磁场专题

带电粒子在磁场中的运动专题
宋学平
一、磁汇聚问题
1．在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标原点不
断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。

现加一个垂直
于xoy平面向内、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场
后都能平行于x轴向x轴正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

2．如图所示，真空中有（r，0）为圆心，半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，在y=r的虚线上方足够大的范围内，有方向水平向左的匀强电场，电场强度的大小为E，从O点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨
迹均在纸面内，设质子在磁场中的偏转半径也为r，已知质子的电量为e，
质量为m，不计重力及阻力的作用，求
（1）质子射入磁场时的速度大小
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的质子，到达y轴所需的时间
（3）速度方向与x轴正方向成负30°角（如图中所示）射入磁场的
质子，到达y轴的位置坐标。

（4）速度方向与x轴下方向成正30°角，且电场方向竖起向下，试
分析质子的运动轨迹，并计算质子从进入磁场到最终离开磁场的时间。

3．如图所示，在xOy坐标系第二象限内有一圆形匀强磁场区域，半径为l0，圆心O'坐标为(-l0,l0)，磁场方向垂直xOy平面。

在x轴上有坐标（-l0，0)的P点,两个电子a、b以相同的速率v沿不同方向从P点同时射人磁场,电子a的入射方向为y轴正方向，b的入射方向与y轴正方向夹角为。

电子a经过磁场偏转后从y轴上的 Q(0，l0）点进人第一象限，在第一象限内紧邻y轴有沿y轴正方向的匀
强电场，场强大小为，匀强电场宽为。

已知电子质量为
m、电荷量为e,不计重力及电子间的相互作用。

求：
(1) 磁场的磁感应强度B的大小
(2) a、b两个电子经过电场后到达1轴的坐标差Δx
(3) a、b两个电子从P点运动到达x轴的时间差Δt。

二、磁场的最小面积问题
4．如图，xoy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场，一个
质量为m、带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x
轴正方向开始运动．当它经过图中虚线上的M(23a，a)点时，
撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场
区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方
向运动并再次经过M点．已知磁场方向垂直xoy平面(纸面)
向里垂直，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力．试求：
⑴电场强度的大小；⑵N点的坐标；
⑶矩形磁场的最小面积．
5．如图所示，倾斜挡板NM上的一个小孔K，NM与水平挡板NP成60°角，K与N间的距离KN a
=。

现有质量为m，电荷量为q的正电粒子组成的粒子束，垂直于倾斜挡板NM，以速度v0不断射入，不计粒子所受的重力。

（1）若在NM和NP两档板所夹的区域内存在一个垂直于纸面向外的匀强磁场，NM和NP为磁场边界。

粒子恰能垂直于水平挡板NP射出，求匀强磁场的磁感应强度的大小。

（2）若在NM和NP两档板所夹的区域内，某一部分区域存在一与（1）中大小相等方向相反的匀强磁场。

从小孔K飞入的这些粒子经过磁场偏转后也能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求粒子在该磁场中运动的时间。

（3）若在（2）问中，磁感应强度大小未知，从小孔K飞入的这些粒
子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求
该磁场的磁感应强度的最小值。

6．如图所示，竖直平面内的直角坐标系中，X轴上方有一个圆形有界匀强磁场（图中未画出），x轴下方分布有斜向左上与Y轴方向夹角θ=45°的匀强电场；在x轴上放置有一挡板，长0.16m,板的中心与O点重合。

今有一带正电粒子从y轴上某点P以初速度v0=40m/s与y轴负向成45°角射入第一象限，经过圆形有界磁场时恰好偏转90°，并从A点进入下方电场，如图
所示。

已知A点坐标（0.4m，0），匀强磁场垂直纸面向外，磁感应
强度大小B=
10
2
T，粒子的荷质比3
10
2⨯
=
m
q
C/kg，不计粒子的
重力。

问：
（1）带电粒子在圆形磁场中运动时，轨迹半径多大？
（2）圆形磁场区域的最小面积为多少？
（3）为使粒子出电场时不打在挡板上，电场强度应满足什么要
求？
x
y
O
N
M(23a，a)
v0
x
o
y
A
P
θ
θ
三、速度大小确定，方向不确定的问题。

（动态圆法）
7．放射源P 放出质量是m ，电荷量是q 的正粒子。

粒子的初速度大小为v ，方向在xOy 平面内，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度为B ，若将放射源置于x 、y 坐标系的原点，如图所示。

(1)试画出粒子所能达到的区域；
(2)若在Bq
mv
x =处放置一档板MN ，则挡板上多大范围内有粒子到达；
(3)若磁场限制在x ＞0区域，则上述挡板上多大范围内有粒子到达。

8．如下图，在03x a ≤≤区域内存在与xy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy 平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y 轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。

