高三数学理科模拟试题及复习资料
高三数学(理科)模拟试题(含答案)
高三数学（理科）模拟试题（含答案）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页， 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分 选择题 (共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（***） A ．=M N B ．M ⊂≠ N C ．N ⊂≠ M D ．M N =∅I 2. 原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，其逆命题，否命题，逆否命题真假性依次为（***）A ．真，假，真B ．真，真，假C ．假，假，真D ．假，假，假3. 已知平面向量r a ，r b 是非零向量，2=r a ，()2⊥+r r r a a b ，则向量r b 在向量ra 方向上的投影为（***）A.1- B. 1 C. 2-D. 24. 平面∥α平面β的一个充分条件是（***） A ．存在一条直线a a a αβ，∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥D ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 5. 函数2()log 3sin()2π=-f x x x 零点的个数是（***）A ．2B ．3C ．4D ．56. 已知函数()sin 2cos2=-f x a x b x （a ，b 为常数，0≠a ，∈x R ）在12π=x 处取得最大值，则函数3π⎛⎫=+⎪⎝⎭y f x 是（***） A. 奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 奇函数且它的图象关于π=x 对称 D. 偶函数且它的图象关于π=x 对称 7. 已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2=+y f x 的图象关于y 轴对称， 若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016=f a f a ，则{}n a 的前2019项之和为（***） A ．0B ．2019C ．4038D ．40408．函数()2sin cos2=+f x x x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（***） A ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9. 函数()2112---=x x x f 的值域是（***）A. 44,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []0,1D. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 已知圆221x y +=，点(1,0)A ，△ABC 内接于圆，且60∠=o BAC ，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（***）A ．2212x y +=B ．2214x y +=C ．221122⎛⎫+=< ⎪⎝⎭x y x D. 221144⎛⎫+=< ⎪⎝⎭x y x 11. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =u u u u r u u u r，则双曲线的离心率（***）A ．3 B ．3C D. 2 12. 若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB ，平面SBC ，平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是（***）A ．一条线段B ．一个点C ．一段圆弧D ．抛物线的一段第二部分 非选择题 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.13. 在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),=r a m n ，()1,1=rb ，则满足1-≤r r a b 的概率是***．14. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311+=+n n A n B n ，则25837++=+a a a b b ***．15. 已知随机变量X~B (2，p )，Y~N (2，σ2)，若P (X ≥1)=0.64，P (0<Y<2)=p ，则P (Y>4)=***． 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222=+b a c ，当()tan -B A 取最大值时，角A 的值为***．三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个 试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60分. 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：21=a ，241-=+-n a a n n （2≥n ）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：n nb b b b )12(73321-++++Λ=n a ，求数列{}n b 的通项公式.18. （本小题满分12分）某花店根据过往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立. （Ⅰ）求在未来的4天中，有2天的日销售量低于100枝 且另外2天不低于150枝的概率；（Ⅱ）用ξ表示在未来的4天日销售量不低于100枝的天 数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直 线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与 平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1+=x y C a b（0a b >>）的离心率为22，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．21. （本小题满分12分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点(1,3)P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．（二）选考题：共10分. 请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数，0)απ≤<，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-，分别与曲线C 交于,,A B C 三点(不包括极点O )，其中(,)44ππϕ∈-． （Ⅰ）求证：OB OC OA +=； （Ⅱ）当12πϕ=时，若,B C 两点在直线l 上，求m 与α的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()222f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于x 的不等式()2≥f x 恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.4π 14. 215 15. 0.1 16. 6π三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由241-=+-n a a n n （2≥n ）可化为()()12220--+-+=n n a n a n . 令2=-n n c a n ，则10-+=n n c c ，即1-=-n n c c . 因为12=a ，所以1120=-=c a ， 所以0=n c ，即20-=n a n ，故2.=n a n ……6分 （若用不完全归纳，没有证明，可给4分） （Ⅱ）由()1233721++++-=L n n n b b b b a ，可知()()11231137212---++++-=≥L n n n b b b b a n ， 两式作差得()()12122--=-=≥n n n n b a a n ， 即()2221=≥-n nb n . ……10分 又当1=n 时，也112==b a 满足上式， ……11分 故221=-n nb . ……12分18. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设日销售量为x ，“有2天日销售低于100枝，另外2天不低于150枝”为事件A. 则()1000.002500.006500.4Px ≤=⨯+⨯=，……1分()1500.005500.25P x ≥=⨯=，……2分()22240.40.250.06.P A C ∴=⨯⨯=……4分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCADBACBCDAA（Ⅱ）日销售量不低于100枝的概率0.6=P ，则()~4,0.6B ξ.……6分于是()()440.60.40,1,2,3,4.k k k Pk C k ξ-==⨯⨯=……8分则分布列为ξ1234P16625 96625 216625 216625 81625……10分()16962162168101234 2.4.625625625625625E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……12分19. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）//平面l PAC . ……………1分证明如下：//Q EF AC ，AC ABC ⊂平面，EF ABC ⊄平面，//平面∴EF ABC . ……………2分又EF BEF ⊂平面，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，//∴EF l ． ……………3分而,l PAC EF PAC ⊄⊂平面平面，//平面∴l PAC ． ……………………4分（Ⅱ）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结D E ，FB ．由（Ⅰ）知，//BD AC ，而,AC BC BD BC ⊥∴⊥．Q PC ⊥平面ABC ，PC BD ∴⊥．而PC BC C =I ，,BD PBC ∴⊥平面 又FB PBC ⊂Q 平面，BD BF ∴⊥，FBC ∴∠是二面角E l C --的平面角． ………………8分1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠．注意到0,0cos 12ABC ABC π<∠<∴<∠<，tan 1FBC ∴∠>．02FBC π<∠<Q ，(,)42FBC ππ∴∠∈，即二面角E l C --的取值范围是(,)42ππ． ………………12分解法二：由题意，AC ⊥BC ，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设AB =2，BC =t (02)t <<，则2(0,,0),(0,0,2),(4,,0)B t F D t t -，2(0,,2),(4,0,0)BF t BD t =-=-u u u r u u u r. …………6分设平面DBF 的法向量为(,,)m x y z =u r，则由00m BF m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r 得22040ty z t x -+=⎧⎪-=，取2y =得(0,2,)m t =u r ． 易知平面BCD 的法向量(0,0,1)n =r， …………8分设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角．22||2cos (0,)2||||441m n m n tt θ⋅===⋅++u u r u u r u r r ， …………11分42ππθ∴<<，即二面角E l C --的取值范围是(,)42ππ． …………12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知(,0)-F c ，直线AB 的斜率存在.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上，所以2211221+=x y a b ①，2222221+=x y a b②①—②，化简得2221222212--=-y y b a x x ③ 又因为离心率为2，所以2212=b a . …………2分又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以1243+=-x x ，1223+=y y ，12121323-=--+y y x x c ，代入③式，得1213324233⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c ，解得1=c . …………5分 再结合222-=a b c ，解得22=a ，21=b ，故所求椭圆的方程为2212+=x y . …………6分（Ⅱ）证明：设00(,)M x y ，由对称性，设00>y ，由2212+=x y ，得椭圆上半部分的方程为=y'()=-=y x ，又1l 过点M且与椭圆只有一个公共点，所以12==-l x k y ， 所以01000:()2-=--x l y y x x y ， ④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以0201:(1)+=-+x l y x y ， ⑤………10分 联立④⑤，消去y ，得220000122+=----x x x y x x ，又220012+=x y ，所以002202+⋅++=x x x ，从而可得2=-x ，所以1l 与2l 的交点在定直线2=-x 上． …………12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x af x x x+'=+=．…………………1分（1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．…………………2分 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(,+)-∞a ．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零；………………4分（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得>-a e ，所以21a -<<-．………………5分 （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2ln 2==+f x f a ．依题意有min ()2ln 20=+>f x a ，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． …………6分 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………7分（Ⅱ）另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立. …………4分当(1,2]x ∈时，ln 0+>x a x 恒成立ln ⇔>-x a x 恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln =-x m x x ，则21ln '()0ln -=>x m x x ，易知()ln =-xm x x在(1,2]上单调递增， 所以()m x 最大值为2(2)ln 2m =-，此时应有2ln 2>-a . …………6分综上，a 的取值范围是2(,)ln 2-+∞. …………7分（Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01ak x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=．………………① ………………8分 令1()(ln 1)2g x a x x =+--(0)x >，则2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>，()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式．因此当0a <时，切线的条数为0． ………………9分（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取211+=>ax ee ，则221112()(11)20----=++--=>a a g x a e ae a． 故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2121--=<ax ee，则221122()(11)224++=--+--=--aag x a e ae a a212[2(1)]+=-+a a e a ．设21(1)t t a=+>，()2=-t u t e t ，则()2'=-t u t e ． 当1t >时，()220'=->->tu t e e 恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)20>=->u t u e 恒成立．所以2()0g x >．故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (1,3)存在两条切线． ………………11分（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (1,3)的切线．综上所述，当0a >时，过点P (1,3)存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (1,3)的切线．………………………………12分（Ⅲ）另解：设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-， 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………8分 当0a =时，020-=无解. ………………9分 当0a ≠时，12ln 1x x a+-=-， 令1()ln 1g x x x =+-，则21'()-=x g x x， 易知当01<<x 时，21'()0-=<x g x x ；当1>x 时，21'()0-=>x g x x，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ………………10分 又(1)0g =，且0lim ()lim ()x x g x g x →→+∞==+∞，故当20a ->时有两条切线，当20a-<时无切线， 即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线. ………………11分 综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线. ………………12分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程证明：（Ⅰ）依题意，4cos ϕ=OA ，………………………………………………1分4cos 4πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭OB ，4cos 4πϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭OC ，……………3分 则4cos 4cos 44ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OB OC 8cos cos 4πϕ=ϕ=.=OA…………5分解：（Ⅱ）当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，6π⎛⎫-⎪⎝⎭，…………6分化成直角坐标为(B ，(3,C . ……………………………7分经过点,B C 的直线方程为)2=-y x ，……………………………8分 又直线l 经过点(),0m ，倾斜角为α，且0απ≤<， 故2=m ，23πα=. ………………10分23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵()13<f ，∴123+-<a a . …………………………………1分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，即23>-a ，∴203-<≤a ；…………2分 ② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，即2>-a ，∴102<<a ； …………3分③ 当12≥a 时，得()123--<a a ，即43<a ，∴1423≤<a . …………4分综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． ……………………………………5分（Ⅱ）∵()222f x x a x a =+-+-2122=+-+-ax x a11+222=+-++--a ax x x a51122≥+-+-a a x512≥-a ， 当12=-ax 时，等号成立，∴()f x 的值最小为512-a. …………8分 ∴5122-≥a，解得25≤-a或65≥a．……………………………………9分∴实数a的取值范围是26,,55⎛⎤⎡⎫-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U. …………10分。
高三数学理及答案模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 在区间 \([1,2]\) 上存在极值，则\( f'(x) \) 在区间 \([1,2]\) 上的零点个数为：A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个2. 下列函数中，其定义域为实数集 \( \mathbb{R} \) 的是：A. \( y = \sqrt{x^2 - 1} \)B. \( y = \frac{1}{x} \)C. \( y = \log_2(x-1) \)D. \( y = x^2 + 1 \)3. 已知 \( \sin A + \sin B = \sin C \)，则 \( \triangle ABC \) 为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 梯形4. 设 \( \alpha \) 是锐角，若 \( \tan \alpha = 2 \)，则 \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 若 \( \overrightarrow{a} \) 和 \( \overrightarrow{b} \) 是两个非零向量，且 \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \)，则\( \overrightarrow{a} \) 和 \( \overrightarrow{b} \) 的夹角为：A. 0°B. 90°C. 180°D. 360°6. 已知 \( a > 0 \)，函数 \( f(x) = ax^2 + 2x + 1 \) 在 \( x = -1 \) 处取得极小值，则 \( a \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 下列不等式中，正确的是：A. \( 2x + 1 > x - 1 \)B. \( 2x + 1 < x - 1 \)C. \( 2x + 1 = x - 1 \)D. \( 2x + 1 \leq x - 1 \)8. 已知 \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \)，则 \( x \) 的值为：A. 2B. 4C. 8D. 169. 若 \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \)，\( \cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，则 \( \sin(\alpha + \beta) \) 的值为：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)C. \( \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)D. \( \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \)10. 已知 \( \triangle ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 满足 \( A + B + C = 180° \)，则 \( \sin A + \sin B + \sin C \) 的值为：A. 0B. 1C. \( \sqrt{3} \)D. \( 2\sqrt{3} \)11. 若 \( \log_3 (2x - 1) = \log_3 (3x + 1) \)，则 \( x \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 412. 设 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，若 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极值，则 \( f'(1) \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高考数学(理科)模拟考试卷(附参考答案与解析)
