2018年春北师版数学九年级下册1.4解直角三角形

合集下载

北师大版九年级数学下册第一章1.4解直角三角形应用(共21张PPT)

在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
A （1）三边之间的关系 :
（2）两锐角之间的关系: ∠A＋∠B＝90°
b
c
（3）边角之间的关系(以角A为例):
Ca
B
例1:方位角问题
据报道：中国籍货轮“德新海”号于2009年10月19号在印度洋海域遭到索马里海盗劫持。
例1:方位角问题
在实行紧急救援过程中，援救小组的船只向正北方向航行, 在点A测得 “德新海”号在北偏西30º处, 援救小组又以每小时30海里航行10小时后到达 “德新海”号正东方向B处时, 问援救小组的船只此时与“德新海”号的距离是多少? （结果可含）.
即
3 BD 3 120
BD 120 3 40 3 3
B ?
30 D A 60 120
?
又Q 在RtACD 中，tan 60 CD AD
即 3 CD 120
C
CD 120 3 120 3
BC 40 3 120 3=160 3
答：这栋楼高为 160 3 m .
1、第117页练习 2、第120页的A组第4题 3、设计两种测量上海东方明珠塔高度的方案（不一
仰角、俯角问题
1、在A处测得一建筑物顶部B处的仰角为47度
BAC 47
仰角、俯角问题
2、从热气球上看一栋高楼顶部仰角为30度，
底部俯角为45度，
BAD 30 处，用仪器测得一路灯电线杆底部B处的俯角为 30度，仪器高度AD为1.5m。求这根电线杆与这座楼的距离BC。 (精确到1m)
= 135°，BD = 520m，∠D=45°，要使A，C，E成一
直线那么开挖点E离D的距离是多少（结果用表示）？

北师大版九年级数学下册1.4 解直角三角形1 教案

1.4 解直角三角形1．正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；(重点)2．选择适当的关系式解直角三角形．(难点)一、情境导入如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为该市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC＝60°，∠DBC＝75°.又已知AB＝100米，根据以上条件你能求出观景台D到徒骇河西岸AC的距离吗？二、合作探究探究点：解直角三角形【类型一】利用解直角三角形求边或角已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c，按下列条件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度数和边c的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，ac＝cos B，即c＝acos B＝3632＝243，∴b＝12c＝12×243＝123；(2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴c＝62，∠A＝∠B＝45°.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型三】构造直角三角形解决面积问题在△ABC中，∠B＝45°，AB＝2，∠A ＝105°，求△ABC 的面积．解析：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据勾股定理求出BD 、AD 的长，再根据解直角三角形求出CD 的长，最后根据三角形的面积公式解答即可．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵∠B ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∴AD ＝BD ＝22AB ＝22×2＝1.∵∠A ＝105°，∴∠CAD ＝105°－45°＝60°，∴∠C ＝30°，∴CD ＝AD tan30°＝133＝3，∴S △ABC ＝12(CD ＋BD )·AD ＝12×(3＋1)×1＝3＋12.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题三、板书设计解直角三角形1．解直角三角形的概念2．解直角三角形的基本类型及其解法 3．解直角三角形的简单应用本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新能力、合作能力，激发学生学习数学的积极性、主动性.。

北师大版九年级下册 1.4 解直角三角形教案

1.4解直角三角形一、教学目标初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.二、教学重点和难点重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.难点：从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题.三、教学过程（一）复习引入：2、直角三角形中元素间的三种关系：定义：由直角三角形中的已知元素，求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形.探究一、已知两条边解直角三角形：例1：在Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b,c, 且a=4，c=8，求b, ∠A ,∠B练习1：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c,根据下列条件求出直角三角形的其他元素：（1）19,a c==（2）a b==探究二、已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）解直角三角形：例2：在Rt△ABC 中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=30°求这个三角形的其他元素（边长精确到1）。

练习2：在Rt△ABC 中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=8，∠A=370，解直角三角形。

（参考数据：tan370≈0.75，sin370≈0.6,cos370≈0.8）（三）中考链接：1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A、sinADBAB= B、sinACBBC=C、sinADBAC= D、sinCDBAC=2、在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，4sin5A=，3cos5A=，3tan A=4，则BC的长为（）A、6B、7.5C、8D、12.5（四）、课堂小结：1、解直角三角形除直角外，至少要知道两个元素（这两个元素中至少有一条边）2、解直角三角形的条件可分为两大类：①、已知一锐角、一边（一锐角、一直角边或一斜边）②、已知两边（一直角边，一斜边或者两条直角边）。

