江苏省南京师范大学附属中学2020届高三年级一模前测试卷(12月)数学试题含附加题(6页)

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2020届江苏省南京师大附中高三年级模拟数学试题(解析版)

点 N 在线段 OA 的延长线上，设 N (a, 2a), a 1 ，
当 a = 4 时， N (4,8), S = 16 ，
当 a 1，且 a 4 时，直线 MN 方程为
y − 2 = 2a − 2 (x − 4) ，令 y = 0, x = 4 − a − 4 = 3 + 3 ，
a−4
a −1 a −1
an = 3n−1, S3 = 1+ 3 + 9 = 13 .
故答案为:13. 【点睛】
本题考查等比数列通项基本量的运算，数基础题.
9．已知 F1, F2
是椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的左，右焦点， A
是C
的左顶点，点 P
在过 A 且斜率为 3 的直线上，PF1F2 为等腰三角形，F1F2 P = 1200 ，则 C 的离心 6
____________. 【答ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】12
【解析】求出直线 OA 方程，设点 N 坐标，求出直线 MN 的方程，进而求出直线 MN 与 x 轴交点的坐标，将所求三角形的面积 S 表示成 N 点坐标的函数，根据函数特征，利
用基本不等式求出最小值. 【详解】
点 A(1, 2) ，直线 OA 方程为 y = 2x ，
所以 sin C 的最大值为 34 . 6
故答案为: 34 . 6
【点睛】
本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于
中档题.
4x −1 , x 1
14．已知函数
f
(x)
=
6
，若方程 f ( f ( x)) = a 恰有 5 个不同的实数根，

2020年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷(理科)

