2009年高考全国卷1数学试题答案(理数)
2019年高考理数真题试卷(全国Ⅰ卷)(word版+答案+解析)
2019年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共60分）1.已知集合M= {x|−4<x<2}，N= {x|x2−x−6<0}，则M ∩N=（）A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.己知a=log20.2，b= 20.2，c= 0.20.3,则（）A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a4.古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。
此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是√5−12。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm5.函数f(x)= sinx+xcosx+x2在[- π，π]。
的图像大致为（）A. B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--"，下图就是一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）A. 516B. 1132C. 2132D. 11167.已知非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=2| b ⃗⃗ |，且 (a ⃗−b ⃗⃗)⊥b ⃗⃗ ，则 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为（ ） A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π68.下图是求 12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A. A= 12+A B. A=2+ 1AC. A= 11+2AD. A=1+ 12A9.记S n为等差数列{a n}的前n项和。
高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)-选择题：数列-
2022届高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）选择题：数列1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=()A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+2.已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则12a 的值是()A ．15B ．30C ．31D ．643.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第i 行,第j 列的数记为,i j a ,比如3,24,25,49,15,23a a a ===,若,2017i j a =,则i j +=()A.64B.65C.71D.724.已知{}n a 为等差数列,若3489a a a ++=,则9S =()A.24B.27C.36D.545.已知{}n a 是等差数列,且34784,8a a a a +=-+=-,则这个数列的前10项和等于()A.16- B.30- C.32- D.60-6.已知等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=，则28a a +等于（）A.18B.30C.36D.457.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若14611,6a a a =-+=-,则当n S 取最小值时,n 等于（）A.6B.7C.8D.58.等差数列{}n a 中,已知611||||a a =,且公差0d >,则其前n 项和取最小值时n 的值为()A.6B.7C.8D.99.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a aa a a++++的值为（）A ．914B ．1115C ．1316D ．151710.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：有一人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第二天走的路程为（）A ．96里B ．189里C ．192里D ．288里11.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若23a a ＝89，5a ＝163，则()A ．23nn a ＝B ．13n n a －＝C ．312nn S －＝D ．213n n S -=12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，则{}n a 的通项公式n a =（）A ．21n -B ．12n -C ．21n-D ．21n +13.等比数列{}n a 各项均为正数,若12118,n n n a a a a ++=+=,则{}n a 的前6项和为()A.1365B.63C.6332D.1365102414.已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当2n 时，22222n n a a -=，设2log n n b a =，数列()21(1)1nn n n b b ⎧⎫+⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S =()A.20202021B.20202021-C.20192020-D.2019202015.化简式子11111+++12233445(1)n n ++=⨯⨯⨯⨯+ ()A.n +11B.n n -+11C.n n +1 D.n n-1答案以及解析1.答案：B解析：{}n a ∵是各项均为正数的等比数列，4756a a a a =∴又475618a a a a +=,47569a a a a ==∴110293847569a a a a a a a a a a =====∴()3132310312310log log log log a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅∴51033log 9log 310===2.答案：A解析：由等差数列的性质得，79412a a a a +=+，∵79416,1a a a +==，∴1279415a a a a =+-=.故选A.3.答案：D解析：按照蛇形排列,第1行到第i 行末共有(1)122i i i ++++=个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数;第1行到第45行末共有1035个奇数;则2017位于第45行;而第45行是从右到左依次递增,且共有45个奇数;故2017位于第45行,从右到左第19列,则45,2772i j i j ==⇒+=,故选D4.答案：B解析：根据等差数列的通项公式,我们根据3489a a a ++=,易求也53a =,由等差数列的前 n 项和公式,我们易得()91992S a a =+,结合等差数列的性质“当2q m n =+时,2a q =a m +a n ”,得()1952a a a +=,即可得到答案.解:设等差数列{}n a 的公差为 d ,3489a a a ++= ()()()1112379a d a d a d ∴+++++=即()1349a d +=143a d ∴+=即53a =又()919992S a a =+=527a =5.答案：B解析：通解设{}n a 的公差为d ,则341781254,2138,a a a d a a a d +=+=-⎧⎨+=+=-⎩解得13,41,2a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以{}n a 的前10项和10310911030422S ⨯⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B.优解因为数列{}n a 是等差数列,所以374856,22a a a a a a ++==,所以34785662a a a a a a ++++==-,所以{}n a 的前10项和()()110561*********a a a a S ++===-.故选B.6.答案：C解析：因为等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=，所以由题55590,18a a ==，285236a a a +==.7.答案：A解析：465676320,0a a a d a a +=-∴=-∴∴<>=，所以6S 最小8.答案：C解析：由0d >可得等差数列{}n a 是递增数列,又611||||a a =,所以611a a -=,即11510a d a d --=+,所以1152d a =-,则890,022d da a =-<=>,所以前8项和为前n 项和的最小值,故选C.9.答案：C解析：等差数列{}n a 中，因为139,,a a a 成等比数列，所以有2319a a a =⋅，即()()211128a d a a d +=⋅+，解得1d a =，所以该等差数列的通项为n a nd =，则1392410(139)13(2410)16a a a d a a a d ++++==++++，故选C ．10.答案：A 解析：111113782481632x x x x x x +++++=,解得192x =，故962x =.11.答案：D解析：设公比为q ,有2314189163a q a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1132a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则1(12)213123n n n S --==-.12.答案：B解析：当1n =时，111121,1S a a a =-=∴=，当2n ≥时，11122,2n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-∴=，因此12n n a -=13.答案：B解析：设公比为(0).q q >218,n n n a a a +++= 228,n n n a q a q a ∴+=228,q q ∴+=解得2q =或4q =-(舍)，661(12)63,12S ⨯-∴==-故选B.14.答案：B解析： 数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，∴当2n 时，222222n n na a a -==，2(2)n n a n ∴= ，又{}n a 为等比数列，*22,,log n n n n a n b a n ∴=∈∴==N ，()212111(1)(1)(1)1(1)1nn n n n n n b b n n n n ++⎛⎫∴-=-=-+ ⎪+++⎝⎭，2020111111122320192020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+++--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111202012020202120212021⎛⎫+=-+=- ⎪⎝⎭，故选B.15.答案：C 解析：()n n n n =-++111∵11()n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+1111∴1223341n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111122334111。
概率大题题型总结(高三精华)
3、（ 2012湖南卷）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该读表类型1、（ 2012湖北卷）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 X （单位：mm 对工期的影响如下表：（1） 工期延误天数 丫的均值与方差；（2） 在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过 6天的概率.已知这100位顾客中的一次购物量超过 8件的顾客占55% （1） 确定x,y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（2） 若某顾客到达收银台时前面恰有 2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算 前的等候时间不超过 2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）2、（2012陕西卷）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都 是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：（1）估计第三个顾客恰好等待 4分钟开始办理业务的概率; （2） X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望高考统计与概率理科大题类型总结4、（2012咼考真题北京理17）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾 三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类 垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：5、（ 2013年咼考北京卷）下图是某市 3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3 月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（I ）求此人到达当日空气重度污染的概率 ；（n ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数 ，求X 的分布列与数学期望； （山）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大 ?（结论不要求证明）1 _____ _______ ___________ _______（注：s 2 ［（^ -x ）2 （x 2 -X ）2出…卷（Xn -X ）2］，其中x 为数据X1，X2，…，Xn 的平均 n数）“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收物30 240 30 其他垃圾202060（山）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a ，b ，c2其中a >0，a b c =600。
2009年高考理科数学试题及答案-全国卷1
2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[u （AB ）中的元素共有（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 （2）已知1iZ＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式11X X +-＜1的解集为 （A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D (5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 （A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种 （6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -∙-的最小值为（A ）2-（B 2 （C ）1- (D)1（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（A ）4（B ）4（C ）4(D) 34（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么π的最小值为 （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为（10）已知二面角α-l-β为600，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到βQ 到α的距离为则P 、Q 两点之间距离的最小值为（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数（12）已知椭圆C: 2212x y +=的又焦点为F ，右准线为L ，点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。
2009年高考全国卷I数学(理科)试题及参考答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国I 卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ∙=∙球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u A B I中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知1iZ＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 解：验x=-1即可。