北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形课件

c
b
C
a
（锐角三角函数）
b
cos A sin B ,
c
a
tan A ,
b
b
tan B ,
a
B
考点三解直角三角形
* 匹配例题
B
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若AB=2 ， ∠ A=30°,则 AC= 3 ;
（2）若AB=4，AC=3，则BC=
7
sinA=
7
4 ;
即： x
2+10
x -50=0
x1 5 5 3, x2 5 5 3 (舍去)
∴sin ∠CAE=
CE 5 5 3

AC
10 2
∴∠CAE≈15°
∴灯塔C处在视察站A的北偏西15°
的方向
45°
A
考点
*
四解直角三角形知识的应用问题
2.方位角:
常见模型
匹配例题
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D
米，路基高是4米，则路基的下底宽是
.
15
3
4
6
3
6
考点
四解直角三角形知识的应用问题——模型总结
A
D
C
翻折
一个
Rt△
平移一个Rt△
B
C
D
小结
辨认
数形结合
熟记
实际问题
数学问题
应用
答
模型求解
直角三角形
构造直角三角
特殊角的三角函数值
谢
谢
方位角
h
α
l
考点一
1. 定义:
锐角三角函数

北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形课件

尽量选
择原始
数据,避
免累积
误差
随堂练习
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 2 ,BC = 6 ,
解这个直角三角形.
解：由勾股定理得：
AB AB2 BC2 解：tanA
BC AC
6 2
3
22
2
6
A 60
2 2
B 90 - A
在Rt △ABC中，
90 - 60 30
AB=2AC
有三条边和两个角
1、在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素? 2、这5个元素之间有什么关系?
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
B
(3)边角之间的关系: 锐角三角函数
sinA＝ a c
cosA＝ b c
tanA＝ a b
c a
（4）在Rt△ABC中，30°角所对的直角边 A
bC
等于斜边的一半；
（5）面积公式：
S▲ABC
1 2
a•b
1 2
c•h
3、知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?
在Rt△ABC中,
一角一边
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这三个角
的其他元素吗？ ∠B
AC 两边BC
（2）根据AC= 2 ，BC= 6 ，你能求出这个三角形
的其他元素吗？ ∠A ∠B 两角AB
• 解直角三角形的一般步骤：
(1)画示意图； (2)分析已知量与待求量的关系,选择适当的边角关系；
“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），
无斜（斜边）用切（正切）”
(3)求解；
“宁乘勿除，取原（原始数据）避中（中间数据）”

九年级数学下册 1.4 解直角三角形教案 (新版)北师大版

课题：1.4 解直角三角形教学目标:1.理解解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形.2.通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力.3．在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法. 教学重点与难点:重点：根据条件解直角三角形.难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程：一、创设情境，导入新课问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角.直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角.那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题，引入本课：【板书课题：1.4解直角三角形】处理方式：由于三角函数有关的计算作为基础，学生易解决问题，所以找两名学生上黑板书写计算过程.设计意图：体会数学知识来源于生活，激发学生的学习兴趣，由此引入对直角三角形已知元素求未知元素的探究.二、提出问题，探索新知如图，在直角三角形ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记作a ，b ，c . 问题1：直角三角形的三边之间有什么关系？问题2：直角三角形的锐角之间有什么关系？问题3：直角三角形的边和锐角之间有什么关系？师：出示课件：课本“做一做”在Rt △ABC 中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？例1 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记作a ，b ，c ，且a =15，b =5，求这个三角形的其他元素.师：出示课件：课本“想一想”在Rt △ABC 中，如果已知一边和一角，你能求出这个三角形的其他元素吗？出示例2 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记作a ，b ，c ，且b =30，∠B =25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1).处理方式：对于前三个问题找学生口答；对于例1师生共同完成：解：在Rt △ABC 中，2a +2b =2c ，a =15，b =5，∴c =22a b +=22155+（）（）=25. 在Rt △ABC 中，sin B=b c =525=12， ∴∠B =30°.∴∠A =60°. 对于例2由学生仿照例1独立完成.最后教师给出解直角三角形的定义及其依据.设计意图：学生经历实践、探索的过程，既培养了学生的动手实践能力，积累了数学活动经验，也了解了解直角三角形的两种情况，为接下来探究做准备．三、深入探究，理解新知问题4：通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？问题5：除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？问题6：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？处理方式：问题4找几个学生展示，让学生现场出题，当堂验证，学生讨论分析，得出结论；问题5、6可以借助问题4和两个例题；也可以查阅以前做的题目（包括课本例题、习题），.最后学生交流讨论归纳（课件展示讨论的条件）总结：解直角三角形，有下面两种情况：(其中至少有一边)（1）已知两条边（一直角边一斜边；两直角边）（2）已知一条边和一个锐角（一直边一锐角；一斜边一锐角）设计意图：这是这节课的重点，让学生归纳和讨论，能让他们深刻理解解直角三角形的有几种情况，必须满足什么条件能解出直角三角形，给学生展示的平台，增强学生的兴趣及自信心.四、知识应用，及时反馈1、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AB=2，∠A=45°,解这个直角三角形。

