2012年株洲市初中数学竞赛初三试卷和答案

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2012年全国初中数学竞赛决赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～5 6～10 11 12 13 14 得分评卷人复查人一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，22||()||a a b c a b c ++-+可以化简为（）．（A ）2c -a （B ）2a -2b （C ）-a （D ）a2．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =x b（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A ）（2，3）（B ）（3，－2）（C ）（－2，3）（D ）（3，2） 3．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）144．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的（第1题图）概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .7．如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .8．如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为．9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF ⊥EC ，并与 EC 的延长线交于点F . 若AE = AO ， BC = 6，则CF 的长为 .（第6题图）（第7题图）（第10题图）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围．12．如图，⊙O 的直径为AB ，⊙O 1过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，OC 与⊙O 1交于点D ，且OD CD >．点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线与⊙O 1交于点F ，求证：△BOC ∽△1DO F ．13．已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值.14．求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，，　，，满足122012x x x <<<，且122012122012n x x x +++=.（第12题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．C解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．2．D解：由题设知，2(3)a -=⋅-，(3)(2)b -⋅-=，所以263a b ==，.解方程组236y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得32x y =-⎧⎨=-⎩，； 32.x y =⎧⎨=⎩，所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.3．D解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=，中位数为 (1)(1)44224a a b a b++++++=，于是 4423421444a b a b ++++-=.4．D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩，，消去x 得 (2y －7)n = y +4， 2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数，所以2y －7的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．5．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636p p p p ====，，，，因此3p 最大．二、填空题 6．7＜x ≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2，3(3x －2)－2 = 9x －8，3(9x －8)－2 = 27x －26，3(27x －26)－2 = 81x －80.由已知得 27x －26≤487， 81x －80＞487.解得 7＜x ≤19.容易验证，当7＜x ≤19时，32x -≤487 98x -≤487，故x 的取值范围是 7＜x ≤19．7．8解：连接DF ，记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ，所以21AD AN DN BF NF BN ===，由此得2AN NF =，所以23AN AF =.在Rt △ABF 中，因为2AB a BF a ==，，所以225AF AB BF a =+=，于是 25cos AB BAF AF ∠==. 由题设可知△ADE ≌△BAF ，所以 AED AFB ∠=∠，0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=. 于是 25cos AM AE BAF =⋅∠=，（第7题）23MN AN AM AF AM =-=-=，415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=，所以2481515MND AFD S S a ∆∆==.因为a =8MND S ∆=.8．32-解：根据题意，关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0，由此得 (k －3)2≤0．又(k －3)2≥0，所以(k －3)2=0，从而k =3. 此时方程为x 2+3x +49=0，解得x 1=x 2=32-.故2012220111x x =21x =23-． 9．8解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知23130a b +=，由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0≤130(1)(2)b m m =-++≤43，87≤(1)(2)m m ++≤130，由此得 8m =，或9m =.当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，5522a b a +>=，不合题设.故8m =．10．223 解：如图，连接AC ，BD ，OD .由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD ,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ，因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径，AD = CD ，所以OD 垂直平分AC ，OD ∥BC ，于是2DE OEDC OB==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.由△AED ∽△CEB ，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，，所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA =22AD ，故 AD CF BC BA =⋅=32222=. 三、解答题11．解：因为当13x -<<时，恒有0y <，所以23420m m ∆=+-+>（）（），即210m +>（），所以1m ≠-． …………（5分）当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0，且 233(3)2m m ++++≤0，解得m ≤5-．…………（10分）设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方（第10题）程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-，所以 121239210x x m x x m ++=-<-+，解得12m <-，或2m >-．因此12m <-．…………（20分）12．证明：连接BD ，因为OB 为1O 的直径，所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =，所以△CBE 是等腰三角形．…………（5分）设BC 与1O 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=︒．又因为OC OB =，所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．…………（15分）又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以△BOC ∽△1DO F ．…………（20分）13．解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）. 因为 (a +b )2－4ab = (a －b )2，所以 (2a －m )2－4n 2 = m 2，(2a －m +2n )(2a －m －2n ) = m 2.…………（5分）因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m +2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以2a －m +2n =m 2，2a －m －2n =1.（第12题）解得 a =2(1)4m +，n =214m -.于是 b = a －m =214m -（）.…………（10分）又a ≥2012，即2(1)4m +≥2012.又因为m 是素数，解得m ≥89. 此时，a ≥41)(892+=2025.当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =. 因此，a 的最小值为2025.…………（20分）14．解：由于122012x x x ，，　，都是正整数，且122012x x x <<<，所以1x ≥1，2x ≥2，…，2012x ≥2012．于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++=． …………（10分）当1n =时，令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯，，　，，则1220121220121x x x +++=. …………（15分）当1n k =+时，其中1≤k ≤2011，令 1212k x x x k ===，，　，，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，，则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-1k n =+=．综上，满足条件的所有正整数n 为122012，　，　，　．…………（20分）。

2012全国初中数学竞赛试题及答案(现只有选择题答案)

中国教育学会中学数学教学专业委员会答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1. 如果2a =-+11123a+++的值为（）．（A ）（B （C ）2 （D ）解：B∵213+=+a ∴1231-=+a ，12312+=++a，123121-=++a因此原式=22. 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（）．（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5 解：B解法一：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x因为x 、y 均为整数，因此()()01122=-+-y x 或()()11122=-+-y x 或()()21122=-+-y x分别解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧==01y x ⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==20y x ⎩⎨⎧==22y x ⎩⎨⎧==00y x ⎩⎨⎧==02y x 所以共有9个整点解法二：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x 它表示以点（1,1）为圆心，2为半径的圆内，画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）3. 如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（）．（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 解：4. 如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 解：C∵p 、q 是正整数∴042>+=∆q p ，021<-=⋅q x x∴正根为3242<++qp p 解得p q 39-<∴⎩⎨⎧==11q p ，⎩⎨⎧==21q p ，⎩⎨⎧==31q p ，⎩⎨⎧==41q p ，⎩⎨⎧==51q p ，⎩⎨⎧==12q p ，⎩⎨⎧==22q p5. 黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 解：C1)1)(1(-++=++b a ab b a∵计算结果与顺序无关∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b+++++的值为．解：7 在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++ac b c b a b a c7. 如图，正方形ABCD 的边长为2E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 解：8易证△ABF ≌△DAE ，因此AF ⊥DE ∴()()351515222=+==AF DE∴323515152=⋅=AM ，()()343215222=-=DM易证△AND ∽△FNB ，且相似比为2:1∴331032==AF AN ，33531==AF FN ∴334323310=-=MN ∴83433421=⋅⋅=∆DMN S8. 设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 . 解：1600()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此9|54+n ，所以)5(mod 14≡n ，因此25k ,15±±=或k n240252012⋯⋯=÷所以共有2012-402=1600个数9. 如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a c的取值范围是 . 解：1253≤<-ca依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>+>+ac b c b a 111，所以a c b ->，代入（2）得ca c cb a 11111+-<+<，两边乘以a 得 c a a c a +-<1即ac a c a c -<-化简得0322<+-c ac a ，两边除以2c 得0132<+-⎪⎭⎫⎝⎛c a c a所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c ，所以1≤ca综合得1253≤<-ca10. 已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为．解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22由于n 是偶数，a+b 、a-b 同奇偶，所以n 是4的倍数当1≤n ≤100时，4的倍数共有25个但是224⨯=，6412224⨯=⨯=，8416232⨯=⨯=，10420240⨯=⨯=，8612424248⨯=⨯=⨯=，14428256⨯=⨯=，10630260⨯=⨯=，16432264⨯=⨯= 12618436272⨯=⨯=⨯=，10820440280⨯=⨯=⨯=，22444288⨯=⨯= 12816624448296⨯=⨯=⨯=⨯=这些不符合要求，因此这样的n 有25-12=13个这个解析漏了一个84=22的平方-20的平方=10的平方-4的平方最后结果应该是12个你说的很对，第10题的解答确实有漏洞，84也应该算一个，结果应该是12。

2012年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是（）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为（） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（）A ．3 B ．3 C ．3 D ．34．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（） A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p的所有可能的值之和为（）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有（）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t = ． 2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝． 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.第二试（B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)-个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知21a =-，32b =-，62c =-，那么,,a b c 的大小关系是（ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为（ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（ D ）A ．6 B ．5 C ．26 D ．254．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（ B ） A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98.5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p的所有可能的值之和为（ B ）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有（ C ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 解：根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个．（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）．如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个．因此，这样的四位数共有6×4=24个．（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个．（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个．因此，满足要求的四位数共有4+24+8+8=44个．故选C ．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =1±．2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝3．4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝332．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >.由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ，∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.又因为AM//BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-.第二试（B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >. 由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <. 又因为c 为整数，所以2129c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π；当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π.二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴PD BDCD OD =， ∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD AD AD CD=.又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)-个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.解抛物线的方程即2213(3)62b y x b c =--++，所以点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662b y x b =--++-.易求得两抛物线的交点为Q 23(312102)2b b +-+. 由∠QBO ＝∠OBC 可得tan ∠QBO ＝tan ∠OBC.作QN ⊥AB ，垂足为N ，则N (312b +-，又233(x b b ==，所以tan ∠QBO ＝QN BN2310212b +=212=22111)]22==⋅. 又tan ∠OBC ＝OCOB 1(2b ==⋅，所以111)](22b ⋅=⋅. 解得4b =（另一解45)03b =<，舍去）. 因此，抛物线的解析式为21466y x x =-+-.------------------------------------------------------------------------怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的小学数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。

2012全国初中数学竞赛试题参考答案和评分标准(湖南卷)

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．B 5．D二、填空题 6．8 7．7＜x ≤19 8．8 9．32-10．223 三、解答题11．解：因为当13x -<<时，恒有0y <，所以 23420m m ∆=+-+>（）（），即210m +>（），所以1m ≠-． …………（5分）当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即 2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0，且233(3)2m m ++++≤0，解得m ≤5-． …………（10分）设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得 ()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-，所以 121239210x x m x x m ++=-<-+，解得12m <-，或2m >-．因此12m <-． …………（20分）12．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以 AB = 10．由勾股定理，得 BO6=.易知△ABO ≌△ACO ，因此 CO = BO = 6.于是A （0，－8），B （6，0），C （－6，0）. 设点D 的坐标为（m ，n ），由S △COE = S △ADE ，得S △CDB = S △AOB . 所以 1122BC |n |=AO BO ， 1112()8622n ⨯-=⨯⨯，解得n =－4. 因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为（3，－4）. …………（10分）因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△A BC的重心，所以点E 的坐标为），（380-. 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y =a （x －6）（x +6）. 将点E 的坐标代入，解得a =272. 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 228273y x =-. …………（20分） 13．证明：连接BD ，因为OB 为1O 的直径，所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =，所以△CBE 是等腰三角形． …………（5分）设BC 与1O 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=︒．又因为OC OB =，所以 22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠． …………（15分）又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以△BOC ∽△1DO F ． …………（20分）14．解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）.因为 (a +b )2－4ab = (a －b )2，所以 (2a －m )2－4n 2 = m 2，(2a －m +2n )(2a －m －2n ) = m 2. …………（5分）因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m +2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以2a －m +2n =m 2，2a －m －2n =1.解得:a =2(1)4m +，n =214m -. 于是 b = a －m =214m -（）. ………（10分）又a ≥2012，即2(1)4m +≥2012. 又因为m 是素数，解得m ≥89. 此时，a ≥41)(892+=2025. 当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =.因此，a 的最小值为2025. …………（20分）。

