固体物理重点计算题详细解答

1.3、证明：面心立的倒格子是体心立；体心立的倒格子是面心立。

证明：（1）面心立的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωrr r 31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r213422()()4a b i j k i j k a aππ∴=⨯⨯-++=-++r r rr r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立的倒格子基矢与体心立的正格基矢相同。

所以，面心立的倒格子是体心立。

（2）体心立的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩r r r r r r r rr r r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r3123,,222(),,2222,,222a a a a a a a a a a a a a-Ω=⋅⨯=-=-r r rQ ，223,,,,()2222,,222i j k a a a a a a j k a a a ⨯=-=+-r r r r r r r 213222()()2a b j k j k a aππ∴=⨯⨯+=+r r rr r同理可得：232()2()b i k ab i j aππ=+=+r r r r r r 即体心立的倒格子基矢与面心立的正格基矢相同。

所以，体心立的倒格子是面心立。

1.6、对于简单立晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：22222()d a h k l =++，其中a 为立边长.解：简单立晶格：123a a a ⊥⊥r r v ，123,,a ai a aj a ak ===vv v vv v由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯r r r r r r ，3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯r r r r r r ，1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯r r r r r r倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a πππ===v v v vv v倒格子矢量：123G hb kb lb =++v v v v ，222G h i k j l k a a aπππ=++vv v v 晶面族()hkl 的面间距：2d Gπ=v 2221()()()h k l a a a=++22222()a d h k l =++2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为（2ln 2=α）。

证明：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有(1)11112[ (234)ij rr r r r rα±'==-+-+∑ 前边的因子2是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为234(1) (34)n x x x x x x +=-+-+Q l 当X=1时，1111 (2234)n -+-+=l 2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 ()mnu r r r αβ=-+试求：（1）平衡间距0r ；（2）结合能W （单个原子的）；（3）体弹性模量；（4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====，计算α及β的值。

解：（1）求平衡间距r 0由0)(0==r r drr du ，有：mn nm n m m n n m r r n r m --++⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒=-1101.0100αββαβα结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w 表示） （2）求结合能w （单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即U min即：nmr r r U W 000)(βα-+=-= （可代入r 0值，也可不代入）（3）体弹性模量由体弹性模量公式：0220209r r U V r k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=（4）m = 2，n = 10，οA r 30=， w = 4eV ，求α、β22n α∴=l818105210⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=αβαβr ① )5(54)(802010.200代入αβαβα=-=+-=r r r r r U K K KeV r r U W 454)(20==-=⇒α② 将οA r 30=，J eV 1910602.11-⨯=代入①②211523810459.910209.7mN m N ⋅⨯=⋅⨯=⇒--βα 详解：（1）平衡间距r 0的计算 晶体能()()2m n N U r r rαβ=-+ 平衡条件0r r dUdr==，11000m n m n r r αβ++-+=，10()n m n r m βα-= （2）单个原子的结合能01()2W u r =-，00()()m n r r u r r r αβ==-+，10()n m n r m βα-= 1(1)()2mn m m n W n m βαα--=-（3）体弹性模量0202()V UK V V ∂=⋅∂ 晶体的体积3V NAr =，A 为常数，N 为原胞数目 晶体能()()2m n N U r r rαβ=-+ U U r V r V ∂∂∂=∂∂∂1121()23m n N m n r r NAr αβ++=- 221121[()]23m n U N r m n V V r r r NAr αβ++∂∂∂=-∂∂∂ 022222000001[]29m n m n V V U N m n m n V V r r r r αβαβ=∂=-+-+∂ 由平衡条件1120001()023m n V V U N m n Vr r NAr αβ++=∂=-=∂，得00m n m n r r αβ=222220001[]29m n V V U N m n V V r r αβ=∂=-+∂ 02220001[]29m nV V U N m n m n V V r r αβ=∂=-+∂2000[]29m n N nm V r r αβ=--+ 000()2m n N U r r αβ=-+ 020220()9V V U mnU V V =∂=-∂ 体弹性模量009mn K U V = （4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====10()n mn r m βα-=，1(1)()2mn m m n W n m βαα--=-1002W r β=，20100[2]r W r βα=+-95101.210eV m β=⨯⋅，1929.010eV m α-=⨯⋅3.2、讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其2N 个格波解，当M = m 时与一维单原子链的结果一一对应。

解：质量为M 的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m 的原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。

牛顿运动程2221212121222(2)(2)n n n n n n n n m M μβμμμμβμμμ+-+++=---=---&&&& N 个原胞，有2N 个独立的程设程的解[(2)]2[(21)]21i t na q n i t n aq n Ae Beωωμμ--++==，代回程中得到22(2)(2cos )0(2cos )(2)0m A aq B aq A M B βωβββω⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ A 、B 有非零解，2222cos 02cos 2m aqaq M βωβββω--=--，则 12222()4{1[1sin ]}()m M mM aq mM m M ωβ+=±-+两种不同的格波的色散关系1222212222()4{1[1sin ]}()()4{1[1sin ]}()m M mM aq mM m M m M mM aq mM m M ωβωβ+-+=+-++=--+一个q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.当M m =时4cos 24sin 2aq m aq m βωβω+-==，两种色散关系如图所示： 长波极限情况下0q →，sin()22qa qa≈， (2)q mβω-=与一维单原子晶格格波的色散关系一致.3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为β和10β，令两种原子质量相等，且最近邻原子间距为2a 。

试求在0,q q a π==处的()q ω，并粗略画出色散关系曲线。

此问题模拟如2H 这样的双原子分子晶体。

（注 ：课本中的c 即为此题中的β k 对应q)答：（1）浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。

第2n 个原子和第2n ＋1个原子的运动程：212222112121122112222()()n n n n n n n nm m μββμβμβμμββμβμβμ+-+++=-+++=-+++&&&&体系N 个原胞，有2N 个独立的程程的解：1[(2)]221[(21)]221i t n aq n i t n aq n AeBeωωμμ--++==，令221122/,/m m ωβωβ==，将解代入上述程得：11222222212121122222221212()()0()()0i aq i aq i aq i aq A e eB eeA B ωωωωωωωωωω--+--+=+-+-=A 、B 有非零的解，系数行列式满足：11222222212121122222221212(),()0(),()i aq i aq i aq i aq eeeeωωωωωωωωωω--+--+=+-+-1111222222222222121212()()()0i aq i aq i aq i aq e e e e ωωωωωωω--+--++= 1111222222222222121212()()()0i aq i aq i aq i aq eeeeωωωωωωω--+--++=因为1ββ=、210ββ=，令2222012010,10c c m mωωωω====得到 222400(11)(10120cos )0aq ωωω--+=两种色散关系：220(1120cos 101)qa ωω=±+当0q =时，220(11121)ωω=±，0220ωωω+-==当q aπ=时，22(1181)ωω=±，00202ωωωω+-==（2）色散关系图：44.2、写出一维近自由电子近似，第n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数2k aπ=的0级波函数。