定理是由法国数学家梅涅劳斯在19世纪提出的，被广泛运用于几何学和向量分析中。
二、梅涅劳斯定理的表述梅涅劳斯定理可以表述为：如果在一个三角形的边上取三个共线的向量，那么这三个向量的长度和方向分别与三角形的另外两个边上的共线向量相等。
三、梅涅劳斯定理的证明3.1 三角形ABC的边向量假设三角形ABC的三个顶点分别为A、B、C，其边向量分别为AB、BC、CA。
我们需要证明的是，如果在边AB、BC、CA上取三个共线的向量，那么这三个向量的长度和方向分别与边BC、CA、AB上的共线向量相等。
3.2 向量的线性组合设在边AB上取向量AD，边BC上取向量BE，边CA上取向量CF。
根据向量的线性组合性质，可以得到向量AD、BE、CF可以表示为边向量AB、BC、CA的线性组合。
3.3 向量的长度和方向根据向量的线性组合性质，向量AD、BE、CF的长度和方向可以表示为边向量AB、BC、CA的长度和方向的线性组合。
由于向量AD、BE、CF共线，所以它们的长度和方向分别相等。
3.4 三角形的边向量根据三角形的定义，边向量AB、BC、CA分别与顶点C、A、B相连。
根据梅涅劳斯定理的表述，我们可以知道边向量AB、BC、CA的长度和方向分别与边BC、CA、AB上的共线向量相等。
3.5 三角形的边向量和共线向量的关系综上所述，我们可以得出结论：在三角形ABC的边上取三个共线的向量，那么这三个向量的长度和方向分别与边BC、CA、AB上的共线向量相等。
这就是梅涅劳斯定理的证明过程。
四、梅涅劳斯定理的应用梅涅劳斯定理在几何学和向量分析中有广泛的应用。
它可以用于证明向量的平行性，判断三角形的相似性，以及解决一些与向量相关的问题。
4.1 向量的平行性判断根据梅涅劳斯定理，如果在两个向量的共线的边上取两个共线的向量，那么这两个向量的长度和方向分别与另外两个边上的共线向量相等。
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus ）定理
如果一条直线与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线交于D 、E 、F 点，证明：1BD CE AF DC EA FB
∙∙=。
（逆定理也成立）
例1 如图，过三角形ABC 的三个顶点A 、B 、C 做它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、BA 的延长线交于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 三点共线。
例2 设四边形ABCD 外切于一圆，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的切点，若直线HE 与GF 相交于M 点，则直线BD 必通过点M 。
例3 圆O 1与圆O 2和三角形的三边所在的三条直线都相切，E 、F 、G 、H 为切点，直线EG 与FH 交于点P ，求证：PA ⊥BC
例4以三角形ABC 的底边BC 为直径做半圆，分别于边AB 、AC 交于D 、E ，分别过点D ，E 做BC 的垂线，垂足分别为F 、G ，线段DG 和EF 交于点M ，求证：AM ⊥BC 。
练习：
1、证明三角形三条高线交于一点
2、P 是三角形ABC 内的一点，直线AC 、BP 交于Q ，AB ，CP 交于R 。
已知AR=RB=CP ，CQ=PQ,Q 求BRC ∠.
3、在ABC 中，∠C =90°，AD 和BE 是它的两条内角平分线，设L 、M 、N 分别为AD 、AB 、BE 的中点，X =LM ∩BE ，Y =MN ∩AD ，Z =NL ∩DE ．求证：X 、Y 、Z 三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)
A C
B Y X Z M N
L E D F G H。
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理：1l ABC ABC BC CA AB BP P Q R 1PC CQ ARQA RB∆∆⋅⋅=定理：若直线不经过的顶点，并且与的三边、、或它们的延长线分别交于、、，则 1A B C C B AC A Bh h h A B C l h h h BP CQ AR PC QA RB h h h ⋅⋅=⋅⋅=证：设、、分别是、、到直线的垂线的长度，则：注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；1//ABC CK CE ACK E AK D AC F DE CK BF CE ∆∠例：若直角中，是斜边上的高，是的平分线，点在上，是的中点，是与的交点，证明：。
,901EBC B BH EBC ACK HBC ACE HBC HCB ACE HCB BH CE EBC BC EP CK EPCD AE KF ACK D E F DA EK FCKF EK CK EP BP BK KF BK FC AE AC AC BC BE FC BEKF BKFKB KC KE∆∠∠=∠∠=∠∠+∠=∠+∠=︒⊥∴∆=∆⋅⋅=====∴∆≅ 证：在中，作的平分线则：即：为等腰三角形作上的高，则：对于和三点、、依梅涅劳斯定理有：于是＝即：＝依分比定理有：//CKE BF CE∆∴ 2P Q R ABC BC CA AB P Q R ABC BP 021PC P Q R CQ ARQA RB ∆∆⋅⋅=定理：设、、分别是的三边、、上或它们的延长线上的三点，并且、、三点中，位于边上的点的个数为或，这时若，求证：、、三点共线；''''''''''1BP