二次根式的加减法(1)
二次根式的运算知识讲解
二次根式的运算（基础）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、掌握二次根式的乘除法法则与化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算；3、会利用运算律与运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.要点三、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.要点四、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算与整式运算中的运算律与乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式的加减运算1.计算： (1).+ (2).311932a a a a a+- 【答案与解析】(1)+=2232(23)252+=+=【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三：【变式】计算:11(1)()527232π--++-- 【答案】011(1)()527232π--++--类型二、二次根式的乘除法2．(1)×； (2)×； (3)； (4)；【答案与解析】(1)×=；(2)×==；(3)===2；(4)==×2=2.【总结升华】直接利用计算即可．举一反三【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正： (1).； (2).×=4××=4×=4=8.【答案】(1).不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2).不正确． 改正：×=×===＝4.3.算：（1）)4323(4819-÷- （2）21521)74181(2133÷-⨯ 【答案与解析】（1）214=(9)()3483-⨯-⨯原式=6136=1; （2）原式=171123282711⎛⎫⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=34-.【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用. 类型三、二次根式的混合运算4.下列各式计算正确的是（ ） A.+=B. 4﹣3=1 C. 2×3=6D.÷=3【答案】D. 【解析】解：A.，无法计算，故此选项错误， B.4﹣3=，故此选项错误，C.2×3=6×3=18，故此选项错误，D.=，此选项正确，故选D．【总结升华】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键．5、计算：已知6+==ba，则,625-52ab=_______,a b+=________.【答案】1；10.【解析】225+26526,5(26)1==-∴=-=，a b ab【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.举一反三：【变式】已知x=1﹣，y=1+，则x2+y2﹣xy﹣2x﹣2y的值为．【答案与解析】解：∵x=1﹣，y=1+，∴x2+y2﹣xy﹣2x﹣2y=（x+y）2﹣2（x+y）+1﹣3xy﹣1=（x+y﹣1）2﹣3xy﹣1=1﹣3×（1﹣）（1+）﹣1=1+3﹣1=3．。
(附答案解析)人教版八年级数学下册16.3二次根式的加减(1))精选同步练习
16.3 二次根式的加减（1）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点１.同类二次根式(１)同类二次根式的定义几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式．(２)同类二次根式的合并合并同类二次根式类似于合并同类项,就是将同类二次根式的“系数”合并 ,根指数与被开方数保持不变．２.二次根式的加减(１)二次根式的加减实质是合并同类二次根式,非同类二次根式不能合并．(２)二次根式加减法的一般步骤: ①先把各根式化成最简二次根式; ②找出其中的同类二次根式; ③合并同类二次根式．3. 比较二次根式大小时,可将根号外的非负数(或式子) 移到根号内．基础知识和能力拓展训练一、选择题1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( )A. 6和32B. a和2aC. 12和13D. 3和92．下列二次根式中，不能与2合并的是（）A. 12B. 8C. 12D. 183．已知二次根式24a 与2是同类二次根式，则a的值可以是（）A. 5B. 3C. 7D. 84．下列运算正确的是（）A. （﹣a2）3=a6B. （a+b）2=a2+b2C. 8﹣2=2D. 55﹣5=4 5．已知等腰三角形的两边长为23和52，则此等腰三角形的周长为（）A. 43+52B. 23+102C. 43+102D. 43+52或23+102 6．计算|2﹣5|+|4﹣5|的值是（）A. ﹣2B. 2C. 25﹣6D. 6﹣257．计算：32﹣8的结果是（）A. 30B. 2C. 22D. 2.88．实数的值在( )A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间 D . 3和4之间9．设a＝6－2，b＝3－1，c＝231，则a，b，c之间的大小关系是( )A. c＞b＞aB. a＞c＞bC. b＞a＞cD. a＞b＞c10．设的小数部分为，则的值是（）A. B. 是一个无理数C. D. 无法确定二、填空题11．若最简二次根式与是同类二次根式，则a ＝______，b ＝___________．12．若最简二次根式1x +与22x -能合并为一个二次根式，则x =_______。
2.7二次根式的加减(第一课时)
3
4
x
2019年11月23日2时10 分
1.《课时达标》22页-29页。 2.《天府数学》82页-86页。
2019年11月23日2时10 分
2019年11月23日2时10分
8
3
(2)( 80 14) ( 31 4 45) 5 55
(3)2a 3ab2 (b 27a3 2ab 3 a)
6
4
2019年11月23日2时10 分
1.同类二次根式的定义?
