专题：函数与方程(章节练习)

合集下载

基本初等函数、函数与方程专项练习-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)

冲刺2023年高考二轮基本初等函数、函数与方程（原卷+答案）1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2－x －14，x ≤1log a x －1，x >1，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 3．若不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( )A ．116 ≤a <1B ．116 <a <1 C ．0<a ≤116 D ．0<a <1164．若函数f (x )＝x ＋ax －1在(0，2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，145．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的15 ，则信息传递速度C 大约增加了( )(参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213%6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0，－x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(4，8)C ．(0，8)D ．(0，＋∞)7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 8.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h )的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12， (如图所示)实验表明，当药物释放量y <0.75(mg/m 3)时对人体无害．(1)k ＝________；(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋2，x ≤0x －3＋e x，x >0 的零点个数为________. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≤1log 2x ，x >1 ，若1<f (a )≤2，则实数a 的取值范围为________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －2－102－x ，x ≤2||x －3－1，x >2，则不等式f (x )＋f (x －1)<0的解集为________．12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 恰有两个零点，则实数c 的取值范围是________．13.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，且f (1)＝3，则f (x )>x 2＋2的解集是( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(0，1)14．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，0≤x ≤12sin π2x －1，1<x ≤2，若关于x 的方程m ln ||x ＝f (x )至少有8个实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1ln 5B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1ln 6，1ln 5 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1ln 5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，1ln 5参考答案1．解析：函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的定义域为（－1，4）. 要求函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间，只需求y ＝4＋3x －x 2的增区间，只需x <32 . 所以－1<x <32 .所以函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 .故选C.答案：C2．解析：当函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调递减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <112a ≥1a －54≥－1，解得14 ≤a ≤12 ，因为a >0且a ≠1，所以当x ≤1时，f （x ）不可能是增函数，所以函数f （x ）在R 上不可能是增函数，综上：实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 ，故选B.答案：B3．解析：当a >1时，由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 ，可得log a x <0，则－log a x >0，又由x 2>0，此时不等式x 2－log a x <0不成立，不合题意；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递减，此时函数y ＝－log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递增，又由y ＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递增，要使得不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 内恒成立，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2－log a 12 ≤0，解得116 ≤a <1.故选A.答案：A4．解析：函数f （x ）＝x ＋ax －1在（0，2）上有两个不同的零点等价于方程x ＋ax －1＝0在（0，2）上有两个不同的解，即a ＝－x 2＋x 在（0，2）上有两个不同的解．此问题等价于y ＝a 与y ＝－x 2＋x （0<x <2）有两个不同的交点．由下图可得0<a <14 .故选D. 答案：D5．解析：提升前的信息传递速度C ＝W log 2S N ＝W log 21 000＝3W log 210＝3Wlg 2≈10W ，提升后的信息传递速度C ′＝2W log 210S 15N ＝2W log 250SN ＝2W log 250 000＝2W ·4＋lg 5lg 2 ＝2W ·5－lg 2lg 2 ≈94W 3 ，所以信息传递速度C 大约增加了C ′－CC ＝943W －10W 10W ≈2.13＝213%.故选D.答案：D6．解析：函数g （x ）有四个不同的零点等价于函数f （x ）的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点．画出f （x ）的大致图象，如图所示．由图可知m ∈（4，8）.不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，则－4<x 1<－2<x 2<0，且x 1＋x 2＝－4.所以x 2＝－x 1－4，所以x 1x 2＝x 1（－x 1－4）＝－（x 1＋2）2＋4∈（0，4），则0<x 3<1<x 4，因为||log 2x 3 ＝||log 2x 4 ，所以－log 2x 3＝log 2x 4，所以log 2x －13 ＝log 2x 4，所以x 3·x 4＝1，所以x 1·x 2·x 3·x 4＝x 1·x 2∈（0，4）.故选A. 答案：A7．解析：由f （x ＋2）＝f （－x ）可得f （x ）关于x ＝1对称，由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ）＝－f （x ）＝－[－f （x －2）]＝f （x －2），所以f （x ）的周期为4,求函数y ＝f （x ）－x 3的零点问题即y ＝f （x ）－x 3＝0的解，即函数y ＝f （x ）和y ＝x 3的图象交点问题，根据f （x ）的性质可得如图所示图形，结合y ＝x 3的图象，由图象可得共有3个交点，故共有3个零点，故选B. 答案：B8．解析：（1）由题图可知，当t ＝12 时，y ＝1，所以2k ＝1，所以k ＝2. （2）由（1）可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0<t <12，12t ，t ≥12，当t ≥12 时，y ＝12t ，令y <0.75，得t >23 ，所以在消毒后至少经过23 小时，即40分钟人方可进入房间．答案：（1）2 （2）409．解析：当x ≤0时，令x 3＋2＝0，解得x ＝3－2 ，3－2 <0，此时有1个零点；当x >0时， f （x ）＝x －3＋e x ，显然f （x ）单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝－52 ＋e 12 <0，f （1）＝－2＋e>0，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点．答案：210．解析：若a ≤1，则f （a ）＝4a －1，故1<4a －1≤2，解得12 <a ≤log 43，故12 <a ≤log 43；若a >1，则f （a ）＝log 2a ，故1<log 2a ≤2，解得2<a ≤4；综上：12 <a ≤log 43或2<a ≤4. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，log 43 ∪（2，4]11．解析：①当x ≤2时，x －1≤1，∵f （x ）＝10x －2－102－x 在（－∞，2]上单调递增，∴f （x ）≤f （2）＝0，又f （x －1）≤f （1）<f （2）＝0， ∴f （x ）＋f （x －1）<0恒成立；②当2<x ≤3时，1<x －1≤2，f （x ）＝||x －3 －1＝2－x <0，又f （x －1）≤f （2）＝0，∴f （x ）＋f （x －1）<0恒成立；③当3<x ≤4时，2<x －1≤3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝3－x ；∴f （x ）＋f （x －1）＝－1<0恒成立；④当x >4时，x －1>3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝x －5，∴f （x ）＋f （x －1）＝2x －9<0，解得x <92 ，∴4<x <92 ；综上所述：不等式f （x ）＋f （x －1）<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92 .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92 12．解析：因为a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.，所以f （x ）＝（x 2－2）⊗（x －1）＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1或x >2 ，由图可知，当－2<c ≤－1或1<c ≤2时，函数f （x ）与y ＝c 的图象有两个公共点，∴c 的取值范围是（－2，－1]∪（1，2]. 答案：（－2，－1]∪（1，2] 13．解析：令g （x ）＝f （x ）－x 2，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以f （－x ）＝f （x ），则g （－x ）＝f （－x ）－（－x ）2＝g （x ），所以函数g （x ）也是偶函数， g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ，因为当x ≥0时，f ′（x ）－2x >0，所以当x ≥0时，g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ≥0，所以函数g （x ）在（0，＋∞）上递增，不等式f （x ）>x 2＋2即为不等式g （x ）>2，由f （1）＝3，得g （1）＝2，所以g （x ）>g （1），所以||x >1，解得x >1或x <－1，所以f （x ）>x 2＋2的解集是（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 故选B. 答案：B14．解析：因为f （2－x ）＝f （2＋x ），且f （x ）为偶函数，所以f （x －2）＝f （x ＋2），即f （x ）＝f （x ＋4），所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数，作出y＝f（x），y＝m ln x在同一坐标系的图象，如图，因为方程m ln ||x＝f（x）至少有8个实数解，所以y＝f（x），y＝m ln |x|图象至少有8个交点，根据y＝f（x），y＝m ln |x|的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，由图可知，当m>0时，只需m ln 5≤1，即0<m≤1ln 5，当m<0时，只需m ln 6≥－1，即－1ln 6≤m<0，当m＝0时，由图可知显然成立，综上可知，－1ln 6≤m≤1ln 5.故选B.答案：B。

高一数学必修一专项练习：函数、方程与恒成立、存在性问题(江苏)

函数与方程与恒成立、存在性问题练习1当1(,3)||13a x log x ∈<时，恒成立，则实数a 的范围是____ 2.已知2sin cos 0a x x +->，x R ∈恒成立，则a 的范围为3.若关于x 的不等式ax x ≥++-21恒成立，试求a 的范围为4.方程x(x -1)=a 有四个不相等的实数解求实数a 的范围为5.如果方程cos 2x －sinx ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围为6.sinx=lgx 的实数解的个数为7.已知函数2xy a =+有零点，则实数a 的取值范围为 8.已知关于x 的方程()2log 20,1a x a a -=>≠有两解，则实数a 的范围为9．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（k ，k+1）内则k 的值为10.已知函数f x =x 2−1,g x =a x −1 .(1)若关于x 的方程 f(x) =g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围；（a<0） (2)若x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围。

(a ≤−2)11. 已知函数a x ax x f 21)(2++-=（a 是常数且R a ∈）（1）若函数)(x f 的一个零点是1，求a 的值；（2）求)(x f 在][2,1上的最小值)(a g ；（3）记{}0)(<∈=x f R x A 若φ=A ，求实数a 的取值范围.解(1) 由题意知32022)1(=∴=+-=a a a f …………………2分（2）][2,1,12)(2∈-+-=x a x ax x fⅰ 当0=a 时3)2()(-==f a g ………………3分ⅱ 当 0<a 时，对称轴为021<=ax 36)2()(-==a f a gⅲ 当0a >时抛物线开口向下，对称轴为12x a= 若112a< 即12a >时，()(1)32g a f a ==-若1122a ≤≤即1142a ≤≤时，11()()2124g a f a a a ==--若122a>即104a <<时，()(2)63g a f a ==- ………………7分综上所述： 163,4111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩……………… 8分（3）由题意知：不等式0)(<x f 无解即 0212≥++-a x ax 恒成立即212++≥x x a 对任意R x ∈恒成立令1+=x t 则)(322t g t t ta =+-≥对任意R t ∈恒成立 ………………12分ⅰ 当0=t 时0)0(=g ……………… 13分 ⅱ 当0>t时 413)3()(max +==g t g （要具体展开计算） ⅲ 当0<t 时413)3()(min -=-=g t g （要具体展开计算）max )(t g a ≥∴ 即413+≥a ………………16分。

专题12 函数与方程(解析版)

2023高考一轮复习讲与练12 函数与方程练高考明方向1.（2022·新高考Ⅰ卷T10）（多选题）已知函数3()1f x x x =-+，则（） A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得x <<，所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =+>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x 在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误. 2.（2022·全国乙（文）T20）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．（1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）1- （2）()0,+∞ 【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x-'=-=，当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-；【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=，当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意；当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递减；又()110f a =-<，当x 趋近正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x -'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=，所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x ，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0fx，()f x 单调递减；此时()110f a =->，又()1111ln n n n f a n a a aa -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当n 趋近正无穷大时，1n f a⎛⎫⎪⎝⎭趋近负无穷，所以()f x在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,+∞.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.3.（2022·全国乙（理）T21）已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1（当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2（若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）2y x = （2）(,1)-∞- 【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex xf x x f =++=,所以切点为(0,0)，11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =。

2024年新高考版数学专题1_3.5 函数与方程及函数的综合应用(分层集训)

A.2
B.3
答案 B
C.4
D.5
)
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点
时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 (
A.1
B.-1
答案 C
C.0.25
D.0.75
)
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则
实数a的取值范围是 (
A.(-e2,0)
C.(1,e)
答案 A
B.(-e2,1)
D.(1,e2)
)
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (
A.A型
答案 D
B.B型
C.C型
D.D型
)
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行
病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=
1 e
K
0.23( t 53)
,其中K为最大确诊病例数.
当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (

一次函数与方程不等式专项练习60题(有答案)