高考数学（理科）模拟考试卷(附参考答案与解析)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若复数z满足iz=4+3i，则复数z在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}和B={(x,y)|y=x}，则A∩B中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 03. 已知向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=1，|b⃗⃗|=√ 3和|a⃗⃗−2b⃗⃗|=3，则a⃗⃗⋅(a⃗⃗+b⃗⃗)=( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如16=3+13.在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是( )A. 15B. 215C. 115D. 255. 的展开式中x3y3的系数为40，则实数a的值为( )A. 4B. 2C. 1D. 126. 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率为√ 22，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为2，则a=( )A. 1B. 2C. √ 2D. 47. 在△ABC中cosC=23，AC=4和BC=3则cos A2=( )A. √ 306B. √ 33C. 13D. 568. 如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB//ED和AB=ED=2FB=2，则三棱锥F−ACE 的体积为( )A. 23B. 43C. 2D. √ 39. 在正方体AC1中，点M为平面ABB1A1内的一动点，d1是点M到平面ADD1A1的距离，d2是点M到直线BC的距离，且d1=λd2(λ>0)(λ为常数)，则点M的轨迹不可能是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3，则f(2)+f(3)+⋯+f(50)=( )A. 3B. 2C. 0D. 5011. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，AB=AC=2√ 3和BC=6，则三棱锥D−ABC 体积的最大值为( )A. 3√ 3B. 6√ 3C. 12√ 3D. 18√ 312. 已知a∈R，设函数若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立则a 的取值范围为( )A. [0,e2] B. [0,2] C. [0,1] D. [0,e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n}前9项的和为27，且a10=8，则a15=______ ．14.15. 在直线l：y=−2上取一点D作抛物线C：x2=4y的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：x2+ y2−4x−2018=0交于M，N两点，当|MN|最小时，则D的横坐标是______ ．16. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，下述四个结论：①若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②若φ=π4，且f(x)在[0,2π]有且仅有4个零点，则f(x)在[0,2π]有且仅有2个极大值点； ③若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,π10)上单调递增； ④若φ=π3，且f(x)在(0,π)有且仅有2个零点和3个极值点，则ω的范围是(136,83)． 其中所有正确结论的编号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。
答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。
答在试卷上无效。
3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U2． “”是“方程表示双曲线”的 （ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3214433f x x x x =-+-的极值点，则20192log a =( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ） A ．35B ．45C 32D ．255．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是 （ ） A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍 C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 （ ） A ．1 B ．1256 C ．64 D ．1647．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为 （ ） A ．22B ．4C ．52 D ．928．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )A ．2+43B 13+2C ．2+83D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．910．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．32π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22ππ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61iii x f x =∑的取值范围是()0,6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知34a b R a ib i i+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________；14．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L；15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 已知函数2()cos 2cos 2()3f x x x x R π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2Bf =1b =，3c =a b >，试求角B 和角C .18．（本小题满分10分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =122AB AP AE ===，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角． （l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本小题满分10分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率； （2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．20．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率22e =． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m =+： 与椭圆G 交于 A B ， 两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）与椭圆G 交于C D ， 两点，且AB CD = ，如图所示．①证明：120m m += ；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．21．（本小题满分10分）已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.答案1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD13.5 14. 15. ①② 16. 4317【解析】（1）233()cos 2cos 22cos 232323f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，令222,232k x k k Z πππππ--+∈剟，解得5,1212k x k k Z ππππ-+∈剟∴故函数()f x 的递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）1,sin 23232B f B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 20,,,333366B B B B πππππππ<<∴-<-<∴-=-=Q 即，由正弦定理得：1sin sin6a A π==sin C ∴=，0C π<<Q ，3C π∴=或23π. 当3c π=时，2A π=：当23C π=时，6A π=（不合题意，舍） 所以,63B C ππ==.18．【答案】（1）证明见解析. （2）13. 【解析】分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ∆的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．详解：（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥，所以BE =，又因为12AC BE ==，所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ， 又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点， 所以4AE =，2AD =，所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n vn u ，设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n =n n ，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin PE n PE nθ⋅==⋅u u u v u u u v ．故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为13． 19．【答案】(1)2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =． （1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+，一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532． （2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦．令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =． 20．（1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，b 2=a 2﹣c 2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4） ①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2=0，x 1+x 2=，x 1x 2=；|AB |==2；同理|CD |=2，由|AB |=|CD |得2=2，∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为221．【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=， 故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x x xe xe xf x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭恒成立， 当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e≥=恒成立， 当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e≤恒成立，则12a e =，即12a e=．()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件． 故0k >，当0x <时，()2g x x kx =--有一个零点k -，当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点，故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x x kx e e e+-=，(0)x >， 则112x x k e e e=+-，在0x >时有且只有一个根， 即y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点， ()11'2x h x e e=-+，由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增， 由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln211ln22h e e e+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e=++-=++-=⋅， ()110101h e e=+-=-，作出()h x 的图象如图，要使y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点， 则ln22k e =或11k e≥-， 即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭． 22．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266（1）因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+40t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||2t t -==. 23．【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞ （1）当1a =时，()121f x x x =++-， 故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >，综上，a 的取值范围为()5,+∞.模拟试卷二一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集为R ，集合，则下列结论正确的是（ ）A. B.C. D.2.设，那么“” 是“” 的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，为虚数单位，且，则（ ）A. B. C. 2 D.4.若，则（ A.B.C. D.5. 在ABC ∆中，3413AB AC BC ===，，，则AC 边上的高为（ ） A. B.C.D.6. 若在上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B.C. D.7.设均为单位向量，且它们的夹角为，当取最小值时，实数k 的值为（ ）A. B. C. D. 1 8.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图像关于直线对称 B. 的图像向左平移个单位后为偶函数图像 C.的图像关于点对称 D.的最小正周期为，且在上为增函数9.已知函数 ，则函数的图像只可能是（ ）oxyxoyxoyxoy10. 已知数列，若点均在直线上，则的前15项和等于（）A. 42B. 45C. 48D. 5111. 已知函数的图像在处的切线斜率为，且当时，此切线过点，则的值为（）A.8B. 16C. 32D. 6412.已知奇函数满足，且时，，则关于x的方程在区间上的所有根之和是（）A. 10B. 8C. 6D. 4二.填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知3cos()63xπ-=-，则cos cos()3x xπ+-的值是 .14.设向量分别为单位向量，且夹角为，若，则 .15.已知向量，若与共线，则 .16.已知数列与满足,，且，设数列的前项和为，则 .三.解答题：共70分17.（本小题12分）在中，角的对边分别是，已知.（1）求证：成等比数列；（2）若，试判断的形状.18.（本小题12分）设向量，角分别为的三个内角，若在处取得极值. （1）试求与的值；（2）当1，求的最小外接圆半径.19.（本小题12分）已知数列的前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，求数列的前项和.20.（本小题12分）在数列中，，若函数在点处的切线过点.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式与前项和公式.21.（本小题12分）已知. 对于函数、，若存在常数.，使得，不等式都成立，则称直线是函数与的分界线.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在说明理由.22.（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线和的直角坐标方程；（2）若点为上任意一点，求点到的距离的取值范围.试题解答一.选择题（5分） DCBA BDAB CBDC二.填空题（5分），，，三.解答题：17.解：（1）由已知应用正弦定理得即，由于，则成等比数列.（2）若，则由（1）知，则，即所以，故为等边三角形.18.解：（1）由得则由于在处取得极值，那么解得或，又，则，.（2）若，即，则所以，即则，故的最小外接圆半径为.19.解：（1）由得；且时，显然满足故（）.（2）若等比数列满足则由（1）得，解得，或所以或.20.解：（1）由得，，则在点处的切线方程为,即又此切线过点，则，即故是公比为3的等比数列.（2）又，由（1）知，则，.21.解：（1）由得，若时，有，则在上单调递增；若时，由解得若时，对于，有；，有，则在上单调递减，在上单调递增；若时，对于，有；，有，则在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，，若对都成立，即对都成立则时，有；且，对都成立即；对都成立所以此时，令则2，从而有时，；时，，所以在上递减、在上递增，因此，即故时，与存在“分界线”.22.解：（1）由消去参数，得则曲线的普通方程为.由，得，即则曲线的直角坐标方程为；（2）曲线上的任意一点到曲线的距离为故点到曲线的距离的取值范围为.模拟试卷三第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合，则中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4 2、已知复数满足:i i z +=-1)1(2（i 为虚数单位），则z为（ ）A ．21B ．22C ．2D ．13、下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞c ，则“ab 2＞cb 2”B ．命题“对任意x ∈R，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R，有x 2≤0” C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β4、已知函数()()()210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩，则下列结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[1,)-+∞ 5、能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“等分函数”，下列函数不是圆的“等分函数”的是 A ．f (x )＝3x B ． C ．D ．6、如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x －y ＋3＝0平行，则双曲线的离心率为A ．3B ．2C ． 3D ． 27、已知函数f (x )＝23sin(π－x )·cos x ＋2cos 2x －1，其中x ∈R，则下列结论中正确的是A ．f (x )是最小正周期为π的奇函数;B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π2C ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递增 D ．将函数y ＝2sin 2x 的图象左移π6个单位得到函数f (x )的图象8、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为A ．4B ．3C ． 5D ．29、在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是A ．A 1O ∥D 1CB ．A 1O ⊥BCC ．A 1O ∥平面B 1CD 1D ．A 1O ⊥平面AB 1D 110、2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2； ②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 2>a 1c 2. ④c 1a 1<c 2a 2其中正确式子的序号是 A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④11、已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为A ．B ．C ．D ．12、设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.13、已知函数f (x )＝log a (x －2)＋4(a >0且a ≠1)，其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________.14、等差数列{}n a 中，3a ，7a 是函数f （x ）=x 2﹣4x+3的两个零点，则{}n a 的前9项和等于 .15、已知向量a ＝(x ，-1)，b ＝(y ，x 2+4)且a ⊥b ，，则实数y 的取值范围是 .16、已知椭圆192522=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2内切圆的半径为 .三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.17、(本题满分12分)已知锐角ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2cos cos a b Bc C-=. （1）求角C 的大小；（2）求函数sin sin y A B =+的值域.18.（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且532a =, 6347S S a -=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（1）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（2）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为21，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()01G ,作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求ABD △ 的面积S 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈.（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，()(0,),2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的最大值.22、（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=,直线l 的参数方程为 为参数）(42222-1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t t y tx (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)求曲线C 上的点M 到直线l 的最大距离。