2012年全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式||||a b b c ++可以化简为（）．（A ）2c -a （B ）2a -2b （C ）-a （D ）a2．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A ）（2，3）（B ）（3，－2）（C ）（－2，3）（D ）（3，2）3．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A ）1 （B ）214a - （C ）12（D ）144．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .7．如图，正方形ABCD 的边长为2E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .8．如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为．9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线交于点F . 若AE = AO ， BC = 6，则CF 的长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围．12．如图，⊙O 的直径为A B ，⊙O 1过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，O C与⊙O 1交于点D ，且O D C D >．点E 在O D 上，且D C D E =，BE 的延长线与⊙O 1交于点F ，求证：△BOC ∽△1D O F ．13．已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值.14．求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，，　，，满足122012x x x <<< ，且122012122012nx x x +++= .中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．C解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c<<<，且b c >，所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．2．D解：由题设知，2(3)a -=⋅-，(3)(2)b -⋅-=，所以263a b ==，.解方程组236y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得32x y =-⎧⎨=-⎩，； 32.x y =⎧⎨=⎩，所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.3．D解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a a b a b a b+++++++++=，中位数为(1)(1)44224a a b a b++++++=，于是4423421444a ba b++++-=.4．D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩，，消去x 得 (2y －7)n = y +4， 2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数，所以2y －7的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．5．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636p p p p ====，，，，因此3p 最大．二、填空题 6．7＜x ≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2，3(3x －2)－2 = 9x －8，3(9x －8)－2 = 27x －26，3(27x －26)－2 = 81x －80.由已知得27x －26≤487， 81x －80＞487.解得 7＜x ≤19.容易验证，当7＜x ≤19时，32x -≤487 98x -≤487，故x 的取值范围是 7＜x ≤19．7．8解：连接DF ，记正方形ABC D 的边长为2a . 由题设易知△B F N ∽△D AN ，所以21AD AN D N BFN F BN===，由此得2ANN F=，所以23ANAF=.在Rt △ABF 中，因为2ABa BF a==，，所以AF ==，于是cos 5A B B A F A F∠==.由题设可知△ADE ≌△BAF ，所以 AED AFB∠=∠，18018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=.于是 cos 5A M A EB A F =⋅∠=，2315M N A N A M A F A M =-=-=，415MND AFDS MN S AF∆∆==.又21(2)(2)22AFDS a a a∆=⋅⋅=，所以2481515M N DAFD S S a∆∆==.因为a =8MND S ∆=.8．32-解：根据题意，关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0，由此得 (k －3)2≤0．又(k －3)2≥0，所以(k －3)2=0，从而k =3. 此时方程为x 2+3x +49=0，解得x 1=x 2=32-.故2012220111x x =21x =23-．9．8解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知23130a b +=，由此得0≤b ≤43. 又(1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0≤130(1)(2)b m m =-++≤43，87≤(1)(2)m m ++≤130，由此得8m =，或9m =.当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，5522a b a +>=，不合题设.故8m =． 10．223解：如图，连接AC ，BD ，OD .由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD ,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ，因此B C B A C FA D=.因为OD 是⊙O 的半径，AD = CD ，所以OD 垂直平分AC ，OD ∥BC ，于是2D E O E D CO B==. 因此223D E C D AD C E AD===，.由△AED ∽△C E B ，知D E E C A E B E ⋅=⋅．因为322B A A E B E B A ==，，所以 32322B A A D A D B A ⋅=⋅，BA =22AD ，故A D C FBC B A=⋅=2=.三、解答题11．解：因为当13x -<<时，恒有0y <，所以23420m m ∆=+-+>（）（），即210m +>（），所以1m ≠-．…………（5分）当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0，且 233(3)2m m ++++≤0，解得m ≤5-．…………（10分）设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-，所以121239210x x m x x m ++=-<-+，解得12m <-，或2m >-．因此12m <-．…………（20分）12．证明：连接BD ，因为O B 为1O 的直径，所以90O D B ∠=︒．又因为D C D E =，所以△CBE 是等腰三角形．…………（5分）设B C 与1O 交于点M ，连接OM ，则90O M B ∠=︒．又因为O C O B =，所以22B O C D O M D B C ∠=∠=∠12DBF DO F=∠=∠．…………（15分）又因为1BO C D O F ∠∠，分别是等腰△B O C ，等腰△1D O F 的顶角，所以△BOC ∽△1D O F ．…………（20分）13．解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）. 因为 (a +b )2－4ab = (a －b )2，所以 (2a －m )2－4n 2 = m 2，(2a －m +2n )(2a －m －2n ) = m 2.…………（5分）因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m +2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以2a －m +2n =m 2，2a －m －2n =1. 解得 a =2(1)4m +，n =214m -.于是 b = a －m =214m -（）.…………（10分）又a ≥2012，即2(1)4m +≥2012.又因为m 是素数，解得m ≥89. 此时，a ≥41)(892+=2025.当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =. 因此，a 的最小值为2025.…………（20分）14．解：由于122012x x x ，，　，都是正整数，且122012x x x <<< ，所以 1x ≥1，2x ≥2，…，2012x ≥2012．于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++= ．…………（10分）当1n =时，令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯ ，，　，，则1220121220121x x x +++= .…………（15分）当1n k =+时，其中1≤k ≤2011，令 1212k x x x k === ，，　，，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，，则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅- 1k n=+=．综上，满足条件的所有正整数n 为122012 ，　，　，　． …………（20分）。

2012年12月份九年级学科竞赛数学试题(含答案)

