2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.2 反 证 法
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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.1 综合法和分析法
综合法是中学数学证明中最常用的方法． 综合法是 从已知到未知、从题设条件到结论的逻辑推理方法． 综合法是一种由因导果的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
栏 目 链 接
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πL2 L2 πL2 L2 4 式成立， 只需证明 2 ＞ 成立， 即证明 2 ＞ ， 两边同乘以 2， 4π 16 4π 16 L
L 2 L2 1 1 得 ＞ ，因为上式成立，所以 π2π ＞ 4 . π 4
所以，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这 个圆的面积比这个正方形的面积大． 点评：分析法．
栏 目 链 接
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步
结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公
理等)为止，这种证明的方法叫做分析法．
分析法是从未知到已知、从结论到条件的逻辑推理 方法． 分析法是一种执果索因的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则分析法用框图表示为：
跟 踪 训 练
1 2 3 1．证明： ＋ ＋ ＜2. log519 log319 log219
1 证明： 因为 logab＝ ， 所以左式＝log195＋2log193 logba ＋3log192＝ log19(5×32×23)＝log19360. 因为 log19360＜log19361＝2， 1 2 3 所以 ＋ ＋ ＜2. log519 log319 log219
第二章
推理与证明
2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法
人教版高中数学选修2-2全套课件
(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.2.2 事件的相互独立性
栏 目 链 接
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A
中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含 有3个基本事件．
栏 目 链 接
6 3 4 1 3 于是 P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ，P(AB)＝ ， 8 4 8 2 8 3 显然有 P(AB)＝ ＝P(A)P(B)成立． 8 从而事件 A 与 B 是相互独立的．
这时 A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女， 男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}． 1 3 1 于是 P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(AB)＝ . 2 4 2 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)． 所以事件 A，B 不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω ＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女， 男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
栏 目 链 接
相互独立事件． 事件； A 与 B 是相互独立 ________事件，A 与 B 是________
基 础 梳 理 3．两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件 P(A)P(B) 发生的概率的积，即P(AB)＝____________. 例如：甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个
2 1 1 － 解析：因为 P( A )＝ ，所以 P(A)＝ ，又 P(B)＝ ， 3 3 3 1 P(AB)＝ ，所以有 P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件 A 与 B 9 独立但不一定互斥. 故选 C. 答案：C
自 测 自 评
3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个 问题的概率是 p1， 乙解决这个问题的概率是 p2， 那么 其中至少有一人解决这个问题的概率是( A．p1＋p2 B．p1· p2 C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2) )
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A
中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含 有3个基本事件．
栏 目 链 接
6 3 4 1 3 于是 P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ，P(AB)＝ ， 8 4 8 2 8 3 显然有 P(AB)＝ ＝P(A)P(B)成立． 8 从而事件 A 与 B 是相互独立的．
这时 A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女， 男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}． 1 3 1 于是 P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(AB)＝ . 2 4 2 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)． 所以事件 A，B 不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω ＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女， 男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
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相互独立事件． 事件； A 与 B 是相互独立 ________事件，A 与 B 是________
基 础 梳 理 3．两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件 P(A)P(B) 发生的概率的积，即P(AB)＝____________. 例如：甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个
2 1 1 － 解析：因为 P( A )＝ ，所以 P(A)＝ ，又 P(B)＝ ， 3 3 3 1 P(AB)＝ ，所以有 P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件 A 与 B 9 独立但不一定互斥. 故选 C. 答案：C
自 测 自 评
3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个 问题的概率是 p1， 乙解决这个问题的概率是 p2， 那么 其中至少有一人解决这个问题的概率是( A．p1＋p2 B．p1· p2 C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2) )
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.3 数学归纳法
第二章
推理与证明
2．3 数学归纳法
栏 目 链 接
1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明 一些简单的数学问题． 2．重点是数学归纳法及其应用，难点是对数学归 纳法的原理的理解，关键是弄清数学归纳法的两个步 骤及其作用．
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栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．数学归纳法． 设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命
栏 目 链 接
1 1 ＋„＋ ＋ . 2k＋1 2k＋2
上式表明当 n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)(2)知，命题对一切自然数均成立． 点评：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命 题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结构规律，等式 的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关系．由 “n＝k”到“n＝k＋1”时，等式的两边会增加多少项， 增加怎样的项．
自 测 自 评
1 1 1 1． 用数学归纳法证明 1＋ ＋ ＋„＋ n <n(n∈N*， 2 3 2 －1 n>1)时，第一步应验证不等式( 1 A．1＋ <2 2 1 1 C．1＋ ＋ <3 2 3 ) 1 1 B．1＋ ＋ <2 2 3 1 1 1 D．1＋ ＋ ＋ <3 2 3 4
栏 目 链 接
pk p1或p0 题 (____________) 成立；②在假设 __________ 成立的前提下，推出 pk＋1 也成立，那么可以断定，{p(n)}对一切自然数成立． __________
2．用数学归纳法证题的步骤：
0 0 (1) 证 明 当 n 取 第 一 个 值 __________( 例 如 __________ 或
n
n ＝0
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推理与证明
2．3 数学归纳法
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1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明 一些简单的数学问题． 2．重点是数学归纳法及其应用，难点是对数学归 纳法的原理的理解，关键是弄清数学归纳法的两个步 骤及其作用．
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基 础 梳 理
1．数学归纳法． 设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命
栏 目 链 接
1 1 ＋„＋ ＋ . 2k＋1 2k＋2
上式表明当 n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)(2)知，命题对一切自然数均成立． 点评：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命 题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结构规律，等式 的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关系．由 “n＝k”到“n＝k＋1”时，等式的两边会增加多少项， 增加怎样的项．
自 测 自 评
1 1 1 1． 用数学归纳法证明 1＋ ＋ ＋„＋ n <n(n∈N*， 2 3 2 －1 n>1)时，第一步应验证不等式( 1 A．1＋ <2 2 1 1 C．1＋ ＋ <3 2 3 ) 1 1 B．1＋ ＋ <2 2 3 1 1 1 D．1＋ ＋ ＋ <3 2 3 4
栏 目 链 接
pk p1或p0 题 (____________) 成立；②在假设 __________ 成立的前提下，推出 pk＋1 也成立，那么可以断定，{p(n)}对一切自然数成立． __________
2．用数学归纳法证题的步骤：
0 0 (1) 证 明 当 n 取 第 一 个 值 __________( 例 如 __________ 或
n
n ＝0
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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.1 2.1.1 合情推理
栏 目 链 接
自 测 自 评
2．下面使用的类比推理中恰当的是( ) A．“若 m· 2＝n· 2，则 m＝n”类比得出“若 m· 0＝n· 0，则 m＝n” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比得出“(a· b)c＝ac· bc” a＋b a b C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比得出“ c ＝c＋c(c≠0)” D．“(pq)n＝pn· qn”类比得出“(p＋q)n＝pn＋qn”
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1 例：已知正三角形内切圆的半径是高的 ，把这 3 个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 _________________________________________ ______________________．
栏 目 链 接
基 础 梳 理
分析：从方法的类比入手． 1 1 1 解析：原问题的解法为等面积法，即 S＝ ah＝3× ×ar⇒r＝ h， 2 2 3 1 1 1 类比问题的解法应为等体积法， V＝ Sh＝4× Sr⇒r＝ h，即正四面 3 3 4 1 体的内切球的半径是高的 . 4 1 答案：正四面体的内切球半径是高的 自 评
1． 已知 a1＝3， a2＝6 且 an＋2＝an＋1－an， 则 a33 为( A．3 C．6 B．－3 D．－6
)
解析：a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3， a7＝3，a8＝6，„，故{an}以 6 个项为周期循环出 现，a33＝a3＝3. 答案：A
解析：类比推理的结果不一定正确，只有选项 C 的类 比结果是正确的．故选 C. 答案：C
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自 测 自 评
x 3．设函数 f(x)＝ (x＞0)，观察： x＋2 x f1(x)＝f(x)＝ ， x＋2 x f2(x)＝f(f1(x))＝ ， 3x＋4 x f3(x)＝f(f2(x))＝ ， 7x＋8
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.2.1条件概率
)
栏 目 链 接
题型三
利用条件概率的性质求条件概率
例3 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，
若考生至少能答对其中4道即可通过；若至少能答对其中 5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知 道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概 率． 解析：设事件A为“该考生6道题全答对”， 事件B为“该考生答对了其中5道题，另1道答错”，
题型二
利用条件概率公式求条件概率
例2
某个学习兴趣小组有学生10人，其中有3人
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是三好学生．现已把这10人分成两组进行竞赛辅导，第 一小组5人，其中三好学生2人． (1)如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组 长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？ (2)现在要在这10人中任选一名三好学生当组长，问 这名同学在第一小组的概率是多少？
解析：设 A＝{在兴趣小组内任选一个学生，该学生在第 一小组}， B＝{在兴趣小组内任选一名学生，该学生是三好 学生}，而第二问中所求概率为 P(A|B)，于是 5 1 (1)P(A)＝ ＝ ， 10 2 2 PAB 10 2 (2)P(A|B)＝ ＝ ＝ . 3 3 PB 10 点评：(1)在原样本空间 O 中，先计算 P(AB)，P(A)，再 PAB 利用公式 P(B|A)＝ 计算求得 P(B|A)． PA
P(B|A)
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读作
计算 公式
____发生的条件下____发生的概率
nAB ①缩小样本空间法：P(B|A)＝________ nA PAB ②公式法：P(B|A)＝________ PA
A
B
基 础 梳 理 P(B|A)与P(AB)的区别：P(B|A)的值是AB发生相 对于事件A发生的概率的大小；而P(AB)是AB发生相对 于原来的总空间而言．
