第二章随机过程的概念

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随机过程的研究范围
?1. 依据随机过程单样本值为随机变量的特 点，相应的研究内容包括：
? 连续型随机过程 ? 离散型随机过程
?具体的研究对象包括：均值、方差、协方 差、有限维联合分布等。
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随机过程的研究范围
?2. 依据随机过程的函数特性，相应的研究 内容应包括：
{X t , t = 0,1,L } 是随机过程。
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随机过程的分类
（二）根据 X (t ) 之间的关系，可将随机过 程分为几个研究较多且用途较广的主要类 型：
? 马尔可夫过程 ? 独立增量过程 ; ? 平稳过程； ? 鞅过程； ? ……
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随机过程的分布函数
如何用分布函数刻画随机过程？
随机过程
Kolmogorov 定理 定理2.1
对应关系
有限维分布 函数族
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随机过程的分布函数——例
?例：设 X (n ) 是参数为p的Bernoulli独立同
分布序列，其和过程
? S (n ) =
n
X (i )
i=1
表示前n次试验中某事件发生的次数，称为
二项计数过程。
则其一维概率分布列为
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2.1 随机过程的定义—— 引例
例2.3 某交通路口在[0, t]内通过的车辆数是一 个与 t 有关的随机变量 X t 。对于固定的 t ，X t 是一个取非负整值的随机变量。 而 t变动时，
{X , t ? [0, ? )} t
是随机过程。
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2.1 随机过程的定义
1
1
2
x , L , X (t ) ? x }
2
n
n
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随机过程的分布函数
这些分布函数的全体
F = {Ft1,t2,L ,tn (x 1, x 2, L , x n ) : t1, t 2, L , tn 纬T , n 1}
称为 {X (t ), t ? T } 的有限维分布函数族。
?定义2.2 设{X (t ), t ? T } 是随机过程，对任
意n 3 1 和 t1, t2, L , tn ? T , 随机向量
(X
(t ), 1
X
(t ), 2
L
,
X
(t n
))
的分布函数为
F
(x , x , L , x )
t1,t2,L ,tn 1 2
n
= P {X (t ) ＃ x , X (t )
{X t , t = 0,1,L } 是随机过程。
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2.1 随机过程的定义—— 引例
例2.2 某电话交换台在时间段[0, t ]内接到的 呼唤次数是与 t 有关的随机变量 X t ，对于固 定的t，X t 是一个取非负整数的随机变量。 而 t变动时，
{X t , t ? [0, ? )} 是随机过程。
P
{S (n )
=
k}
=
C
k n
p
k
(1
-
p)n - k, 0 ＃k
n
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随机过程的分布函数——例
?其二维分布列为 P {S (n 1) = k1, S (n 2 ) = k2}
? 时 间上的相关性 ? 连续性与离散性 ? 随机过程的导数 ? 微 分、积分、卷积、级数展开 ? 微分方程、积分方程等。
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随机过程的研究范围
?3. 依据随机过程的二重性的联合特征，相 应的研究内容应包括：
? 互相关函数 ? 空间的遍历性 ? 时域平均与集总平均的关系 ? 随机抽样、滤波理论 ? 估计与预测方法 等。
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随机过程的分类
（一）根据参数集T 及状态空间I 是离散或连 续，可把随机过程分为以下四种类型：
? T 和 I 都是离散的 ; ? T 连续，I 离散； ? T 离散，I 连续； ? T 和 I 都连续。
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例
例2.1 生物群体的增长问题 在描述群体的发展或演变过程中，以 X t 表 示在时刻 t 群体的个数，则对每个固定的t， X t 是一个随机变量。 假设从 t =0开始每隔一天对群体的个数观察 一次，则
?称随机过程 {X (t ), t ? T }为实值（复值） 的，如果其状态空间I是实值（复值）的。
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理解随机过程
随机过程具有二重性： (1)随机性：当t 固定时，X (t, ×) 是 (W, F, P )
上之随机变量；
T中有多少元素，随机过程就含有多少个随机变量！
(2)函数特性：当e固定时，X (×,e )是定义在T上 的普通实值函数，称其为随机过程对于e的 样本函数（轨道、实现）。
Ω中有多少基本事件，随机过程就有多少个样本函数！
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理解随机过程
?随机过程是普通函数概念的推广
? 普通函数 f : R ? R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ? 随机过程
t a f (t )
确定的实数
X :T ? 所有随机变量构成的集合 T
t a X (t )
随机变量
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理解随机过程的定义
?随机过程是时间t的“函数” ?在任意时刻观察，它是一个随机变量
第二章 随机过程的概念
第二章 随机过程的概念与基本类型
1 随机过程的定义 2 随机过程的数字特征 3 复随机过程 4 几种重要的随机过程
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随机数学的研究对象
映射的值域
概率空间
R
随机变量
Rn
随机向量
R￥
随机过程
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2.1 随机过程的定义—— 引例
例2.1 生物群体的增长问题 在描述群体的发展或演变过程中，以 X t 表 示在时刻 t 群体的个数，则对每个固定的t， X t 是一个随机变量。 假设从 t =0开始每隔一天对群体的个数观察 一次，则
? T 称为参数集或指标集，每个 t 对应一个随机 变量；
? X(t) 的所有可能状态（所有可能取值）所构成 的集合称为 状态空间或相空间 ，记为I。
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2.1 随机过程的定义
?如果参数集T是一个可数集，则称 XT 为一 个离散时间的随机过程；而如果T是一个连 续集，则称它为连续时间过程。
?定义1：设 (W, F, P ) 是概率空间，T 是给定
的指标集，若对T 中的每个 t，有一个随机
变量X(t,e)与之对应，则称 {X (t, e ), t ? T } 是 (W, F, P ) 上的随机过程，简记为{X(t),t ? T}
?我们常把 t 解释成时间，并称X(t)是过程在 时刻t的状态。