BP 11PC PC 02,PQ AB R CQ AR CQ AR AR AR QA R B QA RB R B RBP Q R ABC R R AB AB R R AB R R AR AR ⋅⋅=⋅⋅=∆> 证：设直线与直线交于，于是由定理得：又，则：＝由于在同一直线上的、、三点中，位于边上的点的个数也为或，因此与或者同在线段上，或者同在的延长线上；若与同在线段上，则与必定重合，不然的话，设'''''',,AR AR AR AR AB AR AB AR BR BR BR BR BR BR -<-<>这时即于是可得这与＝矛盾''R R AB R R P Q R 类似地可证得当与同在的延长线上时，与也重合综上可得：、、三点共线；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；1111112.P ABC A B C P BC CA AB A B C ∆例点位于的外接圆上；、、是从点向、、引的垂线的垂足，证明点、、共线；111111111111111cos ,cos cos cos ,cos cos ,,1BA BP PBCCA CP PCB CB AC CP PCA AP PABAB AP PAC BC PB PBAPAC PBC PAB PCB PCA PBA BA CB AC A B C CA AB BC ⋅∠=-⋅∠⋅∠⋅∠=-=-⋅∠⋅∠∠=∠∠=∠∠+∠=⋅⋅ 证：易得：将上面三条式子相乘，且可得，依梅涅劳斯定理可知、、三点共线；1111111111111::K A B C DACA D AC AD ABCD BC BD B C B D =【练习】从点引四条直线，另两条直线分别交这四条直线于、、、和、、、，试证：2ABC BC CA AB DEF EF BC FD CA DE AB X Y Z ∆【练习】设不等腰的内切圆在三边、、上的切点分别为、、，则与，与，与的交点、、在同一条直线上；1111121121122223AA BB CC O AB A B C BC B C A AC A C B A B C 【练习】已知直线，，相交于，直线和的交点为，直线与的交点是，直线与的交点是，试证：、、三点共线；4E C A B F D AB ED CD AF CD AF EF BC L M N L M N 【练习】在一条直线上取点、、，在另一条上取点、、，记直线和，和，和，和的交点依次为、、，证明：、、共线11111111111111111111111111111111//11111:AD A D AD A D L A AL B BL LD A K A C LC B KAD LC AK BC LD A D AK AC A K LC LC B C BK B D LD BK BD B K LD A C B D AD BC AC BD A D B C A AC AD BC BD ∆∆⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅==练习的证明证：若，结论显然成立；若与相交与点，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：将上面四条式子相乘可得：即：1111111:C AD B C B D21112BX CE AFABC XFE XC EA FBBX FBAE AF XC CECY DC AZ EAYA AF ZB BDBX CY AZXC YA ZBX Y Z ABC X Y Z ∆⋅⋅==⋅⋅=∆ 练习的证明证：被直线所截，由定理可得：又代人上式可得：＝同理可得：＝＝将上面三条式子相乘可得：又、、都不在的边上，由定理可得、、三点共线2221111111121121121121121121121121123(,),(,),(,)111A B C BC B C AC A C AB A B OAB A B C OBC B C A OAC A C B AA OB BC OC BB CA OA CC AB OA BB AC CC OB BA AA OC CB BC ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=练习的证明证：设、、分别是直线和，和，和的交点，对所得的三角形和在它们边上的点：和，和，和，应用梅涅劳斯定理有：将上面的三条式子相乘可得：2222222221,,AB CA AC CB BA A B C ⋅⋅=由梅涅劳斯定理可知共线4(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)11111EF CD EF AB AB CD U V W UVW L D E A M F B C N A C E B D F UE VL WD VA UF WM UN WC VBVE WL UD WA VF YM VN UC WB WA UC VE WB UD VFVA WC UE VB WD UFVL W WL ∆⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅练习的证明证：记直线和，和，和的交点分别为、、，对，应用梅涅劳斯定理于五组三元点，则有将上面五条式子相乘可得：1,,,M UNL M N UM VN⋅=∴点共线。
平面几何的几个重要的定理--梅涅劳斯定理
平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理：1=⋅⋅=⋅⋅BAA C CBC B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线、、分别是、、证：设注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；。