一次函数与方程、不等式专项练习60题（有答案）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2 B．y=2 C．x=﹣1 D．y=﹣12．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）A．x＜B．x＜3 C．x＞D．x＞33．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（）A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜14．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b ＞0的解集为（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜15．如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜26．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜27．如图，直线y=kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜08．已知整数x满足﹣5≤x≤5，y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（）A．1B．2C．24 D．﹣99．如图，直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜110．一次函数y=3x+9的图象经过（﹣，1），则方程3x+9=1的解为x=_________．11．如图，已知直线y=ax+b，则方程ax+b=1的解x=_________．12．如图，一次函数y=ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的方程ax+b=0的解是_________．13．已知直线与x轴、y轴交于不同的两点A和B，S△AOB≤4，则b的取值范围是_________．14．已知关于x的方程mx+n=0的解是x=﹣2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是_________．15．已知ax+b=0的解为x=﹣2，则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为_________．16．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=0的解为______，当x______时，kx+b＜0．17．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．18．一元一次方程0.5x+1=0的解是一次函数y=0.5x+1的图象与_________的横坐标．19．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．20．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则方程kx+b=x+a的解是_________．21．一次函数y=2x+2的图象如图所示，则由图象可知，方程2x+2=0的解为_________．22．一次函数y=ax+b的图象过点（0，﹣2）和（3，0）两点，则方程ax+b=0的解为_________．23．方程3x+2=8的解是x=_________，则函数y=3x+2在自变量x等于_________时的函数值是8．24．一次函数y=ax+b的图象如图所示，则一元一次方程ax+b=0的解是x=_________．25．观察下表，估算方程1700+150x=2450的解是_________．x的值 1 2 3 4 5 6 7 …1700+150x的值1850 2000 2150 2300 2450 2600 2750 …26．已知y1=3x+1，y2=21-3x，当x取何值时，y1比21y2小2．27．计算：（4a﹣3b）•（a﹣2b）28．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式：_________．（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．29．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，点A、B在直线l上．根据图象回答下列问题：（1）写出方程kx+b=0的解；（2）写出不等式kx+b＞1的解集；（3）若直线l上的点P（m，n）在线段AB上移动，则m、n应如何取值．30．当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=﹣2x+7的值为﹣2．31．如图，过A点的一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则不等式0＜2x＜kx+b的解集是（）A．x＜1 B．x＜0或x＞1 C．0＜x＜1 D．x＞132．已知关于x的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），（0，﹣1），则不等式kx+b≥0的解集是（）A．x≥2 B．x≤2 C．0≤x≤2 D．﹣1≤x≤233．当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x﹣8的值满足y＞0（）A．x=B．x≤C．x＞D．x≥﹣34．已知函数y=8x﹣11，要使y＞0，那么x应取（）A．x＞B．x＜C．x＞0 D．x＜035．如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＞0；③x ＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2的解集．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．336．如图，直线y=ax+b经过点（﹣4，0），则不等式ax+b≥0的解集为_________．37．如图，直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，则不等式﹣3≤﹣2x﹣5＜kx+b的解集是_________．38．如图所示，函数y=ax+b和a（x﹣1）﹣b＞0的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是_________．39．如图，直线y=ax+b与直线y=cx+d相交于点（2，1），直线y=cx+d交y轴于点（0，2），则不等式组ax+b＜cx+d ＜2的解集为_________．40．如图，直线y=kx+b经过点（2，1），则不等式0≤x＜2kx+2b的解集为_________．41．一次函数y=kx+b的图象如图所示，由图象可知，当x_________时，y值为正数，当x_________时，y为负数．42．如图，直线y=kx+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，则不等式x＜kx+b＜2的解集为_________．43．如果直线y=kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式x≥kx+b≥﹣2的解集为：_________．44．如图，直线y=kx+b与x轴交于点（﹣3，0），且过P（2，﹣3），则2x﹣7＜kx+b≤0的解集_________．45．已知一次函数y=ax﹣b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（﹣2，0），则不等式ax＞b的解集为_________．46．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，O），则关于x的不等式a（x﹣l）﹣b ＞0的解集为_________．47．如图，直线y=ax+b经过A（﹣2，﹣5）、B（3，0）两点，那么，不等式组2（ax+b）＜5x＜0的解集是_________．48．已知函数y1=2x+b与y2=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，5），则不等式y1＞y2的解集是_________．49．如图，直线y=kx+b经过A（2，0），B（﹣2，﹣4）两点，则不等式y＞0的解集为_________．50．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤x+4，x、y为整数，符合上述条件的点P共有6个．51．作出函数y=2x﹣4的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，求函数y的取值范围；（2）当x取什么值时，y＜0，y=0，y＞0；（3）当x取何值时，﹣4＜y＜2．52．画出函数y=2x+1的图象，利用图象求：（1）方程2x+1=0的根；（2）不等式2x+1≥0的解；（3）求图象与坐标轴的两个交点之间的距离．53．用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10．54．画出函数y=3x+12的图象，并回答下列问题：（1）当x为什么值时，y＞0；（2）如果这个函数y的值满足﹣6≤y≤6，求相应的x的取值范围．55．如图，直线y=x+1和y=﹣3x+b交于点A（2，m）．（1）求m、b的值；（2）在所给的平面直角坐标系中画出直线y=﹣3x+b；（3）结合图象写出不等式﹣3x+b＜x+1的解集是_________．56．如图，图中是y=a1x+b1和y=a2x+b2的图象，根据图象填空．的解集是_________；的解集是_________；的解集是_________．57．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B 两点，求不等式kx+b≤0的解．58．用图象法解不等式5x﹣1＞2x+5．59．（1）在同一坐标系中，作出函数y1=﹣x与y2=x﹣2的图象；（2）根据图象可知：方程组的解为_________；（3）当x_________时，y2＜0．（4）当x_________时，y2＜﹣2（5）当x_________时，y1＞y2．60．做一做，画出函数y=﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题．函数y=﹣2x+2的图象中：（1）随着x的增大，y将_________填“增大”或“减小”）（2）它的图象从左到右_________（填“上升”或“下降”）（3）图象与x轴的交点坐标是_________，与y轴的交点坐标是_________（4）这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？（5）当x取何值时，y=0？（6）当x取何值时，y＞0？参考答案：1．∵一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为（﹣1，0），∴当kx+b=0时，x=﹣1．故选C．2．∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），∴3=2m，m=，∴点A的坐标是（，3），∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜；故选A3．由一次函数的图象可知，此函数是减函数，∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），∴当x＜0时，关于x的不等式kx+b＞1．故选B．4．∵一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，∴b＞0，a＜0，把（2，0）代入解析式y=ax+b得：0=2a+b，解得：2a=﹣b =﹣2，∵a（x﹣1）﹣b＞0，∴a（x﹣1）＞b，∵a＜0，∴x﹣1＜，∴x＜﹣1，故选A5．由图象可知，当x＜1时，直线y1落在直线y2的下方，故使y1＜y2的x的取值范围是：x＜1．故选C．6．两条直线的交点坐标为（﹣1，2），且当x＞﹣1时，直线l2在直线l1的下方，故不等式k2x＜k1x+b的解集为x＞﹣1．故选B7．不等式2x＜kx+b＜0体现的几何意义就是直线y=kx+b上，位于直线y=2x上方，x轴下方的那部分点，显然，这些点在点A与点B之间．故选B8．联立两函数的解析式，得：，解得；即两函数图象交点为（1，2），在﹣5≤x≤5的范围内；由于y1的函数值随x的增大而增大，y2的函数值随x的增大而减小；因此当x=1时，m值最大，即m=2．故选B9．从图象上得出，当y1＜y2时，x＜2．故选B．10．方程3x+9=1的解，即函数y=3x+9中函数值y=1时，x的值．∵一次函数y=3x+9的图象经过（﹣，1），即函数值是1时，自变量x=﹣．因而方程3x+9=1的解为x=﹣11．根据图形知，当y=1时，x=4，即ax+b=1时，x=4．∴方程ax+b=1的解x=412．由图可知：当x=2时，函数值为0；因此当x=0时，ax+b=0，即方程ax+b=0的解为：x=213．由直线与x轴、y轴交于不同的两点A和B，令x=0，则y=b，令y=0，则x=﹣2b，∴S△AOB=×2b2=b2≤4，解得：﹣2≤b≤2且b≠0，故答案为：﹣2≤b≤2且b≠014．∵方程的解为x=﹣2，∴当x=﹣2时mx+n=0；又∵直线y=mx+n与x轴的交点的纵坐标是0，∴当y=0时，则有mx+n=0，∴x=﹣2时，y=0．∴直线y=mx+n与x轴的交点坐标是（﹣2，0）15．∵ax+b=0的解为x=﹣2，∴函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）16．从图象上可知则关于x的方程kx+b=0的解为的解是x=﹣3，当x＜﹣3时，kx+b＜0．故答案为：x=﹣3，x＜﹣317．根据题意，知点P（﹣2，﹣5）在函数y=2x+b的图象上，∴﹣5=﹣4+b，解得，b=﹣1；又点P（﹣2，﹣5）在函数y=ax﹣3的图象上，∴﹣5=﹣2a﹣3，解得，a=1；∴由方程2x+b=ax﹣3，得2x﹣1=x﹣3，解得，x=﹣2；故答案是：x=﹣218.∵0.5x+1=0，∴0.5x=﹣1，∴x=﹣2，∴一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交点的横坐标为：x=﹣2，故答案为：x轴交点．19．根据图形知，当y=1时，x=4，即ax﹣b=1时，x=4．故方程ax+b=1的解x=4．故答案为：420．一次函数y 1=kx+b 与y 2=x+a 的图象的交点的横坐标是3，故方程的解是：x=3．故答案是：x=321．由一次函数y=2x+2的图象知：y=2x+2经过点（﹣1，0），∴方程2x+2=0的解为：x=﹣1，故答案为：x=﹣1．22．一次函数y=ax+b 的图象过点（0，﹣2）和（3，0）两点，∴b=﹣2，3a+b=0，解得：a=，∴方程ax+b=0可化为：x ﹣2=0，∴x=3．23．解方程3x+2=8得到：x=2，函数y=3x+2的函数值是8．即3x+2=8，解得x=2，因而方程3x+2=8的解是x=2 即函数y=3x+2在自变量x 等于2时的函数值是8．故填2、824．∵一次函数y=ax+b 的图象与x 轴交点的横坐标是﹣2，∴一元一次方程ax+b=0的解是：x=﹣2．故填﹣225．设y=1700+150x ，由图中所给的表可知：当x=5时，y=1700+150x=2450，∴方程1700+150x=2450的解是5．故答案为：526．∵y 1比21 y 2小2．，y 1=3x +1， y 2=21-3x ∴3x +1= 21（21-3x ）-2=41-23x-2 两边都乘12得，4x+12=3-18x-24，移项及合并得22x=-33，解得x=-1.5，当x=-1.5时，y 1比21 y 2小2． 27．原式=4a •a ﹣8ab ﹣3ab+6b •b=4a 2﹣11ab+6b 228．（1）∵长方形的面积=长×宽，∴图3的面积=（a+2b ）（2a+b ）=2a 2+5ab+2b 2，故图3所表示的一个等式：（a+2b ）（2a+b ）=2a 2+5ab+2b 2，故答案为：（a+2b ）（2a+b ）=2a 2+5ab+2b 2；（2）∵图形面积为：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2，∴长方形的面积=长×宽=（a+b ）（a+3b ），由此可画出的图形为：29．函数与x 轴的交点A 坐标为（﹣2，0），与y 轴的交点的坐标为（0，1），且y 随x 的增大而增大．（1）函数经过点（﹣2，0），则方程kx+b=0的根是x=﹣2；（2）函数经过点（0，1），则当x ＞0时，有kx+b ＞1，即不等式kx+b ＞1的解集是x ＞0；（3）线段AB 的自变量的取值范围是：﹣2≤x ≤2，当﹣2≤m ≤2时，函数值y 的范围是0≤y ≤2，则0≤n ≤2．30．函数y=﹣2x+7中，令y=﹣2，则﹣2x+7=﹣2，解得：x=4.5．31．一次函数y=kx+b 经过A 、B 两点，∴，解得：k=﹣，b=3．故：y=﹣，∵0＜2x ＜﹣，解得：0＜x ＜1．故选C32．由于x 的一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象过点（2，0），且函数值y 随x 的增大而增大，∴不等式kx+b ≥0的解集是x ≥2．故选A33．函数y=3x ﹣8的值满足y ＞0，即3x ﹣8＞0，解得：x ＞．故选C34．函数y=8x ﹣11，要使y ＞0，则8x ﹣11＞0，解得：x ＞．故选A ．35．由图象可知，a ＞0，故①正确；b ＞0，故②正确；当x ＞﹣2是直线y=3x+b 在直线y=ax ﹣2的上方，即x ＞﹣2是不等式3x+b ＞ax ﹣2，故③正确．故选D ．36．由图象可以看出：当x ≥﹣4时，y ≥0，∴不等式ax+b ≥0的解集为x ≥﹣4，故答案为：x ≥﹣437．∵直线y=kx+b经过A（﹣2，﹣1）和B（﹣3，0）两点，∴，解得，∴不等式变为﹣3≤﹣2x﹣5＜﹣x﹣3，解得﹣2＜x≤﹣1，故答案为﹣2＜x≤﹣138．∵函数y=ax+b和a（x﹣1）﹣b＞0的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点，∴根据图象可以看出，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1或x＞239. 如图，直线y=ax+b与直线y=cx+d相交于点（2，1），直线y=cx+d交y轴于点（0，2），则不等式组ax+b＜cx+d＜2的解集为（0，2）．40．由直线y=ax+b与直线y=cx+d相交于点（2，1），直线y=cx+d交y轴于点（0，2），根据图象即可知不等式组ax+b＜cx+d＜2的解集为（0，2），故答案为：（0，2）．41. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，由图象可知，当x x＞﹣3时，y值为正数，当x x＜﹣3时，y为负数．42．由图形知，一次函数y=kx+b经过点（﹣3，0），（0，2）故函数解析式为：y=x+2，令y＞0，解得：x＞﹣3，令y＜0，解得：x＜﹣3．故答案为：x＞﹣3，x＜﹣343．直线y=kx+b经过A（2，1）和B（﹣1，﹣2）两点，可得：，解得；则不等式组x≥kx+b≥﹣2可化为x≥x﹣1≥﹣2，解得：﹣1≤x≤244．直线y=kx+b与x轴交于点（﹣3，0），且过P（2，﹣3），∴结合图象得：kx+b≤0的解集是：x≥﹣3，∵2x﹣7＜﹣3，∴x＜2，∴2x﹣7＜kx+b≤0的解集是：﹣3≤x＜2，故答案为：﹣3≤x＜245．如右图所示：不等式ax＞b的解集就是求函数y=ax﹣b＞0，当y＞0时，图象在x轴上方，则不等式ax＞b的解集为x＞﹣2．故答案为：x＞﹣2．46．∵一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，∴b＞0，a＜0，把（2，0）代入解析式y=ax+b得：0=2a+b，解得：2a=﹣b，=﹣2，∵a（x﹣1）﹣b＞0，∴a（x﹣1）＞b，∵a＜0，∴x﹣1＜，∴x＜﹣147．把A（﹣2，﹣5）、B（3，0）两点的坐标代入y=ax+b，得﹣2a+b=﹣5，3a+b=0，解得：a=1，b=﹣3．解不等式组：2（x﹣3）＜5x＜0，得：﹣2＜x＜0．故答案为：﹣2＜x＜048．由图象可知x＞﹣2时，y1＞y2；故答案为x＞﹣249．∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，由图象可知：直线从左往右逐渐上升，即y随x的增大而增大，又A（2，0），所以不等式y＞0的解集是x＞2．故答案为x＞250．∵已知点P（x，y）位于第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵y≤x+4，∴0＜y＜4，x＜0，又∵x、y为整数，∴当y=1时，x可取﹣3，﹣2，﹣1，当y=2时，x可取﹣1，﹣2，当y=3时，x可取﹣1．则P坐标为（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣3，1）共6个．故答案为：651.当x=0时，y=﹣4，当y=0时，x=2，即y=2x﹣4过点（0，﹣4）和点（2，0），过这两点作直线即为y=2x﹣4的图象，从图象得出函数值随x的增大而增大；（1）当x=﹣2时，y=﹣8，当x=4，y=4，∴当﹣2≤x≤4时，函数y的取值范围为：﹣8≤y≤4；（2）由于当y=0时，x=2，∴当x＜2时，y＜0，当x=2时，y=0，当x＞2时，y＞0；（3）∵当y=﹣4时，x=0；当y=2时，x=3，∴当x的取值范围为：0＜x＜3时，有﹣4＜y＜2．52．列表：描点，过（0，1）和（﹣，0）两点作直线即可得函数y=2x+1的图象，如图：（1）由图象看出当x=﹣时，y=0，即2x+1=0，所以x=﹣是方程2x+1=0的解；（2）不等式2x+1≥0的解应为函数图象上不在x轴下方的点的横坐标，所以x≥﹣是不等式2x+1≥0的解；（3）由勾股定理得它们之间的距离为53．令y1=5x+4，y2=2x+10，对于y1=5x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=﹣，即y1=5x+4过点（0，4）和点（﹣，0），过这两点作直线即为y1=5x+4的图象；对于y2=2x+10，当x=0时，y=10；当y=0时，x=﹣5，即y2=2x+10过点（0，10）和点（﹣5，0），过这两点作直线即为y2=2x+10的图象．图象如图：由图可知当x＜2时，不等式5x+4＜2x+10成立．54. 当x=0时，y=12；当y=0时，x=﹣4，即y=3x+12过点（0，12）和点（﹣4，0），过这两点作直线即为y=3x+12的图象，从图象得出函数值随x的增大而增大；（1）函数图象经过点（﹣4，0），并且函数值y随x的增大而增大，因而当x＞﹣4时y＞0；（2）函数经过点（﹣6，﹣6）和点（﹣2，6）并且函数值y随x的增大而增大，因而函数y的值满足﹣6≤y≤6时，相应的x的取值范围是：﹣6≤x≤﹣2．55．（1）根据题意得：解得：（2）画出直线如图：（3）自变量的取值范围是：x＞2．56．由题意知：由图象知y=a1x+b1＞0时有x＞﹣3，函数y=a2x+b2＞0时有x＜1，∴不等式组的解集的解集为：﹣3＜x＜1；故答案为：﹣3＜x＜1；由题知：由图象知y=a1x+b1＜0时有x＜﹣3，根据函数图象知y=a2x+b2＜0时有x＜1，∴不等式组的解集为：x＜﹣3；故答案为：x＜﹣3；由题意知：根据函数图象知y=a1x+b1＜0时有x＜﹣3，根据函数图象知y=a2x+b2＜0时有x＞1，∴不等式组的解集是空集；故答案为：空集57．∵直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+4，∵当y=0时，x=4，∴A（4，0），∴不等式kx+b≤0的解集为：x＜4．58．5x﹣1＞2x+5可变形为x﹣2＞0，画一次函数y=x﹣2的图象，如图所示：根据图象可得：当y＞0时，图象在x轴的上方，故x＞2．59．（1）解：如图所示：．（2）解：由图象可知：方程组的解为，故答案为：．（3）解：根据题意得：x﹣2＜0，解得：x＜2，故答案为：＜2．（4）解：根据题意得：x﹣2＜﹣2，解得：x＜0，故答案为：＜0．（5）解：根据题意得：﹣x＞x﹣2，解得：x＜1，故答案为：x＜1．60．函数y=﹣2x+2的图象为：（1）由图象知：随着x的增大，y将减小．（2）由图象知：图象从左向右下降．（3）由图象知：与x轴的交点坐标是（1，0），与y轴的交点坐标是（0，2）．（4）由图象知：这个函数中，随着x的增大，y将减小，图象从左向右下降．（5）由图象知：当x=1时，y=0．（6）由图象知：当x＜1时，y＞0．。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：函数与方程(二)(含解析)