2009年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1C．D．5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45B．55C．70D．807．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．6488．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）=．10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为．11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=，∠F1PF2的大小为．13．（5分）若函数则不等式的解集为．14．（5分）{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=；a2014=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．18．（13分）设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．19．（14分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（I）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．20．（13分）已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=1，且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．2009年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选：B．【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】11：计算题．【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），显然，与不平行，排除A、B．若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），即∥且与反向，排除C，故选：D．【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解：∵，∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1C．D．【考点】LS：直线与平面平行．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D．【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），故选：A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45B．55C．70D．80【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：（1+）5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55•（）5=1+5+20+20+20+4=41+29，∴a=41，b=29，a+b=70．故选：C．【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．7．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选：B．【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；16：压轴题；2：创新题型．【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合．【解答】解：设A（m，n），P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵A，B在y=x2上∴n=m2，2n﹣x+1=（2m﹣x）2消去n，整理得关于x的方程x2﹣（4m﹣1）x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，∴方程恒有实数解，∴故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用判别式来判断．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题．【分析】通过因式分解把原式转化为=，消除零因子后得到，由此能够得到的值．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6．【考点】7C：简单线性规划．【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l：y﹣x=0平移l过点A（4，﹣2）时s有最小值﹣6，故答案为﹣6．【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．【考点】3I：奇函数、偶函数；62：导数及其几何意义．【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题．【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，易得该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．故应填﹣1．【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= 2，∠F1PF2的大小为120°．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2；120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分）若函数则不等式的解集为[﹣3，1]．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3，1]．【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．14．（5分）{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=1；a2014= 0．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】16：压轴题．=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，【分析】由a4n﹣3第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．【解答】解：∵2009=503×4﹣3，∴a2009=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1，∴a2014=0，故答案为：1，0．【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 【分析】的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a 不知道，所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin（﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=，sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴a==，∴△ABC的面积S=absinC=×××=．【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；（2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A ﹣DE﹣P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC．又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB．在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，即AD与平面PAC所成角的正弦值为．（3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时，∠AEP=90°，故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），∴，∴即ξ的分布列是ξ02468P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．18．（13分）设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）e kx，f′（0）=1，f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）e kx=0，得x=﹣（k≠0），若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，若k＜0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，即k≤1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1，即k≥﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时，k的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1]．【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．19．（14分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（I）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．（II）先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得a=1，c=，b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲C的方程．（Ⅱ）设P（m，n）（mn≠0）在x2+y2=2上，圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得mx+ny=2．以及m2+n2=2得（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0，∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m2＜2，3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0，设A、B两点的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），x1+x2=，x1x2=．∵，且=x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2]=+[4﹣+]=﹣=0．∴∠AOB的大小为900．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．20．（13分）已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=1，且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．【考点】8B：数列的应用．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；23：新定义；32：分类讨论．【分析】（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（Ⅱ）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，，，…，，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）∵A={a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k=2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k=2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．又∵＜＜…＜＜，∴，，…，，从而++…++=a1+a2+…+a n，∴且；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，有，，即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得∈A，且1＜，∴，∴，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。
2009年湖北省高考数学试题答案(理数)
09年普通高等学校全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1、已知是两个向量集合，则P Q =A ．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝2.设a 为非零实数，函数的反函数是A 、B 、C 、D 、3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n,则复数（m+ni ）(n-mi)为实数的概率为 A 、13 B 、14 C 、16D 、1124.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当2.2D 为奇函数时，向量a 可以等于.(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为.18A .24B .30C .36D6.设222212012122)...2nn nn n x a a x a x a xa x--+=+++++（，则2024213521li m [(...)(n n n a a a a a a a a-→∞++++-++++=.1A-.0B.1C2 .2 D7.已知双曲线22122x y-=的准线过椭圆22214x yb+=的焦点，则直线2y kx=+与椭圆至多有一个交点的充要条件是A.11,22K⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B.11,,22K⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 22,22K⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.22,,22K⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎥⎢⎪⎝⎦⎣⎭8.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。
每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台。
高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)解答题：数列
高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）解答题：数列1.等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。
