高数(上)习题及答案(极限)
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上）
一．选择题
1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.
（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 (
)g x =（C ）()f x x = 和 (
)2
g x =
（D ）()||
x f x x
=
和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.
（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7．
211
f dx x x
⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰
的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫
-
+ ⎪⎝⎭
（B ）1f C x ⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
10．设()f x 为连续函数，则()10
2f x dx '⎰等于（ ）.
（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1
202f f -⎡⎤⎣
⎦（D ）()()10f f -
二．填空题
1．设函数()21
00x e x f x x a x -⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩
在0x =处连续，则a =
.
2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5
6
π，则()2f '=.
3．
()21ln dx
x x =
+⎰.
三．计算 1．求极限
①21lim x
x x x →∞+⎛⎫
⎪⎝⎭ ②()
20sin 1
lim x
x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x
完整)高等数学考试题库(附答案)
完整)高等数学考试题库(附答案)
高数》试卷1（上）
一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。
1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。
A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnx
B）f(x)=|x|和g(x)=x^2
C）f(x)=x和g(x)=x^2/x
D）f(x)=2|x|和g(x)=1/x
答案：A
2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。
A）1
B）0
C）-1
D）2
答案：A
3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。A）y=x-1
B）y=-(x+1)
C）y=(lnx-1)(x-1)
D）y=x
答案：C
4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。
A）连续且可导
B）连续且可微
C）连续不可导
D）不连续不可微
答案：A
5.点x=0是函数y=x的（）。
A）驻点但非极值点
B）拐点
C）驻点且是拐点
D）驻点且是极值点
答案：A
6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。A）只有水平渐近线
B）只有垂直渐近线
C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B
7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。
A）f(1/x)+C
B）-f(x)+C
C）f(-1/x)+C
D）-f(-x)+C
答案：C
8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。
A）arctan(e^x)+C
B）arctan(e^(-x))+C
C）ex-e^(-x)+C
D）ln(ex+e^(-x))+C
答案：D
9.下列定积分为零的是（）。
A）∫π/4^π/2 sinxdx
B）∫0^π/2 xarcsinxdx
高数极限真题及答案解析
高数极限真题及答案解析
引言：
高等数学是大多数理工科学生必修的一门课程，其中极限是数学中的重要概念之一。作为基础与应用数学的桥梁，掌握高数极限的理论和解题方法对学生的学习和发展至关重要。本文将介绍几道经典的高数极限真题，并对它们的答案进行详细解析，帮助读者深入理解高数极限的概念和运用。
第一道题目：
求极限：lim(x→2) (3x² - 7x + 2)
解析：
对于这道题目，我们可以使用极限的性质，将其分解为更简单的形式。首先，我们将3x² - 7x + 2因式分解为(x - 2)(3x - 1)。然后，我们可以得到：
lim(x→2) (x - 2)(3x - 1) = lim(x→2) (x - 2) ×
lim(x→2) (3x - 1)
将极限运算分解为两个单独的极限，便于计算。此时，我们可以得到：
lim(x→2) (x - 2) = 2 - 2 = 0
lim(x→2) (3x - 1) = 3(2) - 1 = 5
因此，原极限的结果为0 × 5 = 0。
第二道题目：
求极限：lim(x→∞) (2x² - 5x) / (3x² + 4)
解析：
对于这道题目，我们需要考虑的是当自变量趋向于无穷大时的极限情况。首先，我们可以使用同除法的原则，将分子和分母同时除以
x²，得到：
lim(x→∞) (2x² - 5x) / (3x² + 4) = lim(x→∞) (2 -
5/x) / (3 + 4/x²)
随着x趋向于无穷大，5/x和4/x²的值都趋近于0，因此我们可以得到：
lim(x→∞) (2 - 5/x) / (3 + 4/x²) = 2/3
高数课后题答案及详解 高数课后习题答案解析
高数课后题答案及详解一、求下列极限
1、sin ()
lim x x x →−−22111；
解一：()()
12sin 1cos 1lim 02x x x x
→−−==原式解二：()
()
1
1
sin 1sin 1lim lim
1
1
x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2
203解一：
00021311
lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39
x x x x x x x x x →→→==⋅=
原式解二：
sin 3~30021
lim
lim 6sin 3cos 39cos 39
x x
x x x x x x
x x →→==
=原式3、20tan 2lim 3sin x x x
x →解：
()
2tan 2~2,sin3~32
22
lim
9
3x x x x
x x
x →=原式
=
4、0lim ln(1)
x x x →+解一：
()001
lim lim 11
11x x x x
→→==+=+原式解二：
()
10
11lim
1ln ln 1x x
e
x →===+原式5、2lim x
x x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠
解一：()22
2
2lim 1x
x e
x −⋅−−→∞⎛⎞
=−=⎜⎟
⎝⎠
原式解二：
()1
211ln 2ln 22lim
lim ln
2lim
2
2
lim x x x x x
x x x x x
x x
x x x e
e
e
e
e
−−→∞
→∞→∞−
−−−−−→∞−−−=====原式
6、()1
1
1
lim 32x x x −→−解
一
：
()