2020年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．集合A={0，e x}，B={﹣1，0，1}，若A∪B=B，则x=___________．【点睛】根据A∪B=B，得A⊆B，是解题的关键．【答案】0【解析】因为A∪B=B，所以A⊆B，由题意，集合A={0，e x}，B={﹣1，0，1}，所以e x=1，所以x=0．故答案为：0．【点评】本题考查集合的运算，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z12ii+=（i是虚数单位），则z的虚部是___________．【点睛】先进行复数的乘除运算，化简后即可得到答案．【答案】﹣1【解析】由题意得z()212i i i22ii1+-===--，所以z的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的基本概念与乘除运算，是基础题．3．log24+log42=___________．【点睛】熟记对数运算的性质．【答案】5 2【解析】原式=22242loglog+=21522+=．故答案为：52．【点评】本题考查对数运算的性质，考查计算能力，是基础题．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为___________．【点睛】该流程图的功能：利用循环结构来输出变量s 的值；看懂程序框图即可解决问题．【答案】56【解析】由程序框图得：第一次运行：k =1时，()1111111122s =+-⨯=-=+；第二次运行：k =2时，111151212236s =+⨯=+=+；第三次运行：此时k =3满足条件k ≥3，结束循环，输出的s 值为56，故答案为：56．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．在△ABC 中，a =4，b =5，c =6，则sin2sin AC=___________．【点睛】利用正余弦定理、二倍角公式即可得出结论．【答案】1【解析】△ABC 中，a =4，b =5，c =6，由余弦定理得cos A 25361632564+-==⨯⨯；由正弦定理、二倍角公式得sin2sin A C =2sin cos sin A A C =2cos ca A=32446⨯⨯=1．故答案为：1．【点评】本题考查二倍角公式、正余弦定理，考查学生的计算能力，基础题．6．已知函数()()()sin f x x x ϕϕ=++，0≤φ≤π．若f （x ）是奇函数，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为___________．【点睛】先利用辅助角公式化简，再由f （x ）的奇偶性求出φ，可得π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．【答案】﹣1【解析】由辅助角公式化简得()()()12sin 2f x x x ϕϕ⎡⎤=⨯++=⎢⎥⎣⎦2sin （x +φπ3+）；因为0≤φ≤π， f （x ）是奇函数，则φ2π3=；∴f （x ）=2sin （x +π）=﹣2sin x ；所以π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin π6=-1.故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的奇偶性，属于基础题．7．已知f （x ）=|log 3x |，若a ，b 满足f （a ﹣1）=f （2b ﹣1），且a ≠2b ，则a +b 的最小值为___________．【点睛】先推出（a ﹣1）（2b ﹣1）=1，整理得a +b 2222a aa -=-；再利用导数求函数的最值．【答案】32+【解析】由f （x ）=|log 3x |， f （a ﹣1）=f （2b ﹣1），且a ≠2b ，得（a ﹣1）（2b ﹣1）=1，则b 22a a =-且a ﹣1>0，即a >1；所以a +b =a 222222a a a a a -+=--；构造函数g （x ）2222x x x -=-，则g ′（x ）22482(22)x x x -+=-，令g ′（x ）=0，则x =1±2；当x ∈（1，12+）时，g ′（x ）<0，当x ∈（12+，+∞）时，g ′（x ）>0；故当x =12+g （x ）取最小值32+a +b 的最小值为32+故答案为：32+ 【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，导数法求函数的最值，难度中档．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___________．【点睛】先算基本事件总数N =3×3=9，再算所求基本事件个数n =2×2=4，即可求得概率．【答案】49【解析】由题意得基本事件总数N =3×3=9；黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件个数n =2×2=4，所以黑白两球均不在1号盒子的概率为P 49n N ==．故答案为：49．【点评】本题考查古典概型，考查学生的运算求解能力，是基础题．9．若抛物线x 2=4y 的焦点到双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为___________．【点睛】先求出抛物线的焦点与双曲线的渐近线，再由点到线的距离公式即可求出双曲线的离心率．【答案】3【解析】由题意得x 2=4y 的焦点为（0，1），双曲线C 的一条渐近线方程为y ba=x ，由点到线的距离公式得13a c==，所以e c a ==3.故答案为：3．【点评】本题考查圆锥曲线的性质，考查学生的计算能力，是基础题．10．设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β．其中的正确命题序号是___________．【点睛】①α与β平行或相交；②由面面垂直的判断定理得α⊥β；③n ⊂α或n ∥α；④由线面垂直的判定定理得m ⊥β．【答案】②④ 【解析】由题意得①若m ∥α，m ∥β，则α与β平行或相交，所以①错误；②若m ⊥α，m ∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，所以②正确； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ⊂α或n ∥α，所以③错误；④若m ⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，所以④正确．其中的正确命题序号是②④. 故答案为：②④．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间想象能力，是中档题．11．设x >0，y >0，向量a =r （1﹣x ，4），b =r （x ，﹣y ），若a r ∥b r，则x +y 的最小值为___________．【点睛】由向量平行得14x y+=1，再由基本不等式即可求出最值．【答案】9【解析】因为a r ∥b r，所以4x +（1﹣x ）y =0，整理得14x y+=1；又x >0，y >0，所以x +y =（14x y +）（x +y ）=54y xx y++≥9．当且仅当x =3，y =6时，等号成立，即x +y 的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查向量平行与基本不等式，属于基础题．12．在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP u u u r |=|CA u u r |=4，∠ACB 2π3=，则CP u u u r •CA =u u r _____．【点睛】先用CACBu u r u u u r ，表示CP u u u r ，再计算CP u u u r •CA u u r的值．【答案】6【解析】∵点P 是边AB 的中点，∴1122CP CA CB =+u u u r u u r u u u r，两边同时平方得222111424CP CA CA CB CB =+⋅+u u u r u u r u u r u u u r u u u r ，代入数据得3=412π14cos 234CB +⨯⨯⨯+⨯u u u r |CB u u u r |2，解得|CB u u u r |=2；∴CA CB ⋅=u u r u u u r 4×2×cos 2π3=-4，∴CP u u u r •CA =u u r （1122CA CB +u u r u u ur ）21122CA CA CB CA ⋅=+⋅=u u r u u r u u u r u u r 6．故答案为：6．【点评】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，是中档题． 13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2（a +c ）b ﹣ac =0，则ba c+的最大值为___________．【点睛】由已知条件得（b +a +c ）2=ac +（a +c ）22()4a c +≤+（a +c ）254=（a +c ）2是解决本题的关键．【答案】22【解析】由b 2+2（a +c ）b ﹣ac =0得（b +a +c ）2=ac +（a +c ）22()4a c +≤+（a +c ）254=（a +c ）2，两边同时开方得b +a +c ≤a +c ），所以b ≤a +c ），即b a c ≤+，当且仅当a =c 时取等号．所以ba c+.．【点评】本题考查基本不等式及其应用，属中档题．14．若2101m x mx -<+（m ≠0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是___________．【点睛】先将分式不等式转化为一元二次不等式，再对m 分﹣1<m <0，及m =﹣1两类讨论即可求解．【答案】（﹣∞，12-）【解析】2101m x mx -<+等价于（m 2x ﹣1）（mx +1）<0，因为m ≠0，所以x 121m =，x 21m=-；因为2101m x mx -<+（m ≠0）对一切x ≥4恒成立，所以m <0；当﹣1≤m <0时，211m m ≥-，则21m <4，解得﹣1≤m 12<-；当m <﹣1时，211m m <-，则1m-<4，解得m <﹣1；所以实数m 的取值范围是（﹣∞，12-）.故答案为：（﹣∞，12-）．【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，较难．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，AB =BC =1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，DE ⊥P A ．（1）求证：EF ∥平面P AD ；（2）求证：平面P AC ⊥平面PDE ．【点睛】（1）连EC ，并延长与DA 的延长线交于N ，则E 是AC 的中点，得EF ∥PA ，得EF ∥平面PAD ；（2）先证DE ⊥平面PAC ，即得平面PAC ⊥平面PDE ．【解析】（1）如图，连接EC 并延长，与DA 的延长线交于N ，则E 是AB 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以EF ∥PN ；又EF ⊄平面PAD ，PN ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ．（2）设AC ∩DE =G ，由△AEG ∽△CDG 及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==；又因为AB =BC =1，所以AC =AG 13=AC =．所以AG AB AE AC ==，又∠BAC 为公共角，所以△GAE ∽△BAC ．所以∠AGE =∠ABC =90°，即DE ⊥AC ．又DE ⊥PA ，PA ∩AC =A ，所以DE ⊥平面PAC ．又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥面PDE ．【点评】本题考查线面平行与垂直，属于中档题．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos 10C =-．（1）求角A 的值；（2）若△ABC 的面积为310，求边BC 的长．【点睛】（1）先求得tan C ，再由由诱导公式得tan A ，即可求出A ；（2）由正弦定理求出AB ，由三角形的面积公式求得a =1，即BC =1．【解析】（1）在△ABC 中，tan B 12=，cosC 0=<，所以C ∈（π2，π），所以sinC =，故tan C =﹣3，所以()()()()13tan tan 2tan tan 111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦，∵0<A <π，所以A π4=；（2）由（1）知A =45°，设BC =a ，因为sin sin AB BCC A= ，所以AB a ==，又sin 1tan cos 2B B B ==，联立22sin cos 1B B +=得sinB =，所以△ABC 的面积S 21133sin 221010AB BC B a a =⋅=⨯==，解得a =1；所以BC =1．【点评】本题考查正弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数间的基本关系等，是中档题． 17．建造一个容积为8m 3、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m 2和80元/m 2．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围；（3）求总造价y 的最小值．【点睛】（1）先表示出另一边长为842x x =，由题意可知y =320（x 4x+）+480 （x >0）；（2）令y ≤2080即可求出x 的取值范围；（3）利用基本不等式求y 的最小值，注意等号成立条件．【解析】（1）由题意得另一边长为842x x=， ∴总造价y =2（x 4x +）82801202⨯⨯+⨯=320（x 4x+）+480，∴总造价y 关于底边一边长x 的函数解析式为：y =320（x 4x+）+480 （x >0）；（2）由（1）可知：y =320（x 4x+）+480， ∴令y ≤2080得，320（x 4x+）+480≤2080，解得：1≤x ≤4， ∴当x ∈[1，4]时，总造价不超过2080元；（3）∵x >0，∴x 44x +≥=，当且仅当x =2时，等号成立， ∴y =320（x 4x+）+480≥320×4+480=1760， ∴当x =2时，总造价y 取得最小值1760元．【点评】本题考查函数模型及其应用，是中档题．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2263x y +=1，若圆O ：x 2+y 2=R 2（R >O ）的一条切线与椭圆C 有两个交点A ，B ，且OA u u u r •OB =u u u r0．（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且MN =u u u u r2NQ uuu r ，求直线MN 的方程．【点睛】（1）设出圆的切线，与椭圆联立，由根与系数的关系及数量积为零得圆的半径，即求出圆的方程；（2）设Q ，N 的坐标，在曲线上，写出坐标之间的关系，写出向量的坐标，利用它们的关系求出坐标，进而求出直线方程．【解析】（1）①当圆的切线的斜率不存在时，不妨设切线方程为 x R =，与椭圆的方程联立，解得x R y =⎧⎪⎨=⎪⎩或x Ry =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为OA OB ⋅=u u u r u u u r 0，所以22602R R --=，解得22R =，此时圆O 的方程为x 2+y 2=2；②当圆的切线的斜率存在时，设切线的方程y =kx +b ，与椭圆的方程联立，整理，得（1+2k 2）x 2+4kbx +2b 2﹣6=0，设A （x ，y ），B （x '，y '）．x +x '2412kb k-=+，xx '222612b k -=+， ∴yy '=k 2xx '+kb （x +x '）+b 2222222222222222642612121212k b k k b b k b b k k k k k -+-=-+=++++，因为OA OB ⋅=u u u r u u u r0，所以xx '+yy '=0，可得2b 2﹣6+b 2﹣6k 2=0，∴b 2=2+2k 2；①=R ，∴b 2=R 2（1+k 2）②，由①②得，2+2k 2=2k 2R 2+R 2，∴R 2=2，所以圆的方程x 2+y 2=2；（2）由题意得M （0），设Q （m ，n ），N （a ，b ），MN =u u u u r（a ，b ，NQ =u u u r （m ﹣a ，n ﹣b ），由题意得：()()22a m a b n b ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，∴a 23m =，b =联立2222262m n a b ⎧+=⎨+=⎩，解得4n 2﹣-9=0，∴n 2=（舍），n 2=-，m =±2， ∴a =，b =0，即N，0），所以直线MN+=1，即直线MN+-=0-=0．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，联立方程套用根与系数的关系，设而不求，属于中档题． 19．已知函数()()()222ln 12a f x ax x x x a =+++∈R ．（1）若曲线y =f （x ）在x =1处的切线的斜率为2，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）在区间（1，e ）上有零点，求实数a 的取值范围．【点睛】（1）由导数的几何意义求得a =0，再求导可得到单调区间；（2）对参数分类讨论，利用零点的存在性定理建立不等式即可求解．【解析】（1）由题意，易知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），由()()222ln 12a f x ax x x x =+++，得()()()()()21'22ln 221ln 1f x ax x ax x ax ax x x=+++⋅+=++，则f ′（1）=2（a +1）=2，解得a =0，∴f （x ）=2x ln x +1（x >0），f ′（x ）=2（ln x +1），令f ′（x ）>0，解得1e x >；令f ′（x ）<0，解得10ex <<； ∴函数f （x ）的单调递减区间为10e ⎛⎫⎪⎝⎭，，单调递增区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）函数()()()222ln 12a f x ax x x x a =+++∈R 在区间（1，e ）上是一条不间断的曲线，由（1）知，f ′（x ）=2（ax +1）（ln x +1），①当a ≥0时，对任意x ∈（1，e ），ax +1>0，ln x +1>0，则f ′（x ）>0，故函数f （x ）在（1，e ）上单调递增，此时对任意的x ∈（1，e ），都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数f （x ）在区间（1，e ）上无零点； ②当a <0时，令f ′（x ）=0，解得1e x =或1x a =-，其中11e<，（i ）若11a-≤，即a ≤﹣1，则对任意x ∈（1，e ），f ′（x ）<0，故函数f （x ）在区间（1，e ）上单调递减，由题意可得()()22110e e 2e e 1022a af f a =+>=+++<，，解得()222e 123e a +-<<-，其中()()22222e 13e 4e 2103e 3e+-----=>，即()222e 113e +->-，故a 的取值范围为﹣2<a ≤﹣1；②若1e a -≥，即10ea -≤<，则对任意x ∈（1，e ），f ′（x ）>0，所以函数f （x ）在区间（1，e ）上单调递增，此时对任意x ∈（1，e ），都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数f （x ）在区间（1，e ）上无零点； ③若11e a <-<，即11ea -<<-，则对任意()11'0x f x a ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭，，，所以函数在区间11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，对任意()1e '0x f x a⎛⎫∈-< ⎪⎝⎭，，，函数f （x ）在区间1e a⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，由题意可得()22e e 2e e 102a f a =+++<，解得()222e 13e a +<-，其中()22222e 113e 4e 2e 203e e 3e 3e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222e 113e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围为()222e 113e a +-<<-，综上所述，实数a 的取值范围为()222e 123e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．【点评】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，考查分类讨论思想、逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题目．20．已知数列{a n }、{b n }、{c n }，对于给定的正整数k ，记b n =a n ﹣a n +k ，c n =a n +a n +k （n ∈N *）．若对任意的正整数n 满足：b n ≤b n +1，且{c n }是等差数列，则称数列{a n }为“H （k ）”数列．（1）若数列{a n }的前n 项和为S n =n 2，证明：{a n }为H （k ）数列；（2）若数列{a n }为H （1）数列，且a 1=1，b 1=﹣1，c 2=5，求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{a n }为H （2）数列，证明：{a n }是等差数列．【点睛】（1）用定义法证明数列为H （k ）数列．（2）用赋值法和定义法进行证明，求出数列的通项公式．（3）用代换法和定义法证明数列为等差数列．【解析】（1）因为S n =n 2，所以当n ≥2时，221(1)n n n a S S n n -=-=--=2n ﹣1．当n =1时，a 1=S 1=1，也符合上式，所以a n =2n ﹣1所以b n =a n ﹣a n +k =﹣2k ，c n =a n +a n +k =4n ﹣2k ﹣2．所以b n ≤b n +1，c n +1﹣c n =4．对任意的正整数n 满足b n ≤b n +1，且数列{c n }，是公差为4的等差数列，所以数列{a n }为H （k ）数列；（2）因为数列{a n }为H （1）数列，所以数列{c n }是等差数列，因为a 1=1， b 1=a 1﹣a 2=﹣1，c 1= a 1+a 2，所以a 2=2，c 1=3，又c 2=5，所以c n =2n +1，即a n +a n +1=2n +1，所以a n +1﹣（n +1）=a n ﹣n ，则{a n ﹣n }是常数列，而a 1﹣1=0，所以a n ﹣n =0，则a n =n ．验证，得b n =a n ﹣a n ﹣1=﹣1，所以b n ≤b n +1对任意正整数n 都成立，所以a n =n ．（3）由数列{a n }为H （2）数列可知：{c n }是等差数列，记公差为dc n +2﹣c n =（a n +2+a n +4）﹣（a n +a n +2）=﹣b n ﹣b n +2=2d ，所以﹣b n +1﹣b n +3=2d ．则（b n ﹣b n +1）+（b n +2﹣b n +3）=2d ﹣2d =0 又b n ≤b n +1，所以b n =b n +1，所以数列{b n }为常数列，则b n =a n ﹣a n +2=b 1 所以c n =a n +a n +2=2a n ﹣b 1．由c n +1﹣c n =2（a n +1﹣a n ）=d ，所以12n n d a a +-=．所以{a n }是等差数列．【点评】本题考查数列定义的应用，赋值法的应用，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4–2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵A 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AB =BA ．（1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值．【点睛】（1）AB 202a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，BA 2202a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，进而求解；（2）矩阵B 的特征多项式为f （λ）=（λ﹣2）（λ﹣1），令f （λ）=0，进而求解．【解析】（1）由题意，AB 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 220102a a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，BA 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 10220202a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为AB =BA ，所以a =2a ，所以a =0．（2）因为B 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 的特征多项式为f （λ）2001λλ-==-（λ﹣2）（λ﹣1），令f （λ）=0，解得λ=2，λ=1．【点评】本题考查矩阵的性质，矩阵的特征值，属于基础题． [选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩：为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．【点睛】将直线l 与圆C 化为直角坐标方程，求出圆C 的圆心到直线l 的距离，即可求弦AB 的长．【答案】65AB =【解析】消去参数t ，直线l 化为普通方程为4x ﹣3y =0，圆C 的极坐标方程ρ=2cos θ，即ρ2=2ρcos θ，化为直角坐标方程为222x y x +=，即（x ﹣1）2+y 2=1，则圆C 的圆心到直线l 的距离为45d ==，所以65AB ==．【点评】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程之间的转化，点到直线的距离公式，是基础题． [选修4–5：不等式选讲]23．已知x 1，x 2，x 3∈（0，+∞），且满足x 1+x 2+x 3=3x 1x 2x 3，证明：x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1≥3．【点睛】先变形得2313121113x x x x x x ++=，再将x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1变形为()122331133x x x x x x ⨯⨯++，替换3，最后由柯西不等式即可证得．【解析】∵x 1+x 2+x 3=3x 1x 2x 3，两边同时除以x 1x 2x 3，得2313121113x x x x x x ++=， ∴()212233112233112233111111(111)333x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭，当且仅当“x 1=x 2=x 3=1”时取等号，故x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1≥3，即得证．【点评】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC =u u u rλAB uuu r ，且向量PC uuu r 与BD u u u r 夹角的余弦值为15．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【点睛】（1）建立恰当的空间直角坐标系，求出P ，A ，B ，C ，D 点的坐标，利用向量PC uuu r 与BD u u ur 夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD 的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）如图，以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），所以AB =u u u r （1，0，0），因为DC =u u u rλAB uuu r =（λ，0，0），所以得C （λ，2，0）．（1）PC =u u u r （λ，2，﹣2），BD =u u u r （﹣1，2，0），向量PC uuu r 与BD u u u r ．可得15=，解得λ=10（舍去）或λ=2．实数λ的值为2．；（2）PC =u u u r （2，2，﹣2），PD =u u u r （0，2，﹣2），平面PCD 的法向量n =r（x ，y ，z ）．则0n PC ⋅=u u u r r 且0n PD ⋅=u u ur r ，即：x +y ﹣z =0，y ﹣z =0，∴x =0，不妨去y =z =1，平面PCD 的法向量n =r（0，1，1）．又PB =u u u r （1，0，2）．故cos n PB n PB n PB⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ，直线PB 与平面PCD ．【点评】本题考查空间向量向量、空间角，建立恰当的空间直角坐标系是关键，中等题 25．已知（1+x ）2n +1=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2n +1x2n +1，n ∈N *．记T n 0ni ==∑（2k +1）a n ﹣k．（1）求T 2的值；（2）化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *，T n 都能被4n +2整除．【点睛】（1）由二项式定理得a i 21C in +=，利用公式计算T 2的值；（2）由组合数公式化简T n ，把T n 化为（4n +2）的整数倍即可．【解析】（1）由二项式定理可得a i 21C i n +=（i =0，1，2，…，2n +1）；所以T 2=a 2+3a 1+5a 025C =+315C +505C 10355=+⨯+=30；（2）因为（n +1+k ）121C n k n +++=（n +1+k ）•()()()()()()()21!212!1!!!!n n n n k n k n k n k ++⋅=++-+⋅- =（2n +1）2C n k n+，所以T n 0nk ==∑（2k +1）a n ﹣k0 nk ==∑（2k +1）21C n kn -+0 nk ==∑（2k +1）121C n k n +++0 nk ==∑[2（n +1+k ）﹣（2n +1）]121C n k n +++=2nk =∑（n +1+k ）121C n kn +++-（2n +1）1210C nn kn k +++=∑=2（2n +1）20C nn knk +=-∑（2n +1）1210C nn kn k +++=∑=2（2n +1）•12•（22n 2C nn +）﹣（2n +1）•12•22n +1 =（2n +1）2C nn ；T n =（2n +1）2C n n =（2n +1）（12121C C n n n n ---+）=2（2n +1）21C nn -；因为21C nn -∈N *，所以T n 能被4n +2整除．【点评】本题考查二项式定理与组合数公式的应用问题，是难题．。

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三第一次模拟考试数学试题含附加题(附答案解析)