已知沿y 轴正方向发射的粒子在0t t =时刻刚好从磁场边界上(3,)P a a 点离开磁场。

求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R 及粒子的比荷q ／m ；
（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y 轴正方向夹角的取值范围；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

四、速度方向确定，大小不定（略）
五、矩形磁场边界问题
9．如图所示，在0≤x ≤a 、0≤y ≤a /2范围内有垂直于xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

坐标原点O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0~90º范围内。

已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a /2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。

求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
⑴速度的大小；
⑵速度方向与y 轴正方向夹角的正弦。

10．在边长为L=8cm 的正方形EFGH 区域内存在B=0.1T 的匀强磁场，正方形内有一点P ，它与EH 和HG 的距离均为1cm 。

在P 点有一个发射正离子的装置，能够连续不断地向纸面内的各个方向发射出速率不同的正离子，离子的质量为1.0×10-14kg ，电荷电量为1.0×10-5C ，离子的重力不计，不考虑离子之间的相互作用。

（计算结果保留根号）
（1）速率为5×106m/s 的离子在磁场中运动的半径是多少厘米？ （2）速率在什么范围内的离子不可能射出正方形区域？ （3）速率为5×106m/s 的离子在GF 边上离G 的距离多少厘米的范围内可以射出？ （4）离子要从GF 边上射出正方形区域，速度至少应有多大？
六、圆形磁场边界
11．如图所示，直线MN 下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R 的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B 。

现有一质量为m 、电荷量为q 的带负电微粒从P 点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q 点，不计微粒的重力。

求： （1）微粒在磁场中运动的周期；
（2）从P 点到Q 点，微粒的运动速度大小及运动时间；
（3）若向里磁场是有界的，分布在以O 点为圆心、半径为R 和2R 的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P 点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q 点，求其速度的最大值。

七、环形磁场边界
12．如图所示，半径分别为a 、b 的两同心虚线圆所围空间分别存在电场和磁场，中心O 处固定一个半径很小(可忽略不计)的金属球，在小圆空间内存在沿半径向内的辐向电场，小圆周与金属球间电势差为U ，两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，设有一个带负电的粒子从金属球表面沿x 轴正方向以很小的初速度逸出，粒子质量为m ，电荷量为q ，(不计粒子的重力，忽略粒子逸出的初速度)求：
（1）粒子到达小圆周上时的速度为多大?
（2）粒子以（1）中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某一临界值时，粒子将不能到达大圆周，求此磁感应强度的最小值B ．
（3）若磁感应强度取（2）中最小值，且a b )12(+=，要使粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出发点，粒子需经过多少次回旋?并求粒子在磁场中运动的时间．(设粒子与金属球正碰后电量不变且能以原速率原路返回)
a
a /2 y x
O
B
x
y
b
a O
N O M
P Q B B
八、三角形磁场边界问题
13.如图所示，成30。

角的OA 、OB 间有一垂直纸面向里的勻強磁场，OA 边界上的S 点有一电 子源，在纸面内向各个方向均匀发射速率相同的电子，电子在磁场中运动的半径为r,周期为T 。

已知从OB 边界射出的电子在磁场中诖动的 最短时间为T/6，则
（1）沿什么方向发射的电子，能够垂直于OB 方向射出？
（2）从OA 边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为多少？ （3）从OB 边界射出的在磁场中运动时间最长的电子的出射方向满足什么关系？
14．如图所示，PQ 是两块平行金属板，上极板接电源正极，两极板之间的电压为U=1.2×104V ，一群带负电粒子不停的通过P 极板的小孔以速度v 0=2.0×104m/s 垂直金属板飞入，通过Q 极板上的小孔后，垂直AC 边的中点O 进入边界为等腰直角三角形的匀强磁场中，磁感应强度为B =1.0T ，边界AC 的长度为a =1.6m ，粒子比荷
4510C/kg q
m
=⨯。

不计粒子的重力。

若在两极板间加一正弦交变电压u =9.6×104sin314t （V ），则这群粒子可能从磁场边界的哪些区域飞出？并求出这些区域。

（每个粒子在电场中运动时，可认为电压是不变的）
九、 电场、磁场分布在不同区域
15．如图所示，在Ox 与OM 之间有一垂直纸面向里，磁感应强度10.1T B =的匀强磁场，OM 与x 轴正方向成060角。

在Ox 负方向与ON 之间有一垂直纸面向里，磁感应强度20.5T B =的匀强磁场，ON 与x 轴正方向成060角，在OM 与ON 之间存在着平行于OM 的匀强电场。

一质量13
2.510
kg m -=⨯，
电量8
110C q -=⨯带正电的粒子从离O 点0.25m 的a 点沿垂直于x 轴以3
0110m/s v =⨯的初速度进入匀强磁场1B ，经1B 后后，进入匀强电场，在电场中经过时间4310s t -=
⨯后又进入匀强磁场2B ，最后从x 轴上的某
点b 射出（b 点图中没有标出），不计粒子的重力。