《函数与方程》（二）考查内容：主要涉及函数零点个数的判断（方程法、数形结合法、图象法、零点存在定理与函数性质结合法）一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数26,0()3ln ,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩的零点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．02．已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时，2()f x x =，则4()log ||y f x x =-的零点个数为（） A ．8B ．6C ．4D ．25．函数()sin 1f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．67．已知函数23(0),()1(0),x x x x f x e x -⎧-=⎨-+<⎩则方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）的不同的实数根的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()2e e xx f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞ C ．()()0,11,+∞ D ．(]{},01-∞9．已知函数23||,3()(3),3x x f x x x -⎧=⎨->⎩，()(3)6g x f x +-=，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（）A ．0B ．4C ．3D ．210．若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0）D ．[0，+∞）11．已知函数()sin ,02224xx f x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩，若函数()()1g x f x kx =--恰有三个零点，则实数k 的取值范围为（）A ．31,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．41,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．41,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦12．已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1f f x =根的个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9二．填空题13．函数()()2ln 14xf x x =⋅+-的零点个数为_______.14．已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15．已知函数32ln(2),2,()68,,x x m f x x x x x m +-<<⎧=⎨-+≥⎩若函数()f x 仅有2个零点，则实数m 的取值范围为______. 16．已知函数,0()(1),0xlnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，则实数c 的取值范围是__.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求函数lg y x =和sin y x =的图像的交点个数．18．讨论a 取不同值时，关于x 的方程2|log |1|2|x a -+=的解的个数.19．已知函数()f x =，()3g x ax =-.（1）设函数()()()()25h x f x g x x =+-+，讨论函数()y h x =在区间[]0,2内的零点个数；（2）若对任意[]0,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()0g x f x =成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[]2,4上单调递增，求m 的取值范围；（2）求()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g m ；（3）讨论()f x 在区间[]3,3-上的零点个数.21．已知函数()22,182,1x a x f x ax x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，其中a R ∈.()1当1a =时，求()f x 的最小值； ()2当2a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.22．已知函数()34ln f x x x x=--. （1）求()f x 的单调区间；（2）判断()f x 在(]0,10上的零点的个数，并说明理由.（提示：ln10 2.303≈）《函数与方程》（二）解析1.【解析】若260x x --=．则2x =-或3x =．又∵0x ≤∴2x =- 若3ln 0x -+=，则3x e =满足0x >，综上，函数()f x 的零点个数为2．故选:B2.【解析】当0x >时，3|ln |30,ln 3,x x x e -=∴=±∴=或3e -，都满足0x >；当0x ≤时，222430,2430,20,164230x x x x ---=∴++=>∆=-⨯⨯<，所以方程没有实数根.综合得函数()3y f x =-的零点个数是2.故选：B3.【解析】函数()ln 1f x x x =-+的零点个数等价于函数ln y x =与函数1y x =-的图象的交点个数.在同一坐标系下作出函数ln y x =与1y x =-的图象，如下图：因为1(ln )y x x ''==，曲线ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为：11k x==，所以曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，所以可知两函数图象有一个交点，故函数()ln 1f x x x =-+的零点个数为1. 故选：B .4.【解析】因为()()y f x x R =∈为周期为2的函数,通过且(1,1]x ∈-时，2()f x x =,做出函数图象如图所示:4()log ||y f x x =-的零点个数即为()y f x =与4log ||y x =图象交点个数,由图象可知共有6个交点.故选:B.5.【解析】令()sin 10f x x x =-=，显然0x =不是函数的零点，可得1sin x x=．故作出函数sin y x =和1y x =的图象，如图所示：在(,)22ππ-上有2个交点.故选：A6.【解析】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根，根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根，所以22lg 2||x x x =-+一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.故选：C7.【解析】由|()1|2f x c -=-，得()1(2)f x c =±-．∵(1,0)c ∈-， ∴1(2)(3,4),1(2)(2,1)c c +-∈--∈--．作出函数()f x 和1(2)y c =±-的图象如图所示，易知它们的图象共有4个不同的交点，即方程|()1|2f x c -=-（c 为常数且(1,0)c ∈-）有4个不同的实数根．故选：B8.【解析】(0)1100f =--=,则可知0x =一定是函数()f x 的一个零点0x ≠时,可得:1x x e a x e -=,令1(),()x x e a g x h x x e -==,21()x x xe e g x x '-+=，令()1x x u x xe e =-+, ()xu e x x '=，可得函数()u x 在0x =时取得极小值即最小值 ,()()00u x u ∴≥=.())'0(0g x x ∴>≠.∴函数()g x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增，此时，()0g x >恒成立，对于()xa h x e =， 0a <时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件0a =时 , 函数()g x 与()h x 没有交点，如下图，满足条件1a =时 , 函数1()x h x e=, 经过()0,1, 与函数()g x 的图象没有交点, 如下图，满足条件 .0a >, 且1a ≠时 , 函数()h x 与函数()g x 的图象有交点，如下图，不满足条件，舍去 .综上可得：实数a 的取值范围为{}(],01-∞⋃，故选：D .9.【解析】由()6(3)g x f x =--，知()()()(3)6y f x g x f x f x =-=+--. 令()()(3)F x f x f x =+-，则(3)(3)()F x f x f x -=-+，所以(3)()F x F x -=，即()F x 的图象关于直线32x =对称.当302x时，()()(3)33(3)3F x f x f x x x =+-=-+--=；当0x <时，2221()()(3)3(33)32F x f x f x x x x x x ⎛⎫=+-=++--=++=++⎪⎝⎭114.作出()F x 的图象可知，函数()6F x =的解有2个，所以函数()()y f x g x =-的零点个数2个.故选：D10.【解析】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1.故选：B11.【解析】当24x <≤时，y =，则0y ≤，等式两边平方得2268y x x =-+-，整理得()2231x y -+=，所以曲线)24y x =<≤表示圆()2231x y -+=的下半圆，如下图所示：由题意可知，函数()y g x =有三个不同的零点，等价于直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点，直线1y kx =+过定点()0,1P ，当直线1y kx =+过点()4,0A 时，则410k +=，可得14k =-；当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=相切，且切点位于第三象限时，k0<，1=，解得34k =-.由图象可知，当3144k -<≤-时，直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点.因此，实数k 的取值范围是31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故选：B.12.【解析】令()u f x =,先解方程()1f u =. （1）当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =；（2）当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示：直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=.故选：C. 13.【解析】令()()2ln 140xf x x =⋅+-=，则()24ln 122x x x -+==，在同一直角坐标系中作出函数()ln 1y x =+与22xy -=的图象，如图：由图象可知，函数()ln 1y x =+当1x →-时，()ln 1y x =+→+∞则与22xy -=的图象有必有两个交点，所以方程()24ln 122xxx -+==有两个不同实根，所以函数()()2ln 14x f x x =⋅+-的零点个数为2.故答案为：2.14.【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，由图象可知，当01k <<时，函数()f x 与y k =的图象有两个不同的交点，此时，方程有两个不同实根，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1) 15.【解析】对于函数3268y x x x =-+，23128y x x '=-+，令0y '=，解得23x =±，故当,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭时，0y '>；当22x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<；当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，0y '>；令ln(2)0x +=，解得1x =-；令32680x x x -+=，解得0x =，2x =或4x =. 作出ln(2)y x =+，3268y x x x =-+的大致图像：观察可知，若函数()f x 仅有2个零点，则24m <≤，故实数m 的取值范围为(]2,4. 16.【解析】当0x >时，函数()f x lnx =单调递增；当0x ≤时，()(1)xf x e x =+，则()(2)x f x e x '=+2x <-时，()0f x '<，20x -<时，()0f x '>，故当0x ≤时，()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，所以()f x 在2x =-处取极小值，极小值为2(2)f e --=-；当1x <-时，()(1)0xf x e x =+< 作出函数()f x 的图象如图：函数()()()F x f x c c R =-∈恰有3个零点，等价于函数()f x 与y c =的图象有且仅有3个交点，由图可知，20e c --<<，故答案为：()20，e -- 17.【解析】由1y lgx ==解得10x =，又sin y x =的值域为[]1,1-，且y lgx =在定义域上单调递增，作出函数sin y x =与y lgx =的图象如图：由图象可知两个图象的交点个数为3个，18.【解析】令2()|log |1|2|f x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，所求问题可转化为函数()f x ，与直线y a =交点的个数问题. 当0a <时，()y f x =与y a =无交点，所以原方程无解；当0a =时，()y f x =与y a =有两个交点，原方程有2个解；当0a >时，()y f x =与y a =有四个交点，原方程有4个解.19.【解析】（1）因为()()()()()22511h x fx g x x x a x =+-+=+-+，令()0h x =，则()2110x a x +-+=，当=0x 时，则10=，不符合条件，当0x ≠时，则11a x x-=+ 作函数1y a =-与()102y x x x=+<≤的图象，由图可知：①当12a -<时，即1a >-时，两图象无公共点，则()h x 在区间[]0,2内无零点；②当12a -=时或512a ->时，即32a <-或1a =-时，两图象仅有一个公共点，则()h x 在区间[]0,2内仅有一个零点； ③当5212a <-≤时，即312a -≤<-时，两图象有两个公共点，则()h x 在区间[]0,2内有两个零点.（2）当[]0,4x ∈时，[]20,16x ∈，则[]299,25x +∈，所以()f x 的值域是[]3,5；当[]02,2x ∈-时，设函数()0g x 的值域是M ，依题意，[]3,5M ⊆，①当0a =时，()03g x =-不合题意；②当0a >时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩ ，得2352330a a a -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，解得4a ≥； ③当0a <时，()()[]2,223,23M g g a a =-=---⎡⎤⎣⎦，由()()2523g g ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，得2352330a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解得4a ≤-；综上得，实数a 的取值范围是(][),44,-∞-⋃+∞.20.【解析】（1）由题意，函数2()()7f x x mx m m R =++-∈开口向上，对称轴的方程为2m x =-，若使得函数()f x 在[]2,4上单调递增，则满足122m -≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞.（2）①当112m -≤-即2m ≥时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递增，所以函数()y f x =的最小值为()()16g m f =-=-；②当1112m -<-<，即22m -<<时，函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭； ③当112m -≥即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[]1,1-单调递减，所以函数()y f x =的最小值为()()126g m g m ==-，综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. （3）因为函数()y f x =的对称轴方程为12x m =-，且24280m m ∆=-+>恒成立， ①当()()133232203420m f m f m ⎧-<-<⎪⎪-=-≥⎨⎪=+≥⎪⎩，即112m -≤≤时，函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点； ②当()1323220m f m ⎧-≤-⎪⎨⎪-=-≥⎩，此时m 不存在； ③当()1323420m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，此时m 不存在；④当()()330f f -⋅≤，即()()22420m m -+≤，解得m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 综上可得：当112m -≤≤时，函数()f x 在区间[]3,3-上有2个零点，当m 1≥或12m ≤-时，函数()f x 在区间[]3,3-上有1个零点. 21.【解析】()1当1a =时，()221,182,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则当1x ≤时，()f x 在(],1-∞上单调递增，()1f x >-且无最小值；当1x >时，由二次函数()()2282414g x x x x =-+=--知，()f x 在(]1,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增，故()()min 414f x f ==-.()2当0a ≤，1x ≤时，()f x 没有零点，当1x >时，()f x 没有零点；当02a <≤，1x ≤时，()f x 有一个零点，当1x >时，()f x 有一个零点.22.【解析】（1）由题意知，()f x 的定义域为()0,∞+，则令2223443()10x x f x x x x -+'=+-==，解得1x =或3x =，当01x <<或3x >时，()0f x '>，则此时()f x 单调递增；当13x <<时，()0f x '<，则此时()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间是()0,1和()3,+∞，单调递减区间是()1,3.（2）由函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减，则当03x <≤时，()()12f x f ≤=-，故()f x 在(]0,3上无零点；又()324ln30f =-<，当310x <≤时，因为3(10)104ln10100.34 2.3030.488010f =--≈--⨯=>，又()f x 在(]3,10上单调递增，所以()f x 在(]3,10上仅有一个零点.综上，()f x 在(]0,10上的零点的个数为1.。

函数与方程练习题练习题(基础、经典、好用)

函数与方程练习题一、选择题1．(2013·东莞模拟)方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)2．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．03．(2013·深圳调研)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 3，x ≤0，（13）x －log 2x ，x ＞0，若x 0是y ＝f (x )的零点，且0＜t ＜x 0，则f (t )( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．等于0D ．不大于05．设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．与m 有关二、填空题6．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________．8．(2013·肇庆模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R) 满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2；函数g (x )＝lg|x |，则函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在区间[－5，5]内的交点个数共有________个．三、解答题9．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围．并求出该零点．10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及(0，12)内各有一个零点，求实数a 的范围．11．(2013·深圳调研)已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．详细答案一、选择题1．【解析】设f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (1)＝0＋1－3＝－2＜0，f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，∴f (2)·f (3)＜0，故方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是(2，3)．【答案】 C2．【解析】法一令f (x )＝0，得⎩⎨⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎨⎧x ＞0，ln x ＝2，所以x ＝－3或x ＝e 2，应选B.法二画出函数f (x )的图象可得，图象与x 轴有两个交点，则函数f (x )有2个零点．【答案】 B3．【解析】 sgn(ln x )＝⎩⎨⎧1，x ＞1，0，x ＝1，－1，0＜x ＜1，故函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x 的零点分别为e ，1，1e .【答案】 C4．【解析】当x ＞0时，由f (x )＝(13)x －log 2x ＝0得(13)x ＝log 2x ，在同一坐标系中分别作出y＝(13)x，y＝log2x的图象，由图象可知，当0＜t＜x0时，(13)t＞log2t，所以此时f(t)恒大于0，选B.【答案】 B5．【解析】函数y＝ln|x－2|的图象关于直线x＝2对称，从而x1＋x2＝4.【答案】 A二、填空题6．【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a x与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象如图所示，可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.【答案】(1，＋∞)7．【解析】∵2＜a＜3＜b＜4，当x＝2时，f(2)＝log a2＋2－b＜0；当x＝3时，f(3)＝log a3＋3－b＞0，∴f(x)的零点x0在区间(2，3)内，∴n＝2.【答案】 28．【解析】函数y＝f(x)以2为周期，y＝g(x)是偶函数，画出图象可知有8个交点．【答案】8三、解答题9．【解】∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，∴方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(舍去)．∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知当m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.10．【解】 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意：f (x )＝1即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0，∵Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0恒成立，∴x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及(0，12)内各有一个零点只须⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （0）＜0，f （12）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解之得12＜a ＜34.11．【解】 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)．∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的最小值为－1；当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2的最大值为1.∴据此作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1，1)．。

高考数学必考点专项第6练函数与方程(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)

高考数学必考点专项第6练函数与方程习题精选一、单选题1. 函数2()=2+log ||x f x x 的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 已知函数若()g x 存在2个零点，则a的取值范围是( )A. [1,)-+∞B. [0,)+∞C. [1,0)-D. [1,)+∞3. 若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( ) A. b e a <B. a e b <C. 0b a e <<D. 0a b e <<4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间上所有零点个数为( )A. 0B. 2C. 4D. 65. 已知函数2()()x f x e ax x R =-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.B.C.D.6. 设a ，b R ∈，函数若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( )[6,6]-A. 1a <-，0b <B. 1a <-，0b >C. 1a >-，0b <D. 1a >-，0b > 7. 已知函数的零点为，函数()f x 的最小值为0y ，且则函数的零点个数是( )A. 3B. 4C. 3或4D. 2或38. 已知函数，若函数()()g x x f x a =⋅-的零点个数恰为2个，则( )A.2837a <<或1a =- B. 7382a <<C.7382a <<或1a =- D. 7382a <<或54a =-9. 已知函数2,0()ln ,0kx x f x x x +⎧=⎨->⎩，则下列关于[()]2y f f x =-的零点个数判别正确的是( )A. 当0k =时，有无数个零点B. 当0k <时，有3个零点C. 当0k >时，有3个零点D. 无论k 取何值，都有4个零点二、多选题10. 若关于x 的方程23--=02x x k 在(1,1)-上有实根，则( )A. k 的最大值为52B. k 的最小值为916-C. 95[-,)162k ∈D. 95(,]162k ∈-11. 已知函数，().g x kx =若方程()()f x g x =有实根，则实数k的取值可以是( )012[,),y x x ∈A.12B. 1-C. 1D. (2,+)∞上的任意一个数12. 已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪-⎩，下列说法中正确的是( )A. 当121122x x -<<<时，恒有12()()f x f x >B. 若当(0,]x m ∈时，()f x 的最小值为34，则m 的取值范围为17[,]26C. 不存在实数k ，使函数()()F x f x kx =-有5个不相等的零点D. 若关于x 的方程3[()][()]04f x f x a --=所有实数根之和为0，则34a =-13. 已知函数，若方程()0f x a -=有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围可以是( )A.B.C.D.14. 已知函数，则方程22()2()10f x f x a -+-=的根的个数可能为( )A. 2B. 6C. 5D. 4三、填空题15. 用二分法求函数()=34x f x x --的一个零点，其参考数据如下：(2,)+∞根据此数据，可得方程34=0x --的一个近似解(精确度0.01)为__________.16. 方程103x e x =-的解(,1),x k k k Z ∈+∈，则k =__________. 17. 已知()|lg |2f x x kx =--，给出下列四个结论：(1)若0k =，则()f x 有两个零点； (2)0k ∃<，使得()f x 有一个零点；(3)0k ∃<，使得()f x 有三个零点；(4)0k ∃>，使得()f x 有三个零点；以上正确结论的序号是__________. 四、解答题18. 已知二次函数2()2(,).f x x bx c b c R =++∈(1)若函数()y f x =的零点为1-和1，求实数b ，c 的值；(2)若()f x 满足(1)0f =，且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间(3,2)--，(0,1)内，求实数b 的取值范围．19. 已知函数2()22(0)f x ax ax b a=-++>在区间[2,0]-上有最小值1，最大值9.(1)求a b+的值；(2)设()()f xg xx=，若不等式在区间[2,4]上恒成立，求实数k的取值范围；(3)设，若函数()F x有三个零点，求实数λ的取值范围.答案和解析1.【答案】C .【解答】解：函数2()2log ||xf x x =+的零点个数，即为函数2xy =-的图象和函数2log ||y x =的图象的交点个数，作出函数的图象如下：数形结合可得，函数2xy =-的图象和函数2log ||y x =的图象的交点个数为2. 故选.C2.【答案】A解：函数()()g x f x x a =++存在2个零点，即关于x 的方程()f x x a =--有2个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线y x a =--有2个交点. 作出直线y x a =--与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1a -，解得1a -，故选.A3.【答案】D解：函数xy e =是增函数，0xy e '=>恒成立，函数的图象如图，0y >，即取得坐标在x 轴上方，如果(,)a b 在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点(,)a b 在x 轴或下方时，只有一条切线．如果(,)a b 在曲线上，只有一条切线；(,)a b 在曲线上侧，没有切线；由图象可知(,)a b 在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0.a b e <<故选：.D4.【答案】D解：由，得，故，故函数是周期为4的周期函数.又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，所以，故1x =是函数()f x 的对称轴.当时，，由此画出()f x 的大致图象如下图所示，令()()10g x xf x =-=，注意到(0)0g ≠，故上述方程可化为，画出1y x=的图象，由图可知与1y x=图象都关于点(0,0)对称，它们两个函数图象的6个交点A 与F ，B 与E ，C 与D ，所以函数在区间[6,6]-上所有零点个数为6.故选.D5.【答案】C解：0x =时，(0)10f =≠，令2()0xf x e ax =-=，得2xe a x=，令2()x e g x x =，则问题转化为y a =与2()xe g x x=有三个交点，3(2)()xx e g x x -'=，令()0g x '=，解得2x =，()f x∴当0x <或2x >时，()0g x '>，()g x 在(,0)-∞，(2,)+∞单调递增，当02x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,2)单调递减，()g x 在2x =处取极小值，2(2)4e g =，作出()g x 的图象如下：要使直线y a =与曲线2()x e g x x =有三个交点，则24e a >，故实数a 的取值范围是2e (,).4+∞故选.C6.【答案】C解：当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，3211()(1)32y f x ax b x a x ax ax b =--=-++-- 3211(1)32x a x b =-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0,)+∞上递增，()y f x ax b=--最多一个零点，不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1,),x a ∈++∞函数递增，令0y '<得[0,1),x a ∈+函数递减，函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点，所以函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0,)+∞上有2个零点，如右图：01ba∴<-且，解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+，31(1)06a b ∴-+<<，11a -<<，故选：.C7.【答案】D解：如图所示，函数2()(0)f x ax bx c a =++>的零点为1x ，212()x x x <，令2()0f x ax bx c =++=， 240.b ac ∴∆=->由2(())()()0f f x af x bf x c =++=，0∆>，1()f x x ∴=或2().f x x =函数()f x 的最小值为0y ，且012[,),y x x ∈画出直线2y x =，1.y x =则直线2.y x =与()y f x =必有两个交点，此时2().f x x =有2个实数根，即函数(())y f f x =有两个零点．直线1y x =与()y f x =可能有一个交点或无交点，此时1()f x x =有一个实数根2b x a=-或无实数根．综上可知：函数(())y f f x =的零点有2个或3个．故选.D8.【答案】D解：如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意;当0x ≠时，令()0g x =，得()a f x x =， ()g x 零点个数为2个，则函数()f x 与a y x =有两个交点. 易知0a =不符合题意.若0a >，则满足，可得73;82a << 若0a <，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，故，此时无解；或，解得54a =- 综上，a 的取值范围内为7382a <<或5.4a =- 故选.D9.【答案】A解：设()f x t =，对于A ，当0k =时，函数()f x 对应的图象如下图：当0t 时，由()2f t =得22=此时方程恒成立了，即[()]2y f f x =-有无数个零点，故A 正确，D 错误．对于B ，当0k <时，对应的图象如下图：当0t >时，由()2f t =，此时ln 2t -=，得2(0,1)t e -=∈，当0t 时，由()2f t =得0t =，由2()(0,1)t f x e -==∈，此时x 有一个解，由()0t f x ==，此时x 有一个解，综上[()]2y f f x =-的零点个数为2个，故B 错误， C .当0k >时，对应的图象如下图：当0t >时，由()2f t =，此时ln 2t -=，得2(0,1)t e -=∈，当0t 时，由()2f t =得0t =，由2()(0,1)t f x e -==∈，此时x 有2个解，由()0t f x ==，此时x 有2个解，综上[()]2y f f x =-的零点个数为4个，故C 错误，故选.A10.【答案】BC 解：22339()2416k x x x =-=--，(1,1)x ∈-，函数239()416y x =--的图象开口向上，对称轴为34x =，当34x =时，min 916y =-，当1x =-时，max 52y =， (1,1)x ∈-，95[,).162k ∴∈- 故选.BC11.【答案】ACD解：由题意，可得函数()f x 的图象和函数()g x 的图象有交点，如图所示：(2,1)A ，12OA k =， ∴函数()f x 的图象和函数()g x 的图象有交点，数形结合可得12k或1k <-，故选.ACD12.【答案】BC解：根据定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪-⎩，如图所示：对于A ：当121122x x -<<<时，根据函数的图象12()()f x f x >不一定成立，故A 错误；对于B ：当(0,]x m ∈时，要使()f x 的最小值为34，令13214x =-，解得76x =，故m 的取值范围为17[,]26，故B 正确；对于C ：令()f x kx =，故21x x kx -+=，整理得2(1)10x k x -++=，由于2(1)40k =+->，解得1k >，或3(k <-舍)若0k <，则当(0,1]x ∈时，0()()0y kx f x F x =<<⇒>，故3k <-舍去.又当1k >时，设1x 是方程()0F x =的较大根11x =>= 故1k >也不合题意.考虑y kx =与21y x x =-+有一个交点与121y x =-也有一个交点的情况，因为y kx =与21y x x =-+有一个交点，故22(1)4230k k k ∆=+-=+-=，解得1k =或3(k =-舍)又当(0,)x ∈+∞时，y x =与121y x =-只有一个交点(1,1)，与y x =和21y x x =-+的交点重合综上所述不存在实数k ，使得()F x 有5个不相等的零点， C 正确;对于D ：3()04f x -=，解得112x =，276x =，所以1253x x +=，令53x =-，则553()()337f f -=-=- 由于当23133[1,0),()()4247x f x x ∈-=---<-<-故37a =-也满足题意，D 不正确。

