任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义

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任意角和弧度制及任意角的三角函数课件

∴当角α的终边在坐标轴上时，可表示为k·90°，k∈Z.
答案： C
工具
第三章
三角函数
栏目导引
2．已知角α的终边经过点( 3，－1)，则角α的最小正值是( A. C. 2π 3 11π B. 6 D. 3π 4
)
5π 6
－1 1 解析： ∵sin α＝＝－，且α的终边在第四象限， 2 2 11 ∴α＝ π. 6
角函数
工具
第三章
三角函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
栏目导引
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第三章
三角函数
栏目导引
1．角的有关概念
(1)按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
(2)按终边位置不同分为象限角和轴线角． (3)终边相同的角终边与角α相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z) ．
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第三章
三角函数
栏目导引
【思考探究】 (1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？ (2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？提示： (1)终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍． (2)第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角，但它们不是锐角．
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第三章
三角函数
栏目导引
知识点任意角的概念与
考纲下载 1.了解任意角的概念．
弧度制、任意角的 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．三角函数 1.理解同角三角函数的基本关系式： 2 x＋cos2 x sin 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 sin x ＝1，＝tan x． cos x π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α，π±α 2 的正弦、余弦、正切的诱导公式．

高考数学复习考点知识讲解课件21 任意角和弧度制及任意角的三角函数

cos 2α可正、可负、可零．
方法二 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin α cos α<0.
关键能力—考点突破
考点一象限角及终边相同的角
π
1．与角－终边相同的角是(
)
5π
A．
6
6
11π
B．
6
π
C．
3
[基础性]
2π
D．
3
答案：B
π
π
π
11π
解析：因为与角－终边相同的角是－＋2kπ(k∈Z)，当k＝1时－＋2kπ＝ .
限角．
(2)已知α为第二象限角，则
A．3
B．－3
C．1
2 sin α
1−cos2
α
+
1−sin2 α
的值是(
cosα
D．－12
答案：C
解析：(2)由题意，
2 sin α
1−cos2 α
+
1−sin2 α 2 sin α
＝
cosα
sin α
因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
2 sin α
后用三角函数的定义求解．
(3)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，
求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解．

《任意角和弧度制》三角函数PPT教学课件(第1课时任意角)

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31
(2)[解] ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋ k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－ 30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－ 30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
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32
1．若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？ [解] 在 0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界) 的角为 60°≤β＜105°与 240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角 β 为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋ 240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°， k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180° ＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．故角 β 的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
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22
1．在 0°到 360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角 α 化成 k·360°＋β 的形式(其中 0°≤β＜ 360°，k∈Z)，其中的 β 就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加 360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减 360°的方式，直到所得结果达到要求为止．

第四章4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

数学 R A（理）
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
第四章三角函数、解三角形
基础知识·自主学习
要点梳理
1.角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内
的一条射线绕着端点从一个位置旋转
到另一个位置所成的图形；②分类：角
按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角 α 终边相同的角，连同角 α
x|x＝k4×180°＋45°，k∈Z ，
(2)因为 M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z} 表示的是终边落在四个象限的平分线上
那么两集合的关系是什么？的角的集合；
而集合 N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表
示终边落在坐标轴或四个象限平分线上
的角的集合，从而：M N.
5＝－6
5＋ 6
6；
当 x＝－ 10时，同理可求得 sin α＋tan1 α＝6
5－ 6
6 .
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
三角函数的定义
【例 2】已知角 α 的终边经过点
思维启迪
解析
Biblioteka Baidu
探究提高
P(x，－ 2) (x≠0)，且 cos α＝ 63x，任意角的三角函数值与终边所在
的面积公式：S＝

必修四任意角的三角函数、弧度制、诱导公式讲义

1.1——1.3 任意角的三角函数、弧度制、诱导公式

一、任意角

（一）、角的分类：（1）正角：按逆时针方向．．．．．

旋转形成的角叫做正角；（2）负角：按顺时针方向．．．．．旋转形成的角叫做负角；（3）零角：如果一条射线没有做任何旋转．．．．．．．，我们称它为零角；说明：零角的始边和终边重合。