2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足：3576,24a a a =+=.(1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1{}nS 的前n 项和n T .3.已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1a b ==,()12N n n a a n *+=∈,()12311111N 23n n b b b b b n n *+++++=-∈ .（1）求n a 与n b ;（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求n T .4.已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749S =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()33n n n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T ．5.已知{}n a 是递增的等比数列，11a =，且22a 、332a 、4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21231log log n n n b a a ++=⋅，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .6.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前3项和39S =,且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,求证12n T <.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和.8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()112,2*n n a a S n N +==+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令112(1)(1)n n n n b a a -+=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：12n T <.答案以及解析1.答案：(1)设{}n a 的公比为q ，由已知得3162q =，解得2q =，∴112.n n n a a q -==(2)由(1)得358,32a a ==，则358,32b b ==，设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩解得11612b d =-⎧⎨=⎩∴1612112)2(8n b n n =+--=-，∴数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-.2.答案：(1设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ,3576,24a a a =+= ,()()111264624a d a d a d +=⎧∴⎨+++=⎩,解得：122d a =⎧⎨=⎩,(2122)n a n n ∴=+-⨯=；(2由(1)得：()1(22)(1)22n n n a a n n S n n ++===+,所以1211111111 11223(1)(1)n n n T S S S S n n n n =++++=++++-⨯⨯-+ 11111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n n n =-=++．3.答案：（1）由112,2n n a a a +==,知0n a ≠,故12n n a a +=,即{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,得()2N n n a n *=∈.由题意知,当1n =时,121b b =-,故22b =.当2n ≥时,11n n n b b b n +=-,整理得11n n b b n n +=+,所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,1为公比的等比数列,即1n b n =,所以()N n b n n *=∈.（2）由（1）知2n n n a b n =⋅.因此231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①23412222322n n T n +=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,②①-②得23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅.故()()1122N n n T n n +*=-+∈.4.答案：（1）由()177477492a a S a ⨯+===，得47a =，因为36a =，所以11.4d a ==，故3n a n =+.（2）()333n n n n b a n =-⋅=⋅，所以1231323333n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯①23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯②由①-②得1231133233333313n n n n n T n n +++--=++++-⨯=-⨯- ，所以1(21)334n n n T +-⨯+=.5.答案：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意及11a =，知1q >.22a 、332a 、4a 成等差数列成等差数列，34232a a a ∴=+，2332q q q ∴=+，即2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍去），2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==；（2）()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭ ，11111111111232435112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()()13113232212431114122221n n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭+⎛⎫=--=- ⎪++++⎝⎭.6.答案：(1)由3S 9=得13a d +=①;125,,,a a a 成等比数列得:()()21114a a d a d +=+②;联立①②得11,2a d ==;故21n a n =-.(2)111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭ 11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭.7.答案：（1）由1142,a b a b ==，则()()421234122312S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =.所以32(1)21n a n n =+-=+.设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.所以3n n b =；（2）(21)3n n n a b n +=++，所以{}n n a b +的前n 项和为()()1212n n a a a b b b +++++++ ()2(3521)333n n =++++++++ ()()313331(321)(2)2132n n n n n n --++=+=++-8.答案：（1）()12,*n n a S n N +=+∈，①当1n =时，212a S =+，即24a =，当2n ≥时，12n n a S -=+，②由①-②可得11n n n n a a S S +--=-，即12n n a a +=，∴2222,2n n n a a n -=⨯=≥当1n =时，1122a ==，满足上式，∴()2n n a n N *=∈（2）由（1）得1112111()(21)(21)22121n n n n n n b -++==-----∴1111111111(1)(1)23372121221n n n n T ++=-+-++-=---- ∴12n T <。
(含答案解析)2023年高考全国乙卷-理数
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1.设z =2+i1+i 2+i5，则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得z =2+i 1+i 2+i 5=2+i 1-1+i =i 2+i i2=2i -1-1=1-2i ，则z=1+2i.故选：B .2.设集合U =R ，集合M =x x <1 ，N =x -1<x <2 ，则x x ≥2=()A.∁U M ∪NB.N ∪∁U MC.∁U M ∩ND.M ∪∁U N【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x |x ≥2 即可.【详解】由题意可得M ∪N =x |x <2 ，则∁U M ∪N =x |x ≥2 ，选项A 正确；∁U M =x |x ≥1 ，则N ∪∁U M =x |x >-1 ，选项B 错误；M ∩N =x |-1<x <1 ，则∁U M ∩N =x |x ≤-1 或x ≥1 ，选项C 错误；∁U N =x |x ≤-1 或x ≥2 ，则M ∪∁U N =x |x <1 或x ≥2 ，选项D 错误；故选：A .3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D 【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=3，点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1,C 1,D 1,A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2×2×2 +4×2×3 -2×1×1 =30.故选：D .4.已知f (x )=xe xe ax -1是偶函数，则a =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为f x =xe x e ax-1为偶函数，则f x -f -x =xexe ax -1--x e-xe -ax -1=x e x -e a -1xe ax -1=0，又因为x 不恒为0，可得e x -e a -1 x=0，即e x =e a -1x，则x =a -1 x ，即1=a -1，解得a =2.故选：D .5.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域x ,y 1≤x 2+y 2≤4 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.12【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域x ,y |1≤x 2+y 2≤4 表示以O 0,0 圆心，外圆半径R =2，内圆半径r =1的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON =π4，结合对称性可得所求概率P =2×π42π=14.故选：C .6.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3 单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f x 的图像的两条对称轴，则f -5π12 =()A.-32B.-12C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x =-5π12即可得到答案.【详解】因为f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3单调递增，所以T 2=2π3-π6=π2，且ω>0，则T =π，w =2πT =2，当x =π6时，f x 取得最小值，则2⋅π6+φ=2k π-π2，k ∈Z ，则φ=2k π-5π6，k ∈Z ，不妨取k =0，则f x =sin 2x -5π6 ，则f -5π12 =sin -5π3 =32，7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种【答案】C 【解析】【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有C 16种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A 25种，根据分步乘法公式则共有C 16⋅A 25=120种，故选：C .8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120°，若△PAB 的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在△AOB 中，∠AOB =120°，而OA =OB =3，取AC 中点C ，连接OC ,PC ，有OC ⊥AB ,PC ⊥AB ，如图，∠ABO =30°，OC =32,AB =2BC =3，由△PAB 的面积为934，得12×3×PC =934，解得PC =332，于是PO =PC 2-OC 2=332 2-32 2=6，所以圆锥的体积V =13π×OA 2×PO =13π×(3)2×6=6π.9.已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.25【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接CE ,DE ，因为△ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE ⊥AB ，又△ABD 是等边三角形，则DE ⊥AB ，从而∠CED 为二面角C -AB -D 的平面角，即∠CED =150°，显然CE ∩DE =E ,CE ,DE ⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面ABC =CE ，直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角，令AB =2，则CE =1,DE =3，在△CDE 中，由余弦定理得：CD =CE 2+DE 2-2CE ⋅DE cos ∠CED =1+3-2×1×3×-32=7，由正弦定理得DE sin ∠DCE =CDsin ∠CED，即sin ∠DCE =3sin150°7=327，显然∠DCE 是锐角，cos ∠DCE =1-sin 2∠DCE =1-3272=527，所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选：C10.已知等差数列a n 的公差为2π3，集合S =cos a n n ∈N * ，若S =a ,b ，则ab =()A.-1B.-12C.0D.12【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{a n }中，a n =a 1+(n -1)⋅2π3=2π3n +a 1-2π3，显然函数y =cos 2π3n +a 1-2π3的周期为3，而n ∈N ∗，即cos a n 最多3个不同取值，又{cos a n |n ∈N ∗}={a ,b }，则在cos a 1,cos a 2,cos a 3中，cos a 1=cos a 2≠cos a 3或cos a 1≠cos a 2=cos a 3，于是有cos θ=cos θ+2π3 ，即有θ+θ+2π3 =2k π,k ∈Z ，解得θ=k π-π3,k ∈Z ，所以k ∈Z ，ab =cos k π-π3 cos k π-π3 +4π3 =-cos k π-π3 cos k π=-cos 2k πcos π3=-12.故选：B11.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-4【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得k AB ⋅k =9，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则AB 的中点M x 1+x 22,y 1+y 22，可得k AB =y 1-y 2x 1-x 2,k =y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2，因为A ,B 在双曲线上，则x 21-y 219=1x 22-y 229=1，两式相减得x 21-x 22-y 21-y 229=0，所以k AB ⋅k =y 21-y 22x 21-x 22=9.对于选项A ：可得k =1,k AB =9，则AB :y =9x -8，联立方程y =9x -8x 2-y 29=1 ，消去y 得72x 2-2×72x +73=0，此时Δ=-2×72 2-4×72×73=-288<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得k =-2,k AB =-92，则AB :y =-92x -52，联立方程y =-92x -52x 2-y 29=1，消去y 得45x 2+2×45x +61=0，此时Δ=2×45 2-4×45×61=-4×45×16<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得k =3,k AB =3，则AB :y =3x由双曲线方程可得a =1,b =3，则AB :y =3x 为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：k =4,k AB =94，则AB :y =94x -74，联立方程y =94x -74x 2-y 29=1，消去y 得63x 2+126x -193=0，此时Δ=1262+4×63×193>0，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D .12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =2，则PA ⋅PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2【答案】A 【解析】【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA ⋅PD =12-22sin 2α-π4 ，或PA ⋅PD =12+22sin 2α+π4 然后结合三角函数的性质即可确定PA ⋅PD的最大值.【详解】如图所示，OA =1,OP =2，则由题意可知:∠APO =45°，由勾股定理可得PA =OP 2-OA 2=1当点A ,D 位于直线PO 异侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α+π4=1×2cos αcos α+π4=2cos α22cos α-22sin α =cos 2α-sin αcos α=1+cos2α2-12sin2α=12-22sin 2α-π4 0≤α≤π4，则-π4≤2α-π4≤π4∴当2α-π4=-π4时，PA ⋅PD 有最大值1.当点A ,D 位于直线PO 同侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α-π4=1×2cos αcos α-π4=2cos α22cos α+22sin α =cos 2α+sin αcos α=1+cos2α2+12sin2α=12+22sin 2α+π40≤α≤π4，则π4≤2α+π4≤π2∴当2α+π4=π2时，PA ⋅PD 有最大值1+22.综上可得，PA ⋅PD 的最大值为1+22.13.已知点A 1,5【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题在抛物线C ：y 2=2px 上，则A 到C 的准线的距离为.