高三数学模拟试题
高三数学模拟试题(理)一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．1. 设f x x →：是集合A 到集合B 的映射．若{}3,0,3A =-，则AB =（ ）A ．{0}B ．{0，3}C ．{3}D ．{3-，0}2. 已知等差数列{a n }满足：35111380a a a a +++=，则a 8 =（ ）A ．18B ．20C ．22D ．243. “a = 3”是“直线210ax y --=与直线640x y c -+=平行”的（ ）条件A ．充要B ．充分而不必要C ．必要而不充分D ．既不充分也不必要4. 00tan15cot15-的值为（ ）A ．23-B ．3-C ．3D ．235. 已知双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6. 若函数()cos 21f x x =+的图像按向量a 平移后，得到的图像关于原点对称，则向量a 可以是（ ） A ．（1，0）B ．(1)2π-，C ．(1)4π-，D ．(1)4π，7. 关于x 的函数y =log 21(a 2－ax +2a )在［1，+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，－1)B ．（-∞，0）C ．(1-，0)D ．(0，2]8. 已知数列{a n }的通项为*1log (2)()n n a n n N +=+∈，我们把使乘积123n a a a a 为整数的n 叫做“优数”，则在(12010]，内的所有“优数”的和为（ ） A ．1024B ．2003C ．2026D ．20489. 已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为F 1、F 2，则12||2F F c =，点A 在椭圆上且2112120AF F F AF AF c ==且，则椭圆的离心率为（ ） A ．33B ．22C ．312- D ．512- 10. 定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[1.5]1[ 1.3]2=-=-，，当*[0)()x n n N ∈∈，时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为a n ，则式子90n a n+的最小值为（ ） A ．10B ．13C ．14D ．16二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11. 不等式22log 1x x -≥的解集为______________． 12. 函数sin()(10)()3(1)(0)x x f x f x x π⎧-≤<⎪=⎨⎪-≥⎩，则(1)f =________________． 13. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若59611229a Sa S ==，则______________． 14. x 、y 满足约束条件：225040y x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则1|5|2z x y =+-的最小值是______________．15. 已知集合{|18}M x x x N =≤≤∈，，对于它的非空子集A ，将A 中的每个元素k ，都乘以(1)k -再求和，（如A = {1，3，6}，可求和得到136(1)1(1)3(1)62-+-+-=），则对M 的所有非空子集，这些和的总和是________________．三、解答题：本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. (本小题满分13分)已知函数()sin 2sin 2cos 2(66f x x x x a a a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，为常数）．求函数的最小正周期；求函数的单调递增区间；若02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为– 2 ，求a 的值．17. (本小题满分13分) 数列{a n }中，a 1 = 1，当2n ≥时，其前n 项和满足21()2n n n S a S =-求S n 的表达式； 设21nn S b n =+，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．18. (本小题满分13分) 已知圆C ：22(1)(2)25x y -+-=，直线l ：(21)(1)740()m x m y m m +++--=∈R ．证明：不论m 取什么实数时，直线l 与圆恒交于两点； 求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及此时直线l 的方程．19. (本小题满分12分)已知2(1)()(0)2x p x pf x p x p+++=>+ 若p > 1时，解关于x 的不等式()0f x ≥； 若()2f x >对24x ≤≤时恒成立，求p 的范围．20. (本小题满分12分)已知点A (– 2，0)，B (2，0)，动点P 满足：2APB θ∠=，且2|||s i n2P A P B θ=.求动点P 的轨迹G 的方程；过点B 的直线l 与轨迹G 交于两点M 、N ．试问在x 轴上是否存在定点C ，使得CM CN 为常数.若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．21. (本小题满分12分)数列{a n }中a 1 = 2，111()2n n n a a a +=+，{b n }中*91log 11n n n a b n N a +=∈-，． 求证：数列{b n }为等比数列，并求出其通项公式； 当*3()n n N ≥∈时，证明：2312312337444414(1)(1)(1)(1)n nn b b b b ++++<+-+-+-+-．参考答案1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．A 8．C 9．D 10．B 11．[20)-， 12．32- 13．2 14．3215．512 16．解： (1) ()2sin 2coscos 23sin 2cos 22sin 266f x x x a x x a x a ππ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的最小正周期22T ππ== (2) 当222262k x k πππππ-≤+≤+即()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈时，函数()f x 单调递增，故所求区间为()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，(3) 02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，72666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2x π=∴时，()f x 取得最小值2sin(2)2126a a ππ⋅++=-=-∴∴17．解：(1) 当2n ≥时，1n n n a S S -=-代入已知得211()()2n n n n S S S S -=--化简得：111122n n n n S S S S --=- 两边同除以11112n n n n S S S S ---=得 ∴111(1)212(1)21n n n n S S =+-=+-=- ∴ 121n S n =- (2) ∵ 1111121()2121(21)(21)22121n n S n b n n n n n n -====-++-+-+ ∴ 12n n T b b b =+++111111(1)2335212111(1)221n n n =-+-++--+=-+21nn =+ 18．解：(1) 由(27)(4)0m x y x y +-++-=知直线l 恒过定点又27341x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩∴ 直线l 恒过定点A （3，1），且22(31)(12)525-+-=<⇒A （3，1）必在圆内，故直线l 与圆恒有两交点． (2) ∵ 圆心为C （1，2），定点为A （3，1） ∴ 211132AC k -==-- 由平面几何知识知，当直线l 与AC 垂直时所截线段最短，此时2l k = ∴ l 方程为：12(3)25y x y x -=-⇒=-，此时||415d AC ==+=∴ 最短弦长225545=-=19．解：(1) ()(1)()02x p x f x x p++=≥+ ①12{|1}2pp x p x x <<-≤≤->-时，解集为或② p = 2时，解集为{|21}x x x ≥-≠-且③ p > 2时，解集为{|1}2px p x x -≤<-≥-或(2)2(1)22x p x px p+++>+2(1)42x p x p x p +++>+ ∴ 2(3)024x p x p x +-->≤≤对恒成立∴ 232(2)2411x x p x x x x ->=--+≤≤--对恒成立∵ 2()(2)[24]1g x x x =--+-在，上递减 ∴max ()(2)2g x g == ∴ p > 2 20．解：(1) 由余弦定理得：222||||||2||||cos2AB PA PB PA PB θ=+-即16＝222||||2||||(12sin )PA PB PA PB θ+--＝222||||2||||4||||sin PA PB PA PB PA PB θ+-+2(||||)8PA PB =-+ 所以2(||||)8PA PB -=，即||||||224||PA PB AB -=<= （当动点P 与两定点A ，B 共线时也符合上述结论）所以动点P 的轨迹为以A ，B 为焦点，实轴长为22的双曲线 所以，轨迹G 的方程为222x y -= (2) 假设存在定点C (m ，0)，使CM CN 为常数.①当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为22(2)2y k x x y =--=，代入整理得2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=由题意知，1k ≠± 设1122()()M x y N x y ，，，，则212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-于是()()()2222121212122224y y k x x k x x k x x k =--=-++∴21122121212()()()CM CN x m y x m y x x m x x y y m ⋅=--=-+++，， ＝()()()22221212124k x x k m x x m k +-++++＝22222222(42)(1)4(2)411k k k k m m k k k +++-++-- 2222222242(24)211k k m k m m mk k -+-+=+=+--22222(1)(24)2244(1)2(12)11k m m m m m m k k --++--=+=++--- 要是使得CM CN 为常数，当且仅当1m =，此时1CM CN =- ②当直线l 与x 轴垂直时，(22)(22)M N -，，，,当1=m 时1CM CN =-．故，在x 轴上存在定点C (1，0)，使得CM CN 为常数21．证明：(1) 由21191919111()1121log 1log 1log ()11111()12n n n n n n n n n n na a a ab b b a a a a +++++++++=⇒=⇒=--+-1912log 11n n n a b a ++⇒=- 又91log 11nn n a b a +=- ∴ 112n n b b += 又n = 1时，119111log 121a b b a +=⇒=- ∴ {}n b 为等比数列，b 1 = 2，12q =，∴ 12112()()22n n n b --== (2) ∵ 21141()4()2122()2n n n n nn b b -==⇒== ∴ 42(1)(1)n nnn nn n C b ==+-+- 先证：1(3)2(1)2n n nn n n +<≥+-当n 为偶数时，显然成立；当n 为奇数时，即证1222121212n n n n n nn n n n n n +<⇔<-+-⇔>+- 而当3n ≥时，21n n >+显然也成立，故1(3)2(1)2n n nn n n +<≥+-当4n ≥时，令45645645656712121212(1)2222n n nn n T +=++++<+++++-++- 又令45656712222nn A +=++++① 561156122222n n n n A ++=++++② ①－②：4561151111222222n n n A ++=++++-4345111[1()]5111151316212222282412n n n n n n A ---++⇒=++++-=+-<-∴ 34T <又123123123236412121215735C C C ++=++=++=-+- ∴ 所证式子左边6433693703735414014014<+=<=即2312312337444414(1)(1)(1)(1)nn n b b b b ++++<+-+-+-+-。
高三数学(理科)模拟试卷(1)
一、选择题1.定义A2020年高考数学（理科）模拟试题（一）（每小题5分，共8小题，共B 40分)x|x A,且 x B，若A 1,3,5,7,9 ,B 2,3,5 ，则 AB =().A . A 答案：D 简解：由定义, C.127,91,7,9B {1,7,9}2 2.复数 的值为1 i 1A.— 2D B. C. 1 D. 1 i答案: 简解: 2(1 i)(1 i)(1 i) 2(1 12.若 f (tanx ) =cos2x ，则 tan _)的值是3C .乜2D 」2答案: A 简解: f( tan -) f (ta n( 3.长方体的长、宽、 高分别为 则球0的表面积为（ ) A. 7 cm 2 B. 14 答案: C 简解:球半径为r , 则2r A. 1 2 1B.-2 23）） cos （ T ） 2cm,2cm,3cm ，若该长方体的各顶点都在球 2 cm C. 17'•22 22 32 4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的 制数，将它转换成十进制形式，是 （112^1）2转换成十进制形式是（ 16 A. 217 2 答案：C 1 23 ). B. 216 2简解：（甲2即）2 161 214O 的表面上, 2 2 cm D. 56 cm 17，则球表面积S 4 .二进制即“逢二进一” 2 1 C. 216 1 21r 2 17 ,如（1101）2表示二进 22 0 21 1 20 = 13，那么将二进制数 20D. 215 1—2161，所以选C.1 25.不等式f (x) ( )ax 2 x c 0的解集为{x| 2 x 1},则函数y f （ x ）的图象为简解：由f( 2) 4af⑴a 12 C 0解得a 1，则选C.c 0 c 23 1 26.已知函数f(x) 2x 2x m的图象上A点处的切线与直线x y 3 0的夹角为45°，则A点的横坐标为（1 1A . 0 B. 1 C. 0 或D. 1 或一6 6答案：C1 简解：由已知可得切线的斜率为0，解f'（x） 6x2 x 0，得x=0或丄67.如图：D,3,a ( aasinA sin(C.asin sin(答案：AC, B三点在地面同一直线上，DC=a，从C, D <3 ），贝y A点离地面的高度AB等于（）•sin）cos)简解：设x AB，则BC 8.设抛物线y B.D.asin sincos( )acos sincos(两点测得A点仰角分别是x , x 、丄asin sin矿,x （a矿）tan，解得x臥一亍ax2（a 0）与直线y kx b （k 0）有两个交点，其横坐标分别是111A. x3x1x2B.——X3X2X1答案：B而直线y kx b (k2简解：由y ax消y得ax2 kx b 0, y kx b111C.X1X3X2D.X x2X3则X1k b，而X3b 十X2X1gX2—,所a a k0）与x轴交点的横坐标是x3，那么x!，x2, x3的关系是（).X2 x3，即x；丄X2、填空题（每小题5分，共6小题，共30 分）9. 一物体在力F （x ） =4x+2 （力的单位：N ）的作用下，沿着与力 F 相同的方向，从x=0 处运动到x=5处（单位：m ）,贝U 力F （x ）所作的功 ____________ 答案：605简解：力F （x ）所作的功为o （4x 2）dx 6010. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为 0.6,现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目E 的期望为 _____________ . 答案：2.376给出以下3个论断：① 0点到3点只进水不出水； ② 3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断序号是 答案：①简解：由图丙，可知0点到3点时水增加速度等于 2个进水口的进水速度， 则①正确.其 余均可同样推断错误.13~14.从以下两个小题中选做两题(只能做其中两个，做三个的，按得分最低的记分)(1) 几何证明选做题： 从不在O O 上的一点 A 作直线，交O O 于B , C ,且AB AC = 64, 0A =简解：E =0, 1, 2, 3，此时 P ( E =0) 0.4, P ( E =3) =0.6, E E =2.376. =0.43, P ( E =1 ) =0.6 X 0.42, P ( E =2)=0.6 X11.若 a,b 是正常数，a b , x, y (0,2)，则-x b 2（a 乩，当且仅当旦 y x b 时上 y 式取等号.利用以上结论，可以得到函数 f(x)1 2x (x1（0,-））的最小值为取最小值时 答案：25,简解：由⑴ x 的值为_ 1 522f(x) 2x 321 2x(2 3)2 2x (1 2x)25 •1x -时上式取最小值，即51个出水口，进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,当且仅当2 d,2x 1 2x12. 一水池有2个进水口，该水池的蓄水量如图丙所示 .（至少打开一个水口）[f (x)]mm25 •出水量21时间蓄水量53123 156时间甲10,则O O的半径等于 __________ .答案：2 41或6简解：设圆O半径为r,当点在圆外时，由切割线定理得ABgAC 64 (10 r)(10 r), 解得r=6;当点在圆内时，由相交弦定理得ABgAC 64 (r 10)(r 10)，解得r 2.石(2)坐标系与参数方程选做题：卄亠八、—x Jmcos右直线x+y=m与圆_ ($为参数,m>0)相切，则m为y T msi n答案：2简解:对圆消参得x2+/=m. •••直线与圆相切，则宁=! = jm , /. m=2.(3)不等式选讲选做题:已知f(x) 2x 1,(x R)，若|f(x) 3| a 的充分条件是|x 1| b , (a,b 0)，则a, b之间的关系是____________ .答案：b a2简解：由|x 1| b，得A{x|1 b x 1b};再由| f (x) 3| a，得aB {x|1 x1a};22所以| x 1 | b是| f (x) 3|a的充分条件A B，故b -2三、解答题(前4小题每题13分，后2小题每题14分，共80 分)215.已知函数f(x) 2sin x sin2x 1,x R.(1)求f (x)的最小正周期及f (x)取得最大值时x的集合；(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)在［0,］上的图象.解：(1) f (x) 2sin2x sin2x 12sin2x (1 2sin x) sin 2x cos2x=.2 sin(2x;)••• f(x)的最小正周期是当2x 2k ,即x4 23k (k Z)时，f (x)的最大值为82.即f(X)取得最大值时x的集合为｛x|x k(2)当x=0 时，y=-1，当x= n 时，y=-1 ;当x —时，y 迈;8当x 7T，y 2.由此作出图象如右图所示：916.已知a 为实数，f (x) (x 4)(x a).(1)求导数f '(x);(2)若f'( 1) 0,求f(x)在［2,2］上的最大值和最小值；解：(1) f'(x) 2x(x a) (x2 4) 1 3x2 2ax 4.(2) f'( 1) 3( 1)2 2a( 1) 4 2a 1 0,得a 1.22 4f '(x) 3x x 4 (3x 4)(x 1),当x 1 或x 一时，f'(x) 0.3当x ( 2, 1)时，f'(x) 0 , f(x)递增；当x ( 1,-)时，f '(x) 0, f(x)递减；当34x ( —,2)时，f '(x) 0, f(x)递增.3f( 2) 0, f( 1) 9，f(4) 50, f(2) 0.2 3 279 4 50f (x)在［2,2］上的最大值为f( 1),最小值为f( )2 3 2717 .已知直四棱柱ABCD —A1B1C1D1的底面是菱形，且DAB 60 ,AD AA , F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.(1)求证：直线MF//平面ABCD ;(2)求证：平面AFC1丄平面ACC1A1;(3)求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小.解法1 : ( 1)证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.因为F是BB1的中点，又Q MF 平面ABCD, AN 平面ABCD. MF //平面ABCD.所以F为C1N的中点，B为CN的中点. 又M是线段AC1的中点，故MF//AN. (2)证明：连BD，由直四棱柱ABCD —A1B1C1D1 可知：AA 平面ABCD,又••• BD 平面ABCD , A.A BD. Q四边形ABCD为菱形，AC BD.又Q AC AA AAC,AA 平面ACC1A1, BD 平面ACC1 .在四边形 DANB 中，DA // BN 且DA=BN ，所以四边形 DANB 为平行四边形. 故 NA // BD , NA 平面 ACC I A I •又Q NA 平面 AFC i 平面 AFC i 平面 ACC i A i . （3）由（2）知 BD 丄 ACC 1A 1，又 AC i ACC i A i ,••• BD 丄AC i BD//NAAC i 丄 NA.又由BD 丄AC 可知NA 丄AC ,•/ C I AC 就是平面AFC i 与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角. •平面AFC i 与平面ABCD 所成二面角的大小为 30。
高三数学理科模拟试题及答案
一、选择题：10i 1.2-iA. -2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i10i(2+i) 2 4i.应选 A.解：原式(2-i)(2+i)2. 设会合Ax | x3 , Bx 1 B =x |，则AIx4A.B.3,4C.2,1D.4.解：Bx 1 x | ( x 1)( x 4) 0x |1 x 4.A IB (3,4) x |x 43. 已知ABC中，cot A12， 则 cosA5A.1255 12 13B.C.D.131313ABC中，cot A12 ( , ) .解：已知， A52.应选 B.1112 cos A131 tan2 A1 5 ) 2(12应选 D.x在点 1,1 处的切线方程为4. 曲线 y1 2xA. x y 20 B. x y 2 0 C. x 4 y 5 0 D. x 4 y 5 02x 1 2x[12 ]| x 11, 解：y |x 12 |x 1(2 x 1)(2 x 1)故切线方程为 y 1 ( x 1), 即 x y2 0应选 B.5. 已知正四棱柱 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中， AA 1 2 AB ，E 为 AA 1 中点，则异面直线 BE 与 CD 1 所成的角的余弦值为A.10 B.1 C.310 D.3105105解：令AB 1则AA 12 ,连 A 1BQ C 1D ∥ A 1B 异面直线 BE 与 CD 1 所成的角即 A 1B与 BE 所成的角。
在A 1BE 中由余弦定理易得 cos A 1BE3 1010 。