2012学年第一学期九年级12月份学科竞赛数学试题卷一、选择题(本大题共l 0小题，每小题3分） 1、若x-2y y =25 ，则xy等于（） A 、45 B 、54 C 、125 D 、5 122、如果两个相似多边形的面积比为9：4，那么这两个相似多边形的相似比为( ） A 、9：4 B 、3：2 C 、2：3 D 、81：l63、圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（ )．A 、36πB 、48πC 、144πD 、72π 第5题 4、将二次函数y=x 2的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到新的图象的二次函数表达式是( )A 、y=(x+3)2-2B 、y=(x-3)2-2C 、y=(x+3)2+2D 、y=(x-3)2+2 5、如图5，△ABC 内接于⊙O ，∠A =40°，则∠BOC 的度数为（）A 、80°B 、40°C 、20°D 、70°6、若函数y=(k-1)x 2-4x+5-k 既没有最大值也没有最小值，则有（）第7题第8题 A 、 k>1 B 、k<1 C 、k=1 D 、k=07、如图7，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB 为24米，拱桥的半径为13米，则拱高CD 为（） A 、5米 B 、7米 C 、5 3 米 D 、8米8、如图8，圆上有A 、B 、C 、D 四点，其中∠BAD =80°，若弧ABC 、弧ADC 的长度分别为7π、11π，则弧BAD 的长度为（）A 、4πB 、8πC 、10πD 、15π9、若将函数y=a(x+3)(x-5)+b 的图像向右平行移动1个单位，则它与直线y=b 的交点坐标是（）A 、（－3，0）和（5，0）B 、（－2，b ）和（6，b ）C 、（－2，0）和（6，0）D 、（－3，b ）和（5，b ） 10、关于二次函数y=mx 2-x+1。

2012年初中数学竞赛九年级试题及答案

2012年初中数学竞赛九年级试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（）．（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）102002. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）．（A）11 （B）12 （C）13 （D）143．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共点，则k的取值范围是（）．（A）k＞，或k＜－1 （B）－1＜k＜，且k≠1（C）k＞，或k≤－1 （D）k≥，或k≤－15. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（）．（A）（B）（C）（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为．（第6题）7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．8. 设a n=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．10. △ABC中，已知，且b=4，则a+c= .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．12. 求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解.13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．（第13题）14.（1）已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.一、选择题1．D 解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．2. B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．4. C解：当函数为二次函数时，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.5. B（第5题）解：如图，设，作BKCE，则，于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有，即平分.二、填空题6. 30（第6题）解：如图，连接PD，则．7．180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知，．消去z，得．设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即，解得．8．＜解：由a n==，得a1+a2+…+a2012==＜1.9．25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法．10. 6（第10题）解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理，tan，tan.代入已知等式，得.因此a+c=.三、解答题11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．（第13题）又因为△DPO ∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14.解：（1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾.故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.。

2012届九年级(上)数学竞赛试题(含答案)

九年级（上）数学培优训练本卷满分120分，时间120分一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为（）A .9B .±3C .3D . 52．某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（）A ．13B ．19C ．12D ．23 3．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）(a ＞2)，半径为2，函数y=x 的图象被⊙P 的弦AB 的长为23，则a 的值是（） A ．23B ．222+C ．23D ．23+4．已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．35．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（）个（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…，则点P 2010的坐标是（）．（A ）（2010，2）（B ）（2010，2-）（C ）（2012，2-）（D ）（0，2）二、填空题（每小题5分，共30分） 7．当x 分别等于20051，20041，20031，20021，20011，20001，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式221xx +的值，将所得的结果相加，其和等于．8．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于．(第3题)ABOPxy y=x9．△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于．10．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .11．如图，直径AB 为6的半径，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点'B，则图中阴影部分的面积是．12．如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ，则△AOB 面积的最小值是．三、解答题（每小题15分，共60分）13、在实数范围内，只存在一个正数是关于x 的方程k x x kx x +=-++3132的解，求实数k 的取值范围．（第10题）（第11题）OBAy xP（第12题）EDAOBC14．阅读下面的情境对话，然后解答问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt ∆ABC 中， ∠ACB ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，且b ＞a ，若Rt ∆AB C 是奇异三角形，求a ：b ：c ；（3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是上一点（不与点A 、B 重合），D 是半圆 ⌒ABD 的中点，CD 在直径AB 的两侧，若在⊙O 内存在点E 使得AE ＝AD ，CB ＝CE ．○1求证：∆ACE 是奇异三角形； ○2当∆ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．15.如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．16.设k 为正整数，证明：（1）、如果k 是两个连续正整数的乘积，那么256k +也是两个连续正整数的乘积；（2）、如果256k +是两个连续正整数的乘积，那么k 也是两个连续正整数的乘积．72x =B(0,4)A(6,0)EFxyO参考答案一、选择题1.C 2．A 3．B 4．D 5. C 6. B6.解：由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-．根据对称关系，依次可以求得：322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+），由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）．二、填空题7．6 8.0 9．12 10．6. 11．6π 12．1212．解：设一次函数解析式为y kx b =+，则32k b =+，得32b k =-，令0y =得bx k=-，则OA ＝b k-．令0x =得y b =，则OA ＝b ．2221()21(32)214129213[(2)24]212.AOB b S b kk kk k kk k ∆=⨯-⨯-=⨯--+=⨯-=⨯--+-≥ 所以，三角形AOB 面积的最小值为12．三、解答题13、原方程可化为0)3(322=+--k x x ，①（1）当△＝0时，833-=k ，4321==x x 满足条件；（2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122=+-⨯-⨯k ，4-=k ．此时方程①的另一个根为21，故原方程也只有一根21=x ；（3）当方程①有异号实根时，02321<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为23=x ，此时原方程也只有一个正实根。