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x =-54，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得：5 2=2p ×1，则2p =5，抛物线的方程为y 2=5x ，准线方程为x =-54，点A 到C 的准线的距离为1--54 =94.故答案为：94.14.若x ，y 满足约束条件x-3y ≤-1x +2y ≤93x +y ≥7，则z =2x -y 的最大值为.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.详解】作出可行域如下图所示：z =2x -y ，移项得y =2x -z ，联立有x -3y =-1x +2y =9，解得x =5y =2 ，设A 5,2 ，显然平移直线y =2x 使其经过点A ，此时截距-z 最小，则z 最大，代入得z =8，故答案为：8.15.已知a n 为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=.【解析】【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1，联立a 9a 10=-8求出q 3=-2，最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【详解】设a n 的公比为q q ≠0 ，则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ，显然a n ≠0，则a 4=q 2，即a 1q 3=q 2，则a 1q =1，因为a 9a 10=-8，则a 1q 8⋅a 1q 9=-8，则q 15=q 5 3=-8=-2 3，则q 3=-2，则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2，故答案为：-2.16.设a ∈0,1 ，若函数f x =a x +1+a x 在0,+∞ 上单调递增，则a 的取值范围是.【答案】5-12,1 【解析】【分析】原问题等价于f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得1+a a x ≥-ln aln 1+a ，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可得f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0在区间0,+∞ 上恒成立，则1+a x ln 1+a ≥-a x ln a ，即1+a a x ≥-ln aln 1+a在区间0,+∞ 上恒成立，故1+a a 0=1≥-ln aln 1+a，而a +1∈1,2 ，故ln 1+a >0，故ln a +1 ≥-ln a 0<a <1即a a +1 ≥10<a <1 ，故5-12≤a <1，结合题意可得实数a 的取值范围是5-12,1.故答案为：5-12,1.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ，y i (i =1,2,⋅⋅⋅10)，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率x i545355525754545659545312541868伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i =x i -y i (i =1,2,⋯,10)，记z 1，z 2，⋯，z 10的样本平均数为z，样本方差为s 2，(1)求z ，s 2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z ≥2s 210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).【答案】(1)z =11，s 2=61；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出x ,y ，再得到所有的z i 值，最后计算出方差即可；(2)根据公式计算出2s 210的值，和z 比较大小即可.【小问1详解】x =545+533+551+522+575+544+541+568+596+54810=552.3，y =536+527+543+530+560+533+522+550+576+53610=541.3，z =x -y=552.3-541.3=11，z i =x i -y i 的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12，故s 2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-110=61【小问2详解】由(1)知:z=11，2s 210=2 6.1=24.4，故有z ≥2s 210,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在△ABC 中，已知∠BAC =120°，AB =2，AC =1.(1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求△ADC 的面积.【答案】(1)21 14；(2)310.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=7，然后由余弦定理可得cos B=5714，最后由同角三角函数基本关系可得sin B=21 14；(2)由题意可得S△ABDS△ACD=4，则S△ACD=15S△ABC，据此即可求得△ADC的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：BC2=a2=b2+c2-2bc cos A=4+1-2×2×1×cos120°=7，则BC=7，cos B=a2+c2-b22ac=7+4-12×2×7=5714，sin B=1-cos2B=1-2528=2114.【小问2详解】由三角形面积公式可得S△ABDS△ACD=12×AB×AD×sin90°12×AC×AD×sin30°=4，则S△ACD=15S△ABC=15×12×2×1×sin120°=310.19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.(1)证明：EF⎳平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D-AO-C的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)22.【解析】【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行判定推理作答.(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接DE ,OF ，设AF =tAC ，则BF =BA +AF =(1-t )BA +tBC ，AO =-BA +12BC ，BF ⊥AO ，则BF ⋅AO =[(1-t )BA +tBC ]⋅-BA +12BC =(t -1)BA 2+12tBC 2=4(t -1)+4t =0，解得t =12，则F 为AC 的中点，由D ,E ,O ,F 分别为PB ,PA ,BC ,AC 的中点，于是DE ⎳AB ,DE =12AB ,OF ⎳AB ,OF =12AB ，即DE ⎳OF ,DE =OF ，则四边形ODEF 为平行四边形，EF ⎳DO ,EF =DO ，又EF ⊄平面ADO ,DO ⊂平面ADO ，所以EF ⎳平面ADO .ABCDEO P【小问2详解】由(1)可知EF ⎳OD ，则AO =6,DO =62，得AD =5DO =302，因此OD 2+AO 2=AD 2=152，则OD ⊥AO ，有EF ⊥AO ，又AO ⊥BF ,BF ∩EF =F ，BF ,EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .【小问3详解】过点O 作OH ⎳BF 交AC 于点H ，设AD ∩BE =G ，由AO ⊥BF ，得HO ⊥AO ，且FH =13AH ，又由(2)知，OD ⊥AO ，则∠DOH 为二面角D -AO -C 的平面角，因为D ,E 分别为PB ,PA 的中点，因此G 为△PAB 的重心，即有DG =13AD ,GE =13BE ，又FH =13 AH ，即有DH =32GF ，cos ∠ABD =4+32-1522×2×62=4+6-PA 22×2×6，解得PA =14，同理得BE =62，于是BE 2+EF 2=BF 2=3，即有BE ⊥EF ，则GF 2=13×622+622=53，从而GF =153，DH =32×153=152，在△DOH 中，OH =12BF =32,OD =62,DH =152，于是cos ∠DOH =64+34-1542×62×32=-22，sin ∠DOH =1--222=22，所以二面角D -AO -C 的正弦值为22.ABCD EFGH OP20.已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为53，点A -2,0 在C 上.(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解【解析】【分析】(1)根据题意列式求解a ,b ,c ，进而可得结果；(2)设直线PQ 的方程，进而可求点M ,N 的坐标，结合韦达定理验证y M +y N2为定值即可.【小问1详解】由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y 2x 2+22=k x 1+2 +3x 1+2+k x 2+2 +3x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2 x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +316k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段PQ 的中点是定点0,3 .【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．21.已知函数f(x)=1x +aln(1+x).(1)当a=-1时，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若f x 在0,+∞存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)ln2x+y-ln2=0；(2)存在a=12,b=-12满足题意，理由见解析.(3)0,12.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g x =ax2+x-x+1ln x+1，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥12和0<a<12三中情况即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】当a=-1时，f x =1x-1ln x+1，则f x =-1x2×ln x+1+1x-1×1x+1，据此可得f1 =0,f 1 =-ln2，函数在1,f1处的切线方程为y-0=-ln2x-1，即ln2x+y-ln2=0.【小问2详解】由函数的解析式可得f1x=x+aln1x+1，函数的定义域满足1x+1=x+1x>0，即函数的定义域为-∞,-1∪0,+∞，定义域关于直线x=-12对称，由题意可得b=-12，由对称性可知f-12+m=f-12-mm>12，取m=32可得f1 =f-2，即a+1ln2=a-2ln 12，则a+1=2-a，解得a=12，经检验a=12,b=-12满足题意，故a=12,b=-12.即存在a=12,b=-12满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得f x =-1 x2ln x+1+1x+a1x+1，由f x 在区间0,+∞存在极值点，则f x 在区间0,+∞上存在变号零点;令-1 x2ln x+1+1x+a1x+1=0，则-x+1ln x+1+x+ax2=0，令g x =ax2+x-x+1ln x+1，f x 在区间0,+∞存在极值点，等价于g x 在区间0,+∞上存在变号零点，g x =2ax-ln x+1,g x =2a-1 x+1当a≤0时，g x <0，g x 在区间0,+∞上单调递减，此时g x <g0 =0，g x 在区间0,+∞上无零点，不合题意;当a≥12，2a≥1时，由于1x+1<1，所以g x >0,g x 在区间0,+∞上单调递增，所以g x >g 0 =0，g x 在区间0,+∞上单调递增，g x >g0 =0，所以g x 在区间0,+∞上无零点，不符合题意；当0<a<12时，由gx =2a-1x+1=0可得x=12a-1，当x∈0,12a-1时，g x <0，g x 单调递减，当x∈12a-1,+∞时，g x >0，g x 单调递增，故g x 的最小值为g12a-1=1-2a+ln2a，令m x =1-x+ln x0<x<1，则m x =-x+1x>0，函数m x 在定义域内单调递增，m x <m1 =0，据此可得1-x+ln x<0恒成立，则g 12a-1=1-2a +ln2a <0，令h x =ln x -x 2+x x >0 ，则hx =-2x 2+x +1x ，当x ∈0,1 时，h x >0,h x 单调递增，当x ∈1,+∞ 时，h x <0,h x 单调递减，故h x ≤h 1 =0，即ln x ≤x 2-x (取等条件为x =1)，所以g x =2ax -ln x +1 >2ax -x +1 2-x +1 =2ax -x 2+x ，g 2a -1 >2a 2a -1 -2a -1 2+2a -1 =0，且注意到g 0 =0，根据零点存在性定理可知:g x 在区间0,+∞ 上存在唯一零点x 0.当x ∈0,x 0 时，g x <0，g x 单调减，当x ∈x 0,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，所以g x 0 <g 0 =0.令n x =ln x -12x -1x ，则n x =1x -121+1x 2=-x -1 22x2≤0，则n x 单调递减，注意到n 1 =0，故当x ∈1,+∞ 时，ln x -12x -1x <0，从而有ln x <12x -1x，所以g x =ax 2+x -x +1 ln x +1 >ax 2+x -x +1 ×12x +1 -1x +1=a -12 x 2+12，令a -12 x 2+12=0得x 2=11-2a，所以g 11-2a>0，所以函数g x区间0,+∞ 上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是0,12.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】(10分)22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θπ4≤θ≤π2，曲线C 2：x =2cos αy =2sin α (α为参数，π2<α<π).(1)写出C 1的直角坐标方程；(2)若直线y =x +m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点，求m 的取值范围.【答案】(1)x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 (2)-∞,0 ∪22,+∞ 【解析】【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意x ,y 的取值范围；(2)根据曲线C 1,C 2的方程，结合图形通过平移直线y =x +m 分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为ρ=2sin θ，即ρ2=2ρsin θ，可得x 2+y 2=2y ，整理得x 2+y -1 2=1，表示以0,1 为圆心，半径为1的圆，又因为x =ρcos θ=2sin θcos θ=sin2θ,y =ρsin θ=2sin 2θ=1-cos2θ，且π4≤θ≤π2，则π2≤2θ≤π，则x =sin2θ∈0,1 ,y =1-cos2θ∈1,2 ，故C 1:x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 .【小问2详解】因为C 2:x =2cos αy =2sin α(α为参数，π2<α<π)，整理得x 2+y 2=4，表示圆心为O 0,0 ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y =x +m 过1,1 ，则1=1+m ，解得m =0；若直线y =x +m ，即x -y +m =0与C 2相切，则m2=2m >0 ，解得m =22，若直线y=x +m 与C 1,C 2均没有公共点，则m >22或m <0，即实数m 的取值范围-∞,0 ∪22,+∞ .【选修4-5】(10分)23.已知f x =2x +x -2 .(1)求不等式f x ≤6-x 的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组f (x )≤yx +y -6≤0所确定的平面区域的面积.【答案】(1)[-2,2]；(2)6.【解析】【分析】(1)分段去绝对值符号求解不等式作答.(2)作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，f (x )=3x -2,x >2x +2,0≤x ≤2-3x +2,x <0，不等式f (x )≤6-x 化为：x >23x -2≤6-x或0≤x ≤2x +2≤6-x 或x <0-3x +2≤6-x ，解x >23x -2≤6-x，得无解；解0≤x ≤2x +2≤6-x ，得0≤x ≤2，解x <0-3x +2≤6-x ，得-2≤x <0，因此-2≤x ≤2，所以原不等式的解集为：[-2,2]小问2详解】作出不等式组f (x )≤yx +y -6≤0表示的平面区域，如图中阴影△ABC，由y =-3x +2x +y =6，解得A (-2,8)，由y =x +2x +y =6 , 解得C (2,4)，又B (0,2),D (0,6)，所以△ABC 的面积S △ABC =12|BD |×x C -x A =12|6-2|×|2-(-2)|=8.。
【题库大全】2005-2012年高考数学(理)试题分项 专题09 直线与圆
求坐标原点到 距离的比值.
