2019-2020年高三数学第32练平面向量的线性运算及平面向量基本定理练习

2019-2020年高三数学第32练平面向量的线性运算及平面向量基本定理练习1．(xx·佛山期中)已知点M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则点P 是( )A ．(－8,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D ．(8,1)2．(xx·深圳调研)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b |b|成立的充要条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b 且方向相同 C ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |3．(xx·山西大学附中期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的值为( ) A ．－13B.13 C ．－3D ．34．(xx·哈尔滨三模)已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足OA →＋λOB →＋(1＋λ)OC →＝0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为3，则λ的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．35.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为( )A ．－3B ．3C ．2D ．－26.(xx·辽源联考)如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A.2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22 b B ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22b C ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22 b D.2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22b 7．(xx·河北衡水中学调研)已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心8．(xx·南安期中)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2D.2m ＋1n是定值，定值为3二、填空题9．P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝______________.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是__________．11．(xx·厦门适应性考试)如图，在△ABC 中，AD →·BC →＝0，BC →＝3BD →，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是________．12.(xx·沈阳期中)在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是______________.答案精析1．B [设P (x ，y )，点M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，可得x －3＝12(－5－3)，解得x ＝－1；y ＋2＝12(－1＋2)，解得y ＝－32.∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32.故选B.]2．B [非零向量a 、b 使a |a|＝b |b|成立⇔a ＝|a||b|b ⇔a 与b 共线且方向相同，故选B.] 3．A [由a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，得k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(k a ＋b )∥(a －3b )，得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.故选A.]4．A [设AC 、BC 边的中点为E 、F ，则由OA →＋λOB →＋(1＋λ)OC →＝0，得OE →＋λOF →＝0， ∴点O 在中位线EF 上．∵△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为3，∴点O 为EF 上靠近E 的三等分点，∴λ＝12.]5．B [∵AP →＝AB →＋BP →，BP →＝13BD →＝13(AD →－AB →)＝13AD →－13AB → ＝13×23AC →－13AB →＝29AC →－13AB →， ∴AP →＝AB →＋29AC →－13AB →＝23AB →＋29AC →.又AP →＝λAB →＋μAC →，∴λ＝23，μ＝29，∴λμ＝23×92＝3.故选B.]6．B [作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥DE 于F ，由题意，得∠ACD ＝90°，CF ＝BE ＝FD ＝22， ∵BC →＝AC →－AB →＝b －a ，∴AD →＝AE →＋ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22(b －a ) ＝－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22b ，故选B.] 7．B [AB→|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同，而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD →上移动．∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选B.]8．D [方法一 过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n，∴AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，∴AM AB＝n n ＋n －12＝2n3n －1，∵AM →＝mAB →，∴m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n＝3.方法二 ∵M ，D ，N 三点共线， ∴AD →＝λAM →＋(1－λ)AN →. 又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →， ∴AD →＝λmAB →＋(1－λ)nAC →.① 又BD →＝12DC →，∴AD →－AB →＝12AC →－12AD →，∴AD →＝13AC →＋23AB →.②由①②知λm ＝23，(1－λ)n ＝13.∴2m ＋1n＝3，故选D.]9．{(－13，－23)}解析 P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． 10．k ＝1解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线，因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1. 11.83解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.设AD →＝xAM →＋yAN →(x ＋y ＝1)， 则AD →＝x λAB →＋y μAC →，则⎩⎪⎨⎪⎧x λ＝23，y μ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23x ，μ＝13y ，故λ＋2μ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y x ＋x y ＋1≥23⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ·x y ＝83. 当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．12．[－1,1]解析 建立如图所示的直角坐标系，设∠PAE ＝α，则A (0,0)，E (1,0)，D (0,1)，F (1.5,0.5)，P (cos α，sin α)(0°≤α≤90°)．∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ(1.5,0.5)， ∴cos α＝－λ＋1.5μ，sin α＝λ＋0.5μ， ∴λ＝14(3sin α－cos α)，μ＝12(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝sin α－cos α＝2sin(α－45°)． ∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°， ∴－22≤sin(α－45°)≤22， ∴－1≤2sin(α－45°)≤1. ∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]．。