4.3.2坐标平面内的图形的平移
坐标平面内图形的轴对称和平移-完整版课件
（8、-5）第四象限
思考题： • 将例题各个“顶点”中横坐标加2，“鱼”发生了什么变化，纵坐标 加2呢？ • 将例题各个“顶点”中横坐标乘2，“鱼”发生了什么变化，纵坐标 乘2呢？ • 将例题各个“顶点”中横、纵坐标都乘2，“鱼”发生了什么变化？ • 自己总结一下“鱼的变化”的规律
二、方法小结 1、作图 2、学习方法
小测验：
1、点B（-2，1）关于y轴对称的点的坐标是 ____， 关于原点对 称点的坐标是_____.
2、（点2（、m1，）-1）和点（2，n）关于x轴对称，则mn等于（( 2、)-1）
A.- 2 B.2 C.1
D.- 1
3、若点A（1-a，5），B（3 ，b）关于y轴对称，求（2a，-b）的坐 标，指出它在第几象限？
(-x ， y)
猜一猜，做一做
y
5 与原图形关于x轴对称
4
3 2 1 0 12345678 –1 –2
将所得图案的各个 顶点的横坐标保持 不变，纵坐标分别 乘-1，依次连接这 些点，你会得到怎 样的图案？观察坐 标系中的两条鱼的 位置关系？
关于x轴对称的图 x 形：各点的横坐
标保持不变，纵 坐标互为相反数
(x ， y)
(-x ， -y)
应用：
如图所示：
1、你能做出ABCD关于x轴对称
的图形吗？关于原点对称的图
呢？
2、图中那些图关于x轴对称，
关于y轴对称，和原点对称的
D3
D2
呢？
B3
C3
C2
B2
A3
A2
巩固提升：
1、已知点P(2a-3，4)，点A（－1，2b+2），
（1）如果点P与点A关于x轴对称，那么a+b=＿-＿2 ＿
直角坐标系中的形平移
直角坐标系中的形平移平移是指将图形沿着指定的方向和距离移动的操作。
在直角坐标系中，平移可以通过增加或减少图形的坐标值来实现。
本文将介绍直角坐标系中的形平移，并讨论与坐标变化相关的数学概念。
一、平移的定义和特点平移是指将一个图形在平面上沿着指定的方向和距离不改变其形状和大小地移动。
在直角坐标系中，平移可以通过改变图形的坐标值来实现。
平移的特点如下：1. 形状保持不变：平移不改变图形的形状，只是将图形整体移动到新的位置。
2. 大小保持不变：平移不改变图形的大小，只是改变图形的位置。
3. 方向和距离确定：平移的方向由指定的向量决定，平移的距离由向量的模长决定。
二、平移的数学表示在直角坐标系中，平移可以通过改变图形的坐标值来实现。
设图形的原始坐标为(x, y)，平移向量为(a, b)，则平移后图形的新坐标为(x + a, y + b)。
三、平移的示例为了更好地理解平移的概念，我们来看一个简单的示例。
假设有一个三角形，其顶点坐标分别为A(2, 3)，B(4, 5)，C(6, 3)，现在需要将这个三角形向右平移3个单位，向上平移2个单位。
根据平移的数学表示，我们可以计算得到新的顶点坐标为：A' = (2 + 3, 3 - 2) = (5, 1)B' = (4 + 3, 5 - 2) = (7, 3)C' = (6 + 3, 3 - 2) = (9, 1)通过计算可知，原始的三角形ABC经过平移变为新的三角形A'B'C'，其各顶点的坐标分别为A'(5, 1)，B'(7, 3)，C'(9, 1)。
可以看出，新的三角形与原始三角形相比，保持了相同的形状和大小，只是整体移动到了新的位置。
四、形平移与坐标变化形平移是指将图形沿着指定的方向和距离平移的操作。
在直角坐标系中，形平移可以通过修改图形的坐标值来实现。
形平移的步骤如下：1. 确定平移向量：根据平移的指定方向和距离，确定平移向量的值。
高中数学学习中的坐标系的平移与旋转技巧
高中数学学习中的坐标系的平移与旋转技巧高中数学学习过程中，我们经常会遇到坐标系的平移与旋转问题。
坐标系的平移和旋转是几何变换中的重要内容，掌握了平移和旋转的技巧，可以帮助我们更好地理解和解决与坐标系相关的数学问题。
下面，我将从平移和旋转的基本概念开始，介绍高中数学学习中的坐标系平移与旋转技巧。
首先，我们来了解一下坐标系的平移。
平移是指将坐标系内所有的点按照某个规律进行移动，使得原来的点到达新的位置，而形状保持不变。
平移的基本思想是通过向量的加法来表示移动的规律，其中向量的大小和方向表示了点的移动距离和方向。
在高中数学学习中，我们一般使用平移向量来描述平移的规律。
在解决平移问题时，我们可以利用以下几个技巧：1. 利用平移向量确定新的坐标点位置：对于给定的平移向量，我们可以通过计算原坐标点与平移向量的加法来确定新的坐标点位置。
例如，若平移向量为(a, b)，原坐标点为(x, y)，则新的坐标点位置为(x+a, y+b)。
2. 利用平移不变形质：平移后的图形与原图形之间具有一种特殊的关系，即形状保持不变。
这意味着平移后的图形与原图形拥有相等的边长、角度和面积。
我们可以利用这一性质来解决与图形的对称性、相似性等相关的问题。
3. 应用平移解决方程组问题：对于包含两个变量的方程组，我们可以利用平移将方程组进行转化，从而更容易求解。
例如，若方程组为{x+y=3, x-y=1}，我们可以通过平移操作将第二个方程转化为{x=-2}，然后代入第一个方程求解。
另外一个重要的技巧是旋转。
旋转是指将坐标系内的所有点按照某个规律进行转动，使得原来的点到达新的位置，同时保持形状不变。
旋转的基本思想是通过角度和旋转中心来确定旋转的规律。
在解决旋转问题时，我们可以利用以下几个技巧：1. 利用旋转角度确定新的坐标点位置：对于给定的旋转角度和旋转中心，我们可以通过计算原坐标点相对于旋转中心的位置以及旋转角度来确定新的坐标点位置。
例如，若旋转角度为θ，原坐标点为(x, y)，旋转中心为(a, b)，则新的坐标点位置为((x-a)*cosθ-(y-b)*sinθ+(x-a), (x-a)*sinθ+(y-b)*cosθ+(y-b))。
图形在坐标中的平移(基础)知识讲解
图形在坐标中的平移（基础）知识讲解【学习目标】1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图.【要点梳理】要点一、点在坐标中的平移在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．要点二、图形在坐标中的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、点在坐标中的平移1．写出下列各点平移后的点的坐标：（1）将A（-3，2）向右平移3个单位；（2）将B（1，-2）向左平移3个单位；（3）将C（4，7）向上平移2个单位；（4）将D（-1，2）向下平移1个单位．（5）将E（2，-3）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位．【思路点拨】根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标．【答案与解析】解：由题意可得：（1）平移后点的坐标为：（0，2）；（2）平移后点的坐标为：（-2，-2）；（3）平移后点的坐标为：（4，9）；（4）平移后点的坐标为：（-1，1）；（6）平移后点的坐标为：（3，-4）．【总结升华】本题考查了点的平移及平移特征，掌握平移中点的变化规律是关键．2．（荆门）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P′（-1，3），则点P 的坐标是．【思路点拨】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．【答案】（1，2）．【解析】新点P′的横坐标是-1，纵坐标是3，点P′向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到原来的点P，即点P的横坐标是-1+2=1，纵坐标为3-1=2．则点P的坐标是（1，2）．【总结升华】左右平移的单位数是平移后点的横坐标减去平移前对应点的横坐标，上下平移的单位数是平移后点的纵坐标减去对应平移前点的纵坐标．举一反三：【高清课堂：第二讲平面直角坐标系2 369935 练习4 】【变式1】已知：两点A（-4，2）、B（-2，-6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是．【答案】（1）(-3, -2)； (2)(1,2),(3,-6)； (3)(-4,-1),(-2,-9).【变式2】（2015•海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是．【答案】（0，﹣3）．