2.二次根式加减运算的步骤? 3.如何合并同类二次根式?
合并同类二次根式与合并同类项类似.
2019年11月23日2时10分
8 18
7.5dm
2 2 3 2（化成最简二次根式）
(2 3) 2 （分配律）
5dm
5 2
18dm
8dm
18 3 2 5 8 18 5 2 7.5
8 18 dm
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
思2分019考年11月:2二3日2时次10 根式的加减的一般步骤.
答：圆环的宽度d为 2 cm.
2019年11月23日2时10 分
反
练习1：(1) 18 Nhomakorabea8
2
馈
练
(2) 75 27 8 3
习
(3) 48 6 1 6 3
3
(4)下列计算正确的是（Ｄ）
A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2
C.4 5 5 4
2019年11月23日2时10 分
2019年11月23日2时10 分
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
二次根式的加减(知识讲解)-八年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
专题16.7 二次根式的加减（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.特别说明：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)特别说明：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.特别说明：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.特别说明：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式➽➼概念➽➼同类二次根式✭✭分母有理化1．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式：举一反三：【变式1a的值．【点拨】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提．【变式2】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)(2)2．【阅读材料】把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．．=【理解应用】(1) 化简： ∵∵ (2)2020++ 2020++【点拨】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．举一反三：【变式1)3x x ≤【变式2【点拨】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握根式的运算及根式分母有理化．类型二、二次根式➽➼二次根式的加减运算-+-+．3．计算：38|32|12举一反三：【变式1】计算：6-【变式2】计算：(1)(2) )011+类型三、二次根式➽➼二次根式的混合运算4．计算下列各式．(1)1)举一反三：．【变式1|1【分析】先运用二次根式乘法法则计算，并化简二次根式，去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式2】计算：(1)1 (2))21+．类型四、二次根式➽➼二次根式的化简求值5．解答下列各题(1) 已知2x =，2y =．求22x xy y ++的值．(2) 若2y =，求y x 的平方根．【答案】(1) 19; (2) 3±.【分析】（1）分别求出22,,x y xy ，再代入到代数式求值即可；举一反三：【变式1】已知x =y 22205520x xy y ＋＋的值．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知3x =+3y =-(1) x y +=______；x y -=______；xy =______．(2) 根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子223x xy y x y -+--的值．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键．类型五、二次根式➽➼应用6．阅读材料并回答问题肖博睿同学发现如下正确结论：材料一：若0A B ->，则A B >；若0A B -=，则A B =；若0A B -<，则A B <；材料二：完全平方公式：（1）()2222a ab b a b ++=+；（2）()2222a ab b a b -+=-．(1)(2) 2912x x ++___________()2______2=+；(3) 试比较142x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()2y x y -的大小（写出相应的解答过程）． ）解：又32>(322-）解：根据题意，）解：4又()22x y -142x x y ⎛- ⎝【点拨】本题考查利用作差法解代数式比较大小，整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键．举一反三：【变式1】设一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，p =12（a +b +c ），则有下列面积公式：S S (1) 一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；(2)任选以上一个公式求这个三角形的面积．解题的关键．【变式2】某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为m，宽为1)m．(1)长方形ABCD的周长是多少？(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为2元的地砖，5/m要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？答：购买地砖需要花费660元．【点拨】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．。
二次根式加减法
二次根式加减法
多项式的根式加减法是一种非常有用的数学方法。
它可以用来求解具有给定根的多项式的根式，也可以用来对多项式的根式进行加减法操作。
下面将介绍二次根式加减法。
首先，我们要明白求解多项式的根式所涉及的知识，即根式方法。
根式方法可以帮助我们找到一个多项式的根。
比如，要求解一个二次根式f(x)=ax^2+bx+c，我们可以使用根式方法来解决。
二次根式加减法有以下两个步骤：
第一步，把多项式写成分数平方根的形式，并调整其系数使其成为完整的分数。
比如，二次式f（x）=ax^2+bx+c（a≠0）可以被写成f（x）=(ax+ω)^2+b^2/(4a)的形式，其中ω就是根式中的根。
第二步，对多项式内的两个分母分别进行加减操作，然后把对应的根式求出。
比如，我们可以把二次式f（x）=x^2-6x+9分解成形如(2x+ω1)^2+(2x+ω2)^2的形式，就可以用求和公式计算出多项式的根式ω1+ω2。
数学中的根式加减法大大简化了多项式的求解，可以有效的拆分多项式，将复杂的数学问题简单化。
二次根式加减法就是帮助求解二次根式的简单有效的多项式加减方法。
如果掌握了二次根式加减法，就可以很容易的求解多种不同形式的多项式的根式了。
二次根式的加减
2
（3）10 2 + (3 8 − 7 2) =9_______；
4 3−6 2
（4）5 12 − 3 8 + 2 27 = __________.
