方差分析和协方差分析,协变量和控制变量
第七章 协方差分析
§7 协方差分析
协方差分析的SPSS软件应用
yij e (xij x ) y i ij
§7 协方差分析
协方差分析的主要步骤
确定协变量（即未加以控制或难以控制的因素） 建立因变量Y随协变量X变化的线性回归关系 利用回归关系把协变量X化为相等后再进行各组Y 的修正均数间比较的假设检验
§7 协方差分析
协方差分析的主要步骤
确定协变量（即未加以控制或难以控制的因素） 计算变量x和y的自由度、平方和与乘积和
协方差分析的适用条件
各处理组样本来自正态总体 各样本是相互独立的随机样本 各处理组的总体方差相等 各组的回归系数相等且不为0
§7 协方差分析
协方差分析的数学模型（单因素为例） yij y i e (xij x ) ij
(i 1, 2, , k; j 1, 2, , n)
yij i (y ex ) e xij ij
有无差别的方法，其目的是把与结果变量（因变量）Y
呈直线关系的自变量X（协变量）化成相等后，检验两
个或多个修正均数间有无差别。
§7 协方差分析
协方差分析的意义
[例7-1 ]为研究镉作业工人暴露于烟尘的年数与肺活量 的关系，按暴露年数将工人分为两组，甲组暴露大于 或等于10年,乙组暴露小于10年，两组年龄未经控制， 问该两组暴露于镉作业的工人肺活量是否相同？
方差分析与协方差分析(基本功课)
• 模型表达式（单因素）
Y=μ+a+e
• 建立假设，确定检验水准
H0 : 1 2 k
H1 : k组总体均数不全相等。
0.05 ;0.01
教书育人
16
方差分析表
组间变异体现了因素A的效应，组内变异则被视作误
差。
来源 平方和 自由度 均方 F 值 P 值
组间 SSA 组内 SSE
k 1 MSA
教书育人
27
目的 – 消除连续变量对Y的影响，使方差分析的检验功效更高，结 果更可靠 • 连续变量可能会增大 Y 的组间差异，导致错误结论 • 连续变量可能会增大 Y 的组内变异，降低检验功效 – 消除分类变量的影响，使回归分析的结果更可靠
教书育人
28
协方差分析基本思想
20名男性篮球运动员和20名大学生的肺活量（cm3）比较
变异来源
lXX
lYY
lXY
总变异 组间变异 组内变异
N-1 k-1 N-k
X 2 C1
X j nj
2
C1
lXX 总－lXX 组间
Y 2 C2
Yj nj
2
C2
lYY 总－lYY 组间
XY C3
X j nj
Yj C3
lXY 总－lXY 组间
注： C1 X 2 N ；C2 Y 2 N ；C3 ( X Y) N
第6章：SPSS方差分析
2) 多因素方差分析的基本(jīběn)步骤
提出原假设：各控制变量(biànliàng)不同水平下观测变量 (biànliàng)各总体的均值无显著差异，控制变量(biànliàng)交 互作用对观测变量(biànliàng)无显著影响。 计算检验统计量和概率P值
给定显著性水平与p值做比较：如果p值小于显著性水平，则 应该拒绝原假设，反之就不能拒绝原假设。
例较大，则说明观测变量的变动主要是由于控制变量引起的， 可以主要由控制变量来解释，即控制变量给观测变量带来了显 著影响。
这里我们用F统计量来表示这种比例关系，如果控制变量的 不同水平对观测变量造成了显著影响，那么观测变量总变差中 控制变量所占的比例较大，则F值就比较大；反之，如果控制变 量的不同水平对观测变量没有造成显著影响，那么观测变量总 变差中控制变量所占的比例较小，则F值就比较小。
精品PPT
③其他检验 √先验对比检验
如果发现某些水平与另一些水平的均值差距显著，就可以进 一步比较这两组总的均值是否存在显著差异。在检验中，SPSS根 据用户确定的各均值的系数，再对其线性组合进行检验，来判断 各相似性子集间均值的差异程度。 √趋势检验
当控制变量为定序变量时，趋势检验能够分析随着控制变量 水平的变化，观测(guāncè)变量值变化的总体趋势是怎样的。
精品PPT
精品PPT
3.多因素(yīn sù)方差分析
方差分析和协方差分析协变量和控制变量
方差分析和协方差分析协变量和控制变量方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是用于比较两个或多个组之间差异的一种统计方法。它常用于实验设计中，特别是当研究者希望判断不同组别对其中一变量的均值是否存在显著差异时。方差分析的基本思想是通过分析组间变异和组内变异的差异性，来评估不同组别之间的差异是否超出了随机误差的范围。在执行方差分析时，我们需要计算组间平方和（Sums of Squares Between Groups, SSBG）和组内平方和（Sums of Squares Within Groups, SSWG），并以此计算F值来进行假设检验。
协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）则是在方差分析基础上引入了协变量（covariate）的一种分析方法。协变量是指与主要变量（研究变量）相关的、可能对变量之间关系产生影响的另一个变量。协方差分析旨在通过控制协变量的影响，更准确地评估主要变量对因变量的影响。具体而言，协方差分析会使用协变量与因变量的相关性来对因变量进行线性调整，将其影响减少到最低限度。这样可以消除协变量对因变量的干扰，使比较组之间的差异更为准确。