解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．类型二、图形在坐标中的平移3.（2015春•邵阳县期末）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣3，1），B（1，3）．把线段AB平移后得到线段A′B′，A与A′对应，B与B′对应．若点A′的坐标是（﹣1，﹣1），则点B′的坐标为．【思路点拨】各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标减2，那么让点B的横坐标加2，纵坐标减2即为点B′的坐标．【答案】（3，1）．【解析】解：由A（﹣3，1）的对应点A′的坐标为（﹣1，﹣1 ），坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标减2，∴点B′的横坐标为1+2=3；纵坐标为3﹣2=1；即所求点B′的坐标为（3，1）．故答案为（3，1）．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．举一反三：【变式】按要求平移下面的图形．（1）将图形①先向右平移3个格，再向下平移5个格．（2）将图形②先向左平移2个格，再向上平移3个格．【答案】解：作图如下：4. 如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0，0)，B(6，0)，C(5，5)．(1)求△ABC的面积；(2)如果将△ABC向上平移1个单位长度，得△A1B1C1，再向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2，试求A2、B2、C2的坐标；(3)△A2B2C2与△ABC的大小、形状有什么关系．【思路点拨】 (1)已知AB＝6，故只要求得C到x轴距离即可．(2)在平面直角坐标系中，将图形向右(或左)平移a个单位长度，那么图形的点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可得对应点(x+a，y)或(x-a，y)，将图形向上(或向下)平移b个单位长度，可得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)．(3)可根据平移的性质进行分析和判断．【答案与解析】解：(1)点C到x轴的距离为5，所以11651522ABCS AB h==⨯⨯=△；(2)根据题意求出三角形A2B2C2各顶点的坐标为A2(2，1)，B2(8，1)，C2(7，6)；(3)连接A2B2C2三点可以看出△A2B2C2与△ABC的大小、形状相等或相同．【总结升华】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．举一反三：【变式】如图，三角形DEF经过平移后得到三角形ABC，则点D坐标为，点E的坐标为．【答案】D（2,2），E（3，-2）．。
平移的方法和步骤
平移的方法和步骤什么是平移？在几何学中，平移是指将一个图形沿着某个方向移动一定距离的操作。
平移不改变图形的大小、形状或方向，只是改变了图形的位置。
平移是一种基本的几何变换，它在日常生活中随处可见。
比如我们走路时身体的前进就是一种平移，将物体从一个地方搬到另一个地方也可以看作一种平移。
在数学中，我们可以通过坐标系来描述平移。
通过改变坐标系中每个点的坐标，实现整个图形的平移。
平移的方法在进行平移操作时，有多种方法可以选择。
下面我们将介绍几种常见的平移方法。
方法一：向量法向量法是最直观和常用的一种方法。
它利用向量的性质来描述平移操作。
对于二维空间中的点P(x, y)，如果要将点P沿着向量V(a, b)进行平移，那么新位置Q(x’, y’)可以通过以下公式计算得出：x' = x + ay' = y + b其中a表示向右（正方向）或者向左（负方向）平移的距离，b表示向上（正方向）或者向下（负方向）平移的距离。
方法二：矩阵法矩阵法是另一种常用的平移方法。
它利用矩阵的乘法来实现平移操作。
对于二维空间中的点P(x, y)，如果要将点P沿着向量V(a, b)进行平移，那么新位置Q(x’, y’)可以通过以下公式计算得出：| x' | | 1 0 a | | x || | = | | * | || y' | | 0 1 b | | y |其中矩阵[1, 0, a; 0, 1, b]表示平移矩阵。
方法三：复合变换法复合变换法是将多个基本变换结合起来进行平移操作。
假设我们要将图形沿着向量V(a, b)进行平移，可以先将图形绕原点旋转一个角度，再进行缩放或者错切等其他变换，最后再将图形沿着新坐标轴的方向进行平移。
这种方法可以通过连续应用多个变换来实现复杂的平移操作，并且可以灵活控制每个变换的顺序和参数。
平移的步骤无论采用哪种方法，进行平移操作都需要按照以下步骤进行：1.确定要进行平移的图形或对象。
坐标平移的知识点总结
坐标平移的知识点总结一、坐标平移的定义在数学中，我们通常使用笛卡尔坐标系来表示平面上的点，其中x轴和y轴分别是水平方向和垂直方向。
对于平面上的任意一点P(x,y)，我们可以将它的坐标表示为一个有序数对(x,y)，其中x表示点P在x轴上的投影距离，y表示点P在y轴上的投影距离。
坐标平移是指将平面上的所有点按照相同的向量进行移动，即将点P(x,y)平移至P'(x',y')，其中x' = x + a，y' = y + b，(a,b)为平移向量。
通过坐标平移，所有的点都将按照相同的方向和距离进行移动，从而改变它们的位置。
坐标平移可以通过向量的加法来实现，即将每个点的坐标向量加上平移向量，从而得到平移后的新坐标。
二、坐标平移的性质1. 平移不改变点之间的距离和方向。
即经过平移变换后的点之间的距离和方向关系不变。
2. 平移不改变点的相对位置关系。
即对于平面上的任意两个点A和B，它们之间的距离、倾斜角等关系在进行平移变换后不改变。
3. 平移是可逆的。
即对于任意一个点P(x,y)，经过平移变换得到P'(x',y')，那么可以通过反向平移变换将P'(x',y')还原为P(x,y)。
4. 平移满足向量加法的性质。
即平移变换可以通过向量的加法来表示，满足结合律、交换律、单位元等性质。
5. 平移不改变点的轨迹。
即平面上的曲线、图形经过平移变换后，它们的轨迹关系不改变。
三、坐标平移的表示方法1. 向量表示法在向量表示法中，我们可以用向量来表示平移变换。
即平移向量(a,b)可以表示为一个有向线段，它的起点为原点O(0,0)，终点为点T(a,b)。
这样，对于任意一个点P(x,y)，它的平移后的新坐标可以表示为P'(x',y') = P(x,y) + (a,b)。
2. 矩阵表示法在矩阵表示法中，我们可以用矩阵来表示平移变换。
图形的平移和旋转知识点总结
图形的平移和旋转【图形的平移】(1)平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．（3）简单的平移作图平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．例1．如图，△ABC 绕C 点旋转后，顶点A 的对应点为点D ，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕C 点旋转，A 点的对应点是D 点，那么旋转角就是∠ACD ，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB ′=ACD ，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB ′，就可确定B ′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD（2）以CB 为一边作∠BCE ，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE 上截取CB ′=CB 则B ′即为所求的B 的对应点． （4）连结DB ′则△DB ′C 就是△ABC 绕C 点旋转后的图形．例2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF 是△ADE 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF 的长度是多少？（4）如果连结EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE 的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是A 点． （2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的 ∴B 是D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE=14∴=4∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点∴AF=4（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形．【图形的旋转】（1）旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。