2012年全国初中数学竞赛试题

2012年全国初中数学竞赛试题（正题）题号一二三总分1～56～101112 1314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．（第1（甲）题）（A）2c-a（B）2a-2b（C）-a（D）a1（乙）．如果，那么的值为（）．（A）（B）（C）2 （D）2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）（C）（D）3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（第3（乙）题）（A）（B）4 （C）（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A）5 （B）6 （C）7 （D）85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.（第6（甲）题）6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .（第7（甲）题）（第7（乙）题）7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于．8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么的值为．8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为.9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为.9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是.10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为.（第10（甲）题）10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.（第11（乙）题）12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．（第12（甲）题）12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.（第12（乙）题）13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案一、选择题1（甲）．C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以．1（乙）．B解：．2（甲）．D解：由题设知，，，所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）．B解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.因为均为整数，所以有解得以上共计9对.3（甲）．D解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为，中位数为，于是.3（乙）．B解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.（第3（乙）题）由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE，BD = AE.又因为，所以.在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4.4（甲）．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得消去x得(2y－7)n = y+4，2n =.因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即. 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．5（甲）．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．5（乙）．C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得，．二、填空题6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是7＜x≤19．6（乙）．7解：由已知可得．7（甲）．8解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以，由此得，所以.（第7（甲）题）在Rt△ABF中，因为，所以，于是.由题设可知△ADE≌△BAF，所以，.于是，，.又，所以.因为，所以.7（乙）．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以，．（第7（乙）题）所以.8（甲）．解：根据题意，关于x的方程有=k2－4≥0，由此得 (k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.故==．8（乙）．1610解：因为==.当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是0时，不能被5整除.所以符合题设要求的所有的个数为．9（甲）．8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43.又，所以. 于是0≤≤43，87≤≤130，由此得，或.当时，；当时，，，不合题设.故．9（乙）．≤1解：由题设得所以，即.整理得，由二次函数的图象及其性质，得.又因为≤1，所以≤1.10（甲）．解：如图，连接AC，BD，OD.（第10（甲）题）由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此.因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，于是. 因此.由△∽△，知．因为，所以，BA=AD，故.10（乙）. 12解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．三、解答题11（甲）．解：因为当时，恒有，所以，即，所以．…………（5分）当时，≤；当时，≤，即≤，且≤，解得≤．…………（10分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得．因为，所以，解得，或．因此．…………（20分）11（乙）．解：因为sin∠ABC=，，所以AB = 10．由勾股定理，得BO=.（第11（乙）题）易知△ABO≌△ACO，因此CO = BO = 6.于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以，，解得n=－4.因此D为AB的中点，点D的坐标为（3，－4）.…………（10分）因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△A BC的重心，所以点E的坐标为.设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =.故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为.…………（20分）12（甲）．证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．（第12（甲）题）…………（5分）设与交于点，连接OM，则．又因为，所以．…………（15分）又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以△BOC∽△．…………（20分）12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知（第12（乙）题）所以CI = CD．同理，CI = CB.故点C是△IBD的外心.连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI.故OI是△IBD外接圆的切线.…………（10分）（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F.由，知OC⊥BD.因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE，所以BF = AE.又因为I是△ABD的内心，所以AB+AD－BD = 2AE = BD.故AB+AD = 2BD．…………（20分）13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.因为(a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.…………（5分）因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n(m为素数)，所以2a－m+2n m 2，2a－m－2n1.解得a，.于是= a－m.…………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.当时，，，.因此，a的最小值为2025.…………（20分）13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．（1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；…………（5分）（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，．…………（10分）（3）若，且≤≤．当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．由≤可得；由≥8可得，且．…………（15分）（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于．综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11；当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．…………（20分）14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是≤．…………（10分）当时，令，则.…………（15分）当时，其中≤≤，令，则．综上，满足条件的所有正整数n为．…………（20分）14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：和．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．所以，≥．…………（10分）下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为．…………（20分）2012-04-16 人教网。

2012初中数学竞赛题和答案(正题)

（第 1（甲）题）（A）2ca （B）2a2b （C）a （D）a
1（乙）．如果（A）（B）
，那么（C）2
的值为（（D）
）．
2（甲）．如果正比例函数 y = ax（a ≠ 0）与反比例函数 y =
（b ≠0 ）的图象有两个）．
交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）
2（乙）．在平面直角坐标系的个数为（）．
中，满足不等式 x 2＋y 2≤2x＋2y 的整数点坐标（x，y）
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一题号 1～5 得分评卷人复查人答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分. 每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分） 1（甲）．如果实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）． 6～10 11 12 13 14 二三总分

2012年下学期九年级数学竞赛试题答案

2012年下学期九年级数学竞赛试题时量：120分钟满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.若两个方程20x ax b++=和20x bx a++=只有一个公共根，则（D）A．a b=B．0a b+=C．1a b+=D．1a b+=-2.矩形的周长为14，一组邻边的长x、y满足（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1=0，则这个矩形的面积为（C）A．10B．9C．12D．183.用反证法证明“四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时第一步应假设（C）A．四个角中最多有一个角不小于90°B．四个内角中至少有一个不大于90°C．四个内角全都小于90°D．以上都不对4.如图，在直角A B C△中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（C）第4题图第5题图A．5B．6C．7D．125.如图，在等边A B C△中，D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，且DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与A B C△的面积之比等于（A）A.1∶3B. 2∶3C. 236.已知sinα+cosα=m，sinα•cosα=n，则m、n的关系是（C）A． m=n B．m=2n+1C．m2=2n+1D．m2=1﹣2n7.若cos（36°﹣A）=78，则sin（54°+A）的值是（B）A．87B．78C8D．188.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1-、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程20x px q++=有实数根的概率是（A）A.12B.13C.23D.569.如图，点A是反比例函数6yx=-（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABC D，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABC D的面积为（C）A．1B．3 C．6D．1210.已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小；⑤其图像可由抛物线y=2x2+1向左平移3个单位而来．则其中说法正确的有（A）A．1个B．2个C．3个D． 4个二、填空题（每小题4分，共32分）11.已知：5x2﹣4xy+y2﹣2x+1=0，则（x﹣y）2007的值为 1-12.甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的”；乙说：“不是我打破的”；丙说：“甲说谎”．三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是乙打破的．13.若，则一次函数y=tx+t2的图象必定经过的象限是一、二象限．14.如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为(14+ 米．第14题图第15题图15.如果小强将飞镖随意的投到如图3×3的正方形网中，那么飞镖落在A B C△中的概率是71816.在锐角A B C△中，如果有tanA=2，则=25 ．17.直线y=ax（a＞0）与双曲线y=交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则4x1y2﹣3x2y1=3 - ．18. 将抛物线221y x =-+先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式的一般．．形式．．是2 2810 y x x =---. 三、解答题（共58分）19. (10分)已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若1x ，2x是原方程的两根，且12x x -=求m 的值．20. (8分) 已知如图： 4 AM MD =∶∶1， 2 3BD C D =∶∶，求 AE EC ∶的值.21.(10分)如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=74°，∠BEQ=30°；在点F处测得∠AFP=60°，∠BFQ=60°，EF=1km．（1）判断AB，AE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：≈1.73，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）22.(10分)在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=﹣x+5的图象上的概率．（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy＞6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．23.(10分)如图，直线14yx=与双曲线kyx=相交于A、B两点，BC x⊥轴于点C( 4 0)-，．（1）求A、B两点的坐标及双曲线的解析式；（2）若经过点A的直线与x轴的正半轴交于点D，与y轴的正半轴交于点E，且AO E△的面积为10，求C D的长．24.(10分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数。