在研究设计中，协变量和控制变量是常用的两种概念，用于控制和修正分析过程中的干扰因素。在实验设计中，控制变量是指研究者通过依据主要变量的研究设计，将一些可能导致干扰的因素保持恒定。例如，在比较两种不同药物对疾病治疗效果时，研究者可以将患者的性别、年龄、体重等因素作为控制变量，确保不同组别之间的差异主要来自于药物本身的影响。而协变量则是在非实验研究中常用的，在测量研究变量之前，研究者会对协变量进行测量和记录，并在分析过程中加以控制。例如，研究人员可能关注不同年龄组中学生的学业成就，但同时也要控制其他因素，如
教育与心理统计学 第六章 方差分析六 多因素方差分析、事后检验、协方差分析、统计功效与效果量、重要
第六章方差分析(六)
第五节多因素方差分析
一、多因素方差分析的定义
多因素方差分析是用来研究两个及两个以上控制变量是否会对观测变量产生显著影响。多因素方差分析不仅能够分析多个因素对观测变量 的独立影响，更能够分析多个控制因素的交互作用是否对观测变量的分布产生显著影响，进而最终找到利于观测变量的最优组合。多因素 方差分析包括完全随机设出随机区组设计。
二、平均数差异检验、单因素方差分析、多因素方差分析比较
当需要比较两个以上平均数的差异时，要使用单因素方差分析，而不进行多次平均数差异检验，这样就可以降低统计误差。如果单次进行 平均数比较率，即显著性水平是a ,进行两两平均数比较的次数是N ,多次两两平均数差异的错误率：P N =l-(l-a)n o 同理多因素方差由于 同时进行两个因素以上的方差分析，亦能降低统计误差，同时，也能处理交互作用。
第六节事后检验(多个平均数之间的比较)
一、事后检验[事后多重比较]
事后检验的定义：方差分析所要检验的零假设是所有k 个处理的总体平均数没有显著性差异，相应的备择假设是k 个处理中至少有2个处 理的总体平均数之间存在显著差异。但方差分析不拒绝零假设时，表明至少有2个处理的总体平均数不等，若方差分析F 检验的结果表明 差异显著就必须对各实验处理组的多对平均数进一步分析，做深入比较，判断究竟哪一对或哪几对的差异显著，确定两变量关系的本质。 事后检验也被称作事后多重比较，在这也叫做多个平均数之间的比较。
事后检验的目的：当方差分析表明一个主效应显著时，它只能提供几个变量之间是否存在显著差异的结果，又因为多重t 检验会使得I 型 错误发生的概率大大增加[吃1-Q ：业L 因而我们只能采取事后检验。
方差分析及协方差分析
方差分析及协方差分析
方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变
量之间的关系和差异。本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。
一、方差分析（Analysis of Variance）
1.基本概念：
方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异
是否非随机的统计方法。它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显
著差异。
2.原理：
方差分析的原理基于对总体变异的分解。总体变异可以分解为组间变
异和组内变异。组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个
体之间的差异。方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断
组间差异是否显著。
3.适用场景：
方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。常见的应
用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生
成绩的影响等。
4.步骤：
方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。
二、协方差分析（Analysis of Covariance）
1.基本概念：
协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。2.原理：
协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。
3.适用场景：
协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。
第五章 方差分析(下)
MANOVA C1D1 C1D2 C2D1 C2D2 BY A(1,2)B(1,2) /WSFACTORS=C(2)D(2) /WSDESIGN=C /DESIGN= MWITHIN A(1) MWITHIN A(2).