1.4 解直角三角形(教案)-北师大版数九年级下册

第4节解直角三角形1.了解解直角三角形的概念,使学生理解直角三角形中五个元素的关系.2.经历解直角三角形的过程,掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法.1.在研究问题的过程中思考如何把实际问题转化为数学问题,进而把数学问题具体化.2.通过利用三角函数解决实际问题的过程,进一步提高学生的逻辑思维能力和解决问题能力.1.在解决问题的过程中引导学生形成数形结合的数学思想,体会数学与实践生活的紧密联系.增强学生的数学应用意识,激励学生敢于面对数学学习中的困难.2.通过获取成功的体验和克服困难的经历,增进学生学习数学的信心,养成学生良好的学习习惯.【重点】理解并掌握直角三角形边角之间的关系,运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形中的未知元素.【难点】从已知条件出发,正确选用适当的边角关系或三角函数解题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习三角函数和勾股定理的相关知识.导入一:课件出示:在日常生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题,知道直角三角形的边可以求出角,知道角也可以求出相应的边.如图所示,在Rt△ABC中共有几个元素?我们如何利用已知元素求出其他的元素呢?【师生活动】复习直角三角形的性质(两锐角互余和勾股定理)和三角函数的概念.【学生活动】通过独立思考和与同伴交流,分析出Rt△ABC中的6个元素,并尝试利用已知元素求未知元素.[设计意图]在学生分析直角三角形6个元素的过程中,学生自然而然地会想到直角三角形的相关性质,在复习旧知的同时,又为学习新知奠定了良好的基础.导入二:课件出示:如图所示,AC是电线杆AB的一根拉线,测得拉线AC=12m,AB=6m,你能求出拉线底端到电线杆底端的长度BC吗?能求出拉线AC与地面BC所成角的度数和拉线AC与电线杆AB所成角的度数吗?学生分析:可以利用勾股定理求拉线AC的长度,易知拉线与地面所成角为∠BCA,拉线与电线杆所成角为∠BAC,利用三角函数知识和计算器即可求出∠BCA和∠BAC的度数.【引入】这节课我们就综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的知识探究直角三角形中的边和角的求解方法.[设计意图]通过生活中实际情境的引入,使学生对本节课的学习任务一目了然,学生在探究的过程中就可以抓住重点和难点.[过渡语]我们已经了解了直角三角形中6个元素分别是三条边和三个角,那么至少要知道几个元素,才可以求出其他元素呢?下面我们进行分类探究.【做一做】在Rt△ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出这个三角形的其他元素吗?课件出示:(教材例1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=,求这个三角形的其他元素.思路一教师引导学生分析:1.直角三角形中已知两边可以利用定理求出第三条边.2.直角三角形中,已知两边可以利用求∠A(或∠B)的度数.3.再利用求∠B(或∠A)的度数.【师生活动】教师引导学生分析,得出解直角三角形的方法,理清解题思路.【学生活动】得出结论:1.勾股定理2.三角函数2.两锐角互余解:在Rt△ABC中,a2+b2=c2,a=,b=,∴c===2.在Rt△ABC中,sin B===,∴∠B=30°,∴∠A=60°.思路二分组探究,思考下面的问题:1.由两个已知条件a=,b=能不能求出其中的一个锐角?2.如何再求出另外一个锐角的度数?3.如何再求出第三条边的长【师生活动】学生先独立思考,然后小组讨论.教师巡视,及时发现问题,予以纠正.完成后各小组展示解题的方法和步骤,师生共同验证.解:在Rt△ABC中,a=,b=,∴tan A===,∴∠A=60°,∴∠B=30°.在Rt△ABC中,sin B=sin30°=,即=,∴c=2.【教师小结】解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有的未知元素的过程,叫做解直角三角形.[设计意图]通过对直角三角形6个元素的分析及对猜测的探究活动,自然而然地引出解直角三角形的概念,并让学生及时总结解题方法,加深对概念的理解.[知识拓展]已知直角三角形两条边求其他元素的方法:方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角.方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求出第三条边.解:在Rt△ABC中,AC=12,AB=6,由勾股定理得BC=6.在Rt△ABC中,tan∠BCA===,∴∠BCA=60°,∴∠BAC=30°.∴拉线底端到电线杆底端的长度BC是6m,∠BCA和∠BAC的度数分别是60°和30°.[设计意图]通过对导入题的解答,加深学生对解直角三角形概念的理解,提高解题的综合能力.三角形的其他元素(边长精确到1).〔解析〕在直角三角形中可以利用两锐角互余求另外一个锐角的度数,然后利用与锐角∠B 和边b有关的三角函数先求出其中一条边a或c,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边c或a.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,∴∠A=65°.∵sin B=,b=30,∴c==≈71.∵tan B=,b=30,∴a==≈64.【教师设疑】此题还有其他解法吗?【学生活动】学生相互交流他们的解法.[设计意图]通过对学习活动的探究,学生逐步掌握了解直角三角形所要具备的条件,并在探究的过程中及时总结归纳出解直角三角形的思路和方法,为后面的练习和应用打下了良好的基础.[知识拓展]已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法:已知一个锐角的度数,先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角的度数;又知道一条边的长度,根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长度;也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长度,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边的长度.在Rt△ABC中,如果已知两个锐角,可以解直角三角形吗?【学生活动】学生先独立判断,再分组讨论.学生小结:只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.