()1
1
22
20
lim 12t x t
t t e
高数(一)答案
第一章 函数与极限
一、选择题
1.B ；
2.C ；
3.D ；
4.C ；
5. A.
二、填空题
1. [-1，1];
2. a ln 2
1
; 3. 1 ; 4. -1； 5. 2 ，2
三、计算下列极限
1. 解：321lim 231-+-→x x x x =)
3)(1()
1)(1(lim 21+-++-→x x x x x x =31lim 21+++→x x x x =43
2. 解：2
13lim
21-++--→x x x
x x
=)
13)(2)(1()13)(13(lim 1
x x x x x x x x x ++-+-++-+--→ =)
13)(2)(1()
1(2lim 1
x x x x x x ++-+---→ =6
2-
3. 解：65124lim 2323-++-∞→x x x x x =3
3
6
51124lim x
x x x x -++-
∞→=4
4. 解： x x x cos 1)1ln(lim 20-+→=22
lim 22
0=→x
x x
5. 解：x
x x sin 20
)
31(lim +→=x
x x x x sin 6310
)
31(lim ⋅→+=x
x x x x x sin 6lim 310
0)
31(lim →⋅→+=e 6
6. 解：3ln =a
四、证明题
1．证明：1
1
lim
lim
1
12
2
2
1
2
2
=+=++≤
+≤+∞
←∞
←=∑
n n n
n n n n k
n n n n n n n
k 且
1
1
lim 1
2=+∴∑
=∞
→n
k n k
n
2. 证明：由题意，得0)1(2
1<-=--=-+n n n n n n x x x x x x
高数极限习题50题分步骤详解
高数极限习题50题分步骤详解
1. 求极限)]12ln()12[ln(lim --+∞
→n n n n
解：依题意，对算式进行变形，得到
原式＝1
21
2ln lim -+∞→n n n n
＝1
22
12ln lim -+-∞→n n n n ＝)122
1ln(lim -+∞→n n n 【注：当∞→n 时，1
22~)1221ln(--+n n 】 ＝122lim -∞→n n
n ＝1
2. 求极限x
x x e x x sin 1lim 32
02
--→
解：本题为0
型未定式，可运用洛必达法则求极限。
因为 )0(~sin 43→x x x x
所以 原式＝4
2
01lim 2
x x e x x --→
＝30422lim 2
x x
xe x x -→ （洛必达法则）
＝2
021
lim 2
x e x x -→
＝x xe x
x 42lim 2∞→ （洛必达法则）
＝2
lim 2
0x
x e →
＝
2
1
3. 求极限2
sin 0cos )21(lim x x
x x x -+→
解：本题属于“幂指函数”，不适合直接应用洛必达法则求导。应先对算式适当
变形，再求极限。过程如下：
原式＝2sin 0)
1(cos ]1)21[(lim x
x x x x ---+→ （注：表达式的分子加1减1，恒等变形。） ＝2sin 01)21(lim x x x x -+→-2
01
cos lim x x x -→ （注：和差的极限，等于极限的和差。） ＝20sin 2lim x
x x x →-22
02lim x x x -→ ＝2202lim x x x →+2
高数(上)复习题文档
1. 函数1
1
x x a y x a -=+ ()1a 是（ ）。