的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠∆11PC BP R Q PAB CA BC ABC ABC l 1=⋅⋅RBARQA CQ ，则、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理∆∆CE//BF CKEFKB KEBK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FCKFEK AE DA CD F E D ACK EPCK EP BC EBC CEBH 90HCB ACE HCB HBC ACEHBC ACKEBC BHB EBC ∴≅∴=====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆＝依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形即：则：的平分线中，作在证：111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC D C B A DC B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；共线；、、证明点引的垂线的垂足，、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2∆三点共线；、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上；线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝，则：又得：，于是由定理交于与直线证：设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RBAR B R AR 1RB AR QA CQ 1BR AR QA CQ 1R AB PQ ''''''''''''''''''><-<->=⋅⋅=⋅⋅∆PC BP PC BP 三点共线；、、求证：，，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RBARQA CQ =⋅⋅∆∆ C BA1A 1B 1C 三点共线；、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得且将上面三条式子相乘，证：易得：111111111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBAcos PB PABcos AP BC AC PAC cos AP PCAcos CP AB CB ,PCBcos CP PBCcos BP CA BA ⋅⋅︒=∠+∠∠=∠∠=∠∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=直线上；在同一条、、的交点与，与，与，则、、上的切点分别为、、的内切圆在三边】设不等腰【练习Z Y X AB DE CA FD BC EF F E D AB CA BC ABC 2∆三点共线；、、，试证：的交点是与线，直的交点是与，直线的交点为和，直线相交于，，】已知直线【练习222211*********C B A B C A AC A C B BC C B A AB O CC BB AA 311111111111111111111111111111111111111D B D A :C B C A BD AD :BC AC 1C BD B D A C A BD BC AC AD 1LD D B K B BK BD LD 1BKKB C B LC LC BC 1LC C A K A AK AC LC 1AK KA D A LD LD AD BLB AL A L D A AD D A //AD 1==⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅即：得：将上面四条式子相乘可可得：和别用于，则把梅涅劳斯定理分相交与点与若，结论显然成立；证：若的证明练习∆∆共线、、，证明：、、的交点依次为和，和，和，和，记直线、、，在另一条上取点、、】在一条直线上取点【练习N M L N M L BC EF AF CD AF CD ED AB D F B A C E 4三点共线、、可得的边上，由定理都不在、、又得：将上面三条式子相乘可＝＝同理可得：＝代人上式可得：又可得：所截，由定理被直线证：的证明练习Z Y X 2ABC Z Y X 1ZBAZYA CY XC BX BDEAZB AZ AF DC YA CY CEFBXC BX AF AE 1FBAFEA CE XC BX 1XFE ABC 2∆∆ =⋅⋅==⋅⋅共线由梅涅劳斯定理可知可得：将上面的三条式子相乘应用梅涅劳斯定理有：，和，和，和们边上的点：对所得的三角形和在它的交点，和，和，和分别是直线、、证：设的证明练习222222222221111221111221111211211211111111222C ,B ,A 1BA CA CB AB AC BC 1CB AB OC CC AA OA 1BA CA OB BB CC OC 1AC BC BB OB OA AA )B ,C A (OAC ),A ,C B (OBC ),C ,B A (OAB B