问题2只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?学生小结:只给出一条边长,不能解直角三角形.【教师点评】解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”.【师生总结】解直角三角形需要满足的条件:在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.【教师提示】第三个元素既可以是角也可以是边.[知识拓展]解直角三角形的思路和方法:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有:(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系:sin A=,cos A=,tan A=,sin B=,cos B=,tan B=.(4)面积的不同表示法:S△ABC=ab=ch(h为斜边上的高).1.解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.解直角三角形的类型:(1)已知直角三角形两条边求其他元素.(2)已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素.3.解直角三角形需要满足的条件:除直角外,再知道一条边和第三个元素,就可以解直角三角形.1.如图所示的是教学用直角三角板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为()A.5cmB.10cmC.20cmD.30cm解析:在直角三角形ABC中,根据三角函数定义可知tan∠BAC=,∵AC=30cm,tan∠BAC=,∴BC=AC·tan∠BAC=30×=10(cm).故选B.2.如图所示,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则()A.点B到AO的距离为sin54°B.点B到AO的距离为tan36°C.点A到OC的距离为sin36°·sin54°D.点A到OC的距离为cos36°·sin54°解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据锐角三角函数定义得出BO=AB sin36°,即可判断A,B错误;过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐角三角函数定义得出AD=AO sin36°,AO=AB·sin54°,所以AD=sin36°·sin54°,即可判断C正确,D错误.故选C.3.如图所示,已知在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC=.解析:∵在Rt△ABC中,cos B==,∴sin B==,tan B==.∵在Rt△ABD中,AD=4,∴AB===.∵tan B==,∴AC=AB tan B=×=5.故填5.4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC=.解析:如图所示,过点A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,∵sin∠ABC==0.8,∴AD=5×0.8=4,则BD==3,∴BC=2BD=6.故填6.5.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A=,求BC的长和tan B的值.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A===,∴AC=4,根据勾股定理,得BC==6,∴tan B===.4解直角三角形解直角三角形:一、教材作业【必做题】教材第17页习题1.5第1,2题.【选做题】教材第18页习题1.5第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=50°,BC=5,则AC等于()A.3sin50°B.3sin40°C.3tan50°D.3tan40°2.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则AB的长是()A.2B.8C.2D.43.(2015·桂林中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是.4.要用8m长的梯子爬到4m高的墙上,则梯子与地面的夹角为度.【能力提升】5.如图所示的是一张简易活动餐桌,测得OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,B点和O点是固定的.为了调节餐桌高矮,A点有3处固定点,分别使∠OAB为30°,45°,60°,则这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是(不考虑桌面厚度)()A.40cmB.40cmC.30cmD.30cm6.如图所示,在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,则△ABC的面积是.7.(2015·湖北中考)如图所示,AD是△ABC的中线,tan B=,cos C=,AC=,求:(1)BC的长;(2)sin∠ADC的值.8.张大爷家有一块三角形土地如图所示,测得∠A=30°,∠B=45°,BC=20m.请你帮助张大爷计算这块土地有多少平方米.9.如图所示,沿AC方向开山修一条公路,为了加快施工速度,要在小山的另一边寻找点E同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=127°,沿BD的方向前进,取∠BDE=37°,测得BD=520m,并且AC,BD和DE在同一平面内.(1)施工点E离D多远正好能使A,C,E成一条直线(结果保留整数)?(2)在(1)的条件下,若BC=80m,求公路段CE的长(结果保留整数).(参考数据:sin37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan37°≈0.75)【拓展探究】10.(2014·宁波中考)如图所示,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km,∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城市规划的需要,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.(1)求改直的公路AB的长;(2)公路改直后比原来缩短了多少千米?