(2012年高考辽宁卷理科20)(本小题满分12分)
如图，椭圆 ，动圆 .点 分别为 的左、右顶点， 与 相交于 四点
（1）求直线 与直线 交点 的轨迹方程；
（2）设动圆 与 相交于 四点，其中 ， .若矩形 与矩形 的面积相等，证明： 为定值
2011年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆
一、选择题:
1．(2011年高考江西卷理科9)若曲线 ： 与曲线 ： 有四个不同的交点，则实数m的取值范围是
A．( ， ) B．( ，0)∪(0， )
c．[ ， ] D．( ， )∪( ，+ )
解析：选B，由题意，AC为直径，设圆心为F，则 ,圆的标准方程为 ，故 ，由此，易得： ，又 ，所以直线BD的方程为 ，F到BD的距离为 ，由此得， 所以四边形ABCD的面积为
解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2
圆心到直线 的
距离为d＝
故
得|AB|＝2
答案：2
（2010广东理数）12.已知圆心在x轴上，半径为 的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
12． ．设圆心为 ，则 ，解得 ．
（2010山东理数）
（2010湖南理数）
2.（2010江苏卷）9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲____
的弧长为[ B]
A B C D
2008年高考数学试题分类汇编——直线与圆
一．选择题：
1，（2008上海卷15）如图，在平面直角坐标系中， 是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点 、点 满足 且 ，则称P优于 ．如果 中的点 满足：不存在 中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（D）
十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题02 复数(教师版)
专题02 复数【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i - B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】C【分析】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C【分析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+ D ．32i -- 【答案】B 2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【答案】C【分析】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【分析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以 z ==故选：C ．2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【分析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=. 故选：D.3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））（1–i ）4=（ ） A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i【答案】A【分析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选：A.4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【分析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【分析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D .6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．1【答案】C【分析】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==，故选C ． 7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【分析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1y x +-=．故选C ． 8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D【分析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+， 所以12z i =--，选D ．9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【分析】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. ：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=，则1z =，故选c. 12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））()i 23i += A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+【答案】D 【详解】分析：根据公式21i =-，可直接计算得(23)32i i i +=-+：2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+ ，故选D. 13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D【详解】详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.14．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）(1)(2)i i +-= A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D【分析】解： ()()21i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．i(1+i)2 D ．i(1+i)【答案】A【分析】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z R ∈.其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p【答案】B 【详解】令i(,)z a b a b R =+∈，则由2211i i a b z a b a b-==∈++R 得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z ==-∈R ，而i z =∉R 知，故2p 不正确； 当12i z z ==时，满足121z z ⋅=-∈R ，但12z z ≠，故3p 不正确；对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））(1i)(2i)++= A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B 【详解】由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B.18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）31ii++＝（ ） A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i【答案】D 【分析】由题意()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++-，故选：D. 19．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【详解】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限. 所以选C. 20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设复数z 满足(1+i)z =2i ，则Ⅰz Ⅰ= A ．12B．2CD ．2【答案】C【解析】由题意可得2i1i z =+，由复数求模的法则可得1121z z z z =，则2i 1i z ===+故选C. 21．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a = A ．−3 B ．−2C ．2D ．3【答案】A【详解】：(12)()2(12)i a i a a i ++=-++，由已知，得，解得，选A.22．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设，其中x ，y 是实数，则i =x y +A ．1BCD ．2【答案】B 【详解】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i =|1+i x x y x y x x y +==+=所以故故选B.23．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+ B ．12i -C ．32i +D ．32i -【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.24．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．(31)-， B ．(13)-， C ．(1,)+∞ D ．(3)-∞-，【答案】A【详解】要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若43z i =+，则zz=A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-.本题选择D 选项.26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1C ．iD ．-i【答案】C 【详解】 试题分析：441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ．27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z = A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +【答案】C 【详解】试题分析：Ⅰ(1)1z i i -=+，Ⅰz=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C.28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1BCD ．2【答案】A【详解】：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A.29．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数,且 2i3i 1ia +=++,则a = A ．4- B ．3-C ．3D ．4【答案】D【详解】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.30．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B 【详解】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．31．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设，则A ．B ．C ．D ．2【答案】B【详解】：根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=+++-，由模的运算可得：2z ==. 32．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】试题分析：由已知得22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i+++==----．33．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）计算131ii+=- A ．12i + B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】B【详解】：()()()()1311324121112i i i ii i i i +++-+===-+--+34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．- 5 B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i【答案】A【详解】：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ．35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））212(1)ii +=-A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -【答案】B【详解】2121221(1)222i i i ii i ++-===---.36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为 A ．-4 B ．45- C ．4 D ．45【答案】D【详解】：设z a bi =+(34)(34)()34(34)i z i a bi a b b a i -=-+=++-435i +==Ⅰ345{340a b b a +=-= ，解得45b =37．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））21i+=A ．B ．2CD ．1 【答案】C【详解】因为211i i=-+,所以21i =+故选C. 38．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i 【答案】A【分析】由()12i z i -=得21i z i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 39．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））复数32i z i -+=+的共轭复数是 A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 【答案】D 【详解()()()()3235512225i i i i z i i i i -+--+-+====-+++-,1z i =--,故选D . 40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p 【答案】C【详解】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.。
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2009－20年高考文科数学试题分类汇编——复数一、选择题1.（20年广东卷文）下列n的取值中，使＝1（i是虚数单位）的是（）（A）n＝2 （B）n＝3 （C）n＝4 （D）n＝52.（2009浙江卷文）设z＝1＋i（i是虚数单位），则＋z2＝（）（A）1＋i（B）－1＋i （C） 1－i （D）－1－i3.（2009山东卷文）复数等于（）（A）1＋2i（B）1－2i（C）2＋i（D）2－i4. （2009安徽卷文）i是虚数单位，i（1＋i）等于（）（A）1＋i （B）－1－i （C）1－i （D）－1＋i5.（2009天津卷文）i是虚数单位，＝（）（A）1＋2i （B）－1－2i （C）1－2i （D）－1＋2i6. （2009宁夏海南卷文）复数＝（）（A）1 （B）－1 （C）i （D）－i7. （2009辽宁卷文）已知复数z＝1－2i，则＝（）（A）＋i（B）－i（C）＋i（D）－i8.（2010湖南文数1）复数等于（）（A） 1＋i（B） 1－i （C）－1＋i （D）－1－i9.（2010浙江理数）对随意复数z＝x＋（x R，y R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）（A）－|＝2y（B）z2＝x2＋y2（C）－|≥2x（D）≤＋10．（2010全国卷2理数）复数（）2＝（）（A）－3－4i（B）－3＋4i（C）3－4i（D）3＋4i11.（2010陕西文数）复数z＝在复平面上对应的点位于（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限12.（2010辽宁理数（2））设a，b为实数，若复数＝1＋i，则（）（A）a＝，b＝（B）a＝3，b＝1（C）a＝，b＝（D）a＝1，b＝313.（2010江西理数）已知（x＋i）（1－i）＝y，则实数x，y分别为（）（A）x＝－1，y＝1 （B）x＝－1，y＝2（C）x＝1，y＝1 （D）x＝1，y＝214.（2010安徽文数（2））已知i2＝－1，则i（1－i）＝（）（A）－i（B）＋i （C）－－i （D）－＋i15.（2010浙江文数）设i为虚数单位，则＝（）（A）－2－3i （B）－2＋3i（C）2－3i （D）2＋3i16.（2010山东文数）已知＝b＋i（a，b R），其中i为虚数单位，则a＋b＝（）（A）－1（B） 1 （C）2 （D） 317.（2010北京文数（2））在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为A，B，若C为线段的中点，则点C对应的复数是（）（A）4＋8i （B）8＋2i （C）2＋4i （D）4＋i18.（2010四川理数（1））i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（）（A）－1 （B）1 （C）－i（D）i19.（2010天津文数）i是虚数单位，复数＝（）（A）1＋2i （B）2＋4i （C）－1－2i （D）2－i20.（2010天津理数）i 是虚数单位，复数＝（）（A）1＋i （B）5＋5i （C）－5－5i （D）－1－i21.（2010广东理数）若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝（）（A）4＋2 i （B） 2＋ i （C） 2＋2 i （D）322.