江苏省南师附中2020届高三年级第一次模拟考试数学Ⅰ2020.03.19参考公式：1．样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑；2．圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．集合{}0,e x A ，{}1,0,1B =-，若A BB ⋃=，则x =________． 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是________． 3．24log 4log 2+=________．4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为________．5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=________．6．已知函数()()()sin f x x x ϕϕ=++，0x ϕ≤≤，若()f x 是奇函数，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为________．7．已知()3log f x x =，若a ，b 满足()()121f a f b -=-，且2a b ≠，则a b +的最小值为________． 8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为________．9．若抛物线24x y =的点到双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为________．10．设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m αP ，m βP ，则αβP ； ②若m α⊥，m βP ，则αβ⊥； ③若m αP ，m n P ，则n αP ；④若m α⊥，αβP ，则m β⊥．其中的正确命题序号是________．1l ．设0x >，0y >，向量()1,4a x =-r ，(),b x y =-r ，若a b r rP ，则x y +的最小值为________．12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已如CP =4CA =，则CP CA ⋅=________． 13．已知正数a ，b ，c 满足()220b a c b ac ++-=，则ba c+的最大值为________． 14．若()21001m x m mx -<≠+对一切4x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算．15．如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =2，BC =1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥．(1）求证：EF P 平面PAD ；（2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos C =．（1）求角A 的值；（2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长． 17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/2m 和80元/2m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围；（3）求总造价y 的最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22163x y +=，若圆O ：()2220x y R R +=>的一条切线与椭圆C 有两个交点A ，B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r．（1）求O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程．19．已知函数()()()222ln 12a f x ax x x x a R =+++∈．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范田（e 是自然对数的底数，271828e ≈L ．） 20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，()*n n n k c a a n +=+∈N ．若对任意的正整数n 满足：1n n b b +≤，且{}n c 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列．（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且11a =，11b =-，25c =，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列．数学Ⅱ（附加题）2l ．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答理区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201a B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：3545x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长． C ．[选修4-5：不等式选讲]已知1x ，2x ，()30,x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡．．．指．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若()DC AB R λ=∈u u u r u u u r，且向量PC uuu r 与BD u u u r夹角的余弦值为15．（1）求λ的值：（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 23．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ，*n N ∈．记()021k n n knT k a=-=+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈，n T 都能被42n +整除．参考答案1．0 2．-1 3．52 4．56 5．1 6．-1 7．32+ 8．499．3 10．②④ 11．9 12．6 13．22 14．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 15．证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， ∵F ，G 分别是PC ，PD 的中点FG CD ∴P ，且12FG CD =又∵E 为AB 中点AE CD ∴P ，且12AE CD =AE FG ∴P ．AE FG =四边形AEFG 为平行四边形EF AG ∴P ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD EF ∴P 平面PAD（2）设AC DE H =I ，由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点，得12AH AE CH CD ==又AB =1BC =AC ∴=，133AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∆∴∆: 90AHE ABC ∠∴∠==︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE16．解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos C =．得sin C =tan 3C =-所以()()()()13tan tan 2tan tan 111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦．0A π<<Q ，所以4A π= （2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理sin sin AB BCC A=得，a AB ⨯==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin B =所以ABC ∆的面积为21133sin 221010S AB BC B a a =⋅=⨯==，所以1a =，即1BC =． 17．（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， 48422801203204802y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+⨯⨯+⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()43204800y x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）43204802080y x x ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，解得14x ≤≤； []1,4x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记()4f x x x=+，设1202x x <<≤，则120x x -<，1240x x -<， ()()()()1212121212124440x x x x f x f x x x x x x x --∴-=+--=>，即()()12f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增，所以函数4320480y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在(]0,2上递减，在[)2,+∞上递增， ∴2x =时，min 4320248017602y ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭． ()2x m ∴=，总造价最小为1760元．18（1）设的切为y kx b =+，点()11,A x y ，()22,B x y ．由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得122412kbx x k +=-+，2122212b b x x k -=+．因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=．又因为点()11,A x y ，()22,B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx xkb x x b++++=．所以()()2222222126401212k b k b b k k+---+=++，化简得2222b k =+，所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=．此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r．（2）设点()00,Q x y，点(M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得023x N ⎛ ⎝⎭，代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛+⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或者00,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以点,2Q ⎛- ⎝⎭或2Q ⎛ ⎝⎭ 故直线MN的方程为y x =y x =+19．（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，()()()()()()2122ln 221ln 2221ln 1f x ax x ax x ax ax x ax ax x x'=+++⋅+=+++=++，则()()1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,+∞，()()2ln 1f x x '=+，令()0f x '>，解得1x e >；令()0f x '<，解得1x e<；所以函数()f x 的单调增区间为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）函数()()222ln ln 12af x ax x x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线．由（1）知()()()21ln 1f x ax x '=++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()0f x '>，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；2）当0a <时，令()0f x '=，得1x e =或1a -，其中11e<， ①若111-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()0f x '<，刚以函数()f x 在区间()1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102af e ae e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2222213421330e e e e e +-----=>，即()222113e e+->-，所以a 的取值范是21a ≤≤-； ②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任()1,x e ∈，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>；所以函数()f x 在区间11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对于任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102a f e ae e e =+++<，解得229213e a e+<-，其中()222221134221333e e e e e e e e e +----⎛⎫⎛⎫---==<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围是()22211e a e +-<<-．综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-．20．（1）当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，11a S a ==符合上式，则()211n a n n =-≥，2n b k ∴=-，422n c n k =--，则1n n b b +≤，14n n c c +-=对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}n a ∴为()H k 数列．（2）1a =Q ，11b =-，22a =，由数列{}n a 为()1H 数列，则{}n c 是等差数列，且13c =，25c = 21n c n ∴=+ 即121n n a a n ++=+，()11n n a n a n +∴-+=-，则{}n a n -是常数列，110a -=Q ，n a n ∴=．验证：11n n n b a a +=-=-，1n n b b +∴≤对任意正整数n 都成立 n a n ∴=．又由121n n a a n ++=+，1223n n a a n +++=+，两式相减得；22n n a a +-=，()2112121k a a k k -=+-=-，()22212k a a k k =+-=，n a n ∴=（3）由数列{}n a 为()2H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222n n n n n n n n c c a a a a b b d +++++∴-=+-+=--=， 132n n b b d ++∴--=则()()123220n n n n b b b b d d +++-+-=-= 又1n n b b +≤，1n n b b +∴=，∴数列{}n b 为常数列，则21n n n b a a b +=-=22n n n n n c a a a b +∴=+=-由()112n n n n c c a a d ++-=-=，12n n da a +∴-=，{}n a ∴是等差数列 21．A 解：（1）因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =，所以0a = （2）因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--，令()f λ=，解得2λ=，1λ=． B ．解：直线l ：3545x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）化为普通方程为430x y -=圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为()2211x y -+=，则圆C 的圆心到直线1的距离为45d ==，所以65AB ==． C ．解：因为1x ，2x ，()30,x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，又()()21223312331121111119x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⋅++≥++=⎪⎝⎭，所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号．【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用． 22．（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -()1,0,0B ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r，所以(),2,0C λ，从而(),2,2PC λ=-u u u r，则由cos ,PC BD =u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=．（2）易得()2,2,2PC =-u u u r ，()0,2,2PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(),,n x y z =r，则0n PC ⋅=r u u u r ，0n PD ⋅=r u u u r，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量()0,1,1n =r ，又易得()1,0,2PB =-u u u r，故cos ,PB n PB n PB n⋅==⋅u u u r ru u u r r u u u r r ，所以直线PB 与平面PCD．23．（1）由二项式定理得21C ii n a +=，221035T a a a =++；（2）()()()()12221212121C C 21C C 221C n n n n nn n n n n n T n n n ----=+=++=+，进而可得到结论．解析：由二项式定理得2C ii n i a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C +5C =30T a a a =++=+；（2）()()()()()()()()()()121221!212!1C 121C 1!!!!n kn kn n n n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-Q()()()12121002121C21C n nnn k n kn n k n n k k k T k a k k -++-++===∴=+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn k n kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()()122122122011221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n n n nnn n n k k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑．()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----∴=+=++=+． *21C n n N -∈Qn T ∴能被42n +整除。

江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期12月模拟数学试题

南京师大附中2020-2021高三上学期12月模拟数学一、单项选择题1. 已知集合{}42M x x =-<<，{}2560N x x x =--<，则MN =（） A. {}42x x -<<B. {}42x x -<<C. {}46x x -<<D. {}26x x << 2. 若2z i =+，则22z z -=（）A. 0B.C.D. 3. 已知,a b R ∈，下列四个条件中，使a b <成立的充分不必要的条件是（）A. 1a b <-B. 1ab +C. 22a b <D. 33a b <4. 赵爽是我国古代数学家，天文家，约公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 2α的值为（） A. 34 B. 2425 C. 127 D. 2475. 函数ln ()x f x x x=-的图象大致为（） A. B. C. D.6. 已知随机变量X 的概率分布如表所示当a 在()1,1-内增大时，方差()D X 的变化为（）A. 增大B. 减小C. 先增大再减小D. 先减小再增大7. 在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，连接AC ，MN 交于点P .已知13AP AC =，且34AM AB =，若AN AD λ=，则实数λ的值为（） A. 12 B. 35 C. 23 D. 348. 三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ∠=∠=∠=︒，2BC BD ==，ACD △，则此三棱锥外接球的体积为（）A. 16πB. 4πC. 163πD. 323π 二、多项选择题9. 某城市为了解景区游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年2月至7月A ，B 两景区旅游人数（单位：万人），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（）A. 根据A 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数的平均值在[]34,35内B. 根据B 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数总体呈上升趋势C. 根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得A 景区旅游人数极差比B 景区大D. 根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得B 景区7月份的旅游人数比A 景区多10. 已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点（点A在第一象限），交抛物线的准线于点C ，则下列结论正确的是（）A. AF FC =B. 2AF BF =C. 3AB p =D. 以AF 为直径的圆与y 轴相切11. 下列命题正确的有（）A. 若a b c >>，0ac >，则()0bc a c ->B. 若0x >，0y >，2x y +=，则22x y +的最大值为 4C. 若0x >，0y >，x y xy +=，则2x y xy ++的最小值为5+D. 若实数2a ≥，则12log (2)1a a a a +++<+ 12. 在数学中，布莱维尔不动点定理是拓补学例一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（）A. ()2x f x x =+为不动点函数B. 2()3f x x x =--为不动点函数 C. 221,1()2,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩为不动点函数D. ()ln 1f x x =-为不动点函数三、填空题13. 已知数列{}n a ，{}n b 满足2log n n b a =，n N +∈，其中{}n b 是等差数列且1020112a a =，则122020b b b ++⋅⋅⋅+=________.14. 双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆M ：()2238x y -+=相交于A ，B 两点，AB =，则双曲线的离心率等于________.15. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳌臑.如图，四面体P ABC -为鳌臑，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1PA AB ==，BC =A PC B --的正弦值为________.16. 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为________.四、解答题。