浙教版数学八年级上册4 第2课时 坐标平面内图形的平移课件
如图所示，各点的坐标分
别为A(－3，2)、C(－2，0)、
A1(3，4)、C1(4，2)；
(2) 求出以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面积.
(2)连接AA1,CC1,
S = S + S 四边形ACC1A1
ΔAA1C1
ΔAC1C
S ΔAA1C1
1 27 2
7
S ΔAC1C
A
∴S四边形ACC1A1 = SΔAA1C1 + SΔAC1C =14. B
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们： 和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。 对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春 风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
根据左图回答问题： 1.将点A(-2,-3)向右平移5个单位长度，
得到点A1( __3_ , _-_3_ );
2.将点A(-2,-3)向左平移 2个单位长度，得到点
A2(__-_4_ , __-_3__)；
3.将点A(-2,-3)向上平移4个单位长
度，得到点A3( -2 , 1 )；
4.将点A(-2,-3)向下平移2个单位长
图形的平移的概念
图形的平移的概念图形的平移是指将一个图形沿着一定的方向和距离同时移动，而保持其形状和大小不变的变换过程。
平移是二维几何变换中最基本和最常见的一种操作，也是构成其他几何变换的基础。
平移变换可以通过平行移动图形的所有点来实现。
平移变换不改变图形的大小、形状和方向，只改变图形的位置。
在平移变换后，图形的每一个点都沿着指定的方向和距离前进或后退。
平移变换通常用一个向量来描述，向量中的每个分量代表在x和y方向上的移动距离。
例如，向量(3, 2)表示将图形向右平移3个单位，向上平移2个单位。
如果向量的分量取负值，那么图形将朝相反的方向进行平移。
图形的平移可以使用以下步骤进行操作：1. 确定平移向量：确定图形在x和y方向上的移动距离。
2. 标记每个点的位置：在图形上的每个点上标记一个点，并记下其坐标。
3. 应用平移变换：将每个点的x坐标增加平移向量的x分量，将每个点的y坐标增加平移向量的y分量。
4. 重新绘制图形：将每个新点的坐标连接起来，形成一个新的图形。
平移变换有以下几个重要的特点：1. 平移变换是等距变换：它保持图形的大小和形状不变。
2. 平移变换是可逆的：对一个图形进行平移变换后，可以通过反向的平移变换将图形恢复到原来的位置。
3. 平移变换可以连续应用：多次平移变换可以依次进行，先进行一次平移后再进行下一次平移。
4. 平移变换可以与其他变换组合：平移变换可以与旋转、缩放等其他变换组合，形成复合变换。
平移变换在日常生活和工程设计中有广泛的应用。
例如，将家具沿着房间移动、将图片在屏幕上移动、平移相机以拍摄特定的景象等。
在计算机图形学中，平移变换是实现特效、动画和游戏中移动物体的基础。
总之，平移变换是指将一个图形沿着一定的方向和距离同时移动的几何变换。
它是等距变换，保持图形的大小和形状不变，可以通过向量描述，具有可逆性和可组合性，并在各个领域有着广泛的应用。
图形平移的方法与步骤图形平移与点的坐标变化之间的关系平移的两个要素
一、平移的要素是什么1.决定平移的基本要素是平移方向和平移距离。
平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
2.平移不改变图形的形状和大小。
图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。
它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。
它可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。
即是说，若是一个已知的向量，是空间中一点，平移。
二、平移的要点1.原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。
2.平移的方向。
（东南西北，上下左右，东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）3.平移的距离。
（长度，如7厘米，8毫米等）平移：1.把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离, 图形的这种移动,叫做平移。
2.平移后图形的位置改变,形状、大小不变。
三、在平面直角坐标系内：1.如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；2.如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
3.在平面直角坐标系内：如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
四、图形平移与点的坐标变化之间的关系：（1）左右平移：原图形上的点（x、y）,向右平移a个单位（x+a,y）;原图形上的点（x、y）,向左平移a个单位（xa,y）;（2）上、下平移：原图形上的点（x、y）,向上平移a个单位（x,y+b）;原图形上的点（x、y）,向下平移a个单位（x,yb）。
平移知识点总结
平移知识点总结一、平移的定义与基本概念平移是指在平面内，将一个图形按照指定方向和距离移动到另一个位置上，而不改变该图形的形状和大小。
平移可以由一个向量来表示，这个向量称为平移向量，它包括了平移的方向和距离。
二、平移的性质1. 平移不改变图形的形状和大小，仅仅是改变其位置。
2. 平移是向量运算，平移向量和图形上的点相加即可得到平移后的点坐标。
3. 平移是可逆的，即进行相反方向的平移即可回到原来位置。
4. 平移操作保持了图形的对称性，即对称图形的平移后仍然是对称图形。
三、平移的步骤1. 确定平移向量，包括方向和距离。
2. 将图形上的点与平移向量相加，得到平移后的点坐标。
3. 重绘平移后的图形。
四、平移的应用1. 平面几何中，平移常用于构造相似图形和证明几何定理。
2. 平移也常被用于计算机图形学、计算机游戏等领域，通过平移操作可以实现图形的移动效果。
3. 平移在日常生活中也有广泛应用，比如我们常见的公交车站牌、路标等都是通过平移来制作的。
五、平移与其他几何变换的区别1. 旋转：旋转是围绕某个中心点进行的，而平移是沿着指定方向和距离进行的。
2. 缩放：缩放是改变图形的大小，而平移不改变图形的大小，仅改变位置。
3. 翻转：翻转是将图形按照某个轴进行对称，而平移仅改变图形的位置。
六、平移的练习题与解答1. 将点A(-2, 5)进行平移，平移向量为(3, -4)。
平移后的点坐标为：A'(-2+3, 5-4) = A'(1, 1)。
2. 平移一个三角形ABC，平移向量为(-1, 2)。
平移后的三角形坐标为：A'(-1-1, 2+2)，B'(-1-1, 2+4)，C'(-1-3,2+2)。
七、总结平移是几何学中常用的一种变换方式，通过平移可以实现图形的移动而不改变其形状和大小。
掌握了平移的基本概念、性质和步骤，我们可以更好地理解和运用平移知识，应用于解题和实际问题中。
无论是在数学学习中，还是在日常生活中，平移都具有重要的应用价值。
坐标系中的平移知识点总结
坐标系中的平移知识点总结平移的概念在平面直角坐标系中，每一个点都有唯一的坐标表示。
