实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案
实变函数论与泛函分析曹广福到章课后答案
第一章习题参考解答
3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么
解： 若)()(C B A C B A --=⋃-,则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即,A C ⊂.
反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,
C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.
最后证,C B A C B A ⋃-⊂--)()(
事实上,)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉;若C x ∈,则C B A x ⋃-∈)(；若
C x ∉,则B x ∉,故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.
A A C
B A
C B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.
反过来,若A C ⊂,则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂,所以
)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-
另一方面,A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉,如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉,所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而
C B A C B A ⋃-⊂--)()(
于是,)()(C B A C B A --=⋃-
4．对于集合A,定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=A
x A
x x A ,0,1)(χ, 假设 n A A A ,,,21是一
实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案
第一章习题参考解答
3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？
解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.
反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,
C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.
最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(
事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.
A A C
B A
C B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.
反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-
另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；
如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而
C B A C B A ⋃-⊂--)()(
于是，)()(C B A C B A --=⋃-
4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=A
x A
x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是
实变函数论与泛函分析课后答案
第一章习题参考解答
3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？
解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.
反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,
C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.
最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(
事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.
A A C
B A
C B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.
反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-
另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而
C B A C B A ⋃-⊂--)()(
于是，)()(C B A C B A --=⋃-
4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=A
x A
x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是
实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案
第一章习题参考解答
3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？
解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.
反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,
C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.
最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(
事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.
A A C
B A
C B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.
反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-
另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；
如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而
C B A C B A ⋃-⊂--)()(
于是，)()(C B A C B A --=⋃-
4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=A
x A
x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是
实变函数与泛函分析基础》习题解答
4.
①
A ∩ (B − C) = A ∩ (B ∩ CC ) = (A ∩ B) ∩ (AC ∪ CC ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C)C
= (A ∩ B) − (A ∩ C) ．
②
( A∆B) ∪ (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B) = [(A − B) ∪ (A ∩ B)] ∪
=
1．
6. 因 Bn+i ∩ An = φ. Bn ⊂ An ，所以 Bn+i ∩ Bn = φ ，即{Bn} 互不相交．显
然 A1 = B1 ，设
U U U U U U U n
n
n+1
n
n
n
n+1
Ai = Bi ，则 Bi = ( Bi ) U Bn+1 = ( Ai ) U ( An+1 − Ai ) = Ai ．
4. 设 I 为任意区间，取 (a,b) ⊂ I ⊂ (−∞,+∞) 因为 (a,b) 与 (−∞,+∞) 的基
数为 c，故 I 的基数为 c．
5. 设 F 为直线上闭区间所成之集，因[0, r]∈ F,(r > 0) ，故 (0,+∞) 对等 于 F 的一个子集．所以 F ≥ c ．另方面， ∀ [a,b]∈ F ，[a,b] → (a,b) ∈ R2 ，
实变函数(曹广福)1到5章答案
第一章习题参考解答
3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？
解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.
反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,
C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.
最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(
事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.
A A C
B A
C B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.
反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-
另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而
C B A C B A ⋃-⊂--)()(
于是，)()(C B A C B A --=⋃-
4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=A
x A
x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是
曹广福版实变函数与泛函分析第四章答案
第四章习题参考解答
1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，
有0)(=⎰dx x f A ，试证：)(x f ，].[.E e a
证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞
= ，而N k ∈∀，}1)(|{k
x f x E ≥
}1
)(|{}1)(|{k
x f x E k x f x E -≤≥= .由已知，
=+=-
≤≥
≥
⎰⎰⎰k
x f x E k
x f x E k
x f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1
|)(|{)()()(
000=+.
又因为0}1)(|{11)(0}
1
)(|{}
1
)(|{≥≥=≥
=
≥≥⎰⎰
k
x f x mE k dx k dx x f k
x f x E k
x f x E ， 0}1
)(|{1)1()(0}
1
)(|{}
1
)(|{≤-≤-=-≤=≥≥⎰⎰k x f x mE k dx k dx x f k
x f x E k
x f x E
所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE .
故,0}1
)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥k
x f x mE k x f x mE k x f x mE ,从而
00}1
|)(|{}1|)(|{[}0)(|{1
11==≥≤≥=≠∑∑∞
=∞=∞
=k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即，
0)(=x f ，].[.E e a .
2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有
实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案
第一章习题参考解答
3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？
解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.
反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,
C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.
最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(
事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.
A A C
B A
C B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.
反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-
另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；
如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而
C B A C B A ⋃-⊂--)()(
于是，)()(C B A C B A --=⋃-
4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=A
x A
x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是
实变函数引论参考答案_曹怀信_陕师大版第一到第四章
习题1.1
1．证明下列集合等式． (1) ；
(2) ()()()C B C A C B A \\\ =；
(3) ()()()C A B A C B A \\\=．
证明 (1) )()C \B (c C B A A =
)()( c c C B A A B A =
c C A B A )()( =
)(\)(C A B A = .
(2) c C B A A )(C \B)(=
)()(c c C B C A =
=)\()\(C A C A .
(3) )(\C)\(B \c C B A A =
c c C B A )( =
)(C B A c =
)()(C A B A c =
)()\(C A B A =.
2．证明下列命题．
(1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ⊂；
(2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A Ø；
(3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B Ø．
证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要
[条 是：.A B ⊂
(2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)(
必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ⊂, 可得.∅=B A 反之若,∅≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ∉∈且与c B A ⊂矛盾.
充分性. 假设∅=B A 成立, 则c B A ⊂, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A =
实变函数部分课后习题答案（最新版）
备注：证明题每章都是二选一，计算题在第五章
第二章
1.证明点集F 为闭集的充要条件是F F =. 证明：因为'
F F F = ，若F 为闭集，则'F F ⊂ 所以'
F F F F F F F =⊂=⊂ 故F F =
反过来，若'F F F F =⊂ ，则必有'F F ⊂，从而F 为闭集.
2.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明：对于任意常数a ，(){}
;x f x a >都是开集，
(){};x f x a ≥都是闭集.
证明：任取常数a ，若 (){}
0;x x f x a ∈>，则()0f x a >，由于()f x 连续，0,0a x δ∃>， 使()(){
}
00,,;a x x N x x f x a δ∈⊂≥，这表明(){}
;x f x a >是开集.
任取常数a ，若{}(){}
;n x x f x a ∈≥，且0n x x →，则从()n f x a ≥和()f x 连续知 ()()0lim n n f x f x a →∞
=≥，故(){}
0;x x f x a ∈≥
这表明(){}(){
}
'
;;x f x a x f x a ≥⊂≥.，故(){}
;x f x a ≥是闭集.
第三章
68页
3.证明对任意可测集合A 和B 都有
()()()()m A B m A B m A m B +=+ （*） 证明：若()m A B =∞ ，则,A B A B ⊂
∞=∞=∞=⋃⇒)(,)(,)(B m A m B A m
∞=+=⋂+⋃=∞∴)()()()(B m A m B A m B A m 成立.
曹广福版实变函数与泛函分析第四章答案
第四章习题参考解答
1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，
有0)(=⎰dx x f A ，试证：)(x f ，].[.E e a
证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞
= ，而N k ∈∀，}1)(|{k
x f x E ≥
}1
)(|{}1)(|{k
x f x E k x f x E -≤≥= .由已知，
=+=-
≤≥
≥
⎰⎰⎰k
x f x E k
x f x E k
x f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1
|)(|{)()()(
000=+.
又因为0}1)(|{11)(0}
1
)(|{}
1
)(|{≥≥=≥
=
≥≥⎰⎰
k
x f x mE k dx k dx x f k
x f x E k
x f x E ， 0}1
)(|{1)1()(0}
1
)(|{}
1
)(|{≤-≤-=-≤=≥≥⎰⎰k x f x mE k dx k dx x f k
x f x E k
x f x E
所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE .
故,0}1
)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥k
x f x mE k x f x mE k x f x mE ,从而
00}1
|)(|{}1|)(|{[}0)(|{1
11==≥≤≥=≠∑∑∞
=∞=∞
=k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即，
0)(=x f ，].[.E e a .
2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有
泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)
第五章习题第一部分01-15
1. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间．
[证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ⊆ N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ⊆ N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间．
2. 设B 为线性空间X 的子集，证明
conv(B ) = {∑=n
i i i x a 1| a i ≥ 0,
∑=n
i i
a
1
= 1, x i ∈B , n 为自然数}．
[证明] 设A = {∑=n
i i i x a 1
| a i ≥ 0,
∑=n
i i
a
1
= 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为
包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ⊆ F ，故A 为包含B 的最小凸集．
3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底．
[证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=m
n n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0，
所以E 中任意有限个元素线性无关，
实变函数与泛函分析基础第四章习题答案
1.
f (x )
E
r ,
E [f >r ]
E [f =r ]
f (x )
r ,E [f >r ]
α,
{r n }
α
E [f >a ]=
∞
n =1
E [f >r n ],E [f >r n ]
E [f >α]
f (x )
E
r ,E [f =r ]
f (x )
E =(−∞,∞),z
(−∞,∞)
x ∈z,f (x )=
√
2,
r ,E [f =r ]=∅
E [f >
√
n →∞
E
|f n −f |<
1
k ,
x ∈lim
k
.k
x ∈
∞
k =1
lim
k
.
x ∈
∞
k =1
lim
k
,
ǫ>0,
k 0,1
n →∞
E
|f n −f |<
1
k 0
,
|f n (x )−f (x )|<
1
n →∞
E
|f n −f |<
1
n →∞
f n (x )
n →∞
f n =+∞]
f n
+∞
E [
lim n →∞
f n >lim
n →∞
f n =+∞]−E [
lim n →∞
f n >lim
E [lim
lim n →∞
f n =−∞]∪E [
n →∞
f n ]
4.
E
[0,1]
f (x )=
x,x ∈E,−x,
x ∈[0,1]−E.
f (x )
[0,1]
|f (x )|
f (x )
0∈E ,E [f ≥0]=E
0∈E,E [f >0]=E
f (x )
x ∈[0,1]
|f (x )|=x
|f (x )|
[0,1]5.
f n (x )(n =1,2,···)E
a.e.
|f n |a.e.
f .
ǫ>0
c
E 0⊂E,m (E \E 0)<ǫ,
实变函数论课后答案解析第五章1
实变函数论课后答案第五章1
第无章第一节习题
1.试就[0,1]上的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算
[0,1]
()D x dx ⎰
和
[0,1]
()R x dx ⎰
解:回忆1
1()0\x Q D x x R Q
∈⎧=⎨∈⎩即()()Q D x x χ= (Q 为1
R 上全体有理数之集合)
回忆: ()E x χ可测E ⇔为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有
限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_
()()()
E
E
f x dx f x dx f x =⇔⎰⎰为E 上的可测函数
显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积
由P134Th4(2)知
[0,1]
[0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c
c
Q Q Q Q
Q
Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ⋂⋂⋂⋂=
+
=
+
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =⋅⋂+⋅⋂=⋅+⋅= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]
R R
11,()0
[0,1]n n
x m n m R x x x Q
⎧=
⎪⎪==⎨⎪∈-⎪⎩
和无大于的公因子1
在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0
.R x a e =于[0,1]上,故()R x 可
测(P104定理3),且
[0,1]
()R x dx ⎰
曹广福版实变函数与泛函分析第四章答案
曹⼴福版实变函数与泛函分析第四章答案第四章习题参考解答
1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测⼦集A ，
有0)(=?dx x f A ，试证：)(x f ，].[.E e a
证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞
= ，⽽N k ∈?，}1)(|{k
x f x E ≥
}1
)(|{}1)(|{k x f x E k x f x E -≤≥= .由已知，
=+=-
≤≥
≥
k
x f x E k
x f x E k
x f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1
|)(|{)()()(
000=+.