南京师大附中2020届高三年级一模前测试卷数学

南京师大附中2020届高三年级一模前测试卷数学 2019.12参考公式：球体的体积334r V π=，其中r 是球体的半径. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．函数()f x =的定义域为 ▲ .2．已知复数z 满足i i z +=-1)2(，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ▲ . 3．某算法的流程图如图所示，则输出的n 的值为 ▲ .4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50]，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100],则图中x 的值为 ▲ .5．有三个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同兴趣小组的概率为 ▲ .6．把一个底面半径为3cm ，高为4cm 的钢制实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球（不计损耗），则该钢球的半径为 ▲ cm.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ . 8．若函数)0)(6sin(2)(>-=ωπωx x f 的最小正周期为π，则当]2,0[π∈x 时，)(x f 的值域为▲ .9．若锐角α满足1tan 3)4tan(+=+απα，则α2tan 的值为 ▲ .10．已知函数∈++=x x x x f ,22)(R ，则不等式)43()2(2-<-x f x x f 的解集是 ▲ . 11．等差数列{}n a 的前n 项的和记为n S ，已知93,99852741=++=++a a a a a a ，若存在正整数k ，使得任意*N ∈n ，都有k n S S ≤，恒成立，则k 的值为 ▲ .12．在△ABC 中，已知CA =4，CP =3，ACB ∠=32π，点P 是边AB 的中点，则CP CA 的值为 ▲ .13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆4)2()(:22=-+-a y a x M ，圆4)1()2(:22=++-y x N .若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N有公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ .14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-=+-=.0,41;0,112)(,13)(222x x x x x x g x x x f 若函数a x f g y -=)]([有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量(1,2),(2sin ,cos )a b θθ==-，且a b ⊥，求: （1）b ；（2）)42sin(πθ+．16．（本小题满分14分）如图，在正三棱锥111-C B A ABC 中，所有棱长都相等，D ，E 分别是1AA 和C B 1的中点，求证：（1）DE ∥平面ABC ；（2）BE ⊥平面CD B 1．17．（本小题满分14分）如图，现有一直径AB =2百米的半圆形广场，AB 所在直线上存在两点C ，D ，满足OC=OD=2百米（O 为AB 的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB 上选取一点E ,各修建一条地下管道EC 和ED 通往C 、D 两点．（1）设θ=∠EOB ，试将管道总长（即线段EC+ED ）表示为变量θ的函数；（2）求管道总长的最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆)0,0(12222>>=-b a by a x 的长轴为24，且点A (-2,1)在椭圆C 上，．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知)1,2('-A ，若点）00,(y x P 为椭圆C 上一动点（不同于',A A ），直线1:2020=+byy a x x l .设直线L 的方程为kx y =，直线L 与直线AP 、l P A 、'分别交于M F E 、、三点，试问：是否存在实数k ，使得EM MF =恒成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）设数列{}{}{}n n n c b a ,,的前n 项和分别为n n n C B A ,,，且对任意的都有n n n C B A +=，已知))(1(2*∈+=N n a nA n n ，数列{}n b 和{}n c 是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数．（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）若数列{}n a 的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{}n a ；（3）若42=a ，且*∈>N ,n C B n n ，求数列{}{}n n c b ,的通项公式．20．（本小满分16分）设函数∈-=a x a x x f ,ln )()(2R . （1）若0)('=e f ； ①求实数a 的值；②若e a 21<<，证明e x =为()x f 的极值点．（2）求实数a 的取值范围，使得对任意的]3,0(e x ∈恒有()24e x f ≤成立．（注：e 为自然对数的底数）南京师大附中2020届高三年级一模前测试卷数学附加题21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a ，b ∈R ，向量-2=1α⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵a A b ⎡=⎢⎣ ⎥⎦⎤12的属于特征值-3的一个特征向量. （1）求矩阵A 的另一个特征值；（2）求矩阵A 的逆矩阵1-A .B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy ，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=ty t x 531541（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为）（4-cos 22πθρ=.求直线l 被曲线C 所截得的弦长.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，已知面积为4的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，从A ，B ，C ，D ，E 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形面积为ξ（三点共线时，规定0=ξ）.（1）求概率)1(≤ξp ；（2）求的概率分布列，并求其数学期望. （第22题图）23.（本小题满分10分）.已知数列的项n a a a 621,,,⋅⋅⋅的项{}2,1∈i a ，其中i =1，2，3，…，6n ，n ∈*N ，求前6n 项和为n S 6，记n S 6除以3余数为1的数列n a a a 621,,,⋅⋅⋅的个数构成的数列为{}*N ,∈n b n .（1）求1b 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式，并化简.。

江苏省南京师大附中2020届高三数学下学期模拟考试试题2含解析

（1)当立柱和立柱高度相同时，求两立柱的总造价;
(2）求立柱和立柱总造价的最小值．
【答案】（1）万元；（2) 万元．
【解析】
【分析】
设两立柱的总造价为y万元．
（1）过C作的垂线分别交，于，，根据题中数据,求出，即可得出结果；
（2）过B作的垂线，垂足为F，过C作的垂线，垂足为G，设，
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可知与共线反向，令 ,然后由和列方程求解即可。
【详解】解：因为平面向量与的夹角是 ,
所以设，即，
因为，所以 ,得 ,
因为，所以 ,
所以 ,
故答案为：
【点睛】此题考查共线向量,向量的模,向量的坐标运算，属于基础题.
10. 已知是椭圆的长轴的两个端点，是椭圆上的动点,且的最大值为，则椭圆的离心率为______．
试题解析：（1）在直三棱柱中， , ，所以 ,因为，所以 ,又，所以，因为，所以，因为在平面中，，所以四边形为正方形，因为点分别为的中点，所以 ∽ ，所以，所以，即，又因为，所以。
（2）连接交于点 ,连接交于点，连接，
在正方形中利用及平面几何知识可得，在正方形中利用 ∥ 且可得，所以在中, ，所以，又平面，平面，所以平面．
12. 在△ABC中,角A，B,C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是．
【答案】2
【解析】
试题分析:由正弦定理得: 又即．
又 ∴ ，，
由余弦定理得，
当且仅当时，等号成立；
所以，

南师附中2020届高三年级模拟考试答案

t 1 et
t2 et
，即
3 e
t2
t et
1（*），
原命题等价于存在正数 t 使得方程（*）成立.
……11 分
记
g(t)
t2
t et
1
，则
g ' (t )
(2t
1)
(t 2 et
t
1)
t(t 1) et
，
令 g' (t) 0 ，则 t 1，
因此当 0 t 1 时 g' (t) 0 ， g(t) 单调递增， g(t) g(1) 3 ； e
……4 分 ……6 分
（2）连结 C1A、C1B，因为 ABC A1B1C1 是三棱柱
所以 AA1 // CC1 ， AA1 CC1 ，所以四边形 AA1C1C 是平行四边形
……8 分
1
点 E 为 A1C 的中点，故 A1C AC1 E ，所以点 E 为 AC1 的中点，
又点 D 为 AB 的中点，所以在△ABC1 中，有 DE // BC1
ρ2＝4ρcosθ，圆 C 的直角坐标方程是 x2 y2 4x (x 2)2 y2 4
……2 分 ……4 分
圆心为(2,0)，半径为 2，所以圆心到直线 l 的距离为 d 2 0 4 2 11
所以弦长为 l 2 r 2 d 2 2 4 2 2 2
……10 分
22.解：因为侧面 PAD⊥底面 ABCD，PO⊥AD， PO 平面PAD
数学附加题参考答案及评分标准
21.A.选修 4-2：矩阵变换
解：设直线 x－y－1＝0 上一点 P(x, y) 在变换 TA 作用下得到点 P'(x', y') ，
x'

2020届江苏省南京师大附中高三上学期第一次模拟考试(二)数学试题(解析版)

2020届江苏省南京师大附中高三上学期第一次模拟考试（二）数学试题一、填空题1．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =I _____. 【答案】{1,3}【解析】分析出集合A 为奇数构成的集合，即可求得交集. 【详解】因为21,k k Z -∈表示为奇数，故A B =I {1,3}. 故答案为：{1,3} 【点睛】此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.2．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.【答案】8-【解析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解. 【详解】2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-.故答案为：-8 【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟. 【答案】7.5【解析】分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数. 【详解】76+147+1584107.5714154⨯⨯⨯+⨯=+++故答案为：7.5 【点睛】此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.4．函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________. 【答案】(0,2)-【解析】令0x =，(0)132f =-=-，与参数无关，即可得到定点. 【详解】由指数函数的性质，可得0x =，函数值与参数无关，所有()(1)3xf x a =--过定点(0,2)-. 故答案为：(0,2)- 【点睛】此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.5．等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____. 【答案】4【解析】根据等差数列关系，用首项和公差表示出2216a a a =，解出首项和公差的关系，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得: 2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21=4a a故答案为：4 【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.【答案】1 2【解析】从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有246C=种，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有233C=种，所以其概率为23241=2CC.故答案为：12【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.7．在长方体1111ABCD A B C D-中，1AB=，2AD=，11AA=，E为BC的中点，则点A到平面1A DE的距离是______.6【解析】利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中，1111211=323A ADEV-=⨯⨯⨯⨯，221115,2,3A D DE EA A A AE===+=所以22211A D DE A E=+，所以1DE A E⊥，11623=2A DES=△设点A 到平面1A DE 的距离为h1161=323A A DE V h -=⨯⨯，解得6=3h 故答案为：6【点睛】此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.8．如图所示的流程图中，输出n 的值为______.【答案】4【解析】根据流程图依次运行直到1S ≤-，结束循环，输出n ，得出结果. 【详解】由题：211,1,1log 0,211S n S n ===+==+， 22220log log ,3213S n =+==+， 222232log log log 1,43314S n =+==-=+，1S ≤-结束循环，输出4n =. 故答案为：4 【点睛】此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.9．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____. 【答案】22(3)4x y -+=【解析】求出圆心关于直线的对称点，即可得解. 【详解】22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，则有: 2121222112y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为22(3)4x y -+=. 故答案为：22(3)4x y -+= 【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标. 10．正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切于正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是______. 【答案】[0,1]【解析】根据向量关系表示()()PM PN PO OM PO OM ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 2221PO OM PO =-=-u u u r u u u u r u u u r ，只需求出PO u u u r 的取值范围即可得解. 【详解】由题可得：0OM ON +=u u u u r u u u r r，PO ⎡∈⎣u u ur()()()()PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM ⋅=+⋅+=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r222[0,11]PO OM PO =-=-∈u u u r u u u u r u u u r故答案为：[0,1] 【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.11．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.【答案】34-【解析】根据双曲线上的点的坐标关系得2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--=，PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥，建立等式1PA QB k k ⋅=-，两式作商即可得解. 【详解】设()()()00,,2,02,0P x y A B -2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩ 即1234k k λ==-. 故答案为：34- 【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.12．对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____.【答案】【解析】根据,a b 均为正数，等价于2222234442322a ab b b abk a ab a ab ++-≤=+++恒成立，令,0b xa x =>，转化为2423,021x xk x x -≤+>+恒成立，利用基本不等式求解最值.【详解】由题,a b 均为正数，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，等价于2222234442322a ab b b abk a ab a ab ++-≤=+++恒成立，令,0b xa x =>则24223212121x x k x x x -≤+=++++，22121x x ++≥+Q 当且仅当22121x x +=+即x = 故k的最大值为故答案为：【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.13．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>o ，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.【答案】3【解析】在直角三角形中设3BC =，3AC x =<，1tan tan()2DAB BAC DAC ∠=∠-∠=，利用两角差的正切公式求解. 【详解】设3BC =，3AC x =<，则31tan ,tan BAC DAC x x∠=∠= 22221tan tan()13321x x DAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠===⇒=++，故tan 3BAC ∠=. 故答案为：3 【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.14．函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.【答案】26,83k⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【解析】对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解. 【详解】由题：函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，2210,(0,1]1982,(1,3)x x x xk x x x x ⎧∈⎪+-+⎪-==⎨⎪+∈⎪⎩，等价于函数()10,(0,1],82,(1,3)x xy k g x x x x ⎧∈⎪⎪=-=⎨⎪+∈⎪⎩恰有两个公共点，作出大致图象：要有两个交点，即268,3k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 故答案为：26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.二、解答题15．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()2m a =u r，向量s )(co ,n B cosC =r ，且//m n u r r .（1）求角C 的大小；（2）求()3y sinA B π=-的最大值.【答案】（1）6π（2）2【解析】（1）转化条件得()2sin cos A C B C =+，进而可得cos C =，即可得解；（2）由56A B π+=化简可得2sin 3y A π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，由50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）Q //m n u r r，∴()2cos cos a C B ，由正弦定理得2sin cos cos cos A C B C C B -=，∴)2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+即()2sin cos A C B C =+，又 B C A +=π-，∴2sin cos A C A =，又 ()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴cos C =，由()0,C π∈可得6C π=.（2）由（1）可得56A B π+=，∴56B A π=-，∴5()()3632()y sinA B sinA A sinA A ππππ=-+=---=2sin 3sinA A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，Q 50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴(]2sin 1,23A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴3()3y sinA sin B π=+-的最大值为2.【点睛】本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD △为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.（1）求证:OE P 平面PAB ；（2）求证:CD PA ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）通过证明//OE PB ，即可证明线面平行；（2）通过证明CD ⊥平面PAD ，即可证明线线垂直. 【详解】（1）连BD ，因为ABCD 为平行四边形，O 为其中心，所以，O 为BD 中点，又因为E 为PD 中点，所以//OE PB ，又PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB 所以，//OE 平面PAB ；（2）作PH AD ⊥于H 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =PH AD ⊥，PH ⊂平面PAD ，所以，PH ⊥平面ABCD 又CD ⊂平面ABCD ，所以CD PH ⊥又CD PD ⊥，PD PH P ⋂=，PD ⊂平面PAD ，PH ⊂平面PAD 所以，CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以，CD PA ⊥. 【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.17．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PFQ V 的周长；（2）求1PF M V 面积的最大值. 【答案】（1）12（2）1354【解析】（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义1212412PF PF QF QF a +++==；（2）求出椭圆的标准方程，设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出1PF M V 面积，即可求解最大值. 【详解】（1）设椭园C 的焦距为2c ，则24c =，故2c =.则12(2,0),(2,0)F F -椭圆过点52,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，由椭圆定义知:1226a AF AF =+=，故3a =，因此，1PFQ V 的周长1212412PF PF QF QF a =+++==；（2）由（1）知:2225b a c =-=，椭圆方程为:22195x y +=设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，则()22,R x y -，()121212111212:,0y y y x x y PR y x x y M x x y y ⎛⎫++=-+⇒ ⎪-+⎝⎭()2222259202505945x my m y my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩()221,221015190010,59m m m y m -±+=+>=+△，1212222025,5959m y y y y m m --+==++，()121212122902259my x x y my y y y m -+=++=+，1121211121131352||||24PF M x x y S y y y y y ⎛⎫+=+=≤ ⎪+⎝⎭△，当且仅当P 在短轴顶点处取等，故1PF M V 面积的最大值为135. 【点睛】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.18．一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小. 【答案】（1）[15,25]AD ∈（2）当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，30152b b AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小. 【解析】（1）设AD x =米，总费用为450()22520015022f x x x ⎛⎫=⨯+⨯⋅+⎪⎝⎭，解()65400f x ≤即可得解；（2）结合（1）可得占地面积()225(8)2S x x b x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭结合导函数分类讨论即可求得最值. 【详解】（1）由题意知:矩形ABCD 面积4502252S ==米2，设AD x =米，则225AB x =米，由题意知:2250x x≥>，得15x ≥，设总费用为()f x ，则450225()225200150226004500065400f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⋅+=++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得:925x ≤≤，又15x ≥，故[15,25]x ∈，所以发酵池D 边长的范围是不小于15米，且不超过25米；（2）设发酵馆的占地面积为()S x 由（1）知:()2251800(8)2216225,[15,25]S x x b bx b x x x ⎛⎫=++=+++∈⎪⎝⎭， ()222900(),[15,25]bx S x x x-'=∈①4b ≥时，()0S x '≥，()S x 在[15,25]上递增，则15x =，即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小； ②36025b <≤时，()0S x '=，()S x 在[15,25]上递减，则25x =，即25,9AD AB ==米时，发酵馆的占地面积最小； ③36,425b ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，x ⎡∈⎢⎣时，()0S x '<，()S x 递减；x ⎤∈⎥⎦时，()0,()S x S x '>递增，因此xb ==，即2AD AB b == 综上所述：当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小.【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.19．已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P .【答案】（1）12n na =，n b n =（2）11(1)2n n P n =-+⋅ 【解析】（1）112(2)n n S a n -=-…，所112n n S a +=-，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由()221111122(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=-=-+…，整理得()()()1111111122(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++…，得到11(2)n n n n b b b b n +--=-…，即可求解通项公式；（2）由（1）可知，21(2)12(1)1112(1)22(1)2n n n n nn n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，即可求得数列{}n c 的前n 项和n P . 【详解】（1）因为112(2)n n S a n -=-…，所112n n S a +=-，两式相减，整理得11(2)2n n a a n -=…，当2n =时，1121122S a a ===-，解得211142a a ==，所以数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，即12n n a =，因为()221111122(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=-=-+…，整理得()()()1111111122(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++…，又因为0n b >，所以0n T >，所以1121(2)nn n b n b b +-=+…，即11(2)n n n n b b b b n +--=-…，因为121,2b b ==，所以数列{}n b 是以首项和公差均为1的等差数列，所以n b n =；（2）由（1）可知，21(2)12(1)1112(1)22(1)2n n n n nn n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，211111112222322(1)2n n n P n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11(1)2n nP n =-+⋅.【点睛】此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.20．设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <). （i ）求a 的取值范围；（ii ）求证:12x x ⋅随着21x x 的增大而增大. 【答案】（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析【解析】（1）求出导函数11(),(0,)axf x a x x x-'=-=∈+∞，分类讨论即可求解；（2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设211x t x =>，通过转化()1212(1)ln ln ln ln 1t tx x x x t +=+=-，讨论函数的单调性得证.【详解】（1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x-'=-=∈+∞ 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，()0f x '>的解集为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫==->⎪⎝⎭，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <，所以存在111,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222112()0a g a a a a --'=+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，即210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为211a a >，所以存在2211,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综上，10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212ln ln x x x x =，因为21x x >，所以211x x >，设211x t x =>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1t x t =-，所以21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t tx x x x t +=+=-，设(1)ln ()(1)1t t h t t t +=>-，则2211ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则22212(1)()10t H t t t t-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t 单调递增，即()12ln x x 随着21x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证.【点睛】此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.。