应选 C6. 已知向量 a2,1 ,a b10,| a b | 5 2 ，则 |b |A.5B.10C. 5D. 25r r rr r rr r 解：Q 50 | a b |2 | a |22agb | b |2 5 20 | b |2 | b | 5 。
应选 C7. 设alog 3 , b log 2 3, c log 3 2 ，则A. a b cB. a c bC. b a cD. b c a解：Q log 32 log 2 2 log 23 b clog 2 3 log 2 2 log 3 3 log 3 a b a bc . 应选 A.8. 若 将 函 数ytanx的图像向右平移个单位长度后，与函数46y tan x6 的图像重合，则的最小值为A ．1B.1 C.1D.16432向右平移 个单位解： ytanx6ytan[ ( x)] tanx464646k6 6k1( k Z) ， 2又Q1min.应选 D29. 已 知直线 y k x2 k 0 与抛 物线 C : y 28x 相 交于A 、B 两点， F 为C 的焦点，若 | FA | 2 | FB |，则 kA.1 B.2 C.2 D.2 23333解 ： 设 抛 物 线C : y 28x的 准 线 为 l : x 2 直 线y k x 2 k 0 恒过定点 P 2,0 . 如图过 A 、B 分 别作 AM l 于 M , 于 N ,由|FA| 2|FB|,则|AM | 2|BN|,点 B 为 AP 的中点. 连接OB ,则|OB| 1|AF|,2|OB| |BF|B1B(1,2 2)2 2 02 2 , 应选 D点 的横坐标为 故点 的坐标为 k,1 ( 2)310. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一时间：120分钟 分值：150分―、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数312z i=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A.3655i + B. 3655i - C. 1255i - D. 1255i +2．（错题再现）下列命题正确的是( )A ．123x x +--≥B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．2213x x ++-≤3.函数()=sin 3f x x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A. 3B.2C. 4D. 54.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（ ） A.25B.15C. 103D. 355.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 213log 32+ B. 2log 3C. 2D. 36.若x ，y 满足不等式组1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则232z x y =-+的最小值为（ ）A. -5B. -4C. -3D. -27.已知函数22,1()log ,1a x ax x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13a <≤B. 2a ≥C. 23a ≤≤D. 02a <≤或3a ≥8.设P ，Q 分别为22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A. 52B. 246+C. 27+D. 269.已知() f x 为定义在R 上的奇函数, ()()g x f x x =-,且当(],0x ∈-∞时, ()g x 单调递增,则不等式()()2123f x f x x --+≥-的解集为( )A. ()3,+∞B. [)3,+∞C. (,3]-∞D. (,3)-∞ 10.已知球O 的半径为4，矩形ABCD 的顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABCD 的距离为2，则此矩形的最大面积为（） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 11.已知正数,a b 满足221a b ab +=+，则()312a b -+的最大值为（）A. 22B. 2C. 2D. 112.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则使22110n nnS S +取得最大值时n 的值为（ ） A. 2 B. 5 C. 4 D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上。
陕西省西安中学2024届高三模拟考试(一)数学(理科)试题含答案解析
西安中学高2024届高三模拟考试（一）数学（理科）（满分：150分时间：120分钟）命题人：李晶一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}2|20M x x x =-<，{}2|10N x x =-<，则M N ⋃=（）A.(1,2)- B.(1,1)- C.(0,2)D.(0,1)2.已知2i 1iz-=-+，则z =（）A.1i +B.1i -C.3i -D.3i+3.ABC 中，2DC BD =，P 为线段AD 中点，若BP BA BC λμ=+ ，则λμ+的值为（）A.13B.12C.23D.344.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI 算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行155104⨯次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行1282次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：lg 20.301≈，0.43110 2.698≈）（）A.222.69810⨯秒B.232.69810⨯秒C.242.69810⨯秒D.252.69810⨯秒5.已知,,a b c ∈R ，则下列选项中是“a b <”的充分不必要条件的是（）A.c c ab>B.22ac bc <C.22a b < D.33a b<6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）①若//m α，//n α，则//m n②若//αβ，m α⊂，那么//m β③若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥④若m β⊥，//m α，则αβ⊥A.②④B.①②C.②③D.③④7.已知椭圆()222:1039x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一点，若212PF F F =且121cos 4F PF ∠=，则b =（）A.B.C.2D.8.若1nx ⎫-⎪⎭的展开式的二项式系数之和为16，则21nx ⎫+⎪⎭的展开式中41x 的系数为（）A.8B.28C.56D.709.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，将该函数的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则ω的最小值是（）A.52B.83C.3D.7210.已知cos tan 1sin αβα=-，()1sin tan cos ααβα++=，若π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则β=（）A.π12 B.π6C.4π D.π311.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为，圆22()9x a y -+=与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a 的取值范围是（）A.(]0,1 B.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(]0,2 D.50,2⎛⎤ ⎥⎝⎦12.若函数()21ln 22f x a x x x =+-有两个不同的极值点12,x x ，且()()1221t f x x f x x -+<-恒成立，则实数t 的取值范围为（）A.(),5-∞- B.(],5-∞- C.(),22ln2-∞- D.(],22ln2-∞-二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知数据15，14，14，a ，16的平均数为15，则其方差为______.14.函数()f x 是定义在R 上的函数，且()1f x +为偶函数，()2f x +是奇函数，当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，则()567f =______.15.在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于________.16.如图，正方形1111D C B A 与正方形ABCD 的中心重合，边长分别为3和1，1P ，2P ，3P ，4P 分别为11A D ，11A B ，11B C ，11C D 的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿AD ，AB ，BC ，CD 折起，使1P ，2P ，3P ，4P 重合于P 点，则四棱锥P ABCD -的高为________，若直四棱柱22223333A B C D A B C D -内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面ABCD 内，则该直四棱柱22223333A B C D A B C D -体积的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，第17-21题为必考题，第22、23题为选考题）（一）必考题（共60分）17.已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2．正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n n S b b =+．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）若,2,n n n b a n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和．18.某班组织投篮比赛，比赛分为,A B 两个项目.比赛规则是：①选手在每个项目中投篮5次，每个项目投中3次及以上为合格；②第一个项目投完5次并且合格后才可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；③选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛.已知选手甲在A 项目比赛中每次投中的概率都是0.5.（1）求选手甲参加A 项目合格的概率；（2）已知选手甲参加B 项目合格的概率为0.6.比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分.设累计得分为X ，为使累计得分X 的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？请说明理由.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，直线1C B ⊥平面ABC ，平面11AA C C ⊥平面11BB C C．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12AC BC BC ===，在棱11A B 上是否存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010？若存在，求111B P A B 的值；若不存在，请说明理由．20.已知函数()()ln 2e xf x x x x =-+-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程（2）若()f x b ≤对任意的1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭恒成立，求满足条件的实数b 的最小整数值.21.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为,F E 上任意一点P 到F 的距离与到点(2,0)Q 的距离之和的最小值为3．（1）求抛物线E 的标准方程．（2）已知过点Q 且互相垂直的直线12,l l 与E 分别交于点,A C 与点,B D ，线段AC 与BD 的中点分别为,M N ．若直线,OM ON 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的取值范围．（二）选考题（共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）写出1C ，2C 的极坐标方程；（2）若曲线3C 的极坐标方程为8sin ρθ=，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B （A ，B 与点O 不重合），求AOB 面积的最大值．23.已知0,0,0a b c >>>，函数()2f x x a x =++-，不等式()5f x ≥的解集为{2x x ≤-或}3x ≥．（1）求实数a 的值；（2）若()f x 的最小值为,M b c M +=，求证：1111b c+≥+．西安中学高2024届高三模拟考试（一）数学（理科）（满分：150分时间：120分钟）命题人：李晶一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}2|20M x x x =-<，{}2|10N x x =-<，则M N ⋃=（）A.(1,2)- B.(1,1)- C.(0,2)D.(0,1)【答案】A 【解析】【分析】先求解两个一元二次不等式，再根据并集定义求解即得.【详解】因为{}220{02}M x x x x x =-<=<<∣，{}210{11}N x x x x =-<=-<<∣，所以{12}M N xx =-<< ∣．故选:A ．2.已知2i 1iz-=-+，则z =（）A.1i +B.1i- C.3i- D.3i+【答案】B 【解析】【分析】根据条件求出z 的代入形式，进而可得其共轭复数.【详解】2i 21i 1i 1izz z -=-⇒-=-⇒=++，所以1i z =-.故选：B ．3.ABC 中，2DC BD =，P 为线段AD 中点，若BP BA BC λμ=+ ，则λμ+的值为（）A.13B.12C.23D.34【答案】C 【解析】【分析】用BA ，BC表示BP ，求出λ、μ的值，进而求得结果.【详解】由2DC BD =，得13BD BC = ，又P 为线段AD 中点，所以()1111122326BP BA BD BA BC BA A BC B BC λμ⎛⎫=+=+=+⎪= ⎝⎭+，即12λ=，16μ=，所以112263λμ+=+=.故选：C4.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI 算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行155104⨯次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行1282次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：lg 20.301≈，0.43110 2.698≈）（）A.222.69810⨯秒B.232.69810⨯秒C.242.69810⨯秒D.252.69810⨯秒【答案】B 【解析】【分析】设所需时间为t 秒，则1512851024t ⋅⨯=，然后两边取对数化简计算即可【详解】设所需时间为t 秒，则1512851024t ⋅⨯=，lg lg52lg 215128lg 2t +-+=，∴lg 131lg 216t =-，lg 1310.3011623.431t ≈⨯-=，∴23.4310.4312323101010 2.69810t ≈=⨯=⨯∴秒，故选：B.5.已知,,a b c ∈R ，则下列选项中是“a b <”的充分不必要条件的是（）A.c c ab>B.22ac bc <C.22a b < D.33a b<【答案】B 【解析】【分析】根据不等式性质及指数函数的单调性，结合充分条件，必要条件的定义逐项判断即可.【详解】对于A ，当1,1a b =-=，满足a b <，但c c ab>不成立，当1,1,1a b c ==-=时，满足c c ab>，但a b <不成立，故A 错误；对于B ，当0c =时，a b <¿22ac bc <，但22ac bc a b <⇒<，故B 正确；对于C ，2,1a b =-=时，a b <，但22a b <不成立，1,2a b ==-时，22a b <，但a b <不成立，故C 错误；对于D ，因为指数函数3x y =在R 上单调递增，故33a b a b <⇔<，故D 错误.故选：B6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）①若//m α，//n α，则//m n②若//αβ，m α⊂，那么//m β③若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥④若m β⊥，//m α，则αβ⊥A.②④ B.①②C.②③D.③④【答案】A 【解析】【分析】举例说明判断①③；利用面面平行的性质判断②；利用线面平行的性质、面面垂直的判定推理判断④即可得解.【详解】三棱柱一底面三角形两边所在直线都平行于另一底面，而这两边所在直线相交，①错误；若//αβ，m α⊂，由面面平行的性质得//m β，②正确；若αβ⊥，令,αβ的交线为l ，m α⊂，n β⊂，当//,//m l n l 时，//m n ，③错误；由//m α，知存在过m 与平面α相交的平面，令交线为c ，有//c m ，而m β⊥，则c β⊥，因此αβ⊥，④正确，所以正确命题的序号是②④.故选：A7.已知椭圆()222:1039x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一点，若212PF F F =且121cos 4F PF ∠=，则b =（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】画出图形，根据椭圆的定义和性质及余弦定理的应用求解即可.【详解】由题意知该椭圆的焦点在x轴上，如图所示：由题意2122PF F F c ==，1226PF PF a +==，所以162PF c =-，由余弦定理得：222121212121cos 24PF PF F F F PF PF PF +-∠==，即()()2226244126224c c c c c-+-=-⨯，即2560c c -+=解得：2c =或3c =（舍去）由222a c b -=，所以25b b =⇒=故选：D.8.若1n x ⎫-⎪⎭的展开式的二项式系数之和为16，则21nx ⎫+⎪⎭的展开式中41x 的系数为（）A.8B.28C.56D.70【答案】C【解析】【分析】根据二项式系数和求得n ，根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】1nx ⎫-⎪⎭的展开式的二项式系数之和216,4n n ==，则821131nx x x -⎛⎫⎫+=+ ⎪⎪⎭⎝⎭展开式的通项公式为：()818413388C C rrr r r x x x ---⎛⎫⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭，令844,53rr -=-=，所以41x的系数为5388876C C 56321⨯⨯===⨯⨯.故选：C9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，将该函数的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则ω的最小值是（）A.52B.83C.3D.72【答案】A 【解析】【分析】由()102f =-求ϕ，再根据平移变换求出平移后的解析式，然后根据对称性即可求解.【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象经过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，所以()10sin 2f ϕ==-，又2πϕ<，所以π6ϕ=-，将()πsin 6f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象的解析式为ππππsin sin 3636y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为ππsin 36y x ωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的函数图象关于原点对称，所以πππ,36k k ω--=∈Z ，得13,2k k ω=--∈Z ，因为0ω>，所以当1k =-时，ω取得最小值15322-=.故选：A 10.已知cos tan 1sin αβα=-，()1sin tan cos ααβα++=，若π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则β=（）A.π12 B.π6C.4π D.π3【答案】C 【解析】【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.【详解】因为()tan()tan tan =tan 1tan()tan αββααββαββ+-+-=++⋅，又因为cos tan 1sin αβα=-，()1sin tan cos ααβα++=，所以(1sin )(1sin )cos cos 1sin cos cos (1sin )cos 1sin tan 1sin cos cos (1sin )cos (1sin )1cos 1sin cos (1sin )ααααααααααααααααααααα+⋅--⋅+---==+⋅-+⋅++⋅--，所以22(1sin )(1sin )cos cos 1sin cos tan cos (1sin )cos (1sin )2cos αααααααααααα+⋅--⋅--==⋅-+⋅+因为22sin cos 1αα+=，所以tan 0α=，所以π,Z k k α=∈，所以当k 为奇数时，cos 1α=-，sin 0α=，当k 为偶数时，cos 1α=，sin 0α=，因为cos tan 1sin αβα=-，所以tan 1β=±，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4β=.故选：C.11.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为，圆22()9x a y -+=与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a 的取值范围是（）A.(]0,1 B.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(]0,2 D.50,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为2y x =±，结合弦长可得4≥，运算求解即可.【详解】设双曲线C 的半焦距为0c >，则c e a ===2b a =，且双曲线C 的焦点在x 轴上，所以双曲线C 的渐近线为2y x =±，因为圆22()9x a y -+=的圆心为(),0a ，半径3r =，可知圆22()9x a y -+=关于x 轴对称，不妨取渐近线为2y x =，即20x y -=，则圆心(),0a 到渐近线的距离3=<d ，可得3502<<a ，又因为圆22()9x a y -+=与双曲线C 的一条渐近线相交弦长为=，由题意可得4≥，解得502a <≤，所以a 的取值范围是50,2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D.12.若函数()21ln 22f x a x x x =+-有两个不同的极值点12,x x ，且()()1221t f x x f x x -+<-恒成立，则实数t 的取值范围为（）A.(),5-∞- B.(],5-∞- C.(),22ln2-∞- D.(],22ln2-∞-【答案】B 【解析】【分析】首先对()f x 求导，得()()220x x af x x x'-+=>，根据题意得到方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系求得a 的取值范围，然后将不等式进行转化，结合根与系数的关系得到()()1212f x f x x x +--关于参数a 的表达式，从而构造函数，利用导数知识进行求解．