(参考数据:sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)【答案与解析】1.D(解析:∵在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=50°,∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.∵tanB=,∴AC=BC·tan B=3tan40°.故选D.)2.C(解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴tan A=.∵AC=4,tan A=,∴BC=AC·tan A=2,∴AB===2.故选C.)3.(解析:在Rt△ABC与Rt△BCD中,∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∴∠A=∠BCD,∴tan∠BCD=tanA===.故填.)4.60(解析:要用8m长的梯子爬到4m高的墙上,梯子、地面和墙正好构成直角三角形,∴梯子与地面的夹角的正弦值为=.∵sin60°=,∴梯子与地面的夹角为60°.故填60.)5.B(解析:过点D作DE⊥AB于点E,易知∠OAB=30°时,桌面离地面最低,∴DE的长即为最低长度.∵OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,∴AD=OA+OD=80cm.在Rt△ADE中,∵∠OAB=30°,AD=80cm,∴DE=AD=40cm.故选B.)6.(解析:过点A作AD⊥BC,∵在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,∴cos B==,∴∠B=45°.∵sinC===,∴AD=3,∴在Rt△ADC中,CD==4,∴在等腰直角三角形ADB中,BD=AD=3,则△ABC的面积是×BC×AD=×(3+4)×3=.故填.)7.解:过点A作AE⊥BC于点E,∵cos C=,∴∠C=45°.在Rt△ACE中,CE=AC·cos C=1,∴AE=CE=1.在Rt△ABE中,tan B=,即=,∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4.(2)由(1)知BC=4,∵AD是△ABC的中线,∴CD=BC=2,∴DE=CD-CE=1.∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,∴sin∠ADC=.8.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于D.易知CD=BD=BC·sin=AB·CD=×10(+)×10≈273.2(m2).答:这块土地约45°=20×=10,∴AD===10,∴AB=AD+BD=10(+),∴S△ABC有273.2m2.9.解:(1)若使A,C,E成一条直线,则需∠ABD是△BDE的外角,∴∠BED=∠ABD-∠D=127°-37°=90°,∴DE=BD·cos37°≈520×0.80=416(m),∴施工点E离D距离约为416m时,正好能使A,C,E成一条直线.(2)由(1)得在Rt△BED中,∠BED=90°,∵∠D=37°,∴BE=BD·sin37°≈520×0.60=312(m).∵BC=80m,∴CE=BE-BC≈312-80=232(m),∴公路段CE的长约为232m.10.解:(1)如图所示,过点C作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中,CH=AC·sin∠CAB=AC·sin25°≈10×0.42=4.2(km),AH=AC·cos∠CAB=AC·cos25°≈10×0.91=9.1(km),在Rt△BCH中,BH=CH÷tan ∠CBA≈4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6(km),∴AB=AH+BH≈9.1+5.6=14.7(km).故改直的公路AB的长约为14.7km.(2)在Rt△BCH中,BC=CH÷sin∠CBA≈4.2÷sin37°≈4.2÷0.60=7(km),则AC+BC-AB≈10+7-14.7=2.3(km).答:公路改直后比原来缩短了约2.3km.为使学生迅速掌握本节课的知识,上课开始就对解直角三角形所用到的知识点:直角三角形中三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系等知识点进行了复习回顾,因为合理选用这些关系是正确、迅速解直角三角形的关键.解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,在处理例题时,首先,应让学生独立完成,培养学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透数形结合思想.本节课力求给学生更多自主探索的时间,让其在宽松和谐的氛围中学习,使他们学得更主动、更轻松,力求在探索知识的过程中培养学生探索能力、创新精神、合作精神,激发学生学习数学的积极性、主动性.同时,在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中,鼓励学生通过多种解法去解答.在选用合适的三角函数解决问题时,要引导学生总结出分析问题的方法,巧妙联系已知和未知之间的函数关系,选取合适的三角函数求解.再教时,增加解实际问题中直角三角形的例题的练习,因为学生对把实际问题转化成数学问题的能力还不太强.随堂练习(教材第17页)(1)c=4,∠A≈27°,∠B≈63°.(2)a=,c=,∠A=30°.(3)a=10,b=10,∠B=30°.习题1.5(教材第17页)1.(1)b=19,∠A=45°,∠B=45°.(2)c=12,∠A=30°,∠B=60°.2.(1)a=10,b=10,∠B=45°.(2)b=12,c=24,∠A=60°.3.解:tan∠ACD==,∴∠ACD≈27.5°,∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°.4.解:(1)墙高=6sin75°≈6×0.966≈5.8(m).(2)cosα=,解得α≈66°.∵50°<66°<75°,∴此时人能够安全使用这个梯子.本节课学生学习的重点是解直角三角形的方法,所以理解解直角三角形的概念是掌握解直角三角形方法的前提,而熟练运用勾股定理、两锐角互余以及锐角三角函数的定义则是解直角三角形的关键,学生要做好复习和预习工作,把握好各个元素之间的关系.此外,在没有直角三角形的图形中,通过作垂线或其他辅助线构造直角三角形也是学生要重点掌握的能力和技巧.解非直角三角形时,构造直角三角形的方法:(1)利用作高构造直角三角形,如下图所示.(2)利用勾股定理或逆定理构造直角三角形,如下图所示.(3)利用已知角构造直角三角形,如下图所示.。