（2010福建文数）i是虚数单位，（）4等于（）（A）i （B）－i （C）1 （D）－123.（2010全国卷1理数（1））复数＝（）（A）i （B）－i（C）12－13i（D） 12＋13i24.（2010山东理）已知＝b＋i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a＋b＝（）（A）－1 （B）1 （C）2 （D）325.（2010安徽理数1）i是虚数单位，＋3i) ＝（）（A）－,12) I（B）＋,12) i（C）＋,6) i（D）－,6) i26. （20年北京理）复数＝（）（A）i （B）－i （C）－－i （D）－＋i27.（20年福建理）i是虚数单位，若集合S＝{－1，0，1}，则（）（A）i S（B）i2S（C）i3S（D）S28.（2010湖北理数）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（）（A）E（B）F（C）G（D）H29.（20年安徽理（1））设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）（A）2 （B）－2 （C）－（D）30.（20年福建文）i是虚数单位，1＋i3等于（）（A）i （B）－i （C）1＋i （D）1－i31.（20年广东理1）设复数z满意（1＋i）z＝2，其中i为虚数单位，则Z＝（）（A）1＋i （B）1－i （C）2＋2i （D）2－2i 32.（20年广东文1）设复数z满意＝1，其中i为虚数单位，则z＝（）（A）－i（B）i（C）－1（D）133.（20年湖北理1）i为虚数单位，则（）2011＝（）（A）－i（B）－1（C）i（D）134.（20年湖南理1）若a，b R，i为虚数单位，且（a＋i）i＝b＋i，则（）（A）a＝1，b＝1（B）a＝－1，b＝1（C）a＝－1，b＝－1（D）a＝1，b＝－135.（20年江西理1）设z＝i) ，则复数＝（）（A）－2－i（B）－2＋i（C）2－i（D）2＋i36.（20年江西文1）若（x－i）i＝y＋2i，x，y R，则复数x＋＝（）（A）－2＋i （B） 2＋i （C）1－2i（D）1＋2i37.（20年辽宁理1）a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝（）（A）2 （B）（C）（D）138.（20年辽宁文2）i为虚数单位，＋＋＋＝（）（A）0 （B）2i（C）－2i（D）4i39.（20年全国Ⅰ理（1））复数的共轭复数是（）（A）－i（B）i（C）－i（D）i40.（20年全国Ⅰ文（3））已知复数z＝＋i,(1－i)2) ，则＝（）（A）（B）（C）1 （D）241.（20年全国Ⅱ理（1））复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝（）（A）－2i（B）－i（C）i（D）2i42.（20年山东理）复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限43.（20年四川理2）复数－i＋＝（）（A）－2i（B）i（C）0 （D）2i44.（20年天津理1）i是虚数单位，复数＝（）（A）1＋i（B）5＋5i（C）－5－5i（D）－1－i45.（20年天津文1）i是虚数单位，复数（）（A）1＋2i（B）2＋4i（C）－1－2i（D）2－i46.（20年浙江文）若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则（1＋i）z＝（）（A）1＋3i（B）3＋3i（C）3－i（D）347.（20年重庆理（1））复数＝（）（A）－－i （B）－＋i （C）－i（D）＋i48.【2012安徽文1】复数z满意（z－i）i＝2＋i，则z＝（）（A）－1－i（B）1－I（C）－1＋3i（D）1－2i49.【2012新课标文2】复数z＝的共轭复数是（）（A）2＋i （B）2－i （C）－1＋i （D）－1－i50.【2012山东文1】若复数z满意z（2－i）＝11＋7i（i为虚数单位），则为（）（A）3＋5i （B）3－5i （C）－3＋5i（D）－3－5i51.【2012浙江文2】已知i是虚数单位，则＝（）（A）1－2i （B）2－i （C）2＋i （D）1＋2i52.【2012上海文】若1＋i是关于x的实系数方程x2＋＋c＝0的一个复数根，则（）（A）b＝2，c＝3（B）b＝2，c＝－1（C）b＝－2，c＝－1（D）b＝－2，c＝353.【2012辽宁文3】复数＝（）（A）－i （B）＋i（C）1－i（D）1＋i54.【2012江西文1】若复数z＝1＋i（i为虚数单位）是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为（）（A）0 （B）－1 （C）1 （D）－255.【2012湖南文2】复数z＝i（i＋1）（i为虚数单位）的共轭复数是（）（A）－1－i （B）－1＋i （C）1－i （D）1＋i56.【2012广东文1】设i为虚数单位，则复数＝（）（A）－4－3i（B）－4＋3i（C）4＋3i（D）4－3i57.【2102福建文1】复数（2＋i）2等于（）（A）3＋4i （B）5＋4i （C）3＋2i （D）5＋2i58.【2102北京文2】在复平面内，复数对应的点的坐标为（）（A）（1 ，3）（B）（3，1）（C）（－1，3）（D）（3 ，－1）59.【2012天津文科1】i是虚数单位，复数i)＝（A）1－i （B）－1＋i（C）1＋i（D）－1－i60.（20年辽宁卷（文））复数的z＝i－1)模为（）（A）（B）,2)（C）（D）261．（20年课标Ⅱ卷（文））||＝（）（A）2（B）2 （C）（D）162．（20年北京卷（文））在复平面内，复数i（2－i）对应的点位于（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限63．（20年山东卷（文））复数z＝（i为虚数单位），则＝（）（A）25 （B）（C）5 （D）64．（20年课标Ⅰ卷（文））＝（）（A）－1－i （B）－1＋i（C）1＋i （D）1－i65.（20年福建卷）复数z＝－1－2i （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限66．（20年广东卷（文））若i（x＋）＝3＋4i，x，y R，则复数x＋的模是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）567.（20年江西卷）复数z＝i（－2－i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限68．（20年四川卷（文））如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）（A）A （B）B（C）C（D）D69.（20年浙江卷（文））已知i是虚数单位，则（2＋i）（3＋i）＝（）（A）5－5i （B）7－5i （C）5＋5i （D）7＋5i70.（20年安徽）设i是虚数单位，若复数a－（a R）是纯虚数，则a的值为（）（A）－3 （B）－1 （C）1 （D）3二、填空题71.（2009江苏卷）若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数（z1－z2）i的实部为.72.（2009福建卷文）复数i2（1＋i）的实部是．73.（20年江苏3）设复数i满意i（z＋1）＝－3＋2i（i是虚数单位），则z 的实部是74.（20年浙江理2）已知复数z＝，其中i是虚数单位，则＝.75.【2012湖北文12】若＝a＋（a，b为实数，i为虚数单位），则a＋b＝.76.【2012江苏3】设a，b为实数，a＋＝（i为虚数单位），则a＋b的值为．77.【2012上海文1】计算：＝（i为虚数单位）78.（20年湖南）复数z＝i·（1＋i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于．79.（20年天津卷（文））i是虚数单位. 复数（3＋i）（1－2i）＝ .80.（20年重庆卷（文））已知复数z＝1＋2i （i是虚数单位），则＝.81.（20年上海卷（文科））设m R，m2＋m－2（m2－1）i，是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m＝.82.（20年湖北卷（文））i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝.三、解答题83.（20年上海理19）已知复数z1满意（z1－2）（1＋i）＝1－i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．。
高考数学 典型例题16 三角函数式的化简与求值 试题
卜人入州八九几市潮王学校高考数学典型例题详解三角函数化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考察的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场(★★★★★)2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________. ●案例探究 ［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵敏应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进展等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =21(1－cos40°)+21(1+cos160°)+3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)=41 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，那么x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考察三角函数的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时， y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5. ［例3］函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及获得最小值时相应的x 的值；(3)假设当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值.★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos3π+cos x sin 3π)－3sin 2x +sin x cos x =2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π) ∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π(k ∈Z )时，f (x )获得最小值－2. (3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］, ∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，那么 x =4π，故f -－1(1)=4π. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的根本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或者值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，纯熟准确地应用公式.2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的打破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，那么tan 2βα+的值是() A.21 B.－2 C.34 D.21或者－2 二、填空题2.(★★★★)sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，那么tan(α－2β)=_________. 3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，那么sin(α+β)=_________.三、解答题4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 6.(★★★★★)α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin 2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求获得最小值时x 的值.参考答案难点磁场解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π,∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54, ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572 sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540 ∴sin2α=6556)65406572(21-=-- 歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0.tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),那么2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan 12tan 2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2. 答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54 那么tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21, 答案：247 3.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0,2π),又cos(α－4π)=53. 答案：6556 三、4.答案：2π≠αk 〔k ∈Z 〕,322322π-π≠π-α∴k 〔k ∈Z 〕 ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk 〔k ∈Z 〕时,)322sin(π-α的最小值为－1.7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，那么 ｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ. 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)=33sin(2θ+6π)－63. ∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1. ∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.那么u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t .。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
、 、 A ．B ．2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1．（5 分）设集合 A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集 U=A ∪B ，则集合∁U （A ∩B ）中的元素共有（ ）A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6 个2．（5 分）已知=2+i ，则复数 z=（ ） A ．﹣1+3i B ．1﹣3iC ．3+iD ．3﹣i 3．（5 分）不等式＜1 的解集为（ ）A ．{x |0＜x ＜1}∪{x |x ＞1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |﹣1＜x ＜0}D ．{x |x ＜0}4．（5 分）已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x 2+1 相切，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．5．（5 分）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学．若 从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ）A ．150 种B ．180 种C ．300 种D ．345 种 6．（5 分）设 是单位向量，且，则•的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2C ．﹣1D ．1﹣7．（5 分）已知三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等，A 1 在底面 ABC 上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC 1 所成的角的余弦值为（）C ．D ．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5 分）已知直线y=x+1 与曲线y=ln（x+a）相切，则a 的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（5 分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为，Q 到α的距离为，则P、Q 两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．411．（5 分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5 分）已知椭圆C：+y2=1 的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C 于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5 分）设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5 分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5 分）若，则函数y=tan2xtan3x 的最大值为．