2012年株洲市初中数学竞赛试题

2012年株洲市初中数学竞赛试题（初三年级）时量：120分钟总分：100分注意事项：1．用黑色．蓝色钢笔或圆珠笔作答；2．在密封线内答题，答题内容不要超过密封线；3．不准使用计算器．一．选择题（每题4分，共32分，每题仅有一个正确选项，请将正确选项填入表格内）题次 1 2 3 4 5 6 7 8答案1．下列各式计算正确的是（）A ．10a 6÷5a 2＝2a3B ．32＋23＝55 C ．12(2)2-=D ．(a －2)2＝a 2－4 2．已知点P 1（a-1a-1，，5）和P 2（2，b-1b-1）关于）关于x 轴对称，则（轴对称，则（a+b a+b a+b））2013的值为（）A ．-1 B ．1 C ．0 D ．（-3）2013 3．某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下：则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是（）A ．15，16 B ．13，15 C ．13，14 D ．14，14 4．设a ．b 是方程x 2+ x-1006=0的两个实数根，则22a b +的值为（）A.2012B.2013C.2014D.20155．已知：如图，点G 是BC 的中点，点H 在AF 上，动点P 以每秒2cm 的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G C D E F H ®®®®®，相对应的△ABP 的面积y （cm 2）关于运动时间的t （s ）函数图象如图2，若6AB =cm ，则以下四个结论中正确的个数有（）①图1中的BC 长是8cm ，②图2中的M 点表示第4秒时y 的值为24cm 2，③图1中的CD 长是4cm ，④图2中的N 点表示第12秒时y 的值为18cm 2，A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个年龄（岁）12 13 14 15 16 人数1 4 3 2 2 ABCGDEF H图1 O NMy (cm 2) t (s) 2 4 7 12 图2 6．如图为某企业标志图案，在△如图为某企业标志图案，在△ABCABC 中，∠中，∠ACB=90ACB=900，∠，∠A=20A=200, , 将△将△将△ABC ABC 绕点C 按逆时针方向旋转角α到△到△A A ′B ′C 的位置，其中A ′，B ′分别是A, B 的对应点，B 在A ′B ′上，CA CA′′交AB 于D ，则∠，则∠BDC BDC 的度数为（的度数为（））A.300B.450C.600D.9007．如图：Rt ABC D 中，90BAC Ð=°,P 为BC 中点，1,332ADB APB PE EB Ð=Ð==，则AE ED = ( ））（（A ）7 7 （（B ）8 8 （（C ）12 12 （（D ）168．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本2本、圆珠笔1支共需3.1元；若购铅笔2支、练习本3本、圆珠笔4支共需7.4元.现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需（本，共需（）元. A ．1.8 B ．1.9 C ． 2.1 D ． 2.4 解答：设铅笔每支x 元，练习本每本y 元，圆珠笔每支z 元，则元，则32 3.1(1)(1)(2):2.12347.4(2)5x y z x y z x y z ++=ì+\++=í++=î 二．填空题（每题每题 5分，共30分，请将答案填在表格内）分，请将答案填在表格内）题次 9 1011 121314答案9. 若20 10a b b c ==，，则a bb c++的值为的值为 ________________．10．在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A 、B 两点，两点，在格点（网格线交叉点）中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的AB DAA'CBB'（第6题图）题图）（第7题图）题图）EPACD BD C B A MN EK概率为_________________．11．在正比例函数在正比例函数 y= y= kx 的图象上有一点A ，它的横坐标n n 使方程使方程012=-+-n nx x有两个相等的实数根，以点有两个相等的实数根，以点 A A 与 B(1,0) B(1,0)．．C(4,0) C(4,0) 为顶点的三角形面积等于为顶点的三角形面积等于6，则正比例函数的解析式为比例函数的解析式为；12．小明．小明．小林和小颖共解出小林和小颖共解出100道数学题，道数学题，每人都解出了其中的每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多比容易题多 _____________________道．道．13．如图，ABCD 是边长为9的正方形，E 是BC 上的一点，上的一点， BE=EC 21．将正方形折叠，使点A 与点E 重合，折痕为MN ，则=D ANE S ．1414．近年，．近年，．近年，株洲市的园林绿化取得飞速发展，株洲市的园林绿化取得飞速发展，株洲市的园林绿化取得飞速发展，在全国产生很大反响。

2012年湖南省株洲市中考数学试题(含答案)

4．如图，已知直线 a∥b,直线 c 与 a、b 分别交于 A、B；且 1 = 120o, 则 2 =
A． 60o C． 30o
B．120o D．150o
[来源:学科网 ZXXK]
5．要使二次根式 2x − 4 有意义，那么 x 的取值范围是
A． x 2 C. x 2
B． x 2 D． x 2
件数
组数
一组二组三组四组 [来源:学科网 ZXXK]
求：（1）此班这次上交作品共
件；
（2）评委们一致认为第四组的作品质量都比较高，现从中随机抽取 2 件作品参加
学校评比，小明的两件作品都在第四组中，他的两件作品都被抽中的概率
是多少？（请写出解答过程）
22．（本题满分 8 分）如图，已知 AD 为 e o 的直径，B 为 AD 延长线上一点，BC 与 e o 切于 C 点， A = 30o.
19．（本题满分 6 分）在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到 A 区和 B 区的得分不同，A 区为小圆内部分，B 区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）。现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：
小华：77 分
小芳：75 分
小明：？分
（1）、求掷中 A 区、B 区一次各得多少分？[来源:学§科§网Z§X§X§K] （2）、依此方法计算小明的得分为多少分？
绝密★启用前
株洲市 2012 年初中毕业学业考试
姓名
数学试题卷
准考证号
时量：120 分钟满分：100 分注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号。 2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效。 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师。