(完整版)一次函数与二元一次方程专题

一次函数与二元一次方程专题一．选择题（共10小题）1．如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解为（）A．B．C．D．2．如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．3．已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为（）A．B．C．D．5．直线l是以二元一次方程8x﹣4y=5的解为坐标所构成的直线，则该直线不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．用图象法解方程组时，下图中正确的是（）A．B．C．D．7．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（）A．B．C．D．8．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则直线与y=﹣x+5的交点坐标为（）A．（4，1） B．（1，4） C．（﹣4，1）D．（2，1）9．如果是方程组的解，则一次函数y=mx+n的解析式为（（）A．y=﹣x+2 B．y=x﹣2 C．y=﹣x﹣2 D．y=x+210．某校九年级（2）班40名同学这“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：捐款（元）1234人数67表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，假设（x，y）是两个一次函数图象的交点，则这两个一次函数解析式分别是（）A．y=27﹣x与y=x+22 B．y=27﹣x与y=x+C．y=27﹣x与y=x+33 D．y=27﹣x与y=x+33二．填空题（共10小题）11．已知一次函数y=﹣mx+4和y=3x﹣n的图象交于点P（3，1），则关于x的方程组的解是．12．如果方程组无解，那么直线y=（﹣k+1）x﹣3不经过第象限．13．如图，一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是．14．如图，已知两条直线l1、l2的交点可看作是某方程组的解，则这个方程组为．15．如图，点A的坐标可以看成是方程组的解．16．一次函数y=x+1与y=ax+3的图象交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是．17．如图，已知一次函数y=2x+b和y=kx﹣3（k≠0）的图象交于点P，则二元一次方程组的解是．18．如图，直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是．19．已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为．20．如图所示，直线L1的解析式是y=2x﹣1，直线L2的解析式是y=x+1，则方程组的解是．三．解答题（共10小题）21．如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．22．如图，（1）点A的坐标可以看成是方程组的解．（写出解答过程）（2）求出两直线与y轴所围成的三角形的面积．23．某县在实施“村村通”工程中，决定在A、B两村之间修一条公路，甲、乙两个工程队分别从A、B两村同时开始相向修路，施工期间，甲队改变了一次修路速度，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到公路修通，甲、乙两个工程队各自所修公路的长度y（米）与修路时间x（天）之间的函数图象如图所示．（1）求甲队前8天所修公路的长度；（2）求甲工程队改变修路速度后y与x之间的函数关系式；（3）求这条公路的总长度．24．汽车出发前油箱有油50L，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系．（1）汽车行驶h后加油，中途加油L；（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；（3）已知加油前、后汽车都以70km/h匀速行驶，如果加油站距目的地210km，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．25．已知在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，1）、B（4，4）．求这个一次函数的解析式．26．已知y与x成一次函数，当x=0时，y=3，当x=2时，y=7．（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）当x=4时，求y的值．27．已知y﹣3与x+5成正比例，且当x=2时，y=17．求：（1）y与x的函数关系；（2）当x=5时，y的值．28．已知一次函数的图象经过A（﹣2，﹣3），B（1，3）两点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求这个一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积．29．甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙在甲出发2小时后匀速前往B地，设甲、乙两车与A地的路程为s（千米），甲车离开A 地的时间为t（时），s与t之间的函数图象如图所示．（1）求a和b的值．（2）求两车在途中相遇时t的值．（3）当两车相距60千米时，t=时．30．某公司一辆绿化洒水车以每分50升的速度给一片树林浇水，一段时间后关闭洒水阀门，行驶到一片草坪处，以另一洒水速度匀速给草坪浇水，直到洒水车内的水全部用光，洒水车内的水量y（升）与时间x（分）之间的函数图象如图所示．（1）求a的值；（2）求洒水车给草坪浇水时y与x之间的函数关系式．（3）当x=13时，洒水车共浇水多少升？一次函数与二元一次方程专题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2017•昌平区二模）如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．【解答】解：∵直线y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的交点坐标为（2，4），∴二元一次方程组的解为，故答案为A【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．2．（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【解答】解：函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（﹣3，1），即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．故选C．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．3．（2016春•单县期末）已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征确定两直线的交点坐标，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解选择答案．【解答】解：把（﹣1，a）代入y=2x得a=﹣2，则直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，﹣2），则方程组的解为．故选D．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．4．（2016秋•滕州市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】首先将点A的横坐标代入y=x+3求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解．【解答】解：∵直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），∴当x=﹣1时，b=﹣1+3=2，∴点A的坐标为（﹣1，2），∴关于x、y的方程组的解是，故选C．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．5．（2016春•迁安市期末）直线l是以二元一次方程8x﹣4y=5的解为坐标所构成的直线，则该直线不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先用含x的代数式表示y可得一次函数解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解．【解答】解：∵8x﹣4y=5，∴y=2x﹣，∵k=2＞0，b=﹣＜0，∴图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限．故选B．【点评】此题考查了一次函数与二元一次方程，任何一个二元一次方程都可以化成一个一次函数．同时考查了一次函数图象与系数的关系．6．（2015秋•连云港期末）用图象法解方程组时，下图中正确的是（）A．B．C．D．【分析】将方程组的两个方程，化为y=kx+b的形式；然后再根据两个一次函数的解析式，判断符合条件的函数图象．【解答】解：解方程组的两个方程可以转化为：y=x﹣2和y=﹣2x+4；只有C符合这两个函数的图象．故选C．【点评】一般地，每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，也就是两条直线．从“数”的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值．从“形”的角度看，解方程组就是相当于确定两条直线的交点坐标．7．（2016春•长春期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（）A．B．C．D．【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．【解答】解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，﹣1）、（1，1）、（0，2）；分别求出图中两条直线的解析式为y=2x﹣1，y=﹣x+2，因此所解的二元一次方程组是．故选A．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．8．（2015秋•兴化市校级月考）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则直线与y=﹣x+5的交点坐标为（）A．（4，1） B．（1，4） C．（﹣4，1）D．（2，1）【分析】二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标．【解答】解：∵二元一次方程组的解是，∴直线与y=﹣x+5的交点坐标为（4，1）．故选A．【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．9．（2014•泗县校级模拟）如果是方程组的解，则一次函数y=mx+n的解析式为（（）A．y=﹣x+2 B．y=x﹣2 C．y=﹣x﹣2 D．y=x+2【分析】把方程组的解代入方程组得到关于m、n的方程组，然后求出m、n的值，再代入函数解析式即可得解．【解答】解：根据题意，将代入方程组，得，即，①×2得，6m﹣2n=2…③，②﹣③得，3m=3，∴m=1，把m=1代入①，得，3﹣n=1，∴n=2，∴一次函数解析式为y=x+2．故选D．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据方程组的解的定义得到关于m、n的方程组并求出m、n的值是解题的关键．10．（2013•荆州模拟）某校九年级（2）班40名同学这“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：捐款（元）1234人数67表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，假设（x，y）是两个一次函数图象的交点，则这两个一次函数解析式分别是（）A．y=27﹣x与y=x+22 B．y=27﹣x与y=x+C．y=27﹣x与y=x+33 D．y=27﹣x与y=x+33【分析】本题的等量关系是：捐1元的人数+捐2元的人数+捐3元的人数+捐4元的人数=40人，1元的捐款+2元的捐款+3元的捐款+4元的捐款=100元．由此可得出方程组，求出未知数的解，进而代入各选项解析式，即可得出答案．【解答】解：设捐款2元的有x人，捐款3元的有y人，则，解之得：．则捐款2元的有15人，捐款3元的有12人，当x=15，y=12时，只有代入A使得两函数解析式左右相等，故选：A．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及两函数交点问题，解题关键是求出x，y的值．二．填空题（共10小题）11．（2017春•云梦县期中）已知一次函数y=﹣mx+4和y=3x﹣n的图象交于点P （3，1），则关于x的方程组的解是．【分析】根据方程组的解即为函数图象的交点坐标解答．【解答】解：∵一次函数y=﹣mx+4和y=3x﹣n的图象交于点P（3，1），∴方程组的解是；故答案为：【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．12．（2017春•威海期中）如果方程组无解，那么直线y=（﹣k+1）x﹣3不经过第二象限．【分析】方程组无解，即直线y=﹣x+1与y=（2k+1）x﹣3平行，那么﹣1=2k+1，求出k的值，进而求解即可．【解答】解：∵方程组无解，∴直线y=﹣x+1与y=（2k+1）x﹣3平行，∴﹣1=2k+1，解得k=﹣1，在直线y=2x﹣3中，∵2＞0，﹣3＜0，∴直线y=2x﹣3经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为二．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数图象与系数的关系，求出k的值是解题的关键．13．（2016•莘县二模）如图，一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是．【分析】根据二元一次方程组的解即为两直线的交点坐标解答．【解答】解：由图可知，方程组的解是．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．14．（2016•重庆校级二模）如图，已知两条直线l1、l2的交点可看作是某方程组的解，则这个方程组为．【分析】根据函数图象可以分别求得直线l1、l2的函数解析式，从而可以解答本题．【解答】解：由函数图象可知，直线l1过点（0，），（2，3），设解析式为：y=k1+b，则，解得，，即直线l1的解析式为：y=；直线l2过点（0，0），（2，3），设解析式为y=k2x，则3=2k2，得k2=，即直线l2的解析式为：y=，故这个方程组为：，故答案为：．【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确一次函数与二元一次方程组的关系，利用数形结合的思想解答问题．15．（2016春•安陆市期末）如图，点A的坐标可以看成是方程组的解．【分析】先利用待定系数法分别求出两直线的解析式，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案．【解答】解：设过点（0，5）和点（2，3）的解析式为y=kx+b，则，解得，所以该一次函数解析式为y=﹣x+5；设过点（0，﹣1）和点（2，3）的解析式为y=mx+n，则，解得，所以该一次函数解析式为y=2x﹣1，所以点A的坐标可以看成是方程组解．故答案为．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．也考查了待定系数法求次函数解析式．16．（2016秋•郓城县期末）一次函数y=x+1与y=ax+3的图象交于点P，且点P 的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是．【分析】先把x=1代入y=x+1，得出y=2，则两个一次函数的交点P的坐标为（1，2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【解答】解：把x=1代入y=x+1，得出y=2，函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P（1，2），即x=1，y=2同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．故答案为．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．17．（2016秋•南海区期末）如图，已知一次函数y=2x+b和y=kx﹣3（k≠0）的图象交于点P，则二元一次方程组的解是．【分析】根据图象可得两个一次函数的交点坐标为P（4，﹣6），那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【解答】解：∵一次函数y=2x+b和y=kx﹣3（k≠0）的图象交于点P（4，﹣6），∴点P（4，﹣6）满足二元一次方程组，∴方程组的解是．故答案为．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．18．（2016春•沙坪坝区期中）如图，直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是．【分析】由两条直线的交点坐标（m，4），先求出m，再求出方程组的解即可．【解答】解：∵y=x=2经过P（m，4），∴4=m+2，∴m=2，∴直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P（2，4），∴，故答案为【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．19．（2016秋•曲江区校级期中）已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征确定两直线的交点坐标，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解选择答案．【解答】解：把（﹣1，a）代入y=2x得a=﹣2，则直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，﹣2），则方程组的解为．故答案为：．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．20．（2015•西藏一模）如图所示，直线L1的解析式是y=2x﹣1，直线L2的解析式是y=x+1，则方程组的解是．【分析】二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即直线l1与l2的交点的坐标．【解答】解：根据题意知，二元一次方程组的解就是直线l1与l2的交点的坐标，又∵交点坐标（2，3），∴原方程组的解是：．故答案是：【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程组的解就是组成该方程组的两条直线的图象的交点．三．解答题（共10小题）21．（2016春•浠水县期末）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P （1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．【分析】（1）直接把P（1，b）代入y=x+1可求出b的值；（2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；（3）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：（1）把P（1，b）代入y=x+1得b=1+1=2；（2）由（1）得P（1，2），所以方程组的解为；（3）直线l3：y=nx+m经过点P．理由如下：因为y=mx+n经过点P（1，2），所以m+n=2，所以直线y=nx+m也经过P点．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用一次函数图象上点的坐标特征对（3）进行判断．22．（2014秋•陕西校级月考）如图，（1）点A的坐标可以看成是方程组的解．（写出解答过程）（2）求出两直线与y轴所围成的三角形的面积．【分析】（1）先利用待定系数法分别求出两直线的解析式，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案；（2）根据函数图象与坐标轴的交点坐标和两函数的交点坐标利用三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1）设过点（0，5）和点（2，3）的解析式为y=kx+b，则，解得，所以该一次函数解析式为y=﹣x+5；设过点（0，﹣1）和点（2，3）的解析式为y=mx+n，则，解得，所以该一次函数解析式为y=2x﹣1，所以点A的坐标可以看成是方程组解．故答案为：；（2）围成的三角形的面积为：S=[5﹣（﹣1）]×2=6．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的知识，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．也考查了待定系数法求次函数解析式．23．（2017•农安县模拟）某县在实施“村村通”工程中，决定在A、B两村之间修一条公路，甲、乙两个工程队分别从A、B两村同时开始相向修路，施工期间，甲队改变了一次修路速度，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到公路修通，甲、乙两个工程队各自所修公路的长度y（米）与修路时间x（天）之间的函数图象如图所示．（1）求甲队前8天所修公路的长度；（2）求甲工程队改变修路速度后y与x之间的函数关系式；（3）求这条公路的总长度．【分析】（1）由函数图象在x=8时相交可知：前8天甲、乙两队修的公路一样长，结合修路长度=每日所修长度×修路天数可计算出乙队前8天所修的公路长度，从而得出结论；（2）设甲工程队改变修路速度后y与x之间的函数关系式为y=kx+b，代入图象中点的坐标可列出关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（3）由图象可知乙队修的公路总长度，再根据（2）得出的解析式求出甲队修的公路的总长度，二者相加即可得出结论．【解答】解：（1）由图象可知前八天甲、乙两队修的公路一样长，乙队前八天所修公路的长度为840÷12×8=560（米），答：甲队前8天所修公路的长度为560米．（2）设甲工程队改变修路速度后y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将点（4，360），（8，560）代入，得，解得．故甲工程队改变修路速度后y与x之间的函数关系式为y=50x+160（4≤x≤16）．（3）当x=16时，y=50×16+160=960；由图象可知乙队共修了840米．960+840=1800（米）．答：这条公路的总长度为1800米．【点评】本题考查了一次函数的性质、代数系数法求函数解析式，解题的关键：（1）由图象交点得出前8天甲、乙两队修的公路一样长；（2）代入点的坐标得出关于k、b的二元一次方程组；（3）代入x值求y值．本题属于基础题，难度不大，解决给题型题目是，结合图象中的点，代入函数解析式得出方程（或方程组）是关键．24．（2017•青羊区模拟）汽车出发前油箱有油50L，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系．（1）汽车行驶3h后加油，中途加油31L；（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；（3）已知加油前、后汽车都以70km/h匀速行驶，如果加油站距目的地210km，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．【分析】（1）根据函数图象3小时时油箱油量变多解答；（2）利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）求出加油前行驶的路程和用油量，再求出从加油站到目的地所需要的油量，然后判断即可．【解答】解：（1）从图象中可以看出，汽车行驶3小时后加油，中途加油45﹣14=31升；（2）因为函数图象过点（0，50）和（3，14），所以设函数关系式为y=kt+b，则，解得，因此，y=﹣12t+50；（3）油箱中的油够用．∵汽车加油前行驶了3小时，行驶了3×70=210（km），用去了50﹣14=36升油，而目的地距加油站还有210km，∴要达到目的地还需36升油，而中途加油31升后有油45升，即油箱中的剩余油量是45升，所以够用．因此，要到达目的地油箱中的油够用．【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息并准确识图，观察出油箱中的油量的变化是解题的关键．25．（2017春•普陀区期中）已知在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，1）、B（4，4）．求这个一次函数的解析式．【分析】根据点A、B的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式，此题得解．【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，1）、B（4，4）．∴，解得：．∴这个一次函数的解析式为：y=x+2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．26．（2017春•沙坪坝区期中）已知y与x成一次函数，当x=0时，y=3，当x=2时，y=7．（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）当x=4时，求y的值．【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式即可；（2）将x=4代入一次函数关系式中，求出y值即可．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（0，3）、（2，7）代入y=kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=2x+3．（2）当x=4时，y=2x+3=2×4+3=11．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）将x=4代入一次函数关系式求出y值．27．（2016秋•二道区校级期末）已知y﹣3与x+5成正比例，且当x=2时，y=17．求：（1）y与x的函数关系；（2）当x=5时，y的值．【分析】（1）由y﹣3与x+5成正比例，设y﹣3=k（x+5），把x与y的值代入求。