A ：偶函数
B ：奇函数
C ：非奇非偶函数
D ：奇偶函数
2、极限20
1
sin
lim
sin x x x x
→的值为（ ）
A ：1
B ：0
C ：不存在
D ：∞ 3、若()03f x '=-，则()()
000
3lim
h f x h f x h h
→+--=（ ）
A ：－3
B ：－6
C ：－9
D ：－12 4、已知
()()f x dx F x c =+⎰，则()f b ax dx -=⎰（ ）
A ：()F b ax c -+
B ：1
a -()F
b ax
c -+ C ：a ()F b ax c -+ D ：1
a
()F b ax c -+
5、下列广义积分收敛的是（ ） A ：
1
cos xdx +∞
⎰
B ：31
1dx x
+∞
⎰
C ：1ln xdx +∞⎰
D ：1x
e dx +∞⎰ 6、设()
f x 是奇函数，且()()1
1212x
g x f x ⎛⎫=-
⎪+⎝⎭
，则()g x 是（ ） A ：偶函数 B ：奇函数 C ：非奇非偶函数 D ：无定义 7、函数()f x 在0x 处连续是()f x 在0x 处有定义的（ ） A ：必要条件 B ：充分条件 C ：充要条件 D ：无关条件 8、两条曲线1y x =
和2
y ax b =+在点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
处相切，则常数,a b 为（ ） A ：13,164a b =
= B ：13,164a b =-= C ：11,164a b == D ：11,164
a b =-= 9、若()()
0tan 1cos lim 1ln 12x a x b x c x →+-=-，其中0c ≠，则下列结论正确的是（ ）
高数大一上第一章习题
4
5. lim tan 3 x ⋅ sin(
x→
π
6
π
− x)
6
3
6.lim
x →1
x −1 x −1
2 2
7. lim( x + 1 − x − 1)
x →∞
4
1 1 6.解 原式 = lim x sin + lim sin x = 0 + 1 = 1 x →0 x x →0 x
其中第二个极限是第一个重要极限，而第一个极限利用 无穷小的性质，无穷小量乘以有界函数仍是无穷小 . 时
,
x x arctan ∼ sin x ∼ x ， 7.解当x → 0时， 2 2 4 4
a0 b ,n = m 0 + am = 0, n > m (*) + bn ∞, n < m
a0 x m + a1 x m −1 + lim x →∞ b x n + b x n −1 + 0 1
x + 2 ) ( 3x − 6 ) ( (1) lim 17 x →∞ ( 2 x + 1)
第一章 习 题 课
函数与极限
一 基本要求
(一)函数 1.理解函数的概念,明确函数定义中的两个 要素(对应关系和定义域),会求定义域. 2.了解函数性质(有界性,单调性,奇偶性,周 期性). 3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反 函数和隐函数概念,并会将复合函数拆成 基本初等函数. 4.掌握基本初等函数的性质及图形.
高数第一册习题及答案
高数第一册习题及答案
第一章初等函数及其图形
练习1.1 初等函数及其图形
一. 确定下列各函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数:
x,xf(x),a，a 1. (); a,0
x,xx,x，，，，，，？f,x,a，a,fx？fx,a，a解: 为偶函数.