2014-2015学年_高中数学_人教A版选修2-2_ 第二章2.1.1(二)
去分析问题，研究当条件变化时，问题的本质
本 课 时 栏 目 开 关
有哪些不同，有哪些变化，如本题中平面图形 中点到直线的距离类比三棱锥中点到平面的 距离．平面图形中的面积类比三棱锥中的体 积，进而计算出结果．
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.1（二）
跟踪训练 1 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边 AB、AC 互相垂直，则 AB2＋AC2＝BC2”．拓 展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三
本 课 时 栏 目 开 关
弦不等，距圆心较近的弦 截面圆面积不等，距球心较近的 ____________________________ 较长
截面圆面积较大 ________________
以点 P(x0，y0，z0)为球心，r 为半 以点 P(x0，y0)为圆心，r ____________________________ 2 径的球的方程 为 ( x － x ) 为半径的圆的方程为(x－ ____________________________ 0 ＋ (y －
x0) ＋(y－y0) ＝r
2 2 2
2 2 2 y ) ＋ ( z － z ) ＝ r 0 0 _______________________
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.1（二）
例1
如图所示，面积为 S 的平面凸四边
形的第 i 条边的边长记为 ai(i＝1,2,3,4)， 此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距 a1 a2 a3 离记为 hi(i＝1,2,3,4)，若 ＝ ＝ ＝ 1 2 3 a4 2S ＝k，则 h1＋2h2＋3h3＋4h4＝ k ， 4 类比以上性质， 体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记 为 Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距 S 1 S2 S3 S4 离记为 Hi(i＝1,2,3,4)，若 ＝ ＝ ＝ ＝K，则 H1＋ 1 2 3 4 2H2＋3H3＋4H4 等于多少？
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自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
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自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
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题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
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证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
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跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
栏 目 链 接
π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. 6
∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c>0， 这与a＋b＋c≤0矛盾． 因此，a，b，c中至少有一个大于0. 点评：应用反证法的情形． ①直接证明困难； ②需分成很多类进行讨论；
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)
栏 目 链 接
解析： “不全大于零”即“至少有一个不大于 0”， 它包括“全 不大于 0”．故选 D. 答案：D
栏 目 链 接
题型1
用反证法证明否定命题
例1 已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2.
栏 目 链 接
分析：本题已知 p，q 的三次幂，而结论中只 有 p，q 的一次幂，应考虑到求立方根，同时用放 缩法，但很难证，故考虑用反证法．
解析：“至少有一个 ”的否定是“一个都没有”，则 反设为“三个内角都不大于 60° ”． 答案：A
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)
自 测 自 评
2．用反证法证明 “一个三角形不能有两个直角 ” 有三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90° ＋90° ＋∠C>180° ，这与三 角形内角和为 180° 矛盾，故假设错误； ②所以一个三角形不能有两个直角； ③假设△ABC 中有两个直角， 不妨设∠A＝90° ， ∠B ＝90° .
第二章
推理与证明
2．2 直接证明与间接证明 2．2.2 反 证 法
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1．了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学 问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1.定义：一般地，由证明 p⇒q 转向证明：綈 q⇒r⇒„⇒t，t 与
┐q 假设 矛盾，或与某个真命题 __________ ____________矛盾．从而判定__________ q 为假，推出__________ 为真的方法，叫做反证法．
③结论为 “ 至少 ” 、 “ 至多 ” 、 “ 有无穷多个 ” 的一类命题； ④结论为 “唯一”的一类命题． 反证法的思维方法：正难则反． 特别提示 ： 反证法引出矛盾没有固定的模式，需 要认真观察、分析，洞察矛盾．
栏 目 f(x)在区间 [a，b]上是单调递减函数，那么 方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
跟 踪 训 练
3．过平面 α 内的一点 A 作直线 a，使得 a⊥α，求证： 直线 a 是唯一的．
证明： 假设这样的直线 a 不唯一， 则过点 A 至少还有一条直 线 b，使得 b⊥α.∵直线 a，b 是相交直线，∴两直线 a，b 可以 确定一个平面 β.设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.∵a⊥α，b⊥α， ∴a⊥c，b⊥c.这样在平面 β 内，过点 A 就有两条直线 a，b 垂直 于直线 c，这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛 盾，所以假设不成立，故直线 a 是唯一的．
2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理
栏 目 链 接
假设 矛盾或与数学公理、定 下得出矛盾．这个矛盾可以是与________
理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．
自 测 自 评
1．用反证法证明命题 “三角形的内角中至少有一个 大于 60° ”时，反设正确的是( A．假设三内角都不大于 60° B．假设三内角都大于 60° C．假设三内角至多有一个大于 60° D．假设三内角至多有两个大于 60°
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题型2
用反证法证明“至少”、“至多”等存在性问题
π π 例2 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋ ，b＝y2－2z＋ ， 2 3 π c＝z －2x＋ ，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0. 6
2
证明： 假设 a， b， c 都不大于 0， 即 a≤0， b≤0， c≤0，则 a＋b＋c≤0. π π 2 而 a＋b＋c＝x －2y＋ ＋y －2z＋ ＋z2－2x＋ 2 3
证明：假设 p＋q>2，那么 p>2－q， ∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3. 将 p3＋q3＝2 代入得 6q2－12q＋6<0， 即 6(q－1)2<0，由此得出矛盾．∴p＋q≤2.