2012年中考数学卷精析版株洲卷

2012年中考数学卷精析版——株洲卷（本试卷满分100分，考试时间120分钟）一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分）3．（2012湖南株洲3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形地是【】A．B．C．D．【答案】C.【考点】轴对称图形和中心对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形地概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此，A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误.故选C.6．（2012湖南株洲3分）如图，已知抛物线与x轴地一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴地另一交点坐标是【】A．（﹣3，0）B．（﹣2，0）C．x=﹣3D．x=﹣2【答案】A.【考点】抛物线与x轴地交点，二次函数地对称性.【分析】设抛物线与x轴地另一个交点为B（b，0），∵抛物线与x轴地一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，∴=﹣1，解得b=﹣3.∴B（﹣3，0）.故选A.7．（2012湖南株洲3分）已知关于x地一元二次方程x2﹣bx+c=0地两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c地值分别为【】A．b=﹣1，c=2B．b=1，c=﹣2C．b=1，c=2D．b=﹣1，c=﹣2【答案】D.【考点】一元二次方程根与系数地关系.【分析】∵关于x地一元二次方程x2﹣bx+c=0地两根分别为x1=1，x2=﹣2，∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1•x2=c=1×（﹣2）=﹣2.∴b=﹣1，c=﹣2.故选D.8．（2012湖南株洲3分）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数地图象分别交于B、C两点，A为y轴上地任意一点，则△ABC地面积为【】A．3B．t C．D．不能确定【答案】C.【考点】反比例函数系数k地几何意义，曲线上点地坐标与方程地关系.【分析】把x=t分别代入，得，∴B（t，）、C（t，）.∴BC=﹣（）=.∵A为y轴上地任意一点，∴点A到直线BC地距离为t.∴△ABC地面积=.故选C.二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（2012湖南株洲3分）分解因式：a2﹣2a=▲．【答案】a（a﹣2）.【考点】提公因式法因式分解.【分析】要将一个多项式分解因式地一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，直接提取公因式a即可：a2﹣2a=a（a﹣2）.10．（2012湖南株洲3分）已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB=▲．【答案】90°.【考点】圆周角定理.【分析】由在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对地圆周角等于这条弧所对地圆心角地一半，即可求得∠AOB地度数：∵在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°.11．（2012湖南株洲3分）依法纳税是中华人民共和国公民应尽地义务．2011年6月30日，十一届全国人大常委会第二十一次会议表决通过关于修改个人所得税地决定，将个人所得税免征额由原来地2000元提高到3500元．用科学记数法表示3500元为▲元．【答案】3.5×103.【考点】科学记数法.【分析】根据科学记数法地定义，科学记数法地表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a地值以及n地值.在确定n地值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它地整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0地个数（含小数点前地1个0）.3500一共3位，从而3500=3.5×103.12．（2012湖南株洲3分）一次函数y=x+2地图象不经过第▲象限．【答案】四.【考点】一次函数地性质.【分析】一次函数地图象有四种情况：①当，时，函数地图象经过第一、二、三象限；②当，时，函数地图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数地图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数地图象经过第二、三、四象限.由题意得，函数y=x+2地，，故它地图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.13．（2012湖南株洲3分）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆地高度．小民所在地学习小组在距离旗杆底部10M地地方，用测角仪测得旗杆顶端地仰角为60°，则旗杆地高度是▲M．【答案】10.【考点】解直角三角形地应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角地三角函数值.【分析】如图，根据题意得：AC=10M，∠ACB=60°，∵∠A=90°，∴在Rt△ABC中，AB=AC•tan∠ACB=10×tan60°=10×=10（M）.14．（2012湖南株洲3分）市运会举行射击比赛，校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛．在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10发成绩地平均数（环）及方差如下表．请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适地人选是▲．【答案】丁.【考点】平均数，方差.【分析】∵甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁地平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丁地方差最小，说明丁地成绩最稳定，∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定.∴丁是最佳人选.15．（2012湖南株洲3分）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=▲．【答案】64.【考点】新定义，代数式求值.【分析】将（4，5）•（6，8）中地数字分别替换（x1，y1）•（x2，y2）即可解答：∵（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，∴（4，5）•（6，8）=4×6+5×8=64.16．（2012湖南株洲3分）一组数据为：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为▲．【答案】.【考点】分类归纳（数字地变化类）.【分析】寻找规律：（1）单项式地系数为1，－2，3，－4···，即n为奇数时，系数为正数，n为偶数时，系数为负数，系数地绝对值为，即系数为；（2）单项式地指数为n.∴第n个数据应为.三、解答题（本大题共8小题，共52分）17．（2012湖南株洲4分）计算：．【答案】解：原式=【考点】实数地运算，负整数指数幂，特殊角地三角函数值，绝对值.【分析】针对负整数指数幂，特殊角地三角函数值，绝对值3个考点分别进行计算，然后根据实数地运算法则求得计算结果.18．（2012湖南株洲4分）先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣b2，其中a=﹣2，b=3．【答案】解：原式=.将a=﹣2，b=3代入上式得：原式=4×（﹣2）2﹣4×（﹣2）×3=16+24=40.【考点】整式地混合运算（化简求值）.【分析】将整式利用完全平方公式展开，再合并同类项，再将a，b代入求出即可.19．（2012湖南株洲6分）在学校组织地游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到A区和B 区地得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外地部分（掷中一次记一个点）．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：小华：77分小芳75分小明：？分（1）求掷中A区、B区一次各得多少分？（2）依此方法计算小明地得分为多少分？20．（2012湖南株洲6分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM地长度．【答案】解：（1）证明：∵A与C关于直线MN对称，∴AC⊥MN.∴∠COM=90°.在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B.又∵∠ACB=∠ACB，∴△COM∽△CBA.（2）∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴由勾股定理得AC=10.∴OC=5.∵△COM∽△CBA，∴，即.∴OM=.【考点】折叠问题，对称地性质，矩形地性质，相似三角形地判定和性质，勾股定理.【分析】（1）根据A与C关于直线MN对称得到AC⊥MN，进一步得到∠COM=90°，从而得到在矩形ABCD中∠COM=∠B，最后证得△COM∽△CBA；（2）利用（1）地相似三角形地对应边成比例得到比例式后即可求得OM地长.21．（2012湖南株洲6分）学校开展综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月11日至5月30日，评委们把同学们上交作品地件数按5天一组分组统计，绘制了频数分布直方图如下，小长方形地高之比为：2：5：2：1．现已知第二组地上交作品件数是20件．求：（1）此班这次上交作品共件；（2）评委们一致认为第四组地作品质量都比较高，现从中随机抽取2件作品参加学校评比，小明地两件作品都在第四组中，他地两件作品都被抽中地概率是多少？（请写出解答过程）【答案】解：（1）40.（2）第四组地作品地件数为（件）.设四件作品编号为1、2、3、4号，小明地两件作品分别为1、2号.从中随机抽取2件作品地所有结果为（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，3）；（2，4）；（3，4），小明地两件作品都被抽中地情况有1种，∴他地两件作品都被抽中地概率是.【考点】条形统计图，频数、频率和总量地关系，列举法，概率.【分析】（1）用第二小组地频数除以该小组地份数占总份数地多少即可求得总人数：.（2）根据频数、频率和总量地关系求出第四组地作品地件数，分别列举出所有可能结果后用概率地公式即可求解.22．（2012湖南株洲8分）如图，已知AD为⊙O地直径， B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A=30°．求证：（1）BD=CD；（2）△AOC≌△CDB．2 3．（2012湖南株洲8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5M，AC=12M．M点在线段CA上，从C 向A运动，速度为1M/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2M/秒．运动时间为t秒．（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？（2）当t为何值时，△AMN地面积最大？并求出这个最大值．【答案】解：（1）∵从C向A运动，速度为1M/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2M/秒，运动时间为t秒，∴AM=12﹣t，AN=2t.∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12﹣t=2t，解得：t=4 秒.∴当t为4时，∠AMN=∠ANM.（2）如图作NH⊥AC于H，∴∠NHA=∠C=90°.∴NH∥BC.∴△ANH∽△ABC.∴，即.∴NH=.∴.∴当t=6时，△AMN地面积最大，最大值为.【考点】动点问题，相似三角形地判定和性质，二次函数地最值.【分析】（1）用t表示出AM和AN地值，根据AM=AN，得到关于t地方程求得t值即可.（2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t地二次函数求最值即可.24．（2012湖南株洲10分）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线地解读式；（2）作垂直x轴地直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）地情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D地坐标．（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．如图2，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点地可能位置有三种情形.（i）当D在y轴上时，设D地坐标为（0，a），由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，从而D为（0，6）或D（0，﹣2）.（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M地交点，由D1（0，6），N（2，5）易得D1N地方程为y=x+6；由D2（0，﹣2），M（2，1）D2M地方程为y=x﹣2.由两方程联立解得D为（4，4）.综上所述，所求地D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）.【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点地坐标与方程地关系，二次函数地性质，锐角三角函数定义，平行四边形地判定和性质.【分析】（1）首先求得A、B点地坐标，然后利用待定系数法求抛物线地解读式.（2）求得线段MN地表达式，这个表达式是关于t地二次函数，利用二次函数地极值求线段MN 地最大值.（3）明确D点地可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M地交点，利用直线解读式求得交点坐标.。