专题二次函数与一元二次方程(5个考点)(题型专练+易错精练)

专题5.3 二次函数与一元二次方程（5个考点）【考点1 二次函数与x 轴交点问题】【考点2 图象法确定一元二次方程的根】【考点3已知函数值y 求x 的取值范围】【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】【考点5二次函数综合】【考点1 二次函数与x 轴交点问题】1．在平面直角坐标系中，二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，则另一个交点的横坐标为（）A ．5B ．3C ．3-D ．5-2．抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标（）A ．（0，8）B ．（0，-8）C ．（0，6）D ．（-2，0），（-4，0）3．二次函数256y x x =--与坐标轴的交点个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．如图，二次函数2y x mx n =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为(5,0)，那么关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的解为（）A ．15x =，21x =B ．15x =，21x =-C ．15x =，25x =-D ．5x =5．已知二次函数22y x x m =--+的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为（）A ．3或1B ．3-或1C ．3或3-D ．3-或1-6．若抛物线224y x x =-与x 轴分别交于A 、B 两点，A 、B 两点间的距离是．7．若二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，则b 满足的条件是．【考点2 图象法确定一元二次方程的根】8．根据下列表格对应值：x3.24 3.253.262ax bx c++0.020.01-0.03-判断关于x 的方程20ax bx c ++=的一个解的范围是（）A ． 3.24x 9．观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x 2﹣x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A ．1.5＜x ＜1.6B ．1.6＜x ＜1.7C ．1.7＜x ＜1.8D ．1.8＜x ＜1.910．下表是一组二次函数 y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值：那么下列选项中可能是方程 20ax bx c ++=的近似根的是（）x 1.21.31.4 1.5 1.6y0.36-0.01-0.360.751.16A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.511．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数2210y x x =+-的图象．由图象可知，方程22100x x +-=有两个根，一个在5-和4-之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（）x4.1- 4.2- 4.3- 4.4-y1.39-0.76-0.11-0.56A ． 4.12-B ． 4.23-C ． 4.32-D ． 4.43-12．根据下列表格，判断出方程28910x x +-=的一个近似解（结果精确到0.01）是（）x1.5- 1.4- 1.3- 1.2- 1.1-2891x x +- 3.52.080.820.28- 1.22-A ． 1.45-B ． 1.35-C ． 1.25-D ． 1.15-13．下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是（）x1.5-00.51.52y ax bx c=++ 1.25-2- 1.25- 1.75A ．2 1.5x -<<-B ． 1.50x -<<C ．00.5x <<D ．0.5 1.5x <<【考点3已知函数值y 求X 的取值范围】14．已知函数222y x x =--的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得1y £时，x 的取值范围是（）A ．3x ³-B ．31x -££C ．13x -££D ．1x £-或3x ³15．已知一次函数()10y kx m k =+¹和二次函数()220y ax bx c a =++¹部分自变量和相应的函数值如表，当21y y >时，自变量x 的取值范围是( )x×××1-0245×××1y ×××01356×××2y ×××1-059×××A ．12x -<D ．1x <-或4x >16．已知关于x 的一元二次方程2x mx n 0++=的两个实数根分别为1x a =，2x b =（a b <），则二次函数2y x mx n =++中，当y 0<时，x 的取值范围是（）A ．x aC ．a x b<<D ．x a <或x b>17．已知二次函数222y x x -=-，当1y >时，则x 的取值范围为（）A ．13x -<D ．3x <-或1x >18．如图，对于抛物线2y ax bx =+，若当x <3时，y 随x 的增大而减小；当x >3时，y 的值随x 的增大而增大，则使y <0的x 的取值范围为．19．如图，已知点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，当y m >时，x 的取值范围是．20．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 分别交坐标轴于A （-2，0）、B （6，0）、C （0，4），则0≤ax 2+bx+c<4的解是．21．函数y =-x 3+x 的部分图像如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是．【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】22．如图是二次函数()210y ax bx c a =++¹和一次函数()20y mx n m =+¹的图象，当12y y <时，x 的取值范围是．23．如图，抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交于(1,0)A 、(4,3)B 两点，则当21y y >时，x 的取值范围为．24．直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象如图，当12y y >时，x 的取值范围为25．如图，抛物线21y ax =与直线2y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则12y y £，x 的取值范围是．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于()31A --，，()03B ，两点．则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是．27．二次函数21y ax bx c =++的图象与一次函数2y kx b =+的图象如图所示，当21y y >时，根据图象写出x 的取值范围．28．如图，直线y ＝px +q （p ≠0）与抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）交于A （﹣2，m ），B （1，n ）两点，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ≤px +q 的解集是．29．如图，直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （−1，p ），B （5，q ）两点，则关于x 的不等式mx+n<a 2x +bx+c 解集是．【考点5二次函数综合】30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的图象经过点()0,3A -，()1,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出3y <-时，x 的取值范围．31．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于O （O 为坐标原点）、A 两点，且二次函数的最小值为2-，点()1,M m 是其对称轴上一点，点B 在y 轴上，1OB =．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连接PA ，PB ，求PAB V 面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，二次函数22y ax ax c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，且3OA OC ==．(1)求二次函数及直线AC 的解析式．(2)P 是拋物线上一点，且在x 轴上方，若45ABP Ð=°，求点P 的坐标．33．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2112y x bx =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且线段OA OB =．（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2bx a=-）(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM CM -的值最大，求点M 的坐标．34．将抛物线2(0)y ax a =¹向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．35．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线334y x =+经过A 、C 两点，点D 是第二象限内抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AD 、CD ，求ACD V 面积的最大值；(3)若点D 关于直线BC 的对称点D ¢恰好落在直线AC 上，求点D 的坐标.1．A【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与x 轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：Q 二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的对称轴为4222-=-=-=b a x a a，且图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，\由抛物线上点的对称性可知，图象与x 轴的另一个交点的横坐标为5，故选：A ．2．D【分析】把y=0代入函数解析式得到x 2+6x+8=0，解方程即可．【详解】解：把y=0代入函数解析式得x 2+6x+8=0，解得 x 1=-2，x 2=-4，∴抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标为（-2,0），（-4,0）．故选：D【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求抛物线与x 轴交点坐标就是求当y=0时自变量的取值．3．C【分析】先计算=0x 的函数值得到抛物线与y 轴的交点坐标，再解方程2560x x --=得抛物线与x 轴的交点坐标，从而可判断抛物线与坐标轴的交点坐标．【详解】解：当=0x 时，2566y x x =--=-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)-，当=0y 时，2560x x --=，解得121,6x x =-=，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0),(6,0)-，∴二次函数256y x x =--与坐标轴有3个交点．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标及解一元二次方程，抛物线与x 的的交点纵坐标为0，与y 轴的交点横坐标为0．4．B【分析】此题考查的是求二次函数图象与x 轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．【详解】解：由图象可知：二次函数2y x mx n =-++图象的对称轴为直线2x =，∵图象与x 轴的一个交点为(5,0)，∴图象与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，∴关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的两实数根是125,1x x ==-故选B ．5．B【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x 轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解．【详解】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线212(1)x -=-=-´-，与x 轴的一个交点是(3,0)-，则该函数与x 轴的另一个交点是(1,0)，即当0y =时，220x x m --+=时，13x =-，21x =，故关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为13x =-，21x =，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6．2【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键．0y =代入224y x x =-求出两个交点后，即可得到两点间的距离．【详解】解：、把0y =代入224y x x =-得：2240x x -=解得：2x =或0，∴202AB =-=，故答案为：2．7．1-或0【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．【详解】解：∵二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，∴分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；①当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点时，()2240b D =--=，解得1b =-；②当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，0b =，∴()222y x x x x +==+，与x 轴有2个公共点，为()20-，或()00，，综上所述，b 的值为1-或0，故答案为：1-或0．8．B【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当20ax bx c ++=时，x 的取值范围为：3.24 3.25x <<，即可．【详解】由上表可知当20ax bx c ++=，关于x 的方程的一个解的范围为：3.24 3.25x <<，故选：B ．9．B【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x ＜1.7．【详解】解：因为x =1.6时，x 2-x =0.96，x =1.7时，x 2-x =1.19，所以一元二次方程x 2﹣x =1.1的一个解的范围为1.6＜x ＜1.7．故选：B ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10．B【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．【详解】观察图表的，得0.01-与零的距离最小，方程 20ax bx c ++=的近似根的是： 1.3x =故选B ．11．C【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y 等于0时得到的x 值即为方程22100x x +-=的解．分析题干中的表格，取y 值最接近0时x 的值作为方程的近似解．【详解】解：由表格可知，当 4.3x =-时，0.110y =-<，当 4.4x =-时，0.560y =>，则方程的一个根在 4.3-和 4.4-之间， 4.3x =-时的y 值比 4.4x =-时更接近0，\方程的一个近似根为： 4.32-．故选：C ．12．C【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，再找到表格中2891x x +-的值最接近0的数即可，掌握二次函数的图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系是解题关键．【详解】解：方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，即关于函数2891y x x =+-，0y =时，x 的取值，由表格可知：当 1.2x =-时，函数y 的值最接近0，\方程的近似解是 1.25-，故选：C ．13．D【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，根据表格找到y 由负变为正时，自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：由表格中的数据可知，当0.5x =时， 1.250y =-<，当 1.5x =时， 1.750y =>，∴方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是0.5 1.5x <<，故选D ．14．C【分析】令y=1，求解出x 的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x 均符合题意要求.【详解】解：令y=1，则2221x x --=，解得x=-1或3，则由图像可知当13x -££时，可使得1y £，故选择C.【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识.15．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1<x<4时,y 1>y 2,从而得到当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围.【详解】∵当x=0时,y 1=y 2=0;当x=4时,y 1=y 2=5；∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，而−1<x<4时, y 1>y 2，∴当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围是x<−1或x>4.故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义.16．C【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=a ，x 2=b （a ＜b ），∴二次函数y=x 2+mx+n 与x 轴的交点坐标分别是（a ，0）、（b ，0）（a ＜b ），且抛物线的开口方向向上，∴该二次函数的图象如图所示：根据图示知，符合条件的x 的取值范围是：a ＜x ＜b ；故选C ．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．17．C【分析】先求出当1y =时，对应的x 的值，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：当1y =时，即2221x x --=，解得：1231x x ==-，，∵10a =>，∴图象开口向上，∵1y >，∴1x <-或3x >故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．18．06x <<【分析】求出抛物线与x 轴的交点坐标即可解决问题．【详解】解：由题意对称轴x =3，抛物线经过（0，0）和（6，0），观察图象可知：使y ＜0的x 的取值范围为0＜x ＜6．故答案为：0＜x ＜6．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．2x <-或4x >【分析】先将4x =代入223y x x =--求出m 的值，再令y m =，解一元二次方程，结合二次函数图象即可得出x 的取值范围．【详解】解：Q 点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，\242435m --=´=，令5y m ==，则2235x x --=，即2280x x --=，解得12x =-，24x =，Q 抛物线开口向上，\当y m >即>5y 时，x 的取值范围是2x <-或4x >．故答案为：2x <-或4x >．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据交点确定不等式的解集等，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合的思想．20．-2≤x ＜0或4＜x≤6【分析】根据点A 、B 的坐标确定出对称轴，再求出点C 的对称点的坐标，然后写出即可．【详解】解：∵A （-2，0）、B （6，0），∴对称轴为直线x=262-+=2，∴点C 的对称点的坐标为（4，4），∴0≤ax 2+bx+c ＜4的解集为-2≤x ＜0或4＜x≤6．故答案为：-2≤x ＜0或4＜x≤6．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C 点的对称点的坐标．21．x ＜-1或0＜x ＜1【分析】根据y =0时，对应x 的值，再求函数值y ＞0时，对应x 的取值范围．【详解】解：y =0时，即-x 3+x =0，∴-x (x 2-1)=0，∴-x (x +1) (x -1)=0，解得x =0或x =-1或x =1，∴函数y =-x 3+x 的部分图像与x 轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），故当函数值y ＞0时，对应x 的取值范围上是：x ＜-1，0＜x ＜1．故答案为：x ＜-1或0＜x ＜1．【点睛】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．22．2<<1x -【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得21y y >的自变量x 的取值范围就是直线()20y mx n m =+¹落在二次函数()210y ax bx c a =++¹的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．【详解】根据图象可得出：当21y y >时，x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．23．14x <<【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答．【详解】解：抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交点为(1A ，0)(4B ，3)，由图象知，当21y y >时，x 的取值范围14x <<，故答案为：14x <<．24．2x <-或x >1##x >1或2x <-【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象交点的横坐标分别为2,1-，∴当12y y >时，x 的取值范围为：2x <-或1x >，故答案为：2x <-或1x >．【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．25．21x -££【分析】直接观察图象，即可求解．【详解】解：观察图象得：当21x -££时，12y y £，∴12y y £时，x 的取值范围是21x -££．故答案为：21x -££【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图象的交点的横坐标是解题的关键．26．3x £-或0x ³##0x ³或3x £-【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y kx m =+交于()31A --，、()03B ，，∴不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是3x £-或0x ³，故答案为：3x £-或0x ³．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x 的取值范围．27．2<<1x -【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出21y y >时，x 的取值范围．【详解】解：当21y y >时，即一次函数2y kx b =+的图象在二次函数21y ax bx c =++的图象的上面，可得x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确信息．28．x ≤﹣2或x ≥1##x ≥1或x ≤﹣2【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式ax2+bx+c≤px+q 的解集．【详解】解：由图象可得点A 左侧与点B 右侧抛物线在直线下方，∴x ≤﹣2或x ≥1时，ax 2+bx +c ≤px +q ，故答案为：x ≤﹣2或x ≥1．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．29．-1＜x ＜5【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集．【详解】解：∵直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （-1，p ），B （5，q ）两点，∴关于x 的不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 解集是-1＜x ＜5故答案为：-1＜x ＜5．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．30．(1)223y x x =+-(2)20x -<<【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系.（1）根据待定系数法即可求得；（2）令=3y -求出x 的值，即可求解.【详解】（1）解：将点(0,3),(1,0)A B -代入2y x bx c =++得：301c b c -=ìí=++î，解得：2,3b c =ìí=-î223y x x \=+-.（2）令=3y -即2233x x +-=-，解得：120,2x x ==-，Q 抛物线开口向上，\3y <-时，20x -<<。

2020学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系练习(含解析)新人教B版必修第一册

3.2 函数与方程、不等式之间的关系最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.知识点一函数的零点1．零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y ＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且f (a )f (b )<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )中至少有一个零点，即∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)＝0.状元随笔定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.[基础自测]1．函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A.23；23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0；23 C ．－23；－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0；－23 解析：令3x －2＝0，则x ＝23，∴函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，函数零点为23.答案：B2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3] B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D4．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型一函数零点的概念及求法例1 (1)下列图像表示的函数中没有零点的是( )(2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．【解析】 (1)由图观察，A 中图像与x 轴没有交点，所以A 中函数没有零点． (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得：－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．【答案】 (1)A (2)(－4,1)状元随笔 1.由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x 轴是否有交点． 2．求函数对应方程的根即为函数的零点．方法归纳函数零点的求法求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 2＋x －a 的一个零点是－3，求实数a 的值，并求函数f (x )其余的零点．解析：由题意知f (－3)＝0，即(－3)2－3－a ＝0，a ＝6.所以f (x )＝x 2＋x －6. 解方程x 2＋x －6＝0，得x ＝－3或2. 所以函数f (x )其余的零点是2.由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a. 题型二确定函数零点的个数[教材P 111例6]例2 求证：函数f(x)＝x3－2x＋2至少有一个零点．【证明】因为f(0)＝2>0，f(－2)＝－8＋4＋2＝－2<0，所以f(－2)f(0)<0，因此∃x0∈[－2,0]，f(x0)＝0，即结论成立.教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像．根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．答案：(1)B (2)一个状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．题型三判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【解析】因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3－1＞ln e －1＝0，f (2)·f (3)＜0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C状元随笔根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( )A.(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：f (2)＝22－1＋2－5＜0，f (3)＝23－1＋3－5＞0，故f (2)·f (3)＜0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)＜0求零点区间．题型四函数零点的应用[经典例题]例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【解析】作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.【答案】(3，＋∞)方法归纳已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．跟踪训练4 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.答案：1状元随笔求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解．课时作业 19一、选择题1．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤0)，x －1 (x ＞0) D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)，x －1 (x ＜0)解析：令y ＝0，得A 中函数的零点为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；C 中函数的零点为1，－1；只有D 中函数无零点．答案：D2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.答案：C3．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0.5,1)，f (0.875)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25) 解析：∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0， ∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f (0.25)，故选D. 答案：D4．已知函数f (x )＝|x |＋1，g (x )＝k (x ＋2)．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)解析：作出f (x )，g (x )图像，如图．因为A (0,1)，B (－2,0)，k AB ＝1－00－(－2)＝12，要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图像有两个不同的交点，由图可知，12＜k ＜1.答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．解析：方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又 f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上的图像是连续的，故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．方法二令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x >0x 2－x －2 x ≤0的零点为________．解析：f (x )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2＝0，∴x ＝1，x ＝－1，x ＝2(舍) 答案：1，－17．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＜0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________．解析：由题意函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上单调递增，函数f (x )在(0,1)上有零点，可得：f (1)·f (0)＜0.∴a (2＋a )＜0.∴－2＜a ＜0. 答案：(－2,0) 三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x； (2)f (x )＝x 2＋2x ＋4. 解析：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3，所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点.9．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝nx 2＋mx ＋3的零点个数．解析：由题可知，f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2. 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.∴y ＝2x 2－2x ＋3∵Δ＝4－4×2×3＝－20<0 ∴无零点．[尖子生题库]10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得 103＜a ＜174.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。