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）在△ABC 中，内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60°（I）证明：M 是侧棱SC 的中点；（II）求二面角S﹣AM﹣B 的大小．19．（12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2 局中，甲、乙各胜1 局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12 分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n 项和S n．21．（12 分）如图，已知抛物线E：y2=x 与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D 四个点．（I）求r 的取值范围；（II）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC、BD 的交点P 的坐标．22．（12 分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx 有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B 的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5 分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．3．（5 分）不等式＜1 的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a 和b 的关系，从而推断出a 和c 的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．、 、 【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5 分）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学．若 从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ）A ．150 种B ．180 种C ．300 种D ．345 种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理． 【专题】5O ：排列组合．【分析】选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法，1 名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有 C 51•C 31•C 62=225 种选法； （2）乙组中选出一名女生有 C 52•C 61•C 21=120 种选法．故共有 345 种选法．故选：D ．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5 分）设 是单位向量，且，则• 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2C ．﹣1D ．1﹣【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】16：压轴题． 【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值． 【解答】解：∵、、 是单位向量，，∴， =．∴•=﹣（）•+ =0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos ≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与CC1 所成的角的余弦值为（）C．D．A．B．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB 与CC1 所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B 的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC 的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB 即为异面直线AB 与CC1 所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5 分）已知直线y=x+1 与曲线y=ln（x+a）相切，则a 的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5 分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为，Q 到α的距离为，则P、Q 两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l 于C，PB⊥β于B，PD⊥l 于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ 中将PQ 表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l 于C，PB⊥β 于B，PD⊥l 于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A 与点P 重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5 分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4 的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5 分）已知椭圆C：+y2=1 的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C 于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B 作BM⊥x 轴于M，设右准线l 与x 轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B 作BM⊥x 轴于M，n n n nn r +1 n 10 10 10 10 10 10并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N ，易知 FN=1．由题意，故 FM=，故 B 点的横坐标为，纵坐标为±即 BM=， 故 AN=1， ∴．故选：A ．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13．（5 分）（x ﹣y ）10 的展开式中，x 7y 3 的系数与 x 3y 7的系数之和等于 ﹣240 ．【考点】DA ：二项式定理． 【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a +b ）n =C 0a n b 0+C 1a n ﹣1b 1+C 2a n ﹣2b 2++C r a n ﹣ r b r ++C n a 0b n ，各项的通项公式为：T =C r a n ﹣r b r ．然后根据题目已知求解即可． 【解答】解：因为（x ﹣y ）10 的展开式中含 x 7y 3 的项为 C 3x 10﹣3y （3 含 x 3y 7 的项为 C 7x 10﹣7y 7（﹣1）7=﹣C 7x 3y 7． 由 C 3=C 7=120 知，x 7y 3 与 x 3y 7 的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．﹣1）3=﹣C 3x 7y 3， 【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a +b ）n =C n 0a n b 0+C n 1a n﹣1b1+C 2a n﹣2b2++C r a n﹣r b r++C n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．n n n14．（5 分）设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【分析】由s9 解得a5 即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n 项和公式和等差数列的性质．15．（5 分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC 中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5 分）若，则函数y=tan2xtan3x 的最大值为﹣8 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx 的函数，将tanx 看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）在△ABC 中，内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC 化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b 即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC 中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4 或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC 由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60°（I）证明：M 是侧棱SC 的中点；（II）求二面角S﹣AM﹣B 的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M 是侧棱SC 的中点，作MN∥SD 交CD 于N，作NE⊥AB 交AB 于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE 即可得x 的值，进而得到M 为侧棱SC 的中点；法二：分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S 点的坐标、C 点的坐标和M 点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D 为坐标原点，分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B 的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD 交CD 于N，作NE⊥AB 交AB 于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB 中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE 中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M 为侧棱SC 的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1 即M（0，1，1）所以M 是侧棱SC 的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M 是侧棱SC 的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB 的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B 的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2 局中，甲、乙各胜1 局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2 局中，甲、乙各胜1 局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i 表示事件：第i 局甲获胜，（i=3、4、5）B i 表示第j 局乙获胜，j=3、4（1）记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2 局中，甲、乙各胜1 局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52 P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12 分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n 项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．=b n+，由此能够推导出所求的通【分析】（1）由已知得=+，即b n+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n 项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣= ﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12 分）如图，已知抛物线E：y2=x 与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D 四个点．（I）求r 的取值范围；（II）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC、BD 的交点P 的坐标．【考点】IR ：两点间的距离公式；JF ：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去 y ，得到 x 的二次方程，根据抛物线E ：y 2=x 与圆 M ：（x ﹣4）2+y 2=r 2（r ＞0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出 r 的范围．（2）先设出四点 A ，B ，C ，D 的坐标再由（1）中的 x 二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点 P 的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线 E ：y 2=x 代入圆 M ：（x ﹣4）2+y 2=r 2（r ＞0）的方程，消去 y 2，整理得 x 2﹣7x +16﹣r 2=0（1）抛物线 E ：y 2=x 与圆 M ：（x ﹣4）2+y 2=r 2（r ＞0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根．（II ） 设四个交点的坐标分别为、 、 、 ．∴ 即 ．解这个方程组得，则直线AC、BD 的方程分别为y﹣= •（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P 的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P 的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12 分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx 有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2 是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c 表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0 有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c 满足的约束条件为（4 分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8 分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10 分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
2009年高考全国卷1数学试题答案(理数)
第一章第二节夏商西周的更替和制度1、建立：约公元前2070年，禹建立夏朝。
2、制度：夏启以“王位世袭制”代替了“禅让制”；国家机构初具规模，是我国第一个奴隶制的国家。
3、区域：今河南西部和山西南部；相传都城在阳城(今河南登封)。
4、灭亡：约公元前1600年，桀暴虐无道，商汤起兵打败夏桀。
二、商朝兴衰1、建立：商汤灭夏建立商朝，以亳(今河南郑州)为都城。
2、迁都：商朝中期，商王盘庚迁都殷，故商朝又称殷朝，是当时世界上的大国。
3、奴隶制：实行残酷的“人殉”和“人祭”。
4、衰亡：暴君商纣残酷统治，社会矛盾尖锐，周武王灭纣，商亡。
三、西周1、武王伐纣：公元前1046年，牧野之战，周武王打败商纣，商亡。
周朝建立，都城在镐京(今陕西西安)，史称西周。
2、制度（1）井田制：①是奴隶社会的国有土地制度，是奴隶社会的经济基础。
②规定：土地属于周王所有，周王将土地分赐给诸侯臣下，受田者只能世代享用，不得转让与买卖，并向周王交纳贡赋。
③奴隶在井田上集体劳动。
（2）分封制：①内容：周王将一定的土地和人民分封给王族、功臣和先代贵族，建立诸侯国；诸侯要服从周王，向周王贡献财物，随从作战。
②诸侯国：重要的诸侯国有齐、鲁、燕、卫、晋、宋等。
③它使周朝巩固了统治，扩大了疆域。
3、灭亡：（1）国人暴动：公元前841年，爆发“国人暴动”反抗周厉王的残酷剥削。
（2）公元前771年，犬戎族攻破镐京，西周灭亡；第二年，周平王迁都洛邑，史称东周。
作者：深冬之寒2007-2-13 21:24 回复此发言________________________________________2回复：【历史】高三中国古代史复习提纲第三节夏商西周的社会经济一、农业和畜牧业1、农作物：品种多，“五谷”在商周时期都已种植。
2、耕作技术：集体耕作；农具主要是木、石和骨器，少量使用青铜工具；已懂施肥。
3、畜牧业：占有重要地位，家畜多，除食用外还用于拉车和祭祀。
二、手工业1、青铜器：①主要手工部门，称为“青铜时代”，商周达到繁盛。
高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)附答案