1,xf(x),ln2.; 1，x
1，x1,x1,x解: ，，, ，，，，为奇函数. ？fx,ln？f,x,ln,,ln,,fx1，
x1,x1，x
23. f(x),ln(x，1，x)
122，，，，，，，，？f,x,ln,x，1，x,ln,,lnx，1，x,,fx解: , 2x，1，x 2为奇函数. ，，，，？fx,lnx，1，x
二. 设f(sinx),3,cos2x,求f(cosx)。
22，，，，？fsinx,3,cos2x,2，2sinx？fcosx,2，2cosx解: ,
f(x)，,x,0,x,0三.设f(x)在(0,)上定义, 。求证: 若单调上升,则12xf(x，x),f(x)，f(x)。 1212
fx，，，，fx，，，，，，？gx，x,gx,解: 令gx,, ？单调上升, 121xx ，，，，，，gx，x,gx x,x,0, 故12212
，，，，，，，，，，，，，，fx，x,x，xgx，x,xgx，x，xgx，x,xgx，xgx 1212121122121122
，，，，,fx，fx. 12
f(x),arccosx,g(x),sinxf(g(x)),g(f(x))四. 设,试求复合函数的定义域和值域,并
作图。
，，，，，，，，,,fgx,arccossinxD,,,.，,R,0,,
高数课后题答案及详解 高数课后习题答案解析
高数课后题答案及详解一、求下列极限
1、sin ()
lim x x x →−−22111；
解一：()()
12sin 1cos 1lim 02x x x x
→−−==原式解二：()
()
1
1
sin 1sin 1lim lim
1
1
x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2
203解一：
00021311
lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39
x x x x x x x x x →→→==⋅=
原式解二：
sin 3~30021
lim
lim 6sin 3cos 39cos 39
x x
x x x x x x
x x →→==
=原式3、20tan 2lim 3sin x x x
x →解：
()
2tan 2~2,sin3~32
22
lim
9
3x x x x
x x
x →=原式
=
4、0lim ln(1)
x x x →+解一：
()001
lim lim 11
11x x x x
→→==+=+原式解二：
()
10
11lim
1ln ln 1x x
e
x →===+原式5、2lim x
x x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠
解一：()22
2
2lim 1x
x e
x −⋅−−→∞⎛⎞
=−=⎜⎟
⎝⎠
原式解二：
()1
211ln 2ln 22lim
lim ln
2lim
2
2
lim x x x x x
x x x x x
x x
x x x e
e
e
e
e
−−→∞
→∞→∞−
−−−−−→∞−−−=====原式
6、()1
1
1
lim 32x x x −→−解
一
：
()
()1
1
22
20
lim 12t x t
t t e
高数极限习题测验及答案
练习题
1. 极限
x
x x x x x x x x
x x x x x x 1lim
)4(1
1lim
)3(15
86
5lim )2(31lim )1(2
3
1
2
2
32
---+-+-+++-∞
→→→∞→
(5) 已知011lim 2
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--++∞→b ax x x x , 求常数a , b .
(6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-∞
→
(8) x
x x
21lim 0
-→ (9)
x x x sin )
31ln(lim 0-→
(10)
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-∞→1lim 1
x
x e x
2. 函数的连续性
(1) 确定b 的值, 使函数
⎩
⎨⎧<≥+==-00
2)(1
x e x b x x f y x 在x =0点连续.
(2) 确定a , b 的值, 使函数
1
lim
)(22
1
2+-+==-∞
→n
n n x bx
ax x
x f y 在整个实数轴上连续.
(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.
①
x x
x f sin )(=
② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=≠+-=00
01212)(1
1
x x x f x
x
3. 连续函数的性质 (1) 设
1)(1
-+++=-x x
x x f n n ,
证明：
)(x f 有一个不大于1的正根.
(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞
→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.
提高
1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得
大一上高数作业及课堂练习
高数作业及课堂练习
注意：
（1）没有布置的习题，请利用课余时间自行完成；（2）总习题一定要自行练习。
第一章：函数与极限
第一节 映射与函数
1、试求下列各题中的
()f x 表达式：
（1）2
2
1
1()sin() 2 , 1f x x x x
x +=
++> （2）22(sin )cos(2)tan , 0<1f x x x x =+< 答案：
（1）2()sin(2) 2 , 2f x x x =
-+>
（2）21
()2, 0
=-+
<- 2、设满足方程：1
()()sin , a af x bf x b x +-=≠ ，求
()f x 。
答案：22
11
()(sin sin )f x a x b a b x
=
+- 3、 设
22(,)+cos() y
f x y x y xy x
+=- ，求(,)f x y 。
答案：222
(1)(,)cos ) , (y 1)1(1)
x y x y
f x y y y -=+≠++ 4、设() f x 是以T 为周期的函数，证明：() ( a>0 ) f ax 是以T
a
为周期的函数。 5、设函数
() , (,) f x x ∈-∞+∞的图形关于 , x a x b ==对称（ a b ≠）
，证明： () y f x =是周期函数，并求其周期。
提示：() () , () ()f a x f a x f b x f b x +=-+=-，于是
() [()] [()] (2) =[(2)] f x f a x a f a x a f a x f b a x b =+-=--=-+--
同济版 高数上册第一章 函数与极限 习题课
, ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 x −x0 < δ 时 有
可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点
2. 函数间断点 第二类间断点
3. 闭区间上连续函数的性质 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
例3. 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a =
−
2
, b=
e
.