随堂训练
8.若最简根式
2+1
3 − 2 与 3 可以合并，求 的值.
2 + 1 = 2,
解：积为（2+3） 2=5 2（2 ）.
2 2+3 2= （2+3） 2
也可由分配律得出：
2 2+3 2= （2+3） 2= 5 2.
新课导入
议一议
问题2：如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正
方形的边长比小正方形的边长大多少？
此问题需要计算 18 − 8，但由于 18， 8不是最简二次根式，先把它们
上面提到的3 2与2 2， 18与 8都是同类二次根式.
同类二次根式可以像同类项那样进行合并.
知识讲解
思考： 观察新课导入两个问题的计算过程，你能总结出二次根式
加减计算的过程吗？
二次根式的加减
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根
式，然后再将同类二次根式分别合并.有括号时，要先去括号.
1
1
＝ 48 − 4
−3
+ 4 0.5
8
3
＝2 11 − 3 11 − 11 2
2
3
2
＝4 3 − 4 ×
−3×
+4×
4
3
2
＝ − 11 − 11 2.
＝4 3 − 2 − 3 + 2 2
＝3 3 + 2.
随堂训练
湘教版八年级上册数学精品教学课件 第5章 二次根式 第1课时 二次根式的加减运算
第5章 二次根式
5.3 二次根式的加法和减法
第1课时 二次根式的加减运算
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解和掌握二次根式加减的运算法则及能正确地 对二次根式进行加减运算；（重点、难点）
2. 通过实例分析，从中正确地掌握二次根式加减运 算的基本步骤．
问题3 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根 式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不 同的栅栏里吗？
能力提升： 6. 已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b= a 3 b，求 (2*3) - (27*32) 的值． 解：∵a*b = a 3 b ， ∴ (2*3) - (27*32)
= 2 3 3 27 3 32
= 2 3 3 3 3 12 2
= 11 2.
课堂小结
例5 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆 心的圆构成. 已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d (π 取 3.14). 解：设大圆和小圆的半径分别为 R，r，
面积分别为 S1，S2，由 S1 = πR2，
S2 = πr2，可得 R
S1，r π
二次根 式的加
减
法则 注意
一般地，二次根式的加减 时，可以先将二次根式化成最 简二次根式，再将被开方数相 同的二次根式进行合并.
运算原理 运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运 算顺序一样
S2 . π
d
则 d R r S1 S2
ππ
763.02 150.72
3.14
3.14
243 48
9 34 3
22.3二次根式的加减法(1)
1 (5)2 5 6 x ; (a b c ) x a 6 x b x c 2
( 24 b 6 a b 3) a 3 12 b 213 a 6 452
计算： (1) 8 18 12;
82 2
18
12
(1) 8 18 12;
二次根式加减运算的步骤:
⑴ 把各个二次根式化成最简二次根式， ⑵ 找出同类二次根式，
⑶ 合并同类二次根式.
例 22 计算： 例 计算
1 (2)( 12 20) ( 3 5) (1)2 12 6 3 48 例2计算： 3 2 x 1 解： 原式 9 2x 3 2 x3 5 6 2 5 (2)( 12 20) 1 ( 3 5)(3) 3 4 x 原式 4 3 (1)2 12 6 2 3 3 12 48 3 3x 2 1 3 3 5 (3) 914 x 6 3 2x 4 ( 3 x 5) (2)(3 12 20) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
1 (1)2 12 6 3 48 3
原式 2 x 3 x 2 x 3 x
练习三：计算
(1) 18 2 2; 3 2 2 2 5 2
(2) 50 32; 5 2 4 2 9 2
(3) 27 45 2 3; 3 3 3 5 2 3 3 3 5
是同类二次根式
() x y x xy
是同类二次根式
xy x x y ( ) 一:化 y y y y 二 : 看 xy y y x x x x x 是同类二次根式
x xy xy x2Fra bibliotek不是同类二次根式
(完整版)二次根式的加减法
二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。
二次根式加减法1
课型：自学互学展示课
学习目标：1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同 重点：二次根式化简为最简根式． 类二次根式 难点：会判定是否是最简二次根式． 2、理解和掌握二次根式加减的方法． 学习环节
3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次 根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来 指导根式的计算和化简．
例 2．计算（1）3 48 -9
1 +3 12 3
三、小组交流解疑、拓展 2 2 例 3．已知 4x +y -4x-6y+10=0， 求（
（ 2） （ 48 + 20 ）+（ 12 - 5 ）
2 x 9 x +y2 3
1 y x 2 ）-（x -5x ）的值． 3 y x x
总结二次根式加减法运算的步骤：
一．前置作业：
1、计算． （1） 2 x 3x ； （2） 2 x 3x 5x ；
2 2 2
二、巩固练习 (1)
12 (
1 1 ) 3 27
（3） x 2 x 3 y ； （4） 3a 2a a
2 2
2
2、计算下列各式． （1）2 2 +3 2 = （3） 7 +2 7 +3 7 = （2）2 8 -3 8 +5 8 = （4）3 3 -2 3 + 2 = 的； (3) x (2) ( 48
主备人：
y 3 (6 x x y
郭海琴
审核人 ：
姜瑞风
时间 ：
二、填空题 1．在 8 、
编号 1606
巩固练习：先化简，再求值．
x xy ) (4 x 36 xy ) ， y
二次根式的加减法
第11课 二次根式的加减法（1）一、目的要求：1、使学生知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否同类二次根式。
2、使学生通过辨别同类二次根式，培养从特殊中找出一般、从个性中找出共性的对立统一观点。
二、内容分析：1、从科学思想方法上来说，分类和归类正好是对立统一的，相辅相成的种互逆的研究过程，在学习教学时、既要重视分类，也要重视归类，两者缺一不可。
例如，对于“项”这一研究对象，在我们分析了它的特点后，把“整式”这一概念按照项的多少进行了分类（即分为单项式和多项式）；反过来，又把“单项式”这一概念按照项中除系数外其余部分完全相同这一性质进行了归类（即归为同类项）。
对于“方程”这一研究对象，在我们分析了它垢特点后，把它分为有理方程、无理方程、超越方程等；反过来，又把形式上完全不同的方程2x=2，01=-x 等归为同解方程。
分类越细，我们对整体的结构就越清晰；归类越明确，我们对整体中部分的认识就越深入。
例如，经过归类，我们知道同类项可以相加减；“同解”是一种等价关系，因而具有自反性、对称性和传递性等等。
2、在二次根式的四则运算中，加法与减法要在同类二次根式的概念引入后进行，而同类二次根式的概念是以最简二次根式的概念为基础的，这就是说，学习最简二次根式与同类二次根式，是学习二次根式的加减运算的必要准备。
由此可见，先学二次根式的乘除，后学二次根式的加减，这是有原因的。
3、同类二次根式的概念中，最关键的是“被开方数相同”这六个字，根据这六个字，5353与⋅52531与等等，都不是同类二次根式，这是因为在53⋅中，有两具被开方数，而在53中，只有一个被开方数；同理，在52531与中的个数也不同。
另外，“化成最简二次根式以后”这十字也是很重要的，由上所述，由上所述，我们可以体会到上一课中我们强调把二次根式化成最简二次根式时，应该注意分母有理化的道理，如果不强调这一点，那么在a a a )231(231+=+ a a a a a 2332353231+=+⋅=+ 这两个运算式子中，就不知道该以哪一个式子为标准解答了。
16.2二次根式的运算(第2课时)讲解与例题
【例2】计算：
(1)－2－3＋5＋4；
(2)(－)－(－)．
分析：进行二次根式的加减法可按一化(把二次根式化成最简二次根式)、二看(看被开方数是否相同)、三合并(把被开方数相同的二次根式进行合并)的步骤进行．(1)题中的每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出：－2与5，－3与4被开方数相同，因此可直接进行合并．
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二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．
(5)二次根式的加减法的一般步骤：
①将每一个二次根式化成最简二次根式；
②找出其中的同类二次根式；
③合并同类二次根式．
知识点拓展：(1)①当式子中有括号时要先去括号，并且在运算过程中应注意符号；②二次根式的加减与整式的加减相类似，体现了数学中的类比思想，在学习时应注意对比理解和应用．
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解：(1)－2－3＋5＋4
＝(－2＋5)＋(－3＋4)＝3＋.