程序演示
六、含协变量的实验设计与协方差分析
协变量方差分析是一种特殊的方差分析，它是将某些难以控 制但可测量的随机变量作为协变量，然后在方差分析过程中将其 对观测变量产生的影响从残差项中分离出来，以便能更有效地突 出自变量的作用。协变量多半是属于机体变量，而且是连续数值 型变量，比如知识水平、智力商数、身体条件等等。协方差分析 在功能上是对被试内变异进行分解，以减小残差项。 提请注意：协变 量必须是连续的 数字型变量！ 协方差分析还有一个假设前提，就是协变量与控制变量
72，65，69 84，72，76 109，100，110
B3
54，53，50 69，53，70 78，79，83
B4
59，63，62 96，83，90 110，95，98
辅 导 时 间
A1 A2 A3
61，49，52 77，61，70 90，86，82
4. 为研究生字密度与文章题材对阅读理解的影响，抽取20名被 试，并随机分成4组，每组5人。自变量均设置为两个水平，构 成四种实验条件，每组被试参加一种实验条件下的阅读理解测
程序运行演示
第七章 方差分析和协方差分析
第七章方差分析和协方差分析
（医学统计之星）
上次更新日期：
方差分析和协方差分析在S A S系统中由S A S/S T A模块来完成，其中我们常用的有A N O V A过程和G L M 过程。前者运算速度较快，但功能较为有限；后者运算速度较慢，但功能强大，我们做协方差分析时就要用到G L M过程。本章将首先介绍方差分析所用数据集的建立技巧，然后重点介绍这两个程序步。
其实，这里的速度快慢只是相对而言，SAS的处理速度是首屈一指的。举
个例子，这个暑假我做了一个有6600条记录的，7因素的，交叉设计的方差分析（是不是已经有人喊头痛了？），我先是用SPSS FOR WIN95 7.5来做，运行了大约10分钟才出结果。我又换用SAS FOR WIN95 6.12来做，结果用了――2.47秒！
§7.1 方差分析数据集的建立技巧
7.1方差分析的数据集格式
统计分析所用的数据格式和我们在分析整理资料时所用的格式是不同的。一般来说，数据集中应至少有一个结果变量，用于记录不同处理因素水平下观察值的大小；至少有一个处理因素变量，用于记录处理因素的类型及其水平数。以单因素方差分析为例，就应有一个结果变量和一个处理因素变量；而两因素的方差分析应有一个结果变量和两个处理因素变量。
例7.1某职业病防治院对31名石棉矿工中的石棉肺患者、可疑患者及非患者进行了用力肺活量测定，请给出数据集的结构（卫统p44例5.1）。
解：数据集中应有两个变量，x和g r o u p。x记录肺活量的大小；g r o u p取值为1、2或3，分别代表石棉肺患者、可疑患者及非患者。
协方差分析及协变量
协方差分析及协变量
协方差分析的核心是协方差。协方差是一种衡量两个变量共同变化程
度的统计量。如果两个变量的协方差为正值，表示它们呈正相关关系，即
当一个变量增加时，另一个变量也会增加；如果协方差为负值，则表示它
们呈负相关关系，即一个变量增加时，另一个变量会减少。而协方差为零，则表示它们之间没有线性关系。
协方差分析中的协变量是指将不感兴趣的变量作为控制变量，以消除
其对自变量和因变量之间关系的混杂影响。协变量可以是连续变量或分类
变量。在协方差分析中，协变量被视为对因变量的贡献可以被解释的部分，而与自变量之间的关系无关。
使用协方差分析时，我们可以得到一些重要的统计结果。首先，通过
协方差矩阵或相关系数矩阵，我们可以了解不同自变量之间的关系，从而
判断它们是否存在多重共线性问题。如果存在多重共线性，我们需要进行
进一步的处理，例如剔除高度相关的变量。其次，协方差分析还可以告诉
我们自变量是否对因变量产生显著影响，即是否存在显著差异。最后，协
方差分析还可以通过调整协变量来考察自变量和因变量之间的关系是否保
持不变，从而验证是否存在因果关系。
在实际应用中，协方差分析经常用于比较两个或多个群体在一些因变
量上的差异。例如，研究人员可能想要知道不同年龄组的人在一些健康指
标上的差异是否显著。他们可以使用协方差分析来控制其他一些可能影响
健康指标的因素，例如性别、体重等。通过这种方法，研究人员可以更加
准确地评估年龄对健康指标的影响。