八年级数学下册《一次函数与方程、不等式》练习题及答案(人教版)

八年级数学下册《一次函数与方程、不等式》练习题及答案(人教版)A ．x ＜﹣2B ．x ＞﹣2C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1A ．4x ≥B ．4x ≤C ．2x ≥D ．2x ≤33A ．3x C ．4x <D ．>4x5．如图，已知一次函数y ＝ax +b 和y ＝kx 的图象相交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组0ax y b kx y -+=⎧⎨-=⎩的解是（）A ．24x y =⎧⎨=-⎩B ．24x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =-⎧⎨=-⎩D ．42x y =-⎧⎨=-⎩ 6．直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21+k x k x b >的解集为（）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣17．数形结合是解决数学问题常用的的思想方法.如图，一次函数1y x b =+与一次函数24y kx =+的图象交于点()1,3P ，根据图象可知，关于x 的不等式4x b kx +>+的解集是（）A ．3x >B ．3x <C ．1x >D ．1x <8．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当x ＜1时，y 的取值范围是（）A ．－2＜y ＜0B ．－4＜y ＜0C ．y ＜－2D ．y ＜－49．如图，直线y=-x+m 与y=nx+4n （n≠0）的交点的横坐标为-2．则下列结论：①m＜0，n ＞0；②直线y=nx+4n 一定经过点（-4，0）；③m 与n 满足m=2n-2；④当x ＞-2时，nx+4n ＞-x+m ，其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，直线y x m =-+与4y nx n =+的交点的横坐标为2-，则关于x 的不等式40nx n x m +>-+>的整数解可能是（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．1二、填空题11．已知直线x+2y=5与直线x+y=3的交点坐标是（1，2），则方程组253x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是_________． 12．一次函数1y mx n =+与2y x a =-+的图象如图所示，则mx n x a +<-+的解集为______．13．直线1l ：y ax b =-与直线2l ：y kx =-在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x 的不等式ax b kx -+>的解集为____________．14．若方程x y c +=和x y p -=的公共解是21x y =⎧⎨=-⎩，则直线y c x =-与直线y x p =-的交点坐标是________. 15．对于一次函数y=-2x+1 ，当-2≤x≤3 时，函数值y 的取值范围是________________．三、解答题16．如图，直线1:l y kx b =+与直线2:4l y x =-+交于点(),2C m ，直线1l 经过点()4,6．（1）求直线1l 的函数表达式；（2）直接写出方程组4y kx b y x =+⎧⎨=-+⎩的解______；（3）若点()3,P n 在直线1l 的下方，直线2l 的上方，写出n 的取值范围______．17．已知函数y 4x 8=--．（1）当x 取哪些值时 y 0≥？（2）当x 取哪些值时 y 4≤？18．画出y ＝2x ﹣4的图象，确定x 取何值时（1）y >0；（2）y <﹣4．（1）求点A的坐标．参考答案1．B2．D3．C4．D5．D6．D7．C（1）当x＞2时，y＞0；。

高考数学(理科)-函数与方程-专题练习(含答案与解析)

)()2,+∞)()2,+∞（名师押题）已知函数,x0<() g x)4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭17-1（1）17-1（2）B．12D．8()＝有两个不同的零点y f x0,1,).}(∞＋）()g x x ＝＋等号成立的条件是因而只需2,m e g ≥()21,f x e ＝－－＋其最大值为m －即m e ＞－()故函数f(x)有两个零点.]＝－2(正根舍去),B．y＝b的图象,如图所示从而函数f(x)＝|2x－2|－b的图象,如图所示,当直线g 有两个不相等的实根时,k 的范围为所以函数f (x )的图象关于直线⎭⎫12|x |在[－3,3]上的图象,由图可知上的奇函数,所以当－1≤x ＜0时,的图象的对称轴为x ＝2k 与函数f (x )的图象在(0,6)内的零点之和为2×1＋2×5＝＝1或a ＞2,即0＜a ＜x ＝0不是y ＝f (x )－g (x )的零点.内的零点个数即方程f (x )＝g (x )(－＋2x ;即k ＝4cos πx .⎧2上有且仅有三个零点, ∞)上只有三个交点, ⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋－x －1－x－1，1－x ＞0⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，－x －x ≥1时,函数g (．D [当＞0时x －x 2，x )的图象,结合函数图象可知⎪⎪x －2－由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有由图可知a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.]7．10 [问题可转化为y ＝⎝⎛⎭⎫12|x －⎦⎤n n －2×9和(n ,＋∞)内都恰有一个零点＝1f x ＋－1⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－－1＜，xx ，由图象可知0＜m ≤k AB ＝13.] 是周期等于3的周期函数f (x )与函数y ＝1|x |的交点的个数⎩⎪⎨－x ，f x ＋x ＜的图象如图所示,l ,观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l :有且只有两个不相等的实数根时,a ＜1,故选C ．] ))＝0,个交点,从小到大依次设为x1,x2,x3,x4,x5,＝f(－x),所以log4(4－1＋e2,其最大值为m－1 ,。

第二章一元二次函数、方程和不等式章节练习

第二章一元二次函数、方程和不等式章节练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合*{|2}N M x x =∈≤，则以下关系正确的是（） A ．0M ∈ B ．2M ∉ C ．{0,1,2}M ⊆D ．{0,1,2}M2．设R x ∈，则“0x >”是“3x >”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又非必要条件3．比较()23x -与()()24x x --的大小（） A ．无法比较大小 B ．()()()2324x x x ->-- C ．()()()2324x x x -=--D ．()()()2324x x x -<--4．不等式()()130x x ++<的解集是（） A ．RB ．∅C ．{31}xx -<<-∣ D ．{3xx <-∣，或1}x >- 5．已知1a >，则41a a +-的最小值是（） A．5B ．6C ．D ．6．已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为（） A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 C ．∃x 0＞0，总有（x 0+1）ln x 0≤1 D ．∃x 0≤0，总有（x 0+1）ln x 0≤17．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（）A ．{}21x x -<C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥8．已知对于任意实数2,20x kx x k -+>恒成立，则实数k 的取值范围是（） A ．1k > B ．11k -<< C ．1k <-D ．1k >-二、多选题9．已知0,0a b <>，那么下列不等式中一定成立的是（） A ．0b a -> B ．a b > C ．2a ab >D ．11ab<10．与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（） A ．220x x --<+ B ．22320x x -+> C ．230x x -+≥D ．220x x +->11．以下结论正确的是（）A ．函数21x y x+=的最小值是2B ．若a ，R b ∈且0ab >，则2b aa b+≥C ．若x ∈R ，则22132x x +++的最小值为3D ．函数()120y x x x=++<的最大值为0 12．下列说法正确的是( )A ．已知0＜x 12＜，则x (1﹣2x )的最大值为18B ．当43x <时，13134y x x =-+-的最大值是1 C ．若13a <<，25b <<，则231a b -+的取值范围是14<<-x D ．若()227M a a =-+，()()23N a a =--，则M N <三、填空题13．不等式262x x -->的解集为______． 14．(4)(3)0x x --≥的解集是_______. 15．不等式013≤+-x x 的解集是_____. 16．已知23M x x =-,233N x x =-+-，则M ,N 的大小关系是 _____．四、解答题17．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x ++与2259x x ++；（2）2(3)x -与(2)(4)x x --；18．求下列不等式的解集(1)2560x x --> (2)2690x x -+>(3)230x x -+-> (4) 0)3)(2(<-+x x19．求下列不等式的解集：(1)2690x x ++>； (2)230x x ->； (3)325x x ->-．20．已知正数,a b 满足1a b +=. (1)求ab 的取值范围； (2)求28a b+的最小值.21．设集合{}1A x x a =-<<，{}260B x x x =+-<，全集R U =.(1)若4a =，求A B ；(2)若A B A =，求a 的取值范围.22．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为x 米，宽为y 米.(1)若菜园面积为36平方米，则x ，y 为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，求2x yxy +。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(函数与方程、函数的实际应用)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（函数与方程、函数的实际应用）练习一、基础小题练透篇1．[2023ꞏ北京市清华附中高三模拟]函数f (x )＝ln x ＋x －6的零点一定位于区间( ) A ．(2，3) B ．(3，4) C ．(4，5) D ．(5，6)2．[2023ꞏ辽宁省名校联考]函数f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋c 的零点个数为( ) A ．1 B ．1或2C ．2或3D ．1或2或33．[2023ꞏ陕西省汉中高三模拟]关于函数f (x )＝(ln x )2－2ln x ，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )有2个零点 B ．函数f (x )有4个零点 C ．e 是函数f (x )的一个零点 D ．2e 是函数f (x )的一个零点4．[2023ꞏ河南省新乡市三模]已知函数f (x )＝|x 2＋3x ＋1|.若关于x 的方程f (x )－a |x |＝0恰有两个不同的实根，则a 的取值范围是( )A ．(1，5)B ．[1，5]C ．(1，5)∪{0}D ．[1，5]∪{0}5．[2023ꞏ内蒙古自治区赤峰市试题]核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量X 与扩增次数n 满足lg X n ＝n lg (1＋p )＋lg X 0，其中X 0为DNA 的初始数量，p 为扩增效率．已知某被测标本DNA 扩增12次后，数量变为原来的1 000倍，则扩增效率p 约为( )(参考数据：100.25≈1.778，10－0.25≈0.562)A ．22.2%B ．43.8%C ．56.2%D ．77.8%6．[2023ꞏ湖北省黄冈中学考试]若函数f (x )＝x 2＋ax －a2 在区间(－1，1)上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－2，23B ．⎝⎛⎭⎫0，23C ．(2，＋∞)D ．(0，2)7．[2023ꞏ河南豫南九校联考]食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康造成了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每年共投入200万元，每个大棚至少投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P (单位：万元)、种黄瓜的年收益Q (单位：万元)与投入金额a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14 a ＋120.设甲大棚的投入金额为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)，合理安排甲、乙两个大棚的投入金额，则两个大棚的总收益f (x )的最大值为________万元．8.[2023ꞏ陕西咸阳二模]为了抗击新冠肺炎，某医药公司研制出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h)的函数关系为y ＝⎩⎨⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12，其图象如图所示，实验表明，当药物释放量y <0.75 mg/m 3时对人体无害．(1)k ＝________；(2)为了不使人受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．二、能力小题提升篇1.[2023ꞏ广东深圳第二次质检]函数f (x )＝x －4－(x ＋2)ꞏ⎝⎛⎭⎫23 x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]已知函数f (x )，g (x )的定义域为R ，f (x ＋1)是奇函数，g (x ＋1)是偶函数，若y ＝f (x )ꞏg (x )的图象与x 轴有5个交点，则y ＝f (x )ꞏg (x )的零点之和为( )A ．－5B ．5C ．－10D ．103．[2023ꞏ北京理工大学模拟]每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越千山万水来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v ＝12 log 3x100 －lg x 0(单位：km/min)，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min ，雌鸟的飞行速度为0.8 km/min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的( )A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍4．[2023ꞏ四川省南充市试题]设函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x －2)＋f (x )＝0.当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 3，则下列结论中正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称B ．函数y ＝f (x )在区间[7，9]单调递减C ．当x ∈[－1，2 023]时，f (x )有1 012个零点D ．函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称5．[2023ꞏ广西柳州二模]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x <1，（x －2a ）（x －a 2），x ≥1 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．6．[2023ꞏ清华大学附属中学期中]函数y ＝f (x )的定义域为[－2.1，2]，其图象如图所示，且f (－2.1)＝－0.96.(1)若函数y ＝f (x )－k 恰有2个不同的零点，则k ＝________；(2)已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，x 3＋2x －16，x >0，则y ＝g (f (x ))有________个不同的零点．三、高考小题重现篇1.[2019ꞏ全国卷Ⅲ]函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]上的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e－0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．693．[2020ꞏ山东卷]基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 4．[2019ꞏ全国卷Ⅱ]2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2 ＋M 2r 2 ＝(R ＋r )M 1R3 .设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2 ≈3α3，则r 的近似值为( ) A ．M 2M 1 R B ．M 22M 1RC ．33M 2M 1 RD ．3M 23M 1 R5．[2020ꞏ天津卷]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x ，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 ∪(22 ，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 ∪(0，22 ) C ．(－∞，0)∪(0，22 ) D ．(－∞，0)∪(22 ，＋∞)四、经典大题强化篇1.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0). (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．2．[2023ꞏ福建省龙岩市试题]为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y (单位：元)与上市时间x (单位：天)的数据如下表上市时间x /天 2 6 32 市场价y /元 148 60 73(1)根据上表数据，从①y ＝ax ＋b ()a ≠0 ，②y ＝ax ＋b ()a ≠0 ，③y ＝a log b x (a ≠0，b >0，b ≠1)，④y ＝ax ＋bx (a >0，b >0)中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系(无需说明理由)，并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(2)记你所选取的函数y ＝f (x )，若对任意x ∈[k ，＋∞）（k >0），不等式kf (x )－32k －210≥0恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案一基础小题练透篇1．答案：C答案解析：由题意得f （x ）＝ln x ＋x －6为连续函数，且在（0，＋∞）单调递增， f （2）＝ln 2－4<0，f （3）＝ln 3－3<0，f （4）＝ln 4－2<ln e 2－2＝0，f （5）＝ln 5－1>ln e －1＝0，根据零点存在性定理，f （4）·f （5）<0，所以零点一定位于区间（4，5）. 2．答案：A答案解析：因为函数f （x ）＝x 3＋x 2＋x ＋c ，所以f ′（x ）＝3x 2＋2x ＋1，因为Δ＝4－12＝－8<0，所以f ′（x ）>0，从而f （x ）＝x 3＋x 2＋x ＋c 在R 上单调递增，又当x →－∞时，f （x ）→－∞，当x →＋∞时，f （x ）→＋∞，由零点存在定理得：函数f （x ）＝x 3＋x 2＋x ＋c 有且只有一个零点．3．答案：A答案解析：令（ln x ）2－2ln x ＝ln x ·（ln x －2）＝0，解得：x ＝1或x ＝e 2，所以函数f （x ）有2个零点．4．答案：C 答案解析：当x ＝0时，f （0）＝1≠0，故x ＝0不是方程f （x ）－a |x |＝0的根，当x ≠0时，由f （x ）－a |x |＝0得，a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x＋3 ，方程f （x ）－a |x |＝0恰有两个不同的实根等价于直线y ＝a 与函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x＋3 的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示，由图可知，a ＝0或1<a <5. 5．答案：D答案解析：由题意知，lg （1 000X 0）＝12lg （1＋p ）＋lg X 0，即lg 103＋lg X 0＝12lg （1＋p ）＋lg X 0，即3＋lg X 0＝12lg （1＋p ）＋lg X 0，所以1＋p ＝100.25≈1.778，解得p ≈0.778＝77.8%. 故选D. 6．答案：B答案解析：因为f （x ）为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－a2，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0f （1）>0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2<0－1<－a 2<1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a －a2>01＋a －a 2>0⎝ ⎛⎭－a 22－a 22－a 2<0－2<a <2，解得0<a <23 ，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 . 7．答案：282答案解析：f （x ）＝80＋42x ＋14 ×（200－x ）＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20，得20≤x ≤180，故f （x ）＝－14 x ＋42x ＋250（20≤x ≤180）.令t ＝x ，t ∈[25 ，65 ]，则g （t ）＝－14 t 2＋42 t ＋250＝－14 （t －82 ）2＋282，当t ＝82 时，即x ＝128时，f （x ）max ＝282，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．8．答案：（1）2 （2）40答案解析：（1）由图象可知，当t ＝12时，y ＝1，则2k ＝1，所以k ＝2.（2）由（1）可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0<t <12，12t，t ≥12，当0<t <12 时，y ＝2t 单调递增；当t ≥12 时，y ＝12t 单调递减．令12t <0.75，解得t >23.所以在消毒后至少经过23小时，即40分钟后人方可进入房间．二能力小题提升篇1．答案：C答案解析：令f （x ）＝0，得x －4＝（x ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x，显然x ＝－2不是该方程的根，故等价变形得到x －4x ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x ，在同一直角坐标系中分别作出y ＝x －4x ＋2 ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x 的图象如图所示，观察可知，它们有2个交点，故函数f （x ）＝x －4－（x ＋2）·⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x 有2个零点．2．答案：B答案解析：由题意，f （－x ＋1）＝－f （x ＋1）⇔f （2－x ）＝－f （x ），又g （2－x）＝g （x ），所以f （2－x ）·g （2－x ）＝－f （x ）g （x ），所以函数y ＝f （x ）·g （x ）的图象关于点（1，0）对称．设y ＝f （x ）·g （x ）的零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，易知x 3＝1，设x 1<x 2<1<x 4<x 5，则x 1＋x 5＝x 2＋x 4＝2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝5.故选B. 3．答案：B答案解析：设雄鸟每分钟的耗氧量为x 1，雌鸟每分钟的耗氧量为x 2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1.3＝12log 3x 1100－lg x 00.8＝12log 3x 2100－lg x 0，两式相减可得12 ＝12 log 3x 1x 2 ，所以log 3x 1x 2 ＝1，即x 1x 2 ＝3，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．故选B. 4．答案：C答案解析：对于f （x －2）＋f （x ）＝0，有f （x ）＋f （x ＋2）＝0⇒f （x ＋2）＝－f （x ）⇒f ()x ＋4 ＝－f （x ＋2）＝f （x ），即f （x ）周期为4.又对于f （x －2）＋f （x ）＝0，有f （x ＋1）＋f （x －1）＝0⇒f （x ＋1）＝－f （x －1），因f （x ）是定义在R 上的奇函数．则f ()1＋x ＝f ()1－x ，故f （x ）关于x ＝1对称．又当x ∈[]－1，1 时，f （x ）＝x 3，据此可做出f （x ）部分图象如下．对于A 选项，结合图象可知：f （x ）图象关于x ＝1＋2k ，k ∈Z 对称，故A 错误．对于B 选项，因f （x ）周期为4，故f （x ）在[]7，9 上单调性与f （x ）在[]－1，1 上保持一致．又当x ∈[]－1，1 时，f （x ）＝x 3，f （x ）在[]－1，1 上单调递增，故B 错误．对于C 选项，结合图象可知：f （x ）零点为2k ，k ∈Z ，则令－1≤2k ≤2 023，解得：0≤k ≤1011，故当x ∈[]－1，2 023 时，f （x ）有1 012个零点，故C 正确．对于D 选项，结合图象可知：f （x ）图象关于()2k ，0 对称，其中k ∈Z ，故D 错误．故选C.5．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 ∪{2}∪[e，＋∞）答案解析：易知当a ≤0时，不满足题意；当0<a <2时，e －a >0，要使函数f （x ）恰有2个零点，则a 2<1≤2a ，得12≤a <1；当a ＝2时，由e x－2＝0，得x ＝ln 2，满足x <1，由（x －2a ）（x －a 2）＝0，得x ＝4，此时f （x ）共有2个零点，满足题意；当a >2时，a 2>2a >4，要使函数f （x ）恰有2个零点，则e －a ≤0，即a ≥e.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 ∪{2}∪[)e ，＋∞ .6．答案：（1）4或0 （2）4 答案解析：（1）∵y ＝f （x ）－k 恰有2个不同的零点，∴y ＝f （x ）和y ＝k 的图象有2个不同的交点．由图可得当y ＝f （x ）和y ＝k 的图象有2个不同的交点时，k ＝4或k ＝0.（2）∵g （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，x 3＋2x －16，x >0， ∴当x ≤0时，由2x ＋1＝0，得x ＝－12 .当f （x ）＝－12时，由图可知g （f （x ））＝0有一个解．当x >0时，易知g （x ）＝x 3＋2x －16单调递增，∵g （2）＝－4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）上有一个零点x 0，当f （x ）＝x 0，x 0∈（2，3）时，由f （x ）的图象可知g （f （x ））＝0有3个解，∴y ＝g （f （x ））共有4个零点．三高考小题重现篇1．答案：B答案解析：由f （x ）＝2sin x －sin 2x ＝2sin x －2sin x cos x ＝2sin x ·（1－cos x ）＝0得sin x ＝0或cos x ＝1，∴x ＝k π，k ∈Z ，又∵x ∈[0，2π]，∴x ＝0，π，2π，即零点有3个． 2．答案：C 答案解析：I （t *）＝K1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，整理可得e0.23（t *－53）＝19，两边取自然对数得0.23（t *－53）＝ln 19≈3，解得t *≈66.3．答案：B答案解析：∵R 0＝1＋rT ，∴3.28＝1＋6r ，∴r ＝0.38. 若⎩⎪⎨⎪⎧I （t 1）＝e0.38t 1，I （t 2）＝e0.38t 2，I （t 2）＝2I （t 1），则e0.38（t 2－t 1）＝2，0.38（t 2－t 1）＝ln 2≈0.69，t 2－t 1≈1.8.4．答案：D答案解析：由M 1（R ＋r ）2 ＋M 2r 2 ＝（R ＋r ）M 1R 3 ，得M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋r R 2 ＋M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋r R M 1.因为α＝r R，所以M 1（1＋α）2 ＋M 2α2 ＝（1＋α）M 1，得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2 ＝M 2M 1 .由3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 3 ≈M 2M 1 ，所以r ≈ 3M 23M 1 ·R .5．答案：D答案解析：由题意知函数g （x ）＝f （x ）－|kx 2－2x |恰有4个零点等价于方程f （x ）－|kx 2－2x |＝0，即f （x ）＝|kx 2－2x |有4个不同的根，即函数y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象有4个不同的公共点．当k ＝0时，在同一平面直角坐标系中，分别作出y ＝f （x ）与y ＝|2x |的图象如图1所示，由图1知两图象只有2个不同的公共点，不满足题意．图1当k <0时，y ＝|kx 2－2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k 2－1k ，其图象的对称轴为直线x ＝1k <0，直线x ＝1k 与y ＝|kx 2－2x |的图象的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，－1k ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，－1k 在直线y ＝－x 上，在同一平面直角坐标系中，分别作出y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象如图2所示，由图2易知函数y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象有4个不同的公共点，满足题意．图2当k >0时，函数y ＝|kx 2－2x |的图象与x 轴的2个交点分别为原点（0，0）与⎝ ⎛⎭⎪⎫2k，0 ，则当x >2k时，由kx 2－2x ＝x 3，得x 2－kx ＋2＝0，令Δ＝k 2－8＝0，得k ＝22 ，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象如图3所示，由图3知两图象有3个不同的公共点，不满足题意．令Δ＝k 2－8>0，得k >22 ，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y ＝f （x ）与y ＝|kx 2－2x |的图象如图4所示，由图4知两图象有4个不同的公共点，满足题意．令Δ＝k 2－8<0，得0<k <22 ，易知此时不满足题意．图3 图4综上可知，实数k 的取值范围是（－∞，0）∪（22 ，＋∞）．四经典大题强化篇1．答案解析：（1）如图所示．（2）∵f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f （x ）在（0，1]上是减函数，而在（1，＋∞）上是增函数．由0<a 0，b ≠1 和y ＝ax＋b （a ≠0）在（0，＋∞）上显然都是单调函数，不满足题意，故选择y ＝ax ＋b x()a >0，b >0 .把()2，148 ，()6，60 ，分别代入y ＝ax ＋bx()a >0，b >0 ，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b2＝1486a ＋b 6＝60，解得a ＝2，b ＝288，∴y ＝2x ＋288x，x ∈（0，＋∞）.又y ＝2x ＋288x≥22x ·288x＝48，∴当且仅当2x ＝288x时，即当x ＝12时，y 有最小值，且y min ＝48.故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元．（2）原不等式可以整理为：f （x ）≥32＋210k，x ∈[)k ，＋∞ ，因为对∀x ∈[)k ，＋∞ ()k >0 ，都有不等式kf （x ）－32k －210≥0恒成立，则f （x ）min ≥32＋210k.（ⅰ）当0<k ≤12时，f （x ）＝2x ＋288x≥22x ·288x＝48，当且仅当2x ＝288x时，即当x ＝12时， f （x ）min ＝48.∴48≥32＋210k，解得k ≥13.125，不符合假设条件，舍去．（ⅱ）当k >12时，f （x ）在[k ，＋∞）（k >0）单调递增，故f （x ）min ≥32＋210k，只需2k ＋288k≥210k＋32.整理得：k 2－16k ＋39≥0， ∴k ≥13（k ≤3舍去），综上，实数k 的取值范围是[13，＋∞）.。