当一个点(x, y)按照向量(a, b)进行平移时，它的新的坐标为(x+a, y+b)。
也就是说，点在横坐标方向上移动a个单位，在纵坐标方向上移动b个单位。
平移的性质1. 保持距离和形状不变：进行平移时，图形的任意两点之间的距离和图形的形状都不会发生变化。
2. 保持面积和方向不变：进行平移时，图形的面积和方向也都不会发生改变。
3. 在平移中，所有的点都按照相同的向量进行移动。
这也是平移的一个重要性质，它说明了在进行平移时，每一个点都会按照同样的距离和方向进行移动，不会有偏差。
平移的表示方法平移可以用向量表示。
如果一个图形按照向量(a, b)进行平移，那么这个平移向量可以用箭头表示，它的长度和方向分别代表移动的距离和方向。
平移的应用平移在现实生活中有很多应用，比如地图的移动、航空飞行中的飞机位置调整、工程建筑中的构图调整等等。
在数学教学中，平移也是非常重要的，它可以帮助学生更好地理解几何图形的位置关系和空间变化，从而更好地理解数学知识。
平移的描述在数学中，我们可以用数学语言和符号描述平移。
如果一个点(x, y)按照向量(a, b)进行平移，那么它的新坐标为(x+a, y+b)。
同时，我们也可以用平移矩阵来描述平移的过程，平移矩阵的形式如下：\[\begin{pmatrix}1 & 0 & a\\0 & 1 & b\end{pmatrix}\]其中，a和b分别代表横向和纵向的平移距离。
通过平移矩阵，我们可以更方便地进行坐标系中图形的平移操作。
平移的组合和逆运算当两次平移操作进行时，它们的结果仍然是一个平移变换，这两次平移操作的结果可以用一个平移向量的和来表示。
两次平移操作的和就是这两次平移向量的和，它代表了两次平移操作的综合结果。
平移的逆运算，就是将图形按照平移向量的相反方向进行移动，使得原来的位置恢复。
4.3坐标平面内图形的轴对称和平移教案
温州翔宇中学初中部八年级数学（上）教案（） 课题：4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移(1)一、学习目标：1、感受坐标平面内图形变换的坐标变换,了解关于坐标轴对称的两个点的坐标变换；2、会求与已知点关于坐标轴对称点的坐标；利用图形变换与坐标之间的关系来作图；3、进一步培养坐标意识与数形结合的数学思想。
教学重点：关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系。
教学难点：利用关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，在平面直角坐标系内作轴对称图形。
三、自主导学——相信自己一定行的！1、如图，在方格纸上任画点A，写出它的坐标；(1) 写出A点坐标；(2) 分别作出点A关于x轴，y轴的对称点，并写出它们的坐标。
(3) 比较点A与它关于x轴的对称点的坐标，点A关于y轴的对称点的坐标，你发现什么规律？(4) 请你再任取几点,作出它们关于x轴，y轴的对称点,验证你的发现.四、合作探究——相信团队力量是巨大的！发现与归纳:（1）在直角坐标系中，点（a,b）关于x轴的对称点的坐标为（a,-b），关于y轴的对称点的坐标为（-a,b）；（2）用文字表达规律：__________________________________________________________小练习:1、在直角坐标系中,已知点A(-1, 2),B(1, - 4),C(0, 1.5),则A点关于x轴的对称点的坐标是______,关于y轴的对称点的坐标是____________；点B关于y轴的对称点的坐标是___________,点C关于x轴的对称点的坐标是__________。
2、若点M（a，3）与N（-2，b）关于 x轴对称，则a=_____,b=_______。
3、若点P关于x轴对称点为P1 ，P1关于y轴对称点为P2 ，则P2的坐标为（-2，3），则点P的坐标为_______________。
五、交流展示——相信你我互动是有效的！交流展示一：(1)求出图形轮廓线上各转折点A,O,B,C,D,E,F的坐标；(2)利用坐标关系，求出它们关于y轴对称点的坐标。
4-3 -2 坐标平面内图形的轴对称和平移22-23学年浙教版八年级数学上册
2) ，
四边形ABDC的面积S 四边形ABDC ＝CO×AB=2×4=8
（2）（2）在y轴上是否存在一点P，使S△PAB=S四边形
ABDC．理由如下：
设点P到AB的距离为h，
S△PAB=×AB×h=2h，
由S△PAB=S四边形ABDC，得2h=8，
连接AC，BD．
(1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝
S四边形ABDC ，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存
在，试说明理由．
（1）依题意知，将点A，B分别向上平移2个单位，再向右
平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，故C、D两
作点A关于x轴、y轴
的对称点A1， A2
(-2, 3)
A1的坐标为____
(2, -3)
A2的坐标为____
y
A1
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-3
-4
(2,3)A
1 2 3
A2
4
x
4.3.2
坐标平面内图形的轴对称和平移
将点A(-3,3)、 B(4,5)分别作以下平移变换，
作出相应的点，并写出点的坐标。
（-2，-3）
平移6个单位后的坐标是______________．
解：将点P（-5，3）沿x轴的正方向即向右平移3个单位，
再沿y轴负方向即向下平移6个单位，得到点的坐标是（-
5+3，3-6）即为（-2，-3）．
故答案为：（-2，-3）．
如图所示，在△ABC中，△ABC中任意一点M（x0，y0）经平移后
坐标平面内图形的轴对称和平移
第21课 坐标平面内的图形的轴对称和平移学习目标1.感受坐标平面内图形变化相应的坐标变化.2.了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系.3.会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标.4.利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形.知识点01 坐标平面内图形的轴对称在直角坐标系中，点(a,b )关于x 轴的对称点的坐标为(a,-b ),关于y 轴的对称点的坐标为(-a,b).1. 关于x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数2.关于y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变知识点02 坐标平面内图形的平移平移：上加下减，右加左减考点01 坐标平面内图形的轴对称【典例1】已知点A （a +2b ，﹣2）和点B （﹣1，a +1）关于y 轴对称，那么a +b ＝ ﹣1 ．【思路点拨】关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得a ，b 的值．【解析】解：∵点A （a +2b ，﹣2）和点B （﹣1，a +1）关于y 轴对称，∴，解得，∴a +b ＝﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．【即学即练1】平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （3，4），C （3，﹣1）．（1）试在平面直角坐标系中，标出A 、B 、C 三点；（2）求△ABC 的面积．（3）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于x 轴对称，写出A 1、B 1、C 1的坐标．【思路点拨】（1）根据点A 、B 、C 的坐标及坐标的概念描点即可；（2）根据三角形的面积公式求解可得；（3）根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【解析】解：（1）如图所示，点A 、B 、C即为所求；能力拓展（2）△ABC的面积为：＝5；（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，则A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）．