除了比较群体差异外，协方差分析还可以用于分析自变量对因变量的影响大小。例如，研究人员可能想要知道学习时间对考试成绩的影响。他们可以使用协方差分析来控制其他一些可能影响考试成绩的变量，例如天赋、学习方法等。通过这种方法，研究人员可以得到学习时间对考试成绩的独立影响程度，从而准确评估学习时间对学生成绩的重要性。
统计学中的方差分析和协方差分析
统计学中的方差分析和协方差分析在统计学中，方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）和协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）是两种常用的数
据分析方法。它们被广泛应用于实验设计和数据分析中，旨在揭示变
量之间的关系以及影响因素的差异。本文将对方差分析和协方差分析
的定义、应用以及计算方法进行详细介绍。
一、方差分析的定义和应用
方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的统计方法。它的主要思想是通过比较组内变异和组间变异的大小，来判断不同组
之间是否存在显著差异。
在实验设计中，方差分析常用于以下情况：
1. 比较多个独立样本的均值是否存在差异，例如对不同教育水平下
学生成绩的分析；
2. 比较不同处理水平对观测变量的影响，例如对不同药物剂量对病
人恢复速度的影响；
3. 指导组间实验设计，例如确定实验设计中需要的样本容量。
方差分析的计算方法主要有单因素方差分析和多因素方差分析两种。其中单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况，而多因素方差分
析适用于有两个或以上自变量的情况。
二、协方差分析的定义和应用
协方差分析是一种结合了方差分析与线性回归分析的方法。它在比较组间均值差异的同时，又能控制一个或多个协变量的影响。协方差分析被广泛应用于实验设计和研究分析中，旨在消除相关因素对实验结果的干扰。
协方差分析常常用于以下情况：
1. 比较多个独立样本的均值，同时考虑一个或多个协变量的影响，例如对不同药物治疗组的疗效分析，同时考虑年龄和性别等协变量的影响；
ppt 第6章 方差分析
2、选择检验统计量
3、计算检验统计量观测值和概率p值 4、给出显著性水平，并做出决策
在利用SPSS迚行多因素方差分析时，应首
先将各个控制变量以及观测变量分别定义成 多个SPSS变量，并组织好数据后再迚行分 析。SPSS多因素方差分析的基本操作步骤 是： （1） 选择菜单分析→一般线性模型→单 变量，于是出现如图6-5所示的窗口。
36.5 34.1 37.2 35.6 38.0
28.1 29.9 32.2 31.5 30.1
32.4 33.0 36.2 35.5 35.1
非高峰期
30.6 27.9 32.4 31.8 27.3
27.6 24.3 22.0 25.4 21.7
31.8 28.0 26.7 29.3 25.6
选择菜单分析→一般线性模型→单变量， 于是出现如图6-5所示的窗口。 2 指定左侧“行车时间”到【因变量框】 中。 3 指定固定效应的控制变量“路段”“时 段”到【固定因子】框中 4 单击【模型】按钮，弹出【单变量模型】 框，将“路段”“时段” 两个因子选入模 型框中，在效应选项中，选择类型【主效 应】。如图6-6 ，分析结果如表6-8,所示
的结果，显著性P值为0.000<0.05,拒绝零假 设，认为推销形式对推销额有显著性影响。
多因素方差分析的基本思想 多因素方差分析用来研究两个及两个以上控制变量 是否对观测变量产生显著影响。这里，由于研究 多各因素对观测变量的影响，因此称为多因素方 差分析。多因素方差分析不仅能够分析多个因素 对观测变量的独立影响，更能够分析多个控制因 素的交互作用能否对观测变量的分布产生显著影 响，迚而最终找到利于观测变量的最优组合。
方差分析与协方差分析
方差分析与协方差分析
方差分析和协方差分析是统计学中两种常用的分析方法，它们可以
帮助我们理解数据之间的关系，揭示变量之间的差异以及彼此之间的
相关性。本文将对方差分析和协方差分析进行详细介绍和比较。
一、方差分析