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题(解析版)

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、填空题1．集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________. 【答案】0【解析】因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =，从而可以求出x 的取值. 【详解】解：集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，又0x e >，所以1x e =，即0x =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题. 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是_______．【答案】-1【解析】由题意，根据复数的运算，化简得2z i =-，即可得到复数z 的虚部．【详解】由题意，复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-，所以复数z 的虚部为1-．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．24log 4log 2+=________.【答案】52【解析】根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_______.【答案】56【解析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】 s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为：56【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．【答案】1【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=【考点】正余弦定理解三角形6．已知函数()sin()3)f x x x ϕϕ=++，0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6f 的值为____．【答案】-1【解析】函数为奇函数，则：()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，据此有：,33k k ππϕπϕπ+==-，令1k =可得：23ϕπ=，故：()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 7．已知3()log f x x =，若a ，b 满足(1)(21)f a f b -=-，且2a b ≠，则+a b 的最小值为_______．【答案】32+ 【解析】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，得(1)(21)1a b --=，所以212a b+=，所以123(3)22b a a b a b +=++≥+【详解】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，即3log (1)(21)0a b --=，所以(1)(21)1a b --=，得212a b+=，所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭2b aa b=，即a =时，等号成立，综上，+a b 的最小值为32【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___．【答案】49【解析】分析：先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有339⨯=种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有224⨯=，所以黑白两球均不在一号盒的概率为49，故答案为49. 点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.9．若抛物线24x y =的焦点到双曲线C ：22221x y a b-=(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为____．【答案】3【解析】先求出抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出．【详解】抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ba=x ， ∴13a c ==， ∴e ca==3，故答案为3．【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题.10．设,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若,m m αβP P ，则αβP ； ②若,m m P αβ⊥，则αβ⊥； ③若,m m n P P α，则n αP ； ④若,m P ααβ⊥，则m β⊥. 其中的正确命题序号是______. 【答案】②④【解析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案．【详解】对于①，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m ⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m ∥α，m ∥n 则n 可能在α内，故③错误；对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β；故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．11．设0,0x y >>，向量a =r()1,4x -，b =r(),x y -，若a b r P r，则x y +的最小值为______．【答案】9【解析】先根据向量平行得到1x +4y=1，再利用基本不等式即可求出最值．【详解】：因为a r ∥b r ，所以4x+（1﹣x ）y=0，又x ＞0，y ＞0，所以1x +4y=1，故x+y=（1x +4y ）（x+y ）=5+y x+4x y ≥9．当y x =4x y，1x +4y =1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．（x+y ）min =9．故答案为9．【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =u u u v ，4CA =u u u v ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】6【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vQ213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=u u u v u u u v u u u v ,所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． 13．已知正数a ，b ，c 满足，则的最大值为_____________．【答案】【解析】利用求根公式得到，表示目标，借助均值不等式求最值. 【详解】 ∵∴，∴，，当且仅当a=c 时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14．若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】若0m>,则当x→+∞时211m xmx->+,所以0m<,从而221114m mm⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或21114m mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以112m-<<-或112m m≤-∴<-点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD-中，已知底面ABCD为矩形，且2AB=，1BC=，E，F分别是AB，PC的中点，PA DE⊥.(1)求证：//EF平面PAD；(2)求证：平面PAC⊥平面PDE．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）取PD中点G，连AG，FG，根据G，E，F分别是PD，AB，PC 的中点，可知道四边形AEFG为平行四边形，即可说明//EF平面PAD（2）要证明平面PAC⊥平面PDE．由题意已知PA DE⊥，即只需证明DE AC⊥,根据矩形ABCD中，E为AB的中点，2AB=1BC=，即可说明DE AC⊥，即平面PAC⊥平面PDE．【详解】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F Q ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点得12AH AE CH CD == 又2AB =Q ，1BC =3AC ∴=，133AH AC ==23AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理：,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ；②利用面面平行的性质定理：,l l αβββ//⊂⇒// ．要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面．属于基础题． 16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos 10C =-. （1）求角A 的值；（2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长. 【答案】（1）4A π=（2）1BC =【解析】（1）由题可知，cos 10C =-，根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ，在ABC ∆中，利用tan tan()A B C =-+，代入求出tan A ，即可得出A ∠；（2）利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=，即可求出BC 的长. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos 10C =-.得sin C =tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<，所以4A π=（2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理：sin sin AB BCC A=得：2a AB ⨯==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 5B =，所以ABC ∆的面积为：1sin 2S AB BC B =⋅21332551010a a a =⨯⨯⨯==. 所以1a =，即1BC =. 【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围；（3）求总造价y 的最小值．【答案】（1）4320()480(0)y x x x=++>；（2）[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）2x =()m ，总造价最小为1760元．【解析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式；（2）解不等式2080y ≤可得；（3）由函数单调性可得最小值．【详解】（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x=++， ∴4320()480(0)y x x x=++>；（2）4320()4802080y x x=++≤，解得14x ≤≤；[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记4()f x x x=+，设1202x x <<≤，则12120,40x x x x -<-<， ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>，即12()()f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增，所以函数4320()480y x x=++在(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增， ∴2x =时，min 4320(2)48017602y =⨯++=． ∴2x =()m ，总造价最小为1760元．【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.【答案】（1）222x y +=（2）663,3y x y x =+=+【解析】（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y ，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +，代入12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r可得出,k m 的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线2x = （2）设点()00,Q x y ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得00223,33x y N ⎛+⎝⎭，由,Q N 分别在椭圆和圆上，联立方程组解得00,x y 后可得直线方程．【详解】（1）设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++.因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210k x xkb x x b++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k+--+=++，化简得2222b k =+，所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=.此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（2）设点()00,Q x y，点M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得0022,33x y N ⎛+ ⎝⎭.代入椭圆和圆得22002201,6322,3x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者00,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点Q ⎛ ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y x =. 【点睛】本题考查求圆的方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，用设而不求的思想方法．解题时注意体会． 19．已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e+-<<-【解析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+，令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<；所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-，所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； ③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对任意1,x e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-，其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，n n n kc a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足：1nn bb +≤，且{}nc 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）n a n =；（3）见解析.【解析】（1）采用1n n n a S S -=-可进行求解，要验证1n =是否成立（2）（3）通过题干，将n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+进行联立求解，代换掉n b ，n c ，可求得数列{}n a 的通项公式【详解】（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==符合上式，则21(1)n a n n =-≥，2,422∴=-=--n n b k c n k ，则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}∴a a 为()H k 数列.（2）121,1,2==-=Q a b a ，由数列{}n a 为(1)H 数列，则{}n c 是等差数列，且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ，1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列，110,-=∴=Q n a a n ，验证：11+=-=-n n n b a a ，1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=．又由121++=+n n a a n ，1223+++=+n n a a n ，两式相减，得：22n n a a +-=，211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ，n a n ∴=（3）由数列{}a a 为(2)H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d ， 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤，1+∴=n n b b ，数列{}n b 为常数列，则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a ， {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解，但一定注意要验证1n =是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可21．已知矩阵1A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦，20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值. 【答案】（1）0a =（2）1【解析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解：()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=-- 令()0f λ=,解得2,1λλ== 【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22．在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.【答案】65AB =【解析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长：圆C 的圆心到直线l 的距离为，【详解】解：直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为，圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，则圆C 的圆心到直线l 的距离为，所以.【考点】参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理23．已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 【答案】证明见解析【解析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++=⎪⎝⎭，所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号. 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）2λ=；（2）105. 【解析】【详解】（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由15cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=.（2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r，则0n PC ⋅=u u u r r ，0n PD ⋅=u u ur r ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r，又易得(1,0,2)PB =-uu r ，故10cos ,PB n PB n PB n〈〉=-⋅⋅=u u u r u u u r r ru u u r r ，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为10.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25．已知()21221012211n n n x a a x a x a x ++++=++++L ，n *∈N ．记()021?nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除．【答案】（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析.【解析】（1）由二项式定理得21i i n a C +=，利用公式计算2T 的值；（2）由组合数公式化简n T ，把n T 化为42n +的整数倍即可．【详解】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+L ；（1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n kn n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n knn C +=+，所以()()()121210212121nnnn k n kn n kn n k k k T k ak Ck C -++-++====+=+=+∑∑∑()()()()111212121021212121nnnn kn k n kn n n k k k n k n Cn k Cn C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()1221221201122121221221222nnn kn kn nn nn n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221nn n C =+，()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除. 【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．。