A AB C A AC C B BC C B A 3=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅平面几何的几个重要定理――――塞瓦定理 塞瓦定理：1:=⋅⋅∆RBARQA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设共线点得：将上面五条式子相乘可，则有点涅劳斯定理于五组三元，应用梅，对、、的交点分别为和，和，和证：记直线的证明练习N ,M ,L ,1VNUNUM WM WL VL 1UFVFWD UD VB WB 1UE VE WC UC VA WA 1WB VB UC WC VN UN 1YM WM VF UF WA VA 1UD WD WL VL VE UE )F ,D ,B (),E ,C ,A (),N ,C ,B (),F ,M ,A (),E ,D ,L (UVW W V U CD AB AB EF CD EF 4∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∆MQRACPB；相交于一点点、、重合，故必与上，所以都在线段和因为＝于是：，由塞瓦定理有：，于交，且直线相交于与，设再证充分性：若＝以上三式相乘，得：同理：，则：相交于点、、证：先证必要性：设’’‘’‘’‘M CR BQ AP R R AB R R RB ARB R AR BR AR QA CQ PC BP R AB CM M BQ AP RB AR QA CQ PC BP RB ARQA CQ PC BP S S RB AR S S QA CQ S S S S S S PC BP M CR BQ AP BCMACMABMBCMACM ABMCMP BMP ACP ABP 111=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=====∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆交于一点；：证明：三角形的中线例1交于一点；成立，即而显然有：我们只须证明，，，的中线证明：记ABC AB CBC A BA B C AC A B CB C A BA B C AC AB CBC A BA B C AC CC BB AA ABC ∆∴=⋅⋅====⋅⋅∆1,,1111111111111111111111分线交于一点；】证明：三角形的角平【练习1 高交于一点；】证明：锐角三角形的【练习2ABCP P BM AN N M BC AC L L AB C ABC ⊥∠∆，证明：的交点是和，设和足分别是的垂线，垂和作边，从于的平分线交于中，角：在锐角例2CB A1A 1B 1C CBA1A 1B 1CABCP P AN BM CK BLBCAC AL BLBCAC AL BLBCNB BK BKC BNL ACALAK AM AKC AML NBBKAK AM CNMC AKBK NB CN MC AM AN BM CK P AN BM CK ABCK ⊥∴∴=⋅=⋅=⇒∆≅∆=⇒∆≅∆=⋅==⋅⋅⊥点三线共点，且为、、理可知：依三角形的角平分线定即要证即要证明：又即要证：三线共点，依塞瓦定理、、要证点，三线共点，且为、、下证证：作1111FDA EDA ANAM BF BD AF CE CD AE FBAFEA CE DC BD P CF BE AD BFBDAFAN CE CD AE AM BF AF BD AN CE AE CD AM BDFANF CDE AME BC MN BCAD ∠=∠∴=∴⋅=⋅∴=⋅⋅⋅=⋅===∴∆≅∆∆≅∆⊥1,,,//，根据塞瓦定理可得：共点于、、于是，可得，故三线共点；、、，证明：，且、、外有三点】已知【练习CR BN AM BCM ACN ABR CBM CAN BAR R N M ABC γβα=∠=∠=∠=∠=∠=∠∆,,3K LNM CBAFDAEDA F E AB AC CP BP AD P BC D ABC AD ∠∠∆＝，则和交于、分别与、上任一点，是边上，若在的高，且是设例.3ANAM FDA EDA N M DF DE AD A =∠=∠可以转化为证明，。
梅涅劳斯与塞瓦定理
梅涅劳斯与塞瓦定理
梅涅劳斯与塞瓦定理是解析几何中的两个重要定理，描述了在特定条件下两条直线的位置关系。
1. 梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem）：梅涅劳斯定理描述了
一个三角形内的三个非共线点所构成的三条直线的位置关系。
设三角形的顶点为A、B、C，相应的相交的三个直线上的点
为D、E、F。
根据梅涅劳斯定理，当且仅当下列条件成立时，有三角形ABC内的三个点D、E、F在一条直线上：
(AD / DB) * (BE / EC) * (CF / FA) = 1
2. 塞瓦定理（Ceva's theorem）：塞瓦定理描述了一个三角形
内的三条角平分线的交点位置。
设三角形的顶点为A、B、C，相应的三条角平分线交于点I。
根据塞瓦定理，当且仅当下列
条件成立时，有三角形ABC内的三条角平分线交于一点：
(BD / DC) * (CE / EA) * (AF / FB) = 1
梅涅劳斯与塞瓦定理被广泛应用于解析几何中的证明与计算问题，可以帮助我们研究三角形内部点的位置关系。
amc 梅涅劳斯定理
amc 梅涅劳斯定理
【原创实用版】
目录
1.AMC 梅涅劳斯定理简介
2.梅涅劳斯定理的证明方法
3.梅涅劳斯定理的应用领域
4.梅涅劳斯定理在我国的发展和研究
正文
【1】AMC 梅涅劳斯定理简介