【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出对应点．考点02 坐标平面内图形的平移【典例2】用（﹣2，4）表示一只蚂蚁的位置，若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位，然后又竖直向下爬行2个单位，则此时这只蚂蚁的位置是（ ）A．（1，6）B．（﹣5，2）C．（1，2）D．（2，1）【思路点拨】根据平移规律解答即可．【解析】解：自点（﹣2，4）先水平向右爬行3个单位，然后又竖直向下爬行2个单位，此时这只蚂蚁的位置是（﹣2+3，4﹣2），即（1，2），故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．【即学即练2】三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示：（1）分别写出下列各点的坐标：A （1，3） ，A′ （﹣3，1） ；（2）若点P（x，y）是三角形ABC内部一点，则三角形A′B′C′内部的对应点P′的坐标 （x﹣4，y﹣2） ．（3）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？【思路点拨】（1）根据点的位置写出坐标即可；（2）利用平移变换的规律解决问题即可；（3）根据平移变换的性质解决问题．【解析】解：（1）A （1，3），A ′（﹣3，1）．故答案为：（1，3），（﹣3，1）；（2）∵△ABC 向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A ′B ′C ′，∴P （x ，y ）的对应点P ′（x ﹣4，y ﹣2），故答案为：（x ﹣4，y ﹣2）；（3）△ABC 向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A ′B ′C ′．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．题组A 基础过关练1．在平面直角坐标系中，点A （3，2）与点B （3，﹣2）的位置关系是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．没有对称关系【思路点拨】直接利用关于关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．【解析】解：∵点A （3，2）与点B （3，﹣2），横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点A （3，2）与点B （3，﹣2）的位置关系是关于x 轴对称．故选：A．分层提分【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．2．在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）A．（﹣6，3）B．（6，﹣3）C．（6，3）D．（﹣6，﹣3）【思路点拨】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．【解析】解：在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（6，3）．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．3．若点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于y轴对称，则a+b的值是（ ）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【思路点拨】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可得a＝﹣2，b＝﹣3，再代入计算即可．【解析】解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于y轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：C．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．4．若点M（2a，﹣1）与点N（4，﹣b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【思路点拨】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案．【解析】解：∵点M（2a，﹣1）与点N（4，﹣b）关于x轴对称，∴2a＝4，﹣b＝1，解得a＝2，b＝﹣1，则a+b＝2﹣1＝1．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握对称点坐标特点是解题关键．5．把点A（﹣2，1）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到B，点B的坐标是（ ）A．（﹣5，3）B．（1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣5，﹣1）【思路点拨】根据平移的基本性质，向上平移a，纵坐标加a，向右平移a，横坐标加a；【解析】解：∵A（﹣2，1）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到B，∴1+2＝3，﹣2﹣3＝﹣5；点B的坐标是（﹣5，3）．故选：A．【点睛】本题考查了平移的性质，①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y），①向左平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y），①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b），①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）．6．在平面直角坐标系中，若点P（a，﹣5）与点Q（4，3）所在直线PQ∥y轴，则a的值等于（ ）A．﹣5B．3C．﹣4D．4【思路点拨】根据直线PQ∥y轴，得到P，Q横坐标相等，即可求解．【解析】解：∵直线PQ∥y轴，∴P，Q横坐标相等，∴a＝4，故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，直线PQ∥y轴，得到P，Q横坐标相等是解题的关键．7．如图，将线段AB向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）A．（0，2）B．（1，2）C．（0，﹣1）D．（﹣1，﹣2）【思路点拨】利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点A′，B′即可．【解析】解：如图，观察图象可知点A′的坐标是（1，2），故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．8．在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，2m+3）．若点N（﹣3，2），且MN∥y轴．（1）m＝ ﹣2 ；（2）点M关于y轴对称的点的坐标为 （3，﹣3） ．【思路点拨】（1）根据MN∥y轴得出点M与点N的横坐标相等，建立等式可求出m的值，由此即可得；（2）根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．【解析】解：（1）∵点M（m﹣1，2m+3）．若点N（﹣3，2），且MN∥y轴，∴点M与点N的横坐标相等，即m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2；（2）由（1）可得点M的坐标为（﹣3，﹣1），所以点M关于y轴对称的点的坐标为（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键．9．△ABC的三个顶点坐标分别是A（a，5），B（7，b），C（4，9），将△ABC平移后得到△A1B1C1，其中A1（3，8），B1（6，3），则点C1的坐标是 （3，12） ．