2020届江苏省南京师大附中高三下学期期初数学试题

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测试题数学试题（含附加题）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知{}231,x A x x R +=≥∈，211,3x B x x R x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =I ______.2.复数(1)z i i =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点在第__________象限．3.某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为_________.4. 按按按按按按按按按按按按按按3按按按按按按__________按5.抛物线y 2=8x 的焦点坐标是6.若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从1，2两个数中任取的一个数，则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是______．7.已知某圆锥底面圆的半径1r =，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______. 8.已知等差数列{a n }中，a 3﹣2a 4＝﹣1，a 3＝0，则{a n }的前10项和是_____.9.已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为________． 10.在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________．的11.已知不等式2121xx ->-的解集为A ，()22100x x m m ++-≤>的解集为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，那么实数m 的取值范围是________. 12.已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 13.如图，已知AB AC ⊥，3AB =，AC =A 是以A 为圆心半径为1圆，圆B 是以B 为圆心的圆．设点P ，Q 分别为圆A ，圆B 上的动点，且12AP BQ =u u u r u u u r ，则CP CQ ⋅u u u r u u u r的取值范围是______．14.已知1x ，2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-，m R ∈的两个极值点，若12x x <，则()12f x x 的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知,,a b c 分别是ABC ∆三个角,,A B C 所对的边，且满足cos cos cos cos c Aa Bb A C+=．(1)求证：A C =；(2)若2b =,1BA BC ⋅=uu r uu u r，求sin B 的值．16.如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD //平面BCC 1B 1，AD ⊥DB .求证：（1）BC //平面ADD 1A 1；（2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1.的17.如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A ，B 两点在⊙O 上，A ，B ，C ，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A ，B ，C ，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到A ，B ，C ，D 四点线路OA ，OB ，OC ，OD .（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值.18.如图，已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B 分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为12-，求k 的值；（3）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若1232S S =，求M 的坐标. 19.已知函数()1af x lnx x=++，a ∈R . （1）若函数f （x ）在x ＝1处的切线为y ＝2x +b ，求a ，b 的值；（2）记g （x ）＝f （x ）+ax ，若函数g （x ）在区间（0，12）上有最小值，求实数a 的取值范围；（3）当a ＝0时，关于x 的方程f （x ）＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.20.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且a n S n +1﹣a n +1S n ＝a n +1﹣λa n ，对一切n ∈N *都成立.的（1）当λ＝1时； ①求数列{a n }的通项公式；②若b n ＝（n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项的和T n ；（2）是否存在实数λ，使数列{a n }是等差数列如果存在，求出λ值；若不存在，说明理由.21.已知矩阵M ＝2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）求M 2；（2）求矩阵M 的特征值和特征向量．22. 在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q 的极坐标.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）及点M （2，0），动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，AB ＝4.（1）求p 的值；（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点C ，直线l 1经过点C 且垂直于y 轴，直线l 2经过点M 且垂直于直线l ，记l 1，l 2相交于点P ，求证：点P 在定直线上.24.对于给定正整数n ，设2012(1)nnn x a a x a x a x L -=++++，记01nn kk S a ==∑.（1）计算1234S S S S ，，，的值；（2）求n S .的。

2020届江苏省南京师范大学附属中学江宁分校高三上学期12月调研考试数学(文)试题(解析版)