【详解】依题意得()()2220a x x af x x x x x-+=+-=>'，若函数()f x 有两个不同的极值点12,x x ，则方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根12,x x ，可得1212Δ440200a x x x x a =->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得01a <<，因为()()1221t f x x f x x -+<-，可得()()2212121112221211ln 2ln 222t f x f x x x a x x x a x x x x x <+--=+-++---()()()()()()2221212121212121211ln 3ln 322a x x x x x x a x x x x x x x x =++-+=++--+21ln 232ln 42a a a a a a =+⨯--⨯=--．设()()ln 401h a a a a a =--<<，则()ln 0h a a ='<，则()h a 单调递减，()()15h a h >=-，可知5t ≤-．所以实数t 的取值范围是(],5-∞-.故选：B ．【点睛】关键点睛：1.利用导数与极值点之间的关系及一元二次方程有两个不相等的正实数根，求得a 的取值范围是解决问题的前提；2.利用韦达定理二元换一元，通过构造函数解决问题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知数据15，14，14，a ，16的平均数为15，则其方差为______.【答案】45##0.8【解析】【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算【详解】因为151********a ++++=，所以16a =，所以21111455s +++==.故答案为：4514.函数()f x 是定义在R 上的函数，且()1f x +为偶函数，()2f x +是奇函数，当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，则()567f =______.【答案】2-【解析】【分析】先由函数的奇偶性确定函数的周期为4，再由奇偶性得到()()()()5674142111f f f f =⨯-=-=-，计算出结果即可.【详解】因为()1f x +为偶函数，则有()()11f x f x +=-，故()f x 的图像关于1x =对称，则有()()2f x f x +=-①，()2f x +是奇函数，则()()22f x f x -+=-+②，联立①②可得：()()2f x f x -+=--，变形为()()2f x f x +=-，所以()()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=，则()f x 是周期为4的周期函数，所以()()()()5674142111f f f f =⨯-=-=-，又当[]0,1x ∈时，()31xf x =-，所以()()()5671312f f =-=--=-.故答案为：2-.15.在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于________.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，所以332,555AD AB c BD c ===，又ACD BCD ∠=∠，所以由角平分线定理可得AC BC AD BD =，所以3255b ac c =，则32b a =，又2B A =，所以sin sin 22sin cos B A A A ==，则sin cos 2sin BA A=，由正弦定理得3sin 32cos 2sin 224a Bb A A a a ====.故答案为：34.16.如图，正方形1111D C B A 与正方形ABCD 的中心重合，边长分别为3和1，1P ，2P ，3P ，4P 分别为11A D ，11A B ，11B C ，11C D 的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿AD ，AB ，BC ，CD 折起，使1P ，2P ，3P ，4P 重合于P 点，则四棱锥P ABCD -的高为________，若直四棱柱22223333A B C D A B C D -内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面ABCD 内，则该直四棱柱22223333A B C D A B C D -体积的最大值为________．【答案】①.2②.2327【解析】【分析】作出图形，可知四棱锥P ABCD -为正四棱锥，取AB 的中点E ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PE 、EF 、PF ，则四棱锥的高为PF ，直四棱柱22223333A B C D A B C D -内接于该四棱锥，则底面2222A B C D 为正方形，作出截面PBD 的平面图，设2B F x =，计算得出四棱柱体积的函数关系式，运用导数研究可得其体积最大值.【详解】由题意可知，四棱锥P ABCD -为正四棱锥，PAB 边AB 上的高为1PE =，如下图所示：取AB 的中点E ，连接AC 、BD 交于点F ，连接PE 、EF 、PF ，则F 为AC 、BD 的中点，由正四棱锥的几何性质可知，PF ⊥平面ABCD ，因为E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则//EF BC 且1122EF BC ==，因为EF ⊂平面ABCD ，则PF EF ⊥，所以，2PF ===，在PEB △中，得52PB ==,1222BF BD ===作出四棱柱22223333A B C D A B C D -内接于该四棱锥在平面PBD 上的平面图如图所示：设2B F x =,0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则222BB BF B F x =-=-，因为23~BB B BPF ，所以232B B PF BB BF =，解得233622B B x =-，所以直四棱柱22223333A BCD A B C D -的体积()322222231···2V x A C B D B B ==,所以()2V x '=-+，当20,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时()0V x '>，当22,32x ⎛∈ ⎝⎭时()0V x '<，所以函数()V x在0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，,32⎛ ⎝⎭上单调递减，所以当23x =时体积最大，最大为327V ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：32，2327.三、解答题（本大题共7小题，第17-21题为必考题，第22、23题为选考题）（一）必考题（共60分）17.已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2．正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n n S b b =+．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）若,2,nn n b a n c n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（1）21n a n =-，n b n=（2）()144213n n n +--+【解析】【分析】（1）直接得到{}n a 的通项公式，由11,1,2n nn S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差得到11n n b b --=，从而求出{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得21,2,n n n n c n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，利用分组求和法计算可得.【小问1详解】依题意可得()12121n a n n =+-=-，∵22n n n S b b =+①，当2n ≥时，21112n n n S b b ---=+②，()()()2211111 20n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b ------⇒=-+-⇒+--+=①②，()()1110n n n n b b b b --⇒+--=，()2n ≥，∵0n b >，∴11n n b b --=，且在①式中令111n b =⇒=或10b =（舍去），∴()111n b n n =+-⨯=，综上可得21n a n =-，n b n =．【小问2详解】由（1）可得,21,2,2,nn n b n a n n n c n n -⎧⎧==⎨⎨⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数，∴()()1221321242n n n c c c c c c c c c -+++=+++++++ ()()2421543222n n =+++-++++ ()()()14144244212143nn n n n n +--⨯-=+=-+-．18.某班组织投篮比赛，比赛分为,A B 两个项目.比赛规则是：①选手在每个项目中投篮5次，每个项目投中3次及以上为合格；②第一个项目投完5次并且合格后才可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；③选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛.已知选手甲在A 项目比赛中每次投中的概率都是0.5.（1）求选手甲参加A 项目合格的概率；（2）已知选手甲参加B 项目合格的概率为0.6.比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分.设累计得分为X ，为使累计得分X 的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？请说明理由.【答案】（1）0.5（2）选手甲应选择先进行B 项目，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意选手甲需要在5次投篮中投中3，4或5次及格，再求解概率和即可；（2）分别分析先进行A 项目和B 项目的得分数学期望，再判断即可.【小问1详解】由题意选手甲需要在5次投篮中投中3，4或5次，每次中与不中的概率均为0.5，故合格的概率为()354555545555C 0.5C 0.5C 0.510510.520.50.5++=++⨯=⨯=.【小问2详解】选手甲应选择先进行B 项目，理由如下：由题意，若选手甲先参加A 项目，则X 的所有可能取值为0，5，10，则()010.50.5P X ==-=，()()50.510.60.2P X ==⨯-=，()100.50.60.3P X ==⨯=.所以累计得分X 的期望()00.550.2100.34E X =⨯+⨯+⨯=；若选手甲先参加B 项目，则X 的所有可能取值为0，5，10，则()010.60.4P X ==-=，()()50.610.50.3P X ==⨯-=，()100.60.50.3P X ==⨯=.所以累计得分X 的期望()00.450.3100.3 4.54E X =⨯+⨯+⨯=>，所以为使累计得分的期望最大，选手甲选择先进行B 项目比赛.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，直线1C B ⊥平面ABC ，平面11AA C C ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12AC BC BC ===，在棱11A B 上是否存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010？若存在，求111B P A B 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，13.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理即得.（2）作1//Cz C B ，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在三棱柱111ABC A B C -中，由1C B ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，得11,C B BC C B AC ⊥⊥，在平面11BB C C 内过B 作1BO CC ⊥于O ，由平面11AA C C ⊥平面11BB C C ，平面11AA C C 平面111BB C C CC =，得BO ⊥平面11AA C C ，而AC ⊂平面11AA C C ，则有BO AC ⊥，显然11,,BO C B B BO C B =⊂ 平面11BB C C ，因此AC ⊥平面11BB C C ，又1BB ⊂平面11BB C C ，所以1AC BB ⊥.【小问2详解】过点C 作1//Cz C B ，由11,C B BC C B AC ⊥⊥，得,Cz CA Cz CB ⊥⊥，由（1）知AC ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，则CA CB ⊥，即直线,,CA CB Cz 两两垂直，以点C 为原点，直线,,CA CB Cz 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由12AC BC BC ===，得11(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,4,2)A B C B ，(0,2,0),(2,2,0)CB BA ==-，假定在棱11A B 上存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010，令111(2,2,0),01B P B A BA λλλλλ===-<< ，则(2,42,2)P λλ-，(2,42,2)CP λλ=-，设平面PBC 的一个法向量(,,)n x y z = ，则2(42)2020n CP x y z n CB y λλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，得(1,0,)n λ=- ，显然平面1BCC 的一个法向量(1,0,0)m =，依题意，310cos ,10m n 〈〉=，解得13λ=，即11113B P A B λ==，所以在棱11A B 上存在一点P ，使二面角1P BC C --的余弦值为31010，11113B P A B =.20.已知函数()()ln 2e xf x x x x =-+-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程（2）若()f x b ≤对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求满足条件的实数b 的最小整数值.【答案】（1）1e 0y ++=.（2）3-.【解析】【分析】（1）求出()f x 在1x =处的导数值，求出()1f ，即可得出切线方程；（2）先由题意，将问题转化为：得到()()ln 2e xf x x x x b =-+-≤，对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立；()(2)e ln x f x x x x =-+-，求出其导数，得出存在01(,1)2x ∈，函数()y f x =在区间01(,)2x 上单调递增，在区间0(),1x 上单调递减，由隐零点的整体代换的处理方法可得出答案.【小问1详解】()()()ln 2e 11e x f x x x x f =-+-=-- ，，()()()()1111e 1e 10x x f x x x f x x ⎛⎫=-+-=--⎪⎭''= ⎝，，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1e 0y ---=，即1e 0y ++=.【小问2详解】()()ln 2e x f x x x x b =-+-≤对任意的1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=-+-=-- ⎝'⎪⎭，令()1e xh x x =-，则函数()h x 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，()120,1e 102h h ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.∴在唯一01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得使得0()0h x =，即00001eln x x x x ==-，，且当012x x <<时，()0h x <，即()0f x '>；当01x x <<时，()0h x >，即()0f x '<.所以，函数()y f x =在区间01(,)2x 上单调递增，在区间0(),1x 上单调递减，∴()()0max0000001()2e ln 12x f x f x x x x x x ⎛⎫==-+-=-+ ⎪⎝⎭，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则00112()y x x =-+在1(,1)2上单调递增，所以00112()(4,3)x x -+∈--，∴满足条件的实数b 的最小整数值为3-.21.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为,F E 上任意一点P 到F 的距离与到点(2,0)Q 的距离之和的最小值为3．（1）求抛物线E 的标准方程．（2）已知过点Q 且互相垂直的直线12,l l 与E 分别交于点,A C 与点,B D ，线段AC 与BD 的中点分别为,M N ．若直线,OM ON 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的取值范围．【答案】（1）24y x =（2）1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义分析可得232+≥+=pPF PQ ，进而可得2p =；（2）设直线1l 的方程为2x my =+，直线2l 的方程为12x y m=-+，与抛物线方程联立，利用韦达定理整理得1222112-+=+k k m m，利用基本不等式运算求解.【小问1详解】抛物线E 的准线方程为2px =-，设点P 到准线的距离为d ．由抛物线的定义，得232pPF PQ d PQ +=+≥+=，解得2p =，当且仅当,,P Q F 三点共线时，等号成立，所以抛物线E 的标准方程为24y x =．【小问2详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由题意可知，12,l l 的斜率存在且均不为0，设直线1l 的方程为2x my =+，将其代入24y x =，得2480y my --=，则有134y y m +=．同理可得：设直线2l 的方程为12x y m=-+，则244y y m +=-．所以132422,22M N y y y y y m y m++====-，所以2222M M x my m =+=+，21222=-+=+N N x y m m，所以12222222112122422N M M N y y m m k k x x m m m m -=⋅=⋅=-≥=-++++，当且仅当221m m=，即1m =±时取等号，又易知120k k <，所以12k k 的取值范围为1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法：（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解；（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解；（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．（二）选考题（共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（1）写出1C ，2C 的极坐标方程；（2）若曲线3C 的极坐标方程为8sin ρθ=，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B （A ，B 与点O 不重合），求AOB 面积的最大值．【答案】22.π,02θαα=<<；ππ,022θαα=+<<.23.16【解析】【分析】（1）通过消参得到直线1C 的直角坐标方程，再利用极坐标方程和直角坐标方程之间的互化公式即可；（2）利用极坐标的几何意义结合二倍角公式求解即可.【小问1详解】直线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），故()tan y x α=，则()sin tan cos ρθαρθ=，即θα=；故1C 的极坐标方程为：π,02θαα=<<.把1C 绕坐标原点逆时针旋转π2得到2C ，故2C 的极坐标方程为：ππ,022θαα=+<<.【小问2详解】曲线3C 的极坐标方程为8sin ρθ=，且1C 与3C 交于点A ，2C 与3C 交于点B ，联立方程得，()ππ8sin ,,8sin ,22A B αααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故11ππsin 8sin 8sin sin 32sin cos 16sin 2162222AOB S OA OB AOB ααααα⎛⎫=∠=⨯⨯+⨯==≤ ⎪⎝⎭ .故AOB 面积的最大值为16.23.已知0,0,0a b c >>>，函数()2f x x a x =++-，不等式()5f x ≥的解集为{2x x ≤-或}3x ≥．（1）求实数a 的值；（2）若()f x 的最小值为,M b c M +=，求证：1111b c+≥+．【答案】（1）1a =（2）见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义，等价转化不等式，解得含参解集，建立方程，可得答案；（2）利用绝对值的三角不等式，结合基本不等式“1”的妙用，可得答案.【小问1详解】解法一：由()5f x ≥，得25x a x ++-≥∣∣，由0a >，则02a -<<，等价于225x a a x ≤-⎧⎨-+-≥⎩或225a x a -<<⎧⎨+≥⎩或2225x x a ≥⎧⎨+-≥⎩，得32x a a x ≤-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或272x a x ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩.因为不等式()5f x ≥的解集为{2xx ≤-∣或3}x ≥，所以732a-=，解得1a =，当1a =时，由32x a a x ≤-⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得2x ≤-，符合题意，故1a =.解法二：由()5f x ≥，得25x a x ++-≥，因为不等式()5f x ≥的解集为{2xx ≤-∣或3}x ≥，所以22253325a a -++--=++-=，，得1a =.经验证，1a =符合题意，故1a =.【小问2详解】因为()()1212f x x x x x =++-≥+--=3，当且仅当()()120x x +-≤时取等号，所以3M =，所以3b c +=.所以()111111111221141414b c c b b c c b c b ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫+=+++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当11b cc b +=+，即12b c ==，时取等号.。
高考数学理科模拟试题(附答案)
高三年级第一次模拟考试数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．。