【思路点拨】由题意△ABC向上平移3个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，由此可得结论．【解析】解：由题意△ABC向上平移3个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，∴C1（3，12）．故答案为：（3，12）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．已知点A（a﹣3，a2﹣4），求分别满足下列条件的a的值及点A的坐标．（1）点A在x轴上；（2）已知点B（2，5），且AB∥x轴．【思路点拨】（1）根据x轴上的点的坐标特征可得a2﹣4＝0，求出a的值，进一步可得点A的坐标；（2）根据AB∥x轴，可得a2﹣4＝5，求出a的值，进一步可得点A的坐标．【解析】解：（1）∵点A在x轴上，∴a2﹣4＝0，解得a＝2或a＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）；（2）∵AB∥x轴，∴a2﹣4＝5，∴a＝3或a＝﹣3，∴点A坐标为（0，5）或（﹣6，5）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系内坐标轴上的点和平行于坐标轴的点的坐标特征是解题的关键．11．如图在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）（每个小正方形的边长均为1）．（1）若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为 （2，2） ．（2）将点B向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到点C，则点C的坐标为 （2，0） ．（3）请在图中表示出D、C两点，顺次连接ABCD，并求出A、B、C、D组成的四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（3）利用四边形ABCD所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．【解析】解：（1）如图所示：D（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图所示：C（2，0）；故答案为：（2，0）；（3）如图所示：四边形ABCD的面积为：4×5﹣×1×4﹣×5×2＝13．【点睛】此题主要考查了四边形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．题组B 能力提升练12．若点A（6，6），AB∥x轴，且AB＝2，则B点坐标为（ ）A．（4，6）B．（6，4）或（6，8）C．（8，6）D．（4，6）或（8，6）【思路点拨】根据AB∥x轴，得到点A，B的纵坐标相等，点B的纵坐标为6，根据AB＝2分两种情况求点B的坐标即可．【解析】解：∵AB∥x轴，∴点A，B的纵坐标相等，∴点B的纵坐标为6，∵AB＝2，∴当点B在点A左侧时，B（4，6）；当点B在点A右侧时，B（8，6）；故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，体现了分类讨论的思想，根据AB∥x轴，得到点A，B的纵坐标相等是解题的关键．13．在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，0），（0，3），将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是（2，﹣2），那么点B的对应点B′的坐标是（ ）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，2）D．（2，1）【思路点拨】利用平移变换的性质，画出图形可得结论．【解析】解：如图，观察图像可知，B′（1，1）．故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，正确画出图形解决问题．14．在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣1）向上平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称的点B'的坐标为（ ）A．（﹣3，2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）【思路点拨】首先根据纵坐标上移加，下移减可得B点坐标，然后再根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解析】解：将点A（2，﹣1）向上平移4个单位长度得到点B的坐标为（2，﹣1+4），即（2，3），则点B关于y轴的对称点B′的坐标是：（﹣2，3）．故选：D．【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．15．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（ ）A．a＞B．a＜C．a＜﹣1D．﹣1＜a＜【思路点拨】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出对应点坐标，再利用第二象限点的坐标特点进而得出答案．【解析】解：点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点为（a+1，﹣2a+3）在第二象限，故，解得a＜﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．16．在平面直角坐标系中有A（m，3），B（4，n）两点，若直线AB平行于y轴，且AB＝4，则m+n＝ 3或11 ．【思路点拨】先根据直线AB平行于y轴可得出m＝4，再由AB＝4可得出n的值．【解析】解：∵点A（m，3），B（4，n），直线AB平行于y轴，∴m＝4．∵AB＝4，∴|3﹣n|＝4，解得n＝﹣1或7．∴m+n＝4﹣1＝3，或4+7＝11故答案为：3或11．【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的横坐标相等是解答此题的关键．17．已知点M（3，﹣2）与点M'（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M'到y轴的距离等于4，那么点M'的坐标是 （4，﹣2）或（﹣4，﹣2） ．【思路点拨】由点M和M′在同一条平行于x轴的直线上，可得点M′的纵坐标；由“M′到y轴的距离等于4”可得，M′的横坐标为4或﹣4，即可确定M′的坐标．【解析】解：∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴M′的纵坐标y＝﹣2，∵“M′到y轴的距离等于4”，∴M′的横坐标为4或﹣4．所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故答案为：（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．【点睛】本题考查了点的坐标的确定，注意：由于没具体说出M′所在的象限，所以其坐标有两解，注意不要漏解．18．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于 0 ．【思路点拨】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．【解析】解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得（舍去），，∴4a+b＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1是解题的关键．题组C 培优拔尖练19．在平面直角坐标系中，将点A（m，n+2）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A'位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（ ）A．m＜0，n＞0B．m＜3，n＞﹣4C．