2020届江苏省南京师范大学附属中学江宁分校高三上学期12月调研考试数学（文）试题一、填空题1．设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C A B =_____.【答案】{2}.【解析】列举出全集中的元素，求出A 、B 集合的并集，再求其补集可得答案. 【详解】全集{|5,*}{1,2,3,4}U x x x N =<∈=，集合{1A =，3}，{3B =，4}，{}1,3,4A B =，则{}()2U C A B =，故答案为：{}2. 【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题.2．已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为___________. 【答案】3-【解析】根据复数的乘法运算，先化简复数，再由复数实部与虚部相等，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为()()()()1222212z i a i a i ai a a i =++=++-=-++，又其实部与虚部相等，所以122a a -=+，解得3a =-. 故答案为：3-. 【点睛】本题主要考查由复数的实部与虚部相等求参数，考查复数的乘法运算，属于基础题型.3．函数2()log (1)f x x -的定义域为_____.【答案】[)0,1【解析】利用二次根式有意义、对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数2()log (1)f x x =-有意义，则0010x x x ≥⎧⇒≤<⎨->⎩1，即函数2()log (1)f x x -的定义域为[)0,1，故答案为：[)0,1. 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，利用函数有意义列出不等式组是解题的关键，属于基础题.4．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为__________．【答案】23【解析】利用列举法：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，共4种结果，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，有（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4种结果，故甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为4263=，故答案为23．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率. 5．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为_______．【答案】200【解析】由频率分布直方图可知，算出次品所占的比例乘以样本容量即可得出结果．【详解】根据频率分布直方图可知，样本中次品的频率为：1－（0.05＋0.0625＋0.0375）×5＝0.25，所以，样本中次品的件数为：0.25×800＝200故答案为200【点睛】本题主要考查频率分布直方图的读图能力，注意纵坐标意义．属于简单题型.6．如图是一个算法流程图，则输出的b的值为_______．【答案】8【解析】根据程序框图，写出每次运行结果，利用循环结构计算并输出b的值．【详解】第1步：a＞10不成立，a＝a＋b＝2，b＝a－b＝1；第2步：a＞10不成立，a＝a＋b＝3，b＝a－b＝2；第3步：a＞10不成立，a＝a＋b＝5，b＝a－b＝3；第4步：a＞10不成立，a＝a＋b＝8，b＝a－b＝5；第5步：a＞10不成立，a＝a＋b＝13，b＝a－b＝8；第6步：a＞10成立，退出循环，输出b＝8.故答案为8 【点睛】本题考查循环结构的程序框图，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．7．若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22154x y -=的右焦点，则p =____.【答案】6【解析】分别写出抛物线的焦点坐标与双曲线的右焦点坐标，由两焦点相同求p 的值．【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(2p，0)，双曲线22154x y -=中，25a =，24b =，∴3c =，∴双曲线22154x y -=的右焦点为(3,0)，则32p ，得6p ．故答案为：6．【点睛】本题考查抛物线与双曲线的简单性质，是基础的计算题．8．已知函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为______.【答案】【解析】利用辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得ϕ，进而得到()f x 解析式，代入8x π=-即可求得结果.【详解】()()()2cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，()f x 为R 上的奇函数，()6k k Z πϕπ∴-=∈，解得：()6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，6πϕ∴=，()2sin 2f x x ∴=，2sin 84f ππ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：. 【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值、已知解析式求解三角函数值的问题；关键是能够通过辅助角公式将函数化简为正弦型函数，进而利用奇偶性构造方程求得参数.9．已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列()*n N ∈，且12a =，则10a =______.【答案】20【解析】首先由条件设()21n a n d =+-，再根据数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，求公差d ，再求10a . 【详解】设()21n a n d =+-，所以()()()22222242221n d n d d n d n d a n n n+-+-+-⎡⎤⎣⎦==，由于2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以其通项是一个关于n 的一次函数，所以()220d -=，所以2d =，101920a a d ∴=+=.故答案为：20 【点睛】本题考查等差数列通项公式的简单应用，重点考查计算能力，属于基础题型.10．在ABC 中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上．若134DE DF →→⋅=，则线段BD 的长为______．【答案】2【解析】由题意结合余弦定理可得212BC =，即可得90C =︒，建立平面直角坐标系后，表示出各点坐标，由134DE DF →→⋅=转化为坐标运算即可得解. 【详解】在ABC 中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，则2222cos 164812BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠=+-=，∴222BC AC AB +=，90C =︒，以C 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴、y 轴正半轴上建立平面直角坐标系，如图，则()0,0C ，()2,0A ，()0,23B ，()1,3E ，()1,0F ，设()()0,023D d d ≤≤，故()1,3DE d →=-，()1,DF d →=-，134DE DF →→⋅=，∴213134d d -+=，解得33d =或3d =-（舍去），∴33323BD -==.故答案为：32.【点睛】本题考查了余弦定理与平面向量数量积的坐标运算，考查了运算求解能力，属于基础题 11．已知点(3,0),(1,2)A B ---，若圆222(2)(0)x y r r -+=＞上恰有两点,M N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____. 【答案】29222【解析】由题意可得()()221320-++--2根据△MAB 和△NAB 的面积均为4，可得两点M ，N 到直线AB 的距离为2；由于AB 的方程为020y ---=313x +-+，即x +y+3=0；若圆上只有一个点到直线AB 的距离为，则有圆心（2，0）到直线AB ，解得r=2；若圆上只有3个点到直线AB 的距离为，则有圆心（2，0）到直线AB =r ﹣，解得r=2；综上，r 的取值范围是（2，2）．）． 12．已知函数2()23ln 4x a a x f x x x x e e --=--++，其中e 为自然对数的底数,若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为____. 【答案】1ln2- 【解析】令g （x ）=223ln x x x --，g′（x ）=4x 13x --=()()2411431x x x x x x+---=，故g （x ）=x ﹣ln （x+2）在（0，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，g （x ）有最小值﹣1，而4x a a x e e --+≥4，（当且仅当x a e -=4a x e -，即x=a +ln2时，等号成立）；故f （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a +ln2=1，即a=1﹣ln2．故答案为：1﹣ln2． 13．已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】(){}0,12⋃-【解析】根据分段函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，分两段分析，当0x ≤时，令()0g x =得到0x =或210x ax -+=，利用二次函数分析210x ax -+=根的情况即可；当0x >时，令()0g x =得到22ln =e x a x ，令 ()22ln =e xh x x ，用导数法画出其图象，研究y a =与 ()y h x =的交点情况，然后由两段共3个零点下结论即可. 【详解】当0x ≤时，令()0g x =得320-+=x ax x ，解得0x =或210x ax -+=，所以当2a <-时，()g x 在(,0]-∞上有三个零点；当2a =-时，()g x 在(,0]-∞上有两个零点；当2a >-时，()g x 在(,0]-∞上有一个零点；当0x >时，令()0g x =得22ln 0-=e x ax ，即22ln =e xa x，令 ()22ln =e xh x x ，则 ()()3212ln -'=e x h x x，所以()()()()0,,0,,,0''∈>∈+∞<x e h x x e h x ，画出函数()h x ，如图所示：由图知：当()01<<=a h e 时，()g x 在()0,∞+有两个零点；当1a=或0a≤时，()g x在()0,∞+有一个零点；当1a>时，()g x在()0,∞+无零点；综上：当01a<<或2a=-时，()g x在R有三个零点，故答案为：(){}0,12⋃-【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根以及导数与函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于较难题.14．锐角三角形ABC，AD是边BC上的中线，且AD AB=，则111tan tan tanA B C++的最小值为___________.【答案】13【解析】根据题意，不妨设2BD CD==，取BD中点为H，连接AH，设AH h=，分别表示出tan B，tan C，再由两角和的正切公式，可表示出tan A，将111tan tan tanA B C++转化关于h的式子，结合基本不等式求解，即可得出结果.【详解】不妨设2BD CD==，取BD中点为H，连接AH，设AH h=，=AD AB，1∴==BH HD，AH BD⊥，所以tan=B h，tan3=hC，因为()2tan tan4tan tantan tan13+=-+==--B C hA B CB C h，又三角形ABC为锐角三角形，所以243hhh>⎧⎪⎨>⎪-⎩，解得3h>所以21113311313132tan tan tan44444h h hA B C h h h h h-++=++=+≥⋅=，当且仅当1344h h =，即13h =（满足3h >）时，等号成立. 故答案为：132. 【点睛】本题主要考查根据基本不等式求三角函数的最值，涉及两角和的正切公式，属于常考题型.二、解答题15．如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O交于点A ,且点A 的纵坐标是1010．（1）求3cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭的值: （2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ,且点B 的横坐标为55-求αβ+的值．【答案】（1）55-（2）34αβπ+=【解析】（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,10sin α=,进而求出310cos α=在利用余弦的和差公式即可求出3cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）根据钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是55-,得出cos 5β=-,进而得出sin 5β=,利用正弦的和差公式即可求出()sin 2αβ+=,结合α为锐角,β为钝角,即可得出αβ+的值. 【详解】解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A ,点A ,所以由任意角的三角函数的定义可知,10sin α=．从而cos 10α==．（1）于是333cos cos cos sin sin 444αααπππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭⎛=+= ⎝⎭⎝⎭（2）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是-所以cos β=,从而sin 5β==．于是()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=1051052⎛=-+⨯ ⎝⎭．因为α为锐角,β为钝角,所以3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭从而34αβπ+=．【点睛】本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题. 16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥,点,E F 分别是111,BB A B 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证:EF 平面1ADC【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【详解】试题分析：（1）要证D 为BC 的中点，又AB=AC ，即证ＡＤ⊥ＢＣ即可；（２）连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG ，由（１）易证//EF DG ，从而问题得证．试题解析：（1）正三棱柱111ABC A B C -，∴ 1C C ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，∴ 1C C AD ⊥，又1AD C D ⊥，111C D C C C ⋂=∴ AD ⊥平面11BCC B ，又正三棱柱111ABC A B C -，∴平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴ AD ⊥ BC ，D 为BC 的中点．（2）连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG矩形11A ACC ，∴ G 为1A C 的中点，又由(1)得D 为BC 的中点，∴1A BC 中，1//DG A B又点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，∴△11A B B 中，1//EF A B ，∴ //EF DG ，又EF ⊄平面1ADC ，DG ⊂平面1ADC∴ //EF 平面1ADC点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17．某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成(如图1).每座帐篷的体积为354m π，且分上､下两层，其中上层是半径为(1)r r (单位：m)的半球体，下层是半径为m r ，高为m h 的圆柱体(如图2).经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面､隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y 千元.（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.【答案】（1）25460()y r rπ=⨯+，3{|133}r r <；（2）当半径r 为3m 时最小为1620π千元.【解析】（1）由帐篷体积=半球体积+圆柱体积，可用r 表示出h ，则22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r r π=+；再由254203r r ->，可得定义域；（2）结合（1）可设254()f r r r=+，3133r <，根据导函数求出其最小值即可得到帐篷的总建造费用的最小值.【详解】（1）由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r =-，所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r r πππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+⨯-，即25460()y r rπ=⨯+；因为1r ，0h >，所以254203r r ->，则3133r <，所以定义域为3{|133}r r <，（2）设254()f r r r =+，3133r <，则254()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =，当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()27min f r =，此时，总费用最小值为60271620ππ⨯=千元．答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元．【点睛】本题主要考查圆柱的体积与表面积以及球体的体积与表面积，考查了函数模型的实际应用，以及利用导数求最值等知识点，属于中档题．18．已知椭圆 2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，若椭圆C 经过点0（，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为12F AF ∆的内心，求12F NF ∆与12F AF ∆面积的比值；（3）设点A ，F 2，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ， E ．连结AE ，BD ，试问当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）13；（3）定点5,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意知b ．由c a ＝12，可得b a a 即可得出椭圆C 的方程．（2）由点N 为△F 1AF 2的内心，可得点N 为△F 1AF 2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得1212S F NF S F AF ∆∆＝()1212211212F F r AF AF F F r ++，整理即可．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于F 2G 的中点5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭．设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），与椭圆方程联立化简得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意，得D （4，y 1），E （4，y 2），则直线AE 的方程为y ﹣y 2＝2114y y x --（x ﹣4）．令52x =，此时y ＝y 2+2114y y x --（542-），把根与系数关系代入可得y ＝0，因此点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭在直线AE 上．同理可证，点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BD 上．即可得出结论．【详解】（1）由题意，b =12c a =，所以2b a =，解得2a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）因为点N 为12F AF ∆的内心，所以点N 为12F AF ∆的内切圆的圆心，设该圆的半径为r .则()1212121212121212112132F NF F AF F F r S F F c S AF AF F F a c AF AF F F r ∆∆⨯⨯====+++⨯++⨯.（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5,02⎛⎫⎪⎝⎭，下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设直线l 的方程为()1y k x =-，()221,143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩化简得()22223484120k x k x k +-+-=，因为直线l 经过椭圆C 内的点()1,0，所以0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k+=+，212241234k x x k -=+. 由题意，()14,D y ，()24,E y ，直线AE 的方程为()212144y y y y x x --=--，令52x =，此时()()()122121211243544224x y y y y y y y x x -+--⎛⎫=+⨯-= ⎪--⎝⎭ ()()()()12211241324x k x k x x x --+-=-()()1221182524k kx x k x x x +-+=-()222214128825343424k k k k k k k x -+⋅-⋅++=- ()()()()222218342412582434k k k k k k x k ⋅++⋅--⋅=-+()()()()3333322112432824404040024342434k k k k k k k x k x k++---===-+-+，所以点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭在直线AE 上，同理可证，点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BD 上. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、直线相交问题、三角形的内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列. （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值.（3）已知数列{}n a 的公差为()d d ≠0，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-⋅+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式(用含n ，d 的式子表达)；【答案】（1）()123nnS --=；（2）11b =-；（3）2,n n n a nd b d ==.【解析】（1）利用已知条件求得q ，由此求得n S .（2）利用已知条件求得1,a d ，根据数列{+}n n a b 的前三项成等比数列列方程，结合判别式求得1b .（3）利用退1作差法求得n n a b ，结合等比中项的性质求得1a 和d 的关系式，由此求得数列{}n a ，{}n b 的通项公式. 【详解】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，依题意有11232321111,6060b b b b b b q b q ==⎧⎧⎨⎨-+=-+=⎩⎩，即()()332260,2260q q q qqq -+=+-+-=，()()()222230q q q q +-+-=， ()()22230q q q +-+=，()()22120,2q q q ⎡⎤+-+==-⎣⎦.所以()()111213nn n b q S q---==-. （2）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意22a =，4710++21a a a =，即11231821a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以n a n =.由于数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，所以()()()2221133a b a b a b +=+⋅+，即()()()2213213b b b +=+⋅+，22213134433b b b b b b ++=+++， 22221324433b b b b b ++=+++，213431b b b =+-，即21114310b q b q b -+-=，由于数列{}n b 唯一，所以()()211144310b b b ∆=--⋅-=，解得11b =-（10b =舍去）.（3）依题意11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-⋅+①，令1n =，得111122,a b b a ==，当2n ≥时，112211(2)22nn n a b a b a b n --++⋯+=-⋅+②，①-②得()22nn n a b n n =⋅≥，1n =时上式也符合，所以()*2N n n n a b n n =⋅∈.所以22338,24a b a b ==，则232131882424,2b b a a d a a d====++，由于123,,b b b 成等比数列，所以211182242a d a a d ⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭，化简得2211230a a d d +-=，解得13a d =-或1a d =.当13a d =-时，()4n a n d =-，()24nn n b n d ⋅=-不是等比数列，舍去.当1a d =时，n a nd =，2nn b d=符合.【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和，属于中档题. 20．设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈.（1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +对任意的1a 及任意的0x >恒成立，求b 取值范围；（3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为(1,)-+∞；（2）22ln 2b -；（3）1(a e∈-，0)．【解析】（1）根据导数和函数单调性的关系,判断导函数的符号即可求出．（2）分离参数，可得2x e x b -对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的取值范围．（3）先求导，再分类讨论，构造函数，根据导数和函数单调性以及最值的关系即可求出a 的取值范围．【详解】（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>，当1x >-时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为(1,)-+∞．（2）由2()2f x x bx +，得： 22x axe x bx +，由于0x >，所以2x ae x b +对任意的1a 及任意的0x >恒成立，由于0x e >，所以x x ae e ，所以2x e x b -对任意的0x >恒成立．设()2xx e x ϕ=-，0x >，则()2x x e ϕ'=-，所以函数()ϕx 在(0,ln 2)上单调递减，函数()ϕx 在(ln 2,)+∞上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2min x ϕϕ==-．所以22ln 2b -．（3）由()ln x g x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1x xx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >，若0a 时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意．若0a <时，令()0g x '=，得10xxe a=->，由第（2）小题知，当0x >时，()222ln 20x x e x ϕ=-->，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞，所以存在00x >，使得0010x ax e +=，即001xax e =-，①当0x x <时，()0h x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 单调递增，在0(x ，)+∞单调递减．因为函数()g x 有两个零点1x ，2x ，所以0000000()()ln 1ln 0x max g x h x ax e x x x x ==++=-++>，② 设()1ln x x x ∅=-++，0x >，则1()10x x∅'=+>，所以()x ∅在(0,)+∞上单调递增，由于∅（1）0=，所以当1x >时，()0x ∅>，所以②式中的01x >，由①式得001x x ea=-，由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)，第 1 页共 6 页当1(a e∈-，0)时，（i ）由于111()(1)0eae g e e e=+-<，所以01()()0g g x e<，因为011x e <<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 在0(0,)x 上图象不间断，所以函数()(0g x ，0)x 上恰有一个零点．（ii ）由于1111()ln()a g e a a a--=--+-，令1t e a=->，设()ln t F t e t t =-++，t e >由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0h a-<，由①式得当01x >时，0001x x e x a-=>，且01()()0g h x a -<，同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上恰有一个零点，综上，1(a e∈-，0)．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值，利用导数研究不等式恒成立问题以及利用导数研究函数的零点，考查了转化思想与分类讨论思想的应用，同时考查了计算能力，属于难题．。

江苏省南京师范大学附属中学江宁分校2024届高三上学期12月月考数学试卷

江苏省南京师范大学附属中学江宁分校2024届高三上学期12月月考数学试卷1.下列式子表示正确的是（）A．B．C．D．2.“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3.若，则（）A．B．C．D．4.不重合直线a，b，c和不重合平面，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．45.已知随机变量X的分布列为X123P且，若，则等于（）A．B．C．D．6.第19届亚运会的样物由“琮琮”“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个同类吉祥物完全相同，无区别，若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（）A．B．C．D．7.已知椭圆，双曲线，椭圆与双曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．8.设数列满足，令，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．9.以下结论正确的是（）A．根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系B．的值越大，两个事件的相关性就越大C．在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好D．在回归直线中，变量时，变量的值一定是1510.如图，在正四棱柱中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（）A．直线平面B．三棱锥的体积为C．三棱锥外接球的表面积为D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为11.已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列说法正确的是（）A．若，则有两解B．周长的最大值为12C．的取值范围为D．的最大值为12.已知函数，且函数有三个零点，则下列判断正确的是（）A．的单调递减区间为B．实数的取值范围为C．曲线在点处的切线方程为D．13.已知是圆：上任意一点，则的取值范围为______．14.向量，满足，，，则___________.15.河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证．一名身高的同学假期到河北省正定县旅游，他在处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）向塔行走了后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为_____________m．（参考数据：，结果保留整数）16.已知实数，满足，则的最小值是__________.17.现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件表示随机抽取的两名男生不在同一组．．．．．，求．18.在中，角的对边分别为的面积为，已知.(1)求角；(2)若的周长为，求的最大值.19.如图，平面，，，，，．(1)求点到平面的距离；(2)当平面与平面垂直时，求线段的长．20.已知函数，其中，e为自然对数的底数.(1)若，求的图象在点处的切线方程；(2)若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围.21.已知公差大于0的等差数列的前项和，且满足：.(1)求数列的通项公式；(2)若数列是等差数列，且，求非零常数；(3)若（2）中的的前项和，求证：.22.在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，直线与交于A，B两点，直线与交于D，E两点，的最小值；(3)为曲线上一点，且的横坐标大于4．过作圆的两条切线，分别交轴于点、，求三角形面积的取值范围.。