方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种比较多个样本均值是否存在显著差异的统计方法。它通过计算变量间的方差来判
断均值之间的差异是否由随机误差所致。
方差分析通常适用于如下场景：有一个因变量（也称为响应变量），它是一个连续变量，而有一个或多个自变量（也称为因子变量），它
们是分类变量。我们希望通过比较不同分类下的均值来研究自变量对
因变量的影响。
方差分析的基本原理是将总的方差分解为两个部分：组内方差和组
间方差。组内方差代表了各组内部个体间的差异，而组间方差代表了
不同组别之间的差异。通过计算组间方差和组内方差的比值，我们可
以得到一个统计量F值，通过比较F值与临界值，可以判断各组均值
是否显著不同。
二、协方差分析
协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）是一种结合
了方差分析和回归分析的统计方法。它可以用于控制一个或多个影响
因素（协变量）后，对两个或多个组别之间的均值差异进行比较。
协方差分析一般适用于如下场景：除了一个因变量和一个或多个自变量之外，还存在一个或多个协变量，它们是连续变量。协方差分析通过对协变量的处理来消除其对因变量的影响，从而更准确地评估组别间的均值差异。
协方差分析的基本原理是在方差分析的基础上，添加一个或多个协变量变量，利用回归的方法建立一个线性模型，通过比较模型中的回归系数来判断组别间的均值差异是否显著。
方差分析与协方差分析
方差分析
方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。
方差分析的作用
一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。
经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。若要得到各组均数间更详细的信息，应在方差分析的基础上进行多个样本均数的两两比较。
方差分析的分类及举例
一、单因素方差分析
（一）单因素方差分析概念理解步骤
是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生
了显著影响。这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。
R语言学习系列28-协方差分析
23. 协方差分析
一、基本原理
1. 基本思想
在实际问题中,有些随机因素是很难人为控制的,但它们又会对结果产生显著影响.如果忽略这些因素的影响,则有可能得到不正确的结论.这种影响的变量称为协变量〔一般是连续变量〕.
例如,研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏.检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的,而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响,在考察的时候必须排除这种影响.
协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量,在分析中将其排除,然后再分析控制变量对于观察变量的影响,从而实现对控制变量效果的准确评价.
协方差分析要求协变量应是连续数值型,多个协变量间互相独立,且与控制变量之间没有交互影响.前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量,而协方差分析中既包含了定性变量〔控制变量〕,又包含了定量变量〔协变量〕.
协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析,是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法,其中的协变量一般是连续性变量,并假设协变量与因变量间存在线性关系,且这种线性关系在各组一致,即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行.
当有一个协变量时,称为一元协方差分析,当有两个或两个以上的
协变量时,称为多元协方差分析.