m＜0，n＜﹣2D．m＜﹣3，n＜﹣4【思路点拨】根据第二象限点的特征，根据不等式组解决问题即可．【解析】解：平移后的坐标为（m﹣3，n+4），由题意，，解得，故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），则线段AB上任意一点的坐标可表示为（ ）A．（3，x）（﹣1≤x≤5）B．（x，3）（﹣1≤x≤5）C．（3，x）（﹣5≤x≤1）D．（x，3）（﹣5≤x≤1）【思路点拨】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．【解析】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，∴AB∥x轴，∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，平行于x轴的直线上的点纵坐标相等．22．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【思路点拨】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．【解析】解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，∴，解得，∴点M（m，n）即（﹣2，﹣1）在第三象限．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标特点，正确得出m，n的值是解题关键．23．在平面直角坐标系中，下列说法：①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab＝0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（ ）A．①④B．②③C．①③④D．①②④【思路点拨】①坐标轴上的点的特征是横坐标为0或纵坐标为0，由此可判断；②由m2≥0，可得点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上；③到点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则点P在四个象限内都有符合条件的点；④由题可知MN在直线y＝3上，由此可判断．【解析】解：①∵点A（a，b）在坐标轴上，∴a＝0或b＝0，∴ab＝0，故①符合题意；②∵m2≥0，∴点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上，故②不符合题意；③点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，∴P点坐标为（2，2）或（2，﹣2）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），∴P点共有4个，故③不正确；④∵点M（2，3），点N（﹣2，3），∴M、N两点在y＝3的直线上，∴MN∥x轴，故④符合题意；故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．25．如图，正△ABO的边长为4，O为坐标原点，A在x轴上，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，翻滚2022次后AB中点M坐标为 （8085，） ．【思路点拨】作出把△ABO经3次翻滚后的图形，作B3E⊥x轴于点E，由勾股定理可得B3E的长，从而可知点B3的纵坐标，再根据等边三角形的边长为4及等腰三角形的三线合一性质，可得OE的长，从而可知点B3的坐标；由图象可知翻滚的循环规律，从而可知翻滚2022次后AB中点M的坐标．【解析】解：如图所示，把△ABO经3次翻滚后，点B落到点B3处，点M经过点N、点H落到点M’处，点A落到点K处，作B3E⊥x轴于点E，则∠B3KE＝60°，B3K＝2，∴KE＝B3K＝2，B3E＝B3K＝2，∴OE＝3×4﹣2＝10，∴K（8，0），B3（10，2）．∴M′（9，）．由图象可知，翻滚三次为一个循环，∵2022＝3×674，∴翻滚2022次后AB 中点M 的纵坐标与点M ′的纵坐标相同，横坐标为2022×4﹣3＝8085，∴翻滚2022次后AB 中点M 的坐标为（8085，）．故答案为：（8085，）．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质等知识，找到旋转规律是解题的关键．26．如图①，在平面直角坐标系中，点A （a ，0），点B （b ，0），点C （0，2），且|a +2b |+＝0．（1）求点A ，B 的坐标；（2）将三角形ABC 平移，平移后点C 的对应点的坐标为（7，6），点B 的对应点为点D ，如图②．求三角形ACD 的面积；（3）P （m ，3）是一动点，若三角形PCO 的面积等于三角形AOC 的面积，求出点P 的坐标．【思路点拨】（1）由|a +2b |+＝0，根据非负数的性质可得出a 和b 的值，即可确定点A 和B 的坐标；（2）连接OD ，根据S 三角形ACD ＝S 三角形OCD +S 三角形OAD ﹣S 三角形AOC 计算即可求解；（3）根据三角形PCO 的面积等于三角形AOC 的面积，列出方程计算即可求解．【解析】解：（1）∵|a +2b |+＝0，∴，解得．故点A （4，0），点B （﹣2，0）；（2）∵将三角形ABC 平移，平移后点C （0，2）的对应点的坐标为（7，6），∴三角形ABC 是向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，∴三角形ABC 平移后点B （﹣2，0）的对应点D 的坐标为（5，4），连接OD ，∴S 三角形ACD ＝S 三角形OCD +S 三角形OAD ﹣S 三角形AOC＝×4×4+×2×5﹣×4×2＝9；（3）依题意有：×2|m|＝×4×2，解得m＝±4，故点P的坐标为（﹣4，3）或（4，3）．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，关键是能根据|a+2b|+＝0的非负性确定a和b的值，求出点A，B的坐标．27．在平面直角坐标系中，将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′．（1）如果点A，B，A′的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（1，﹣3），A′（2，3），直接写出点B′的坐标 （5，﹣1） ；（2）已知点A，B，A'，B'的坐标分别为A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），m 和n之间满足怎样的数量关系？说明理由；（3）已知点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），求点A，B的坐标．【思路点拨】（1）根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意列方程组，解方程组，即可得到结论．【解析】解：（1）∵A（﹣2，1）平移后得到点A′的坐标为（2，3），∴向上平移了2个单位，向右平移了4个单位，∴B（1，﹣3）的对应点B'的坐标为（1+4，﹣3+2），即（5，﹣1）．故答案为：（5，﹣1）；（2）m＝2n，理由：∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），∴3m﹣m＝6n﹣2n，∴m＝2n；（3）∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），∴2n﹣5﹣m＝2m+3﹣（n﹣1），2m+3﹣（n+1）＝（n+3）﹣（n﹣2），解得m＝6，n＝9，∴点A的坐标为（6，10），点B的坐标为（8，7）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键．28．我们约定：若点P的坐标为（x，y），则把坐标为（kx+y，x﹣ky）的点P k成为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：P2（2×3+4，3﹣2×4）即P2（10，﹣5）就是点P（3，4）的“2阶益点”．（1）已知点P3（﹣1，﹣7）是点P（x，y）的“3阶益点”，求点P的坐标；（2）已知点P2是点P（t+1，2t）的“2阶益点”，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；（3）已知点P（x，y）的“k阶益点”是P k（3，﹣2），若x＜y＜2x，求符合要求的点P的坐标．【思路点拨】（1）构建方程组求解即可；（2）构建不等式组解决问题即可；（3）根据不等式组，求出整数k，可得结论．【解析】解：（1）由题意，解得，，∴P（﹣1，2）；（2）由题意，，解得，t＞﹣；（3）由题意，，解得，，∵x＜y＜2x，∴＜＜，解得，＜k＜5，∵k是正整数，∴K＝2或3或4，∴或或，∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（，）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解一元一次方程，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决问题．。