1．复数23()1i i +-= （ ）A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2．已知条件:|1|2,:,p x q x a +>>⌝⌝条件且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥- D ．3a ≤-3．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点可能落在下列哪个区间内（ ）A ．（0，1）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5） 4．如右图，是一程序框图，则输出结果为（ ）A ．49B ．511 C ．712 D ．613 5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若641241,4,S S S S S ==则 的值为（ ）A ．94B ．32C ．54D ．46．要得到函数()sin(2)3f x x π=+的导函数'()f x 的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 7．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若|FM|=2|ME|，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．28．如图所示的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中电路从P 到Q 接通的情况有（ ）A ．30种B ．10种C ．24种D ．16种第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一满分150分 时间120分钟一、选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数2z i =+，则1zi+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合1{|0}xA x x-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，则=B A I ( ) A ．），（210 B ． ），（121 C ．]121，（ D ．]121[， 3．若4log 3a =，0.33b =，3log cos 19π20c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．dx x x ))1(1(212---⎰的值是（ ）A.314-πB.14-πC.312-πD.12-π5．已知5sin 26cos()0,(0,),2παπαα+-=∈则2cos ()24απ+=（ ） A.45 B.15－ C. 35 D.156．给出下列四个命题： ①命题“若π4α=，则tan 1α=”的逆否命题为假命题； ②命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤．则0:p x ⌝∃∈R ，使0sin 1x >； ③在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >； ④命题：“0x ∃∈R ，使003sin cos 2x x +=”．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在△ABC 中，45B =︒，D 是BC 边上一点，27AD =，6AC =，4DC =，则AB 的长为（ ）A 2．36．33．328．如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的动点，且满足AE mAB =u u u v u u u v ，AF nAC =u u u v u u u v，其中(),0,1m n ∈，1m n +=，M ，N 分别是EF ，BC 的中点，则MN 的最小值为（ ）A.2 B.3 C.3 D.539.（错题再现）已知函数()sin 3cos (0),f x x x =->ωωω若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A. 137(,]62 B. 725(,]26 C. 2511(,]62 D. 1137(,]2610．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11.关于函数()cos cos 2f x x x =+有下列三个结论：①π是f(x)的一个周期；②f(x)在35[,]44ππ上单调递增；③f(x)的值域为[－2，2]．则上述结论中，正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.312．函数22()()e xf x x ax ax a =--+（e 为自然对数的底数，R a ∈，a 为常数）有三个不同零点，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,0)e-B ．(,0)-∞C ．1(,)e-+∞D ．(0,)+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知(),2P m 为角α终边上一点，且tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α=________．14．设曲线ln 1xy x =+在点(1,0)处的切线与直线10x ay -+=垂直，则=a ． 15．如果直角三角形 ABC 的边 CB ，CA 的长都为 4，D 是 CA 的中点，P 是以 CB 为直径的圆上的动点，则BD PC ⋅u u u r u u u r的最大值是_____16．数列{}n a 满足12121(1,)n n n n n n n n a a a a a a a a n +++++=++≠∈*N ，且11a =，22a =，若πsin()(0,||)2n a A n c ωϕωϕ=++><，则实数A = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）设在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2cos22sin sin cos21B C B C A ++=+．（1）若3a =，求ABC △外接圆的面积；（2）若7b c +=，23ABC S =△，求a 的值．18．（本小题满分12分）如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，点D ，E 分别在线段AA 1，CC 1上，且AD ＝13AA 1，DE//AC ，F 是线段AB 的中点． (1）求证：EF//平面B 1C 1D ；(2）若AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AA 1＝3AB ，求直线BC 与平面B 1DE 所成角的正弦值．19.（本小题满分12分）2019年某饮料公司计划从,A B 两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对,A B 两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图.从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[0,60)的受访者中有20%会购买，评分在[60,80)的受访者中有60%会购买，评分在[80,100]的受访者中有90%会购买. (Ⅰ)在受访的100万人中，求对A 款饮料评分在60分以下的人数（单位:万人）； (Ⅱ)现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率；(Ⅲ)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你理由.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，,A B 为椭圆C 上位于x轴同侧的两点，12AF F ∆的周长为6，12F AF ∠的最大值为π3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若1221πAF F BF F ∠+∠=，求四边形12AF F B 面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln f x x ax a x =-+- （I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()()()11122212,,P x f x P x f x xx <，存在()012,x x x ∈，使得函数()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：1202x x x +<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）（错题再现）22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：2=2sin 3ρρθ+，直线l ：sin()23πρθ+=.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为(0,4)，直线l 与曲线C 相交于M N 、两点，求22PM PN +的值23．设()311f x x x =-++的最小值为k . （1）求实数k 的值；（2）设m ，n ∈R ，224m n k +=，求证：2211312m n +≥+.答案一、1-5 DCDAD 6-10 BBCCC 11-12 BA二、13.552 14. 21- 15. 8 16. 三、17.（1）因为cos2cos22sin sin cos21B C B C A ++=+， 所以22212sin 12sin 2sin sin 12sin 1B C B C A -+-+=-+， 即222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，所以222b c a bc +-=，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为0A <<π，所以3A π=．因为322sin32aRA===，所以1R=，ABC△外接圆的面积为π．（2）因为1323sin24ABCS bc A bc===△，所以8bc=．所以222π2cos()253a b c bc b c bc bc=+-=+--=．19.19.(Ⅰ)由对A款饮料的评分饼状图，得对A款饮料评分在60分以下的频率为为0.050.150.2+=，∴对A款饮料评分在60分以下的人数为1000.220⨯=（万人）(Ⅱ)设受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性为事件C .记购买A 款饮料的可能性为20%为事件1A ；购买A 款饮料的可能性为60%为事件2A ；购买A 款饮料的可能性为90%为事件3A ；购买B 款饮料的可能性为20%为事件1B ；购买B 款饮料的可能性为60%为事件2B .购买B 款饮料的可能性为90%为事件3B . 则()10.050.150.2P A =+=，()20.10.20.3P A +==，()30.150.350.5P A +==， 由用频率估计概率得：()1550.1100P B +==，()215200.35100P B +==，()315400.55100P B +== Q 事件i A 与j B 相互独立，其中,1,2,3i j =.()()213132P C P A B A B A B ∴=++()()()()()()213132P A P B P A P B P A P B =++0.30.10.50.10.50.350.255=⨯+⨯+⨯=∴该受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率为0.255 ；(Ⅲ)从受访者对A ，B 两款饮料购买期望角度看：A 款饮料购买期望X 的分布列为：B 方案“选择倾向指数”Y 的分布列为：()0.20.20.60.30.90.50.67E X ∴=⨯+⨯+⨯=，()0.20.10.60.350.90.550.725E Y =⨯+⨯+⨯=，根据上述期望可知()()E X E Y <，故新品推介应该主推B 款饮料. ．19.(Ⅰ)12AF F ∆Q 的周长为6，226a c ∴+=，即3a c +=.①当A 为椭圆C 的上下顶点时，12F AF ∠最大为π3，此时12AF F ∆为等边三角形，2a c =.② 由①②及222a b c =+，解得2a=，3b =，1c =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=； (Ⅱ)1221πAF F BF F ∠+∠=Q ，12//AF BF ∴ ，延长1AF 交椭圆C 于点A '，由(Ⅰ)知1(1,0)F -，2(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)A x y '，直线AA '的方程为1x ty =-，联立方程221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 并整理得22(34)690t y ty +--=， 122634t y y t ∴+=+，122934y y t =-+，设1AF 与2BF 的距离为d ， 则四边形12AF F B 面积21211()()22F AA S AF BF d AA d S ∆'=+='=， 222121212121222169121()4()4()23434t t S F F y y y y y y y y t t +∴=-=-=+-=--=++，令21m t =+，则m ≥1，212121313m S m m m∴==++，Q 函数()S m 在[1,)+∞上单调递减，(0,3]S ∴∈，故四边形12AF F B 面积的取值范围是(0,3].（1）解：易得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()1221x x a a f x x a x x-+=-+='-， 令()0f x '=，得1x =或2ax =-. ①当0a ≥时，01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.此时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞. ②当20a -<<时，12ax -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 02ax <<-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 此时，()f x 的减区间为,12a ⎛⎫-⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞.③当2a =-时，0x >时，()()2210x f x x-'=>，函数()f x 单调递增；此时，()f x 的减区间为()0,+∞.综上，当0a ≥时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞： 当20a -<<时，()f x 的减区间为,12a ⎛⎫-⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.()1,+∞；当2a =-时，()f x 增区间为()0,+∞.（2）证明：由题意及导数的几何意义，得()()()1121021R P f x f x f x k x x =='--()()22222111211ln 1ln x ax a x x ax a x x x ⎡⎤⎡⎤-+---+-⎣⎦⎣⎦=-()211222ln2x a x x x a x x =+-+++由（1）中()f x '得()121212222x x a f x x a x x +⎛⎫=+-+- ⎪+⎭'⎝.易知，导函数()()21af x x a x=-+-' (0)a >在()0,+∞上为增函数， 所以，要证1202x x x +<，只要证()1202x x f x f +⎛⎫< ⎪⎝'⎭'， 即212112ln2x a x a x x x x <--+，即证()2121122ln x x x x x x ->+.因为210x x >>，不妨令21x t x =，则()()21ln 1t g t t t -=-+ (1)t >. 所以()()()()222114011t g t t t t t -=-=+'>+ (1)t >， 所以()g t 在()1,t ∈+∞上为增函数， 所以()()10g t g >=，即()21ln 01t t t -->+，所以()21ln 1t t t ->+，即ln 211t t t >-+， 即()2121122lnx x x x x x ->+. 故有1202x x x +<（得证）. 22（1）由曲线C ：2=2sin 3ρρθ+得直角坐标方程为22+y =23x y +， 即C 的直角坐标方程为：22+(1)=4x y -. 由直线l ：sin()23πρθ+=展开的sin cos 4ρθθ=，40y +-=．（2）由（1）得直线l 的倾斜角为23π.所以l的参数方程为1,24,x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C得：250t ++=.设交点M N 、所对应的参数分别为12t t 、，则1212+=5t t t t -⋅=22222121212+=(+)217PM PN t t t t t t +=-⋅=.23.（1）()42,1,31124,11,42,1,x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-+-<<⎨⎪-≥⎩当1x =时，()f x 取得最小值，即()12k f ==.（2）证明：依题意，2242m n +=，则()22416m n ++=. 所以22111m n ++()22221114116m n m n ⎛⎫⎡⎤=+++⨯ ⎪⎣⎦+⎝⎭()2222411561n m m n ⎡⎤+⎢⎥=+++⎢⎥⎣⎦(13562≥+=，当且仅当()2222411n m m n +=+，即22m =，20n =时，等号成立. 所以2211312m n +≥+.模拟试卷二满分150分 时间120分钟二、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、若全集R U =，集合{}{}01|,16|2≤-=<∈=x x B x Z x A ，则=)(B C A U I （ ）A 、{}41|<≤x xB 、{}41|<<x xC 、{}321，， D 、{}32， 2.已知命题xxR x p 23,:>∈∀，命题:q 若△ABC 中，7,8,5===c b a ,则20-=⋅CA BC ，则下列命题正确的是（ ）A.q p ∧B.q p ∧⌝)（ C.)(q p ⌝∨ D.)()q p ⌝∧⌝（ 3.已知0cos 2sin =-θθ，则=-θθ2sin sin 32（ ）A.58B.516 C.2D.514 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，176,330,2244===-n n S S S ，则=n ( ) A 、14 B 、15 C 、16 D 、175.若函数()()f x x πω=-5sin 2x πω⎛⎫++⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ- 的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A. 22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B. 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C. 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D. ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈6．若ny x )3(+展开式的系数之和等于()107a b +展开式的二项式系数之和，则n 的值为（ ）． A ．15B ．10C ．8D ．57．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ．命题甲：A C B +=，且2a c b +=，命题乙：ABC △是等腰直角三角形，且B 为直角．则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，44a =，则当262a a +取得最小值时，2log q =（ ） A.14B. 14-C.18D. 18-9.函数2sin(4)241x xx y π⋅+=-的图象大致为（ ）A.B.C. D.10．已知6log 2a =，0.6log 0.2b =，0.20.6c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<11．（错题重现）设A 1、A 2为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的点P ，使得02=⋅PA PO ，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A 、)21,0( B 、 )22,0( C 、)1,21( D 、)1,22( 12.若存在正实数,使得关于的方程有两个不等的实根（其中是自然对数的底数）,则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()3log 11n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为_____．14．已知直线l :y =k (x -2)与抛物线C :y 2=8x 交于A ,B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|AF |=3|BF |，则直线l 的倾斜角为_________.15．已知正三棱柱111ABC A B C -底面边长为233，圆O 是三角形ABC 的内切圆，点P 是圆O 上任意一点，则三棱锥111P A B C -的外接球的体积为__________．16.已知(),a xb yc x y =+∈R r r r，22a b c ===r r r ，()1c a b a b ⋅+=⋅+r r r r r ，则a b -r r 的取值范围是 ．四、解答题：（本大题共6小题，共70分）17（错题重现）.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M 的极坐标为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，若点M 是曲线C 截直线l 所得线段的中点，求l 的斜率．18．如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ,3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2CD DE ==，22CE EB ==．（1）证明：ED ⊥平面PCD ； （2）求二面角A PD C --的余弦值．19、如图,在梯形ABCD 中,已知,2tan ,4,102,1,//-=∠=∠==ADC CAD BD AD BC AD π求：CD )1(的长；BCD ∆)2(的面积．20.已知数列{}n a 中，3,921==a a ，且)(|,2sin |2|)2cos |21(*2N n n a n a n n ∈-+=+ππ. 18．判断数列{}n a 2是否为等比数列，并说明理由； 19．若12121+-=n n n a a b ，求{}n b 的前n 项和n S .21．（12分）已知椭圆()222210+=>>x y a b a b过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，P ，且左焦点与抛物线24=-y x的焦点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线():0=+≠l y kx m k 与椭圆交于不同的两点M 、N ，线段MN 的中点记为A ，且线段MN 的垂直平分线过定点108⎛⎫ ⎪⎝⎭，G ，求k 的取值范围．22.已知函数2()ln 2()f x x a x x a R =+-∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <且12()0f x mx -≥恒成立,求实数m 的取值范围.PEDCBA参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.13. 8,123,2n n n a n =⎧=⎨⨯≥⎩14.3π或23π 16. 1⎤⎦ .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.解：（Ⅰ）当π2α=时，直线l 的直角坐标方程为0x =；（2分） 当π2α≠时，直线l 的直角坐标方程为tan 1yx α=+． （4分） （Ⅱ）点M 的直角坐标为(01)，，曲线C 的直角坐标方程为22230x y x ++-=，（6分） 把cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入曲线C 的直角坐标方程，化简得22(sin cos )20t t αα++-=，由120t t +=，得tan 1α=-，所以直线l 的斜率为1-．（10分） 18.（本小题满分12分）（1）证明：因为PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PC DE ⊥.…………1分由2,CE CD DE ===CDE ∆为等腰直角三角形，故CD DE ⊥．………………2分又PC CD C =I ，且PC ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，……3分故DE ⊥平面PCD ．……………4分（2）解：如图所示，过点D 作DF 垂直CE 于F ， 易知1DF FC FE ===，又1EB =，故2FB =．由2ACB π∠=，得//DF AC ，23DF FB AC BC ==， 故3322AC DF ==．