(完整版)高三数学-函数图象与性质、函数与方程-专题练习(含答案与解析),推荐文档

当
x
π
时，
f
π
π
1 π
cos
π
1 π
π
0
，故排除
C，
x
0
若关于
x 的方程
f
2
x 3
f
x
a
0a R有
8 个不等的实数根，则 a 的取值范围是( )
A．
0,
1 4
B．
1 3
,
3
C． 1,2
【教师备用】
方程
log4
x
3 x
0
的根所在区间为(
)
A．
2,
5 2
B．
5 2
,
3
C． 3, 4
D．
2,
9 4
D． 4,5
【教师备用】(2016·辽宁锦州一模)对于函数 f x，若在定义域内存在实数 x ，满足 f x f x，称 f x为“局部奇函数”，若 f x 4x m 2x1 m2 3 为定义域 R 上的“局部奇函数”，则实数 m 的取
故选 B．
3．解析：A． y x 12 的对称轴为 x 1 ，为非奇非偶函数，不满足条件．
6 / 13
B． y cos x 1是偶函数，但在 0, 内不是单调函数，不满足条件． C． y lg x 2 为偶函数，在 0, 内单调递增，满足条件， D． y 2x ，在 0, 内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．
e
2
1 ,1
1,
e
1
答案
5 / 13
高三数学专题练习
函数图象与性质、函数与方程
解析
一、选择题
1．解析：根据函数 y f x的定义，当 x 2 为定义域内一个值，有唯一的一个函数值 f x与之对应，函数 y f x的图象与直线 x 2 有唯一交点．

高中数学必修一同步练习题库：函数与方程(简答题：容易)

函数与方程（简答题：容易）1、已知关于的方程=1，其中为实数.（1）若=1-是该方程的根，求的值.（2）当＞且＞0时，证明该方程没有实数根.2、已知一元二次函数的图像与轴交于点，且满足．（I）求该二次函数的解析式及函数的零点．（II）已知函数在上为增函数，求实数的取值范围．3、已知函数,其中．(1)讨论函数的单调性；(2) 若函数在内至少有个零点，求实数的取值范围；4、已知二次函数的对称轴为，.（1）求函数的最小值及取得最小值时的值；（2）试确定的取值范围，使至少有一个实根；（3）若，存在实数，对任意，使恒成立，求实数的取值范围.5、已知函数（1）在给定直角坐标系内直接画出的草图（不用列表描点），并由图象写出函数的单调减区间；（2）当为何值时有三个不同的零点。

6、已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）若有零点，求的取值范围.7、已知函数.（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围.8、已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为.（Ⅰ）若方程有两个相等的实数根，求的解析式；（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围.9、设，函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若无零点,求实数的取值范围；（3）若有两个相异零点,求证：．10、已知函数.（1）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围.（2）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象下方？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.11、设函数，．（1）当时，求函数的单调区间及所有零点；（2）设，，为函数图象上的三个不同点，且．问：是否存在实数，使得函数在点处的切线与直线平行？若存在，求出所有满足条件的实数的值；若不存在，请说明理由．12、设，集合，，.（Ⅰ）求集合（用区间表示）；（Ⅱ）求函数在内的零点.13、已知函数,.（1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；（2）若在有两个零点，求的取值范围；（3）当时，证明：.14、已知命题是方程的两个实根，且不等式对任意的恒成立；命题不等式有实数解．若命题为真，为假，求实数的取值范围．15、已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）若,求函数在区间上的最大值；（2）若,关于的方程有且仅有一个根, 求实数的取值范围；（3）若对任意,不等式均成立, 求实数的取值范围．16、已知为常数，且（1）若函数有唯一零点，求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最大值；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．17、已知.（1）若，求的单调区间；（2）若有三个零点，求的取值范围.18、已知函数．（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；（2）若，设，且方程有实根，求实数的最大值．19、已知命题p：函数有两个零点，命题q：，．（Ⅰ）写出命题q的否定 ¬q；（Ⅱ）若为真命题，则实数m的取值范围为．20、已知向量，，且是方程的两个实根．（1）求实数的取值范围；（2）设，求的最小值．21、（本小题满分12分）关于x的二次方程在区间上有解，求实数m的取值范围．22、（本小题满分12分）定义的零点为的不动点，已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的不动点；（Ⅱ）对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数只有一个零点且，求实数的最小值．23、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数的反函数为（1）若，求实数的值；（2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围；24、（本小题满分13分）设，函数，函数，.（Ⅰ）当时，写出函数零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线与曲线分别位于直线的两侧，求的所有可能取值.25、已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若方程仅有一个实根，求实数的取值集合．26、（本小题满分14分）已知函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）试探究当时，方程解的个数，并说明理由．27、已知函数（e为自然对数的底数），a＞0．（1）若函数恰有一个零点，证明：；（2）若≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．28、已知二次函数（R）．（1）解不等式；（2）函数在上有零点，求的取值范围．29、已知函数f(x)＝2x，x∈R.当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？30、已知函数过点.（1）求实数；（2）将函数的图像向下平移1个单位，再向右平移个单位后得到函数图像，设函数关于轴对称的函数为，试求的解析式；（3）对于定义在上的函数，若在其定义域内，不等式恒成立，求实数的取值范围.31、解方程．32、已知函数，其中为实数；（1）当时，试讨论函数的零点的个数；（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。

专题03 函数与方程和零点问题与嵌套函数(原卷版)

专题03 函数与方程和零点问题与嵌套函数一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间【题型】二、方程法判断函数零点个数【题型】三、数形结合法判断函数零点个数【题型】四、转化法判断函数零点个数【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数【题型】七、一元二次不等式恒成立问题【题型】八、一元二次不等式能成立问题二、题型讲解总结【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（） A ．(1,1.5)a ∈B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈例3．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e x g x =，若()()f s g t =，则当s t -取得最小值时，()g t 所在区间是（） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，则下列结论正确的是（）A ．101x <<B ．2101xx e << C ．()101f x <<D ．()1ln 2,a ∈-+∞【题型】二、方程法判断函数零点个数例5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()ln ||ln |2|f x x x =+-有下述四个结论： ①()f x 的图象关于直线1x =对称 ①()f x 在区间(2,)+∞单调递减 ①()f x 的极大值为0 ①()f x 有3个零点其中所有正确结论的编号为（） A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①例6．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（） A ．()e 2x y f x -=-- B ．()e 2x y f x =+ C ．()e 2x y f x =-D ．()e 2x y f x =-+例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例8．（2023·全国·高三专题练习）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x =在区间[]6,6-内解的个数的最小值是_______. 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（）A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个例10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ①[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e 2,1ln 1,1xx f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7例12．（2023·上海·高三专题练习）对于给定的正整数n （n ≥2），定义在区间[0，n ]上的函数y ＝f （x ）满足：当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，且对任意的x ①[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为____．【题型】四、转化法判断函数零点个数例13．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)1,0,121,1,xe xf x f x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若()()g x f x π=-，则()g x 在[]0,10内的零点个数为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-例15．（2022·全国·高三专题练习）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 是R 上的单调递增函数B ．函数2()()3g x f x x =-有2个零点 C ．()f x 是R 上的奇函数D ．对于任意实数,a b ，都有()()()f a f b f a b +≤+ 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数例16．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为（）A ．－14B ．0C ．14D ．0或－14例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有5个不同的实数解，则a 的范围是（）A ．33(1,)(,2)22⋃B ．(1,2)(2,3)C ．(1,)+∞D ．(1,3)例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩，若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是（）A ．()f x 在区间[7,9]上是增函数B ．()()220222f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619i i x ==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()2e 2xf x x x a =-++在区间(),1a a +上存在最大值，则实数a 的取值范围为_______【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数例22．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin()F x f x x π=-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（） A ．[)3.5,4B ．(]3.5,4C ．(]3,4D ．[)3,4例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点，且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（）A ．43B ．12C ．2D ．136例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<，在0x =处的切线斜率为，若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（）A ．43B ．12C ．2D ．136例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时，()xf x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数()()(1)mg x f x x =-+有个5零点，则实数m 的取值范围是（） A ．()110,log e B ．(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C ．111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点，则实数k 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．0,1C ．()1,+∞D ．()(),00,1-∞⋃例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()exx f x =．则下列说法正确的有（）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【题型】七、一元二次不等式恒成立问题例28．（2023·全国·高三专题练习）已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．23例29．（2023·全国·高三专题练习）当13x ≤≤时，关于x 的不等式210ax x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14C ．,1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（）A ．6eB ．(2e +C ．(2e +D ．2e【题型】八、一元二次不等式能成立问题例31．（2023·全国·高三专题练习）已知命题:R p x ∀∈，20x x a -+>，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（） A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,)4-∞（ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例32．（2023·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立，则实数λ的取值范围是______________．。