数学图形平移的知识点总结
数学图形平移的知识点总结数学图形平移是几何学中的一个重要概念，它是指将一个图形在平面上沿着某个方向和距离进行移动的操作。
平移操作可以改变图形的位置，但不改变其形状和大小。
平移是几何变换中最基础的一种，也是很多高级几何变换的基础。
在平移操作中，我们需要了解一些概念以及相关的性质和定理。
一、平移的定义和性质1. 平移的定义平移是指把一个图形完全移动到另外一个位置，使得每一个点都保持原位置和原来的距禈。
可以用向量来描述平移的过程，如果有一个向量（a，b），平移后的点P（x，y）的坐标为P’（x+a，y+b）。
2. 平移的性质① 平移不改变图形的形状和大小，只改变其位置；② 平移操作是可以叠加的，即若图形A经过平移得到了图形B，若再对图形B进行一次平移，则得到的图形和直接对图形A进行平移后得到的图形是一样的；③ 平移和原图形的面积、周长、角度等性质都是一样的；④ 平移是一个刚性变换，它保持了图形的相对位置和相似关系。
二、平移的表示方法1. 向量表示法平移可以用向量来表示。
给定向量AB（a，b），将点P（x，y）平移到点P’（x+a，y+b）。
2. 坐标表示法平移也可以用坐标表示法来描述。
对于平面上的一个图形，如果将每一个顶点（x，y）移动到（x+a，y+b），那么这就是图形的平移。
三、图形的平移与原图形的关系1. 图形的位置关系在平移中，我们需要了解图形和它的平移图形之间的位置关系。
平移后的图形和原图形相对位置并没有改变，只是位置发生了平移。
2. 平移图形的坐标平移图形的坐标可以通过原图形的坐标和平移向量来计算。
如果有一个向量（a，b），平移后的点P（x，y）的坐标为P’（x+a，y+b）。
3. 平移图形的面积、周长等平移不改变图形的形状和大小，平移后的图形和原图形具有相同的面积、周长和角度等性质。
四、平移的实际应用平移是几何变换中最基础的一种，也是很多高级几何变换的基础。
它在实际生活中有许多应用，比如地图上的标注、建筑设计、计算机图形学等方面。
平移的方法
平移的方法在数学和几何学中，平移是一种基本的几何变换，它是指将图形沿着一定的方向和距离移动，而不改变其形状和大小。
平移是一种非常重要的几何变换方法，它在图形的移动、坐标系的变换等方面都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍平移的方法及其相关知识。
首先，我们来了解一下平移的基本概念。
平移是指将一个点或者图形沿着一定的方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
在平移中，所有的点都按照相同的方向和距离进行移动，这样就可以得到一个新的图形。
在平面直角坐标系中，平移可以用向量来表示，即将图形上的每一个点都按照相同的向量进行平移。
接下来，我们将介绍平移的方法。
平移的方法主要包括两个步骤，确定平移向量和进行平移操作。
首先，确定平移向量。
平移向量是指平移的方向和距离，可以用一个有序数对来表示。
假设平移向量为(a, b)，则表示平移的水平方向为a，垂直方向为b。
其次，进行平移操作。
对于平面上的每一个点(x, y)，进行平移操作后的新坐标为(x+a, y+b)。
这样就完成了平移操作，得到了一个新的图形。
在实际应用中，平移的方法有着广泛的应用。
在计算机图形学中，平移被广泛应用于图形的移动和变换。
在几何学中，平移可以用来证明图形的对称性和相似性。
在工程技术中，平移可以用来进行坐标系的变换和图形的定位。
总之，平移的方法在各个领域都有着重要的作用。
除了上述的基本方法外，还有一些特殊情况下的平移方法。
例如，在平移过程中，如果图形与坐标轴平行，那么可以直接通过坐标的加减来进行平移操作。
另外，对于复杂的图形，可以先将其分解为简单的几何图形，然后分别进行平移操作，最后再将它们组合起来，完成整个图形的平移。
在实际操作中，我们还需要注意一些问题。
首先，平移向量的选择要准确，要根据实际情况来确定平移的方向和距离。
其次，进行平移操作时，要保持图形的形状和大小不变，确保平移的准确性。
最后，要注意坐标系的变换，确保平移后的图形能够正确地显示在新的坐标系中。
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1快速说出各点 的坐标。
y
.5
描述线段AB上任意一点 的坐标
4 G (0,4)
.3 B (-3,2) 2
. 描述线段PF上任意一 点的坐标 A (2,2)
. .. P (-2,0)1 O (0,0)
-4 -3 -2 -1 0 1 2
3
.E (5,0)
45
X-1 D (0,-1) Nhomakorabea. -2
F (-2,-3)-3
.C(4,-3)
-4
y
描述射线AB上任意一 5 点的坐标
4
B
3
2
1 O
-4 -3 -2 -1 0 1 -1
-2 -3
-4
A
23
描述直线CD上 任意一点的坐 D标
C
45
X
阅读例3，思考下列问题
❖ 1。若把一个点向右平移3个单位，它的坐标 会发生什么变化？向上平移2个单位呢？向左 和向下平移呢？
❖ 2.给你两个点的坐标，你能发现他们之间是 怎么平移的吗？比如从A（2,1）到B（-1,6） 是怎样平移 的，你是怎么得到这个平移过程 的？
请你平移线段a,b,c中的两条，是三条线段组成一个三 角形，并说出平移的方法，以及三角形的三个顶点的 坐标。
y
b
c
5
4
3
a
2
1
O
-4
-3
-2
-1
0 -1
12345
X
-2 -3
4y
游乐场 3
蜡像馆
2 1 音乐喷泉
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1
蝴蝶园
-2
-3
3 45x
绣湖
在由游乐场，蜡像馆，音乐喷泉围成的三角形中有 一点P（a,b),现把这个三角形平移，使游乐场移到 绣湖的位置，请问点P的坐标是多少？
2、对于平移，先学习例3，然后归纳总结坐标数据和平移的过程， 两者之间有何联系，最后练习巩固。
阅读P131例2回答下列问题：
1.线段CD上的所有点的坐标中，横坐标都相等 吗?纵坐标呢？
2.在表示线段CD的同时，为什么要注明 (-1≤y ≤3) 3. 表示平行于x轴和y轴的线段上的任意点的坐
标，有什么不同？
拓展提高
y
5
4
·（4，4）
3
2
·（3，2）
1
· -4
-3
-2
-1
O
-1
12345
X
-2
·（3，-2）
-3
在一次“寻宝”游戏-4中，寻宝人已经找到了坐标为 （3，2）和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝
地点的坐标为（4，4），除此之外不知道其他信息，
如何确定直角坐标系找到“宝藏”？请跟同伴交流。
前面已经学习了坐标系以及平移的有关内容。现在要把两者合 起来，进行数据化的描述，对于学生来说，不是很困难。倒是关于 线段，直线，射线的描述，要结合不等式，在理解方面，对于部分 同学来说还有一定的难度。
五、教学设计：
1、让学生先看课本学习领悟关于坐标系下如何描述线段上任意 点的坐标，然后给出类似问题进行检验是否掌握。最后在此基础上 扩展描述射线和直线。
一、教学目标：
1、学会坐标系中线段上任意点（直线，射线）的坐标描述。
2、了解平移与坐标的关系。并根据坐标的数值之间的关系描述平移
的过程。
3、会根据平移 的过程做出相应的图像。
二、教学重点：
平移的描述和作图。
三、教学难点：
1，关于线段，射线，直线上任意点坐标的描述。2，描述平移的过程。
四、学情分析：