AMC 梅涅劳斯定理，全称为“美国数学竞赛梅涅劳斯定理”，是数学领域中的一个著名定理。
该定理的表述为：若三角形 ABC 的三边满足 a^2 + b^2 = c^2，则三角形 ABC 是一个直角三角形。
该定理在我国也被称为勾股定理，是数学竞赛中的一个重要考点。
【2】梅涅劳斯定理的证明方法
梅涅劳斯定理的证明方法有多种，其中最著名的是欧几里得证明法。
欧几里得证明法的基本思路是：以三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以适当的半径作圆，将三个圆相交于一点 D、E、F，然后证明四边形 AFDB 是一个矩形，从而得出 AF=BD，再根据勾股定理得出结论。
【3】梅涅劳斯定理的应用领域
梅涅劳斯定理在数学领域有着广泛的应用，除了在数学竞赛中作为一个基本考点外，它还在物理、工程、计算机科学等领域有着重要的应用。
例如，在解决一些与直角三角形相关的实际问题时，梅涅劳斯定理可以提供重要的理论支持。
【4】梅涅劳斯定理在我国的发展和研究
梅涅劳斯定理在我国的发展和研究历史悠久。
在我国古代数学中，已经有了关于直角三角形的认识和研究，但是直到 20 世纪初，我国才引进了梅涅劳斯定理这个概念，并开始对其进行研究和应用。
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理是元心®≠O，且三角形ABC的三个顶点都在圆周上的情况下，与元心®相互对称的三条直线（AB的对称轴、BC的对称轴和AC的对称轴）的交点M、N、P，连成一个新的三角形。
则这个三角形的垂心H，外心O和重心G一定共线，并且一个在中点上，一个在重心的两倍上。
梅涅劳斯定理由法国数学家梅涅劳斯（Menelaus）在19世纪初推导得出。
他在研究三角形性质和钻石形排列、多面体面积等问题时，发现了三角形内外接圆之间存在某种规律。
他将这种规律总结为“梅涅劳斯定理”，这让人们对三角形的研究产生了新的启示，也极大地推动了数学发展。
1.直线对称：如果直线l把一个图形分成两部分，其中一部分在直线l同侧，另一部分在直线l异侧，那么我们就称这条直线为这个图形的对称轴。
2.三角形的三条对称轴：在一个三角形中，过三个顶点分别做与对边垂直的直线，交于另一三点，这三条线分别称为这个三角形的三条对称轴。
3.外心O：一个三角形的三边的垂直平分线所交的点O就是这个三角形的外心。
梅涅劳斯定理可以用“线段长度乘积相等”来概括，即：BM/MA*CN/NP*AP/PB=1其中BM、CN、AP与MA、NP、PB分别为MN、NP、MP与BC、AC、AB的交点，再根据Euler线的性质，外心、重心、垂心三点共线，并有以下定理：1.如果三角形ABC的外接圆半径R为：R=abc/4K，其中a、b、c为三角形的三边长，K 为三角形的面积，那么重心到外心的距离等于R的三分之二。
2.如果三角形ABC的外接圆半径为R，那么垂心到外心的距离等于R。
梅涅劳斯定理是用于计算三角形各顶点到对边距离的常用方法之一。
例如，如果三角形ABC的三个顶点分别是A(-2,1)，B(0,-2)，C(3,1)，垂心的坐标为H(x,y)，那么我们可以用以下步骤来计算垂心的坐标：1.计算AB、BC、AC三边的长度。
AB=sqrt[(0-(-2))^2+(-2-1)^2]=sqrt[17]2.根据梅涅劳斯定理求出MN、NP、MP三个交点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus ）定理（简称梅氏定理）是由古希腊
数学家梅涅劳斯（Menelaus ）首先证明的。
它指出：如果一条
直线与ABC △的三边
AC BC AB 、、或其延长线交于E D F 、、三点，那么1=⋅⋅EA CE DC BD FB AF 。
或设Z Y X 、、分别在ABC △的三边AB
AC BC 、、所在直线上，则Z Y X 、、三点共线的充要条件是
1=⋅⋅YA CY XC BX ZB AZ 。
证明如下：
证明一：过点A 作BC AG ∥交DF 的延长线于点G ，
则。
，AG
DC EA CE BD AG FB AF == 1=⋅⋅=⋅⋅∴AG DC DC BD BD AG EA CE DC BD FB AF 。
证明二：过点C 作DF CP ∥交AB 于点P ，
则
AF
PF EA CE PF FB DC BD ==，， 1=⋅⋅=⋅⋅∴AF PF PF FB FB AF EA CE DC BD FB AF 。
证明三：过C B A 、、三点向三边引垂线，垂足分别为C B A '''、、。
则
A A C C FA CF C C
B B E
C BE B B A A DB A
D '
'=''=''=，，， 1=⋅⋅∴EA CE DC BD FB AF 。
梅涅劳斯定理与定比分点的关系： 在ABC △的三边AB AC BC 、、或其延长线上分别取N M L 、、三点，分比为 νμλ===NB
AN MA CM LB BL 、、。
则N M L 、、三点共线的充要条件为1=⋅⋅νμλ。
梅涅劳斯定理与三角函数的关系：
若D F E 、、三点共线，则根据正弦定理可轻松得出：
1s i n s i n s i n s i n s i n s i n =∠∠⋅∠∠⋅∠∠ABE
CBA DAC BAD FCB ACF 。
根据上述证明，可推广为：在平面上任取一点O ，且F E D 、、三点共线，则任取 三点C B A 、、(不与点O 重合），则有：1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠AOE
COA DOC BOD FOB AOF 。