a 提示: = 提示 f (0 ) = lim− 2 x→ 0 2 x f (0+ ) = lim+ ln (b + x2) = ln b 1 2 1− cos x ~ x x→0 2 a =1 = ln b 2
]
= f(
) = f (9) = 6
1 2 2 ) = csc x − cos x , 求 f (x). 6. 设 f (sin x + sin x
1 ) = 1 + sin 2 x −1 解: Q f (sin x + sin x sin2 x
∴ f (x) = x −3
2
1 )2 − 3 = (sin x + sin x
1 2 + e1 sin x x 2 + e x sin x − lim + 4 = xlim− 4 =1 x →0 1+ e x x x→0− 1+ e x
高数试题及答案
第一章
函数的极限
一、根据数列极限的定义证明下列极限：
（1） 0)1(lim
2
=-→∝n n
n ； 证明：对任意ε，解不等式0)1(2--n n =2
1n <ε→n>ε1
取N=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡ε1，当n>N 时0)1(2--n n
<ε，所以0)1(lim 2=-→∝n
n
n （2） 5
2
1532lim
=+-→∝n n n ； 证明：对任意ε，解不等式
52
1532-+-n n =
)15(517+n <n
1<εε1>→n 取N=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ε1，当n>N 时ε<-+-521532n n ，所以52
1532lim
=+-→∝n n n （3） 42
4
lim
22-=+--→x x x ； 4
424
lim .42
4;
22U ,,0;22444242
22
22-=++-<++-<+-∈=>∀+=++-=++--→x x x x x x x x x x x x x 故）即
，（当取证明：εδδεδε
（4）
cos lim
=→∝
n
n
n 2)1
(10cos εε>→<<-n n
n n 证明：
取N=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡21ε，当n>N 时ε<-0cos n n ，所以0cos lim =→∝n n n 2
2101001.,)11
(,1
11
1
11
,
001.011
,,11lim
.5==+><-=-=-->∀<-->=-+∞
→X x x x x x
x x
X x X x x x 时，当证明：时，有使得当并求正数εεεε
高数(上)习题及解答(极限)
⎥ ⎥⎦
=
e−2
cos 5x
5sin 5x 5
lim
= lim
=−
x
π →
cos 3x
x→π 3sin 3x
3
2
2
2
2
lim
x →0+
⎛ ⎜⎝
sin x
x
⎞ ⎟⎠
x
2 sin x lim ln
= ex→0+ x x
x x cos x −sin x
lim 2 ⋅
= ex→0+ sin x
x2
− xsin x 2 lim
= e x→0+ 2 x = 1
lim
x→1
⎛ ⎜ ⎝
1 ln x
−
1⎞ x −1⎟⎠
=
lim
x→1
x −1− ln x
ln x⋅ ( x −1)
1
1−
= lim
x
x→1 x −1 + ln x
x
x −1 = lim
x→1 x −1 + x ln x 1
= lim x→1 2 + ln x
=1 2
( ) lim⎜⎛ 1
limlny = lim tan x ⋅ ln sin x
π
π
x→
x→
2
高数极限习题50题分步骤详解
高数极限习题50题分步骤详解
1. 求极限)]12ln()12[ln(lim --+∞
→n n n n
解：依题意，对算式进行变形，得到
原式＝1
21
2ln lim -+∞→n n n n
＝1
22
12ln lim -+-∞→n n n n ＝)122
1ln(lim -+∞→n n n 【注：当∞→n 时，1
22~)1221ln(--+n n 】 ＝122lim -∞→n n
n ＝1
2. 求极限x
x x e x x sin 1lim 32
02
--→
解：本题为0
型未定式，可运用洛必达法则求极限。
因为 )0(~sin 43→x x x x
所以 原式＝4
2
01lim 2
x x e x x --→
＝30422lim 2
x x
xe x x -→ （洛必达法则）
＝2
021
lim 2
x e x x -→
＝x xe x
x 42lim 2∞→ （洛必达法则）
＝2
lim 2
0x
x e →
＝
2
1
3. 求极限2
sin 0cos )21(lim x x
x x x -+→
解：本题属于“幂指函数”，不适合直接应用洛必达法则求导。应先对算式适当
变形，再求极限。过程如下：
原式＝2sin 0)
1(cos ]1)21[(lim x
x x x x ---+→ （注：表达式的分子加1减1，恒等变形。） ＝2sin 01)21(lim x x x x -+→-2
01
cos lim x x x -→ （注：和差的极限，等于极限的和差。） ＝20sin 2lim x
x x x →-22
02lim x x x -→ ＝2202lim x x x →+2
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复习题（一）一、定义域
（1）函数的定义域()2lg 31
−+−=
x x
y （2）函数的定义域
14
12++−=x x y （3）函数的定义域为[0，1]，则定义域为
()x f ()⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=