二次根式的加减法
二次根式的加减法二次根式是指根号下含有变量的代数式，表现形式为√a ，其中 a 为非负实数。
在数学中，我们常常需要对二次根式进行加减运算。
本文将详细介绍二次根式的加减法规则，以及一些实用的求解技巧。
一、二次根式的基本性质在进行二次根式的加减法之前，我们需要了解一些二次根式的基本性质，以便于后续运算。
1. 同类项的概念在进行加减法运算时，我们需要保证参与运算的二次根式是同类项。
同类项指的是具有相同根指数和根数的项。
例如，√2 和2√2 就是同类项，因为它们的根指数都为 2，且都是根号下的 2 乘以某个系数。
2. 二次根式的合并在进行加减法运算时，我们可以通过合并同类项的方式简化计算。
合并同类项的基本原则是保留相同根指数和根数，将系数相加或相减。
3. 二次根式的乘法与除法对于二次根式的乘法和除法，我们可以使用以下规则进行计算：•乘法：二次根式的乘法可以通过将根号内的数相乘，并保留相同的根指数和根数，这相当于将系数相乘。
•除法：二次根式的除法可以通过将根号内的数相除，并保留相同的根指数和根数，这相当于将系数相除。
二、二次根式的加法运算二次根式的加法运算可以通过合并同类项的方式进行，具体步骤如下：1.检查所要相加的二次根式是否为同类项，即根指数和根数是否相同。
2.如果是同类项，将系数相加，并保留相同的根指数和根数。
3.如果不是同类项，无法进行直接加法运算，需要将它们转化为同类项后再进行相加。
下面举一个具体的例子来说明二次根式的加法运算：例：计算√2 + 2√2这里的√2 和2√2 是同类项，因为它们的根指数都为 2，且都是根号下的 2 乘以某个系数（1 和 2）。
根据同类项的合并原则，我们将系数相加得到最终结果，即√2 + 2√2 = 3√2 。
三、二次根式的减法运算二次根式的减法运算与加法运算相似，同样是通过合并同类项进行计算。
具体步骤如下：1.检查所要相减的二次根式是否为同类项，即根指数和根数是否相同。
十四讲 二次根式的加减法
二次根式的加法与减法知识引入话说“二次根式节”是二次根式爱好者的节日.该节日是每个世纪中的第一个年份、月份及日期的数字和的算术平方根正好是7的这一天，例如1300年1月2日，1400年1月1日.请你写出一个你最喜欢的“平方根节”的具体日期:____年____月____日（题中所举例子除外）.二次根式的加减法☆被开方式相同的二次根式的合并（重点）将二次根式化简成最简二次根式，如果被开方式相同，则这样的二次根式可以合并。
合并被开方式相同的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并被开方式相同的二次根式，把系数相加减，根指数和被开方式不变。
【注意】（1）系数相加减，“其他”不变；（2）根号外面的因式就是这个根式的系数。
在进行二次根式加减时应该先把可以化简的二次根式化简，然后把化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式合并。
（被开放根式不相同的不能合并，二次根式的加法也满足加法的交换律和结合律）合并同类二次根式【典题导入】【亮点题】【例1】若最简二次根式35a-与3a+是可以合并的二次根式，则____a=。
【例2】下列二次根式中，与a是可以合并的是（）考点1A B C D【例3】 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）．【例4】 若最简二次根式a 是同类根式，求2b a -的值．【例5】 已知最简根式a a ,b 的值（ ）A ．不存在B ．有一组C ．有二组D ．多于二组【例6】 计算：-+【例7】 先化简后求值。
当149x y ==，【例8】【例9】 设直角三角形的两条直角边分别为a b ，，直角边为c ，周长为C 。
（1）如果a b ==C 。
（2）如果3555a b ==，，求C 。
【方法提炼】 1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：．同类二次根式才可加减合并．【小试牛刀】【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：⑴3322x y x yz 和 ⑵22b aa b和⑶27348x xyy 和 ⑷2332455a b a b 和【巩固】若a b ，为非负数，4a b b +与3a b +是可以合并的二次根式，则a b ，的值是（ ）A ．02a b ==，B ．11a b ==，C ．02a b ==，或11a b ==，D ．