2. 协方差分析需要满足的条件
〔1〕自变量是分类变量,协变量是定距变量,因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差；
〔2〕协变量与因变量之间的关系是线性关系,可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设；协变量的回归系数〔即各回归线的斜率〕是相同的,且不等于0,即各组的回归线是非水平的平行线.否则,就有可能犯第一类错误,即错误地接受虚无假设；
第七篇 方差分析(stata统计分析与应用)
Page 4
STATA从入门到精通
■ Ttest的主要选项如下表7-1所示：
主要选项
描述
* by(groupvar) 通过定义组变量
unequal
非配对的数据含有不同变量
welch
使用Welch近似
level(#)
置信水平默认95%
■ 【例7.1】使用文件“减肥.dta”的数据来对样本ttest 命令的应用进
Page 9
STATA从入门到精通
■ Oneway命令的基本格式如下： ■ oneway response_var factor_var [ i f ] [ i n ] [weight] [ , options]
主要选项
bonferroni scheffe sidak tabulate [no]means [no]standard [no]freq [no]obs noanova nolabel wrap missing
■ ttest varname ==# [ i f ] [ i n Hale Waihona Puke Baidu [ , level(#)]
■ 命令格式2（通过样本的统计指标进行t 检验）：
■ t t e s t i #obs #mean #sd #val [ , level(#)]
■ 其中，#obs为样本容量，#mean为样本均值，#sd为标准差，#val为待检验数值，
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量
方差分析
方差分析(Analysis of Variance，简称 ANOVA)，又称“变异数分析〞或者“F 检验〞，是 R.A.Fisher 创造的，用于两个及两个以上样本均数差异的显著性检验。由于各
种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是
不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量
有显著影响的变量。
假定条件和假设检验
1. 方差分析的假定条件为：〔 1〕各处理条件下的样本是随机的。〔2〕各处理条件下的样本是相互独立的，否那末可能浮现无法解析的输出结果。
〔3〕各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否那末使用非参数分析。〔4〕各处理条件下的样本方差一样，即具有齐效性。 2. 方差分析的假设检
验假设有 K 个样本，如果原假设 H0 样本均数都一样， K 个样本有共同的方
差σ ，那末 K 个样本来自具有共同方差σ和一样均值的总体。如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，那末推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。否那末成认原假设，样本来自一样总体，处理间无差异。
作用
一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最正确水平等。方差分析是在可比拟的数组中，把数据间的总的“变差〞按各指定的变差来源发展分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的局部离差平方和，这是一个很重要的思想。经过方差分析假设拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均值不相等或者不全相等。假设要得到各组均值间更详细的信息，应在方差分析的根抵上发展多个样本均值的两两比拟。多个样本均值间两两
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量
方差分析
方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。
假定条件和假设检验?
1. 方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。
2. 方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。
作用
一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量，采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说
明多个样本总体均值不相等或不全相等。若要得到各组均值间更详细的信息，应在方差分析的基础上进行多个样本均值的两两比较。多个样本均值间两两比较多个样本均值间两两比较常用q检验的方法，即Newman-kueuls法，其基本步骤为：建立检验假设-->样本均值排序-->计算q值-->查q界值表判断结果。多个实验组与一个对照组均值间两两比较多个实验组与一个对照组均值间两两比较，若目的是减小第II类错误，最好选用最小显著差法（LSD 法）；若目的是减小第I类错误，最好选用新复极差法，前者查t界值表，后者查q'界值表。
基本思想
基本思想
通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
举例分析
下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想：如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11 健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？从以上资料可以看出，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用离均差平方和（SS）描述其围绕总均值的变异情况，则总变异有以下两个来源：组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等；组间变异，即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均值大小不等。而且：SS总=SS组间+SS组内 v总=v组间+v组内如果用均方（离差平方和除以自由度）代替离差平方和以消除各组样本数不同的影响，则方差分析就是用组间均方去除组内均方的商（即F值）与1相比较，若F值接近1，则说明各组均值间的差异没有统计学意义，若F值远大于1，则说明各组均值间的差异有统计学意义。实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表（方差分析用）获得。利用
统计学软件分析结果如下：data a;input type num @@;cards;
1 0.84 1 1.05 1 1.20 1 1.20 1 1.39 1 1.53 1 1.67 1 1.80 1 1.87 1 2.07 1
2.11 2 0.54 2 0.64 2 0.64 2 0.75 2 0.76 2 0.81 2 1.16 2 1.20 2 1.34 2 1.35 2 1.48 2 1.56 2 1.87;run;proc anova;class type; model num=type;means type;run;
自由
离差平方和均方 F 值P值
度
SS组间（处理因素）1 1.134181851.134181856.370.0193（有统计学意义）SS组内（抽样误差）22 3.917613990.17807336
总和23 5.05179583
分类及举例
单因素方差分析
（一）单因素方差分析概念理解步骤是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为：观测变量值得变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为：SST=SSA+SSE。单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（二）单因素方差分析原理总结容易理解：在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平方和所占比例小，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同水平没有给观测变量带来