北师大版九年级下册1.4解直角三角形课件

求出另一个锐角．
(4)已知一条边和一锐角的三角函数
❓
任务二：解直角三角形--已知两边
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
且 a 15 ， b 5 ，求这个直角三角形的其他元素.
无斜用切
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, a 15, b 5,
①三边之间的关系：
，
②两锐角之间的关系：
，
③边与角之间的关系：sinA=cosB=
tanA=
，tanB=
c
.
A
，cosA=sinB=
a
C
b
，
任务一：解直角三角形概念（指向目标一）
30°， 45°，60°角的三角函数值：
三角函数值
三角函数
sinα
cosα
tanα
角a
30°
45°
60°
1
2
1
任务一：解直角三角形概念（指向目标一）
且b=30，∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(sin25°≈0.42，
cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，精确到1).
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠ A=65°.
b
∵sin B=
，b=30，
c
b
30
c

71.
sin B sin 25
b
tan B , b 30,
a
b
30
a

64.
tan B tan 25
取原避中
任务二：解直角三角形--已知一边及一角的三角函数值
例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，

北师大版九年级数学下册1.4 解直角三角形(共30张PPT)

c
b
10 20 3
∴c＝ sinB ＝ sin60 ＝ 3 .
由勾股定理得a＝
c2
b2
＝
10 3
3
.
知－练
(3) c =20， ∠A＝60°; 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵sin A＝ b ，c＝20，
c
∴a＝c·sin A＝20×sin 60°＝20×
3 2
解：∵∠A＝26°44′，∠C＝90°， ∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin A＝由cos A＝
a c
,
得a＝c·sin 得b＝c·cos
A＝100·sin 26°44′≈44.98. A＝100·cos 26°44′≈89.31.
b
,
c
知－练
1 在Rt△ABC中， ∠C＝90° ， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c，根据以下条件求出直角三角形的其他元素〔角度精确到1° ): (1) a = 4, b =8;
在Rt△ABC中，如果其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
(1)三边之间的关系；
(2)两锐角之间的关系；
(3)边角之间的关系：sin A＝ a ＝cos B， c
cos A＝ b ＝sin B， c
tan A＝ a 1 . b tan B
知－讲
两直角边：
应用勾股定理求斜边，应用角的正切值求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
∴∠B＝90°－∠A≈63°26′.
知－练