………………………………5分以点C为坐标原点，分别以CA u u u r ，CB u u u r ，CP u u u r的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系C xyz -， (6)PEDCBA分(0,0,0)C ，(0,0,3)P ，3(,0,0)2A ，(0,2,0)E ，(1,1,0)D ，1(1,1,0),(1,1,3),(,1,0)2ED DP DA =-=--=-u u u r u u u r u u u r ……7分设平面PAD 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，则10n DP ⋅=u r u u u r，即1111130102x y z x y --+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，……………………………………8分令12x =，则111,1y z ==，故可取1(2,1,1)n =u r．…………9分由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n u u r 可取为ED u u u r，即2=(1,1,0)n -u u r.………10分则1212123cos ,626||n n n n n n ⋅===⨯u r u u ru r u u r u r u u r ，……11分 又二面角A PD C --为锐二面角，所以二面角A PD C --的余弦值为3．………12分 19.解：,,．在中,由正弦定理得,即,解得．,,,．在中,由余弦定理得,F yz xPEDCBA即,解得或舍．．21.22【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞,222'()22a x x af x x x x-+=+-=,令2220x x a -+=,484(12)a a ∆=-=-,1︒若12a ≥时,0∆≤,'()0f x ≥在(0,)+∞恒成立,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. 2︒若12a <,>0∆,方程2220x x a -+=,两根为1x =2x =, 当0a ≤时,20x >,2(,)x x ∈+∞,'()0f x >,()f x 单调递增. 当102a <<时,1>0x ,20x >, 1(0,)x x ∈,'()0f x >,()f x 单调递增,2(,)x x ∈+∞,'()0f x >,()f x 单调递增.综上,12a ≥时,函数()f x 单调递增区间为(0,)+∞, 0a ≤时,函数()f x单调递增区间为)+∞, 102a <<时,函数()f x单调递增区间为1(0,2-,1()2+∞. （2）由（1）知,()f x 存在两个极值点1212,()x x x x <时,102a <<且121x x =+,122a x x ⋅=,则1112ax x +=,()1121a x x =-,且1102x <<,2112x <<. 此时()120f x mx -≥恒成立,可化为()()21111112121ln 21f x x x x x x m x x +--≤=- ()()11111111121ln 11x x x x x x x -+-+--=-1111112ln 1x x x x =-++-恒成立,设1()12ln 1g x x x x x =-++-,1(0,)2x ∈,2221(1)1'()122ln 2ln (1)(1)x g x x x x x --=-++-=+--2(2)2ln (1)x x x x -=+-, 因为102x <<,所以(2)0x x -<,2ln 0x <,所以'()0g x <,故()g x 在1(0,)2单调递减,13()ln 222g x g ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭,所以实数m 的取值范围是3(,ln 2]2-∞--.模拟试卷三一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数Z 满足31-i =1+2i Z （），则Z =( )A.104B2. C.102 D.32.已知集合{}=|10A x x -<，{}2|20B x x x =-<，则A B =IA.{}|0x x <B.{}|1x x <C.{}|01x x <<D.{}|12x x <<3.已知数列{}n a 是等差数列，n n s a n 是数列的前项和，26s 9a +=，则5s 的值为（ ） A.10 B15 C.30 D.34.直线240x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为( ) A ．25B ．12C ．5 D ．235.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则A.()()P A P M >B.()()P A P M <C.()()P A P M =D.()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．3223B ．6423C ．323D ．6437设函数21()9ln 2f x x x =-在区间[1,1]a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．(1,2]C ．(0,3]D ．(4,)+∞8.函数()21x f x x-=的图象大致为 A.B. C. D.9.已知函数f(x)为定义域在R 上的偶函数，且0()ln 2x f x x x >=+-当，，则(1)(1)f f '-+-的值为（）A.1 B 1- C.3 D.3-10．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN ⊥l ，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若|MD |=3，则抛物线方程是（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x = 11.六棱锥P-ABCDEF 底面为正六边形，且内接于球o ，已知PD 为球o 的一条直径，球o 的表面积为163π，60POA ∠=o ,则六棱锥的体积为（ ） A.4 B 2 C. 12 D.1 12.已知函数1()(sin cos )cos 22f x a x x x x =-++,若f （x ）在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的范围是（）A. []1,2 B [)0+∞， C.[]0,2 D.[]0,1二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13、若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤+-≥+-02201202y x y x y x ，则y x z -=3的最大值为______.14.已知单位向量12,e e u v u u v ，向量12,e e u v u u v 夹角为23π，则122e e -u v u u v = 15.已知函数()04sin )(>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f ，若)(x f 在02π（，）上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______.16.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21(),*,2n n a S n N +=∈定义数列{}n b ：对于正整数m ,m b 是使得不等式2m n a ≥成立的n 的最小值，则{}n b 的前10项和是__________．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且124a a a 、、成等比数列.(1) 求数列{}n a 的通项公式n a ；(2) 设数列{}n b 满足()21n na n nb a =+-， n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T . 18.（12分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a bc ，已知ABC △的面积为A b S tan 612=. （1）证明：A c b cos 3=（2）若,22,2tan ==a A 求S19.（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，点E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）若直线BD 与平面PBC 所成角为︒30，求二面角D PB C --的大小.20．已知函数()2ln f x a x x bx =++在()()1,1f 处的切线方程为0y =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间：（Ⅱ）关于x 的方程()0f x m -=在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭范围内有两个解，求m 的取值范围. 21.已知椭圆C : 22221x y a b +=的右焦点为(1,0)F，离心率e =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在横坐标大于1的定点M ，使得119MA MB =-u u u r u u u r g 恒成立？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．22.已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()f x '为()f x 的导数，且()()g x f x '=. 证明：（1）()g x 在22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一零点t ； （2）()2f x <.（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈-， 1.4142≈，3.14π≈.）答案选择题答案1----6 CCBACC 7---12 BDDBDD填空题：15.913,88⎛⎤ ⎥⎝⎦16. 1033 17.()1由题可知10,1d a >=，且2142a a a ⋅=.........................2分即()()21113a a d a d ⋅+=+.........................3分可得211,1a d d a d ===........................4分 ()*11,n a a n d n n N ∴=+-⋅=∈.........................5分()2()21n n n b n =+-()()12222221234212n n T n n =++⋅⋅⋅++-+-+-⋅⋅⋅--+⎡⎤⎣⎦.........................7分()221212n n -=+-.........................9分2122n n +=+-.........................10分1820解：（I ）函数()2ln f x a x x bx =++， 则()2a f x x b x'=++且0x >..........................1分 因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为0y =，所以()110f b =+=则1b =-，()1210f a '=+-=则1a =-.........................3分()2ln f x x x x =-+-所以，()121f x x x -'=+-=()()221121x x x x x x+---=..........................5分当01x <<时()0f x '<故()f x 为单调递减，当1x <时()0f x '>故()f x 为单调递增. 所以函数()f x 单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞..........................6分（II ）因为方程()0f x m -=在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭范围内有两个解， 所以()y f x =与y m =在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭又两个交点.........................7分 由（I ）可知()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，在[)1,+∞单调递增..........................10分所以()f x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有极小值为()10f =，且21111f e e e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭..........................11分 又因为当x 趋于正无穷大时，()f x 也趋于正无穷大.所以21101m e e<≤+-..........................12分21．（1）∵ 1c =，c e a ==， ∴a =.........................2分 ∴ 2222b a c =-=． ∴ 椭圆方程为22132x y +=． .........................4分 （2）假设x 轴上存在点M (m ,0),使得119MA MB ⋅=-u u u r u u u r ,①当直线l 的斜率为0时, (,0)A ,(0)B ,则211((39MA MB m m m ⋅=⋅=-=-u u u r u u u r , 解得 43m =±．........................5分②当直线l 的斜率不存在时, (1,3A ,(1,3B -,则2411(1,)(1,(1)3339MA MB m m m ⋅=-⋅--=--=-u u u r u u u r , 解得 23m =,43m =． 由①②可得43m =．.........................6分 下面证明43m =时, 119MA MB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立. 直线l 斜率存在时,设直线方程为(1)y k x =-.由22(1)236y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消y 整理得: 2222(32)6360k x k x k +-+-=, 2122632k x x k +=+,21223632k x x k -=+,.........................8分 2221212121224(1)(1)[()1]32k y y k x x k x x x x k -=--=-++=+..........................9分112244(,)(,)33MA MB x y x y ⋅=-⋅-u u u r u u u r 121212416()39x x x x y y =-+++222222364616432332932k k k k k k --=-⋅+++++2296161611332999k k --=+=-+=-+.........................11分综上,x 轴上存在点4(,0)3M ，使得119MA MB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.....................12分。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷3套模拟试卷一第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合，则中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4 2、已知复数满足:i i z +=-1)1(2（i 为虚数单位），则z为（ ）A ．21B ．22C ．2D ．13、下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞c ，则“ab 2＞cb 2”B ．命题“对任意x ∈R，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R，有x 2≤0” C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件 D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β4、已知函数()()()210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩，则下列结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[1,)-+∞ 5、能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“等分函数”，下列函数不是圆的“等分函数”的是 A ．f (x )＝3x B ．C ．D ．6、如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x －y ＋3＝0平行，则双曲线的离心率为 A ．3B ．2C ． 3D ． 27、已知函数f (x )＝23sin(π－x )·cos x ＋2cos 2x －1，其中x ∈R，则下列结论中正确的是A ．f (x )是最小正周期为π的奇函数;B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π2C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π6上单调递增D ．将函数y ＝2sin 2x 的图象左移π6个单位得到函数f (x )的图象 8、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为A ．4B ．3C ． 5D ．29、在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是A ．A 1O ∥D 1CB ．A 1O ⊥BCC ．A 1O ∥平面B 1CD 1D ．A 1O ⊥平面AB 1D 110、2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： ①a 1＋c 1＝a 2＋c 2； ②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 2>a 1c 2. ④c 1a 1<c 2a 2其中正确式子的序号是 A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④11、已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为A ．B ．C ．D ．12、设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.13、已知函数f (x )＝log a (x －2)＋4(a >0且a ≠1)，其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________. 14、等差数列{}n a 中，3a ，7a 是函数f （x ）=x 2﹣4x+3的两个零点，则{}n a 的前9项和等于 .15、已知向量a ＝(x ，-1)，b ＝(y ，x 2+4)且a ⊥b ，，则实数y 的取值范围是 .16、已知椭圆192522=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2内切圆的半径为 .三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.17、(本题满分12分)已知锐角ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2cos cos a b Bc C-=. （1）求角C 的大小；（2）求函数sin sin y A B =+的值域.18.（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且532a =, 6347S S a -=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE折起到1∆A BE 的位置，如图2． （1）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（2）若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为21，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()01G ,作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求ABD △ 的面积S 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈.（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，()(0,),2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的最大值.22、（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=,直线l 的参数方程为 为参数）(42222-1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t t y t x (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)求曲线C 上的点M 到直线l 的最大距离。
高三数学模拟试题理科
高三数学模拟试题理科一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像与x轴有两个交点，则下列说法正确的是：A. △ > 0B. △ = 0C. △ < 0D. △ ≤ 02. 已知点A(1,2)，B(4,6)，则直线AB的斜率k为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数y = log_a x（a > 0, a ≠ 1）的图像不经过的象限是：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 若sinθ + cosθ = 1/2，θ ∈ [0, π]，则tanθ的值为：A. -3B. 3C. 1/3D. -1/35. 已知等差数列{an}的前n项和为S_n，若S_3 = 9，S_4 = 16，则该数列的公差d为：A. 3B. 2C. 1D. -16. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点坐标为(±c, 0)，若c^2 = a^2 + b^2，则该双曲线的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. 1二、填空题（每题4分，共20分）7. 已知等比数列的首项为2，公比为3，其第五项为______。
8. 若函数g(x) = √x + 1的定义域为[0, +∞)，则g(1/4)的值为______。
9. 已知圆心在原点，半径为2的圆的方程为______。
10. 若直线l：y = 3x + b与圆x^2 + y^2 = 25相切，则b的值为______。
11. 已知正弦函数的周期为π，那么该函数的最小正周期为______。
三、解答题（共50分）12.（10分）设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求函数f(x)的单调区间及极值。
13.（10分）已知某工厂生产的产品在t年时的产量为Q(t) = 200 +50t - 5t^2，求该工厂在第3年和第4年的总产量。