栏 目 链 接
点评：(1)反证法的一般步骤． ①反设：假设命题结论不成立 (即假设结论的反面成 立)；②归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③ 下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立． (2)当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不 存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具 体，适于应用反证法．
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
栏 目 链 接
自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
栏 目 链 接
题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
栏 目 链 接
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
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π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. 6
∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， ∴a＋b＋c>0， 这与a＋b＋c≤0矛盾． 因此，a，b，c中至少有一个大于0. 点评：应用反证法的情形． ①直接证明困难； ②需分成很多类进行讨论；
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解析： “不全大于零”即“至少有一个不大于 0”， 它包括“全 不大于 0”．故选 D. 答案：D
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题型1
用反证法证明否定命题
例1 已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2.
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分析：本题已知 p，q 的三次幂，而结论中只 有 p，q 的一次幂，应考虑到求立方根，同时用放 缩法，但很难证，故考虑用反证法．
解析：“至少有一个 ”的否定是“一个都没有”，则 反设为“三个内角都不大于 60° ”． 答案：A
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自 测 自 评
2．用反证法证明 “一个三角形不能有两个直角 ” 有三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90° ＋90° ＋∠C>180° ，这与三 角形内角和为 180° 矛盾，故假设错误； ②所以一个三角形不能有两个直角； ③假设△ABC 中有两个直角， 不妨设∠A＝90° ， ∠B ＝90° .
第二章
推理与证明
2．2 直接证明与间接证明 2．2.2 反 证 法
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1．了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学 问题．
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基 础 梳 理
1.定义：一般地，由证明 p⇒q 转向证明：綈 q⇒r⇒„⇒t，t 与
┐q 假设 矛盾，或与某个真命题 __________ ____________矛盾．从而判定__________ q 为假，推出__________ 为真的方法，叫做反证法．
③结论为 “ 至少 ” 、 “ 至多 ” 、 “ 有无穷多个 ” 的一类命题； ④结论为 “唯一”的一类命题． 反证法的思维方法：正难则反． 特别提示 ： 反证法引出矛盾没有固定的模式，需 要认真观察、分析，洞察矛盾．
栏 目 f(x)在区间 [a，b]上是单调递减函数，那么 方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
跟 踪 训 练
3．过平面 α 内的一点 A 作直线 a，使得 a⊥α，求证： 直线 a 是唯一的．
证明： 假设这样的直线 a 不唯一， 则过点 A 至少还有一条直 线 b，使得 b⊥α.∵直线 a，b 是相交直线，∴两直线 a，b 可以 确定一个平面 β.设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.∵a⊥α，b⊥α， ∴a⊥c，b⊥c.这样在平面 β 内，过点 A 就有两条直线 a，b 垂直 于直线 c，这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛 盾，所以假设不成立，故直线 a 是唯一的．
2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理
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假设 矛盾或与数学公理、定 下得出矛盾．这个矛盾可以是与________
理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．
自 测 自 评
1．用反证法证明命题 “三角形的内角中至少有一个 大于 60° ”时，反设正确的是( A．假设三内角都不大于 60° B．假设三内角都大于 60° C．假设三内角至多有一个大于 60° D．假设三内角至多有两个大于 60°
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题型2
用反证法证明“至少”、“至多”等存在性问题
π π 例2 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋ ，b＝y2－2z＋ ， 2 3 π c＝z －2x＋ ，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0. 6
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证明： 假设 a， b， c 都不大于 0， 即 a≤0， b≤0， c≤0，则 a＋b＋c≤0. π π 2 而 a＋b＋c＝x －2y＋ ＋y －2z＋ ＋z2－2x＋ 2 3
证明：假设 p＋q>2，那么 p>2－q， ∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3. 将 p3＋q3＝2 代入得 6q2－12q＋6<0， 即 6(q－1)2<0，由此得出矛盾．∴p＋q≤2.
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点评：(1)反证法的一般步骤． ①反设：假设命题结论不成立 (即假设结论的反面成 立)；②归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③ 下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立． (2)当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不 存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具 体，适于应用反证法．