第二章一元二次函数、方程和不等式章节练习参考答案

第二章一元二次函数、方程和不等式章节练习参考答案1．D【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断，即可得到结果.【详解】因为*{|2}N M x x =∈≤，所以{1,2}M =，所以0M ∉，A 错误；2M ∈，B 错误；{0,1,2}M，C 错误；D 正确.故选:D.2．B【分析】利用充分条件、必要条件的概念以及集合之间的关系进行判断.【详解】因为x ∈R ，所以集合{|3}x x >是集合{|0}x x >的真子集，所以“0x >”是“3x >”的必要非充分条件，故A ，C ，D 错误.故选：B.3．B【解析】利用作差法比较大小即可得正确选项.【详解】()()()222324696810x x x x x x x ----=-+-+-=>，所以()()()2324x x x ->--，故选：B4．C【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】解：由()()130x x ++<，解得31x -<<-，即不等式的解集为{31}x x -<<-∣；故选：C5．A【分析】由于1a >，所以10a ->，则44(1)111a a a a +=-++--，然后利用基本不等式可求出其最小值【详解】由于1a >，所以10a ->所以44111511a a a a +=-++≥=--，当且仅当411a a -=-，即3a =时取等号.故选：A.6．B【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解即可【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1.故选：B.7．A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.【详解】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<.故选：A8．A【分析】讨论0k =、0k ≠，根据不等式恒成立，结合二次函数性质列不等式组求范围.【详解】当0k =时，20x ->不恒成立；当0k ≠时，204(1)0k k >⎧⎨∆=-<⎩，所以1k >；综上，1k >.故选：A9．ACD【分析】由不等式的性质可判断ACD ，由特值法可判断B ．【详解】若0a <，0b >，则0a ->，则0b a ->，故A 成立；a b >不一定成立，如5,6a b =-=，故B 不成立；∵0a <，0b >，∵20a ab >>，故C 成立，因为0,0a b <> 所以10a <，10b >，则11a b<，成立，故D 正确，故选：ACD ．10．ABC【分析】不等式220x x -+>的解集为R ，再求出各个选项的不等式的解，即得解.【详解】解：因为2(1)4270∆=--⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式220x x -+>的解集为R ，A.14(1)(2)70∆=-⨯--=-<，二次函数的图象开口朝下，所以220x x --<+的解集为R ；B.2(3)42270∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式22320x x -+>的解集为R ；C.2(1)413110∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式230x x -+≥的解集为R ；D. 220x x +->，所以(2)(1)0,1x x x +->∴>或2x <-，与已知不符.故选：ABC11．BD【分析】由基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A ，当0x <时，0y <，故A 错误，对于B ，由基本不等式知当0ab >，则2b a a b+≥，故B 正确，对于C ，令22122x x +=+，方程无解，则2212132x x +++≥+等号不成立，故C 错误，对于D ，当0x <时，12x x +≤-，当1x =-时等号成立，故函数()120y x x x =++<的最大值为0，故D 正确，故选：BD12．AB【分析】利用基本不等式可判断AB ，利用不等式的性质可判断C ，利用作差法可判断D ．【详解】对于选项A ，若102x <<，则1－2x ＞0，2x ＞0，则2112121(12)2(12)2228x x x x x x +-⎛⎫-=⨯-≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当212x x =-，即14x =时，等号成立，即x (1﹣2x )的最大值为18，故A 正确；对于选项B ，当43x <时，430x ->，∵13134y x x =-+-14333143x x ⎛⎫=--++≤-= ⎪-⎝⎭，当且仅当14343x x-=-，即1x =时，等号成立，即13134y x x =-+-的最大值是1，故B 正确；对于选项C ：∵13a <<，25b <<，∵226a <<，1536b -<-<-，∵122311a b -<-+<，故C 错误；对于选项D ，∵()227M a a =-+，()()23N a a =--，∵()()222213247561024M N a a a a a a a ⎛⎫-=-+--+=++=++> ⎪⎝⎭， ∵M N >，故D 错误；故选：AB.13．∅【分析】根据解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】2260226x x x x ⇒->++<-，因为一元二次方程2260x x ++=的判别式2246200∆=-⨯=-<，二次函数226y x x =++的开口向上，所以不等式2260x x ++<的解集为空集，故答案为：∅14．[3,4]【分析】由不含参的一元二次不等式的解法即可得出结论.【详解】由(4)(3)0x x --≥，解得：34x ≤≤.所以(4)(3)0x x --≥的解集是：[3,4]故答案为：[3,4]15．()1,3-【分析】根据分式不等式与一元二次不等式之间的转化，即可根据一元二次不等式进行求解. 【详解】由301x x -<+，得()()310x x -+<，解得13x ，所以不等式301x x -<+的解集为()1,3-.故答案为：()1,3-16．M N >【分析】利用作差法直接比较大小.【详解】解：因为23M x x =-,233N x x =-+-所以()()222213334434202M N x x x x x x x ⎛⎫-=---+-=-+=-+> ⎪⎝⎭ 所以M N >.故答案为：M N >.17．（1）2256259x x x x ++<++；（2）2(3)(2)(4)x x x ->--【分析】利用作差法，分析两式之差的正负判定即可【详解】（1）因为()()2225625930x x x x x ++-++=--<，故2256259x x x x ++<++；（2）因为()()2220(63)(2)(4)9681x x x x x x x --=--++---=>，故2(3)(2)(4)x x x ->--【点睛】本题主要考查了作差法判定两式大小的问题，属于基础题18．(1)(,2)(3,)-∞⋃+∞(2)(,3)(3,)-∞⋃+∞(3)∅(4)()2,3-【分析】利用一元二次不等式的解法即可.（1）原不等式化为(2)(3)0x x -->,解得2x <或3x >,所以解集为(,2)(3,)-∞⋃+∞.（2）原不等式化为2(3)0x ->,解得3x ≠,所以解集为(,3)(3,)-∞⋃+∞.（3）原不等式化为230x x -+<,因为24110b ac ∆=-=-<，则不等式无解，即原不等式的解集为∅.（4）由()()023x x +-<解得23x -<<,所以解集为()2,3-.19．(1){|3}x x ≠-；(2){|03}x x <<；(3){|57}x x <<．【分析】（1）二次三项式配方，由平方的性质可得不等式的解集；（2）不等式两边同乘以1-，然后左边因式分解，转化为两个一元一次不等式组求解；（3）移项，通分，再把分子、分母中最高次项化为正数，然后转化为两个一元一次不等式组求解．（1）2690x x ++>可化为2(3)0x +>，所以30x +≠，即3x ≠-，解集为{|3}x x ≠-；（2）230x x ->或化为230x x -<，即(3)0x x -<，所以030x x >⎧⎨-<⎩或030x x <⎧⎨->⎩， 030x x >⎧⎨-<⎩的解集为03x <<，030x x <⎧⎨->⎩无解，综上，原不等式的解集为{|03}x x <<；（3）325x x ->-化为3205x x -->-，即705x x -+>-，即705x x -<-，所以7050x x ->⎧⎨-<⎩或7050x x -<⎧⎨->⎩，不等式组7050x x ->⎧⎨-<⎩无解，不等式7050x x -<⎧⎨->⎩的解集为57x <<．综上，原不等式的解集为{|57}x x <<．20．(1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦； (2)18【分析】（1）由,a b 是正数，再结合基本不等式即可得到答案；（2）利用基本不等式“1”的整体替换即可得到答案（1）因为,a b 是正数，且1a b +=，所以由基本不等式得a b +≥，即1≥，所以14ab ≤，当且仅当12a b ==时，取等号；因为,a b 是正数，所以0ab >，所以ab 的取值范围10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）因为正数,a b 满足1a b +=，所以()282828281101018b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当28b a a b =即12,33a b ==时，取等号，所以28a b+的最小值为18 21．(1){}12A B x x ⋂=-<<；(2)2a ≤.【分析】（1）解不等式求出集合B ，再根据交集的定义求A B ；（2）由A B A =得到A B ⊂，再根据集合间的包含关系列不等式即可.（1）由{}260B x x x =+-<得{}32B x x =-<<，因为4a =，所以{}14A x x =-<<，所以{}12A B x x ⋂=-<<.（2）因为A B A =，所以A B ⊂，∵当A =∅时,1a ≤-；∵当A ≠∅时，12a a >-⎧⎨≤⎩，即12a -<≤，综上所述，2a ≤.22．(1)菜园的长x 为，宽y 为时，所用篱笆总长最小 (2)310【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.（1）由题意得，36xy =，所用篱笆总长为2x y +.因为22x y +≥=当且仅当2x y =时，即x =y =.所以菜园的长x 为，宽y 为时，所用篱笆总长最小.（2）由题意得，230x y +=，()2121121221325530303010x y y x x y xy x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22y x x y =，即10x y ==时等号成立，所以2x y xy +的最小值是310.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题函数与方程综合复习教学目标理解函数零点的概念，掌握函数零点的求法理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。

重点、难点函数零点与方程根的关系运用二分法求方程的近似解，用二分法求方程的近似解的步骤考点及考试要求结合二次函数的图像，了解函数的零点和方程根的关系，判断一二次函数根的存在性及根的个数（2)根据具函数的图像，能够用二分法求相应方程的近示解教学知识框架1理解二次函数根与系数的关系 2了解函数的零点与根的关系3掌握二分法求相应方程的近示解考点一:方程的根与函数的零点典型例题1二次函数的性质的应用例1.已知函数212()325f x x x =--- （1）求函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴的交点坐标（2）求函数的单调区间、最值、零点（3)设图像与x 轴相交与（x 2，0）（x 1，0）求12x x -的值(4) 已知71815(),()254f f -=-不计算函数值，求的值(5)不计算函数值，试比较115f ()()44f --与的大小2一次函数与二次函数的零点例2.函数()f ()1-1,1x kx =+在区间上存在零点，求k 的取值范围例3二次函数y=ax 2+bx+c 中，a.c <0则函数的零点的个数是 3函数零点的应用（1)有关方程根的个数的应用例4.已知对于一切实数x ∈R ，函数f(x)=f(x-2)成立，且方程f(x)=0有五个不同的实根，则这五个实根的和为（2）利用函数零点解不等式例5.二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)的部分对应值如下表x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式ax 2+bx+c >0的解集是(3)利用函数的零点作函数的简图例6.已知函数f(x)=x 3-4x,①求函数的零点并画出函数的大致草图 ②解不等式xf(x)<0（4）利用零点所在的区间求参数的取值范围例7实数a 在什么范围内取值时，函数f(x)=3x 2-5x+a 的一个零点位于区间（ -2,0）内，另一个零点位于区间（ 1,3）内？知识概括、方法总结与易错点分析 1.函数零点的求法（1）代数法：求方程f(x)=0的实数根（2）几何法：对于不能用求根公式求解的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点 2.利用零点作函数图像的步骤如下（1）求函数的零点（求三次函数零点的关键是因式分解）（2)零点把x 轴分成多个区间，如有三个零点x 1、x 2、x 3,则把x 轴分成四个区间（-∞，x 1）、（x 1,x 2）、（x 2,x 3）、（x 3,+∞）（3）取值，列表，如在上述4个区间内去x 的一些值（包括零点），列出这些点对应值的表针对性练习 1函数f(x)=2x +3x 的零点所在的一个区间是（） A (-2，-1) B (-1,0) C. (0,1) D (1,2)2若函数f(x)=a x -x-a (a >0,且a ≠1 )有两个零点，则实数a 取值范围3已知关于x 的方程（x-1）（3-x)=a-x (a ∈R),试讨论方程实数根的个数考点二：用二分法求方程的近示解典型例题1．求函数22)(3--+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）．例2：判断方程0133=-+x x在区间（0，1）内是否有解？若有，求近似解例3：2008年10月4日下午5时，台风“海高斯”在广东吴川市的大山江镇登陆，次日该市某山区发现从水库闸房到防台指挥部的用电线路某一处发生了故障，这是一条10km 长的线路，每隔50m 有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，问如何快速找到被毁坏的电线杆？知识概括、方法总结与易错点分析 1、二分法的定义：对于在区间［a.b ］上连续不断且f(a) f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

2、二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： 1．确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； 2．求区间a (，)b 的中点1x ； 3．计算)(1x f ：○1 若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点； ○2 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ○3 若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；4．判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4．精确度ε：指 x 0 所在区间的长度小于所给正数ε ，则称ε为精确度规定取区间的端点为x 0 的近似解,这种解题方法就是二分法。

注意：求近似解应有精确度，根据精确度来确定计算次数（方法：12n ε≤， n 是次数）。

例如：若精确度为0.1，通过取四次中点就可达到x 0 的近似解. 若给定精确度为0.01取7次即可达到．若给定精确度为0.001取10次即可达到．针对性练习： 1.已知函数 124)1(2)(2-+++=m mx x m x f ．（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个交点？（2）如果函数的一个零点在原点，求m 的值．考点三：函数与方程、不等式例1．已知：函数)1(2)(2<<++=b c c bx x x f ，0)1(=f ，且方程01)(=+x f 有实根。

（１）求证：31c -<≤-且0b ≥；（２）若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负并加以证明。

【解析】：（1）210210)1(+-=⇒=++⇒=c b c b f ，又c ＜b ＜1，故313121-<<-⇒<+-<c c c方程f （x ）＋1＝0有实根，即0122=+++c bx x 有实根，故△＝0)1(442≥+-c b 即30)1(4)1(2≥⇒≥+-+c c c 或1-≤c 又c ＜b ＜1，得-3＜c ≤-1，由21+-=c b 知0≥b ．（2）)1)(()1(2)(22--=++-=++=x c x c x c x c bx x x f ，01)(<-=m f ，∴ c ＜m ＜1 ∴ c m c <-<-<-344，∴ 0)14)(4()4(>----=-m c m m f ， ∴ )4(-m f 的符号为正。

例2．已知：a 是实数,函数2()223f x ax x a =+--.如果函数()y f x =在区间[-1,1]上有零点,求a 的取值范围.【解析】若0a =,则()23f x x =-,令3()0[1,1]2f x x =⇒=∉-,不符题意, 故0a ≠当()f x 在 [-1,1]上有一个零点时,此时48(3)01112a a a ∆=++=⎧⎪⎨-≤-≤⎪⎩或(1)(1)0f f -⋅≤ 解得372a --=或15a ≤≤ 当()f x 在[-1,1]上有两个零点时,则48(3)01112(1)(1)0a a a f f ∆=++>⎧⎪⎪-≤-≤⎨⎪-⋅>⎪⎩解得373722112215a a a a a a ⎧---+<<⎪⎪⎪≤-≥⎨⎪<>⎪⎪⎩或或或即3711522a a a --<≤<>或或，∴实数a 的取值范围为371(,][,)22---∞+∞. (别解:222230(21)32ax x a x a x +--=⇔-=-,题意转化为知[1,1]x ∈-求23221xa x -=-的值域,令32[1,5]t x =-∈得276a t t=+-转化为对号函数问题.)题组一函数零点的判定1.若函数f (x )2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值 ( ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定2.设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是 ( ) A.[0,1] B.[1,2] C.[－2，－1] D.[－1,0]3.(2010·苏北三市联考)若方程ln x ＋2x －10＝0的解为x 0，则不小于x 0的小整数是 .题组二函数零点的求法4.(2009·福建高考0.25，则f (x )可以是 ( ) A.f (x )＝4x －1 B.f (x )＝(x －1)2 C.f (x )＝e x －1 D.f (x )＝ln(x －12)5.f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.26.设函数f (x )＝[)2221,,2x x x x x ⎧-∈+∞⎪⎨-∈∞⎪⎩(-,1)则函数F (x )＝f (x )－14的零点是 .知识概括、方法总结与易错点分析函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式。

针对性练习1.方程lgx ＋x ＝3的解所在的区间为_____。

A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+∞)2.如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。

A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1)3.已知函数y ＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a 是常数) ______。

A.有且仅有一个实根B.至多一个实根C.至少一个实根D.不同于以上结论题组三函数零点的应用A.1个B.2个C.0个D.不确定8.已知函数f (x )＝x |x －4|－5，则当方程f (x )＝a 有三个根时，实数a 的取值范围是 . A.－5＜a ＜－1 B.－5≤a ≤－1 C.a ＜－5 D.a ＞－19.(2009·山东高考)若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .10.已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12＜t ＜34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根.11.已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围.题组四用二分法求近示解12求函数3()1f x x x =--在区间[1,1.5]内的一个零点（精确到0.1）．13：已知函数28()f x x x=+，证明方程()()f x f a =（a >3）有三个实数答案1解析：若函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，则该零点是变号零点，则f (－2)f (2)<0.若不是变号零点，则f (－2)f (2)>0. 答案：D2解析：∵f (－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－23<0， f (0)＝30－0＝1>0，∴函数f (x )＝3x －x 2在区间[－1,0]内存在零点.答案：D3解析：令f (x )＝lnx ＋2x －10，则f (5)＝ln5＞0，f (4)＝ln4－2＜0 ∴4＜x 0＜5∴不小于x 0的最小整数是5. 答案：54解析：∵4个选项中的零点是确定的.A ：x ＝14；B ：x ＝1；C ：x ＝0；D ：x ＝32.又∵g (0)＝40＋2×0－2＝－1＜0，g (12)＝124＋2×12－2＝1＞0， ∴g (x )＝4x ＋2x －2的零点介于(0，12)之间.从而选A.答案：A5解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且周期是3，f (2)＝0，∴f (2)＝f (5)＝f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0. 答案：B6解析：当x ≥1时，f (x )－14＝2x －2－14＝2x －94＝0，∴x ＝98.当x ＜1时，x 2－2x －14＝0，∵Δ＝4＋1＞0， ∴x ＝2±4＋12＝2±52，又∵x ＜1，∴x ＝2－52. ∴函数F (x )＝f (x )－14有两个零点98和2－52. 答案：98，2－527解析：∵c ＝f (0)，∴ac ＝a ·f (0)<0.∴a与f (0)异号，即><>,<a a f f ⎧⎧⎨⎨⎩⎩00,或(0)0(0)0.∴函数必有两个零点. 答案：B8解析：f (x )＝x |x －4|－5＝2245,4<,45,4x x x x x x ⎧--⎪⎨-+-⎪⎩≥在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略)，可得当直线y ＝a 与该函数的图象有三个交点时，a 的取值范围是－5<a <－1. 答案：A9解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.答案：(1，＋∞)10解：(1)证明：由f (1)＝1知f (x )＝1必有实数根.(2)当12＜t ＜34时，因为f (－1)＝3－4t ＝4(34－t )＞0， f (0)＝1－2t ＝2(12－t )＜0，f (12)＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t ＞0，所以方程f (x )＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根.11解：若a ＝0，则f (x )＝2x －3显然在[－1,1]上没有零点，所以a ≠0.令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2＋24a ＋4＝0，解得a ＝－3±72.①当a ＝－3－72时，y ＝f (x )恰有一个零点在[－1,1]上；而a ＝－3＋72时，经检验不符合要求.②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)≤0时，得1≤a ≤5，因当a ＝5时，方程f (x )＝0在[－1,1] 上有两个相异实根，故1≤a ＜5时，y ＝f (x )在[－1,1]上恰有一个零点； ③当y ＝f (x )在[－1,1]上有两个零点时，则228244824411111><><<<1,221111<<a a a a a a a a f f f f ⎧⎧⎪⎪∆=++∆=++⎪⎪⎪⎪⎪⎪----⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩0000或()≥0()≤0(-)≥0(-)≤0 解得a ≥5或a ＜－3－72.综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ≥1或a ≤－3－72}.12解：因为(1)11110f =--=-<，(1.5) 3.375 1.510.8750f =--=> ，所以()f x 在区间[1，1.5]上存在零点，取区间[1，1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：端（中）点坐标中点函数值符号零点所在区间[1,1.5] 1.25 f (1.25)<0 [1.25,1.5] 1.375f (1.375)>0[1.25,1.375]1.3125 f (1.3125)<0 [1.3125,1.375] 因为|1.375 1.3125|0.06250.1-=<，函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125,1.375]内，故函数零点的近似值为1.3125.13证明：由2288()(),f x f a x a x a=+=+得，即8()()0x a x a ax-+-=，有一根a x =，另外2280,3ax a x a +-=>当时，324>+=∆a a ，即方程2280ax a x +-=有两个根，验证a 不是方程2280ax a x +-=的根，故原方程有三个实数根.。