20a b ==，【巩固】若4a b b +与最简二次根式3a b +为同类二次根式，其中a ，b 为整数，则a =______，b =________；二次根式加减法【例10】 化简：22691025a a a a +++-+()a x b x a b x +=+考点2【例11】计【例12】3+【例13】计算：【小试牛刀】【巩固】-【巩固】计算：-【巩固】-（20-40分钟）1、下列各式计算正确的是（ ）A ．2222-=-B ．)0(482>=a a aC ．94)9()4(-⨯-=-⨯-D ．336=÷ 2、下列根式合并过程正确的是（ ）A ．-=2B ．C．+=a+D ．-=3、计算：（1）-7（2） （3）326-125.02138+++ （4）aa a a a 2318632412-+4、下列计算错误的是 （ ）A ．27714=⨯B ．23060=÷C ．a a a 8259=+D ．3223=-121213141125、计算：221418+-6、计算28-的结果是（ ）A ．6B ．6C ．2D ．2 7、计算：8212-= 8、283-=（5分钟）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．下列计算正确的是（ ）A．﹣=B．（﹣3）2=6C．3a4﹣2a2=a2D．（﹣a3）2=a54．下列等式一定成立的是（）A．a2×a5=a10B．C．（﹣a3）4=a12D．5 .下列各组二次根式中，属于可以合并的是（）A B C与D6. 如果最简根式a与2a100a b+的值.()7.下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A．B．C．D．8．化简﹣（）2，结果是（）A．6x﹣6B．﹣6x+6C．﹣4D．49．下列各式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．10．计算的结果是（）A．3B．C．2D．11．下列计算正确的是（）A．+=B．﹣=﹣1C．×=6D．÷=312．下列运算正确的是（）A．B．C．D．13．下列计算结果正确的是（）A．22+22=24B．23÷23=2C．D．14．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．16．化简﹣x的结果为（）A．x﹣x B．x﹣C．2x D．0。
北京版八年级数学二次根式的加减法(1)
2
（2） 72 , 27 ； （3） 8ab3 , a , 32a3b5 ．
2b
21
应用新知
（1） 27 , 1 75 ；
2
解：由于 27 32 3 3 3 ,
1 75 1 52 3= 5 3 ．
2
2
2
所以, 27和 1 75是同类二次根式．
2
22
应用新知
9
探索新知
52 5 解题步骤：
设 5=a
两个单项式的和
合并同类项
10
探索新知
当a 5 时
a 2a 类比
52 5
(1 2)a
=(1 2) 5
3a
=3 5
11
探索新知
a 2a (1 2)a 3a
类似的 类比
32 3 (1 2) 3 3 3
12
探索新知
32 3 (1 2) 3 3 3
（2） 72 , 27 ； 解：由于 72 62 2 6 2 , 27 32 3 3 3 ． 所以, 72和 27不是同类二次根式．
23
应用新知
（3） 8ab3 , a , 32a3b5 ．（字母均为正数）
2b
解：由于a 0 , b 0
所以, 8ab3, 和a 32a3b5
8ab3 22 b2 2ab 2b 2ab ,
16
27
巩固练习
（3） 121a3 , 1 ．（字母均为正数）
a
解：由于a 0 ,
所以, 121a和3 1
a
121a3 112 a2 a 11a a , 是同类二次根式．
1 1a 1 a ．
a aa a
28
二次根式加减法(1)用
25 x2 15 x2 4;
一，已知a 5 2 6 , b 5 2 6 2 2 求a ab b 的值？ （ 1 ）已知a 5 2 6 , b 5 2 6 b a 求 2的值 ? a b 25 （2）已知 a b 3 5 , a . b , 4 2 2 求a ab b 的值 ?
（4）若 5 2.236, 求 1.8的值？ 1 1 （5）若x 5 , 求x 的值？ x x
1 2c （ 1 ）已知 3 b 3 2, b 2, （3 ）已知 a 2a a 1 0, 则 a 3 5的值？ 2 a 求a 2 b2 c2 ab bc ac的值 ?
同类二次根式：
1．定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如 果被开方数相同，这几个二次根式就叫做 同类二次根式．
2．注意：判断几个二次根式是否是同类二次根式时：
第一步，将它们化成最简二次根式； 第二步，看它们的被开方数是否相同．
判断:
下列二次根式,哪些是同类二次根式?