⼜因为0}1)(|{11)(0}
1
)(|{}
1
)(|{≥≥=≥
=
≥≥??
k
x f x mE k dx k dx x f k
x f x E k
x f x E ， 0}1
)(|{1)1()(0}
1
)(|{}
1
所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE .
故,0}1
)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥k
x f x mE k x f x mE k x f x mE ,从⽽
00}1
|)(|{}1|)(|{[}0)(|{1
11==≥≤≥=≠∑∑∞
=∞=∞
=k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即，
0)(=x f ，].[.E e a .
2.设f ，g 都是E 上的⾮负可测函数，并且对任意常数a ，都有
})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从⽽，=?dx x f E )(
《实变函数论与泛函分析(曹广福)》1到5章课后习题答案
第一章习题参考解答
3.等式(A -B) ⋃C =A - (B -C) 成立的的充要条件是什么？
解： 若(A -B) ⋃C =A - (B -C)，则 C ⊂ (A -B) ⋃C =A - (B -C) ⊂A .
即， C ⊂A .
反过来, 假设C ⊂A , 因为B -C ⊂B . 所以,A -B ⊂A - (B -C) . 故,
( A -B) ⋃C ⊂A - (B -C) .
最后证， A - (B -C) ⊂ (A -B) ⋃C
事实上，∀x ∈A - (B -C) , 则x ∈A 且x ∉B -C 。若x ∈C，则x ∈(A -B) ⋃C ；
若x ∉C，则 x ∉B ，故 x ∈A -B ⊂ (A -B) ⋃C. 从而, A - (B -C) ⊂ (A -B) ⋃C.
C ⊂ (A -B) ⋃C =A - (B -C) ⊂A -∅=A . 即 C ⊂A .
反过来，若C ⊂A ，则因为B -C ⊂B 所以A -B ⊂A - (B -C) 又因为C ⊂A ，所以C ⊂A - (B -C) 故 (A -B) ⋃C ⊂A - (B -C)
另一方面，∀x ∈A - (B -C) ⇒x ∈A 且x ∉B -C ，如果x ∈C则x ∈(A -B) C ；如果x ∉C, 因为x ∉B -C ，所以x ∉B 故x ∈A -B . 则x ∈(A -B) ⋃C . 从而
A - (
B -C) ⊂ (A -B) ⋃C
于是， (A -B) ⋃C =A - (B -C)
⎧1,x ∈A
4.对于集合A，定义A 的特征函数为χA (x) =⎨
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第一章习题参考解答
3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？
解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(.
即，A C ⊂.
反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,
C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.
最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(
事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(. A A C B A C B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.
反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-
另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，
如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(
于是，)()(C B A C B A --=⋃-
4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨
⎧∉∈=A x A x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：
（i ）)(inf
lim )(inf lim x x n
n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n
n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n
m N n n n A A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf 0=≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m
n A n m N b A n χχ
N n A x n n ∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n n
m ≥∃⇒⋂∉≥ 有0)(inf 0=⇒=⇒∉≥x A x m n k m A n m A k χχ，故0)(i n f s u p =≥∈x m A n m N b χ ，即)(i n f lim x n A n χ=0 ，从而)(inf
lim )(inf lim x x n
n A n n A χχ= 5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(1
1>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明 （i ）}{n B 互相正交
（ii ）i n
i i n i B A N n 11,===∈∀
证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=1
1 ，又因
为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交.
（ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i n i i n i A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i n i i n i B A 11==⋃⊂⋃
当n=1时，11B A =； 当1≥n 时，有：i n
i i n i B A 11===
则)()()()()(11111111111i n i n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==
事实上，i n i A x 1
=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{n i A x i i i ≤≤∈=1|min 0且 则 i n i i i i i i B B A A x 11
1000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i n i i n i B A 1
1===
6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明：
（i ）})(|{a x f x E >=}1
)({1n
a x f n +≥∞
= (ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1n a x f n ->∞= 证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(
}1)(|{1)(,n
a x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+
≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1n
a x f x E n +≥∞= 反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