卓顶精文2019考研数二真题及解析

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)曲线33cos sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩上对应于点6t π=点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿. (2)设1tan 1sin x y e x=⋅,则y '=＿＿＿＿＿＿.(3)11xdx -=⎰＿＿＿＿＿＿.(4)下列两个积分的大小关系是：312x edx ---⎰＿＿＿＿＿＿312x e dx --⎰.(5)设函数1, ||1()0, ||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩,则函数[()]f f x =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)已知2lim 01x x ax b x →∞⎛⎫--= ⎪+⎝⎭,其中,a b 是常数,则()(A)1,1a b ==(B)1,1a b =-= (C)1,1a b ==-(D)1,1a b =-=-(2)设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,则()d f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰等于()(A)()f x (B)()f x dx (C)()f x C +(D)()f x dx '(3)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()]f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时,()f x的n 阶导数()()n f x 是()(A)1![()]n n f x +(B)1[()]n n f x +(C)2[()]nf x (D)2![()]n n f x (4)设()f x 是连续函数,且()()xe x F xf t dt -=⎰,则()F x '等于()(A)()()x x e f e f x ----(B)()()xx e f e f x ---+(C)()()xx ef e f x ---(D)()()x x e f e f x --+(5)设(), 0()(0), 0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,其中()f x 在0x =处可导,(0)0,(0)0f f '≠=,则0x =是()F x 的()(A)连续点(B)第一类间断点(C)第二类间断点(D)连续点或间断点不能由此确定 三、(每小题5分,满分25分.)(1)已知lim()9xx x a x a→∞+=-,求常数a .(2)求由方程2()ln()y x x y x y -=--所确定的函数()y y x =的微分dy .(3)求曲线21(0)1y x x =>+的拐点.(4)计算2ln (1)xdx x -⎰.(5)求微分方程ln (ln )0x xdy y x dx +-=满足条件1x e y ==的特解.四、(本题满分9分)在椭圆22221x y a b+=的第一象限部分上求一点P ,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中0,0a b >>).五、(本题满分9分)证明：当0x >,有不等式1arctan 2x x π+>. 六、(本题满分9分)设1ln ()1xt f x dt t =+⎰,其中0x >,求1()()f x f x+. 七、(本题满分9分)过点(1,0)P 作抛物线2y x =-,该切线与上述抛物线及x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体的体积. 八、(本题满分9分)求微分方程44axy y y e '''++=之通解,其中a 为实数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】133(3)88y x -= 【解析】将6t π=代入参数方程得,x y 在6t π=处的函数值:6338t x π==,61;8t y π== 得切点为31(3,)88. 过已知点00(,)x y 的法线方程为00()y y k x x -=-,当函数在点00(,)x y 处的导数00x x y ='≠时,01()k y x ='.所以需求曲线在点6t π=处的导数. 由复合函数求导法则,可得dy dy dt dydxdtdt dx dt dx =⋅=223sin cos 3cos sin t t t t=-tan t =-, 63x t y π='= 法线斜率为 3.k =所以过已知点的法线方程为133(3).88y x -=-【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅或dy dy du dx du dx=⋅. (2)【答案】11tan tan 22211111sec sin cos x x e e x x x x x ⎛⎫--⎛⎫⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】原函数对x 求导,有111tan tan tan 111sin sin sin x x xy e e e x x x '''⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11tan tan 1111tan sin cos x xe e x x x x ''⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11tan tan 22211111sec sin cos .xx e e x x x x x ⎛⎫--⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【相关知识点】1.两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.2.复合函数的求导法则: 如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅或dy dy du dx du dx=⋅. (3)【答案】415【解析】对于原定积分,有换元法或拆项法可选择,不管是何种方法,最终的目的都是去 掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果.方法1：换元法,1x t -=,原积分区间为01x ≤≤,则011x ≤-≤,进而011x ≤-≤,新积分区间为01t ≤≤；当0x =时,1t =,当1x =时,0t =,故新积分上限为0,下限为1.1x dt -=⇒1221dt dx t x-==-,则2dx tdt =-.原式021(1)(2)t t tdt =-⋅⋅-⎰()11243500112235t t dt t t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰1142.3515⎛⎫=-= ⎪⎝⎭方法2：拆项法,()11x x =-+,原式()1111x xdx =-+-⎡⎣⎰()31211xdx x dx =---⎰⎰()()11352200221135x x =--+-224.3515=-=(4)【答案】>【解析】由于3xe-,3x e 在[2,1]--连续且3x e ->3x e ,根据比较定理得到312x e dx --->⎰312x e dx --⎰.【相关知识点】对于相同区间上的定积分的比较,有“比较定理”如下：若()f x 与()g x 在区间[,]a b (,a b 为常数,a b <)上连续且可积,且()f x ≥()g x ,则有()().bbaaf x dxg x dx ≥⎰⎰(5)【答案】1【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域,不能遗漏,求出复合后函数的所有可能的解析式.根据()f x 的定义知,当||1x ≤时,有() 1.f x =代入[()]f f x ,又(1) 1.f =于是当||1x ≤时,复合函数[()]1f f x ≡；当||1x >时,有()0.f x =代入[()]f f x ,又(0)1,f =即当||1x >时,也有[()]1f f x ≡. 因此,对任意的(,)x ∈-∞+∞,有[()]1f f x ≡. 二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】C【解析】本题考查多项式之比当x →∞时的极限. 由题设条件,有22(1)()lim lim 011x x x a x a b x b ax b x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫--+---== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 分析应有10,0,a ab -=⎧⎨+=⎩否则2(1)()lim 01x a x a b x b x →∞⎛⎫--+-≠ ⎪+⎝⎭. 所以解以上方程组,可得1, 1.a b ==-所以此题应选C.(2)【答案】B【解析】由函数的不定积分公式:若()F x 是()f x 的一个原函数,()()f x dx F x C =+⎰,()()dF x f x dx =,有[()][()]().d f x dx f x dx dx f x dx '==⎰⎰所以本题应该选(B). (3)【答案】A【解析】本题考查高阶导数的求法.为方便记()y f x =.由2y y '=,逐次求导得322,y yy y '''==243!3!,y y y y ''''==,由第一归纳法,可归纳证明()1!n n yn y +=.假设n k =成立,即()1!k k yk y +=,则()(1)()1!1!k k k ky y k y k y y ++'''⎡⎤⎡⎤===+⋅⎣⎦⎣⎦()()111!k k y ++=+,所以1n k =+亦成立,原假设成立.(4)【答案】A 【解析】对()()xe xF x f t dt -=⎰两边求导数得()()()()()x x F x f e e f x x --'''=-()().x x e f e f x --=--故本题选A.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x = 在点x 可导,且其导数为()()dy f u g x dx ''=⋅或dy dy du dx du dx=⋅. (5)【答案】B【解析】由于00()()(0)lim ()limlimx x x f x f x f F x x x →→→-==-, 由函数在一点处导数的定义,00000()()()limlim ,x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆得0lim ()(0)0(0)(0),x F x f f F →'=≠== 所以函数不连续,且极限存在但不等于函数值,故为第一类(可去)间断点,故本题选B.【相关知识点】1.函数()y f x =在点0x 连续：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义,如果00lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.2.函数()f x 的间断点或者不连续点的定义：设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义,只要满足一下三种情况之一即是间断点.(1)在0x x =没有定义；(2)虽在0x x =有定义,但0lim ()x x f x →不存在；(3)虽在0x x =有定义,且0lim ()x x f x →存在,但00lim ()();x x f x f x →≠通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()f x 的间断点,但左极限0()f x -及右极限0()f x +都存在,那么0x 称为函数()f x 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】此题考查重要极限：1lim(1).xx e x→∞+=(1)lim()lim (1)xx x x x a x a x a x a x →∞→∞++=--()(1)lim (1)xa a x x a aa x a x⋅→∞⋅--+=-29a a a e e e -===, 得2ln9a =ln3a ⇒=. 或由2222lim()lim 1x a xa a x ax a x x x a a e x a x a -⋅⋅-→∞→∞+⎛⎫=+= ⎪--⎝⎭,同理可得ln3a =.(2)【解析】方程两边求微分,得2dy dx -ln()()()ln()x y d x y x y d x y =-⋅-+-⋅-()ln()()dx dydx dy x y x y x y-=--+--,整理得2ln()3ln()x y dy dx x y +-=+-. (3)【解析】对分式求导数,有公式2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以 2222322(31),(1)(1)x x y y x x --'''==++, 令0y ''=得3x =,y ''在此变号,即是3x <时,0;y ''<3x >时,0;y ''>故拐点为(,43. 【相关知识点】1.拐点的定义：设函数()f x 在点0x 的某一邻域连续,函数()f x 的图形在点0处的左右侧凹凸性相反,则称00(,())x f x 为曲线()f x 的拐点.2.拐点判别定理：(1)设函数()f x 在00(,)x x δδ-+连续,在去心邻域{}000(,)\x x x δδ-+,就是区间00(,)x x δδ-+内不包括点0x 二阶可导,且0()()f x x x ''-在00x x δ<-<上不变号,则 00(,())x f x 为拐点.(2)设函数()f x 在00(,)x x δδ-+二阶可导,0()0,f x ''=又0()0,f x '''≠则00(,())x f x 为拐点.本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了. (4)【解析】由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---有2ln 1ln ()(1)1x dx xd x x =--⎰⎰ln 11()11x dx x x x-+--⎰分部法 ln ln |1|1x x x C x=+-+-,C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或者.udv uv vdu =-⎰⎰(5)【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为11ln y y x x x'+=. 由于ln |ln |dxx x e x ⎰=,两边乘以ln x 得ln (ln )x y x x'=.积分得ln ln xy x dx C x =+⎰,通解为ln 2ln x Cy x=+. 代入初始条件1x e y ==可得12C =,所求特解为ln 122ln x y x =+. 四、(本题满分9分)【解析】对椭圆方程进行微分,有220xdx ydya b+=22dy b x dx a y ⇒=-. 过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,当0()y x '存在时,0()k y x '=. 所以点(,)x y 处的切线方程为22()b x Y y X x a y -=--,化简得到221xX yYa b +=.分别令0X =与0Y =,得切线在,x y 上的截距分别为22,a b x y； 又由椭圆的面积计算公式ab π,其中,a b 为半长轴和半短轴,故所求面积为2211,(0,)24a b S ab x a x y π=⋅-∈.,a b 为常数,欲使得S 的最小,则应使得xy 最大；从而问题化为求u xy =(y 由椭圆方程所确定)当(0,)x a ∈时的最大值点.令,0u xy u xy y ''==+=,得y y x '=,再对22221x y a b +=两边求导得220x yy a b'+=,联合可得2x =(唯一驻点),即在此点u xy =取得最大,S 取得最小值.由于00lim ()lim ()x a x S x S x +→-→==+∞,所以()S x 在(0,)a 上存在最小值,2x =必为最小点,所求P 点为22.五、(本题满分9分) 【解析】证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为()f x ,另一边剩下0,再在给定区间内讨论()f x 的单调性即可证明原不等式.令1()arctan 2f x x x π=+-,则2211()0 (0)1f x x x x '=-<>+.因此,()f x 在 (0,)+∞上单调减；又有lim arctan 2x x π→+∞=,所以11lim ()lim ()lim 022x x x f x x x ππ→+∞→+∞→+∞=+-==, 故0x <<+∞时,()lim ()0x f x f x →+∞>=,所以原不等式得证.六、(本题满分9分)【解析】方法1：111ln ()1x t f dt x t =+⎰,由换元积分1t u=,21dt du u -=,1:1t x →⇒:1u x →； 所以11111ln ln ()1(1)t uxx t uf dt du x tu u ===++⎰⎰.由区间相同的积分式的可加性,有1()()f x f x +=2111ln ln ln 1ln 1(1)2x x x t t t dt dt dt x t t t t +==++⎰⎰⎰. 方法2：令1()()()F x f x f x=+,则。