求： （1）匀强电场的场强大小；
（2）粒子进入2B 时速度的大小和方向；
（3）b 点离O 点的距离。

16．如图所示，x 轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场方向垂直于纸面向里。

x 轴下方有一匀强电场，电场强度为E 、方向与y 轴的夹角
045θ=斜向上方。

现有一质量为m 、带电量为q 的正离子，以速度v 0由y 轴上的A 点沿y
轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x 轴上的C 点（图中未画出）进入电场区域，离子经C 点时的速度方向与电场方向相反。

设磁场和电场区域均足够大，不计离子的重力，求：
（1）离子从A 点出发到第一次穿越x 轴时的运动时间； （2）C 点到坐标原点O 的距离； （3）离子第四次穿越x 轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角。

并大致画出离子前四次穿越x 轴在磁场和电场区域中的运动轨迹。

17．如图所示，用特殊材料制成的PQ 界面垂直于x 轴，只能让垂直打到PQ 界面上的电子通过．PQ 的左右两侧有两个对称的直角三角形区域，左侧的区域内分布着方向垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，右侧区域内分布着竖直向上匀强电场．现有速率不同的电子在纸面上从坐标原点O 沿不同方向射向三角形区域，不考虑电子间的相互作用．已知电子的电量为e ，质量为m ，在△OAC 中，OA ＝l ，θ＝60°．
(1) 求能通过PQ 界面的电子所具有的最大速度及其从O 点入射时与y 轴的夹角；
(2)若以最大速度通过PQ 界面的电子刚好被位于x 轴上的F 处的接收器所接收，求电场强度E ； (3)在满足第（2）问的情况下，求所有能通过PQ 界面的电子最终穿越x 轴的区间宽度．
十、周期性电磁场问题
18．在如图(a)所示的正方形平面oabc 内存在着垂直于该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，已知正方形边长为L 。

—个质量为m 、带电量为+q 的粒子(不计重力)在t =0时刻平行于oc 边从o 点射入磁场中．
（1）若带电粒子从a 点射出磁场，求带电粒子在磁场中运动的时间及初速度大小，
（2）若磁场的磁感应强度按如图(b)所示的规律变化，规定磁场向外的方向为正方向，磁感应强度的大小为Bo ，假使带电粒子能从oa 边界射出磁场，磁感应强度B 变化周期T 的最小值．
（3）若所加磁场与第(2)问中的相同，要使带电粒子从b 点沿着ab 方向射出磁场，满足这一条件的磁感应强度变化的周期T 及粒子射入磁场时的速度v 0.
y
十一、带电粒子在复合场中的运动
19．在场强为B 的水平匀强磁场中，一质量为m 、带正电q 的小球在O 点静止释放，小球的运动曲线如图所示。

已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x 轴距离的2倍，重力加速度为g 。

求：⑴小球运动到任意位置P (x ，y ）处的速率v 。

⑵小球在运动过程中第一次下降的最大距离y m 。

⑶当在上述磁场中加一竖直向上场强为E （E >mg /q ）的匀强电场时，小球从O 静止释放后获得的最大速率v m 。

20．如图甲，空间存在—范围足够大的垂直于xoy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

让质量为m ，电量为q （q <0)的粒子从坐标原点O 沿加xoy 平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。

不计重力和粒子间的影响。

(1)若粒子以初速度v1沿y 轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A(a ，0)点，求v 1的大小：
(2)已知一粒子的初建度大小为v (v >v 1)．为使该粒子能经过A (a ，0)点，其入射角θ（粒子初速度与x 轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值：
(3)如图乙，若在此空间再加入沿y 轴正向、大小为E 的匀强电场，一粒子从O 点以初速度v 0沿x 轴正向发射。

研究表明：粒子在xoy 平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x 分量v x 与其所在位置的y 坐标成正比，比例系数与场强大小E 无关。

求该粒子运动过程中的最大速度值v m 。

21．如图甲，在x ＜0的空间中存在沿y 轴负方向的匀强电场和垂直于xoy 平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E ，磁感应强度大小为B .一质量为q(q ＞0)的粒子从坐标原点O 处，以初速度v 0沿x 轴正方向射人，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的质量。

（1） 求该粒子运动到y =h 时的速度大小v ;
（2） 现只改变人射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹
（y-x 曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y 轴方向上的运动（y-t 关系）是简谐运动，且都有相同的周期2rn
T qB
π=。

Ⅰ．求粒子在一个周期T 内，沿x 轴方向前进的距离S ；
Ⅱ．当入射粒子的初速度大小为v 0时，其y-t 图像如图丙所示，求该粒子在y 轴方向上做简谐运动的振幅A,并写出y-t 的函数表达式。

O x y
B
P (x ，y )。