5 1 4 2 8, , , 3 , 121a , 16 18 5 1 c 3 3 3 3 a , 4 , 2 a b c, 3 a bc , a ab 2 1 n (m p), (m p ) mn np m p
2
是同
（1）已知 ，求 （2）已知
，求
的值．
的值．
，
(3)已知 (4)
，求
的值．
(1)已知
2 2 25 x 15 x 4;
求
2 2 25 x 15 x
25 x2 15 x2
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第11课 二次根式的加减法（1）一、目的要求：1、使学生知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否同类二次根式。
2、使学生通过辨别同类二次根式，培养从特殊中找出一般、从个性中找出共性的对立统一观点。
二、内容分析：1、从科学思想方法上来说，分类和归类正好是对立统一的，相辅相成的种互逆的研究过程，在学习教学时、既要重视分类，也要重视归类，两者缺一不可。
例如，对于“项”这一研究对象，在我们分析了它的特点后，把“整式”这一概念按照项的多少进行了分类（即分为单项式和多项式）；反过来，又把“单项式”这一概念按照项中除系数外其余部分完全相同这一性质进行了归类（即归为同类项）。
对于“方程”这一研究对象，在我们分析了它垢特点后，把它分为有理方程、无理方程、超越方程等；反过来，又把形式上完全不同的方程2x=2，01=-x 等归为同解方程。
分类越细，我们对整体的结构就越清晰；归类越明确，我们对整体中部分的认识就越深入。
例如，经过归类，我们知道同类项可以相加减；“同解”是一种等价关系，因而具有自反性、对称性和传递性等等。
2、在二次根式的四则运算中，加法与减法要在同类二次根式的概念引入后进行，而同类二次根式的概念是以最简二次根式的概念为基础的，这就是说，学习最简二次根式与同类二次根式，是学习二次根式的加减运算的必要准备。
由此可见，先学二次根式的乘除，后学二次根式的加减，这是有原因的。
3、同类二次根式的概念中，最关键的是“被开方数相同”这六个字，根据这六个字，5353与⋅52531与等等，都不是同类二次根式，这是因为在53⋅中，有两具被开方数，而在53中，只有一个被开方数；同理，在52531与中的个数也不同。
另外，“化成最简二次根式以后”这十字也是很重要的，由上所述，由上所述，我们可以体会到上一课中我们强调把二次根式化成最简二次根式时，应该注意分母有理化的道理，如果不强调这一点，那么在a a a )231(231+=+ a a a a a 2332353231+=+⋅=+这两个运算式子中，就不知道该以哪一个式子为标准解答了。
在本章中，我们认定a a 与3的被开方数不同，它们不能合并，所以不要法语学生类似第一个式子那样来进行运算。
三、教学过程复习提问：1、什么叫做最简二次根式？它必须满足哪几个条件？（把学生回答的条件写在黑板上，其中应该包括分母中不含根号这一条。
）2、把下列各式化成最简二次根式：（1）54110（2）)4(4)8(2-⨯-- （3）22)21()213(+ （4）)(1122b a b a a <-（让四名学生上黑板做，其余学生分四组在下面选做，待上黑板的学生做完后，教师即可讲评。
）3、已知a=2，b=-8，c=5，求代数式a acb 242-的值。
新课讲解：1、请同学们看下面两个例子。
（1）计算2332+，有哪些方法？ 一种是根据414.12≈，进行近似计算，求出原式的近似值； 另一种是先设2=a ，根据分配律进行计算，即原式=255)32(32==+=+a a a a（2）计算188+，有哪些方法？ 一种是查表求出18,8的近似值，再算出原式的近似值； 另一种是同前几节课一样，先把18,8进行化简（当然化成最简二次根式为好），得原式=25232223223=+=⨯+其中最后一步变开是根据例子（1）的结果。
2、上面两个例子表明，遇到两个二次根式加时，我们希望利用分配律，这里利用分配律的实质是要法语这两个二次根式的被开方数相同。
这种类似的情况我们过去也遇到过；将两个单项式相加，如果想利用分配律的话，那就应当要法语这两个单项式除了系数以外，其余部分完全相同，这就启发我们，类似在整式的加减中依靠“同类项”那样，能不能在二次根式的加减中，也依靠一种“同类二次根式”呢？答案是肯定的，因为前面学过的知识已为你们作好了准备。
3、请同学们看教科书第3～2行：“几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
”在这一定义中，最关键的词是“最简二次根式”和“被开方数相同”。
就是说，同类二次根式必面满足以下两个条件：（1）它们都是最简二次根式；（2）它们的被开方数必须完全相同。
根据这一定义， a a 231,5353与与⋅都不是同类二次根式，这是因为前者、后者的被开方数不同，而且a 31的分母中还含有根号，不符合我们对最简二次根式的要求，而24,18,8等，就是同类二次根式。