（二）、终边相同的角：所有与角α终边相同的角，和同角α的内，可构成一个集

合S ＝{β｜β＝α＋k ×3600

，k ∈Z }。注意：（1）对于集合S ＝{β｜β＝α＋k ×3600

，k ∈Z }的理解，注意集合中的角α是任意角；集合中的“k ∈Z ”是一个必不可少的条件；（2）

当角的始边相同时，若角相等，则终边一定相同；始边相同，终边相同的角不一．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

定相等；终边相同的角有无数个，它．．．．．．．．．．．．．．．．们相差．．．360．．．0．

的整数倍。．．．．．

（3）终边相同的角表示方式不唯一。对于集合A ＝{β｜β＝300

＋k ×3600

，k ∈Z }也可表示为A ＝{β｜β＝－3300

＋k ×3600

，k ∈Z }

（三）、象限角与轴线角

1、象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

2、轴线角：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．．．．．．．

。（四）、弧度制

1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做．．．．．．．．．．．．．．．．．1．弧度的角．．．．

；用弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制；在弧度制下，1弧度记作1rad 。

专题14 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式(知识精讲)(解析版)

专题十四任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式知识精讲一知识结构图

二.学法指导

1.象限角的判定方法：

(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．

(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；

第二步，判断β的终边所在的象限；

第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．

2. 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：

(1)k是整数，这个条件不能漏掉．

(2)α是任意角．

(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.

(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．

3．角度制与弧度制互化的关键与方法

(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；

(2)方法：度数×π

180＝弧度数；弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°

＝度数； (3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度. 4.弧度制下解决扇形相关问题的步骤：

(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝1

2lr .(这里α必须是弧度制下的角)

(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解． 5.由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：

(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．

任意角和弧度制、三角函数的概念

角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,
就称它形成了一个零角.
这样,我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集
合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α
42 =5,所以
4
D.-5
cos
-3 3
θ= =- .
5 5
5.若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ的终边一定落在第
四象限.
由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴
重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只
能位于第四象限.

的终边所在位置.
对点训练 1
3π
4π
(1)给出下列四个命题:①- 4 是第二象限角;② 3 是第三象限角;③-400°是
C
第四象限角;④-315°是第一象限角.其中是真命题的有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
)
3π
4π
π
4π
- 是第三象限角,故①是假命题; =π+ ,从而是第三象限角,故②

高考数学(理)总复习讲义：任意角和弧度制及任意角的三角函数

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

(x ≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.

(3)三角函数值在各象限内的符号

(1)终边相同的角不一定相等．

(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．

(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

α|

α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝

⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

β| β＝2k π＋7π3，k ∈Z .

当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正

切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．

第17讲-角与弧度制、三角函数的概念(讲义版)

第17讲-角与弧度制、三角函数的概念

一、考情分析

1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；

2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

二、知识梳理

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类⎩

⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式

角α的弧度数公式 |α|＝l

r (弧长用l 表示)

角度与弧度的换算

1°＝π180 rad ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫180π°

弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式

S ＝12lr ＝12|α|r 2

3.任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

x (x ≠0).

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.

[微点提醒]

1.若α∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.

2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义解析

《任意角和弧度制》三角函数PPT教学课件(第一课时任意角)

栏目导引
(2)角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
名称
定义
按_逆___时__针__方向旋转形
正角成的角
按__顺__时__针__方向旋转形
负角成的角
一条射线没有做任何旋零角
转形成的角
第五章三角函数
图示
栏目导引
第五章三角函数
■名师点拨 (1)正确理解正角、负角、零角的定义，关键是抓住角的终边的位置是由角的始边所对应的射线按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转还是没有旋转得到的． (2)若两角旋转方向相同且旋转量相等，则两角相等．
2．若角 2α 与 240°角的终边相同，则 α＝( ) A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z 解析：选 B.角 2α 与 240°角的终边相同，则 2α＝240°＋ k·360°，k∈Z，则 α＝120°＋k·180°，k∈Z.选 B.
5.1 任意角和弧度制
第一课时任意角
第五章三角函数
考点
学习目标
理解任意角的概念，能区任意角的概念
分各类角
掌握终边相同的角的含终边相同的角
义及其表示方法
象限角与区域角的表示
掌握象限角的概念并能用集合表示各类象限角及区域角
核心素养

第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念

1.了解任意角的概念和弧度制的概念.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

1.任意角

(1)任意角包括正角、负角和零角.