北师大版九年级数学下册：1.4解直角三角形(教案)

另外，在实践活动和小组讨论环节，学生们的参与度很高，能够积极投入到实际问题的探究中。但我也注意到，有些小组在讨论过程中，对于问题的分析不够深入，容易停留在表面。针对这个问题，我会在接下来的教学中，引导学生如何深入分析问题，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
还有一个亮点是，学生在成果分享环节表现出了很高的热情，能够积极向全班展示他们的讨论成果。这让我感到很欣慰，说明学生们在课堂上的学习氛围浓厚，有助于提高他们的学习兴趣。
举例：结合直角三角形的具体例子，让学生掌握正弦、余弦、正切函数的定义，并通过实际计算掌握它们之间的互化关系。
（3）解直角三角形的方法：重点讲解如何利用三角函数求解直角三角形，以及在实际问题中的应用。
举例：通过求解具体直角三角形的问题，引导学生掌握解直角三角形的方法，并能将其应用于实际问题的解决。
2.教学难点
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生在学习解直角三角形这一章节时，有几个地方值得注意。首先，对于勾股定理及其逆定理的理解，大部分学生能够掌握定理的内容，但在具体应用时，还是会出现一些问题。这说明我们在教学中需要更多实际例子的讲解，让学生更好地理解定理在解决实际问题中的作用。
其次，我发现有些学生在运用正弦、余弦、正切函数求解直角三角形时，容易混淆三个函数的定义和用法。针对这一点，我打算在下一节课中，通过对比讲解和练习，再次强调三个函数在直角三角形中的应用，并让学生多进行一些实际操作，以便加深印象。
北师大版九年级数学下册：1.4解直角三角形（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级数学下册第一章第四节“解直角三角形”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.了解直角三角形的性质，掌握直角三角形的判定方法。
（1）直角三角形的定义及特点；

北师大版九年级数学下册课件：1.4 解直角三角形

A)
两直角边(如 ��,b)
由 tan A=��,得∠A,∠B=90°-∠A,c= �� + ��
��
一斜边和一直角边(如 c, ��)
由 sin
A=��,得∠A,∠B=90°-∠A,b=
��
�� -��
1.解决“问题导引”中的问题. 能.设斜塔偏离竖直线的角度是α ,根据题意可得出:tan α =��.��≈0.087,∴α ≈4°58'.
��
2.解直角三角形的常见类型及其解法(已知Rt△ABC,∠C=90°):
类型一边一角
两边
已知条件
解法
一斜边,一锐角(如 c,∠A)
பைடு நூலகம்第一章直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形
1.了解解直角三角形的概念,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
2.利用解直角三角形解决简单的实际问题.
你听说过意大利著名的“比萨斜塔”吗?某人曾经从 55 m高的塔顶放下一个物体,它的着地点距塔底4.8 m,你能求出斜塔偏离竖直线的角度吗?(结果精确到1')
∠B=90°-∠A,��=_c_·__s__i_n__A__,b=_c_·__c_o__s__A_(或 b=
�� -��)
一直角边,一
��
��
锐角(如��,∠ ∠B=90°-∠A,c=__��_��_��_��__,b=___��_��_��_��_�� _(或 b= ��-��)

2018年春北师版数学九年级下册1.4解直角三角形

北师大版九年级数学下册第一章1.4解直角三角形应用(共21张PPT)

北师大版九年级数学下册1.4 解直角三角形1 教案

北师大版九年级下册 1.4 解直角三角形 教案

北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形课件

北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形课件

九年级数学下册 1.4 解直角三角形教案 (新版)北师大版

1.4 解直角三角形(教案)-北师大版数九年级下册

北师大版九年级下册1.4解直角三角形课件

北师大版九年级数学下册1.4 解直角三角形(共30张PPT)

北师大版九年级数学下册：1.4解直角三角形(教案)

北师大版九年级数学下册课件：1.4 解直角三角形

北师大版九年级下册 1.4 解直角三角形教案