高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数）选择题：不等式1.不等式()20x x -<的解集是()A.()0,2 B.()(),02,-∞⋃+∞ C.(),0-∞ D.()2,+∞2.已知实数a b c ，，满足a b c <<，且0ab <，那么下列各式中一定成立的是()A.a a b c > B.()0a c b -< C.22ac bc > D.()0ab b a ->3.不等式2601x x x +->+的解集为()A.{|21x x -<<-或3}x >B.{|31x x -<<-或2}x >C.{|3x x <-或12}x -<<D.{|3x x <-或2}x >4.已知函数()(1)f x x a x =+.设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A .若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,则实数a 的取值范围是() A.15,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.1513,00,22⎛⎫⎛⎫+⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.15,2⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭5.某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为()A.45元B.55元C.65元D.70元6.设实数,x y 满足约束条件10,10,3x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则32z x y =-的最小值为（）A ．8B ．1C ．2-D ．137.若,x y 满足约束条件11030x x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，2z x y a =++的最大值为1，则实数a =（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-8.设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值为()A.0B.1C.2D.39.已知x y ，满足约束条件20626x x y x y -⎧⎪+≤⎨⎪-⎩ ，则目标函数442y z x +=+的最大值为（）A ．6B ．5C ．2D ．1-10.已知变量,x y 满足约束条件2240240x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若222x y x k ++≥恒成立，则实数k 的最大值为（）A ．40B ．9C ．8D ．7211.若点(),x y 在不等式组2010220x y x y -≤-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩,表示的平面区域内运动,则t x y =-的取值范围是()A.[]2,1--B.[]2,1-C.[]1,2- D.[]1,212.若,x y R +∈，且1x y +=，则11x y +的取值范围是()A.(2,)+∞B.[2,)+∞C.(4,)+∞D.[4,)+∞13.设a b R ∈＋，，且1a b +=，则11a b +的最小值是()A ．4B ．C ．2D ．114.设,x y 为正数,则()14x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为()A.6 B.9 C.12 D.1515.如果正数,,,a b c d 满足4a b cd +==,那么()A.ab c d ≤+且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一B.ab c d ≥+且等号成立时,,,a b c d 的取值唯一C.ab c d ≤+且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一D.ab c d ≥+且等号成立时,,,a b c d 的取值不唯一答案以及解析1.答案：A解析：不等式(2)0x x -<对应方程的两个实数根是0和2，∴不等式的解集是(0,2).故选A2.答案：B解析：a b c << ，且0ab <，0,0a c ∴<>，b 与0的大小关系不确定．()220,,()0a c b ac bc ab b a -<<-<．∴只有B 正确，故选：B ．3.答案：B 解析：不等式()()22606101x x x x x x +->⇒+-+>+()()()2130x x x ⇒-++>,则相应方程的根为3-,1-,2,由穿针法可得原不等式的解为{|31x x -<<-或2}x >.4.答案：A解析：由题意可得0A ⊆,即()(0)0f a f <=,所以(1)0a a a +<,当0a >时无解,所以0a <,此时210a ->,所以10a -<<.函数()f x 的图象(图略)中两抛物线的对称轴12x a =,12x a=-之间的距离大于1,而[],x a x +的区间长度小于1,所以不等式()()f x a f x +<的解集是11,2222a a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,所以1111,,222222a a a a ⎡⎤⎛⎫-⊆--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,所以11,222{11,222a a a a -<--->即2210,{10,a a a a --<++>解得151522a +<<,又10a -<<,所以实数a的取值范围是1,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.5.答案：D解析：设在50元的基础上提高x 元，每月的月利润为y ,则y 与x 的函数关系式为2 50010) 504010(()4005000y x x x x =-+-=-++，其图象的对称轴为直线20x =，故每件商品的定价为70元时，月利润最高.6.答案：C 解析：由已知的约束条件得到可行域如图由目标函数变形为322z y x =-得到当图中()0,1A 时，z 的最小为022-=-7.答案：B 解析：根据题意，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．2z x y a =++可化为1222z a y x =-+-，作出直线12y x =-，平移该直线，当平移后的直线经过可行域内的点(1,2)A 时，z 取得最大值1，把1,2,1x y z ===代入2z x y a =++，得4a =-．8.答案：C解析：作出不等式组表示的平面区域,如图所示的阴影部分：由z x y =+可得y x z =-+,则z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距,截距越小,z 越小,由题意可得,331x y x y +=⎧⎨-=⎩解得31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,当y x z =-+经过点A 时,z 最小,由可得31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,此时2z x y =+=．9.答案：B解析：x y ，满足约束条件20626x x y x y -≥⎧⎪+<⎨⎪-⎩，表示的可行域如图：目标函数441422y y z x x ++==⨯++，目标函数的几何意义是可行域的点与()2,1--斜率的4倍，由题意可知：DA 的斜率最大．由26x x y =⎧⎨+=⎩，可得()2,4A ，则目标函数442y z x +=+的最大值为：444522⨯+=+．故选：B ．10.答案：D 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，设22222(1)1z x y x x y =++=++-表示可行域内点(,)P x y 与点(1,0)A -距离的平方减去1，由题知min z k ≤，过A 作直线20x y +-=的垂线，由图可知，垂足在线段BC 上，因为点A 到直线的20x y +-=的距离2=，所以2min 327()122z =-=，故选D.11.答案：C解析：命题人考查线性规划的有关知识.先根据约束条件2010220 xyx y-≤-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩画出可行域由20220xx y-=+-=⎧⎨⎩,得()2,0B由10220yx y-=+-=⎧⎨⎩,得()0,1A当直线t x y=-过点()0,1A时,t最小,t最小是1-当直线t x y=-过点()2,0B时,t最大,t最大是2则t x y=-的取值范围是[]1,2-故选C.12.答案：D解析：0x y>，，且1x y+=；∴1111222 x y x y y x y xx y x y x y x y+++=+=+++=+++；当y xx y=，即x y=时取“=”；∴11x y+的取值范围为[)4,+∞.故选D.13.答案：A解析：∵1a b+=∴1111()a ba b a b⎛⎫+=++⎪⎝⎭2b aa b=++224+=，故最小值为：4故选C.14.答案：B解析：()14455549x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥++= ⎪⎝⎭,当且仅当2y x =时等号成立,故最小值为9,选B.15.答案：A解析：,,,a b c d 是正数,有242a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,当等号成立时,2a b ==,2442c d cd c d +⎛⎫=≤⇒+≥ ⎪⎝⎭,当等号成立时,2c d ==.综上可知ab c d ≤+当等号成立时,2a b c d ====.故选A.。
2017年高考全国卷I卷(理数)试题及答案详细解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则( )A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是( ) A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为( ) A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( ) A ．A >1 000和n =n +1 B ．A >1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为( ) A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则( )A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
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2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B，则集合中的元素共有（A）（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个解：，故选A。
也可用摩根律：（2）已知=2+i,则复数z=（B ）（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i解：故选B。
(3) 不等式＜1的解集为（D ）（A）｛x (B)（C）(D)解：验x=-1即可。
(4)设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A）（B）2 （C）（D）解：设切点，则切线的斜率为 .由题意有又解得: .(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法(2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D（6）设、、是单位向量，且• ＝0，则的最小值为( D )（A）（B）（C）(D)解: 是单位向量故选D.（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）（A）（B）（C）(D)解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知 .故选D（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（A）（B）（C）(D)解: 函数的图像关于点中心对称由此易得 .故选A(9) 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2解:设切点，则,又.故答案选B（10）已知二面角为，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）(A) (B)2 (C) (D)4解:如图分别作，连，又当且仅当，即重合时取最小值。
故答案选C。
（11）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D )(A) 是偶函数(B) 是奇函数(C) (D) 是奇函数解: 与都是奇函数，，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数. ，，即是奇函数。
故选D12.已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=( A )(A). (B). 2 (C). (D). 3解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故 .又由椭圆的第二定义,得 .故选A第II卷二、填空题：13. 的展开式中，的系数与的系数之和等于。
解:14. 设等差数列的前项和为，若,则= 。
解: 是等差数列,由,得.15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若, ，则此球的表面积等于。
解:在中, ,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为 .16. 若，则函数的最大值为。
解:令,三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) ,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有: 化简并整理得： .又由已知 .解得 .解法二:由余弦定理得:.又, 。
所以…………………………………①又，，即由正弦定理得，故………………………②由①，②解得。
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，, ，点M在侧棱上，=60°（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的大小。
解法一：（I）作∥交于点E，则∥，平面SAD连接AE，则四边形ABME为直角梯形作，垂足为F，则AFME为矩形设，则，由解得即，从而所以为侧棱的中点（Ⅱ），又,所以为等边三角形，又由（Ⅰ）知M为SC中点，故取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则,由此知为二面角的平面角连接，在中，所以二面角的大小为解法二:以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz设，则（Ⅰ）设,则又故即解得，即所以M为侧棱SC的中点（II）由，得AM的中点又所以因此等于二面角的平面角所以二面角的大小为总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。
命题人在这里一定会照顾双方的利益。
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。
分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。
需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。
另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。
解：记表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5表示事件：第j局乙获胜，j=3,4（Ⅰ）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而由于各局比赛结果相互独立，故==0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（II）的可能取值为2，3由于各局比赛结果相互独立，所以===0.6×0.6+0.4×0.4=0.52=1.0.52=0.48的分布列为2 3P 0.52 0.48=2×0.52+3×0.48=2.48在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和解：（I）由已知得，且即从而……于是=又故所求的通项公式（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得=评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。
具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。
也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。
（I）求得取值范围；（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标分析：（I）这一问学生易下手。
将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可. 由此得解得又所以考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。
因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点。
设与的四个交点的坐标分别为：、、、。
则直线的方程分别为解得点P的坐标为设，由及（I）知由于四边形为等腰梯形，因而其面积则将代入上式，并令，得求导数令，解得（舍去）当时，；时，；时，故当且仅当时，有最大值，即四边形的面积最大，故所求的点P的坐标为22. 本小题满分12分。
（注意：在试题卷上作答无效）设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：解（I）依题意知，方程有两个根，等价于由此得b、c满足的约束条件为满足这些条件的点的区域为图中阴影部分，(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。
主要原因是含字母较多，不易找到突破口。
此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。
解：由题设知，故于是由于，而由（Ⅰ）知，故又由（Ⅰ）知所以。