株洲市2012年初中毕业考试数学模拟试卷

株洲市2012年初中毕业考试模拟考试数学试卷时量：120分钟满分：100分一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．3-的相反数是（）A ．0B ．3C ．31-D ．31 2．．．，则x 的取值范围是（） A ． 2x ≥ B ．2x > C ．2x < D ．2x ≤ 3．已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（）A ．平均数是3B ．中位数是4C ．极差是4D ．方差是24．如图，在△ABC 中，D 、E 两点分别在BC 、AC 边上．若BD=CD ，∠B=∠CDE ，DE=2，则AB 的长度是（）A ．4B ．5C ．6D ．7 5．二次函数()223y x =++的图象的顶点坐标是（）A. （2，3）B. （－2，－3）C.（－2，3）D.（2，－3） 6．如图，在⊙O 中，PA 、PB 为两条弦，且0APB=45∠，则AOB ∠=（）A ．450B ．600C ．750D ．907．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它获得食物的概率是（） A ．21 B ．31 C ．41 D ．61第4题图第6题图第7题图8．抛物线772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（） A ．47-≥k B ．47->k 且0≠k C ．47->k D ． 47-≥k 且0≠k 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．－6的相反数是______；10．将抛物线12+=x y 向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是_____________；11．已知函数x y 2=的图像过点(k ,1)，则______=k ； 12．一元二次方程220x x +-=的两根之积是___________；13．如图，直线a ∥b ，直线AC 分别交a 、b 于点B 、C ，直线AD 交a 于点D.若∠1=20o, ∠2=65o,则∠3= .第13题图第14题图第15题图14．在方格纸上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°,得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为15．如图，在⊙O中，若半径OC与弦AB互相平分，且6AB cm=，则OC=_____cm16．已知：3212323=⨯⨯=C，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C，154321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算=610C．三、解答题（本大题共7小题，共52分）17．（本题满分4分）计算：102tan30(2012)π-︒--18、（本题满分4分）已知12=+xy，求代数式)4()1(22xyy--+的值．19．（本题满分6分）株洲市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？20．（本题满分6分）已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝ CD ．（1）求证：BD ＝ DE ．（2）若AB ＝ 2cm ，求三角形CDE 的面积。