最值问题(4年级培优)教师版

（1）如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，它们的乘积越大；两个正整数的差越大，它们的乘积越小。

（2）如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越小；两个正整数的差越大，那么它们的和也越大。

（3）把一个正整数分拆成若干个正整数之和，如果要使这若干个正整数的乘积最大，这些正整数应该都是2或3，且2最多不要超过两个。

（4）遇到一些其他类似的问题，求最大或最小还要根据实际的条件解决问题。

a 、

b 是1,2,3，…，99,100中两个不同的数，

求）

－（）（b a b a ÷+的最大值。（四年级培优底稿） 分析：要使b

a b a -+的值最大，必须让分母最小，分子最大。可以判断出b a -的最小值应是1，即a 、b 是两个连续自然数；b a +的最大值是199，即100=a ,99=b 。

解：当100=a ,99=b 时，b a b a -+有最大值19999

10099100=-+。 （题中a 、b 是两个变量，通过对它们的控制，使得分数的分子最大，分母最小，从而确保分数的值最大。考察了极端情形的方法）

难度系数：A

a 、

b 是5,7,9,…,195,197,199中两个不同的数，求(b a +)-(b a -)的最大值。（底稿） 分析：要使(b a +)-(b a -)的值最大，必须让被减数最大，减数最小。可以知道b a +的最大值是197+199=396，b a -的最小值是2。即199=a ,197=b 。

解：当199=a ,197=b 时，(b a +)-(b a -)有最大值 ()()394197199197199=--+ 难度系数：A

“12345678910111213……484950”是一个位

数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成一个多位数，问这个多位数最大是多少？（三年级竞赛底稿）

解析：首先注意观察这个多位数，它是由1至50的连续自然数排列而成的，共有数字1×9+2×41=91（个），划去80个数字，剩下的将是一个11位数。要使剩下的多位数最大，应该保证较大的数字在较高的数位上。题中的多位数中一共含有5个“9”。显然前4个9应当保留下来，但当第五个9出现在第五位上时，就不能构成11位数。同样4个9后，如果是8，也不能组成11位数。划过去的过程如下图。

748495046414049383130392821202918111019876543211519191984434421ΛΛ4434421ΛΛ4434421ΛΛ43421ΛΛ4342

1个

划去个划去个划去个划去个划去//////////////////////////////////// 综上，剩下的数字组成的最大多位数是99997484950。

难度系数：B

从12位数376 247 859 165中划去6个数字，使剩下的6个数字（先后顺序不改变）组成的六位数最小。这个最小的六位数是多少？

解析：要使删去6个数字后，所得的六位数是最小的，那么所得的数的最高位越小越好，不难想象最高位若是1，那么需要删除前面的7个数字，不合题意，因此最高位只能为2，从而2前面的三个数字都要删除，接下来同理考虑从最高位到最低位要依次尽可能的小，

所以，最后我们可确定最小的6位数为245165。

难度系数：A

把50拆分成若干个自然数的和，要求自然

数的乘积尽量大，应如何拆？（秋季四年级竞赛15次底稿）

解：把一个自然数拆成若干个自然数的和，要使它们的乘积最大，应尽量拆成若干个3，如果剩余1，则将一个3与1改成2个2，这时乘积最大，50=16×3+2，所以，应把50拆成16个3与1个2相加，此时乘积最大。

难度系数：B

把40拆分成若干个自然数的和，要求自然数的乘积尽量大，应如何拆？

解：把一个自然数拆成若干个自然数的和，要使它们的乘积最大，应尽量拆成若干个3，如果剩余1，则将一个3与1改成2个2，这时乘积最大，40=13×3+1，所以，应把40拆成12个3与2个2相加，此时乘积最大。

难度系数：B

某小学师生共100人去体育馆看篮球比赛，体育馆每排有30个座位，为了使得每一排上坐的学生人数不一样，问：至少要安排多少排

座位？至多要安排多少排座位？（秋季三年级竞赛底稿）

解析：如果安排3排座位的话，那么至多能坐30+29+28=87（人），不到100人，不可能。下面我们举例说明，可以把这些学生安排到4排座位上。如每排上的人数依次为：30,29,28，

13。所以至少要安排4排座位。

如果安排14排座位，那么至少能坐1+2+3+…+14=（1+14）×14÷2=105（人）

超过了100人，不可能。下面我们举例说明，可以把这些学生安排到13排座位上，如每排上的人数依次为：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,22。

难度系数：B

一排有20个座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，那么原来至少有多少人就座？（奥林匹克训练指导）

解析：○●○○●○○●○○●○○●○○●○○●

某农户要在鸡舍一面的墙外，用长为40米

的竹篱笆围成一个长方形的场地放养鸡群，这个场地的一面就利用墙。问怎么选择这个场地的长和宽才能使它的面积最大？最大的面积是多少？（底稿）

分析：场地的竹篱笆不是四周，而只有三面，应该设法使它成为四周是竹篱笆的长方形场地。可以假设在原有墙的另一侧，也围成一个完全相同的长方形场地，并把中间的墙除去（如下图所示）形成一个大长方形，（所求长方形场地就是所假设的大长方形面积的一半）。这个长方形的周长是80240=⨯（米），如果这个大的长方形面积最大，那么所求长方形场地的面积也就最大。为了使长方形的面积最大，它的长与宽应该尽可能接近或者相等，所以它的边长必须是20480=÷（米）的正方形。所以所求面积应该是这个正方形面积的一半。

20 20

解：当长方形场地的长为20240=÷（米），宽为()1022040=÷-（米）时，它的面积