14.（15分）已知三角形ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(4,3)，C(-1,-1)，求三角形ABC的面积。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题 共60分） 1、设集合}03|{2<-=x x x A ，}41|{<<=x x B ，则=B A I .A )4,0( .B ），（41 .C ），（43 .D )3,1( 2、若复数z 满足i iiz 311--+=（其中i 为虚数单位），则=z .A 2 .B 3 .C 10 .D 43、已知n m ,是两条不同的直线，γβα，,是三个不同的平面，则下列命题正确的是 .A 若αα//,//n m ，则n m // .B 若γβγα⊥⊥,，则βα//.C 若αα//,//n m ，且ββ⊂⊂n m ,，则βα// .D 若βα⊥⊥n m ,，且βα⊥，则n m ⊥4、设6.02=a ，6.0log 3.0=b ，6.0log 3=c ，则有.A a b c << .B c b a << .C a c b << .D b a c <<5、已知向量b a ρρ，满足3,2==b a ρρ，且a ρ与b ρ的夹角为3π，则=-+)2)(2(b a b a ρρρρ.A 3- .B 1- .C 1 .D 36、已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的左、右焦点分别为21,F F ，B 为虚轴的一个端点，且︒=∠12021BF F ，则双曲线的离心率为.A 2 .B 3 .C23.D 267、执行如右图所示的程序框图，则输出的=n.A 3 .B 4 .C 5 .D 68、从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为 .A 51 .B 52 .C 53 .D 54 9、等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且321,2,4a a a 成等差数列，若11=a ，则=5S .A 15 .B 16 .C 31 .D 32 10、将奇函数)2cos(2sin 3)(ϕϕ+-+=x x x f ）（（πϕ<<0）的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数)(x g y =的图象，则下列关于)(x g 的一个单调递减区间是.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-125,12ππ .B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ .C ⎪⎭⎫ ⎝⎛127,12ππ .D ⎪⎭⎫⎝⎛1211,125ππ 11、已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点F ，点⎪⎭⎫⎝⎛>2)66,(00p x x M 是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若75sin =∠MFA ，则抛物线C 的方程为 .A x y 42= .B x y 82= .C x y 122= .D x y 162=12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=22)(x x x f 0<≥x x ，，，若对任意]32,2[+∈m m x ，都有)(3)(x f m x f ≥+，则实数m 的取值范围是.A ),4[+∞ .B ),32[+∞ .C ),3[+∞ .D ),22[+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13、若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为_______14、已知543cos -=⎪⎭⎫⎝⎛+πα，α为锐角，则=αsin _______ 15、已知数列}{n a 满足：⎩⎨⎧+=+221n n n a a a 11a a a a n n <≥，，（*N n ∈），若33=a ，则=1a ____16.如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，AB =3,AD =4,AA 1=5，点E 为CC 1上的一个动点，平面BED 1与棱AA 1交于点F ，给出下列命题： ①四棱锥B 1-BED 1F 的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形BED 1F 的周长取得最小值742； ③当E 点不与C ，C 1重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得CG//平面BED 1 ④存在唯一一点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1，且561=CE 其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）三、解答题：第17~21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17、△ABC 的内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且ba Ab Cc B A ++=+sin 3sin sin sin（Ⅰ）求∠C 的值 （Ⅱ）若2=c ，求△ABC 面积的最大值；18、如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD//BC ，∠BAD=90°，AD=2BC ，M 为PD 的中点 （Ⅰ）证明：CM//平面PAB（Ⅱ）若△PBD 是等边三角形，求二面角A-PB-M 的余弦值19、“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（x 亿件：精确到0.1）及其增长速度（y %）的数据（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t ：1，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程a x b yˆˆˆ+=； （Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：∑∑==--=ni ini ii x n xy x n yx b1221ˆ，x b y aˆˆ-=20、已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点()22，，左焦点F )0,2(-（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4-=x 上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由21、已知函数)(ln 12)(2R a x a xx x f ∈--= （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若方程x x f 2)(=有两个不相等的实数根，求证：2)(2+<eaa f 选考题：共10分，二选一22、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：0422=-+x y x ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数），其中⎪⎭⎫⎝⎛∈6,0πα，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R U =，集合}5,4,3,2,1,0{=A ，}2|{≥=x x B ， 则图中阴影部分所表示的集合 A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于 实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为 A ．1i + B ．1i -C ．1i --D ．1i -+3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 A ．3213log 2+ B ．2log 3C ．4D ．24．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的焦点在x 轴上，且椭圆C 7，面积为12π，则椭圆C 的方程为 A ．22134x y += B ．221916x y +=C ．22143x y +=D ．221169x y +=5．已知()(1)(2)2f k k k k k =+++++⋯+（k *∈N ），则 A ．(1)()22f k f k k +-=+ B ．(1)()33f k f k k +-=+ C ．(1)()42f k f k k +-=+D ．(1)()43f k f k k +-=+6．已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则52)a π=A．BC．D．-7．设抛物线2y 4x =-的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜||PF = A ．23 B ．43C ．73D ．48．若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---= A．3-B．3C ．43-D ．439．已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==2==AC BD，AD BC ==点在同一个球面上，则此球的体积为 A ．32π B ．24πCD ．6π10．在Rt ABC ∆中，已知90,3,4,C CA CB P ∠===o 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，则11x y+的最小值为 A ．76B ．712C．712+D．76+11．已知函数()y f x =是(11)-，上的偶函数，且在区间(10)-，上是单调递增的，A 、B 、C 是锐角三角形ABC △的三个内角，则下列不等式中一定成立的是 A ．(sin )(sin )f A f B > B ．(sin )(cos )f A f B > C ．(cos )(sin )f C f B >D ．(sin )(cos )f C f B >12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4,e-∞D ．()4,e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则a 的值为______.14．已知实数x ，y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，且z =2x -y 的最大值为a ，则dx xa e⎰1=______．15．已知点()2,0A -，()0,4B ，点P 在圆()()22:345C x y -+-=上，则使90APB ∠=︒ 的点P 的个数为__________.16．已知函数()22log ,02()3,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x a =有4个不同的实数根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则434123x x x x x x ++的取值范围是____． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套模拟试卷一第Ⅰ卷一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分） 1．1．已知集合，{}R x x y y B ∈==,2，则=⋂B A =（ ）A ．B ．[)()+∞⋃,31,0C ．（0,3）D ．（1,3）2．若Z=（1+i ）i （为虚数单位），则的虚部是（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．-i3．若a ∈R ，m R ∈且0m >。
则“a ≠m ”是“a ≠m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．设等差数列{}n a 的前项和为 n S ，42,a a 是方程的两个根，则=5S （ ）A ．B ．C ．D ．5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a=（ ）A ．0B ．2C ．4D ．146．已知双曲线C ：的渐近线方程为，且其右焦点为（5,0），则双曲线C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．7．动点(,)P x y 满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．58．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ）A ．B ．C ．D ．9. )sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ，0>ω，2||πϕ<）的图象如图，为了得到2cos 2y x =的图象，只要将)(x f 的图象A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度10. 函数的零点个数为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．311. 若()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=⎰mx dt t x x x x f 021,321,ln ，且()()10=e f f ，则m 的值为( ) A ． 2 B ．1- C ． 1 D ．2-12. 若函数()()x g x f ,满足()()022=⎰-dx x g x f ，则称()()x g x f ,为区间[]2,2-上的一组正交函数.给出四组函数：① ()()x x g x x f cos ,sin ==； ② ()()1,122-=+=x x g x x f ； ③ ()()1,+==xxe x g e xf ； ④()()2,21x x g x x f ==. 其中为区间[]2,2-上的正交函数的组数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．14. 二项式663⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ax 的展开式的第二项的系数为3-，则a 的值为___________.15. =⋅=⋅=∠→→→→AB AC AC AD AC CAB ABCD O则中，在矩形,,30 16. 定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列}{n a 满足11-=a ，且12+=na n S nn ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则)()(65a f a f += . 三、解答题（17题—21题每题12分，22、23、24题选作10分，共70分。
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一、选择题： 1. 10i2-i=A.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B I = A.∅B.()3,4C.()2,1-D.()4.+∞解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x Bx x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=I .故选B. 3. 已知ABC ∆中，12cot5A =-， 则cos A = A. 1213 B.513C.513-D.1213-解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.12cos 13A ===-故选D. 4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A.20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --=解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.B.15C.D.35解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D Q ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。
在1A BE ∆中由余弦定理易得1310cos 10A BE∠=。
故选C6. 已知向量()2,1,10,||52a a b a b =⋅=+=，则||b =A.5 B.10 C.5D.25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++r r r r r r r Q g||5b ∴=r。
故选C 7. 设323log ,log 3,log 2a b c π===，则A.a b c >> B.a cb >>C.b ac >>D.b c a >>解：322log 2log 2log 3b c <<∴>Q2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A.8. 若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为A ．16B.14C.13D.12解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x πππππωωω⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位 164()662k k k Z ππωπωπ+=∴=+∈∴-， 又min102ωω>∴=Q .故选D 9. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x=相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =A. 13B.2 C. 23D.22解：设抛物线2:8C y x=的准线为:2l x =-直线()()20y k x k =+>恒过定点P()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,于N , 由||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB,则1||||2OB AF =,||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为22022(1,22)k -∴==, 故选D 10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。
则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A. 6种B. 12种C. 30种D. 36种解：用间接法即可.22244430C C C ⋅-=种. 故选C11. 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．65 B. 75C.58 D. 95解：设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N,BD AM D ⊥于,由直线AB的斜率为3,知直线AB的倾斜角为16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=, 由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-u u ur u u u r 11||(||||)22AB AF FB ==+u u ur u u u r . 又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴=u u u r u u u r Q 故选A12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。
现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“∆”的面的方位是 A. 南 B. 北C. 西D. 下BN l ⊥解：展、折问题。
易判断选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡上。
13.()4xy y x-的展开式中33x y 的系数为 6 。
解：(4224x y =，只需求4展开式中的含xy 项的系数：246C =14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95SS = 9 .解：{}n a Q为等差数列，9553995S a S a ∴== 15.设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。
若圆C 的面积等于74π，则球O 的表面积等于8π.解：设球半径为R ，圆C 的半径为r ，2277.444r r ππ==,得由因为2R OCR ==。
由222217)84R R r R =+=+得22R =.故球O 的表面积等于8π. 16. 已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(M ,则四边形ABCD的面积的最大值为 。
解：设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+.四边形ABCD的面积22121||||8()52S AB CD d d =⋅=≤-+= 三、解答题： 17设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B 。
分析：由3cos()cos 2A CB -+=，易想到先将()B AC π=-+代入3cos()cos 2A C B -+=得3cos()cos()2A C A C --+=然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4A C =；又由2b ac =，利用正弦定理进行边角互化，得2sin sin sin B A C =，进而得sin B =.故233B ππ=或。
大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23B π=时，由1cos cos()2B A C =-+=-，进而得3cos()cos()212A C A C -=++=>，矛盾，应舍去。
也可利用若2b ac =则b a b c ≤≤或从而舍去23B π=。
不过这种方法学生不易想到。
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC （I ）证明：AB AC =（II ）设二面角A BD C --为60°，求1BC 与平面BCD 所成的角的大小。
（I ）分析一：连结BE ，111ABC A B C -Q为直三棱柱， 190,B BC ∴∠=︒E Q 为1B C 的中点，BE EC ∴=。
又DE ⊥平面1BCC ， BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ，AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）。
分析二：取BC 的中点F ，证四边形AFED 为平行四边形，进而证AF ∥DE ，AF BC ⊥，得AB AC =也可。
分析三：利用空间向量的方法。
具体解法略。
（II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可。
作AG BD ⊥于G ，连GC ，则GC BD ⊥，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，60AGC ∠=︒.不妨设23AC =，则2,4AG GC ==.在RT ABD∆中，由AD AB BD AG ⋅=⋅，易得6AD =.设点1B 到面BDC 的距离为h ，1B C 与平面BCD 所成的角为α。
利用11133B BC BCD S DE S h ∆∆⋅=⋅，可求得h =23，又可求得143B C =11sin 30.2h B C αα==∴=︒ 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.︒分析二：作出1B C 与平面BCD 所成的角再行求解。
如图可证得BC AFED ⊥面，所以面AFED BDC ⊥面。
由分析一易知：四边形AFED 为正方形，连AE DF 、，并设交点为O ，则EO BDC ⊥面，OC ∴为EC 在面BDC 内的射影。
ECO ∴∠即为所求。
以下略。
设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+（I ）设12nn n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式。
解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142nn S a -=+．．．．．②②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12nn n b a a +=-Q ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n n a 是首项为12，公差为34的等比数列．∴1331(1)22444n na n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅ 评析：第（I ）问思路明确，只需利用已知条件寻找1n nb b -与的关系即可．第（II ）问中由（I ）易得11232n n na a -+-=⋅，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,n n n a pa q p q +=+为常数)，主要的处理手段是两边除以1n q +．20（本小题满分12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。