江苏省南京师范大学附属中学江宁分校2024届高三上学期12月月考数学试卷

江苏省南京师范大学附属中学江宁分校2024届高三上学期12月月考数学试卷一、单选题1．下列式子表示正确的是（） A ．∅{}0⊆B ．{}{}22,3∈C ．∅{}1,2∈D ．{}00,2,3⊆2．“1x >”是“2x x >”的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要3．若i 2i z =+，则z =（） A ．12i -B ．2i 2-C ．2i 1-D ．12i +4．不重合直线a ，b ，c 和不重合平面αβγ，，，下列说法：①若//,//a b b c ，则//a c ；②若,a b b c ⊥⊥，则a c ⊥；③若//,//a b αα，则//a b ；④若,a b αα⊥⊥，则//a b ；⑤若//,//αββγ，则//αγ；⑥若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知随机变量X 的分布列为且3Y aX =+，若()2E Y =-，则a 等于（） A ．3-B ．2-C ．53D ．36．第19届亚运会的样物由“琮琮”“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个(同类吉祥物完全相同，无区别)，若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（） A ．14B ．25C ．17D ．377．已知椭圆()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>，椭圆与双曲线有公共焦点12,,F F P 是椭圆与双曲线的一个公共点，且1260F PF ∠=︒，则下列说法正确的是（） A ．12b b =B．12b =C ．122b b =D．12b =8．设数列{}n a 满足()*1221,1,2,N 2,n n n a n a a a n a n ++⎧===∈⎨⎩为奇数为偶数，令()22221πlog sin 2n n n b a a -⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，则数列{}n b 的前100项和为（）A ．4950-B ．5000-C ．5050-D ．5250-二、多选题9．以下结论正确的是（）A ．根据22⨯列联表中的数据计算得出2 6.635χ≥，而()26.6350.01P χ≈≥，则根据小概率值0.01α=的独立性检验，认为两个分类变量有关系 B ．2χ的值越大，两个事件的相关性就越大C ．在回归分析中，相关指数2R 越大，说明残差平方和越小，回归效果越好D ．在回归直线0.585y x =-$中，变量200x =时，变量y 的值一定是1510．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，点P 为线段1AD 上一动点，则下列说法正确的是（）A ．直线1//PB 平面1BCD B ．三棱锥1P BC D -3C ．三棱锥11D BC D -外接球的表面积为6πD ．直线1PB 与平面11BCC B11．已知ABC V 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π3C =，4c =，则下列说法正确的是（）A．若a =，则ABC V 有两解 B ．ABC V 周长的最大值为12C ．cos cos B A 的取值范围为1(,2),2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U D ．AB AC ⋅uu u r uu u r的最大值为812．已知函数()286ln f x x x x =-+，且函数()()g x f x m =-有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则下列判断正确的是（）A ．()f x 的单调递减区间为(1,3)B ．实数m 的取值范围为()6ln 315,7--C ．曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为146ln 2y x =-+-D ．122x x +>三、填空题13．已知()00,P x y 是圆C ：222210x y x y +--+=上任意一点，则0013y x +-的取值范围为． 14．向量a r ，b r满足1a =r ，()0a b a +⋅=r r r ，()2a b b +⊥r r r ，则b =r .15．河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证．一名身高1.7m 的同学假期到河北省正定县旅游，他在A 处仰望须弥塔尖，仰角为45︒，他沿直线（假设他的行走路线和塔底在同一条直线上）向塔行走了17m 后仰望须弥塔尖，仰角为60︒，据此估计该须弥塔的高度约为m ．（参考数1.732≈，结果保留整数）16．已知实数x ，y 满足2023e e 2023ln(2023)2023xx y y +-=-++，则e 2024x y ++的最小值是.四、解答题17．现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160,165,⋅⋅⋅，第八组[]190195,．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A 表示随机抽取的两名男生不在同一组．．．．．，求()P A ． 18．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC V 的面积为S ，已知24cos cos tan Sa B ab A B =+. (1)求角B ；(2)若3,b ABC =△的周长为l ，求Sl的最大值. 19．如图，⊥AE 平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==．(1)求点C 到平面ADE 的距离；(2)当平面EBD 与平面BDF 垂直时，求线段CF 的长．20．已知函数()e cos sin xf x x ax x =⋅-⋅，其中R a ∈，e 为自然对数的底数.(1)若0a =，求()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若对任意π,02⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.21．已知公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：3425117,22a a a a ⋅=+=.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数c ； (3)若（2）中的{}n b 的前n 项和n T ，求证：116423(9)nn n n b T b n b -+->+.22．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点()1,0F 且与直线=1x -相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线Γ． (1)求曲线Γ的方程；(2)过点()1,0F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与Γ交于A ，B 两点，直线2l 与Γ交于D ，E 两点，AB DE +的最小值；(3)P 为曲线Γ上一点，且P 的横坐标大于4．过P 作圆22(2)4x y -+=的两条切线，分别交y 轴于点M 、N ，求三角形PMN 面积的取值范围.。

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题(带答案解析)

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、填空题1．集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________. 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是_______． 3．24log 4log 2+=________.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_______.5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．6．已知函数()sin())f x x x ϕϕ=++，0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6f 的值为____．7．已知3()log f x x =，若a ，b 满足(1)(21)f a f b -=-，且2a b ≠，则+a b 的最小值为_______．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___．9．若抛物线24x y =的焦点到双曲线C ：22221x y a b-=(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为____．10．设,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若,m m αβP P ，则αβP ； ②若,m m P αβ⊥，则αβ⊥； ③若,m m n P P α，则n αP ； ④若,m P ααβ⊥，则m β⊥. 其中的正确命题序号是______.11．设0,0x y >>，向量a =r()1,4x -，b =r(),x y -，若a b r P r，则x y +的最小值为______．12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知CP =u u u v 4CA =u u u v ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u v u u u v__________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________．14．若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =，1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.(1)求证：//EF 平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos C =. （1）求角A 的值；（2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长. 17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围；（3）求总造价y 的最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.19．已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足：1nn bb +≤，且{}nc 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列．21．已知矩阵10A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦，20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值. 22．在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.23．已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v 夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 25．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ，n *∈N ．记()021?nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除．参考答案1．0 【解析】【分析】因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =，从而可以求出x 的取值. 【详解】解：集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，又0x e >，所以1x e =，即0x =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题. 2．-1 【解析】【分析】由题意，根据复数的运算，化简得2z i =-，即可得到复数z 的虚部．【详解】由题意，复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-，所以复数z 的虚部为1-．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．52【解析】【分析】根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础. 4．56【解析】【分析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】 s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为：56【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形 6．-1 【解析】函数为奇函数，则：()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，据此有：,33k k ππϕπϕπ+==-，令1k =可得：23ϕπ=，故：()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7．32【解析】【分析】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，得(1)(21)1a b --=，所以212a b+=，所以123(3)22b a a b a b +=++≥【详解】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，即3log (1)(21)0a b --=，所以(1)(21)1a b --=，得212a b+=，所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b =，即a =时，等号成立，综上，+a b 的最小值为32+ 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 8．49【解析】分析：先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有339⨯=种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有224⨯=，所以黑白两球均不在一号盒的概率为49，故答案为49. 点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.9．3 【解析】【分析】先求出抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出．【详解】抛物线x 2＝4y的焦点坐标为（0，1），双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ba=x ， ∴13a c==， ∴e ca==3，故答案为3．【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题. 10．②④ 【解析】【分析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案．【详解】对于①，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m ⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m ∥α，m ∥n 则n 可能在α内，故③错误；对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β；故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键． 11．9 【解析】【分析】先根据向量平行得到1x +4y=1，再利用基本不等式即可求出最值．【详解】：因为a r∥b r，所以4x+（1﹣x ）y=0，又x ＞0，y ＞0，所以1x +4y=1，故x+y=（1x +4y ）（x+y ）=5+y x +4xy≥9．当y x=4x y ，1x +4y =1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．（x+y ）min =9．故答案为9．【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 12．6 【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vQ213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=u u u v u u u v u u u v ,所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． 13．√5−22【解析】【分析】利用求根公式得到b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，表示目标b a+c =−1+√1+ac(a+c )2，借助均值不等式求最值. 【详解】∵b 2+2(a +c)b −ac =0 ∴b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，∴ba+c =−(a+c )+√(a+c )2+aca+c=−1+√(a+c )2+aca+c=−1+√1+ac(a+c )2，=−1+√1+1a c +ca+2≤√5−22，当且仅当a=c 时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】若0m > ,则当x →+∞时2101m x mx ->+ ,所以0m < ,从而221114m m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 或21114m m m⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以112m -<<-或112m m ≤-∴<-点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 15．（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ，根据G ，E ，F 分别是PD ，AB ，PC 的中点，可知道四边形AEFG 为平行四边形，即可说明//EF 平面PAD（2）要证明平面PAC ⊥平面PDE ．由题意已知PA DE ⊥，即只需证明DE AC ⊥,根据矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，AB =，1BC =，即可说明DE AC ⊥，即平面PAC ⊥平面PDE ．【详解】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F Q ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点得12AH AE CH CD ==又AB =Q 1BC =AC ∴13AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理：,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ；②利用面面平行的性质定理：,l l αβββ//⊂⇒// ．要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面．属于基础题． 16．（1）4A π= （2）1BC =【解析】【分析】（1）由题可知，cos 10C =-，根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ，在ABC ∆中，利用tan tan()A B C =-+，代入求出tan A ，即可得出A ∠；（2）利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=，即可求出BC 的长. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos C =.得sin 10C =，故tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<，所以4A π=（2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理：sin sin AB BCC A=得：5a AB a ==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 5B =，所以ABC ∆的面积为：1sin 2S AB BC B =⋅213321010a a =⨯==. 所以1a =，即1BC =. 【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.17．（1）4320()480(0)y x x x=++>；（2）[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）2x =()m ，总造价最小为1760元．【解析】【分析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式；（2）解不等式2080y ≤可得；（3）由函数单调性可得最小值．【详解】（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x =++，∴4320()480(0)y x x x=++>；（2）4320()4802080y x x=++≤，解得14x ≤≤；[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记4()f x x x=+，设1202x x <<≤，则12120,40x x x x -<-<， ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>，即12()()f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增，所以函数4320()480y x x=++在(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增， ∴2x =时，min 4320(2)48017602y =⨯++=． ∴2x =()m ，总造价最小为1760元．【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．18．（1）222x y +=（2）y x y x ==+【解析】【分析】（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y ，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +，代入12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r可得出,k m 的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线x =（2）设点()00,Q x y ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得023x N ⎛ ⎝⎭，由,Q N 分别在椭圆和圆上，联立方程组解得00,x y 后可得直线方程．【详解】（1）设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++.因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx x kb x x b++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k+--+=++，化简得2222b k =+，所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=.此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（2）设点()00,Q x y，点M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得0022,33x y N ⎛⎫⎪⎝⎭.代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点22Q ⎛-- ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y x =.【点睛】本题考查求圆的方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，用设而不求的思想方法．解题时注意体会．19．（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e +-<<-【解析】【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+，令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<；所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-，所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-，其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 20．（1）见解析；（2）n a n =；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）采用1n n n a S S -=-可进行求解，要验证1n =是否成立（2）（3）通过题干，将n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+进行联立求解，代换掉n b ，n c ，可求得数列{}n a 的通项公式【详解】（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==符合上式，则21(1)n a n n =-≥，2,422∴=-=--n n b k c n k ，则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}∴a a 为()H k 数列.（2）121,1,2==-=Q a b a ，由数列{}n a 为(1)H 数列，则{}n c 是等差数列，且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ，1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列，110,-=∴=Q n a a n ，验证：11+=-=-n n n b a a ，1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=．又由121++=+n n a a n ，1223+++=+n n a a n ，两式相减，得：22n n a a +-=，211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ，n a n ∴=（3）由数列{}a a 为(2)H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d ， 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤，1+∴=n n b b ，数列{}n b 为常数列，则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a ， {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解，但一定注意要验证1n =是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可 21．（1）0a =（2）1 【解析】【分析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解：()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--令()0f λ=,解得2,1λλ== 【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22．65AB = 【解析】【分析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长：圆C 的圆心到直线l 的距离为，【详解】解：直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为，圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，则圆C 的圆心到直线l 的距离为，所以.考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理 23．证明见解析【解析】【分析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++= ⎪⎝⎭，所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24．（1）2λ=；（2）5. 【解析】【详解】（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r ，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则0n PC ⋅=u u u r r ，0n PD ⋅=u u ur r ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ，又易得(1,0,2)PB =-uu r ，故cos ,PB n PB n PB n〈〉=⋅⋅=u u u r u u u r r r u u u r r所以直线PB 与平面PCD考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25．（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析. 【解析】【分析】（1）由二项式定理得21i i n a C +=，利用公式计算2T 的值；（2）由组合数公式化简n T ，把n T 化为42n +的整数倍即可．【详解】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+L ；（1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n k n n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n k n n C +=+，所以()()()12121000212121n n nn k n k n n k n n k k k T k a k C k C -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212100021212121n n nn kn k n k n n n k k k n k n Cn k C n C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑ ()()()()()12212212001122121221221222n n n k n k n n n n n n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221n n n C =+，()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除.【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．。

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