4141x f x f x g 二、求极限
（1）⎟⎠⎞⎜⎝
⎛+→x x x x x 1sin 2sin 3lim 00312lim sin sin 22x x x x x →⎛⎞
⎜⎟
=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠
003
1
2lim lim sin sin 22x x x x x
x →→=+003lim
2sin 2lim 2x x x x →→=
32
=()lim 0m m n n x a x a a x a →−≠−11
lim m n x a mx nx −−→=lim m n x a m x n −→=m n
m a n
−=x
x x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→21lim 2
22lim 1x
x x →∞⎡⎤⎛⎞
⎢⎥=+⎜⎟⎢⎥
⎝⎠⎣⎦
2
22lim 1x
x x →∞⎡⎤
⎛⎞⎢⎥=+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦
2
e =x x x ln lim ∞→1lim 0x x
→∞==4586lim 224+−+−→x x x x x 42lim 1x x x →−=−23
=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−→x x x x x tan 2sin lim 000sin 2n 1lim 2lim 2cos x x x si x x x x →→=⋅−⋅000sin 2n 1
2lim lim lim
2cos x x x x si x x x x
→→→=⋅−⋅1
==2
1
1lim 2
−++
→x x
x )0
lim 1
x +
→=+1sin lim
0−→x x e x 0s lim 1
x
x co x
e →==；
e x x e x −−→1ln lim
11
lim x e x e
→==；
()
11lim 22−−+∞
→x x
x 0x ==；
x x x 1
sin
lim ∞
→1
sin
lim 11
x x x
→∞==x
x x 211lim ⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−∞
→2
21lim 1x x e x −−−→∞
⎡⎤
⎛⎞=−=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦
x x x 3cos 5cos lim 2
π
→
2
5sin 5lim 3sin 3x x x π→=53
=−
02
2
sin lim ln
0sin lim x x x
x x
x x e x +→+→⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
20cos sin lim 2
sin x x x x x x x e +
→−⋅=0sin 2lim
21
x x x x
e
+
→−==()111
11ln lim lim ln 1ln 1x x x x x x x x →→−−⎛⎞−=⎜⎟−⋅−⎝
⎠1
1
1lim
1
ln x x
x x x
→−
=−+11
lim
1ln x x x x x
→−=−+11
lim
2ln x x →=+12
=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→111
lim 0x x e x ()
01lim 1x x x e x x e →−−=−01
lim 1x x
x x e e xe →−=−+0lim 2x
x
x
x e e xe →=+01lim
2x x →=+12=1
131232lim lim 12112x x x x x x x x ++→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+⎛⎞=⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎜⎟+⎝⎠
1
1312lim 112x x x x x ++→∞
⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠
232
3
122
331122lim
111122x
x x
x x x x →∞
⎡
⎤
⎛⎞⎛⎞
⎢⎥++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠
⎝⎠
⎢⎥⎣
⎦
=⎡⎤⎛⎞⎛⎞++⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦
e
=解法2：原式1
2lim 121x x x +→∞
⎛⎞
=+⎜⎟+⎝⎠
211
22
2lim 121x x x ++→∞
⎛
⎞=+⎜⎟+⎝⎠2112
2
22lim 112121x x x x +→∞
⎛
⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠
e
=解法1：x x
x x 30
sin 1sin 1lim
−−−→
0x →=301sin lim
2sin x x x x →−=
2011cos lim
23sin cos x x x x
→−=22
011
2lim 23x x
x →=112
=解法2：x x x x 30sin 1sin 1lim −−−→3011sin 22lim x x x
x
→−+=3
01sin lim 2x x x x →−+=