4、请同学们看教科书第190页上的例1，（可出示预先抄好例1题目的小黑板。
）从这个例题可以看出：判断两个二次根式是否同类二次根式，必须先把它们化成最简二次根式，再看它们的被开方数是否完全相同。
课堂练习：教产书第192页上练习的第1题。
课堂小结：在这节课时里，我们学习了什么是同类二次根式，我们知道它们必须符合两个条件，一是都化成最简二次根式的形式，二是被开方数完全相同。
“同类二次根式”与“同类项”一样，将在加减运算中起关键作用，从许多二次根式中找出同类二次根式，这种思想方法就是归类的思想方法，与分类的思想一样，它们都是我们学习各门科学（包括数学这样的工具学科）的重要思想方法。
四、课外作业：教科书习题11.5A 组的第1题。
对于题目中的二次根式)(1p m np mn >-，可提示学生，这个式子的被开方数的分母可以分解因式；应该先分解因式，然后再将整个二次根式化成最简二次根式。
第12课 二次根式的加减法（2）一、目的要求：1、使学生会通过合并同类二次根式，进行二次根式舞蹈法与减法运算。
2、使学生通过二次根式的的加减，进一步了解归类的思想方法。
二、内容分析：1、在上节课里，学生学习了同类二次根式的概念，这一概念是继续学习二次根式的加法与减法运算的基础，不是同类二次根式的二次根式，例如：331342与，虽然可以“通分”，但却不能合并，从而也不能相加减，由此可见“同类”的意义。
2、学习了二次根式的加减后，要与二次根式的乘除相比较，可向学生指出：169169⨯=⋅916916169169=⋅=但169169+≠+，916916-≠-由此又可看到乘除与加减的不同；只有通过找出同类二次根式的途径，才能进行二次根式的加法与减法运算。
从理论上来说：两个二次根式的积与商仍是一个二次根式（包括有理式）；但两个二次根式如果不是同类二次根式，那么它们的和与差就无法合并成一个二次根式。
这一点不必对学生讲。
三、教学过程：复习提问：1、什么叫做同类二次根式？它有哪两个必要条件？（把下列必要条件写在黑板上：）（1）它们都是最简二次根式；（2）它们的被开方数必须完全相同。
2、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（1）33； （2）a 1； （3）77-； （4）2a ； （5）985a； （6）23b a 。
（请两名学生在上黑板做，其他学生在下面做，做完后讲评。
）3、x 取什么值时，最简二次根式13123-+x x 与是同类二次根式？要求学生回答：这两个二次根式已经是最简二次根式了，要使它们是同类二次根式，还必须满足“被开方数完全相同”这一条件，由此得到方程2x+1=3x-1解这个方程，得x=2所以，当x=2时，最简二次根式13123-+x x 与是同类二次根式，这时513,53123=-=+x x 。
新课讲解：1、请同学们看教科书第190页的最后一段文字，它告诉我们：就像整式的加减可以通过合并同类项来进行那样，二是根式的加减则可以通过合并同类二次根式来进行。
这就是二次根式的加法与减法运算的实质。
2、再看教科书第191页上的例2。
（除了使用“原式”一词外，在后面进行恒等变形时，可将运算步骤写得稍为详细一些；也可以模仿教科书上写的解的过程，利用黑板的右侧当草稿纸来进行演示。
）结果得到,93140这个结果也可以写成39140，但不要写成39515，以免误解成15，95，3 这三个数相乘。
3、再看教科书第191页上的例3。
这道题是被开方数中含有字母的二次根式相加减的例子。
把三个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数都是x ，所以是同类二次根式。
4、最后看教科书第191页上的例4，这道题先要去括号，去括号法则与以前学过的一样，去括号后要确认2414222122==与是同类二次根式，35332332与=是同类二次根式（前面的正号或负号可以不予考虑）。
所以可以利用分配律将它们分别合并，最后得到结果331342+时，要指出由于32与不是同类二次根式，所以331342与也不是同类二次根式。
331342+就是例4的最后结果了（也可以写成3313241+，但不能写成133142431+。
）课堂练习：教科书第192页上练习第2题的第（1）、（3）、（5）、（7）小题和第3题的第（1）、（3）、（5）小题。
课堂小结：这节课我们学习了二次根式的加法与减法运算，通过运算我们知道，二次根式相加减的实质就是合并同类二次根式，这正如整式相加减的实质就是合并同类项一样，为了确认哪些被开方数是否完全相同去判断，在把二次根式化成最简二次根式时，一定要认真细心，避免3出错。
通过这节课，我们还知道，非同类二次根式不能合并，所以3232+≠+，2422+≠+，21882188+≠+。
等，这说明二次根式的加减与乘除的方法是不同的。
四、课外作业：教科书习题11.5A 组第2题的第（2）、（3）小题，第3题的第（1）、（3）、（5）、（7）、（9）小题和第4题的第（1）、（3）、（5）小题。