(2)象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在□1第几象限，就说这个角是第几□2象限角；如果角的终边在□3坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝□4{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于□5半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是一个□6正数，负角的弧度数是一个□7负数，零角的弧度数是□80.

(2)公式

角α的弧度数公式|α|＝l

(弧长用l表示)

角度与弧度的换算1°＝π

180

rad；1rad＝□9(180

)°

弧长公式弧长l＝□10|α|r

扇形面积公式S＝□111

lr＝□121

|α|r2

扇形的弧长公式、面积公式中角的单位要用弧度，在同一式子中，采用的度量制必须一致.

3.任意角的三角函数

(1)概念：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝□13y，cosα＝□14x，

tan α＝□15y x

(x ≠0).(2)概念推广：三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝□16y r ，cos α＝□17x r ，tan α＝□18y x

高中数学第三章第1节《任意角和弧度制及任意角的三角函数》PPT课件

33
1.判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限. 2.对于已知三角函数式的符号判断角所在的象限，可先根
据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限.
34
(1)若sinθ·cosθ＞0，且tanθ·cosθ＜0，则角θ的终
边落在
()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
＝4，
答案：4 6π
，面积
18
5.若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为第解析：当k＝2n时，α＝n·360°＋45°，当k＝(2n＋1)时，α＝n·360°＋225°， ∴α为第一或第三象限角. 答案：一或三
象限角.
19
20
1.角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负
半轴上的角的集合可以表为
，
也可以表示为
.
21
2. 角所在象限
α 第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角
第一或
第一或
第二或
第二或
第三象限角第三角限角第四象限角第四象限角
22
[特别警示] (1)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α， k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π] 范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限. (2)角度制和弧度制不能混用，如α＝2kπ＋30°(k∈Z)， β＝k·360°＋ (k∈Z)都是不正确的.

2023届高考数学一轮复习讲义：第22讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

第22讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．

(2)象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．弧度制的相关概念

(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． (2)弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②记法：弧度单位用符号rad 表示，读作弧度．

如图，在单位圆O 中，AB ︵

的长等于1，∠AOB 就是1弧度的角． (3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad ，1°＝π

180

rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°． (4)扇形的弧长公式：l ＝α·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12α·r 2.其中r 是半径，α(0＜α＜2π)

为弧所对圆心角．

3．三角函数的概念三角函数

正弦

余弦

正切

定义

设α是一个任意角，α∈R ，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那

么

y 叫做α的正弦，记作

sin α

x 叫做α的余弦，记作

cos α

叫做α的正切，记作tan α

➢

考点1 角的概念与表示

[名师点睛]

(1)表示区间角的三个步骤

第一节任意角、弧度制、任意角的三角函数(知识梳理)

第一节任意角、弧度制、任意角的三角函数

复习目标学法指导

1.任意角

(1)任意角的

概念.

(2)终边相同

的角的表示.

(3)象限角的

概念.

2.弧度制(1)弧度制的概念. (2)弧度与角度的换算.

(3)圆弧长公式.

能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的1.理解任意角的概念,要注意终边相同角的表示方法.

2.理解弧度制,把握好角度与弧度转换的依据:π

rad=180°;要熟练掌握特殊角的度数与弧度数之间的对应;扇形的面积公式和弧长公式体现了扇形的圆心角、弧长、半径、面积之间的关系,在解决有关问题时,要注意函数与方程思想的应用.

单的三角函

数问题

一、角的有关概念

1.角的形成

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

⎧⎧

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎩

⎨

⎪⎧

⎪

⎨

⎪

⎪⎩

⎩

正角：按逆方向旋而成的角

按旋方向不同分角：按方向旋而成的角

零角：射有旋

角的分

象限角：角的在第几象限，

按位置不同分角就是第几象限角

角：角的落在坐上

时针转

转类负顺时针转

线没转

类

终边这个

终边类

轴线终边标轴

3.所有与角α终边

相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k ∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}.

1.概念理解

(1)角的取值范围是任意大小的正角、负角和零角.

(2)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90°的角,是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二类、第三类是区间角,其次,“小于90°的角”不等同于“锐角”,“锐角”不等同于“第一象限角”,锐角为{α|0°<α<90°},第一象限角为{α|k·360°<α