清华微积分高等数学第一讲函数-PPT精选文档

[注意] 并不是所有的函数都有最小周期 例如：考察狄里克雷函数
(x)
1, 0,
当x为 有 理 数 当x为 无 理 数
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4. 函数的有界性
定义： (1)如果存在一个M实,使数得对 每 x 一 D ,都 个 f(有 x)M , 则称函数 f 在D上是有上界 . 的
(2)如果存在一个N实,使数得对
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或R( f ) 15
函数的两个要素：
1.对应规则 f
2.定义域 D
例f(： x)2x21
对 应 规f则表 示 f()221 f(1)2121 f (1)2(1)21
xx f(2t1 )2 (2t1 )21
例: yx与y x2 x
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因 x ( 为 , )有 ,e x 0 和 e x 0
所,y以 ex和 yex在 (, )上 ,
有下 ,无界 上 . 界
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[问题] 如何定义无界函数？
如 果 对任M 意 0的 ,总正 存x*数 在 D,
使 得 f(x*)M,则 称 函 f在D 数 上 无 . 界
（应用）
理性 思维
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关于学习数学的要求 1)搞清概念，侧重思路。 2)适当做题，掌握基本。 3)广泛联想，多方应用。
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（三）这个学期学什麽？
利用极限研究函数的种种表达及其诸多 性质
• 一元函数微分
极限的直观定义与计算 导数与微分的概念与计算
微分学应用
• 一元函数积分 • 简单微分方程
定义域不同， 表 示 的 是 不 同 的 函16 数
三、函数的初等性质
1. 函数的奇偶性
xD, f(x)f(x),f(x)称为奇
xD, f(x)f(x),f(x)称为偶
2. 函数的增减性
x1, x2I, x1 x2 f(x1 ) f(x2 )
（f(x1 ) f(x2 )）,称f 为单调增函数
[例] y1 在 ( ,0)(0,)上是无. 界
对任 x M 意 0,取 的 x*1,则有
1
Hale Waihona Puke Baidu
2M
2MM
x xx*
对任 意 0,在 ( 的 , ] [, )上
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不定积分 定积分概念与计算 积分学应用
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第一讲 函数
一、予备知识
二、函数概念
三、函数的初等性质
四、复合函数与反函数
五、初等函数
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一、予备知识
1. 常用的数的集合
N {0 ， 1 ， 2 , ， n , }自 然 数 集
Z { 0 ， 1 ， 2 , ， n , }整数集
• 珍惜时光
• 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术
• 学会自学 学会向书本、老师、周围学
尝试研究性的学习方法： 提出问题、研究问题、解决问题
注重持续性学习：
有计划地安排学习
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（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征
抽象性 （研究对象）
演绎性 广泛性
（论证方法）
假设
结论
logic
（严格单调增) 函数
x1, x2I, x1 x2 f( x1 ) f(x2 )
( f(x1 ) f(x2 )),称f 为 单 调 减 函 数
（严 2019/6/29 格 单 调 减)函 数
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3. 函数的周期性
T0, xR f(xT)f(x) 称 f为 周 期 函 数 若 f有最小 T,则 周 T 称 是 期 f的周


x0 O
x0
x0
x
N ( x 0 ,) { x x x 0 } ( x 0 ,x 0 )
数{集 x0xx0}N*(x0,)称为
点 x的 2019/0 6/29 空邻 心域 (x0,x0){1x 3 0}
3.逻辑符号
（1）全称量词“” “”表示“任意的”。 例如：“xR”表示“对于任意的实数 x”。
（2）存在量词“” “ ”表示“存在”。
例如：“ a ,b Q ,ab , c Q 且 c （ a ,b ）
表 示 “ 任 意 两 个 有 理 数a,b之 间 ， 存 在
有 理 数c". 2019/6/29
Q{ p p,q为互质的整}数 有理数集 q
R{xx是 实 数 } 实 数 集
C{xiyx,yR } 复数集
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2. 邻域 设 x0R, 0 数{集 xxx0}称为 x0的 点 邻域
记N 作 (x0,).
x x 0 x 0 x x 0
刘坤林等
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清华大学出版社 4
作业
P3 习题1.1 4(2)(4)(6). 7.
P7 习题1.2 2. 5. P12 习题1.3 7. 9.
预习：P27—39
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交作业时间： 星期一 答疑时间地点：
星期五 课后
理科楼 数学系 1111
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引言
（一）上大学学什麽？
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二、函数概念
存在
唯一
定义： 设DR为非空数.集
如果 xD,按确定的f,规 !实 则数
y与之对 ,记应作 yf(x)则 . 称 f为定义
在D上的一个 . 函数
或记 f: D R
x— 自 变 , y— 因 量变 ,D — 量 定 义 . 域
{yy R ,yf(x )x , D }— 值f 域 ( D)
欢迎你！
清华园的
新主人
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2019/6/29
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微积分
讲课教师 陆小援
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参考书目：
1. 《微积分教程》 韩云瑞等
清华大学出版社
2. 《一元微积分》 萧树铁 主编
高教出版社
3. 《微积分学习指导》韩云瑞等
清华大学出版社
4. 《大学数学概念、方法与技巧 》
微积分部分
每一 x D ,都 个 f(有 x)N
则称函数 f 在D上是有下界 . 的
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(3)既 有 上 界 又 有 下数 界,称 的为 函 有 界 函 数.
即存在一个 M正 0,使 数得对
每x 一 D ,成 个f立 (x )M .
[例] y e x和 y e x x (, )