实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案

第一章习题参考解答
3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？
解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(.
即，A C ⊂.
反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,
C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.
最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(
事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。

若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(. A A C B A C B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.
反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-
另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，
如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(
于是，)()(C B A C B A --=⋃-
4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨
⎧∉∈=A x A x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：
（i ）)(inf
lim )(inf lim x x n
n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n
n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n
m N n n n A A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf 0=≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m
n A n m N b A n χχ
N n A x n n ∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n n
m ≥∃⇒⋂∉≥ 有0)(inf 0=⇒=⇒∉≥x A x m n k m A n m A k χχ，故0)(i n f s u p =≥∈x m A n m N b χ ，即)(i n f lim x n A n χ=0 ，从而)(inf
lim )(inf lim x x n
n A n n A χχ= 5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(1
1>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明 （i ）}{n B 互相正交
（ii ）i n
i i n i B A N n 11,===∈∀
证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=1
1 ，又因
为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交.
（ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i n i i n i A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i n i i n i B A 11==⋃⊂⋃
当n=1时，11B A =； 当1≥n 时，有：i n
i i n i B A 11===
则)()()()()(11111111111i n i n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==
事实上，i n i A x 1
=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{n i A x i i i ≤≤∈=1|min 0且 则 i n i i i i i i B B A A x 11
1000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i n i i n i B A 1
1===
6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明：
（i ）})(|{a x f x E >=}1
)({1n
a x f n +≥∞
= (ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1n a x f n ->∞= 证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(
}1)(|{1)(,n
a x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+
≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1n
a x f x E n +≥∞= 反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈。